北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
§2.2 二元一次不等式(组)与简单的线性规划(旧
课标)
专题检测
{x+2y-2≤0,
1.(2020四川成都摸底测试,4)若实数x,y满足约束条件 x-1≥0, 则z=x-2y的最小值为 ( )
y≥0,
A.0 B.2 C.4 D.6
答案 A
1 1 1
解法一:画出不等式组表示的平面区域,如图中阴影部分所示.由z=x-2y得y= x- z,其表示斜率为 的动直线.
2 2 2
由{ x=1, 得A(
1,
1),由图可知,当动直线y=1x-1z经过点A(
1,
1)时,z取得最小值,即z
min
=1-
x+2y-2=0 2 2 2 2
1
2× =0.故选A.
2
{x=1,
解法二:由{x+2y-2=0,得 此时z=0;由{x+2y-2=0,得{x=2,此时z=2;由
1
x-1=0 y= , y=0 y=0,
2
{x-1=0, {x=1,
得 此时z=1.综上所述,z的最小值为0,故选A.
y=0 y=0,
{
x- y≥0,
2.(2019黑龙江哈师大附中二模,5)已知实数x,y满足约束条件 x+ y-4≤0,则z=2-2x+y的最大值为( )
y≥1,
1 1 1
A. B. C. D.2
32 4 2
{
x- y≥0,
答案 C 由实数x,y满足的约束条件 x+ y-4≤0,作出可行域如图中阴影部分所示,设u=-2x+y,则当
y≥1
u=-2x+y取得最大值时,z也取得最大值.
{x- y=0, {x=1,
联立 解得 故A的坐标为(1,1).
y=1, y=1,
由u=-2x+y得y=2x+u.
1
由图可知,当直线y=2x+u过点A时,直线在y轴上的截距最大,此时z =2-2+1= .故选C.
max
2
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{
x- y+2≥0,
3.(2019陕西三模,9)若实数x,y满足不等式组 x+ y-4≥0, 则z=|3x+y|的最大值为 ( )
2x- y-2≤0,
A.36 B.18 C.24 D.12
{x- y+2≥0,
答案 B 解法一:作出不等式组 x+ y-4≥0,表示的平面区域,如图中阴影部分所示.
2x- y-2≤0
因为在平面区域内x>0,y>0,所以z=|3x+y|=3x+y,
即y=-3x+z.
由图象可知,当直线过点B时,z取得最大值.
{2x- y-2=0, {x=4,
由 解得 故B的坐标为(4,6),此时z=|3x+y|=|3×4+6|=18.所以z =18.故选B.
x- y+2=0 y=6, max
|3x+ y|
解法二:作出可行域同解法一,z= ×√10表示可行域内动点P(x,y)到直线3x+y=0的距离的√10倍.
√10
由图可知点B(4,6)到直线3x+y=0的距离最大,所以z =|3×4+6|=18.
max
{2x- y+2≥0,
4.(2019宁夏银川一中二模,7)如果点P(x,y)满足 x-2y+1≤0,点Q在曲线x2+(y+2)2=1上,则|PQ|的取值
x+ y-2≤0,
范围是 ( )
A.[√5-1,√10-1] B.[√5-1,√10+1]
C.[√10-1,5] D.[√5-1,5]
答案 D 曲线x2+(y+2)2=1对应的圆心为M(0,-2),半径为r=1,
作出不等式组对应的平面区域如图中阴影部分所示,
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结合图象可知,当P位于点(-1,0)时,|PQ|取得最小值,此时|PQ|=√1+4-1=√5-1.当P位于点(0,2)时,|PQ|取得最
大值,最大值为2+3=5.
综上,|PQ|的取值范围是[√5-1,5],故选D.
{x- y+2≥0,
56.(2018广东广州3月测试,8)若x,y满足约束条件 2y-1≥0, 则z=x2+2x+y2的最小值为( )
x-1≤0,
1 1 1 3
A. B. C.- D.-
2 4 2 4
答案 D
画出约束条件对应的平面区域,如图中阴影部分所示,z=x2+2x+y2=(x+1)2+y2-1,其几何意义是平面区域内的点
1
(x,y)到定点(-1,0)的距离的平方再减去1,观察图形可得,平面区域内的点与定点(-1,0)的距离的最小值为 ,故
2
1 3
z=x2+2x+y2的最小值为 -1=- ,选D.
4 4
解题技巧 解决非线性规划问题要注意三点:第一,明确可行域是封闭区域还是开放区域,分界线是实线还是
虚线;第二,确定目标函数的几何意义,是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率,还是求点到直线的
距离;第三,结合图形确定最优解.
