北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
§9.3 椭圆
专题检测
1.在矩形ABCD中,|AB|=4,|BC|=3,则以A,B为焦点,且过C,D两点的椭圆的短轴的长为 ( )
A.2√3 B.2√6 C.4√2 D.4√3
答案 D 依题意得|AC|=5,椭圆的焦距2c=|AB|=4,长轴长2a=|AC|+|BC|=8,所以短轴长2b=2 =2
√a2-c2
√16-4=4√3.
2.(2018广西桂林、柳州联考,10)已知点P是以F,F
为焦点的椭圆x2 +y2
=1(a>b>0)上一点,若
1 2
a2 b2
PF⊥PF,tan∠PFF=2,则椭圆的离心率e= ( )
1 2 2 1
√5 1 2 1
A. B. C. D.
3 3 3 2
答案 A 依题意,设|PF 2 |=m,则有|PF 1 |=2m,|F 1 F 2 |= √5 m,则椭圆的离心率e= |F 1 F 2 | =√5m=
|PF |+|PF | 3m
1 2
√5
.故选A.
3
x2 y2
3.(2018湖北重点中学4月联考,7)已知椭圆 + =1的左、右焦点分别为F、F,过F 且垂直于长轴的直
1 2 2
4 3
线交椭圆于A,B两点,则△ABF 内切圆的半径为 ( )
1
4 4 3
A. B.1 C. D.
3 5 4
x2 y2
答案 D 不妨设A点在B点上方,由题意知: F(1,0),将F 的横坐标代入椭圆方程 + =1中,可得A点纵
2 2
4 3
3 2S 6 3
坐标为 ,故|AB|=3,所以内切圆半径r= = = (其中S为△ABF 的面积,C为△ABF 的周长).故选D.
1 1
2 C 8 4
2b2 1
一题多解 由椭圆的通径公式得|AB|= a =3,则S △ABF 1 = 2 ×2×3=3,又易得△ABF 1 的周长C=4a=8,则由
1 3
S = C·r可得r= .故选D.
△ABF 1 2 4
x2 y2
4.(2020陕西百校联盟9月联考,10)已知椭圆C: + =1的左、右焦点分别为F,F,直线l过点F 且与椭圆
1 2 2
8 2
C交于M,N两点,且⃗MA=⃗AN,若|OA|=|AF|,则直线l的斜率为 ( )
2
1 1 1
A.±1 B.± C.± D.±
2 3 4
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{x2 y2
1+ 1=1,
8 2 (x -x )(x +x )
答案 B 设M(x,y),N(x,y),则 两式相减可得 1 2 1 2 +
1 1 2 2
x2 y2 8
2+ 2=1,
8 2
(y
1
- y
2
)(y
1
+ y
2
) =0,又由题意知A为线段MN的中点,故A(x
1
+x
2,
y
1
+ y
2
),故k
OA
·k
MN
=-1,因为|
2 2 2 4
1 1
OA|=|AF|,所以k =-k ,所以k =± ,故直线l的斜率为± .
2 OA MN MN
2 2
5.(2018广东惠州三调,16)设A、B为椭圆x2 +y2
=1(a>b>0)的左、右顶点,若在椭圆上存在异于A,B的点P,
a2 b2
使得⃗PO·⃗PB=0,其中O为坐标原点,则椭圆的离心率e的取值范围是 .
答案 (√2 )
,1
2
解析 由题意知A(-a,0),B(a,0),设P(x,y),则⃗PO=(-x,-y),⃗PB=(a-x,-y),又⃗PO·⃗PB=0,∴(a-x)(-x)+y2=0,得y2=ax-
x2>0,∴0<x<a.将y2=ax-x2代入x2 +y2
=1,整理得(b2-a2)x2+a3x-a2b2=0,由题意知该方程在(0,a)上有解.
a2 b2
设f(x)=(b2-a2)x2+a3x-a2b2,∵f(0)=-a2b2<0, f(a)=0,
{
Δ≥0,
∴只需 a3 解得a2>2b2,
0<- <a,
2(b2-a2)
又b2=a2-c2,∴c2 >1,
a2 2
√2
又0<e<1,∴ <e<1.
