文档文本内容
６３６ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
９．４ 双曲线
§
续表
标准方程
ｘ２ ｙ２
ａ ｂ
ｙ２ ｘ２
ａ ｂ
ａ２－ｂ２ ＝１（ ＞０， ＞０） ａ２－ｂ２ ＝１（ ＞０， ＞０）
考点一 双曲线的定义及标准方程
范围 ｘ ａ ｙ Ｒ ｙ ａ ｘ Ｒ
１．定义 ｜ ｜≥ ， ∈ ｜ ｜≥ ， ∈
焦点 Ｆ ｃ Ｆ ｃ Ｆ ｃ Ｆ ｃ
在平面内到两定点 Ｆ Ｆ 的距离的差的绝对值等于常数 １（－ ，０）， ２（ ，０） １（０，－ ）， ２（０， ）
１， ２
小于 Ｆ Ｆ 且大于零 的点的轨迹叫做双曲线 定点Ｆ Ｆ 叫 顶点 Ａ ａ Ａ ａ Ａ ａ Ａ ａ
（ ｜ １ ２｜ ） ， １， ２ １（－ ，０）， ２（ ，０） １（０，－ ）， ２（０， ）
做双曲线的焦点 两焦点间的距离叫做焦距．
， 对称性 关于ｘ轴 ｙ轴对称 关于原点对称
注意 设双曲线上的点Ｍ到两焦点Ｆ Ｆ 的距离之差 、 ，
的 Ｆ ① Ｆ 绝 这 对 一 值 （ 条 １ ） 为 件不 ２ ａ 能 ， 即 忽略 ｜ ｜ ． ＭＦ １ ｜－｜ ＭＦ ２ ｜ ｜ ＝２ １ ａ ， ， 其 ２ 中 ０＜２ ａ ＜ 几 何 性 实 轴 、 长 虚 线 Ｂ １ 段 Ｂ ２ Ａ 叫 １ Ａ 做 ２ 双 叫 曲 做 线 双 的 曲 虚 线 轴 的 ， 实 它 轴 的 ， 长 它的 ｜ Ｂ 长 １ Ｂ ２ ｜ Ａ ｜ １ ＝ Ａ ２ ２ ｂ ｜ （ ＝ ａ ２ 叫 ａ ； 做 线段 双
｜ １ ２｜， 质 曲线的实半轴长 ｂ叫做双曲线的虚半轴长
若 ａ Ｆ Ｆ 则点Ｍ的轨迹是分别以Ｆ Ｆ 为端点的 ， ）
ａ． ２ ＝｜ １ ２｜， １， ２ 焦距 焦距 Ｆ Ｆ 为 ｃ ｃ是半焦距
两条射线 ｜ １ ２｜ ２ ，
；
若 ａ Ｆ Ｆ 则点Ｍ的轨迹不存在 离心率 ｅ ｃ ｂ２ ｅ
ｂ．
若
２
ａ
＞｜ １
则
２
点
｜，
Ｍ的轨迹是线段Ｆ Ｆ
；
的垂直平分线．
＝ ａ ＝④ １＋ａ２ （ ＞１）
ｃ． ２ ＝０， １ ２
若将双曲线定义中的 差的绝对值等于常数 中的 绝 渐近线 ｂ ａ
（２） “ ” “ ｙ ｘ ｙ ｘ
对值 去掉 则点的集合是双曲线的一支 具体是左支 上支 还 方程 ＝± ａ ⑤ ＝± ｂ
” ， ， （ ）
是右支 下支 视情况而定． 拓展延伸 １．通径 过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的
（ ） ：
２．标准方程
ｂ２
中心在坐标原点 焦点在ｘ轴上的双曲线的标准方程为 弦的长为２
ａ
．
（１） ，
ｘ２ ｙ２ （ａ ，ｂ ） ２．焦点三角形的面积 Ｐ为双曲线上的点 Ｆ Ｆ 为双曲线
② ａ２ －ｂ２ ＝１ ＞０ ＞０ ； ： ， １，
ｂ２
２
（２）
中心在坐标原点
，
焦点在ｙ轴上的双曲线的标准方程为 的两个焦点
，
且
∠
Ｆ
１
ＰＦ
２＝
θ
，
则
△
Ｆ
１
ＰＦ
２
的面积为
θ
．
ｙ２ ｘ２ ｔａｎ
ａ ｂ ． ２
ａ２ －ｂ２ ＝１（ ＞０， ＞０）
注意 焦点位置的判断 在双曲线的标准方程中 看ｘ２
（１） ： ，
项与ｙ２ 项的系数正负 若ｘ２ 项的系数为正 则焦点在ｘ轴上 若
， ， ；
ｙ２ 项的系数为正 则焦点在ｙ轴上 即 焦点位置看正负 焦点随
， ， “ ，
着正的跑 ．
”
ａ ｂ ｃ满足 ｃ２ ａ２ ｂ２ 即ｃ最大 ｃ为半焦距 ． ３．焦点到渐近线的距离为ｂ．
（２） ， ， ③ ＝ ＋ ， （ ）
４． 等轴双曲线 实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴
考点二 双曲线的几何性质 （１） ：
双曲线．
标准方程 ａ ｘ２ ２－ ｙ ｂ ２ ２ ＝１（ ａ ＞０， ｂ ＞０） ａ ｙ２ ２－ ｘ ｂ ２ ２ ＝１（ ａ ＞０， ｂ ＞０） 线互 （ 相 ２ 垂 ） 双 直 曲 ． 线为等轴双曲线 ⇔ 双曲线离心率ｅ ＝ ２⇔ 两条渐近
一般方程 ｍｘ２ ｎｙ２ ｍｎ ５．设Ｐ Ａ Ｂ是双曲线 焦点在ｘ轴上 上的三个不同的点
＋ ＝１（ ＜０） ， ， （ ） ，
ｂ２
其中Ａ Ｂ关于原点对称 则直线ＰＡ与ＰＢ的斜率之积为 ．
， ， ａ２
图 ６．若Ｐ是双曲线右支上一点 Ｆ Ｆ 分别为双曲线的左 右
形 ， １、 ２ 、
焦点 则 ＰＦ ａ ｃ ＰＦ ｃ ａ．
， ｜ １｜ｍｉｎ＝ ＋ ，｜ ２｜ｍｉｎ＝ －
７．同支的焦点弦中最短的为通径 过焦点且垂直于长轴的
（
ｂ２
弦 其长为２ 异支的弦中最短的为实轴 其长为 ａ．
）， ａ ， ， ２
ｘ２ ｙ２
８．Ｐ是双曲线 ａ ｂ 右支上不同于实轴端点
ａ２ －ｂ２ ＝１（ ＞０， ＞０）
的任意一点 Ｆ Ｆ 分别为双曲线的左 右焦点 Ｉ为 ＰＦ Ｆ 内
， １， ２ 、 ， △ １ ２
切圆的圆心 则圆心Ｉ的横坐标恒为定值ａ．
，
９．共轭双曲线的性质 它们有共同的渐近线 它们的
：（１） ；（２）
四个焦点共圆 它们的离心率的倒数的平方和等于 ．
；（３） １
专题九 圆锥曲线 ６３７
且声速为 求炮弹爆炸点的轨迹方程．
２ ｓ， ３４０ ｍ／ｓ，
考点二 双曲线的几何性质
考点一 双曲线的定义及标准方程 ｘ２ ｙ２
６．双曲线Ｃ ａ ｂ 的离心率为 焦点到渐近线
ｘ２ ｙ２ ：ａ２ －ｂ２ ＝１（ ＞０， ＞０） ２，
１．若ｍ为实数 则 ｍ 是 曲线 Ｃ 表示双曲
， “１＜ ＜２” “ ：ｍ ＋ｍ ＝１ 的距离为 则Ｃ的焦距等于
－２
３， （ ）
线 的
” （ ）
充分不必要条件 必要不充分条件 Ａ．２ Ｂ．２ ２ Ｃ．４ Ｄ．４ ２
Ａ． Ｂ． 答案 Ｃ
充要条件 既不充分也不必要条件
Ｃ． Ｄ． ｘ２ ｙ２
答案 Ａ ７．已知点Ｐ为双曲线Ｃ ａ ｂ 右支上一点 Ｆ
：ａ２ －ｂ２ ＝１（ ＞０， ＞０） ， １，
２．已知双曲线
ｘ２ ｙ２
ａ ｂ 的右焦点为Ｆ 点Ａ在双曲 Ｆ 分别为Ｃ的左 右焦点 直线ＰＦ 与Ｃ的一条渐近线垂直
ａ２ －ｂ２ ＝１（ ＞０， ＞０） ，
垂
２
足为Ｈ 若 ＰＦ
，
ＨＦ
，
则该双
１
曲线的离心率为
，
线的渐近线上 ＯＡＦ是边长为 的等边三角形 Ｏ为原点 ， ｜ １｜＝４｜ １｜， （ ）
，△ ２ （ ），
则双曲线的方程为 １５ ２１ ５ ７
（ ） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
ｘ２ ｙ２ ｘ２ ｙ２ ３ ３ ３ ３
答案 Ｃ
Ａ． － ＝１ Ｂ． － ＝１
４ １２ １２ ４ ｘ２ ｙ２
ｘ２ ｙ２ ８．（多选题）已知双曲线Ｃ ａ ｂ 的左 右焦点分
ｙ２ ｘ２ ：ａ２ －ｂ２ ＝１（ ＞０， ＞０） 、
Ｃ． － ＝１ Ｄ． － ＝１
答
３
案 Ｄ
３
别为Ｆ Ｆ 则能使双曲线Ｃ的方程为
ｘ２ ｙ２
１（－５，０）， ２（５，０）， － ＝１
ｘ２ ｙ２ ｘ２ ｙ２ １６ ９
３．若实数ｋ满足 ｋ 则曲线 与曲线 的 的是
０＜ ＜５， － ｋ＝１ ｋ－ ＝１ （ ）
１６ ５－ １６－ ５ ( )
离心率为 ５ 双曲线过点 ９
（ ） Ａ． Ｂ． ５，
实半轴长相等 虚半轴长相等 ４ ４
Ａ． Ｂ． 渐近线方程为 ｘ ｙ 实轴长为
离心率相等 焦距相等 Ｃ． ３ ±４ ＝０ Ｄ． ４
Ｃ． Ｄ． 答案 ＡＢＣ
答案 Ｄ
ｘ２ ｙ２
ｘ２ ｙ２ ９．已知Ｆ为双曲线Ｃ ａ ｂ 的右焦点 Ａ为Ｃ的
４．已知Ｆ为双曲线Ｃ 的左焦点 Ｐ Ｑ为双曲线Ｃ同 ：ａ２ －ｂ２ ＝１（ ＞０， ＞０） ，
： － ＝１ ， ，
４ ９ 右顶点 Ｂ为Ｃ上的点 且ＢＦ垂直于ｘ轴．若ＡＢ的斜率为
一支上的两点．若ＰＱ的长等于虚轴长的 倍 点Ａ 在 ， ， ３，
２ ， （ １３，０） 则Ｃ的离心率为 ．
线段ＰＱ上 则 ＰＱＦ的周长为 ．
， △ 答案
答案 ２
３２
５．已知Ａ Ｂ两地相距 在Ａ地听到炮弹爆炸声比在Ｂ地晚
， ８００ｍ，
ｘ２ ｙ２
则该双曲线的方程为 ．故选
－ ＝１ Ａ．
８ ８
ｘ２ ｙ２
２．（２０１９北京延庆一模，２） ｋ 是 方程 表示
考点一 双曲线的定义及标准方程 “０＜ ＜１” “ ｋ －ｋ ＝１
－１ ＋２
１．（２０１８广东肇庆二模，４）已知双曲线Ｃ
ｘ２ ｙ２
ａ ｂ
双曲线
”
的
（ ）
：ａ２ －ｂ２ ＝１（ ＞０， ＞０） 充分而不必要条件 必要而不充分条件
Ａ． Ｂ．
的一个焦点坐标为 且双曲线的两条渐近线互相垂直 充分必要条件 既不充分也不必要条件
（４，０）， ， Ｃ． Ｄ．
则该双曲线的方程为 ｘ２ ｙ２
（ ） 答案 Ｄ 表示双曲线 ｋ ｋ ｋ
ｘ２ ｙ２ ｘ２ ｙ２ ｋ
－１
－ｋ
＋２
＝１ ⇔（ －１）·（ ＋２）＞０⇔
Ａ． － ＝１ Ｂ． － ＝１ 或ｋ
８ ８ １６ １６ ＜－２ ＞１，
ｙ２ ｘ２ ｘ２ ｙ２
或
ｙ２ ｘ２
所以 ｋ 是 方程
ｘ２ ｙ２
表示双曲线 的既不充分也
Ｃ． － ＝１ Ｄ． － ＝１ － ＝１ “０＜ ＜１” “ ｋ －ｋ ＝１ ”
８ ８ ８ ８ ８ ８ －１ ＋２
答案 Ａ 由双曲线Ｃ
ｘ２ ｙ２
ａ ｂ 的一个焦点坐
不必要条件
，
故选
Ｄ
．
：ａ２ －ｂ２ ＝１（ ＞０， ＞０） ３．已知平面内两定点Ｆ
１（－２，０），
Ｆ
２（２，０），
下列条件中满足动点
标为
（４，０），
可得ｃ
＝４，
即有ａ２
＋
ｂ２
＝
ｃ２
＝１６，
Ｐ的轨迹为双曲线的是
（ ）
由双曲线的两条渐近线互相垂直 ＰＦ ＰＦ ＰＦ ＰＦ
， Ａ．｜ １｜－｜ ２｜＝±３ Ｂ．｜ １｜－｜ ２｜＝±４
ｂ ｂ ＰＦ ＰＦ ＰＦ ２ ＰＦ ２
即直线ｙ ｘ和直线ｙ ｘ垂直 Ｃ．｜ １｜－｜ ２｜＝±５ Ｄ．｜ １｜ －｜ ２｜ ＝±４
＝ ａ ＝－ ａ ， 答案 Ａ 当 ＰＦ ＰＦ 时 ＰＦ ＰＦ
｜ １｜－｜ ２｜ ＝±３ ，｜ ｜ １｜－｜ ２｜ ｜ ＝３＜｜
可得ａ ｂ 则ａ ｂ Ｆ Ｆ 满足双曲线的定义 所以动点Ｐ的轨迹是双曲线．故
＝ ， ＝ ＝２ ２， １ ２｜＝４， ，
６３８ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
选Ａ． 故 ｅ２ ｅ２ 的最小值为 ．
“＝”）， ９ １＋ ２ ８
ｘ２ 思路分析 由题意设焦距为 ｃ．椭圆长轴长为 ａ 双曲线实
４．（２０１８北京延庆一模，９）设双曲线 ｙ２ 的焦点为Ｆ Ｆ ２ ２ １，
－ ＝１ １， ２， 轴长为 ａ 设椭圆与双曲线在第一象限的交点为Ｐ 由已知条
４ ２ ２， ，
Ｐ
答
为
案
双曲线上的一点
，
若
｜
ＰＦ
１｜＝３，
则
｜
ＰＦ
２｜＝
． 件
的
结
最
合
小
椭
值
圆
．
与双曲线的定义推出ａ２
１＋
ａ２
