线性规划
模块1
简单线性规划
3
模块2
含参线性规划
5
模块3
非线性目标函数
7
空间几何体进阶
模块1
空间几何体的结构
13
模块2
空间几何体的表面积与体积
16
空间的平行问题
模块1
空间中的平行关系的辨析25
模块2
线面平行的证明
30
模块3
线线平行的证明
35
空间的垂直问题
模块1
线面垂直与异面直线垂直
43
模块2
面面垂直
49
目录
Contents
截面与球的切接问题
模块1
截面问题
59
模块2
常见几何体的外接球与内切球
62
空间中的距离与夹角问题
模块1
空间中的距离问题
71
模块2
空间中的夹角问题
74
空间中的动点问题
模块1
动点存在性问题
85
模块2
动点中的最值问题
91
直线的方程与相关位置关
系
模块1
直线的基本量
99
模块2
直线的位置关系与距离公式103
圆的方程与相关位置关系
模块1
圆的方程
111
模块2
直线与圆的位置关系
114
模块3
直线与圆的综合问题
118
第8 讲
线性规划
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3
8
1
模块
1
简单线性规划
知识凝炼
一、线性规划相关概念
1
约束条件：变量x、y 要满足的条件，如果约束条件是关于变量的一次不等式组或方程，约束条件称为线性
约束条件．
2
目标函数：在约束条件下要求最值的函数z = f (x,y)，若z = ax+by，目标函数称为线性目标函数．
3
线性规划：在线性约束条件下求线性目标函数最值的问题．
4
可行解：满足约束条件的解(x,y)．
5
可行域：所有可行解组成的集合．
6
最优解：目标函数取到最大（小）值的可行解．
二、二元一次不等式组表示平面区域
1
以线定界：画出不等式对应方程所表示的直线，若原不等式可以取等则画实线，否则画虚线；
2
以点定域：将直线一侧一个位置明显的特殊点坐标代入不等式，若不等式成立则此点所在的区域为不等
式表示的区域，否则直线另一侧为不等式表示的区域；常用特殊点有(0,0)、(0,±1)、(±1,0) 等；
3
区域交集：取各个区域的公共部分，即为线性规划的可行域．
三、简单线性规划问题的解法
在确定线性约束条件和线性目标函数z = ax + by 的前提下，用图解法求最优解的步骤可概括为“画、移、
求”，即：
1
作图：在平面直角坐标系中画出可行域和直线ax+by = 0；
2
平移：平移直线ax+by = 0，确定使z = ax+by 取得最大值或最小值的点；
3
求值：求出取得z 最大值或最小值的点的坐标，代入求得对应的最值．
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4
8
精讲精练
考点1: 截距类取值范围与最值
例1
设x、y 满足约束条件
x−y+3 ⩾0
x+y ⩾0
x ⩽2
，则z = 3x+y 的最小值为
．
达标检测1
正确率：43%
若实数x,y 满足
x−y+1 ⩾0
x+y ⩾0
x ⩽0
，则目标函数z = x+2y 的取值范围是( )
A. [0,2]
B. [0,1]
C. [1,2]
D. [−2,1]
例2
若实数x,y 满足|x|
9 + |y|
4 ⩽1，则z = 2x−y 的最小值为( )
A. −18
B. −4
C. 4
D. −2
√
10
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5
8
2
模块
2
含参线性规划
精讲精练
考点2: 目标函数含参
例3
正确率：60%
已知x，y 满足不等式组
x−y ⩽1
x+2y ⩽2
x ⩾1
，且z = 2x−y+a(a 为常数) 的最大值为2，则z 的最小值为
( )
A. 1
2
B. −1
2
C. −7
6
D. 7
6
例4
正确率：66%
已知x，y 满足约束条件
x−y ⩾0
2x+3y ⩽4
y ⩾0
，若z = ax+y 的最大值为4，则a =( )
A. 2
B. 1
2
C. −2
D. −1
2
例5
已知不等式组
x−2y+1 ⩾0
x ⩽2
x+y−1 ⩾0
表示的平面区域为D，若函数y = |x−1|+m 的图象上存在区域D 上
的点，则实数m 的取值范围是
．
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6
8
例6
已知x、y 满足约束条件
x+y−2 ⩾0
x−2y−8 ⩽0
2x−y−4 ⩾0
，如果目标函数z = y+2
x−a 的取值范围为[0,2)，则实数a 的取
值范围是( )
A. a ⩾1
B. a ⩽2
C. a < 2
D. a < 1
考点3: 约束条件含参
例7
若x，y 满足约束条件
x+y ⩾1
x+2y ⩽2
x ⩽a
，目标函数z = 2x+3y 的最小值为2，则a =
．
例8
已知实数x，y 满足
y ⩾1
y ⩽2x−1
x+y ⩽m
，如果目标函数z = x−y 的最小值为−1，则实数m =( )
A. 4
B. 5
C. 7
D. 1
例9
若实数x，y 满足不等式组
x+3y−3 ⩾0
2x−y−3 ⩽0
x−my+1 ⩾0
且x+y 的最大值为9，则实数m =( )
A. −2
B. −1
C. 1
D. 2
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7
8
3
模块
3
非线性目标函数
精讲精练
考点4: 斜率类取值范围与最值
例10 已知实数x,y 满足
x+y−1 ⩽0
x−y+1 ⩾0
y ⩾−1
，则
y
x−3 的最小值
．
例11 已知实数x,y 满足
x−2y+1 ⩾0
|x|−y−1 ⩽0
，则z = 2x+y+2
x
的取值范围为( )
A.
[
0, 10
3
]
B. (−∞,2]∪
[
10
3 ,+∞
)
C.
[
2, 10
3
]
D. (−∞,0]∪
[
10
3 ,+∞
)
达标检测2
已知不等式组
x ⩾0
x−y ⩽0
4x+3y ⩽12
则z = y−1
x+1 的最大值为
.
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8
8
考点5: 距离类取值范围与最值
例12 若变量x,y 满足
x+y ⩽2
2x−3y ⩽9
x ⩾0
，则x2 +y2 的最大值是( )
A. 12
B. 10
C. 9
D. 4
达标检测3
已知变量x,y 满足约束条件
y ⩽x
x+y ⩾1
y ⩾3x−6
，则x2 +y2 +2(x−y) 的最小值为( )
A. 1
B. 1
2
C. 1
4
D. 2
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9
8
直击高考
考题
（2019 北京5）
正确率：25%
若x，y 满足|x| ⩽1−y，且y ⩾−1，则3x+y 的最大值为( )
A. −7
B. 1
C. 5
D. 7
答案
C
解析
解：由
|x| ⩽1−y
y ⩾−1
作出可行域如图阴影部分所示，
联立
y = −1
x+y−1 = 0
，解得A(2,−1)，
令z = 3x+y，化为y = −3x+z，
由图可知，当直线y = −3x+z 过点A 时，z 有最大值为3×2−1 = 5．
故选：C．
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10
8
随堂测试
测试1 若x，y 满足约束条件
2x−y ⩾0
x+y ⩽1
y+1 ⩾0
，则z = x+2y 的最大值为( )
A. −5
2
B. 0
C. 5
3
D. 5
2
测试2 已知a > 0，x，y 满足约束条件
x ⩾1
x+y ⩽3
y ⩾a(x−3)
，若z = 2x+y 的最小值为1，则a =( )
A. 1
4
B. 1
2
C. 1
D. 12
测试3 若x，y 满足约束条件
x−1 ⩾0
x−y ⩽0
x+y−4 ⩽0
，则y
x 的最大值为( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 2
3
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11
8
课堂总结
第9 讲
空间几何体进阶
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13
9
1
模块
1
空间几何体的结构
知识凝炼
1
空间几何体的概念：
(1) 空间几何体的基本元素：点、线、面．
(2) 平面：无限延展、平滑且无厚度的面，通常用一个平行四边形表示．用α,β,γ ··· 命名，或用大写字母表
示：如平面ABCD 或平面AC．
(3) 多面体：由若干个平面多边形所围成的几何体，其中这些多边形称为多面体的面，相邻两个面的公共边
叫棱，棱的公共点叫顶点，连结不同在同一个面的两个顶点的线段叫做多面体的对角线．
(4) 截面：一个几何体与一个平面相交所得到的平面图形（包括平面图形的内部）．
2
棱柱、棱锥和棱台
(1) 棱柱：以运动的观点来看：由一个平面多边形沿某一确定方向平移形成的空间几何体叫做棱柱．
正棱柱：底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱．
(2) 棱锥：以运动的观点来看：当棱柱的一个底面收缩为一个点时，得到的几何体叫做棱锥．
正棱锥：如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面射影是底面中心，这样的棱锥叫做正棱锥．
(3) 棱台：棱锥被平行于底面的一个平面所截后，截面和底面之间的部分叫做棱台．
正棱台：由正棱锥截得的棱台是正棱台．
3
圆柱、圆锥、圆台和球
将矩形、直角三角形、直角梯形分别绕着它的一边、一直角边、垂直于底边的腰所在的直线旋转一周，形成
的几何体分别叫做圆柱、圆锥和圆台．
半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周而形成的几何体叫做球（或球体），半圆旋转而成的曲面叫做球面．
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14
9
精讲精练
考点1: 多面体的几何量计算
例1
一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱．这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧
棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等．设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为h1，h2，
h，则h1 : h2 : h =( )
A.