2
解题关键 求出点P的轨迹方程,并将问题转化为一元二次方程在一区间上有解的问题是解题的关键.
x2
6.(2017湖南东部六校4月联考,15)设P,Q分别是圆x2+(y-1)2=3和椭圆 +y2=1上的点,则P、Q两点间的最
4
大距离是 .
7√3
答案
3
解析 依据圆的性质可知,P,Q两点间的最大距离可以转化为圆心到椭圆上点的距离的最大值加上圆的半径
,设Q(x,y),则圆心(0,1)到椭圆上点的距离为d= = =
√3 √x2+(y-1)2 √-3 y2-2y+5
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√ -3 ( y+ 1) 2 + 16,∵-1≤y≤1,∴当y=-1 时,d取最大值4√3,所以P、Q两点间的最大距离为d max + √3 =
3 3 3 3
7√3
.
3
解题关键 通过圆的性质把P、Q两点间的最大距离转化为圆心到椭圆上点的距离的最大值加上圆的半径
是求解本题的关键.
x2 y2
7.(2018江苏高邮高三期初)已知椭圆 + =1上一点P到其右焦点F 的距离为5,则点P到其左准线的距
2
16 9
离为 .
12√7
答案
7
解析 易知e=√c2 =√7 ,设椭圆的左焦点为F,则|PF|=2a-|PF|=8-5=3,设点P到左准线的距离为d,
1 1 2
a2 4
|PF | 3 √7 12√7
1
由椭圆的第二定义可得 = = ,解得d= .
d d 4 7
12√7
即点P到左准线的距离为 .
7
x2
8.(2020吉林梅河口五中4月月考,16)椭圆C: +y2=1的左,右焦点分别为F,F,点M为其上的动点,当∠FMF
1 2 1 2
4
为钝角时,点M的纵坐标的取值范围是 .
答案 [ √3)∪(√3 ]
-1,- ,1
3 3
解析 设M(x,y).由题意知F(-√3,0),F(√3,0),∠FMF 为钝角⇔cos∠FMF=
1 2 1 2 1 2
|M F
1
|2+|M F
2
|2-|F
1
F
2
|2 <0⇔|MF
1
|2+|MF
2
|2<|F
1
F
2
|2⇔(x+
√3
)2+y2+(x-
√3
)2+y2<12,因为点M(x,y)
2|M F |·|M F |
1 2
在椭圆上,所以x2 +y2=1,-1≤y≤1,可解得点M纵坐标y的取值范围为[ √3)∪(√3 ].
-1,- ,1
4 3 3
x2 y2
9.(2017江苏仪征中学期初检测,12)已知椭圆C: + =1,设点M是与椭圆C的焦点不重合的一点.若点M
9 4
关于椭圆C的焦点的对称点分别为A,B,线段MN的中点在椭圆C上,则|AN|+|BN|= .
答案 12
解析 设椭圆的左、右焦点为F,F,点M关于F,F 的对称点为B,A,如图,则由三角形中位线得|AN|=2|QF|,|
1 2 1 2 2
NB|=2|QF|.
1
由于|QF|+|QF|=2a=6,所以|AN|+|NB|=12.
2 1
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思路分析 画出椭圆及对应点,利用椭圆定义求解.
x2 y2
10.(2017江苏如东高级中学第二次学情调研)已知椭圆C: + =1的左焦点为F,点M是椭圆C上一点,点
25 9
N是MF的中点,O是椭圆的中点,ON=4,则点M到椭圆C的左准线的距离为 .
5
答案
2
解析 设椭圆C的右焦点为F',则MF'=2×4=8,由椭圆定义可知MF=10-8=2,由圆锥曲线的统一定义得点M到
2
MF 5
椭圆C的左准线的距离为d= =4= .
e 2
5
思路分析 椭圆上一点到焦点的距离问题可以联想椭圆定义进行求解.
11.(2018新疆乌鲁木齐八一中学模拟,16)已知点P是椭圆x2 +y2
=1(a>b>0)上的一点,F,F 分别为椭圆的左、
1 2
a2 b2
右焦点,已知∠FPF=120°,且|PF|=3|PF|,则椭圆的离心率为 .