２＝２
ｃ２
，
从而得出
９
ｅ２
１＋
ｅ２
２
７
解析 由双曲线的定义可得
｜｜
ＰＦ
２｜－｜
ＰＦ
１｜｜＝４，
所以
｜
ＰＦ
２｜ ２．（２０１８天津九校联考，５）设双曲线
ｘ２ ｙ２
ａ ｂ 的
－｜
ＰＦ
１｜＝±４，
所以
｜
ＰＦ
２｜＝７（
负值舍去
）
． ａ２ －ｂ２ ＝１（ ＞０， ＞０）
ｘ２ ｙ２ 左 右焦点分别为Ｆ Ｆ 以Ｆ 为圆心 Ｆ Ｆ 为半径的圆与
５．（２０２０河南焦作期初定位考试，１５）已知双曲线 －ｂ２ ＝１（ ｂ ＞ 双 、 曲线在第一 二象 １、 限 ２， 内分别 １ 交于 Ａ ，｜ Ｂ １ 两 ２ 点 ｜ 若 Ｆ Ｂ
４ 、 、 ， ｜ １ ｜ ＝
的左 右焦点分别为Ｆ Ｆ Ｐ为右支上一点且直线ＰＦ 与ｘ Ｆ Ａ 则该双曲线的离心率为
０） 、 １、 ２， ２ ３｜ ２ ｜， （ ）
轴垂直 若 ＰＦ ＰＦ 则 ＰＦ Ｆ 的面积为 ．
， ｜ １｜＝２｜ ２｜， △ １ ２ ５ ４ ３
答案 Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．２
８ ３ ４ ３ ２
解析 由双曲线 ｘ
４
２
－
ｙ
ｂ
２
２ ＝１
知ａ２
＝４，
即ａ
＝２，
由双曲线定义
又
答
∵
案
｜ Ｆ １ Ａ
Ｃ
｜ －｜
根
Ｆ ２
据
Ａ ｜
已
＝２
知
ａ
可
，
得 ，｜ Ｆ １ Ｂ ｜＝｜ Ｆ １ Ａ ｜＝３｜ Ｆ ２ Ａ ｜，
知 ＰＦ ＰＦ ａ 又 ＰＦ ＰＦ 由 得 Ｆ Ａ ａ 即 Ｆ Ａ ａ Ｆ Ａ ａ
｜ ＰＦ ｜ １｜ １ ＝ ｜ ８ － ， ｜ ｜ ＰＦ ２ ２ ｜ ｜ ＝ ＝ ２ ４， ＝ 又 ４① ＰＦ ， ２⊥ ｜ Ｆ １ Ｆ １ ２ ｜ ， ＝ ∴ ２ ｜ ｜ Ｆ １ Ｆ ２ ２ ｜ ｜ ② ２ ， ＝ ｜ Ｐ ① Ｆ １ ② ｜ ２ － ∴ 又 ２ ∵ ｜ ｜ Ｆ ２ １ Ａ ｜＝ ｜＝ ２ ｜ Ｆ ， １ Ｆ ２ ｜ ｜＝ ２ ２ ｜ ｃ ＝ ，∴ ， ２ ｜ ｃ ＝ １ ３ ａ ｜ ， ＝３ ，
ｃ
｜ ＰＦ ２｜ ２ ＝６４－１６＝４８，∴ ｜ Ｆ １ Ｆ ２｜＝４ ３，∴ Ｓ △ ＰＦ １ Ｆ ２ ＝ ２ １ ×｜ Ｆ １ Ｆ ２｜×｜ ∴ ｅ ＝ ａ ＝ ２ ３ ．
３．（２０２０北京清华大学中学生标准学术能力１１月测试，１０）已
ＰＦ １ ．
２｜＝
２
×４ ３×４＝８ ３
知Ｆ Ｆ 分别为双曲线
ｘ２ ｙ２
ａ ｂ 的左 右焦点 若
１、 ２ ａ２ －ｂ２ ＝１（ ＞０， ＞０） 、 ，
考点二 双曲线的几何性质 在双曲线右支上存在点Ｐ 使得点Ｆ 到直线ＰＦ 的距离为ａ
， ２ １ ，
ｘ２ ｙ２ 则该双曲线的离心率的取值范围是
１．（２０１９福建莆田一中９月月考，１１）已知椭圆Ｃ （ ）
１：ａ２ ＋ｂ２ ＝１ æ ö æ ö
１ １ ç ５÷ ç ５ ÷
ｘ２ ｙ２ Ａ．è１， ø Ｂ．è ，＋∞ø Ｃ．（１， ５） Ｄ．（ ５，＋∞）
ａ ｂ 与双曲线Ｃ ａ ｂ 有相同的焦点 ２ ２
（ １＞ １＞０） ２：ａ２ －ｂ２ ＝１（ ２＞０， ２＞０） 答案 Ｂ 本题考查双曲线的离心率 点到直线的距离 通
２ ２ 、 ，
Ｆ Ｆ 点Ｐ是两条曲线的一个公共点 且ＰＦ ＰＦ ｅ ｅ 分 过双曲线的几何性质考查学生运用化归与转化 数形结合的思
１， ２， ， １⊥ ２， １， ２ 、
别是两曲线Ｃ Ｃ 的离心率 则 ｅ２ ｅ２ 的最小值是 想方法解决问题的能力 渗透数学运算与直观想象的核心
１， ２ ， ９ １＋ ２ （ ） ，
素养．
Ａ．４ Ｂ．６ Ｃ．８ Ｄ．１６
答案 Ｃ 由题意设焦距为 ｃ．椭圆长轴长为 ａ 双曲线实 不妨设点 Ｐ 在第一象限 过点 Ｆ 作 Ｆ Ａ ＰＦ 则 ＡＦ
２ ２ １， ， ２ ２ ⊥ １， ｜ １ ｜ ＝
轴 双 长 曲 为 线定 ２ ａ 义 ２， 分 取 别 椭 有 圆与 ＰＦ 双曲线 Ｐ 在 Ｆ 第一象 ａ 限的交点为Ｐ ， 由椭圆和 ｜ Ｆ １ Ｆ ２｜ ２ －｜ Ｆ ２ Ａ ｜ ２ ＝ ４ ｃ２ － ａ２ ，∴ 直线 ＰＦ １ 的斜率 ｋ ＰＦ １ ＝
｜ １｜＋｜ ２｜＝２ １，① ＡＦ Ｆ ａ 双曲线的一条渐近线的斜率为 ｂ 则
｜ ＰＦ １｜－｜ ＰＦ ２｜＝２ ａ ２，② ｔａｎ∠ １ ２＝
４
ｃ２
－
ａ２ ， ａ ，
∵ ① 将 Ｐ ２ ＋ Ｆ ② 代 １⊥ ２ 入 ， Ｐ 得 Ｆ ２ ｜ 得 ， Ｐ ∴ Ｆ ａ １ ２ ｜ ｜ Ｐ ２ ａ Ｆ ＋ ２ １ ｜ ｜ Ｐ ２ Ｆ ＋ ｃ ２ ２ ｜ ｜ Ｐ ２ Ｆ ＝ ２ ２ ｜ ａ ２ ２ １ ＝ ＋ ４ ２ ｃ ａ ２ ２ ２ ， ， ③ ④ 有 ４ ｃ ａ ２ － ａ２ ＜ ａ ｂ ， 即 ４ ｃ２ －５ ａ２ ＞０， 从而ｅ２ ＝ａ ｃ２ ２＞ ４ ５ ， 因此离心率ｅ
④ ③ １＋ ２＝２ ， æ ö
则 ９ ｅ２ １＋ ｅ２ ２＝ ９ ａ ｃ ２ ２ ＋ａ ｃ２ ２ ＝５＋ ９ ａ ａ ２ ２ ２ ＋ ａ ａ ２ １ ２≥８（ 当且仅当 ａ２ １＝３ ａ２ ２ 时取 ＞ ２ ５ ， 因而离心率ｅ的取值范围是 è ç ２ ５ ，＋∞ø ÷．
１ ２ ２ １ ２ ２
求双曲线标准方程的通用方法．
ｘ２ ｙ２
解析 解法一：椭圆 的焦点坐标是（ ， ）．设双
＋ ＝１ ０ ±３
２７ ３６
考法一 求双曲线方程的方法
ｙ２ ｘ２
曲线方程为 （ａ ，ｂ ），根据双曲线的定义知 ａ
例１ 设双曲线与椭圆
ｘ２ ｙ２
有共同的焦点 且与椭
ａ２ －ｂ２ ＝１ ＞０ ＞０ ２ ＝
＋ ＝１ ，
２７ ３６ （ ）２ （ ）２ （ ）２ （ ）２ ，故ａ ．又
圆相交 其中一个交点的坐标为 则此双曲线的标准方 ｜ １５－０ ＋ ４－３ － １５－０ ＋ ４＋３ ｜＝４ ＝２
， （ １５，４）， ｙ２ ｘ２
程是 ． ｂ２ ２ ａ２ ，故所求双曲线的标准方程为 ．
＝３ － ＝５ － ＝１
解题导引 要求双曲线的标准方程 应先看焦点所在坐标 ４ ５
， ｘ２ ｙ２
解法二：椭圆 的焦点坐标是（ ， ）．设双曲线方
轴 再确定ａ ｂ的值 即先定型 再定量．结合题设 焦点已知且在 ＋ ＝１ ０ ±３
， ， ， ， ， ２７ ３６
ｙ轴上 并且过点 求出该点到两焦点的距离 用定义 ｙ２ ｘ２
， （ １５，４）， ， 程为 （ａ ，ｂ ），则ａ２ ｂ２ ，又点（ ， ）在双
求即可 还可以设出标准方程 用待定系数法求解．这两种方法是 ａ２ －ｂ２ ＝１ ＞０ ＞０ ＋ ＝９① １５ ４
； ，
专题九 圆锥曲线 ６３９
考法二 求双曲线的离心率（或取值范围）的方法
曲线上，所以１６ １５ ，联立 ，解得ａ２ ，ｂ２ ．故所求双
ａ２ －ｂ２ ＝１② ①② ＝４ ＝５ ｘ２
例３ （２０１８课标Ⅲ，１１，５分）设Ｆ Ｆ 是双曲线Ｃ
曲线的标准方程为 ｙ２ ｘ２ ． １， ２ ：ａ２
４
－
５
＝１
ｙ２
ａ ｂ 的左 右焦点 Ｏ是坐标原点．过Ｆ 作Ｃ的一
答案 ｙ２ ｘ２ －ｂ２ ＝１（ ＞０， ＞０） ， ， ２
－ ＝１
４ ５ 条渐近线的垂线 垂足为Ｐ．若 ＰＦ ＯＰ 则Ｃ的离心率为
ｘ２ ｙ２ ， ｜ １｜＝ ６｜ ｜，
例２ 已知双曲线Ｃ ａ ｂ 的右焦点为
：ａ２ －ｂ２ ＝１（ ＞０， ＞０） （ ）
Ｆ 点Ｂ是虚轴的一个端点 线段ＢＦ与双曲线Ｃ的右支交于点 Ａ． ５ Ｂ．２ Ｃ． ３ Ｄ． ２
， ， 解析 解法一：如图所示，由已知条件知直线ＯＰ的方程为
Ａ 若→ＢＡ →ＡＦ 且 Ｂ→Ｆ 则双曲线Ｃ的方程为
， ＝２ ， ｜ ｜＝４， （ ） ｂ
ｘ２ ｙ２ ｘ２ ｙ２ ｘ２ ｙ２ ｘ２ ｙ２ ｙ ｘ，
＝ ａ
Ａ． － ＝１ Ｂ． － ＝１ Ｃ． － ＝１ Ｄ． － ＝１
６ ５ ８ １２ ８ ４ ４ ６
解题导引 本题与例 的不同点在哪儿 这儿给出了两个
１ ？
条件→ＢＡ →ＡＦ Ｂ→Ｆ 要求出方程 必求ａ ｂ的值 已知中的
＝２ ，｜ ｜＝４， ， ， ，
每个条件应得出关于ａ ｂ的方程 联立求出ａ ｂ的值．
， ， ，
解析 不妨设Ｂ（ ，ｂ），Ａ（ｘ，ｙ），由→ＢＡ →ＡＦ，Ｆ（ｃ， ），得→ＢＡ
０ ＝２ ０
（ｘ ，ｙ ｂ），→ＡＦ （ｃ ｘ， ｙ）， （ｘ，ｙ ｂ） （ｃ ｘ， ｙ），即 ａ
＝ －０ － ＝ － ０－ ∴ － ＝ ２ － － 直线ＰＦ 的斜率为 ，且直线ＰＦ 过点Ｆ ，则其方程为ｙ
ì ｃ ２ － ｂ ２ ２
ïｘ ２ ，
{ｘ ｃ ｘ， ï ＝ ( ｃ ｂ ) ì ｂ
＝２ －２ í ３ 可得Ａ ２ ， ，代入双曲线Ｃ的方程可 ïｙ ｘ，
ｙ ｂ ｙ，∴ ï ｂ ａ ï ＝ ａ (ａ２ ａｂ)
－ ＝－２ ïｙ ． ３ ３ （ｘ ｃ），联立得方程组í 求得Ｐ ， ，
î ＝ －０＝－ ｂ － ï ａ ａ ｃ ｃ
３ ïｙ ｘ ｃ，
ｃ２ ａ２ ｂ２ ｂ２ î ＝－ ｂ ＋ ｂ
得 ４ １ ，即 ４ · ＋ １０， ３ ．
９
×ａ２ －
９
＝１
９
ａ２ ＝
９
∴ ａ２ ＝
２
①
因此 ＯＰ
(ａ２ )
２
(ａｂ)
２ ａ，
又 Ｂ→Ｆ ｂ２ ｃ２ ，ｃ２ ａ２ ｂ２， ａ２ ｂ２ ． ｜ ｜＝ ｃ ＋ ｃ ＝
｜ ｜＝ ＋ ＝４ ＝ ＋ ∴ ＋２ ＝１６②
由
①②
可得，ａ２
＝４
，ｂ２
＝６
，
又Ｆ（ ｃ， ）， ＰＦ
(ａ２
ｃ
) ２ (ａｂ) ２
ａ２ ｃ２，
ｘ２ ｙ２ １ － ０ ∴ ｜ １｜＝ ｃ ＋ ＋ ｃ ＝ ３ ＋
双曲线Ｃ的方程为 ，故选 ．
∴ － ＝１ Ｄ ( ｃ ) ２
４ ６ 又 ＰＦ ＯＰ ， ａ２ ｃ２ ａ， ｃ２ ａ２，
答案 Ｄ
∵ ｜ １｜＝ ６｜ ｜ ∴ ３ ＋ ＝ ６ ∴ ＝３ ａ
方法总结 求双曲线方程的方法 ＝３
，ｅ２
＝３
，
∴
ｅ
＝ ３
，故选
Ｃ
．
ｂ
１．定义法 根据已知条件 若所求轨迹满足双曲线的定义 解法二：点 Ｆ （ｃ， ）到渐近线 ｙ ｘ 的距离 ＰＦ
： ， ， ２ ０ ＝ ａ ｜ ２ ｜ ＝
则利用双曲线的定义求出参数ａ ｂ的值 从而得到轨迹方程．
， ， ｂｃ
２．待定系数法
：
根据题目条件确定焦点的位置
，
从而设出所
ａ －０ ｂ（ｂ ），而 ＯＦ ｃ，所以在 ＯＰＦ 中，由勾股
求双曲线的标准方程 ， 利用题目条件构造关于ａ ， ｂ的方程 （ 组 ）， ( ｂ ) ２ ＝ ＞０ ｜ ２｜＝ Ｒｔ△ ２
解得ａ ｂ的值 即可求得方程．
， ， １＋ ａ
定理可得 ＯＰ ｃ２ ｂ２ ａ，所以 ＰＦ ＯＰ ａ．
｜ ｜＝ － ＝ ｜ １｜＝ ６｜ ｜＝ ６
例 （２０２０浙江浙南名校联盟联考，２）双曲线
ａ
ｘ２
２ －
ｙ
ｂ
２
２ ＝１（
ａ
＞
在
Ｒｔ△
ＯＰＦ
２
中，
ｃｏｓ∠
ＰＦ
２
Ｏ
＝
｜
Ｏ
ＰＦ
Ｆ
２｜
＝
ｂ
ｃ
，
｜ ２｜
ｂ 的离心率为 且其右焦点为Ｆ 则双曲线Ｃ 在 Ｆ Ｆ Ｐ中，