√
3 : 1 : 1
B.
√
3 : 2 : 2
C.
√
3 : 2 :
√
2
D.
√
3 : 2 :
√
3
例2
一个正三棱台的上下底面边长分别为3cm、6cm，高是3
2 cm，求此三棱台的侧棱长和斜高．
达标检测1
正确率：53%
正三棱锥A−BCD 中，AB⊥AC，且BC = 1，则三棱锥A−BCD 的高为( )
A.
√
6
6
B.
√
3
3
C.
√
2
2
D.
√
6
3
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15
9
考点2: 旋转体的几何量计算
例3
圆台的上、下底面半径和高的比为1 : 4 : 4，母线长为10，则圆台的侧面积为( )
A. 81π
B. 100π
C. 14π
D. 169π
例4
圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为2π
3
的扇形，则这个圆锥的高是
．
达标检测2
若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π 的半圆面，则该圆锥的底面半径为
．
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16
9
2
模块
2
空间几何体的表面积与体积
精讲精练
考点3: 表面积与体积直接计算
例5
★★★
正确率：56%
一个六棱锥的体积为2
√
3，其底面是边长为2 的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为
．
例6
★★★
在一间屋内的墙角放一堆米(如图，米为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为4π，米堆的高为5，
问米堆的体积为
．
达标检测3
★★★
正确率：40%
等体积的球和正方体，它们的表面积的大小关系是( )
A. S球> S正方体
B. S球= S正方体
C. S球< S正方体
D. 不能确定
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17
9
例7
★★★★正确率：67%
如图所示，圆柱形容器的底面直径等于球的直径2R，把球放在圆柱里，注入水，使水面与球正好相切，然
后将球取出，此时容器中水的深度是( )
A. 2R
B. 4R
3
C. 2R
3
D. R
3
达标检测4
将一个底面半径为2，高为9 的圆柱形铁块熔化后重新铸造成一个半径为r 的铁球(不计损耗)，
则r 的值为
．
考点4: 转换底面求体积
例8
★★
正确率：100%
如图，ABCD−A1B1C1D1 为单位正方体，点E、F 分别在线段AA1、B1C 上，则三棱锥D1 −EDF 的体积
为
．
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18
9
例9
★★★
如图，E,F 分别为正方形ABCD 的边BC,CD 的中点，沿图中虚线将边长为2 的正方形折起来，围成一
个三棱锥，则此三棱锥的体积是( )
A. 1
3
B. 1
2
C. 1
4
D. 1
6
考点5: 割补法求体积
例10 ★★
如图，一圆柱被一平面所截，已知被截后几何体的最长侧面母线长为4，最短侧面母线长为1，且圆柱底
面半径长为2，则该几何体的体积等于
．
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19
9
例11 ★★★
已知斜三棱柱ABC −A1B1C1 的一个侧面ABB1A1 的面积为S，它与其对棱CC1 的距离为a，求这个三
棱柱的体积．
达标检测5
★★★
正确率：66%
如图，已知在多面体ABC−DEFG 中，AB，AC，AD 两两互相垂直，平面ABC// 平面DEFG，平面BEF//
平面ADGC，AB = AD = DG = 2，AC = EF = 1，则该多面体的体积为( )
A. 2
B. 4
C. 6
D. 8
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20
9
直击高考
考题
（2018 江苏10）
正确率：78%
如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为
．
答案
4
3
解析
解：如图，正方体的棱长为2，中间四边形的边长为
√
2，
八面体看做两个正四棱锥，棱锥的高为1，
则多面体的体积为：2× 1
3 ×
√
2×
√
2×1 = 4
3．
故答案为：4
3．
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21
9
随堂测试
测试1
正确率：53%
过圆锥的高的三等分点作平行于底面的截面，它们把圆锥侧面分成的三部分的面积之比为( )
A. 1 : 2 : 3
B. 1 : 3 : 5
C. 1 : 2 : 4
D. 1 : 3 : 9
测试2
正确率：56%
将半径为1，圆心角为2π
3
的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的体积为( )
A. 2
√
2π
B. 2
√
2π
81
C. 2
√
2π
27
D. 2
√
2π
3
测试3 已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围
成的几何体的体积为( )
A. 2
√
2π
3
B. 4
√
2π
3
C. 2
√
2π
D. 4
√
2π
测试4
正确率：65%
已知正四棱柱ABCD−A1B1C1D1 中,AB = 2,CC1 = 2
√
2,P,E 分别为AC1,CC1 的中点, 则三棱锥P−BDE
的体积为( )
A. 2
√
2
3
B.
√
2
C. 2
√
2
D.
√
2
3
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22
9
课堂总结
第10 讲
空间的平行问题
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25
10
1
模块
1
空间中的平行关系的辨析
知识凝炼
一、空间中的平行关系
1
空间中两直线的位置关系：
(1) 共面直线：平行直线与相交直线；
(2) 异面直线：不同在任一平面内的两条直线．
2
直线与平面的位置关系：
(1) 直线l 在平面α 内：直线上所有的点都在平面内，记作l ⊂α，如图(1)；
(2) 直线l 与平面α 相交：直线与平面有一个公共点A；记作l ∩α = A，如图(2)；
(3) 直线l 与平面α 平行：直线与平面没有公共点，记作l//α，如图(3)．
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26
10
3
两个平面的位置关系
(1) 两个平面α,β 平行：没有公共点，记为α//β；
画两个平行平面时，一般把表示平面的平行四边形画成对应边平行．
(2) 两个平面α,β 相交：有一条交线，α ∩β = l．
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27
10
二、空间中平行关系判定与性质
1
直线与平面平行的判定定理：
如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．
符号语言表述：l¬ ⊂α,m ⊂α,l//m ⇒l//α．
图象语言表述：如图．
2
直线与平面平行的性质定理：
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和两平面的交线平行．
符号语言表述：l//α,l ⊂β,α ∩β = m ⇒l//m．
图象语言表述：如图．
三、两个平面平行的判定和性质
1
两个平面平行的判定定理：
如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．如图所示．
符号语言表述：a ⊂α,b ⊂α,a∩b = A,a//β,b//β ⇒α//β．
推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，则这两个平面平行．
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28
10
2
两个平面平行的性质定理：
如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行．
符号语言表述：α//β,α ∩γ = a,β ∩γ = b ⇒a//b．
图象语言表述：如图所示．
精讲精练
考点1: 空间中平行关系的认知
例1
★★
正确率：20%
下列命题中正确的个数为( )
①若直线l 上有无数个点不在平面内，则l 平行于这个平面
②若一条直线与一个平面平行，则这条直线与这个平面内的所有直线都平行
③两条平行线中的一条与一个平面平行，则另一条也和这个平面平行
④若一条直线与一个平面内的无穷多条直线都平行，则这条直线与这个平面平行
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
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29
10
例2
★★
正确率：44%
下列命题正确的是( )
A. 夹在两平行平面间的平行线段相等
B. 夹在两平行平面间的相等线段必平行
C. 两平面分别与第三个平面相交，若这两条交线平行，则这两平面平行
D. 平行于同一直线的两平面平行
达标检测1
★★
正确率：48%
能保证直线a 与平面α 平行的条件是( )
A. b ⊂α，a//b
B. b ⊂α，c ⊂α，a//b，a//c
C. b ⊂α，A，B ∈a，C，D ∈b，且AC = BD
D. a̸ ⊂α，b ⊂α，a//b
达标检测2
★★★
正确率：78%
下列命题中，真命题是( )
A. 若a，b 是两条直线，且a//b，则a 平行于经过b 的任何平面
B. 若直线a 和平面α 满足a//α，则a 与α 内的任意直线平行
C. 若直线a，b 和平面α 满足a//α，a//b，则b//α
D. 若直线a，b 和平面α 满足a//b，a//α，b̸ ⊂α，则b//α
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30
10
2
模块
2
线面平行的证明
精讲精练
考点2: 线面平行的证明
例3
★★
如图，在四棱锥P−ABCD 中，底面ABCD 为等腰梯形，BC//AD 且BC = 2AD = 4，PA = PD = AB =
√
5，
E 为PB 的中点，O 为AD 的中点．求证：AE// 平面PCD．
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31
10
例4
★★★
如图，在四棱锥P−ABCD 中，底面ABCD 为等腰梯形，AD//BC，AB = BC = 1
2AD，E，F 分别为线段
AD，PB 的中点．证明：PD// 平面CEF．