{x+ y-1≥0,
6.(2020河南郑州一中、河北衡水中学等名校10月联考,8)若实数x,y满足不等式组 x- y+1≥0, 且目标
x≤a(a>0),
函数z=ax-2y的最大值为6,则实数a的值是( )
A.4 B.1或3 C.2 D.2或4
a z
答案 C 本题考查含参数的简单的线性规划问题.作出可行域,如图所示,目标函数可化为y= x- (a>0),由
2 2
a z { x=a,
图可知当直线y= x- 经过点A时,z取得最大值,由 得A(a,1-a),所以z =a2-2(1-a)=6,解得a=2
2 2 x+ y-1=0 max
或a=-4(舍去).
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方法点拨 解决此类问题的方法:①构建模型;②判断二元一次不等式组表示的平面区域;③掌握求线性目标
函数最值的一般步骤:一画、二移、三求.
{x-2y+1≥0, 2x+ y+2
7.(2019安徽六安一中模拟,5)已知实数x,y满足 则z= 的取值范围为 (
|x|- y-1≤0, x
)
A.[ 10] B.(-∞,2]∪[10 )
0, ,+∞
3 3
C.[ 10] D.(-∞,0]∪[10 )
2, ,+∞
3 3
{x-2y+1≥0, {x-2y+1≥0,
答案 D 原不等式组可以等价转化为 x≥0, 或 x<0, 画出不等式组所表示的平
x- y-1≤0 x+ y+1≥0,
2x+ y+2 y+2
面区域,如图中阴影部分所示,其中点A(-1,0),点B(3,2),而z= =2+ 的几何意义为区域内的点
x x
4 4 10
(x,y)与点M(0,-2)连线的斜率k再加上2,结合图形可知k≥ 或k≤-2,因此z≥ +2= 或z≤-2+2=0.即z的取
3 3 3
值范围为(-∞,0]∪[10 ),故选D.
,+∞
3
解题关键 ①正确画出不等式组表示的平面区域是求解本题的基础,而正确处理绝对值问题是画图的关键;
②明确目标函数的几何意义,确定最优解是解决此类问题的核心.
x≤0,
{
y≥0,
8.(2019湖南炎德英才大联考(三),11)已知由不等式组 确定的平面区域Ω的面积为7,定点M
y-kx≤2,
y-x-4≤0
的坐标为(1,-2),若N∈Ω,O为坐标原点,则⃗OM·⃗ON的最小值是 ( )
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A.-8 B.-7 C.-6 D.-4
答案 B 画出不等式组所表示的平面区域,如图中阴影部分所示.由{y=kx+2,得C( 2 4k-2),
,
y=x+4 k-1 k-1
1
由图可知,S = ×4×4=8,而直线y=kx+2恒过点B(0,2),且(0,0)恒满足y-kx≤2,当k=0时,y≤2,此时平面区域Ω
△AOD
2
的面积为6,6<7,当k>0时,平面区域Ω的面积小于6,不符合题意,由此可得k<0.依题意得S =1×2×| 2 |
△BCD
2 k-1
=1,解得k=-1或k=3(舍).
所以点C的坐标为(-1,3),设N(x,y),z=⃗OM·⃗ON=x-2y.
作出基本直线l:x-2y=0,平移直线l,可知当直线经过点C(-1,3)时,z取得最小值,z =-1-2×3=-7,故选B.
0 0 min
思路分析 作出不等式组所表示的平面区域,根据区域面积求得k的值,从而得出点C的坐标,最后将⃗OM·
⃗ON化为线性目标函数进行求解.
{x-2y+3≥0,
9.(2018四川成都外国语学校12月月考,7)已知变量x,y满足约束条件 x-3 y+3≤0,若目标函数z=y-ax
y-1≤0,
仅在点(-3,0)处取到最大值,则实数a的取值范围为 ( )
A.(1 ) B.(3,5)
,+∞
2
C.(-1,2) D.(1 )
,1
3
答案 A 画出可行域如图所示,其中A(-3,0),C(0,1),若目标函数z=y-ax仅在点(-3,0)处取得最大值,由图知,直
1
线z=-ax+y的斜率大于直线x-2y+3=0的斜率,即a> ,故选A.
2
{
y≥0,
10.(2018山东栖霞一中4月模拟,8)已知实数x,y满足约束条件 y-x+1≤0, 若目标函数z=y-ax(a≠0)取
y-2x+4≥0.
得最大值时的最优解有无数个,则a的值为 ( )
A.2 B.1 C.1或2 D.-1
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答案 B 画出不等式组表示的可行域,如图中阴影部分所示(含边界).