０， ＞０） ２， ２（２ ３，０）， △ １ ２
的标准方程为
（ ） ＰＦ Ｏ ｜
ＰＦ
２｜
２
＋｜
Ｆ
１
Ｆ
２｜
２
－｜
ＰＦ
１｜
２ ｂ２
＋４
ｃ２
－６
ａ２
，
ｘ２ ｙ２ ｘ２ ｙ２ ｃｏｓ∠ ２ ＝
２｜
ＰＦ
２｜
·
｜
Ｆ
１
Ｆ
２｜
＝
２
ｂ·
２
ｃ
Ａ． － ＝１ Ｂ． － ＝１ ｂ ｂ２ ｃ２ ａ２
３ ９ ９ ３ 所以 ＋４ －６ ｂ２ ｃ２ ａ２，
ｘ２ ｙ２ ｘ２ ｙ２ ｃ ＝
４
ｂｃ ⇒３ ＝４ －６
Ｃ． － ＝１ Ｄ． － ＝１ 则有 （ｃ２ ａ２） ｃ２ ａ２，
４ １２ １２ ４ ３ － ＝４ －６
解析 本题考查双曲线的标准方程及几何性质；考查学生
解得
ａ
ｃ
＝ ３
（负值舍去），
数学运算的能力；考查了数学运算的核心素养．
即ｅ ．故选 ．
ｃ ＝ ３ Ｃ
由已知有ｃ ， ２ ３ ，所以ａ ，ｂ２ ｃ２ ａ２ ，
＝２ ３ ａ ＝ ａ ＝２ ＝ ３ ＝ － ＝９
ｘ２ ｙ２
故双曲线的标准方程为 ，故选 ．
－ ＝１ Ａ
３ ９
答案 Ａ
答案 Ｃ
６４０ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
ｘ２ ｙ２ æ ö
例４ （２０２０山东济宁６月三模，１５）设双曲线Ｃ 答案 ç ３ ， １０÷
：ａ２ －ｂ２ è ø
２ ２
ｘ
＝
轴
１（
的
ａ
＞
垂
０，
线
ｂ
＞０
与
）
的
双
左
曲
、
线
右
在
焦
第
点
一
分
象
别为
限的
Ｆ
１
交
，
Ｆ
点
２，
为
｜
Ｆ
１
Ａ
Ｆ
２
点
｜＝
Ｑ
２
ｃ
的
，
过
坐
Ｆ
标
２
作
为
方法总结 １．求ａ及ｂ或ｃ的值
，
由ｅ２
＝ａ
ｃ２
２ ＝
ａ２
ａ
＋
２
ｂ２
＝１＋ａ
ｂ２
２
求ｅ．
， ，
(
ｃ ３
ａ)
且满足 Ｆ Ｑ Ｆ Ａ 若在双曲线 Ｃ 的右支上存在点
２．列出含有ａ
，
ｂ
，
ｃ的齐次方程
（
或不等式
），
借助于ｂ２
＝
ｃ２
－
，
２
， ｜ ２ ｜＞｜ ２ ｜， ａ２ 消去ｂ
，
然后转化成关于ｅ的方程
（
或不等式
）
求解．
Ｐ 使得 ＰＦ ＰＱ ７ Ｆ Ｆ 成立 则双曲线的离心率的取值
， ｜ １｜＋｜ ｜＜ ｜ １ ２｜ ，
范围是 ．
６
例 （２０１８山东泰安２月联考，１１）已知双曲线Ｃ
ｘ２ ｙ２
１：ａ２ －ｂ２ ＝１
解题导引 求双曲线离心率的取值范围 关键是把题目中
，
ａ ｂ 圆Ｃ ｘ２ ｙ２ ａｘ ３ ａ２ 若双曲线Ｃ 的一条渐
的两个不等关系 Ｆ Ｑ Ｆ Ａ 及 ＰＦ ＰＱ ７ Ｆ Ｆ 转化 （ ＞０， ＞０）， ２： ＋ －２ ＋ ＝０， １
｜ ２ ｜＞｜ ２ ｜ ｜ １｜＋｜ ｜＜ ６ ｜ １ ２｜， 近线与圆Ｃ 有两个不同的交点 ４ 则双曲线Ｃ 的离心率的范围是
ｃ ２ ， １
为关于ａ ｂ ｃ的不等关系 结合ｃ２ ａ２ ｂ２ 和 ｅ得到关于ｅ的
， ， ， ＝ ＋ ａ ＝ （ ）
æ ö æ ö
不等式 然后求解．
ç ２ ３÷ ç２ ３ ÷
， Ａ．è１， ø Ｂ．è ，＋∞ø
ｘ２ ｙ２ ｃ２ ３ ３
解析 将ｘ ｃ代入 （ａ ，ｂ ），得ｙ ｂ
＝ ａ２ －ｂ２ ＝１ ＞０ ＞０ ＝± ａ２ －１ Ｃ．（１，２） Ｄ．（２，＋∞）
ｂ
ｂ２
，所以Ａ
(
ｃ，
ｂ２ )
，又点Ｑ的坐标为
(
ｃ，３
ａ)
且满足 Ｆ Ｑ
解析 由双曲线方程可得其渐近线方程为ｙ
＝± ａ
ｘ，即ｂｘ
＝± ａ ａ ｜ ２ ｜＞
２
Ｆ Ａ ，所以３ ａ ｂ２ ，所以 ( ｂ ) ２ ３ ，所以ｅ ｃ ( ｂ ) ２ ± ａｙ ＝０ ，圆Ｃ ２ ：ｘ２ ＋ ｙ２ －２ ａｘ ＋ ４ ３ ａ２ ＝０ 可化为（ｘ － ａ）２ ＋ ｙ２ ＝ ４ １ ａ２，
｜ ２ ｜ ＞ ａ ａ ＜ ＝ ａ ＝ １＋ ａ ＜
２ ２ 圆心Ｃ 的坐标为（ａ， ），半径ｒ １ ａ，由双曲线Ｃ 的一条渐近
２ ０ ＝ １
３ １０． ２
１＋ ＝ ａｂ
２ ２ 线与圆Ｃ 有两个不同的交点，得 ｜ ｜ １ ａ，即ｃ ｂ，即ｃ２
又因为
｜
ＰＦ
１｜＋｜
ＰＱ
｜＝２
ａ
＋｜
ＰＦ
２｜＋｜
ＰＱ
｜≥２
ａ
＋｜
Ｆ
２
Ｑ
｜
，且在双 ２ ａ２
＋
ｂ２ ＜
２
＞２ ＞
曲线Ｃ的右支上存在点Ｐ，使得
｜
ＰＦ
１｜＋｜
ＰＱ
｜＜
７
｜
Ｆ
１
Ｆ
２｜
成立，所
４
ｂ２，又ｂ２
＝
ｃ２
－
ａ２，所以ｃ２
＞４
（ｃ２
－
ａ２），即ｃ２
＜
４ ａ２，所以ｅ
＝ ａ
ｃ
＜
６ ３
以有 ａ Ｆ Ｑ ７ Ｆ Ｆ ，即 ａ ３ ａ ７ ｃ，解得ｅ ３ ，
２ ＋｜ ２ ｜＜ ６ ｜ １ ２｜ ２ ＋ ２ ＜ ６ ×２ ＞ ２ ２ ３，又知 ｅ ＞１ ，所以双曲线 Ｃ １ 的离心率的取值范围为
３
又ｅ ＞１ ，所以 ３ ＜ ｅ ＜ １０． æ ç ，２ ３ ö ÷，故选 ．
２ ２ è１ ø Ａ
３
答案 Ａ
相切
答案 Ｂ
ｘ２
３．（２０２０河北正定中学第三次阶段质量检测，９）已知双曲线
考法一 求双曲线方程的方法
４
ｘ２ ｙ２ ｙ２
１．（２０２０山东济南６月模拟，６）已知双曲线Ｃ的方程为 ｂ 的左 右焦点分别为Ｆ Ｆ 过点Ｆ 的直线交双
－ －ｂ２ ＝１（ ＞０） 、 １、 ２， ２
１６ ９
则下列说法错误的是 曲线右支于Ａ Ｂ两点 若 ＡＢＦ 是等腰三角形 且 Ａ °
＝１， （ ） 、 ， △ １ ， ∠ ＝１２０ ，
双曲线Ｃ的实轴长为 则 ＡＢＦ 的周长为
Ａ． ８ △ １ （ ）
双曲线Ｃ的渐近线方程为ｙ ３ ｘ
Ｂ． ＝± ４ Ａ． １６ ３ ＋８ Ｂ．４（ ２－１）
３
双曲线Ｃ的焦点到渐近线的距离为
Ｃ． ３
４ ３
双曲线Ｃ上的点到焦点距离的最小值为 ９ Ｃ． ＋８ Ｄ．２（ ３－２）
Ｄ． ３
４ 答案 Ａ
答案 Ｄ
４．（２０２０ 山东德州 ６ 月二模，１３）已知双曲线 Ｃ 过点
ｘ２ ｙ２ （２ ３，
２．（２０２０山东青岛二模，７）已知曲线Ｃ的方程为
ｋ２
－２
－
６－
ｋ＝１（
ｋ
－１），
且与双曲线
ｘ２
－
ｙ２
＝１
有相同的渐近线
，
则双曲线Ｃ的标
Ｒ 则下列结论正确的是 １２ ６
∈ ）， （ ） 准方程为 ．
当ｋ 时 曲线Ｃ为椭圆 其焦距为
Ａ． ＝８ ， ， ４＋ １５ ｘ２ ｙ２
答案
当ｋ 时 曲线Ｃ为双曲线 其离心率为 － ＝１
Ｂ． ＝２ ， ， ３ １０ ５
存在实数ｋ 使得曲线Ｃ为焦点在ｙ轴上的双曲线
Ｃ． ，
当ｋ 时 曲线 Ｃ 为双曲线 其渐近线与圆 ｘ ２ ｙ２ 考法二 求双曲线的离心率（或取值范围）的方法
Ｄ． ＝３ ， ， （ －４） ＋ ＝９
专题九 圆锥曲线 ６４１
ｘ２ ｙ２ 答案 ＡＣ
５．（２０２０湖南长沙明德中学月考，１０）已知双曲线Ｃ
：ａ２ －ｂ２ ＝１ ｘ２ ｙ２
８．（２０１９福建福州３月联考，１０）如图 双曲线Ｃ ａ
ａ ｂ 的左 右焦点分别为Ｆ Ｆ 过原点的直线与双曲 ， ：ａ２ －ｂ２ ＝１（ ＞
（ ＞０， ＞０） 、 １， ２，
线
则双
Ｃ
曲
交
线
于
的
Ａ
， 离
Ｂ
心
两
率
点
为 ，
若
∠
ＡＦ
２
Ｂ
＝６０
°
，△
ＡＢＦ
２
的面积为
３
ａ２
， 交 ０， 于
ｂ
＞０ Ｐ ） 点
的左
若 、 等
右
腰
焦点
Ｐ
分
Ｆ
别
Ｆ
为
的
Ｆ
底 １，
Ｆ
边 ２， Ｐ
过
Ｆ
Ｆ
的 ２
作
长
直
等
线
于
与
Ｃ
Ｃ
的
的
半
渐
焦
近
距
线
（ ） ， △ １ ２ ２ ，
则Ｃ的离心率为
（ ）
５ ２ ３
Ａ． Ｂ． Ｃ．２ Ｄ． ５
２ ３
答案 Ｃ
６．（２０２０湖北襄阳四中３月月考，１２）已知离心率为 的双曲线
２
ｘ２ ｙ２
Ｃ ａ ｂ 的左 右焦点分别为Ｆ ｃ Ｆ ｃ
：ａ２ －ｂ２ ＝１（ ＞０， ＞０） 、 １（－ ，０）， ２（ ，
直线 ｙ ３ ｘ ｃ 与双曲线 Ｃ 在第一象限的交点为 Ｐ
０）， ＝ （ ＋ ） ，
３ ２ ３ ２ ２ ６ ３
ＰＦ Ｆ 的平分线与ＰＦ 交于点Ｑ 若 ＰＦ λ ＰＱ 则λ的 Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
∠ １ ２ ２ ， ｜ ２｜＝ ｜ ｜， ３ ３ ３ ２
值是 答案 Ｃ
（ ）
ｘ２
９．（２０２０山东济南二模，１６）已知 Ｆ Ｆ 分别是双曲线 Ｃ
Ａ． ４ ３－４ Ｂ． ４ ３－１ Ｃ． ２ ３ Ｄ． ３＋２ ３ １， ２ ：ａ２ －
３ ３ ３ ３
７．（多
答
选
案
题 ）
Ｂ
（２０２０山东滨州二模，１０）设Ｆ Ｆ 分别为双曲线
ｙ
ｂ
２
２ ＝１（
ａ
＞０，
ｂ
＞０）
的左
，
右焦点
，
过点Ｆ
１
向一条渐近线作垂线
，
１， ２ 交双曲线右支于点Ｐ 直线Ｆ Ｐ与ｙ轴交于点Ｑ Ｐ Ｑ在ｘ轴
ａ ｘ２ ２ － ｙ ｂ ２ ２ ＝１（ ａ ＞０， ｂ ＞０） 的左 、 右焦点 ， 若在双曲线右支上存在点 同侧 ）， 连接ＱＦ １， 若 △ ， ＰＱＦ １ 的 ２ 内切圆圆心恰好落 （ 在 ， 以Ｆ １ Ｆ ２ 为
Ｐ 的 ， 实 满 轴 足 长 ｜ ＰＦ 则 ２｜ 下 ＝ 列 ｜ Ｆ 关 １ Ｆ 于 ２｜ 该 ， 且 双曲 Ｆ ２ 线 到 的 直 结 线 论 Ｐ 正 Ｆ １ 确 的 的 距 是 离等于双曲线 直 为 径的圆上 ， ． 则 ∠ Ｆ １ ＰＦ ２ 的大小为 ， 双曲线的离心率
， （ ）
渐近线方程为 ｘ ｙ 渐近线方程为 ｘ ｙ 答案 °
Ａ． ４ ±３ ＝０ Ｂ． ３ ±４ ＝０ ９０ ； ５
离心率为 ５ 离心率为 ５
Ｃ． Ｄ．
３ ４
ｘ２ ｙ２
答案 Ｃ 双曲线 ａ ｂ 的一条渐近线方程
ａ２ －ｂ２ ＝１（ ＞０， ＞０）
ｂ
是ｙ ｘ 可得
考法一 求双曲线方程的方法 ＝ ３ ， ａ ＝ ３，
１．（２０１９贵州黔东南州一模，９）双曲线Ｍ与双曲线Ｎ ｙ２ ｘ２
它的一个焦点坐标为
（２，０），
可得ｃ
＝２，
： － ＝ 即ａ２ ｂ２
４ ２ ＋ ＝４，
１
有共同的渐近线
，
且Ｍ经过抛物线ｙ
＝－
ｘ２
－４
ｘ的顶点
，
则Ｍ
∴
ａ
＝１，
ｂ
＝ ３，
的方程为 ｙ２
（ ） 所求双曲线方程为ｘ２ ．
－ ＝１
ｙ２ ｘ２ ｙ２ ｘ２ ３
． ． 故选
Ａ － ＝１ Ｂ － ＝１
１６ ８ ８ ４ Ｃ．
３．（２０１９ 宁夏石嘴山三中一模，１０）已知Ｆ Ｆ 分别为双曲线
． ｘ２ ｙ２ ． ｘ２ ｙ２ １， ２
Ｃ ６ － １２ ＝１ Ｄ １４ － ２８ ＝１ Ｅ ｘ２ ｙ２ ａ ｂ 的左 右焦点．过右焦点Ｆ 的直线ｌ ｘ
ｙ２ ｘ２ ：ａ２ －ｂ２ ＝１（ ＞０， ＞０） ， ２ ：
答案 Ｂ 依题意可设Ｍ的方程为 － ＝ λ （ λ ≠０）， 抛物 ｙ ｃ在第一象限内与双曲线Ｅ的渐近线交于点Ｐ 与ｙ轴正
４ ２ ＋ ＝ ，