例5
★★★
如图，四棱锥P−ABCD 的底面ABCD 是菱形，∠BCD = 60◦，PA⊥平面ABCD，E 是AB 的中点，F 是
PC 的中点．求证：BF// 平面PDE．
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32
10
达标检测3
★★★★正确率：66%
在正方体ABCD−A1B1C1D1 中，E,F,G 分别是A1B1,B1C1,BB1 的中点，给出下列三个推断：
①FG// 平面AA1D1D；
②EF// 平面BC1D1；
③FG// 平面BC1D1；
其中推断正确的序号是( )
A. ①③
B. ①②
C. ②③
D. ①②③
例6
★★★
如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1 中，M、N 分别为线段B1C、BD 上的点，且CM = DN，求证：MN// 平
面AA1B1B．
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33
10
例7
★★★★
如图，在三棱锥D−ABC 中，E、F、O 分别是AD、BD、AC 的中点，G 是OC 的中点，求证：FG// 平面
BOE．
达标检测4
★★★
正确率：90%
在空间四边形ABCD 中，E，F 分别为AB，AD 上的点，且AE : EB = AF : FD = 1 : 4，又H，G 分别是BC，
CD 的中点，则( )
A. BD// 平面EFG，且四边形EFGH 是平行四边形
B. EF// 平面BCD，且四边形EFGH 是梯形
C. HG// 平面ABD，且四边形EFGH 是平行四边形
D. EH// 平面ADC，且四边形EFGH 是梯形
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34
10
例8
★★★
如图，已知四棱锥B−ACDE 的底面为直角梯形ACDE，∠BAC = ∠ACD = 90◦，∠EAC = 60◦，AB = AC =
AE．在直线BC 上是否存在一点P，使得DP// 平面EAB？请证明你的结论．
例9
★★★
如图所示，在正方体ABCD−A1B1C1D1 中，E 是棱DD1 的中点．在棱C1D1 上是否存在一点F，使
B1F// 平面A1BE？证明你的结论．
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35
10
3
模块
3
线线平行的证明
精讲精练
考点3: 线线平行的证明
例10 ★★★
如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，点P 是平面ABCD 外的一点，在四棱锥P−ABCD 中，M 是
PC 的中点，在DM 上取一点G，过点G 和AP 作平面交平面BDM 于GH．求证：AP//GH．
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36
10
例11 ★★★
如图，正方形AMDE 的边长为2，B,C 分别为AM、MD 的中点，在五棱锥P−ABCDE 中，F 为棱PE 的
中点，平面ABF 与棱PD，PC 分别交于点G、H．求证：AB//FG；
例12 ★★★
如图，在四棱锥P−ABCD 中，四边形ABCD 是平行四边形，M，N，E 分别是AB，PC，AD 的中点，平面
EMN 交PD 于点F．
（1）求证：MN// 平面PAD．
（2）证明：MN//EF．
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37
10
直击高考
考题
（2019 新课标Ⅰ17）
如图，直四棱柱ABCD−A1B1C1D1 的底面是菱形，AA1 = 4，AB = 2，∠BAD = 60◦，E，M，N 分别是BC，
BB1，A1D 的中点．
（1）证明：MN// 平面C1DE．
（2）求二面角A−MA1 −N 的正弦值．
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38
10
答案（1）见解析
（2）见解析
解析（1）证明：如图，过点N 作NH⊥AD 交AD 于点H，则NH//AA1，且NH = 1
2AA1，
又MB//AA1，MB = 1
2AA1，
∴四边形NMBH 为平行四边形，则NM//BH，
由NH//AA1，N 为A1D 中点，
得H 为AD 中点，而E 为BC 中点，
∴BE//DH，BE = DH，
则四边形BEDH 为平行四边形，则BH//DE，
∴NM//DE，
∵NM̸ ⊂平面C1DE，DE ⊂平面C1DE，
∴MN// 平面C1DE．
（2）解：以D 为坐标原点，以垂直于DC 的直线为x 轴，DC 所在的直线为y 轴，DD1 所在的直线为z
轴建立空间直角坐标系，
则N
(√
3
2 ,−1
2,2
)
，M
(√
3,1,2
)
，A1
(√
3,−1,4
)
，
−−→
NM =
(√
3
2 , 3
2,0
)
，−−→
NA1 =
(√
3
2 ,−1
2,2
)
，
设平面A1MN 的一个法向量为−→
m = (x,y,z)，
由
−→
m ·−−→
NM =
√
3
2 x+ 3
2y = 0
−→
m ·−−→
NA1 =
√
3
2 x−1
2y+2z = 0
，
取x =
√
3，得−→
m =
(√
3,−1,−1
)
，
又平面MAA1 的一个法向量为−→n = (1,0,0)，
∴cos⟨−→
m,−→n ⟩=
−→
m ·−→n
|−→
m|·|−→n | =
√
3
√
5
=
√
15
5 ．
∴二面角A−MA1 −N 的正弦值为
√
10
5 ．
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39
10
随堂测试
测试1 已知直线a，b，平面α，满足a ⊂α，则使b//α 的条件为( )
A. b//a
B. b//a 且b̸ ⊂α
C. a 与b 异面
D. a 与b 不相交
测试2 如图，在空间四边形ABCD 中，点E、H 分别是边AB、AD 的中点，F、G 分别是边BC、CD 上的点，且
CF
CB = CG
CD = 2
3，则( )
A. EF 与GH 互相平行
B. EF 与GH 异面
C. EF 与GH 的交点M 可能在直线AC 上，也可能不在直线AC 上
D. EF 与GH 的交点M 一定在直线AC 上
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40
10
测试3 如图，正方体ABCD−A1B1C1D1 棱长为a，M，N 分别为A1B 和AC 上的点，A1M = AN =
√
2
3 a，则MN
与平面BB1C1C 的位置关系是( )
A. 相交但不垂直
B. 平行
C. 垂直
D. 不能确定
测试4
正确率：75%
如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1 中，与平面AB1C 平行的直线是( )
A. DD1
B. A1D1
C. C1D1
D. A1D
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41
10
课堂总结
第11 讲
空间的垂直问题
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43
11
1
模块
1
线面垂直与异面直线垂直
知识凝炼
1
线线垂直：如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点，并且交角为直角，则称这两条直线互相垂
直．由定义知，垂直有相交垂直和异面垂直．
2
直线与平面垂直：
①定义：如果一条直线和一个平面相交于点O，并且和这个平面内过交点的任何直线都垂直，则称这条直
线与这个平面互相垂直．
这条直线叫做平面的垂线，这个平面叫做直线的垂面，交点叫垂足．
如果一条直线垂直于一个平面，那么它就和平面内的任意一条直线垂直．
画直线与平面垂直时，通常把直线画成和表示平面的平行四边形的一边垂直，如右图．直线l 与平面α 互
相垂直，记作l⊥α．
②判定定理：如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直．
③性质定理：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行．
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44
11
精讲精练
考点1: 空间中垂直关系的认知
例1
★★★
m，n 是空间中两条不同的直线，α、β 是两个不同的平面，下列命题：
①m⊥α,n//β,α//β ⇒m⊥n；
②m⊥n,α//β,m⊥α ⇒n//β；
③m⊥n,α//β,m//α ⇒n⊥β；
④m⊥α,m//n,α//β ⇒n⊥β．
其中，真命题的序号是
．
达标检测1
★★
正确率：59%
下列选项中正确的是( )
A. 若一条直线和一个平面相交但不垂直，则这条直线和平面内任何直线都不垂直
B. 若一条直线垂直于平面内两条直线，则此直线必垂直于这个平面
C. 若一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，则此直线必垂直于这个平面
D. 若一条直线垂直于一个平面，则此直线垂直于这个平面内的所有直线
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45
11
考点2: 线面直线与异面直线垂直的证明
例2
★★★
如图，四面体P−ABC，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，过点A 作AE⊥PB 交PB 于点E，过点A 作AF⊥PC
交PC 于点F．求证：PC⊥平面AEF．
例3
★★★
在四棱锥P−ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA⊥底面ABCD，M，N 分别为PC，AB 的中点．若∠PDA =
45◦，求证：MN⊥平面PCD．
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46
11
例4
★★★★正确率：33%
下列五个正方体图形中，l 是正方体的一条体对角线，点M、N，P 分别为其所在棱的中点，能得出l⊥平
面MNP 的图形的个数有( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
达标检测2
★★★
正确率：77%
如图甲所示，在正方形ABCD 中，E、F 分别是BC、CD 的中点，G 是EF 的中点，现在沿AE、AF 及EF
把这个正方形折成一个四面体，使B、C、D 三点重合，重合后的点记为H，如图乙所示，那么，在四面体
A−EFH 中必有( )
A. AH⊥△EFH 所在平面
B. AG⊥△EFH 所在平面
C. HF⊥△AEF 所在平面
D. HG⊥△AEF 所在平面