1 2 1 2
√13
答案
4
解析 设|PF|=m,∵|PF|=3|PF|,∴|PF|=3m,
2 1 2 1
由{ 4m=2a,
4c2=m2+9m2-2×m×3mcos120°,
a2 c √13
可得4c2=13× ,∴离心率e= = .
4 a 4
12.(2019江苏淮阴中学期初)若椭圆上存在三点,使得这三点与椭圆中心恰好是一个正方形的四个顶点,则该
椭圆的离心率为 .
√6
答案
3
解析
不妨设椭圆的方程为x2 +y2
=1(a>b>0),根据椭圆与正方形的对称性,可画出满足题意的图形,如图所
a2 b2
示,因为|OB|=a,所以|OA|=√2a,所以点A的坐标为(a a),又点A在椭圆上,所以 a2 + a2 =1,所以
,
2 2 2 4a2 4b2
c √6
a2=3b2,所以a2=3(a2-c2),所以3c2=2a2,所以椭圆的离心率e= = .
a 3
x2 y2
13.(2019江苏海安中学月考)设F,F 分别是椭圆 + =1的左、右焦点,P为椭圆上任一点,点M的坐标为
1 2
25 16
(6,4),则|PM|+|PF|的最大值为 .
1
答案 15
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解析 如图,|PF|+|PF|=10,|PF|=10-|PF|,|PM|+|PF|=10+|PM|-|PF|,易知点M在椭圆外,连接MF 并延长交椭
1 2 1 2 1 2 2
圆于P点,此时|PM|-|PF|取最大值|MF|,故|PM|+|PF|的最大值为10+|MF|=10+ =15.
2 2 1 2 √(6-3)2+42
14.(2019北京丰台一模文,20)已知椭圆W:x2+2y2=2,直线l:y=kx+m(km≠0)与椭圆W交于A,B两点,直线l:y=kx-
1 2
m与椭圆W交于C,D两点.
(1)求椭圆W的离心率;
(2)证明:四边形ABCD不可能为矩形.
{
a2=2,
解析 (1)由题知 b2=1,
解得{a=√2,
c=1,
a2=b2+c2,
c √2 √2
则e= = ,所以椭圆W的离心率为 .
a 2 2
(2)证明:由于两直线关于原点中心对称且椭圆是关于原点的中心对称图形,所以不妨设A(x,y),B(x,y),C(-x,-
1 1 2 2 1
y),D(-x,-y)(x≠±x),
1 2 2 1 2
{x2+2y2=2,①
则 1 1
x2+2y2=2,②
2 2
②-①得2(
y2
-
y2
)=-(
x2
-
x2
),
2 1 2 1
(y - y ) (- y - y ) y2- y2 1
所以k AB ·k AD = 2 1 · 2 1 = 2 1=- ≠-1.
(x -x ) (-x -x ) x2-x2 2
2 1 2 1 2 1
所以AB不垂直于AD.
所以四边形ABCD不可能为矩形.
15.(2018江苏南通高三调研测试,17)如图,在平面直角坐标系xOy中,B,B
是椭圆x2 +y2
=1(a>b>0)的短轴端
1 2
a2 b2
点,P是椭圆上异于点B,B 的一动点.当直线PB 的方程为y=x+3时,线段PB 的长为4√2.
1 2 1 1
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设点Q满足:QB⊥PB,QB⊥PB,求证:△PBB 与△QBB 的面积之比为定值.
1 1 2 2 1 2 1 2
解析 设P(x,y),Q(x,y).
0 0 1 1
(1)在y=x+3中,令x=0,得y=3,从而b=3.
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{x2 y2
由
+ =1,
得
x2
+
(x+3)2
=1.
a2 9
a2 9
y=x+3
所以x=-
6a2
.
0
9+a2
因为|PB
1
|=
√x2+(y -3)2
=
√2
|x
0
|,
0 0
所以4 = ·
6a2
,解得a2=18.
√2 √2
9+a2
x2 y2
所以椭圆的标准方程为 + =1.