线ｙ ＝－ ｘ２ －４ ｘ ＝－（ ｘ ＋２） ２ ＋４ 的顶点为 （－２，４）， 将 （－２，４） 代入 半
双
轴
曲
交
线
于
Ｅ
点
的方
Ｑ ，
程
且
为
点Ｐ为ＱＦ ２ 的中点 ，△ ＱＦ １ Ｆ ２ 的面积为 ４， 则
ｙ２ ｘ２ （ ）
Ｍ的方程 ， 得λ ＝２， 则Ｍ的方程为
８
－
４
＝１ ．
Ａ．
ｘ２
－
ｙ２
＝１ Ｂ．
ｘ２
－
ｙ２
＝１ Ｃ．
ｘ２
－
ｙ２
＝１ Ｄ．
ｘ２
－
ｙ２
＝１
ｘ２ ｙ２ ２ ２ ２ ４ ４ ４ ３
２．（２０１８黑龙江仿真模拟（三），８）已知双曲线Ｃ
：ａ２ －ｂ２ ＝１（
ａ
＞ 答案 Ｂ 双曲线Ｅ
ｘ２ ｙ２
ａ ｂ 的一条渐近线方
：ａ２ －ｂ２ ＝１（ ＞０， ＞０）
ｂ 的一条渐近线方程为ｙ ｘ 一个焦点坐标为
０， ＞０） ＝ ３ ， （２，０）， ｂ
则双曲线Ｃ的方程为 程为ｙ
＝ ａ
ｘ
，
（ ）
ｘ２ ｙ２ ｘ２ ｙ２ ( ａｃ ｂｃ )
代入直线ｘ ｙ ｃ 可得Ｐ 且Ｑ ｃ Ｆ ｃ
Ａ．
２
－
６
＝１ Ｂ．
６
－
２
＝１ ＋ ＝ ， ａ
＋
ｂ，ａ
＋
ｂ ， （０， ）， ２（ ，０），
ｙ２ ｘ２ ａｃ ｂｃ
ｘ２ ｙ２ 由点Ｐ为ＱＦ 的中点 可得ｃ ２ ２ 可得ａ ｂ
Ｃ． － ＝１ Ｄ． － ＝１ ２ ， ＝ａ ｂ＝ａ ｂ， ＝ ，
３ ３ ＋ ＋
６４２ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
ＱＦ Ｆ 的面积为 ｃ
△ １ ２ ４， 则ｅ ５ 或 ．
＝ ａ ＝ ４
即 １ ｃ ｃ ３
·２ · ＝４， 故选
２ Ｄ．
解得ｃ ＝２， 故ａ ＝ ｂ ＝ ２， ２．（２０２０浙江温州二模（４月），７）已知双曲线 ｘ２ ｙ２ ａ ｂ
ｘ２ ｙ２ ａ２ －ｂ２ ＝１（ ＞０，
则双曲线的方程为 ．
－ ＝１ 其右焦点Ｆ的坐标为 ｃ 点Ａ是第一象限内双曲线渐
２ ２ ＞０）， （ ，０），
故选 ｃ２
Ｂ． 近线上的一点 Ｏ为坐标原点 满足 ＯＡ 线段ＡＦ交双曲
， ， ｜ ｜＝ ａ ，
考法二 求双曲线离心率（或取值范围）的方法 线于点Ｍ 若Ｍ为ＡＦ的中点 则双曲线的离心率为
， ， （ ）
ｘ２ ｙ２
１．（２０１８天津一模，７）设Ｐ为双曲线Ｃ ａ ｂ 上 ２ ３ ４
：ａ２ －ｂ２ ＝１（ ＞０， ＞０） Ａ． ２ Ｂ．２ Ｃ． Ｄ．
３ ３
一点 Ｆ Ｆ 分别为双曲线 Ｃ 的左 右焦点 ＰＦ Ｆ Ｆ 若 答案 Ｃ 本题考查了双曲线的离心率 意在考查学生的计
， １， ２ ， ， ２⊥ １ ２， ，
算能力和综合应用能力．
ＰＦ Ｆ 的外接圆半径是其内切圆半径的１７倍 则双曲线 Ｃ
△ １ ２ ， ｂ
６ 双曲线的一条渐近线方程为ｙ ｘ 因为Ａ是第一象限内双
的离心率为 ＝ ａ ，
（ ）
或 或 ５ 曲线渐近线上的一点 且 ＯＡ
ｃ２
所以Ａ
(
ｃ
ｂｃ)
Ａ．２ Ｂ．４ Ｃ．２ ３ Ｄ．４ ， ｜ ｜＝ ａ ， ， ａ ，
３
答案 Ｄ 设Ｆ Ｆ 的坐标分别为 ｃ ｃ ( ｂｃ)
１， ２ （－ ，０），（ ，０）， 而Ｆ ｃ Ｍ为ＡＦ的中点 所以Ｍ ｃ 将Ｍ的坐标代入
由ＰＦ Ｆ Ｆ 可得Ｐ的横坐标为ｃ （ ，０）， ， ， ａ ，
２⊥ １ ２， ， ２
将ｘ ｃ代入双曲线的方程 可得ｙ
ｂ２
双曲线方程并化简可知３
ｃ２
所以ｅ ２ ３ 故选 ．
＝ ， ＝± ａ ， ａ２ ＝１， ＝ ， Ｃ
４ ３
则有 ＰＦ
ｂ２
一题多解 同上可求得 Ａ
(
ｃ
ｂｃ)
直接利用通径处理
ｂ２
｜ ２｜＝ ａ ， ， ａ ， ， ａ ＝
在直角三角形ＰＦ Ｆ 中 由勾股定理得 ｂｃ
２ １ ， 所以ｃ ｂ 所以ａ ｃ２ ｂ２ ｂ
ＰＦ ＰＦ ２ Ｆ Ｆ ２
ｂ４
ｃ２ ２
ａ， ＝２ ， ＝ － ＝ ３ ，
｜ １｜＝ ｜ ２｜ ＋｜ １ ２｜ ＝ ａ２ ＋４ ｂ
从而离心率ｅ ２ ２ ３ 故选 ．
＝
（ ｃ２ －
ａ
ａ
２
２ ） ２
＋４
ｃ２
＝
ｃ２ ＋
ａ
ａ２
， ３．（２０１８浙江新
＝
高
３
考
ｂ＝
调研
３
卷
，
三（杭
Ｃ
州二中），８）已知双曲线右支
设 ＰＦ Ｆ 的外接圆半径为Ｒ 内切圆半径为ｒ
△ １ ２ ， ， 上存在点Ｐ使得 ∠ ＰＡＦ ＝ ２π ， ＰＡ ＝ ＡＦ ， 其中Ａ是双曲线的右顶
可得
２
Ｒ
＝
ｃ２ ＋
ａ
ａ２
，
点 Ｆ是左焦点 则双曲线的 ３ 离心率为
， ， （ ）
( ｂ２ ｃ２ ａ２ ) ｂ２
１ ｒ ｃ ＋ １ ｃ Ａ． ２ Ｂ． ３ Ｃ．２ ３－２ Ｄ． ３＋１
２ ＋ ａ ＋ ａ ＝ ·２ · ａ ， ｘ２ ｙ２
２ ２ 答案 Ｃ 设双曲线的方程为 ａ ｂ ．
解得ｒ ｃ ａ ａ２ －ｂ２ ＝１（ ＞０， ＞０）
＝ － ，
则１ ６ ７ （ ｃ － ａ ）＝ ２ １ · ｃ２ ＋ ａ ａ２ ， 则根据题意得点Ｐ æ è ç３ ａ ２ ＋ ｃ ， ２ ３ （ ａ ＋ ｃ ） ö ø ÷ ， 则有（３ ４ ａ ａ ＋ ２ ｃ ） ２ － ３（ ４ ａ ｂ ＋ ２ ｃ ） ２
化为
３
ｃ２
－１７
ａｃ
＋２０
ａ２
＝０， 化简得ｅ３ ｅ２ ｅ ｅ ．
即为 ｃ ａ ｃ ａ ＝１， ＋５ －４ －８＝０⇒ ＝２ ３－２
（３ －５ ）（ －４ ）＝０，
即有 ｃ ａ或ｃ ａ
３ ＝５ ＝４ ，
考点一 双曲线的定义及标准方程 ｘ２ ｙ２ ｙ２
ｘ２
１．（２０２０浙江，８，４分）已知点Ｏ （０，０）， Ａ （－２，０）， Ｂ （２，０） ．设点 Ａ． ４ － ４ ＝１ Ｂ． － ４ ＝１
ｘ２
Ｐ满足 ＰＡ ＰＢ 且Ｐ为函数ｙ ｘ２图象上的点 则 ｙ２ ｘ２ ｙ２
｜ ｜－｜ ｜＝２， ＝３ ４－ ， Ｃ． － ＝１ Ｄ． － ＝１
ＯＰ ４
｜ ｜＝ （ ） 答案 Ｄ
Ａ．
２２
Ｂ．
４ １０
Ｃ． ７ Ｄ． １０
３．（２０１６课标Ⅰ，５，５分）已知方程 ｘ２ ｙ２ 表示双曲线
２ ５ ｍ２ ｎ－ ｍ２ ｎ＝１ ，
答案 Ｄ ＋ ３ －
且该双曲线两焦点间的距离为 则ｎ的取值范围是
ｘ２ ｙ２ ４， （ ）
２．（２０２０天津，７，５分）设双曲线Ｃ的方程为 ａ ｂ
ａ２ －ｂ２ ＝１（ ＞０， ＞ Ａ．（－１，３） Ｂ．（－１， ３）
过抛物线ｙ２ ｘ的焦点和点 ｂ 的直线为ｌ．若Ｃ的一条 Ｃ．（０，３） Ｄ．（０， ３）
０）， ＝４ （０， ） 答案 Ａ
渐近线与ｌ 平行 另一条渐近线与 ｌ 垂直 则双曲线 Ｃ 的方
， ，
程为 ４．（２０１７天津，５，５分）已知双曲线
ｘ２ ｙ２
ａ ｂ 的左焦
（ ） ａ２ －ｂ２ ＝１（ ＞０， ＞０）
专题九 圆锥曲线 ６４３
点为Ｆ 离心率为 ．若经过Ｆ和Ｐ 两点的直线平行于双 答案 Ａ
， ２ （０，４）
曲线的一条渐近线 则双曲线的方程为 ｘ２
， （ ） １２．（２０１８课标Ⅰ，１１，５分）已知双曲线Ｃ ｙ２ Ｏ为坐标
： － ＝１，
ｘ２ ｙ２ ｘ２ ｙ２ ３
Ａ． － ＝１ Ｂ． － ＝１ 原点 Ｆ为Ｃ的右焦点 过Ｆ的直线与Ｃ的两条渐近线的交
４ ４ ８ ８ ， ，
ｘ２ ｙ２ ｘ２ ｙ２ 点分别为Ｍ
，
Ｎ．若
△
ＯＭＮ为直角三角形
，
则
｜
ＭＮ
｜＝ （ ）
Ｃ． － ＝１ Ｄ． － ＝１
４ ８ ８ ４ ３
答案 Ｂ Ａ． Ｂ．３ Ｃ．２ ３ Ｄ．４
２
５．（２０１６天津，６，５分）已知双曲线
ｘ２ ｙ２
ｂ 以原点为
答案 Ｂ
４
－ｂ２ ＝１（ ＞０），
１３．（２０１８课标Ⅱ，５，５分）双曲线
ｘ２ ｙ２
ａ ｂ 的离心
圆心 双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线 ａ２ －ｂ２ ＝１（ ＞０， ＞０）
，
相交于Ａ Ｂ Ｃ Ｄ四点 四边形ＡＢＣＤ的面积为 ｂ 则双曲线的 率为 则其渐近线方程为
， ， ， ， ２ ， ３， （ ）
方程为
（ ）
ｙ ｘ ｙ ｘ ｙ ２ｘ ｙ ３ｘ
ｘ２ ｙ２ ｘ２ ｙ２ Ａ． ＝± ２ Ｂ． ＝± ３ Ｃ． ＝± Ｄ． ＝±
Ａ． － ３ ＝１ Ｂ． － ４ ＝１ ２ ２
４ ４ ４ ３ 答案 Ａ
ｘ２ ｙ２ ｘ２ ｙ２
ｘ２ ｙ２
Ｃ． － ＝１ Ｄ． － ＝１ １４．（２０１７课标Ⅱ，９，５分）若双曲线Ｃ ａ ｂ 的
４ ４ ４ １２ ：ａ２ －ｂ２ ＝１（ ＞０， ＞０）
答案 Ｄ
一条渐近线被圆 ｘ ２ ｙ２ 所截得的弦长为 则Ｃ的离
６．（２０２０课标Ⅱ，文９，理８，５ 分）设 Ｏ 为坐标原点 直线 ｘ ａ （ －２） ＋ ＝４ ２，
， ＝ 心率为
ｘ２ ｙ２ （ ）
与双曲线Ｃ ａ ｂ 的两条渐近线分别交于Ｄ
：ａ２ －ｂ２ ＝１（ ＞０， ＞０） ， ２ ３
Ａ．２ Ｂ． ３ Ｃ． ２ Ｄ．
Ｅ两点．若 ＯＤＥ的面积为 则Ｃ的焦距的最小值为 ３
△ ８， （ ） 答案 Ａ
Ａ．４ Ｂ．８ Ｃ．１６ Ｄ．３２ ｘ２ ｙ２
答案 Ｂ １５．（２０１６课标Ⅱ，１１，５分）已知Ｆ Ｆ 是双曲线Ｅ
１， ２ ：ａ２ －ｂ２ ＝１
ｘ２ ｙ２
７．（２０２０课标Ⅲ理，１１，５分）设双曲线Ｃ ａ ｂ 的左 右焦点 点 Ｍ 在 Ｅ 上 ＭＦ 与 ｘ 轴垂直 ＭＦ Ｆ
：ａ２ －ｂ２ ＝１（ ＞０， ＞０） ， ， ， １ ，ｓｉｎ∠ ２ １＝
的左 右焦点分别为Ｆ Ｆ 离心率为 ．Ｐ是Ｃ上一点 且Ｆ Ｐ １ 则Ｅ的离心率为
Ｆ 、 Ｐ．若 ＰＦ Ｆ 的面 １， 积为 ２， 则ａ ５ ， １ ３ ， （ ）
⊥ ２ △ １ ２ ４， ＝ （ ）
３
Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．４ Ｄ．８ Ａ． ２ Ｂ． Ｃ． ３ Ｄ．２
答案 Ａ ２
答案 Ａ
考点二 双曲线的几何性质
１６．（２０１９天津，５，５分）已知抛物线ｙ２
＝４
ｘ的焦点为Ｆ
，
准线为ｌ．若
ｘ２ ｙ２
８．（２０１９浙江，２，４分）渐近线方程为ｘ ｙ 的双曲线的离心率是 ｌ与双曲线 ａ ｂ 的两条渐近线分别交于点Ａ和
± ＝０ ａ２ －ｂ２ ＝１（ ＞０， ＞０）
（ ） 点Ｂ 且 ＡＢ ＯＦ Ｏ为原点 则双曲线的离心率为
， ｜ ｜＝４｜ ｜（ ）， （ ）
２
Ａ． Ｂ．１ Ｃ． ２ Ｄ．２ Ａ． ２ Ｂ． ３ Ｃ．２ Ｄ． ５
２ 答案 Ｄ
答案 Ｃ
ｘ２
ｙ２ １７．（２０１６浙江，７，５分）已知椭圆Ｃ ｙ２ ｍ 与双曲线
９．（２０２０课标Ⅰ文，１１，５分）设Ｆ Ｆ 是双曲线Ｃ ｘ２ 的 １：ｍ２ ＋ ＝１（ ＞１）
１， ２ ： － ＝１
两
的
个
面
焦
积
点
为 ，
Ｏ为坐标原点
，
点Ｐ在Ｃ上且
｜
ＯＰ
｜＝２，
则
△
３
ＰＦ
１
Ｆ
２
Ｃ
２：ｎ
ｘ２
２ －
ｙ２
＝１（
ｎ
＞０）
的焦点重合
，
ｅ
１，
ｅ
２
分别为Ｃ
１，
Ｃ
２
的离心
（ ） 率 则
， （ ）