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47
11
例5
★★★
如图，矩形ABCD，过点A 作SA⊥平面ABCD，再过点A 作AE⊥SB 交SB 于点E，过点E 作EF⊥SC
交SC 于点F．
（1）求证：AF⊥SC；
（2）若平面AEF 交SD 于点G，求证：AG⊥SD．
例6
★★★
正确率：87%
如图，在空间四边形ABCD 中，AB = BC = CD = DA．求证：AC⊥BD；
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48
11
达标检测3
★★★
正确率：53%
已知PA⊥矩形ABCD 所在的平面，PA̸ = AD，M，N 分别是AB，PC 的中点，则MN 垂直于( )
A. AD
B. CD
C. PC
D. PD
例7
★★★
正确率：54%
如图，AB 是⊙O 的直径，C 是圆周上不同于A，B 的任意一点，PA⊥平面ABC，则四面体P−ABC 的四
个面中，直角三角形的个数是( )
A. 4 个
B. 3 个
C. 2 个
D. 1 个
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49
11
2
模块
2
面面垂直
知识凝炼
1
定义：
如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直，
就称这两个平面互相垂直．
2
判定定理：如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则两个平面互相垂直．
3
性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．
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50
11
精讲精练
考点3: 面面垂直
达标检测4
★★
正确率：59%
下列选项中错误的是( )
A. 如果平面α⊥平面β，那么平面α 内所有直线都垂直于平面β
B. 如果平面α⊥平面β，那么平面α 内一定存在直线平行于平面β
C. 如果平面α 不垂直于平面β，那么平面α 内一定不存在直线垂直于平面β
D. 如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α ∩β = l，那么l⊥γ
达标检测5
★★★
正确率：40%
PA 垂直于正方形ABCD 所在平面，连接PB，PC，PD，AC，BD，则下列垂直关系正确的是( )
①平面PAB⊥平面PBC；
②平面PAB⊥平面PAD；
③平面PAB⊥平面PCD；
④平面PBD⊥平面PAC．
A. ①②③
B. ②③
C. ①②④
D. ②④
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51
11
例8
★★★
如图，三棱柱ABC −A1B1C1 中，侧棱垂直底面，∠ACB = 90◦，AC = 1
2AA1，D 是棱AA1 的中点，证明：平
面BDC1⊥平面BDC．
例9
★★★★
在四棱锥S−ABCD 中，底面ABCD 是正方形，SA⊥底面ABCD，SA = AB，点M 是SD 的中点，AN⊥SC，
且交SC 于点N，证明：平面SAC⊥平面AMN．
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52
11
例10 ★★★★
如图，四边形ABCD 是面积为2
√
3 的菱形，∠DAB 为菱形的锐角，P 是平面外的一点，△PAD 是边长为
2 的正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，M 是PC 的中点．
（1）求证：PB⊥AD；
（2）求证：平面ADM⊥平面PBC．
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53
11
直击高考
考题
（2019 新课标Ⅱ18）
如图，长方体ABCD−A1B1C1D1 的底面ABCD 是正方形，点E 在棱AA1 上，BE⊥EC1．
（1）求证：BE⊥平面EB1C1．
（2）若AE = A1E，求二面角B−EC −C1 的正弦值．
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54
11
答案（1）见解析
（2）
√
3
2
解析（1）证明：长方体ABCD−A1B1C1D1 中，B1C1⊥平面ABB1A1，BE ⊂平面ABB1A1，
∴B1C1⊥BE，
∵BE⊥EC1，且B1C1 ∩EC1 = C1，
∴BE⊥平面EB1C1．
（2）解：以C 为坐标原点，CD，CB，CC1 所在的直线分别为x，y，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
设AE = A1E = 1，
∵BE⊥平面EB1C1，
∴BE⊥EB1，
∴AB = 1，
则E (1,1,1)，A(1,1,0)，B1 (0,1,2)，C1 (0,0,2)，C(0,0,0)，
∴−−→
CC1 = (0,0,2)，−→
CE = (1,1,1)，
∵BC⊥EB1，
∴易知EB1⊥平面EBC，
故取平面EBC 的法向量为−→
m = −−→
EB1 = (−1,0,1)，
设平面ECC1 的法向量为−→n = (x,y,z)，
由
−→n ·−−→
CC1 = 0
−→n ·−→
CE = 0
，得
z = 0
x+y+z = 0
，取x = 1，得−→n = (1,−1,0)，
∴cos⟨−→
m,−→n ⟩=
−→
m ·−→n
|−→
m|·|−→n | = −1
2，
∴二面角B−EC −C1 的正弦值为
√
3
2 ．
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55
11
随堂测试
测试1
正确率：70%
空间四边形ABCD 中，若AD⊥BC，AD⊥BD，则有( )
A. 平面ABC⊥平面ADC
B. 平面ABC⊥平面ADB
C. 平面ABC⊥平面DBC
D. 平面ADC⊥平面DBC
测试2
正确率：20%
如图，在四棱锥S −ABCD 中，底面ABCD 为正方形，SA⊥平面ABCD，AC 与BD 相交于点O，点P 是
侧棱SC 上一动点，则一定与平面PBD 垂直的平面是( )
A. 平面SAB
B. 平面SAC
C. 平面SCD
D. 平面ABCD
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56
11
课堂总结
第12 讲
截面与球的切接
问题
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59
12
1
模块
1
截面问题
精讲精练
考点1: 正方体中的截面
例1
★★
如图，求作经过棱长为1 的正方体ABCD −A1B1C1D1 的棱AA1 和CC1 的中点E、F 及点D1 的截面．
并求该截面与正方体的下底面以及正方体侧面所围成的几何体的体积．
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60
12
例2
★★★
如图，求作经过棱长为1 的正方体ABCD−A1B1C1D1 的棱AB 和CC1 的中点E、F 及点D1 的截面．
达标检测1
★★★
正确率：68%
棱长为2 的正方体ABCD−A1B1C1D1 中，M 是棱DD1 的中点，过点A、M、B1 作正方体的截面，则截面
在底面A1B1C1D1 上的正投影的面积是
．
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61
12
考点2: 其他几何体的截面
例3
★★★
已知正三棱柱ABC −A1B1C1 的底面边长为1，高为1，过A1A，AC 和A1B1 的中点E，F，G 画截面．
达标检测2
★★★
在三棱锥P−ABC 中，PB = 6，AC = 3，G 为△PAC 的重心，过点G 作三棱锥的一个截面，使截面平行于
直线PB 和AC，则截面的周长为
．
例4
★★★
圆台的两底面半径分别是5cm 和10cm，高为8cm，有一个过圆台两母线的截面，且上、下底面中心到截
面与底面的交线的距离分别为3cm 和6cm，求截面面积，圆台的侧面积和体积．
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62
12
2
模块
2
常见几何体的外接球与内切球
知识凝炼
一、外接球问题
1
几何体的外接球：球外接于几何体，则几何体的各顶点和圆柱、圆锥、圆台的底面轮廓线都在球面上．球心
到各顶点和旋转体底面圆周上的点的距离都相等，且距离为球的半径．
2
解题思路：找球心．常见题目为棱锥的外接球，设底面所在平面为α，底面多边形外接圆心为O，则球心O′
在过点O 且垂直于α 的直线上．
3
常用做法：嵌入法，将几何体嵌入正方体、长方体、圆柱等几何体中，便于求出外接球半径．
(1) 嵌入正方体、长方体：三棱锥中共顶点的三条棱（面）两两垂直，或四个面均为直角三角形，或对棱相
等（等腰四面体）；
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63
12
(2) 嵌入圆柱：直棱柱，或一条侧棱垂直于底面的棱锥．
精讲精练
考点3: 外接球-嵌入法
例5
★★
正方体的棱长为a，其外接球的半径为
．
例6
长方体的边长分别为a,b,c，其外接球的半径为
．
例7
若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长分别为1，2，
√
3，则其外接球的表面积是
．
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64
12
例8
正四面体的棱长为a，其外接球的半径为
．
例9
★★★
正确率：28%
四面体A−BCD 中，AB = CD = 5 ，AC = BD =
√
34，AD = BC =
√
41，则四面体A−BCD 外接球的表面
积为( )
A. 50π
B. 100π
C. 150π
D. 200π
达标检测3
★★★
正确率：57%
三棱锥P−ABC 中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC,AC = BC = 1,PA =
√
3，则该三棱锥外接球的表面积为
( )
A. 5π
B.
√
2π
C. 20π
D. 4π
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65
12
考点4: 外接球-找球心
例10 ★★★
如图，多面体ABCD −A1B1C1D1 是棱长为1 的正方体，棱锥S −ABCD 是高为1 的正四棱锥，若点
S,A1,B1,C1,D1 在同一个球面上，则该球的表面积为
．
例11 ★★★★正确率：52%
在四面体S −ABC 中，AB⊥BC，AB = BC =
√
2，SA = SC = 2，SB =
√
6，则该四面体外接球的体积是
( )
A. 8
√
6π
B.