18 9
y -3
(2)解法一:直线PB 1 的斜率为 k = 0 ,
PB 1 x
0
x
由QB 1 ⊥PB 1 ,得直线QB 1 的斜率为 k =- 0 .
QB 1 y -3
0
x
于是直线QB 1 的方程为y=- 0 x+3.
y -3
0
x
同理直线QB 2 的方程为y=- 0 x-3.
y +3
0
y2-9
联立两直线方程,消去y,得x
1
=
0
.
x
0
x2 y2
因为P(x,y)在椭圆 + =1上,
0 0
18 9
所以x2 +y2
=1,从而
-9=-x2
.
0 0 y2 0
18 9 0 2
x
0
所以x=- .
1
2
S |x |
所以 △PB 1 B 2 = 0 =2.
S x
△QB B 1
1 2
解法二:设直线PB,PB 的斜率分别为k,k',则直线PB 的方程为y=kx+3.
1 2 1
1
由QB⊥PB,得直线QB 的方程为y=- x+3.
1 1 1
k
x2 y2
将y=kx+3代入 + =1,得(2k2+1)x2+12kx=0,
18 9
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因为P是椭圆上异于点B,B 的点,所以x≠0,
1 2 0
12k
从而x=- .
0 2k2+1
因为P(x,y)在椭圆x2+y2=1上,所以x2 +y2
=1,
0 0 0 0
18 9 18 9
从而 y2
-9=-x2
0 .
0 2
y -3 y +3 y2-9 1 1
所以k·k'= 0 · 0 = 0 =- ,得k'=- .
x x x2 2 2k
0 0 0
1
由QB⊥PB,得直线QB 的方程为y=- x-3=2kx-3.
2 2 2 k'
{ 1
联立 y=- x+3, 得x= 6k ,即x= 6k .
k 1
2k2+1 2k2+1
y=2kx-3,
12k
|- |
S |x | 2k2+1
所以 △PB 1 B 2 = 0 = =2.
S x 6k
△QB B 1
1 2
2k2+1
评析 第(2)问有两种解法,是选用不同的参数求解的,解法一是用点参数,解法二是用斜率作为参数表示其他
量,这是两种常用方法.
16.(2018江苏南京、盐城高三二模,18)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆E:x2 +y2
=1(a>b>0)的离心率为
a2 b2
√2
,上顶点A到右焦点的距离为√2.过点D(0,m)(m≠0)作不垂直于x轴,y轴的直线l交椭圆E于P,Q两点,C
2
为线段PQ的中点,且AC⊥OC.
(1)求椭圆E的方程;
(2)求实数m的取值范围;
(3)延长AC交椭圆E于点B,记△AOB与△AOC的面积分别为S 1 ,S 2 ,若 S 1 =8,求直线l的方程.
S 3
2
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{c √2
= ,
解析 (1)由题意得 所以c=1,b2=a2-c2=1,
a 2
a=√2,
x2
所以椭圆E的方程为 +y2=1.
2
(2)解法一:由(1)得A(0,1).设P(x,y),Q(x,y),C(x,y),其中x,y 均不为0,且x≠x.
1 1 2 2 0 0 0 0 1 2
因为P,Q两点都在椭圆E上,所以 +2 =2, +2 =2,
x2 y2 x2 y2
1 1 2 2
两式相减得 y 2 - y 1× y 0=-1.
x -x x 2
2 1 0
又 y 2 - y 1= y 0 -m ,所以 y 0 -m × y 0=-1,
x -x x x x 2
2 1 0 0 0
即 x2 =2y 0 (m-y 0 ).①
0
y -1 y
又AC⊥OC,所以
0
×
0
=-1,
x x
0 0
即 x2 =y 0 (1-y 0 ).②
0
由①②得y=2m-1, =(1-2m)(2m-2)∈(0,2),
0 x2
0
1
所以 <m<1.
2
解法二:由(1)得A(0,1).设P(x,y),Q(x,y),C(x,y).