由z=y-ax(a≠0)得y=ax+z(a≠0).
因为a≠0,所以要使z=y-ax取得最大值时的最优解有无数个,必有a>0.①当直线y=ax+z与直线AC重合,即
a=1时,直线y=ax+z在y轴上的截距最大,此时z取得最大值,且最优解有无数个,符合条件;②当直线y=ax+z与
直线BC重合时,直线y=ax+z在y轴上的截距最小,此时z取得最小值,不符合条件.故a=1,选B.
{|x+2y|≤2,
11.(2019浙江宁波北仑中学一模,9)若x,y满足约束条件 则(x+1)y的取值范围为 (
|2y-3x|≤6,
)
A.[-3,0] B.[ 9] C.[ 9] D.[ 9]
-3, 0, -3,
4 8 8
答案 D 由题意作出可行域如图所示,
易得A( 3),B(-2,0),C( 3),D(2,0),
-1, 1,-
2 2
z z
令z=(x+1)y,则当x=-1时,z=0;当x≠-1时,y= ,显然,当曲线y= 与直线AD:x+2y=2相切时,z取得最大
x+1 x+1
z 2-t 1
{ = , {t= ,
值,设切点的横坐标为t(t≠-1),则由y'=- z ,得 t+1 2 解得 2 故z =9.
max
(x+1)2 z 1 9 8
- =- , z= ,
(t+1)2 2 8
如图,当曲线y= z 过点C( 3)时,z取得最小值,
1,-
x+1 2
z
min
=(1+1)×(
-
3)=-3,
2
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综上,(x+1)y的取值范围是[ 9],故选D.
-3,
8
{2x- y≥0,
y
12.(2020河南安阳一模,13)若x,y满足约束条件 x+ y≤1, 则z= 的最大值为 .
2x+1
y+1≥0,
2
答案
5
解析 本题考查的核心素养是逻辑推理、数学运算.
y y
y 1
不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示,z= = · 1, 1表示可行域内的点(x,y)与点
2x+1 2 x+ x+
2 2
y
( 1 ) ( 1 ) {2x- y=0,
- ,0 连线的斜率,由图可知, 1的最大值即为点 - ,0 与点A的连线的斜率,由
2 x+ 2 x+ y=1
2
2
(1 2) 3 2
得点A的坐标为 , ,所以z = = .
max
3 3 1 5
2× +1
3
y
思路分析 ①画出可行域;②确定z= 的几何意义;③由数形结合确定最优解位置;④求出最大值.
2x+1
{
x- y≤0,
13.(2019浙江台州期末,13)已知x,y满足条件 x+ y-4≤0,则z=2x+y的最大值是 ,√x2+ y2的最
x-1≥0,
小值是 .
答案 6;√2
解析 画出可行域如图所示,当y=-2x+z过点A(2,2)时,z =6;易知 表示可行域内的点(x,y)与点(0,0)的
max √x2+ y2
距离,
∴( ) = = .
√x2+ y2min √12+12 √2
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14.(2020安徽芜湖第一中学9月月考,13)已知正数x,y满足{ 2x- y≤0, 则z=4-x·(1) y 的最小值为
x-3 y+5≥0, 2
.
1
答案
16
2x- y≤0,
{
x-3 y+5≥0,
解析 作出不等式组 所表示的平面区域,
x>0,
y>0
如图中阴影部分所示(区域不含y轴).
z=4-x·(1) y =(1) 2x ·(1) y =(1) 2x+y .
2 2 2 2
令z'=2x+y,作出基本直线l:2x+y=0,
0
平移l
0
知,直线过点A(1,2)时,z'取最大值4,此时z取得最小值,z
min
=(1) 4 = 1 .
2 16
技巧点拨 目标函数的最优解一般在可行域的顶点处取得,所以对于求线性目标函数的最值问题,可以直接
求出可行域的顶点坐标,然后分别将顶点坐标代入目标函数,求出相应的值,从而可确定目标函数的最值.
{
x-4 y+3≤0,
15.(2019重庆南开中学3月测试,14)已知定点A(2,0),点P(x,y)的坐标满足 3x+5 y-25≤0,当
x-a≥0,
⃗OP·⃗OA(O为坐标原点)的最小值是2时,实数a的值是
.
|⃗OA|
答案 2
解析 作出不等式组表示的平面区域,如图(阴影部分):
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由题意知 =(x,y), =(2,0),设z=⃗OP·⃗OA=2x=x,因为 ⃗OP·⃗OA(O为坐标原点)的最小值是2,所以
⃗OP ⃗OA
|⃗OA| 2 |⃗OA|
x=2,此时点P落在直线x=a上,a=2.
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