√
6π
C. 24π
D. 6π
达标检测4
★★★
正确率：60%
正三棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的底面边长为3，侧棱长为2
√
3，则该球的表面积为( )
A. 4π
B. 8π
C. 16π
D. 32π
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66
12
知识凝炼
1
几何体的内切球：球内切于几何体，则球在几何体内部，球心到几何体各平面距离、旋转体母线距离都相
等，且距离为内切球的半径．
2
解题思路：等体积法，球心到各顶点的连线将多面体分割成若干个棱锥，利用其体积之和等于多面体体积
求出内切球的半径；或作出示意图（轴截面或对角面），再根据题目中的数量关系利用相似三角形求解．
精讲精练
考点5: 内切球-等体积法
例12 ★★
正方体的棱长为a，其内切球的半径为
．
例13 正四面体的棱长为a，其内切球的半径为
．
例14 ★★★
一球内切于底面半径为
√
3，高为3 的圆锥，则内切球半径是
；内切球与该圆锥的体积之比为
．
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67
12
直击高考
考题
（2018 全国Ⅱ16）
已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB 所成角的余弦值为7
8，SA 与圆锥底面所成角为45◦，若△SAB 的面
积为5
√
15，则该圆锥的侧面积为
．
答案
40
√
2π
解析
解：圆锥的顶点为S，母线SA，SB 所成角θ 的余弦值为7
8，可得sinθ =
√
1−
(
7
8
)2
=
√
15
8 ．
由△SAB 的面积为5
√
15，可得1
2SA2 sinθ = 5
√
15，即1
2SA2 ×
√
15
8
= 5
√
15，即SA = 4
√
5．
由SA 与圆锥底面所成角为45◦，可得圆锥的底面半径为：
√
2
2 ×4
√
5 = 2
√
10．
则该圆锥的侧面积：1
2 ×4
√
10π×4
√
5 = 40
√
2π．
故答案为：40
√
2π．
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68
12
随堂测试
测试1 下列命题中正确的是( )
A. 平行于圆锥的一条母线的截面是等腰三角形
B. 平行于圆台的一条母线的截面是等腰梯形
C. 过圆锥顶点的截面是等腰三角形
D. 过圆台一个底面中心的截面是等腰梯形
测试2
正确率：42%
如图，在四边形ABCD 中，AB = BC = 2,∠ABC = 90◦,DA = DC =
√
6．现沿对角线AC 折起，使得平面
DAC⊥平面ABC，此时点A，B，C，D 在同一个球面上，则该球的体积是( )
A. 9
2π
B. 8
√
2
3 π
C. 27
2 π
D. 12π
测试3
正确率：20%
如果正四面体ABCD 的内切球的体积为4
√
3π，则四面体的体积为
．
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69
12
课堂总结
第13 讲
空间中的距离与
夹角问题
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71
13
1
模块
1
空间中的距离问题
知识凝炼
1
概念：从平面外一点引这个平面的垂线，该点和垂足间的距离叫作点到这个平面的距离．
2
求点面距离常用方法：
（1）定义法
（2）等体积法
（3）转化法
精讲精练
考点1: 等体积法
例1
已知在长方体ABCD−A1B1C1D1 中，棱AB = AD = 1，棱AA1 = 2．
（1）求点A1 到平面AB1D1 的距离．
（2）求点D 到平面A1BD1 的距离．
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72
13
考点2: 点面距离的两种转化
例2
正确率：59%
在棱长为1 的正方体ABCD−A1B1C1D1 中，E、F 分别为棱AA1、BB1 的中点，G 为棱A1B1 上的一点，
且A1G = λ (0 ⩽λ ⩽1)，则点G 到平面D1EF 的距离为( )
A.
√
3
B.
√
2
2
C.
√
2λ
3
D.
√
5
5
例3
如图，在三棱锥P−ABC 中，△ABC 和△PAC 都是正三角形，AC = 2，E、F 分别是AC、BC 的中点，且
PD⊥AB 于D，平面PAC⊥平面ABC．求点F 到平面PAB 的距离．
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73
13
例4
如图，多面体ABCD−A1B1C1D1 是一个平行六面体，E，F 分别是AA1，BB1 的中点，G 在A1B1 上，并且
B1G
A1G = 1
2，M 为C1G 与D1B1 的交点，已知点A1 到平面EFD1 的距离是6．
①求点M 到平面EFD1 的距离．
②求点D 到平面EFD1 的距离．
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74
13
2
模块
2
空间中的夹角问题
知识凝炼
1
异面直线所成角：
平移法，通过平移，使两条异面直线变为相交直线，进而通过余弦定理解三角形而得．
2
线面角：
通过计算直线上某点到平面的距离，进而解直角三角形而得．
关于直线上某点到平面距离的计算主要有两种方法：
（1）定义法：此法的难点在于找到平面的垂线.
①求证某直线垂直于平面
②图形中是否有面面垂直的结构，找到交线，作交线的垂线即可．
（2）用等体积法求出点到面的距离
3
二面角的平面角
（1）定义法：过二面角棱上某点，在两个半平面内分别作棱的垂线，得到平面角
（2）三垂线法构造二面角的平面角，由某个半平面内的某点M 向令一个半平面引垂线段，再由垂足N 向
二面角的棱引垂线，垂足为P，连结MP，从而得到平面角∠MPN.
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75
13
精讲精练
考点3: 求解异面直线的夹角
例5
如图，在四棱锥P−ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA⊥底面ABCD，E 是PC 的中点．已知AB = 2，
AD = 2
√
2，PA = 2．求：异面直线BC 与AE 所成的角的大小．
达标检测1
正确率：60%
如图，正方体ABCD−A1B1C1D1 中，E、F 分别是DD1、BD 的中点，则直线AD1 与EF 所成的角的余弦
值是( )
A. 1
2
B.
√
3
2
C.
√
6
3
D.
√
6
2
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76
13
例6
正确率：71%
已知正四面体ABCD 中，E 是AB 的中点，则异面直线CE 与BD 所成角的余弦值为( )
A. 1
6
B.
√
3
6
C. 1
3
D.
√
3
3
达标检测2
正确率：72%
直三棱柱ABC −A1B1C1 中，∠BCA = 90◦，M，N 分别是A1B1，A1C1 的中点，BC = CA = CC1，则BM 与
AN 所成的角的余弦值为( )
A. 1
10
B. 2
5
C.
√
30
10
D.
√
2
2
考点4: 求解直线与平面的夹角
例7
正确率：72%
如图，正方体ABCD−A1B1C1D1 中，BC1 与平面BB1D1D 所成角为
．
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77
13
达标检测3
正确率：56%
已知正三棱柱ABC −A1B1C1 的侧棱长与底面边长相等，则AB1 与侧面ACC1A1 所成角的正弦值等于
( )
A.
√
6
4
B.
√
10
4
C.
√
2
2
D.
√
3
2
例8
在三棱锥P−ABC 中，∠APB = 90◦，∠PAB = 60◦，AB = BC = CA，平面PAB⊥平面ABC，则直线PC
和平面ABC 所成角的正弦值为
．
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78
13
直击高考
考题
如图，四边形ABCD 为正方形，E，F 分别为AD，BC 的中点，以DF 为折痕把△DFC 折起，使点C 到
达点P 的位置，且PF⊥BF．
（1）证明：平面PEF⊥平面ABFD．
（2）求DP 与平面ABFD 所成角的正弦值．
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79
13
答案（1）见解析
（2）见解析
解析（1）证明：由题意，点E、F 分别是AD、BC 的中点，
则AE = 1
2AD,BF = 1
2BC，
由于四边形ABCD 为正方形，
∴EF⊥BF．
由于PF⊥BF,EF ∩PF = F，则BF⊥平面PEF．
又∵BF ⊂平面ABFD，
∴平面PEF⊥平面ABFD．
（2）在平面DEF 中，过P 点作PH⊥EF 于点H，连接DH，
由(1) 可得，平面PEF⊥平面ABCD，
由于EF 为平面ABCD 和平面PEF 的交线，PH⊥EF，
∴∠PDH 为直线PD 与平面ABFD 所成的角，
则PH⊥平面ABFD，故PH⊥DH．
在三棱锥P−DEF 中，可以利用等体积法求PH，
∵DE//BF 且PF⊥BF，
∴PF⊥DE，
又∵△PDF≌△CDF，
∴∠FPD = ∠FCD = 90◦，
∴PF⊥PD，
由于DE ∩PD = D，则PF⊥平面PDE，
故VF−PDE = 1
3PF ·S△PDE，
∵BF//DA 且BF⊥平面PEF，
∴DA⊥平面PEF，
∴DE⊥EP．
设正方形边长为2a，则PD = 2a,DE = a，
在△PDE 中，PE =
√
3a，
∴S△PDE =
√
3
2 a2，
故VF−PDE =
√
3
6 a3，
又∵S△DEF = 1
2a·2a = a2，
∴PH = 3VF−PDE
a2
=
√
3
2 a，
∴在△PHD 中，sin∠PDH = PH
PD =
√
3
4 ，
DP 与平面ABFD 所成角的正弦值为：
√
3
4 ．
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80
13
随堂测试
测试1
正确率：91%
在正三棱柱ABC −A1B1C1 中，若AB = 2，AA1 = 1，则点A 到平面A1BC 的距离为( )
A.