1 1 2 2 0 0
设直线l的方程为y=kx+m(k≠0),
将其与椭圆E的方程联立,消去y得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0(*),
-4km
所以x+x= ,
1 2 1+2k2
x +x -2km m
1 2
所以x= = ,y=kx+m= ,
0 2 1+2k2 0 0 1+2k2
即C( -2km
,
m ),
1+2k2 1+2k2
m
y -1 1+2k2 2k2+1-m
0
所以k = = = .
AC x -2km 2km
0
1+2k2
m
y 1+2k2 1
0
又因为k = = =- ,且AC⊥OC,
OC x -2km 2k
0
1+2k2
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所以k
AC
×k
OC
=2k2+1-m×(
-
1 )=-1,
2km 2k
整理得m=2k2+1.
4k2+1
1
2k2+1 4k2+1-2k2 2k2 (1 )
因为k≠0,则m= = =1- =1- 1 ∈ ,1 ,
4k2+1 4k2+1 4k2+1 2+ 2
2k2
此时Δ=8(2k2+1-m)>0,
所以实数m的取值范围为(1 ).
,1
2
(3)解法一:设B(x,y),点B在椭圆E上,所以 +2 =2.
3 3 x2 y2
3 3
y -1 y x
又AC⊥OC,所以
3
×
0
=-1,即y
3
=-
0
x
3
+1,
x x y
3 0 0
4x y
代入上式消去y 3 ,得x 3 = 0 0 ,
y2+2x2
0 0
1
AO×|x |
S 2 3 |x | | 4 y |
所以 1= = 3 = 0 .
S 1 x y2+2x2
2 AO×|x | 0 0 0
2 0
1
由(2)知y=2m-1,x2=(1-2m)(2m-2), <m<1,
0 0 2
所以 S 1=| 4(2m-1) |=| 4 |= 4 .
S (2m-1)2+2(1-2m)(2m-2) 3-2m 3-2m
2
因为 S 1=8,所以 4 =8,解得m=3,
S 3 3-2m 3 4
2
1 1 1
此时y=2m-1= ,x2=(1-2m)(2m-2)= ,所以x=± ,
0 2 0 4 0 2
所以C点坐标为( 1 1),D点坐标为( 3),
± , 0,
2 2 4
1 3
所以直线l的方程为y=± x+ .
2 4
解法二:设B(x,y),
3 3
1
k =- =2k,所以直线AB的方程为y=2kx+1,
AB k
OC
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8k 8k
与椭圆E的方程联立,解得x=- 或0(舍),即x=- .
1+8k2 3 1+8k2
又因为x=
-2km
=
-2k ×2k2+1= -2k
,
0
1+2k2 1+2k2 4k2+1 1+4k2
1 | -8k |
AO×|x |
S 2 3 1+8k2 4+16k2
所以 1= = = .
S 1 -2k 1+8k2
2 AO×|x |
2 0 1+4k2
因为 S 1=8,所以4+16k2 =8,解得k=±1,
S 3 1+8k2 3 2
2
此时m=2k2+1=3,D点坐标为( 3),
0,
4k2+1 4 4
1 3
所以直线l的方程为y=± x+ .
2 4
17.(2019安徽黄山八校联考,20)已知椭圆x2 +y2 =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F,F,离心率e=1,点P是椭
1 2
a2 b2 2
圆的上顶点的一个动点,△PFF 面积的最大值是4√3.
1 2
(1)求椭圆的方程;
96
(2)若A,B,C,D是椭圆上不重合的四点,AC与BD相交于点F,⃗AC·⃗BD=0,且|⃗AC|+|⃗BD|= ,求此时直线
1
7
AC的方程.
1
解析 (1)由题意知,当点P是椭圆的上顶点或下顶点时,△PFF 面积取得最大值,此时,S = ·2c·b=4
1 2 △PF 1 F 2 2
c 1
√3,又e= = ,结合a2=b2+c2,
a 2
x2 y2
所以a=4,b=2√3,c=2.所以所求椭圆的方程为 + =1.
16 12
(2)由(1)知F(-2,0),由⃗AC·⃗BD=0得AC⊥BD.