７ ５ ｍ ｎ且ｅ ｅ ｍ ｎ且ｅ ｅ
Ａ． 答 ２ 案 Ｂ Ｂ．３ Ｃ． ２ Ｄ．２ Ａ Ｃ． ．
答
ｍ ＜ ＞
案
ｎ且
Ａ
ｅ １ １ ｅ ２ ２ ＞ ＞ １ １ Ｂ Ｄ ． ． ｍ ＞ ＜ ｎ且ｅ １ １ ｅ ２ ２ ＜ ＜ １ １
１０．（２０１９课标Ⅲ，１０，５分）双曲线Ｃ
ｘ２ ｙ２
的右焦点为Ｆ
：
４
－
２
＝１ ， １８．（２０２０江苏，６，５分）在平面直角坐标系ｘＯｙ中 若双曲线 ｘ２
点Ｐ在Ｃ的一条渐近线上 Ｏ为坐标原点．若 ＰＯ ＰＦ 则 ， ａ２
， ｜ ｜＝｜ ｜，
ＰＦＯ的面积为 ｙ２
△ （ ） ａ 的一条渐近线方程为ｙ ５ｘ 则该双曲线的离
－ ＝１（ ＞０） ＝ ，
５ ２
３ ２ ３ ２
Ａ． Ｂ． Ｃ．２ ２ Ｄ．３ ２ 心率是 ．
４ ２
答案 Ａ
答案 ３
１１．（２０１９课标Ⅱ，１１，５分）设Ｆ为双曲线Ｃ ｘ２ ｙ２ ａ ｂ ２
：ａ２ －ｂ２ ＝１（ ＞０，
１９．（２０２０课标Ⅲ文，１４，５分）设双曲线Ｃ
ｘ２ ｙ２
ａ ｂ
的右焦点 Ｏ为坐标原点 以ＯＦ为直径的圆与圆ｘ２ ｙ２ ：ａ２ －ｂ２ ＝１（ ＞０， ＞
＞０） ， ， ＋ ＝
ａ２ 交于Ｐ Ｑ两点．若 ＰＱ ＯＦ 则Ｃ的离心率为 的一条渐近线为ｙ ｘ 则Ｃ的离心率为 ．
， ｜ ｜＝｜ ｜， （ ） ０） ＝ ２ ，
答案
Ａ． ２ Ｂ． ３ Ｃ．２ Ｄ． ５ ３
６４４ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
ｘ２ ｙ２ 率为 ．
２０．（２０２０北京，１２，５分）已知双曲线Ｃ 则Ｃ的右焦点
： － ＝１， 答案
６ ３ ２
的坐标为 Ｃ的焦点到其渐近线的距离是 ． ｘ２ ｙ２
； ２２．（２０２１新高考适应卷，２１，１２分）双曲线Ｃ ａ
答案 ：ａ２ －ｂ２ ＝１（ ＞０，
（３，０）； ３
２１．（２０１９课标Ⅰ，１６，５分）已知双曲线Ｃ
ｘ２ ｙ２
ａ ｂ
ｂ
＞０）
的左顶点为 Ａ
，
右焦点为 Ｆ
，
动点 Ｂ 在 Ｃ 上．当 ＢＦ
⊥
ＡＦ
：ａ２ －ｂ２ ＝１（ ＞０， ＞ 时
，｜
ＡＦ
｜＝｜
ＢＦ
｜
．
的左 右焦点分别为Ｆ Ｆ 过Ｆ 的直线与Ｃ的两条渐近 求Ｃ的离心率
０） 、 １， ２， １ （１） ；
若Ｂ在第一象限 证明 ＢＦＡ ＢＡＦ．
线分别交于Ａ Ｂ两点．若Ｆ→Ａ →ＡＢ Ｆ→Ｂ Ｆ→Ｂ 则Ｃ的离心 （２） ， ：∠ ＝２∠
， １ ＝ ， １ · ２ ＝０，
考点一 双曲线的定义及标准方程 答案 Ｂ 本题考查双曲线的方程．
１．（２０１８天津理，７，５分）已知双曲线
ｘ２ ｙ２
ａ ｂ 的离 由双曲线的渐近线方程可设双曲线方程为
ｘ２ ｙ２
ｋ ｋ 即
ａ２ －ｂ２ ＝１（ ＞０， ＞０）
４
－
５
＝ （ ＞０），
心率为
２，
过右焦点且垂直于ｘ轴的直线与双曲线交于Ａ
，
Ｂ两 ｘ２ ｙ２
双曲线与椭圆
ｘ２ ｙ２
有公共焦点 ｋ ｋ
点．设Ａ Ｂ到双曲线的同一条渐近线的距离分别为ｄ 和ｄ 且
４
ｋ－
５
ｋ＝１，∵
１２
＋
３
＝１ ，∴ ４ ＋５ ＝
ｄ １＋ ｄ ２＝ ， ６， 则双曲线的方程为 １ （ ２ ， ） １２－３， 解得ｋ ＝１， 故双曲线Ｃ的方程为 ｘ２ － ｙ２ ＝１ ．故选 Ｂ ．
ｘ２ ｙ２ ｘ２ ｙ２ ４ ５
Ａ． － ＝１ Ｂ． － ＝１ 一题多解 椭圆 ｘ２ ｙ２ 的焦点为 双曲线与椭
４ １２ １２ ４ ∵ ＋ ＝１ （±３，０），
ｘ２ ｙ２ ｘ２ ｙ２ １２ ３
Ｃ． ３ － ９ ＝１ Ｄ． ９ － ３ ＝１ 圆 ｘ２ ｙ２ 有公共焦点 ａ２ ｂ２ ２ 双曲线的
答案 Ｃ 本题主要考查双曲线的方程 几何性质以及点到 ＋ ＝１ ，∴ ＋ ＝（±３） ＝９①，∵
１２ ３
、
直线的距离公式的应用． ｂ
一条渐近线为ｙ ５ｘ ５ 联立 可解得ａ２ ｂ２
双曲线
ｘ２ ｙ２
ａ ｂ 的离心率为
＝
２
，∴ ａ ＝
２
②， ①② ＝４，
∵ ａ２ －ｂ２ ＝１（ ＞０， ＞０） ２，
． 双曲线Ｃ的方程为
ｘ２ ｙ２
．
∴
ｅ２
＝１＋ａ
ｂ２
２ ＝４， ３．（
＝
２
５
０
∴
１７课标Ⅰ文，５，５分）
４
已
－
知
５
Ｆ
＝１
是双曲线Ｃ ｘ２ ｙ２ 的右
∴ ａ
ｂ２
２ ＝３，
即ｂ２
＝３
ａ２
， 焦点 ， Ｐ是Ｃ上一点 ， 且ＰＦ与ｘ轴垂直 ， 点Ａ的
：
坐
－
标
３
是
＝
（
１
１，３），
∴
ｃ２
＝
ａ２
＋
ｂ２
＝４
ａ２
，
则
△
ＡＰＦ的面积为
（ ）
由题意可设Ａ ａ ａ Ｂ ａ ａ
（２ ，３ ）， （２ ，－３ ）， １ １ ２ ３
ｂ２
渐近线方程为ｙ ｘ
Ａ．
３
Ｂ．
２
Ｃ．
３
Ｄ．
２
∵ ａ２ ＝３，∴ ＝± ３ ， 答案 Ｄ 本题考查双曲线的几何性质．
易知Ｆ 不妨取Ｐ点在ｘ轴上方 如图．
ａ ａ （２，０）， ，
则点Ａ与点Ｂ到直线 ｘ ｙ 的距离分别为ｄ ｜２ ３ －３ ｜
３ － ＝０ １＝
２
ａ ａ
２ ３－３ａ ｄ ｜２ ３ ＋３ ｜ ２ ３＋３ａ 又 ｄ ｄ ２ ３－３ａ
＝ ， ２＝ ＝ ， ∵ １＋ ２＝６，∴
２ ２ ２ ２
ｘ２ ｙ２
２ ３＋３ａ 解得ａ ｂ２ ． 双曲线的方程为
＋ ＝６， ＝ ３，∴ ＝９∴ － ＝
２ ３ ９
故选 ．
１， Ｃ
解题关键 利用离心率的大小得出渐近线方程并表示出点Ａ ＰＦ ｘ轴
∵ ⊥ ，
与点Ｂ的坐标是求解本题的关键． Ｐ ＰＦ 又Ａ
∴ （２，３），｜ ｜＝３， （１，３），
方法归纳 求双曲线标准方程的方法 ＡＰ ＡＰ ＰＦ
∴ ｜ ｜＝１， ⊥ ，
定义法 根据题目的条件 若满足双曲线的定义 求出ａ ｂ
（１） ： ， ， ， Ｓ １ ３ ．故选 ．
的值 即可求得方程． ∴ △ ＡＰＦ＝ ×３×１＝ Ｄ
， ２ ２
待定系数法 根据题目条件确定焦点的位置 从而设出所 ４．（２０１５安徽理，４，５分）下列双曲线中 焦点在ｙ轴上且渐近
（２） ： ， ，
求双曲线的标准方程 利用题目条件构造关于 ａ ｂ 的方程 线方程为ｙ ｘ的是
， ， ＝±２ （ ）
组 解得ａ ｂ的值 即可求得方程． ｙ２ ｘ２ ｙ２ ｘ２
（ ）， ， ， ｘ２ ｙ２ ｘ２ ｙ２
ｘ２ ｙ２ Ａ． － ＝１ Ｂ． － ＝１ Ｃ． － ＝１ Ｄ． － ＝１
２．（２０１７课标Ⅲ理，５，５分）已知双曲线Ｃ ａ ｂ ４ ４ ４ ４
：ａ２ －ｂ２ ＝１（ ＞０， ＞ 答案 Ｃ 由于焦点在ｙ轴上 故排除 ．由于渐近线方程
， Ａ、Ｂ
的一条渐近线方程为ｙ ５ｘ 且与椭圆
ｘ２ ｙ２
有公共焦
为ｙ
＝±２
ｘ
，
故排除
Ｄ
．故选
Ｃ
．
０） ＝ ， ＋ ＝１ ｘ２ ｙ２
２ １２ ３ ５．（２０１４天津理，５，５分）已知双曲线 ａ ｂ 的一
点 则Ｃ的方程为 ａ２ －ｂ２ ＝１（ ＞０， ＞０）
， （ ）
ｘ２ ｙ２ ｘ２ ｙ２ ｘ２ ｙ２ ｘ２ ｙ２ 条渐近线平行于直线ｌ
：
ｙ
＝２
ｘ
＋１０，
双曲线的一个焦点在直线ｌ
Ａ． － ＝１ Ｂ． － ＝１ Ｃ． － ＝１ Ｄ． － ＝１ 上 则双曲线的方程为
８ １０ ４ ５ ５ ４ ４ ３ ， （ ）
专题九 圆锥曲线 ６４５
ｘ２ ｙ２ ｘ２ ｙ２ ｘ２ ｙ２ ｘ２ ｙ２ 一条渐近线的倾斜角为 ° 则Ｃ的离心率为
． ． ．３ ３ ．３ ３ １３０ ， （ ）
Ａ － ＝１ Ｂ － ＝１ Ｃ － ＝１ Ｄ － ＝１
５ ２０ ２０ ５ ２５ １００ １００ ２５ ° ° １ １
ｂ Ａ．２ｓｉｎ４０ Ｂ．２ｃｏｓ４０ Ｃ． ° Ｄ． °
答案 Ａ 由题意得 且ｃ ．故由ｃ２ ａ２ ｂ２ 得 ａ２ ｓｉｎ５０ ｃｏｓ５０
ａ ＝２ ＝５ ＝ ＋ ， ２５＝ 答案 Ｄ 本题主要考查双曲线的性质 同角三角函数的基
，
ｘ２ ｙ２ 本关系式及诱导公式 考查考生的运算求解能力和逻辑思维能
ａ２ 则ａ２ ｂ２ 从而双曲线方程为 ． ；
＋４ ， ＝５， ＝２０， － ＝１ 力 考查的核心素养是数学运算．
５ ２０
；
６．（２０１４江西文，９，５分）过双曲线Ｃ
：ａ
ｘ２
２ －
ｙ
ｂ
２
２ ＝１
的右顶点作ｘ
由双曲线Ｃ ：ａ
ｘ２
２ －
ｙ
ｂ
２
２ ＝１（ ａ ＞０， ｂ ＞０） 可知渐近线方程为 ｙ ＝±
轴的垂线 与Ｃ的一条渐近线相交于点Ａ．若以Ｃ的右焦点为
， ｂ
圆心 半径为 的圆经过Ａ Ｏ两点 Ｏ为坐标原点 则双曲线
ａ
ｘ
，
、 ４ ， （ ），
Ｃ的方程为
ｂ
（ ） 由题意知 °
ｘ２ ｙ２ ｘ２ ｙ２ ｘ２ ｙ２ ｘ２ ｙ２ － ａ ＝ｔａｎ１３０ ，
． ． ． ．
Ａ － ＝１ Ｂ － ＝１ Ｃ － ＝１ Ｄ － ＝１ 又 ° °
４ １２ ７ ９ ８ ８ １２ ４ ｔａｎ１３０ ＝－ｔａｎ５０ ，
答案 Ａ 由双曲线方程知右顶点为 ａ 不妨设其中一
（ ，０）， ｂ
°
条渐近线方程为ｙ ｂ ｘ 因此可设点Ａ的坐标为 ａ ｂ ．设右 ∴ ａ ＝ｔａｎ５０ ，
＝ ａ ， （ ， ）
ｃ ｂ２
焦点为Ｆ ｃ 由已知可知ｃ 且 ＡＦ 即 ｃ ａ ２ ｂ２ 双曲线的离心率 ｅ ２ °
（ ，０）， ＝４， ｜ ｜ ＝４， （ － ） ＋ ＝ ∴ ＝ ａ ＝ １＋ａ２ ＝ １＋ｔａｎ ５０ ＝
所以有 ｃ ａ ２ ｂ２ ｃ２ 得ａ２ ａｃ ｂ２ 又知ｃ２ ａ２ ｂ２ 所
１６， （ － ） ＋ ＝ ， －２ ＋ ＝０， ＝ ＋ ，
以得ａ２ －２ ａｃ ＋ ｃ２ － ａ２ ＝０， 即ａ ＝
２
ｃ ＝２， 所以ｂ２ ＝ ｃ２ － ａ２ ＝４ ２ －２ ２ ＝ １＋
ｃ
ｓｉ
ｏ
ｎ
ｓ
２ ２ ５
５
０
０
° °＝
ｃｏｓ
２ １
５０
°＝
ｃｏｓ
１
５０
°， 故选 Ｄ ．
．故双曲线的方程为
ｘ２ ｙ２
故选 ． 方法总结 求双曲线
ｘ２ ｙ２
ａ ｂ 的离心率的常见
１２ － ＝１， Ａ ａ２ －ｂ２ ＝１（ ＞０， ＞０）
４ １２
评析 本题考查双曲线的标准方程的求法、双曲线的几何性质 方法
：
以及圆的定义，考查学生的运算求解能力和逻辑推理能力． ｃ ｃ ｂ２
定义法 ｅ ２ 公式法 ｅ ２θ θ
７．（２０１５课标Ⅰ文，１６，５分）已知Ｆ是双曲线Ｃ ｘ２
ｙ２
的右
（１） ： ＝
２
ａ＝ ａ ；（２） ： ＝ １＋ａ２ ＝ １＋ｔａｎ （
： － ＝１ 为渐近线的倾斜角 方程思想 利用题中条件得出关于ａ
８ ）；（３） ： ，
焦点 Ｐ是Ｃ的左支上一点 Ａ ．当 ＡＰＦ周长最小时 ｂ ｃ的方程 利用ｂ２ ｃ２ ａ２ 转化为关于ａ ｃ的方程 最后利用ｅ
， ， （０，６ ６） △ ， ， ， ＝ － ， ，
该三角形的面积为 ． ｃ
转化为关于ｅ的方程 从而得出离心率ｅ．
答案 ＝ ａ ，
１２ ６
解析 由已知得双曲线的右焦点Ｆ ．设双曲线的左焦 ｘ２
（３，０） ２．（２０１９北京文，５，５分）已知双曲线 ｙ２ ａ 的离心率