√
3
4
B.
√
3
2
C. 3
√
3
4
D.
√
3
测试2
正确率：80%
如图，在棱长为2 的正方体ABCD−A1B1C1D1 中，M 是A1B1 的中点，点P 是侧面CDD1C1 上的动点，
且MP// 截面AB1C，则线段MP 长度的取值范围是( )
A.
[√
2,
√
6
]
B.
[√
6,2
√
2
]
C.
[√
6,2
√
3
]
D.
[√
6,3
]
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81
13
测试3
正确率：84%
空间四边形SABC 中，各边及对角线长都相等，若E、F 分别为SC、AB 的中点，那么异面直线EF 与SA
所成的角为( )
A. 30◦
B. 45◦
C. 60◦
D. 90◦
测试4
正确率：91%
在三棱柱ABC −A1B1C1 中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D 是侧面BB1C1C 的中心，则AD 与平面
BB1C1C 所成角的大小是( )
A. 30◦
B. 45◦
C. 60◦
D. 90◦
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82
13
课堂总结
第14 讲
空间中的动点问
题
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85
14
1
模块
1
动点存在性问题
知识凝炼
1
在立体几何问题中，当一个点在一定的约束条件下位置可以变动时，称这类问题为“动点问题”．动点问题
综合性很强，一般的思路是进行“转化”：将问题特殊化、空间问题平面化，多需要进行分类讨论．
2
动点存在性问题的两种解题方法：
(1) 根据题目的已知条件进行综合分析和观察猜想，找出点或线的位置关系，然后加以证明，得出结论．
(2) 假设所求的点或线存在，并设定参数表达已知条件，根据题目进行求解，若能求出参数的值且符合已知
限定的范围，则存在这样的点或线，否则不存在．
精讲精练
考点1: 动点位置问题
例1
★★
已知四边形ABCD 是矩形，AB = 4，AD = 3，沿AC 将△ADC 向上折起，使D 为D′，且平面AD′C⊥平
面ABC，F 是AD′ 的中点，E 是AC 上一点，给出下列结论：
①存在点E，使得EF// 平面BCD′
②存在点E，使得EF⊥平面ABC
③存在点E，使得D′E⊥平面ABC
④存在点E，使得AC⊥平面BD′E
其中正确结论的序号是
．
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86
14
达标检测1
★★★
正确率：55%
如图所示，在正方体ABCD−A1B1C1D1 中，点E 是棱CC1 上的一个动点，平面BED1 交棱AA1 于点F．
则下列命题中假命题是( )
A. 存在点E，使得A1C1// 平面BED1F
B. 存在点E，使得B1D⊥平面BED1F
C. 对于任意的点E，平面A1C1D⊥平面BED1F
D. 对于任意的点E，四棱锥B1 −BED1F 的体积均不变
考点2: 动点轨迹问题
例2
★★★
如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1 中，E，F，G，H，M 分别是棱AD,DD1,D1A1,A1A,AB 的中点，点N 在
四边形EFGH 的四边及其内部运动，则当N 只需满足条件
时，就有MN⊥A1C1；当N 只需满
足条件
时，就有MN// 平面B1D1C．
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87
14
例3
★★★
正确率：60%
若在正方体ABCD−A1B1C1D1 中，Q 是正方形B1BCC1 内的动点，满足A1Q⊥BC1，则点Q 的轨迹是
( )
A. 点B1
B. 线段B1C
C. 线段B1C1
D. 平面B1BCC1
达标检测2
★★★
正确率：49%
若在正方体ABCD−A1B1C1D1 中，点P 在四边形B1BCC1 及其边界上运动，并且总保持AP⊥BD1，则动
点P 的轨迹是( )
A. 线段B1C
B. 线段BC1
C. BB1 的中点与CC1 的中点的连线
D. BC 的中点与B1C1 的中点的连线
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88
14
例4
★★★
正确率：70%
如图，在四棱锥P−ABCD 中，侧面PAD⊥底面ABCD，点M 是底面正方形ABCD 内的一个动点，且满
足MP = MB，△PAD 是等边三角形，则点M 在底面ABCD 上的轨迹为( )
达标检测3
★★★
正确率：63%
如图，正三角形PAD 所在平面与正方形ABCD 所在平面互相垂直，O 为正方形ABCD 的中心，M 为正
方形ABCD 内一点，且满足MP = MB，OP̸ = OB，则点M 的轨迹为( )
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89
14
例5
★★★
正确率：60%
四棱柱ABCD−A1B1C1D1 的底面为正方形，侧棱与底面垂直，点P 是侧棱DD1 的中点，AA1 = 2，AB =
1，若点Q 在侧面BCC1B1(包括其边界) 上运动，且总保持AQ⊥BP，BP⊥AC，则动点Q 的轨迹是( )
例6
★★★★正确率：45%
如图，在直三棱柱ABC −A′B′C′ 中，△ABC 为边长为2 的等边三角形，AA′ = 4，点E、F、G、H、M 分别是
边AA′、AB、BB′、A′B′、BC 的中点，动点P 在四边形EFGH 内部运动，并且始终有MP// 平面ACC′A′，
则动点P 的轨迹长度为( )
A. 2
B. 2π
C. 2
√
3
D. 4
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90
14
达标检测4
★★★
正确率：65%
已知正方体ABCD−A1B1C1D1 的棱长为2，E 是棱C1D1 的中点，点F 在正方体内部或正方体的表面
上，且EF// 平面A1BC1，则动点F 的轨迹所形成的区域面积是( )
A. 9
2
B. 2
√
3
C. 3
√
3
D. 4
√
2
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91
14
2
模块
2
动点中的最值问题
精讲精练
考点3: 最值问题
例7
★★★
正确率：60%
如图，点E，F 分别为棱长为1 的正方体的棱A1B1、B1C1 的中点，点G，H 分别为对角线AC 和棱DD1
上的动点(包括端点)，则四面体EFGH 的体积( )
A. 既存在最大值，也存在最小值
B. 为定值
C. 只存在最大值
D. 只存在最小值
例8
★★★★正确率：49%
在棱长为1 的正方体ABCD−A1B1C1D1 中，点P1，P2 分别是线段AB，BD1(不包括端点) 上的动点，且线
段P1P2 平行于平面A1ADD1，则四面体P1P2AB1 的体积的最大值是( )
A. 1
24
B. 1
12
C. 1
6
D. 1
2
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92
14
达标检测5
★★★
正确率：62%
如图，在棱长为1 的正方体ABCD−A1B1C1D1 中，点E，F 分别是棱BC，CC1 的中点，P 是侧面BCC1B1
内一点．若A1P// 平面AEF，则线段A1P 长度的取值范围是( )
A.
[
1,
√
5
2
]
B.
[
3
√
2
4 ,
√
5
2
]
C.
[√
5
2 ,
√
2
]
D.
[√
2,
√
3
]
例9
★★★
正确率：59%
如图所示，在棱长为2 的正方体ABCD −A1B1C1D1 的面对角线A1B 上存在一点P 使得AP + D1P 最
短，则AP+D1P 的最小值为( )
A. 4
B.
√
2+
√
6
C. 8+4
√
2
D. 2
√
2+
√
2
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93
14
例10 ★★★★
如图，直三棱柱ABC −A1B1C1 中，AB = 2，BC =
√
3，AC = 1，AA1 = 3，F 为线段AA1 上的一动点，则当
BF +FC1 最小时，△BFC1 的面积为
．
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94
14
直击高考
考题
（2018 新课标Ⅲ10）
设A，B，C，D 是同一个半径为4 的球的球面上的四个点，△ABC 为等边三角形且面积为9
√
3，则三棱
锥D−ABC 的体积的最大值为( )
A. 12
√
3
B. 18
√
3
C. 24
√
3
D. 54
√
3
答案
B
解析
解：由△ABC 为等边三角形且面积为9
√
3，可得
√
3
4 AB2 = 9
√
3，解得AB = 6，
球心为O，三角形ABC 的外心为O′，显然D 是O′O 的延长线与球的交点，如图，
O′C = 2
3 ×
√
3
2 ×6 = 2
√
3，OO′ =
√
42 −(2
√
3)
2 = 2，
则三棱锥D−ABC 高的最大值为：6，
则三棱锥D−ABC 体积的最大值为：1
3 ×9
√
3×6 = 18
√
3．
故选：B．
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95
14
随堂测试
测试1
正确率：74%
如图，在棱长为2 的正方体ABCD−A1B1C1D1 中，点M 是A1B1 的中点，点P 是侧面CDD1C1 上的动
点，且MP// 截面AB1C，则线段MP 长度的取值范围是( )
A.