1
①当直线AC与BD有一条直线的斜率不存在时,|⃗AC|+|⃗BD|=14,不符合题意;
1
②设直线AC的斜率为k(k存在且不为0),则直线BD的斜率为- .直线AC的方程为y=k(x+2),联立
k
{y=k(x+2),
x2 y2
消去y得(3+4k2)x2+16k2x+16k2-48=0,
+ =1,
16 12
设A(x,y),C(x,y),则x+x=-
16k2 ,xx=16k2-48,
1 1 2 2 1 2 1 2
3+4k2 3+4k2
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所以| |=
|x-x|=24(1+k2).
⃗AC √1+k2 1 2
3+4k2
同理可得|
|=24(1+k2)
,
⃗BD
4+3k2
由| |+| |= 168(1+k2)2 =96,解得k2=1,
⃗AC ⃗BD
(4+3k2)(3+4k2) 7
故直线AC的方程为y=±(x+2).
1
思路分析 (1)根据离心率e= ,△PFF 面积的最大值是4√3,结合a2=b2+c2,即可求出a、b,从而得结果;(2)直
1 2
2
线与曲线方程联立,根据根与系数关系,弦长公式将|⃗AC|+|⃗BD|用k表示,解方程即可得k的值.
方法点拨 求椭圆标准方程时一般利用待定系数法,根据条件确定关于a,b,c的方程组,解出a,b,即可得到椭
圆的标准方程.解决直线与椭圆的位置关系的相关问题,其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立,消元、
化简,然后利用根与系数的关系解决相关问题.涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决.
18.(2018广东茂名模拟,20)已知椭圆C:x2 +y2
=1(a>b>0)的焦距为2 ,设右焦点为F,过原点O的直线l与
√6
a2 b2
1
椭圆C交于A,B两点,线段AF的中点为M,线段BF的中点为N,且⃗OM·⃗ON= .
4
(1)求弦AB的长;
1
(2)当直线l的斜率k= ,且直线l'∥l时,l'交椭圆于P,Q,若点A在第一象限,求证:直线AP,AQ与x轴围成一个等
2
腰三角形.
解析 (1)由题意可知2c=2√6,c=√6,F(√6,0),设A(x,y),B(-x,-y),
0 0 0 0
则M(x
0
+√6
,
y
0
),N(-x
0
+√6
,-
y
0
),
2 2 2 2
由 ⃗OM · ⃗ON =6-x2 0 - y2 0 =1,则 x2 + y2 =5,
4 4 0 0
则|AB|=2
√x2+ y2
=2
√5
.
0 0
1 1 1
(2)证明:直线l的斜率k= ,则l:y= x,y= x,
0 0
2 2 2
由 x2 + y2 =5,得A(2,1),将c= √6 代入椭圆方程解得
0 0
x2 y2
a=2√2,b=√2,∴椭圆的方程为 + =1.
8 2
1
由题意设l':y= x+m(m≠0),
2
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{x2+4 y2=8,
联立 整理得x2+2mx+2m2-4=0,
1
y= x+m,
2
Δ=4m2-4(2m2-4)>0,即m∈(-2,0)∪(0,2).
y -1 y -1
设直线AP,AQ的斜率分别为k
1
,k
2
,P(x
1
,y
1
),Q(x
2
,y
2
),则k
1
=
1
,k
2
=
2
.
x -2 x -2
1 2
由x2+2mx+2m2-4=0,
可得x+x=-2m,xx=2m2-4,
1 2 1 2
y -1 y -1 (y -1)(x -2)+(y -1)(x -2)
所以k 1 +k 2 = 1 + 2 = 1 2 2 1
x -2 x -2 (x -2)(x -2)
1 2 1 2
(1 ) (1 )
x +m-1 (x -2)+ x +m-1 (x -2)
=
2 1 2 2 2 1
(x -2)(x -2)
1 2
x x +(m-2)(x +x )-4(m-1)
=
1 2 1 2
(x -2)(x -2)
1 2
=2m2-4-2m2+4m-4(m-1)=0,即k+k=0.
1 2
(x -2)(x -2)
1 2
∴直线AP,AQ与x轴围成一个等腰三角形.
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