点为Ｆ′ 则Ｆ′ ．由双曲线的定义及已知得 ＰＦ ａ ａ２ － ＝１（ ＞０）
， （－３，０） ｜ ｜ ＝２ ＋
ＰＦ′ ＰＦ′ ． ＡＰＦ的周长最小 即 ＰＡ ＰＦ 最小． ＰＡ 是 则ａ
｜ ｜＝２＋｜ ｜ △ ， ｜ ｜＋｜ ｜ ｜ ｜ ５， ＝ （ ）
ＰＦ ＰＡ ＰＦ′ ＡＦ′ 即当Ａ Ｐ Ｆ′三点共线
＋｜ ｜＝｜ ｜＋２＋｜ ｜≥｜ ｜＋２＝１７， 、 、 １
时 ＡＰＦ的周长最小． Ａ． ６ Ｂ．４ Ｃ．２ Ｄ．
，△ ２
ìｘ ｙ 答案 Ｄ 本题主要考查双曲线的几何性质 考查学生运算
ï ０ ０ ，
ï ＋ ＝１， 求解的能力以及方程的思想 考查的核心素养为数学运算．
设Ｐ点坐标为 ｘ ｙ ｙ 由í－３ ６ ６ 得ｙ２ ｙ ，
（ ０， ０）， ０＞０，
î
ï
ïｘ２ ０－
ｙ２
０ ＝１
０＋６ ６ ０－９６ 由题意得ｅ
＝ ａ
ｃ
＝ ５，
又ａ２
＋
ｂ２
＝
ｃ２
，∴ ａ
ｂ２
２ ＝
ｃ２
ａ
－
２
ａ２
＝
ｅ２
－１＝４，
８
＝０，
所以ｙ
０＝２ ６
或ｙ
０＝－８ ６（
舍去
）
．
∵
ｂ２
＝１，∴
ａ２
＝
１ ．
∵
ａ
＞０，∴
ａ
＝
１ ．
４ ２
所以当 ＡＰＦ的周长最小时 该三角形的面积Ｓ １
△ ， ＝ ×６×６ ６－ ｂ２
２ 易错警示 把双曲线的离心率错认为ｅ 而出错．
＝ １－ａ２
１ ．
×６×２ ６＝１２ ６ ｘ２
２ ３．（２０１８浙江，２，４分）双曲线 ｙ２ 的焦点坐标是
８．（２０１５课标Ⅱ文，１５，５ 分）已知双曲线过点 且渐近
３
－ ＝１ （ ）
（４， ３），
线方程为ｙ １ ｘ 则该双曲线的标准方程为 ． Ａ．（－ ２，０），（ ２，０） Ｂ．（－２，０），（２，０）
＝± ，
２ Ｃ．（０，－ ２），（０， ２） Ｄ．（０，－２），（０，２）
答案 ｘ２
－
ｙ２
＝１
答案 Ｂ 本小题考查双曲线的标准方程和几何性质．
４ ａ２ ｂ２ ｃ ａ２ ｂ２ ．又 焦点在ｘ轴上 双曲线
解析 根据渐近线方程为ｘ ｙ 可设双曲线方程为ｘ２ ∵ ＝３， ＝１，∴ ＝ ＋ ＝２ ∵ ，∴
±２ ＝０， － 的焦点坐标为 ．
４ ｙ２ ＝ λ （ λ ≠０） ．因为双曲线过点 （４， ３）， 所以 ４ ２ －４×（ ３） ２ ＝ 易错警示 求 （ 双 － 曲 ２， 线 ０） 焦 ，（ 点 ２， 坐 ０） 标的易错点
ｘ２
λ 即λ ．故双曲线的标准方程为 ｙ２ ． 焦点在ｘ轴上还是ｙ轴上 容易判断错误
， ＝４ － ＝１ （１） ， ；
４ 双曲线与椭圆的标准方程中ａ ｂ ｃ的关系式容易混淆．
（２） ， ，
考点二 双曲线的几何性质 ｘ２
４．（２０１５课标Ⅰ理，５，５分）已知Ｍ ｘ ｙ 是双曲线Ｃ ｙ２
（ ０， ０） ： － ＝
ｘ２ ｙ２ ２
１．（２０１９课标Ⅰ文，１０，５分）双曲线Ｃ ａ ｂ 的
：ａ２ －ｂ２ ＝１（ ＞０， ＞０）
１
上的一点
，
Ｆ
１，
Ｆ
２
是Ｃ的两个焦点．若Ｍ→Ｆ
１·
Ｍ→Ｆ
２＜０，
则ｙ
０
的
６４６ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
取值范围是 ｂ２ ｂ２
（ ） 即 ｃ ａ ｃ ａ
æ ö æ ö （ ＋ ）（ － ）－ ａ · ａ ＝０，
ç ３ ３÷ ç ３ ３÷
Ａ．è－ ， ø Ｂ．è－ ， ø ｂ４ ｂ４
３ ３ ６ ６ 即ｃ２ ａ２ 所以ｂ２
æ ö æ ö － －ａ２ ＝０， －ａ２ ＝０，
ç ２ ２ ２ ２÷ ç ２ ３ ２ ３÷
Ｃ．è－ ， ø Ｄ．è－ ， ø ｂ２ ｂ ｂ
故 即 又双曲线的渐近线的斜率为 故该双曲
３ ３ ３ ３
答案 Ａ 若Ｍ→Ｆ Ｍ→Ｆ 则点Ｍ在以原点为圆心 半焦
ａ２ ＝１， ａ ＝１， ± ａ ，
１· ２＝０， ， 线的渐近线的斜率为 ．故选 ．
{ｘ２ ｙ２ ±１ Ｃ
０＋ ０＝３， ８．（２０１４课标Ⅰ理，４，５分）已知Ｆ为双曲线Ｃ ｘ２ ｍｙ２ ｍ ｍ
距ｃ
＝ ３
为半径的圆上
，
则 ｘ２
０
－
ｙ２
０＝１，
解得ｙ２
０＝
３
１ ．可知
：
Ｍ→Ｆ
１
＞０）
的一个焦点
，
则点Ｆ到Ｃ的一条渐近线的
：
距离
－
为
＝
（
３ （
）
２ ｍ ｍ
Ａ． ３ Ｂ．３ Ｃ． ３ Ｄ．３
·
Ｍ→Ｆ
２＜０⇒
点 Ｍ 在圆 ｘ２
＋
ｙ２
＝ ３
的内部
⇒
ｙ２
０＜
１
⇒
ｙ
０∈ 答案 Ａ 由题意知 双曲线的标准方程为
ｘ２ ｙ２
其中
３ ， ｍ－ ＝１，
æ ö ３ ３
è ç － ３ ３ ， ３ ３ ø ÷．故选 Ａ ． ａ２ ＝３ ｍ ， ｂ２ ＝３， 故ｃ ＝ ａ２ ＋ ｂ２ ＝ ３ ｍ ＋３， 不妨设Ｆ为双曲线的
５．（２０１５课标Ⅱ理，１１，５ 分）已知 Ａ ， Ｂ 为双曲线 Ｅ 的左 ， 右顶 右焦点 故Ｆ ｍ ．其中一条渐近线的方程为ｙ １ ｘ
点 点Ｍ在Ｅ上 ＡＢＭ为等腰三角形 且顶角为 ° 则 Ｅ ， （ ３ ＋３，０） ＝ ｍ ，
， ，△ ， １２０ ，
的离心率为 ｍ
（ ） 即ｘ ｍｙ 由点到直线的距离公式可得ｄ ｜ ３· ＋１｜
－ ＝０， ＝
Ａ． ５ Ｂ．２ Ｃ． ３ Ｄ． ２ １＋（－ ｍ ） ２
答案 Ｄ 设双曲线Ｅ的标准方程为
ｘ２ ｙ２
ａ ｂ 故选 ．
ａ２ －ｂ２ ＝１（ ＞０， ＞０），
评
＝
析
３，
本题
Ａ
考查双曲线的方程、性质以及点到直线的距离公式
则Ａ ａ Ｂ ａ 不妨设点 Ｍ 在第一象限内 则易得
（－ ，０）， （ ，０）， ， 等基础知识，考查考生对知识的灵活运用能力和运算求解
Ｍ ａ ａ 又Ｍ点在双曲线 Ｅ 上 于是（２ ａ ） ２ （ ３ ａ ） ２ 能力．
（２ ， ３ ）， ， ａ２ － ｂ２ ＝１，
ｘ２ ｙ２
９．（２０１４课标Ⅰ文，４，５分）已知双曲线 ａ 的离心
解得ｂ２ ａ２ ｅ
ｂ２
．
ａ２ －
３
＝１（ ＞０）
＝ ，∴ ＝ １＋ａ２ ＝ ２ 率为 则ａ
２， ＝ （ ）
ｘ２ ｙ２
６．（２０１５湖南文，６，５分）若双曲线 的一条渐近线经
ａ２ －ｂ２ ＝１
Ａ
．
２ Ｂ
． ６
Ｃ
． ５
Ｄ
．
１
２ ２
过点 则此双曲线的离心率为
（３，－４）， （ ） 答案 Ｄ 由双曲线方程知ｂ２ ＝３， 从而ｃ２ ＝ ａ２ ＋３， 又ｅ ＝２， 因
７ ５ ４ ５ 此
ｃ２ ａ２
＋３ 又ａ 所以ａ 故选 ．
Ａ．
３
Ｂ．
４
Ｃ．
３
Ｄ．
３
ａ２ ＝ ａ２ ＝４， ＞０， ＝１， Ｄ
答案 Ｄ 双曲线 ｘ２ ｙ２ 的两条渐近线方程为ｙ ｂ ｘ １０．（２０１３课标Ⅰ理，４，５分）已知双曲线Ｃ ｘ２ ｙ２ ａ ｂ
ａ２ －ｂ２ ＝１ ＝± ａ ， ：ａ２ －ｂ２ ＝１（ ＞０， ＞
ｂ ｂ
则点 在直线ｙ ｘ上 即 ３ 所以 ａ ｂ 即
（３，－４） ＝－ ａ ， －４＝－ ａ ， ４ ＝３ ， 的离心率为 ５ 则Ｃ的渐近线方程为
０） ， （ ）
２
ｂ ｂ２
４ 所以ｅ ５ ．故选 ． ｙ １ ｘ ｙ １ ｘ ｙ １ ｘ ｙ ｘ
ａ ＝ ， ＝ １＋ａ２ ＝ Ｄ Ａ． ＝± Ｂ． ＝± Ｃ． ＝± Ｄ． ＝±
３ ３ ４ ３ ２
７．（２０１５重庆文，９，５分）设双曲线
ｘ２ ｙ２
ａ ｂ 的右焦 ｂ
ａ２ －ｂ２ ＝１（ ＞０， ＞０） 答案 Ｃ
∵ ａ ＝
ｅ２
－１＝
５
－１＝
１
，∴
Ｃ的渐近线方
点是Ｆ 左 右顶点分别是Ａ Ａ 过Ｆ作Ａ Ａ 的垂线与双曲线 ４ ２
交于Ｂ ， ， Ｃ两 、 点．若Ａ １ Ｂ ⊥ Ａ ２ Ｃ １ ， ， 则 ２ 该 ， 双曲线的 １ 渐 ２ 近线的斜率为 程为ｙ ＝± ２ １ ｘ．故选 Ｃ ．
１１．（２０１１课标全国理，７，５分）设直线ｌ过双曲线Ｃ的一个焦
（ ）
点 且与Ｃ的一条对称轴垂直 ｌ与Ｃ交于Ａ Ｂ两点 ＡＢ 为
１ ２ ， ， ， ，｜ ｜
Ａ．± Ｂ．± Ｃ．±１ Ｄ．± ２ Ｃ的实轴长的 倍 则Ｃ的离心率为
２ ２ ２ ， （ ）
答案 Ｃ 不妨令 Ｂ 在 ｘ 轴上方 因为 ＢＣ 过右焦点 Ｆ ｃ
， （ ，
且垂直于 ｘ 轴 所以可求得 Ｂ Ｃ 两点的坐标分别为 Ａ． ２ Ｂ． ３ Ｃ．２ Ｄ．３
０ ( ） ｃ ， ｂ２ ) ( ｃ ｂ２ ) 又 ， Ａ Ａ 的坐标分 ， 别为 ａ ａ 答案 Ｂ 不妨设双曲线Ｃ为 ａ ｘ２ ２ － ｙ ｂ ２ ２ ＝１（ ａ ＞０， ｂ ＞０）， 并设ｌ
， ａ ， ，－ ａ ， １， ２ （－ ，０），（ ，０），
ｂ２
过Ｆ ｃ 且垂直于ｘ轴 则易求得 ＡＢ ２
２（ ，０） ， ｜ ｜＝ ａ ，
ｂ２ ｃ ｂ２
２ ａ ｂ２ ａ２ 离心率ｅ 故选 ．
∴ ａ ＝２×２ ， ＝２ ，∴ ＝ ａ ＝ １＋ａ２ ＝ ３， Ｂ
ｘ２
１２．（２０１８ 上海，２，４ 分）双曲线 ｙ２ 的渐近线方程为
－ ＝１
所以Ａ→
１
Ｂ
＝
( ｃ
＋
ａ
，
ｂ
ａ
２ )
，
Ａ→
２
Ｃ
＝
( ｃ
－
ａ
，－
ｂ
ａ
２ )
，
． ４
答案 ｙ １ ｘ
因为Ａ Ｂ Ａ Ｃ 所以Ａ→Ｂ Ａ→Ｃ ＝±
１ ⊥ ２ ， １ · ２ ＝０， ２
专题九 圆锥曲线 ６４７
解析 本题主要考查双曲线的渐近线方程． ｙ２
１６．（２０１７北京理，９，５分）若双曲线ｘ２ 的离心率为
ｘ２ －ｍ ＝１ ３，
解法一
：
由双曲线
－
ｙ２
＝１
知ａ２
＝４，
ｂ２
＝１， 则实数ｍ ．
４ ＝
答案
ａ ｂ 该双曲线的渐近线方程为ｙ １ ｘ． ２
∴ ＝２， ＝１，∴ ＝± 解析 本题考查双曲线的性质．
２
ｘ２ 由题意知 ａ２ ｂ２ ｍ．
解法二 令双曲线 ｙ２ 中的 为 即可得到双曲线 ， ＝１， ＝
： － ＝１ “１” “０”，
４
ｃ ｂ２ ｍ
ｅ ｍ ．
的渐近线方程 即
ｘ２
ｙ２ 该双曲线的渐近线方程为ｙ
∵ ＝ ａ ＝ １＋ａ２ ＝ １＋
１
＝ ３，∴ ＝２
， － ＝０，∴ ＝
４ １７．（２０１６山东理，１３，５分）已知双曲线Ｅ
ｘ２ ｙ２
ａ ｂ
１ ｘ．
：ａ２ －ｂ２ ＝１（ ＞０， ＞
± ．若矩形ＡＢＣＤ的四个顶点在Ｅ上 ＡＢ ＣＤ的中点为Ｅ的
２
０） ， ，
１３．（２０１８江苏，８，５分）在平面直角坐标系ｘＯｙ中 若双曲线 ｘ２ 两个焦点
，
且
２｜
ＡＢ
｜＝３｜
ＢＣ
｜，
则Ｅ的离心率是 ．
， ａ２ 答案
２
ｙ２ ａ ｂ 的右焦点Ｆ ｃ 到一条渐近线的距离为 解析 由已知得 ＡＢ ＣＤ ２ ｂ２ ＢＣ ＡＤ Ｆ Ｆ
－ｂ２ ＝１（ ＞０， ＞０） （ ，０） ｜ ｜＝｜ ｜＝ ａ ，｜ ｜＝｜ ｜＝｜ １ ２｜＝
ｂ２
３ｃ 则其离心率的值是 ． ｃ．因为 ＡＢ ＢＣ 所以４ ｃ 又ｂ２ ｃ２ ａ２ 所以 ｅ２
， ２ ２｜ ｜＝３｜ ｜， ａ ＝６ ， ＝ － ， ２ －
２
答案
２ ｅ 解得ｅ 或ｅ １ 舍去 ．
解析 本题考查双曲线的性质． ３ －２＝０， ＝２， ＝－