[√
2,
√
6
]
B.
[√
6,2
√
2
]
C.
[√
6,2
√
3
]
D.
[√
6,3
]
测试2 如图，棱长为2 的正方体ABCD−A1B1C1D1 中，E 为CC1 的中点，点P，Q 分别为平面A1B1C1D1 和线
段B1C 上的动点，则△PEQ 周长的最小值为( )
A. 2
√
2
B.
√
10
C.
√
11
D.
√
12
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96
14
测试3
正确率：77%
如图，正方体ABCD−A1B1C1D1 的棱长为1，P，Q 分别是线段AD1 和B1C 上的动点，且满足AP = B1Q，
则下列结论错误的是( )
A. 存在P，Q 的某一位置，使AB//PQ
B. △BPQ 的面积为定值
C. 当PA > 0 时，直线PB1 与AQ 是异面直线
D. 无论P，Q 运动到任何位置，均有BC⊥PQ
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97
14
课堂总结
第15 讲
直线的方程与相
关位置关系
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99
15
1
模块
1
直线的基本量
知识凝炼
1
直线的倾斜角的概念：
当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α 叫做直线l 的倾斜
角．特别地，当直线l 与x 轴平行或重合时，规定α = 0．因此倾斜角α 的取值范围是[0,π)．
2
直线的斜率：
一条直线的倾斜角α(α̸ = π
2 ) 的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k 表示，也就是k = tanα．
3
直线的斜率公式：
设点A(x1,y1)，点B(x2,y2) 是直线上任意两点，则直线的斜率公式：k = y2 −y1
x2 −x1
(x1̸ = x2)．
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100
15
4
直线方程的五种形式：
精讲精练
考点1: 倾斜角与斜率
例1
★★
正确率：83%
设k 是直线l 的斜率，θ 是直线l 的倾斜角，若30◦⩽θ < 120◦，则k 的取值范围是( )
A.
[
−
√
3,
√
3
3
]
B.
[√
3
3 ,1
]
C.
(
−∞,−
√
3
)
∪
[√
3
3 ,+∞
)
D.
[√
3
3 ,+∞
)
例2
★★★
正确率：74%
设某直线l 的斜率为k，且k ∈
(
−
√
3,
√
3
3
)
，则该直线的倾斜角α 的取值范围是( )
A.
(
π
3 , 5π
6
)
B.
(
π
6 , 2π
3
)
C.
[
0,π
3
)
∪
(
5π
6 ,π
)
D.
[
0,π
6
)
∪
(
2π
3 ,π
)
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101
15
达标检测1
★★★
正确率：66%
设直线l1，l2 的倾斜角分别为θ1，θ2，斜率分别为k1，k2，且θ1 +θ2 = 90◦，则k1 +k2 的最小值为( )
A. 2
B. −2
C.
√
2
D. 不存在
例3
★★★
正确率：76%
已知点A(2,1)，B(−2,−1)，若恒过定点P(1,3) 的直线l 与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范
围是( )
A.
[
3
4,+∞
)
B. (−∞,−2]
C. (−∞,−2]∪
[
4
3,+∞
)
D.
[
−2, 4
3
]
例4
★★★
已知实数x，y 满足y = x2 −2x+2(−1 ⩽x ⩽1)，试求y+3
x+2 的最大值和最小值．
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102
15
考点2: 直线方程的五种形式
例5
★★★
正确率：65%
已知直线l 过直线2x+y−5 = 0 和直线x+2y−4 = 0 的交点，且在两坐标轴上的截距互为相反数，则
直线l 的方程为( )
A. x−y−1 = 0
B. x+y−3 = 0 或x−2y = 0
C. x−y−1 = 0 或x−2y = 0
D. x+y−3 = 0 或x−y−1 = 0
达标检测2
★★★
正确率：83%
斜率为3
4，且与坐标轴所围成的三角形的面积是6 的直线方程为( )
A. 3x+4y−12 = 0
B. 3x−4y−12 = 0
C. 3x−4y+12 = 0
D. 3x−4y+12 = 0 或3x−4y−12 = 0
例6
★★★★
已知直线l 过点P(6,4)，且分别与x 轴、y 轴的正半轴交于A，B 两点，求△AOB 面积的最小值，并求此
时的直线方程．
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103
15
2
模块
2
直线的位置关系与距离公式
知识凝炼
1
直线的位置关系：
2
距离公式：
(1) 点P(x0,y0) 到直线l : Ax+By+C = 0 的距离d 的计算公式：d = |Ax0 +By0 +C|
√
A2 +B2
．
(2) 两条平行线l1 : Ax+By+C1 = 0，l2 : Ax+By+C2 = 0 之间的距离为d，则d = |C1 −C2|
√
A2 +B2 ．
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104
15
3
直线过定点问题：
（1）点斜式法：
将直线方程化成y−y0 = k(x−x0) 的形式，则定点坐标为(x0,y0).
（2）分离系数法：
若已知方程式是有一个参数m 的直线系方程，则我们可以把系数中的m 分离出来，化为f (x,y)+
mg(x,y) = 0 的形式，由
f (x,y) = 0
g(x,y) = 0
解出x 和y 的值，得到定点坐标.
（3）特殊值法：
取参数的两个特殊值可得两条直线的方程，求出它们的交点后，再验证交点坐标适合所给直线方程.
精讲精练
考点3: 直线的位置关系与距离公式
例7
★★
已知直线l1：(a+3)x+4y = 5−3a 与l2：2x+(a+5)y = 8，则当a 为何值时，直线l1 与l2：
（1）平行．
（2）垂直．
（3）相交
例8
★★★
正确率：59%
已知直线l1：ax+4y−2 = 0 与直线l2：2x−5y+b = 0 垂直，垂足为(1,c)，则a+b+c 的值为( )
A. −4
B. 20
C. 0
D. 24
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105
15
达标检测3
★★★
正确率：56%
已知直线x+a2y+6 = 0 与直线(a−2)x+3ay+2a = 0 平行，则a 的值为( )
A. 0 或3 或−1
B. 0 或3
C. 3 或−1
D. 0 或−1
例9
★★★
已知点A(4,−3)，点B(2,−1) 和直线l：4x+3y−2 = 0，求一点P，使|PA| = |PB|，且点P 到直线l 的距
离等于2．
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106
15
达标检测4
★★★
正确率：63%
若点P(3,a) 到直线x+
√
3y−4 = 0 的距离为1，则a 的值为( )
A.
√
3
B. −
√
3
3
C.
√
3
3
或−
√
3
D.
√
3 或−
√
3
3
例10 ★★★
正确率：65%
不论m 为何值，直线(m−1)x+(2m−1)y = m−5 恒过定点( )
A.
(
1,−1
2
)
B. (−2,0)
C. (2,3)
D. (9,−4)
达标检测5
★★★
正确率：80%
不论m 为何值，直线(m−2)x−y+3m+2 = 0 恒过定点( )
A. (3,8)
B. (8,3)
C. (−3,8)
D. (−8,3)
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107
15
直击高考
考题
（2019 北京3）
已知直线l 的参数方程为
x = 1+3t
y = 2+4t
(t 为参数)，则点(1,0) 到直线l 的距离是( )
A. 1
5
B. 2
5
C. 4
5
D. 6
5
答案
D
解析
解：由
x = 1+3t
y = 2+4t
(t 为参数)，消去t，可得4x−3y+2 = 0．
则点(1,0) 到直线l 的距离是d = |4×1−3×0+2|
√
42 +(−3)2
= 6
5．
故选：D．
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15
随堂测试
测试1
正确率：70%
直线y = −x+2 的倾斜角是( )
A. −π
4
B. π
4
C. 3π
4
D. 5π
6
测试2
正确率：74%
已知直线方程为(2+m)x+(1−2m)y+4−3m = 0．这条直线恒过一定点，这个定点坐标为( )
A. (−2m,−m−4)
B. (5,1)
C. (−1,−2)
D. (2m,m+4)
测试3
正确率：40%
若直线x+(1+m)y+m−2 = 0 与直线2mx+4y+16 = 0 平行，则m 的值等于( )
A. 1
B. −2
C. 1 或−2
D. −1 或−2
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109
15
课堂总结
第16 讲
圆的方程与相关
位置关系
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111
16
1
模块
1
圆的方程
知识凝炼
1
圆的标准方程：
以点C(a,b) 为圆心，r 为半径的圆的方程：(x−a)2 +(y−b)2 = r2，如图1-1 所示；
特别地，圆心在原点的圆的标准方程：x2 +y2 = r2，如图1-2 所示．
图1-1
图1-2
2
圆的一般方程：
x2 +y2 +Dx+Ey+F = 0（D2 +E2 −4F > 0）；
将圆的方程x2 +y2 +Dx+Ey+F = 0（D2 +E2 −4F > 0）配方，得：
(
x+ D
2
)2
+
(
y+ E
2
)2
= 1
4
(
D2 +E2 −4F
)
，
(
−D
2 ,−E
2
)
为圆心，1
2
√
D2 +E2 −4F 为半径．
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112
16
精讲精练
考点1: 圆的方程
例1
★★
判断下列方程是否表示圆，若是，求出圆心和半径：
（1）x2 +y2 −x+ 1
4 = 0；
（2）x2 +y2 +2ax = 0(a̸ = 0)；
（3）x2 +y2 +20x+162 = 0；
（4）x2 +y2 +2ay−1 = 0；
（5）x2 +y2 −2(t +3)x+2
(
1−4t2)
y+16t4 +9 = 0(t ∈R)．
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113
16
达标检测1
★★★
若方程x2 +y2 −4x+2y+5k = 0 表示圆，则实数k 的取值范围是( )
A. (−∞,1)
B. (−∞,1]
C. [1,+∞)
D. R
例2
★★★
正确率：90%
已知圆C 的圆心在x 轴正半轴上，点
(
0,
√
5
)
在圆C 上，且圆心到直线2x −y = 0 的距离为4
√
5
5 ，则
圆C 的方程为
．
例3
★★★
正确率：62%
曲线C : x2 +y2 +2ax−4ay+5a2 −4 = 0 上所有的点均在第二象限内，则a 的取值范围为( )
A. (−∞,−2)
B. (−∞,−1)
C. (1,+∞)
D. (2,+∞)
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16
2
模块
2
直线与圆的位置关系
知识凝炼
直线与圆的位置关系的判断
①几何法：若圆心到直线的距离为d，圆的半径为r，那么只须判断d 与r 的大小关系；
②代数法：将直线方程与圆的方程联立成方程组，利用消元法消去一个元后，得到关于另一个元的一元二
次方程，求出判别式∆的符号．
圆的切线的求法
①已知圆上的一点求切线：利用切点与圆心的连线与切线垂直求得切线的斜率，从而由点斜式求得切线
的方程．
实际上有如下结论：
（1）当点(x0,y0) 在圆x2 +y2 = r2 上时，切线方程为xx0 +yy0 = r2；
（2）当点(x0,y0) 在圆(x−a)2 +(y−b)2 = r2 上，切线方程为(x0 −a)(x−a)+(y0 −b)(y−b) = r2．
②未知切点的情形：若切点未知，则须根据所给条件设出切线方程，利用d = r 求解．注意斜率不存在的
情形．
弦长问题：
设直线l 的方程为y = kx+b，圆的方程为(x−x0)2 +(y−y0)2 = r2，求弦长的方法有以下两种：
（1）几何法：如图4.2.1-1 所示，过圆心O 作l 的垂线，由圆的性质知垂足G 为线段EF 的中点. 在
Rt△OGF 中，|GF|2 = r2 −d2，则弦长|EF| = 2|GF| = 2
√
r2 −d2.
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16
（2）代数法：将直线方程与圆的方程联立成方程组，设交点坐标分别为E (x1,y1),F (x2,y2).
①若交点坐标简单易求，则直接利用两点间的距离公式进行求解.
②将方程组
y = kx+b
(x−x0)2 +(y−y0)2 = r2
消元后得一元二次方程，由一元二次方程中根与系数的关系可
得x1 +x2,x1 ·x2 或y1 +y2,y1 ·y2 的关系式，则有：|EF| =
√
(x1 −x2)2 +(y1 −y2)2
=
√
1+ 1
k2 |y1 −y2|
=
√(
1+ 1
k2
)[
(y1 +y2)2 −4y1y2
]
通常把|EF| =
√
1+k2 |x1 −x2| 或|EF| =
√
1+ 1
k2 |y1 −y2| 叫做弦长公式.
精讲精练
考点2: 切线问题
例4
★★
经过点P(3,−4) 且与圆x2 +y2 = 25 相切的直线方程是
．
达标检测2
★★
正确率：72%
经过点M
(
2,
√
6
)
的圆x2 +y2 = 10 的切线方程是( )
A. x+
√
6y−10 = 0
B.
√
6x−2y+10 = 0
C. x−
√
6y+10 = 0
D. 2x+
√
6y−10 = 0
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16
例5
★★★
垂直于直线x−3y+1 = 0 且与圆x2 +y2 = 10 相切的直线的方程是( )
A. x−3y+10 = 0 或x−3y−10 = 0
B. 3x+y+10 = 0 或3x+y−10 = 0
C. x−3y+
√
10 = 0 或x−3y−
√
10 = 0
D. 3x+y+
√
10 = 0 或3x+y−
√
10 = 0
达标检测3
★★★
正确率：61%
过点(3,1) 作圆(x−1)2 +y2 = 1 的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB 的方程为( )
A. 2x+y−3 = 0
B. 2x−y−3 = 0
C. 4x−y−3 = 0
D. 4x+y−3 = 0
例6
★★★
正确率：70%
由直线3x−4y+16 = 0 上的点向圆C : x2 +y2 −6x+8 = 0 引切线，则切线长的最小值为( )
A. 1
B. 2
√
2
C. 2
√
6
D. 3
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16
考点3: 弦长问题
例7
★★
过原点且倾斜角为30◦的直线被圆x2 +(y−2)2 = 4 所截得的弦长为( )
A. 1
B.
√
2
C.
√
3
D. 2
达标检测4
★★★
正确率：86%
已知圆C 的方程为x2 +y2 −4x−2y = 0，若倾斜角为π
4 的直线l 被圆C 所截得的弦长为2
√
3，则直线
l 的方程为( )
A. y = x+1
B. y = x−3
C. y = x+1 或y = x−3
D. y = x+1 或y = x+3
例8
★★★★正确率：54%
直线y = x+m 与圆x2 +y2 = 16 交于不同的两点M，N，且
−−→
MN
⩾
√
3
−−→
OM +−→
ON
，其中O 是坐标原点，
则实数m 的取值范围是( )
A.
(
−2
√
2,−
√
2
]
∪
[√
2,2
√
2
)
B.
(
−4
√
2,−2
√
2
]
∪
[
2
√
2,4
√
2
)
C. [−2,2]
D.
[
−2
√
2,2
√
2
]
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16
3
模块
3
直线与圆的综合问题
精讲精练
考点4: 直角的转化
例9
★★★
正确率：65%
已知点A(−2,0)，B(0,4) ，点P 在圆C：(x−3)2 +(y−4)2 = 5 上，则使∠APB = 90◦的点P 的个数为
( )
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
达标检测5
★★★
正确率：76%
已知圆C：(x−1)2 +(y−4)2 = 10 和点M (5,t)，若圆C 上存在两点A，B，使得MA⊥MB，则实数t 的取
值范围为( )
A. [−2,6]
B. [−3,5]
C. [2,6]
D. [3,5]
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16
考点5: 最值问题
例10 ★★★★
已知点P 为圆C：(x−2)2 +(y−3)2 = 4 上一点，点A(5,0)，点B(3,4)，直线l1 : x+y−1 = 0，直线
l2 : x−y+2 = 0，求：
（1）|AP|max 与|AP|min．
（2）|BP|max 与|BP|min．
（3）点P 到直线l1 的最大值与最小值．
（4）点P 到直线l2 的距离的最大、最小值．
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直击高考
考题
（2019 浙江12）
已知圆C 的圆心坐标是(0,m)，半径长是r．若直线2x−y+3 = 0 与圆C 相切于点A(−2,−1)，则
m =
，r =
．
答案
−2
√
5
解析
解：如图，
由圆心与切点的连线与切线垂直，得m+1
2
= −1
2，解得m = −2．
∴圆心为(0,−2)，则半径r =
√
(−2−0)2 +(−1+2)2 =
√
5．
故答案为：−2，
√
5．
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16
随堂测试
测试1 圆心在直线x = 2 上的圆C 与y 轴交于两点A(0,−4)，B(0,−2)，则圆C 的方程为( )
A. (x−2)2 +(y+3)2 = 5
B. (x−2)2 +(y+2)2 = 8
C. (x−3)2 +(y+2)2 = 9
D. (x−2)2 +(y+1)2 = 5
测试2 已知直线l：ax−y−a+3 = 0 和圆C：x2 +y2 −4x−2y−4 = 0，则直线l 和圆C 的位置关系是( )
A. 相交
B. 相切
C. 相离
D. 都有可能
测试3 过点
(√
2,0
)
的直线l 与曲线y =
√
1−x2 相交于A，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大
值时，直线l 的斜率等于( )
A.
√
3
3
B. −
√
3
3
C. ±
√
3
3
D. −
√
3
高一数学·目标985 班（必修5+ 必修2）·春
122
16
课堂总结
1119092514014