２
（ ）
评析 本题考查了双曲线的基本性质，利用 ＡＢ ＢＣ 和
双曲线的一条渐近线方程为ｂｘ ａｙ 则Ｆ ｃ 到这条渐近 ２｜ ｜＝３｜ ｜
－ ＝０， （ ，０） ｂ２ ｃ２ ａ２ 构造关于离心率ｅ的方程是求解的关键．
ｂｃ ＝ －
线的距离为 ｜ ｜ ３ｃ ｂ ３ｃ ｂ２ ３ ｃ２ 又ｂ２ ｘ２ ｙ２
ｂ２ ＋（－ ａ ） ２ ＝ ２ ，∴ ＝ ２ ，∴ ＝ ４ ， ＝ １８．（２０１６北京理，１３，５分）双曲线 ａ２ －ｂ２ ＝１（ ａ ＞０， ｂ ＞０） 的渐
ｃ２
－
ａ２
，∴
ｃ２
＝４
ａ２
，∴
ｅ
＝ ａ
ｃ
＝２
．
近线为正方形ＯＡＢＣ的边ＯＡ
，
ＯＣ所在的直线
，
点Ｂ为该双曲
线的焦点．若正方形ＯＡＢＣ的边长为 则ａ ．
２， ＝
１４．（２０１７课标Ⅰ理，１５，５分）已知双曲线Ｃ ｘ２ ｙ２ ａ ｂ 答案
：ａ２ －ｂ２ ＝１（ ＞０，
解析
２
由ＯＡ ＯＣ所在直线为渐近线 且ＯＡ ＯＣ 知两条渐
＞０）
的右顶点为Ａ
，
以Ａ为圆心
，
ｂ为半径作圆Ａ
，
圆Ａ与双曲
近线的 夹角为
、
° 从而双曲线为等轴双
，
曲线
⊥
则其
，
方程为ｘ２
线Ｃ的一条渐近线交于Ｍ ， Ｎ两点．若 ∠ ＭＡＮ ＝６０ ° ， 则Ｃ的离 － ｙ２ ＝ ａ２．ＯＢ是正 ９０ 方 ， 形的对角线 ， 且点Ｂ是双曲 ， 线的焦点 ， 则ｃ
心率为 ．
根据ｃ２ ａ２ 可得ａ ．
＝２ ２， ＝２ ＝２
评析 本题考查等轴双曲线及其性质．
答案 ２ ３
解析 本
３
题考查双曲线的几何性质和圆的性质．
１９．（２０１５北京理，１０，５分）已知双曲线
ａ
ｘ２
２ －
ｙ２
＝１（
ａ
＞０）
的一条
不妨设点Ｍ Ｎ在渐近线ｙ ｂ ｘ上 如图 ＡＭＮ为等边三角 渐近线为 ｘ ｙ 则ａ ．
、 ＝ ａ ， ，△ ３ ＋ ＝０， ＝
形 且 ＡＭ ｂ 答案 ３
， ｜ ｜＝ ，
３
ｘ２
解析 由双曲线 ｙ２ ａ 知其渐近线方程为 ｙ
ａ２ － ＝１（ ＞０） ＝
１ ｘ 又因为ａ 所以 １ 解得ａ ３．
± ａ ， ＞０， ａ ＝ ３， ＝
３
２０．（２０１４浙江理，１６，４分）设直线ｘ ｙ ｍ ｍ 与双曲
－３ ＋ ＝０（ ≠０）
ｘ２ ｙ２
ｂ ｂ 线 ａ ｂ 的两条渐近线分别交于点Ａ Ｂ．若点
则Ａ点到渐近线ｙ
＝ ａ
ｘ的距离为 ３ｂ
，
又将ｙ
＝ ａ
ｘ变形为一 ａ２ －ｂ２ ＝１（ ＞０， ＞０） ，
２ Ｐ ｍ 满足 ＰＡ ＰＢ 则该双曲线的离心率是 ．
般形式为ｂｘ ａｙ 则Ａ ａ 到渐近线ｂｘ ａｙ 的距离ｄ （ ，０） ｜ ｜＝｜ ｜，
－ ＝０， （ ，０） － ＝０ ＝
ｂａ ａｂ ａｂ ａ 答案 ５
｜ ｜ ｜ ｜ 所以｜ ｜ ３ｂ 即 ３
ａ２ ＋ ｂ２ ＝ ｃ ， ｃ ＝ ２ ， ｃ ＝ ２ ， ２ {ｘ －３ ｙ ＋ ｍ ＝０， ( ａｍ ｂｍ )
ｃ 解析 由 ｂ 得Ａ
所以双曲线离心率ｅ ２ ３． ｙ ｘ ｂ ａ， ｂ ａ ，
＝ ａ ＝ ＝ ａ ３ － ３ －
３
１５．（２０１７课标Ⅲ文，１４，５分）双曲线
ｘ２ ｙ２
ａ 的一条渐
{ｘ
－３
ｙ
＋
ｍ
＝０， ( ａｍ ｂｍ )
ａ２ － ＝１（ ＞０） 由 ｂ 得Ｂ 则线段 ＡＢ 的中点为 Ｍ
９ ｙ ｘ － ｂ ａ， ｂ ａ ，
＝－ ａ ３ ＋ ３ ＋
近线方程为ｙ ３ ｘ 则ａ ．
＝ ， ＝ æ ａ２ｍ ｂ２ｍ ö
答案
５
è
ç
ｂ２ ａ２，
３
ｂ２ ａ２ ø
÷．由题意得ＰＭ
⊥
ＡＢ
，∴
ｋ
ＰＭ＝－３，
得ａ２
＝４
ｂ２
＝
５ ９ － ９ －
解析 由题意可得 ３ ３ 所以ａ ． ｃ２ ａ２ 故ｅ２ ５ ｅ ５．
ａ ＝ ， ＝５ ４ －４ ， ＝ ，∴ ＝
５ ４ ２
６４８ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
时间： 分钟 分值： 分
５０ ８０
一、单项选择题 每题 分 共 分 ｍｘ２ ｎｙ２ ｍｎ 与抛物线ｘ２ ｙ有共同的焦点Ｆ 且点Ｆ
（ ５ ， ４５ ） ＋ ＝１（ ＜０） ＝８ ，
ｘ２ 到双曲线渐近线的距离等于 则双曲线的方程为
１．（２０２１届广东湛江高中毕业班调研测试，４）若双曲线 ｙ２ １， （ ）
ａ２ － ＝ ｙ２ ｘ２
ｘ２ ｙ２
Ａ． － ＝１ Ｂ． － ＝１
ａ 的一条渐近线方程为ｙ １ ｘ 则其离心率为 ３ ３
１（ ＞０） ＝－ ， （ ） ｙ２ ｘ２
２ ｘ２ ｙ２
Ｃ． － ＝１ Ｄ． － ＝１
３ ５ ５ ５
Ａ． Ｂ．２ Ｃ． Ｄ． ３ 答案 Ａ
２ ２
答案 Ｃ ８．（２０１９湖南长沙３月统一考试，６）已知Ｆ Ｆ 分别是双曲线
１， ２
ｘ２ ｙ２ Ｃ ｙ２ ｘ２ 的上 下焦点 Ｐ是其一条渐近线上的一点 且以
２．（２０２１届湘豫名校８月联考，７）已知双曲线Ｃ ａ ： － ＝１ 、 ， ，
：ａ２ －ｂ２ ＝１（ ＞ Ｆ Ｆ 为直径的圆经过点Ｐ 则 ＰＦ Ｆ 的面积为
１ ２ ， △ １ ２ （ ）
ｂ 的焦点分别为Ｆ Ｆ Ｐ为Ｃ上一点 ＰＦ
０， ＞０） １（－５，０）， ２（５，０）， ， １ ２
Ａ． Ｂ．１ Ｃ． ２ Ｄ．２
ＰＦ ＰＦ Ｆ ３ 则Ｃ的方程为 ２
⊥ ２，ｔａｎ∠ １ ２＝ ， （ ） 答案 Ｃ
４
Ａ． ｘ２ － ２ ｙ ４ ２ ＝１ Ｂ． ２ ｘ ４ ２ － ｙ２ ＝１ ９．（２０２１届湖南长沙一中月考（三），７）已知双曲线 ａ ｘ２ ２ － ｙ ｂ ２ ２ ＝１（ ａ ＞
ｘ２ ｙ２ ｘ２ ｙ２
ｂ 的左 右焦点分别为Ｆ Ｆ 圆ｘ２ ｙ２ ａ２ ｂ２ 与双曲线在第
Ｃ． － ＝１ Ｄ． － ＝１ ０， ＞０） 、 １、 ２， ＋ ＝ ＋
９ １６ １６ ９ 一象限和第三象限的交点分别为Ａ Ｂ 四边形ＡＦ ＢＦ 的周长ｐ与
答案 Ａ ， ， ２ １
面积Ｓ满足ｐ Ｓ 则该双曲线的离心率为
３．（２０２１届湖南长沙长郡、雅礼、一中联考，１２）已知双曲线Ｅ ＝４ ２ ， （ ）
：
ｘ２ ｙ２
ａ ｂ 过原点Ｏ任作一条直线 分别交双曲线 ６ ２ ３
ａ２ －ｂ２ ＝１（ ＞０， ＞０）， ， Ａ． ３ Ｂ． ２ Ｃ．
２
Ｄ．
３
Ｅ的两支于点Ｐ Ｑ 点Ｐ在第一象限 点Ｆ为Ｅ的左焦点 且 答案 Ｃ
， （ ）， ，
满足 ＰＦ ＦＱ ＯＰ ｂ 则Ｅ的离心率为 二、多项选择题 每题 分 共 分
｜ ｜＝３｜ ｜，｜ ｜＝ ， （ ） （ ５ ， １５ ）
ｘ２
１０．（２０２１届广东茂名五校联盟第一次联考，１１）双曲线Ｃ
Ａ．
答
３
案 Ａ
Ｂ． ２ Ｃ． ５ Ｄ．２ ：ａ２ －
４．（２０２１ 届浙江衢州、湖州、丽水三地教学质量检测，８）已知双
ｙ２
ａ ｂ 的焦点在圆Ｏ ｘ２ ｙ２ 上 圆Ｏ与双曲线
ｂ２ ＝１（ ＞０， ＞０） ： ＋ ＝１３ ，
ｘ２ ｙ２
曲线Ｃ ａ ｂ 的左 右焦点分别为Ｆ Ｆ 过点 Ｃ的渐近线在第一 二象限分别交于Ｍ Ｎ两点 点Ｅ ａ 满
：ａ２ －ｂ２ ＝１（ ＞０， ＞０） 、 １、 ２， 、 、 ， （０， ）
Ｆ 的直线ｌ与双曲线在第一象限的交点为Ｐ 若原点到直线ｌ 足Ｅ→Ｏ Ｅ→Ｍ Ｅ→Ｎ ０ 其中Ｏ为坐标原点 则正确的说法是
１ ， ＋ ＋ ＝ （ ），
的距离为ａ Ｆ ＰＦ ° 则双曲线Ｃ的离心率为
，∠ １ ２＝６０ ， （ ） 双曲线Ｃ的一条渐近线方程为 ｘ ｙ （ ）
Ａ． ３ －２ ＝０
７－２ ３ ７＋２ ３
Ａ． Ｂ．２ Ｃ． ３＋１ Ｄ． Ｏ→Ｅ
３ ３ Ｂ．｜ ｜＝１
答案 Ｄ
双曲线Ｃ的离心率为 １３
５．（２０２１届河北衡水中学期中，１１）已知点Ａ是抛物线 ｘ２ ｙ Ｃ．
＝４ ２
的对称轴与准线的交点 点Ｂ为抛物线的焦点 Ｐ在抛物线上 ＯＭＮ的面积为
， ， Ｄ．△ ６
且满足 ＰＡ ｍ ＰＢ 当ｍ取最大值时 点Ｐ恰好在以Ａ Ｂ为 答案 ＡＣＤ
｜ ｜＝ ｜ ｜， ， ，
焦点的双曲线上 则双曲线的离心率为 １１．（２０２１届河北张家口、邢台、衡水摸底联考，１７）已知双曲线
， （ ）
ｘ２ ｙ２
５－１ ２＋１ Ｅ ｍ 的一条渐近线方程为ｘ ｙ 则下列说
Ａ． Ｂ． Ｃ． ２＋１ Ｄ． ５－１ ：ｍ－ ＝１（ ＞０） ＋３ ＝０，
２ ２ ４
答案 Ｃ 法正确的是
（ ）
６．（２０２１届广东深圳实验学校１１月月考，７）已知双曲线Ｃ
ｘ２
Ｅ的焦点在ｘ轴上 ｍ ４
：ａ２ Ａ． Ｂ． ＝
９
ｙ２
ａ ｂ 的实轴长为 左焦点为Ｆ Ｍ是双曲线Ｃ Ｅ的实轴长为 Ｅ的离心率为 １０
－ｂ２ ＝１（ ＞０， ＞０） １６， ， Ｃ． ６ Ｄ．
３
的一条渐近线上的点 且 ＯＭ ＭＦ Ｏ 为坐标原点 若 ＯＭＦ 答案 ＡＤ
， ⊥ ， ， △
的面积为 则双曲线Ｃ的离心率为 １２．（２０２１届广东佛山顺德第二次教学质量检测，９）已知双曲线
１６， （ ）
ｘ２ ｙ２
的方程为 则下列说法正确的是
Ａ． ３ ３ Ｂ． ５ Ｃ． ３ Ｄ． ５ － ＝１， （ ）
２ ２ １６ ９
答案 Ｄ 焦点为
Ａ． （± ７，０）
７．（２０２１届陕西交大附中、龙岗中学第一次联考，９）已知双曲线 渐近线方程为 ｘ ｙ
Ｂ． ３ ±４ ＝０
专题九 圆锥曲线 ６４９
．
离心率ｅ ５
Ｃ． ＝ 答案
４
焦点到渐近线的距离为 １０
Ｄ． ４ 四、解答题 共 分
答案 ＢＣ （ １０ ）
１５．（２０２０湖北武昌实验中学月考）已知Ｆ ｃ Ｆ ｃ 为
三、填空题 每题 分 共 分 １（－ ，０）， ２（ ，０）
１３．（２０２１届
（
湖南
５
长沙
，
长郡
１０
中学
）
１１ 月第三次月考，１３）已知直 双曲线Ｃ ｘ２
ｙ２
ｂ 的左 右焦点 过点Ｆ 作垂直于ｘ
ｘ２ ｙ２
： －ｂ２ ＝１（ ＞０） 、 ， ２
线ｙ ｘ与双曲线Ｃ ａ ｂ 有两个交点 则 轴的直线 并在 ｘ 轴上方交双曲线 Ｃ 于点 Ｍ 且 ＭＦ Ｆ
＝ ３ ：ａ２ －ｂ２ ＝１（ ＞０， ＞０） ， ， ， ∠ １ ２
°．
双曲线Ｃ的离心率的取值范围是 ． ＝３０
求双曲线Ｃ的方程
答案 （１） ；
１４．（２０２０ 江 （ 苏 ２， 南 ＋∞ 通 ） 中学１０月月考，７）已知双曲线 ａ ｘ２ ２ － ｙ ｂ ２ ２ ＝１（ ａ （２） 过 交 圆 双曲 Ｏ ： 线 ｘ２ Ｃ ＋ ｙ 于 ２ ＝ Ａ ｂ ， ２ Ｂ 上 两 任 个 意 不 一 同 点 的 Ｑ 点 （ ｘ ， ０ Ａ ， Ｂ ｙ ０ 的 ） 作 中 圆 点 Ｏ 为 的 Ｎ 切 ， 证 线 明 ｌ ： ，
ｂ 的一条渐近线方程为 ｘ ｙ 则双曲线的离心率为 ｜ ＡＢ ｜＝２｜ ＯＮ ｜ ．
＞０， ＞０） ３ ＋ ＝０，
６５０ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
１．（２０１９河南洛阳尖子生第二次联考，４）经过点 且渐近
ｃ
（２，１）， 所以双曲线的离心率为 ５ 故 正确
线与圆ｘ２ ｙ ２ 相切的双曲线的标准方程为 ａ ＝ ， Ａ ；
＋（ －２） ＝１ （ ） ２
ｘ２ ｙ２ ｘ２ ｂ
ｙ２ 双曲线的渐近线方程为ｙ ｘ １ ｘ 故 错误
Ａ． － ＝１ Ｂ． － ＝１ ＝± ａ ＝± ， Ｂ ；
１１ １１ ２ ２
３ 由双曲线的方程为
ｘ２
ｙ２ 得其共轭双曲线为ｙ２
ｘ２
ｙ２ ｘ２ ｙ２ ｘ２ － ＝１， － ＝１，
４ ４
Ｃ． － ＝１ Ｄ． － ＝１ 故 错误
１１ １１ １１ １１ Ｃ ；
答
３
案 Ａ 设双曲线的渐近线方程为
３
ｙ ｋｘ 即ｋｘ ｙ 由渐
由双曲线的方程为
ｘ２
－
ｙ２
＝１，
＝ ， － ＝０， ４
近线与圆ｘ２ ＋（ ｙ －２） ２ ＝１ 相切可得圆心 （０，２） 到渐近线的距离 得焦点为 （± ５，０）， 代入曲线的方程 ｘ２ － ５ ｜ ｘ ｜＋ ｔｙ２ ＝０（ ｔ ∈
等于半径 由点到直线的距离公式可得｜
ｋ
×０－２｜ 解得ｋ
Ｒ
），
满足方程
，
故
Ｄ
正确．
１， ｋ２ ＝１， ＝ 故选ＡＤ．
＋１
± ３ ．又因为双曲线经过点 （２，１）， 所以双曲线的焦点在 ｘ 轴 ３．已知双曲线 ｘ２ ｙ２ 的左 右焦点分别为Ｆ Ｆ 点Ｐ是该双曲
ｘ２ ｙ２ １６
－
４８
＝１ 、 １， ２，
上 ， 可设双曲线的方程为 ａ２ －ｂ２ ＝１（ ａ ＞０， ｂ ＞０）， 将 （２，１） 代入 线上的一点 ， 且 ｜ ＰＦ １｜＝１０， 则 ｜ ＰＦ ２｜＝ （ ）
或
ì ï４ １ { Ａ．２ １８ Ｂ．２ Ｃ．１８ Ｄ．４
可得 ４ １ 由í
ïａ２ －ｂ２ ＝１，
得
ａ２
＝
１１
，故所求双曲线的标
答案 Ｃ 由已知得ａ
＝４，
ｂ
＝４ ３，
ａ２ －ｂ２ ＝１，
î
ï ï
ａ
ｂ
＝ ３
ｂ２
＝１
３
１，
又
因为
ｃ２ ＝
Ｐ
ａ
Ｆ
２ ＋ ｂ２ ， 所以
ａ
ｃ
ｃ
＝８，
｜ １｜＝１０＜ ＋ ＝１２，
准方程为
ｘ２ ｙ２
．故选 ．
所以点Ｐ在该双曲线左支上
，
则
｜
ＰＦ
２｜ ＝２
ａ
＋｜
ＰＦ
１｜ ＝２×４＋１０
－ ＝１ Ａ
１１ １１ ＝１８，
故选 ．
３ Ｃ
一题多解 设双曲线的方程为ｍｘ２
－
ｎｙ２
＝１（
ｍｎ
＞０），
将
（２，１） ４．（２０２０北大附中周测，８）已知Ｆ为双曲线Ｃ
ｘ２ ｙ２
ａ ｂ
代入方程可得 ｍ ｎ ．双曲线的渐近线方程为 ｙ ：ａ２ －ｂ２ ＝１（ ＞ ＞
，４ － ＝ １① ＝
ｍ 的右焦点 Ａ Ｂ是双曲线Ｃ的一条渐近线上关于原点对称的两
± ｎ ｘ ， 圆ｘ２ ＋（ ｙ －２） ２ ＝１ 的圆心为 （０，２）， 半径为 １， 由渐近 点 ０） ＡＦ ＢＦ ， 且 、 ＡＦ的中点在双曲线Ｃ上 则Ｃ的离心率为
， ⊥ ， ，
ｍ
线与圆ｘ２ ｙ ２ 相切 可得 ２ 即 由 （ ）
＋（ －２） ＝１ ， ｍ ＝１， ｎ ＝３②， ①
３＋１ ５＋１
１＋ ｎ Ａ． ５－１ Ｂ． Ｃ． Ｄ． ３＋１
２ ２
可得ｍ ３ ｎ １ 所以该双曲线的标准方程为
ｘ２ ｙ２ 答案 Ａ 本题考查双曲线的几何性质
，
通过双曲线的几何
② ＝ ， ＝ ， － ＝１， 性质考查学生分析问题 处理问题的能力 体现直观想象 数学
１１ １１ １１ １１ 、 ， 、
运算的核心素养．
３
故选 ． 因为ａ ｂ 所以 ｅ
Ａ
＞ ＞０， １＜ ＜ ２，
解后反思 用待定系数法求双曲线的方程时 先确定焦点在ｘ 双曲线的一条渐近线方程为 ｂｘ ａｙ 由渐近线上的点 Ａ Ｂ
， ＋ ＝０， 、
轴还是ｙ轴上 设出标准方程 再由条件确定 ａ２ ｂ２ 的值 即 关于原点对称 ＡＦ ＢＦ 可得ＡＯ ＯＢ ＯＦ ｃ．
， ， ， ， ， ⊥ ， ＝ ＝ ＝
先定型 再定量 如果焦点的位置不好确定 可将双曲线的 (ｃ ａ ｂ )
“ ， ”， ， 当Ａ ａ ｂ 时 Ｆ ｃ 可得ＡＦ的中点坐标为 －
ｘ２ ｙ２ ① （－ ， ） ， （ ，０）， ， ，
方程设为 λ λ 或ｍｘ２ ｎｙ２ ｍｎ 再根据条 ２ ２
ｍ２ －ｎ２ ＝ （ ≠０） － ＝１（ ＞０）， ｃ ａ ２ ｂ２ ｃ ａ ２
所以（ － ） 即（ － ） 解得ｅ 舍去 或ｅ
件求解． ａ２ － ｂ２ ＝１， ａ２ ＝５， ＝ ５＋１（ ） ＝
４ ４
ｘ２ 舍去
２．（多选题）已知双曲线的方程为 ｙ２ 则双曲线的 － ５＋１（ ），
４ － ＝１， （ ） ② 如图 ， 当 Ａ （ ａ ，－ ｂ ） 时 ， Ｆ （ ｃ ，０）， 可得 ＡＦ 的中点坐标为
离心率为 ５ (ｃ ＋ ａ ｂ ) 所以（ ｃ ＋ ａ ） ２ ｂ２ 即（ ｃ ＋ ａ ） ２ 解得ｅ
Ａ． ，－ ， ａ２ － ｂ２ ＝１， ａ２ ＝５， ＝ ５－１
２ ２ ２ ４ ４
Ｂ． 渐近线方程为ｙ ＝± １ ｘ 或ｅ ＝－ ５－１（ 舍去 ）， 故选 Ａ ．
４
ｙ２
共轭双曲线为 ｘ２
Ｃ． － ＝１
４
焦点在曲线ｘ２ ｘ ｔｙ２ ｔ Ｒ 上
Ｄ． － ５｜ ｜＋ ＝０（ ∈ ）
ｘ２
答案 ＡＤ 由双曲线的方程为 ｙ２ 可得ａ ｂ
－ ＝１， ＝２， ＝１，
４
又ｃ２ ａ２ ｂ２ 所以ｃ ａ２ ｂ２ 思路分析 首先写出双曲线的渐近线方程 求得点Ａ的坐标
＝ ＋ ， ＝ ＋ ＝ ５， ， ，
专题九 圆锥曲线 ６５１
然后求ＡＦ的中点 代入双曲线方程即可求解． ｘ２
， 解析 由双曲线 ｙ２ 得ａ ｂ 焦点在ｘ轴上
ｘ２ ｙ２ － ＝１ ＝２， ＝１， ，
５．（２０２０湖北黄冈中学期中）已知双曲线 ａ ｂ ４
ａ２ －ｂ２ ＝１（ ＞０， ＞０）
双曲线
ｘ２
ｙ２ 的渐近线方程为ｙ
ｂ
ｘ １ ｘ．
的 双 左 曲 、 线 右 右 焦 支 点 于 分 点 别 Ｍ 为 若 Ｆ １、 Ｆ Ｆ ２， Ｍ 过 Ｆ 点Ｆ １ ° 作 则 圆 双 ｘ２ 曲 ＋ 线 ｙ２ 的 ＝ ａ 渐 ２ 的 近 切 线 线 方 ， 程 交 为 ∴ 思路分析 ４ 由 － 双 ＝ 曲 １ 线的方程确定双曲 ＝ 线 ± 的 ａ 焦 ＝ 点 ± ２ 所在坐标轴
， ∠ １ ２＝４５ ， 以及ａ ｂ 从而确定双曲线的渐近线方程． ，
， ，
（ ） ｘ２ ｙ２
９．（２０２０湖北武汉月考）双曲线Ｃ ａ ｂ 的左
Ａ．
ｙ
＝±
１ ｘ
Ｂ．
ｙ
＝±
ｘ
Ｃ．
ｙ
＝± ２
ｘ
Ｄ．
ｙ
＝± ３
ｘ ：ａ２ －ｂ２ ＝１（ ＞０， ＞０） 、
２
答案 Ｃ 如图 设直线Ｆ Ｍ与圆Ｏ的切点为Ａ 连接ＯＡ 右焦点分别为Ｆ ｃ Ｆ ｃ 过Ｆ 且斜率为 的直线与
， １ ， ， １（－ ，０）、 ２（ ，０）， １ ３
作Ｆ Ｂ Ｆ Ｍ于点Ｂ． 双曲线的左 右两支分别交于点Ａ Ｂ 若 →ＢＡ Ｂ→Ｆ Ａ→Ｆ
２ ⊥ １ 、 、 ， （ ＋ ２）· ２＝０，
则 ＯＡ ａ Ｆ Ｂ ＢＭ ａ Ｆ Ｍ ａ Ｆ Ｂ ｂ． 则Ｃ的离心率为 ．
｜ ｜＝ ，｜ ２ ｜＝｜ ｜＝２ ，｜ ２ ｜＝２ ２ ，｜ １ ｜＝２
又点Ｍ在双曲线右支上 Ｆ Ｍ Ｆ Ｍ ａ ｂ ａ ａ
，∴ ｜ １ ｜－｜ ２ ｜＝２ ＋２ －２ ２ ＝２ ， 答案 １＋ １３
整理得ｂ ａ 即 ｂ ２
＝ ２ ， ａ ＝ ２， 解析 由 →ＢＡ Ｂ→Ｆ Ａ→Ｆ →ＢＡ Ｂ→Ｆ Ｂ→Ｆ →ＢＡ
（ ＋ ２）· ２ ＝（ ＋ ２）·（ ２－ ）＝
∴ 双曲线的渐近线方程为ｙ ＝± ２ ｘ． ｜ Ｂ→Ｆ ２｜ ２ －｜ →ＢＡ ｜ ２ ＝０ 得 ｜ ＢＦ ２｜＝｜ ＢＡ ｜，
故选Ｃ． 根据双曲线的定义可得 ＢＦ ＢＦ ａ ＡＦ ＡＦ ａ
｜ １｜－｜ ２｜＝２ ，｜ ２｜－｜ １｜＝２ ，
所以 ＡＦ ＢＦ ＢＡ ａ
｜ １｜＝｜ １｜－｜ ｜＝２ ，
因此 ＡＦ ａ ＡＦ ａ
｜ ２｜＝２ ＋｜ １｜＝４ ，
因为直线ＡＢ的斜率为 所以 ＡＦ Ｆ °
３， ∠ １ ２＝６０ ，
又 Ｆ Ｆ ｃ
｜ １ ２｜＝２ ，
所 以 ° ｜
ＡＦ
１｜
２
＋｜
Ｆ
１
Ｆ
２｜
２
－｜
ＡＦ
２｜
２
４
ａ２
＋４
ｃ２
－１６
ａ２
ｃｏｓ ６０ ＝ ＡＦ Ｆ Ｆ ＝ ａ ｃ
６．（２０２０浙江湖州期末，６）已知双曲线 ｘ２ ｙ２ 的左 右焦点 ２｜ １｜｜ １ ２｜ ４ ·２
－ ＝１ 、 ｃ２ ａ２
１６ ４ －３
分别为Ｆ Ｆ 过Ｆ 的直线ｌ交双曲线于Ｐ Ｑ两点 若ＰＱ长 ＝ ２ ａｃ ，
为 则 １ Ｐ ， Ｑ ２ Ｆ ， 的周 ２ 长是 ， ， 即ｃ２ － ａｃ －３ ａ２ ＝０， 所以ｅ２ － ｅ －３＝０，
５， △ １ （ ）
Ａ．１３ Ｂ．１８ Ｃ．２１ Ｄ．２６ 解得ｅ １＋ １３或ｅ １－ １３ 舍 双曲线的离心率大于 ．
答案 Ｄ 本题主要考查双曲线的定义运用． ＝
２
＝
２
（ ， １）
若直线ｌ与双曲线的两支均相交 则 ＰＱ ａ 这与已知矛
， ｜ ｜≥２ ＝８，
盾 所以ｌ与双曲线的右支交于点Ｐ Ｑ．
， 、
{ ＰＦ ＰＦ ａ
由双曲线的定义知 ｜ １｜＝｜ ２｜＋２ ，所以 ＰＱＦ 的周长为
ＱＦ ＱＦ ａ △ １
｜ １｜＝｜ ２｜＋２ ，
ＰＱ ＰＦ ＱＦ ＰＱ ａ 故选 ．
｜ ｜＋｜ １｜＋｜ １｜＝２｜ ｜＋４ ＝２×５＋４×４＝２６， Ｄ
７．（２０１８浙江教育绿色评价联盟适应性试卷（５ 月），８）已知
ｘ２ ｙ２
Ｆ Ｆ 是双曲线 ａ ｂ 的左 右焦点 Ｐ是双曲
１， ２ ａ２ －ｂ２ ＝１（ ＞０， ＞０） ， ， 思路分析 先由 →ＢＡ Ｂ→Ｆ Ａ→Ｆ 得出 ＢＦ ＢＡ 再由
线上的一点 ， 且ＰＦ １⊥ ＰＦ ２， 若 △ ＰＦ １ Ｆ ２ 的内切圆半径为 ２ ａ ， 则 双曲 ａ 线 根 的 据 定 直 义 线 求出 Ａ （ Ｂ ｜ Ａ 的 ＋ Ｆ 斜 １｜ 率 ＝ ２） ｜ 得 · ＢＦ 到 １｜ ２ － ＝ ｜ Ａ ０ Ｂ Ｆ ， Ａ Ｆ ｜＝２ ａ ｜ ， ° ｜ Ａ ２ 由 Ｆ ｜ ２ ＝ 余 ｜ ｜ ＝ 弦 ２ ａ 定 ｜ ＋ ， 理 ｜ ＡＦ 列 １
该双曲线的离心率为 ｜＝４ ， ∠ １ ２＝６０ ，
（ ）
出方程求解 即可得出结果．
，
１０．（２０１８江苏高邮中学阶段考试，９）如图所示 Ｆ 和 Ｆ 是双
Ａ． ６－１ Ｂ． ３
２
＋１ Ｃ． ６
２
＋１ Ｄ． ６＋１
曲线
ｘ２ ｙ２
ａ ｂ 的两个焦点 Ａ和
，
Ｂ
１
是以Ｏ
２
为圆
答案 Ｃ 由题意知 ａ２ －ｂ２ ＝１（ ＞０， ＞０） ，
ì ï ï ｜ Ｐ ｜ Ｐ Ｆ Ｆ １ ２ ｜－｜ Ｐ Ｐ Ｆ Ｆ ２｜ ２ ｜＝２ ｃ ａ ２ ， { ｜｜ ＰＦ １｜－｜ ＰＦ ２｜｜＝２ ａ ，① 心 是 、 等 Ｏ 边 Ｆ １ 三 为 角 半 形 径的 则 圆 该双 与 曲 该 线 双 的 曲 离 线 心 左 率 支 为 的两个交点 ． ， 且 △ Ｆ ２ ＡＢ
í｜ １｜ ＋｜ ２｜ ＝４ ， 即 ＰＦ ２ ＰＦ ２ ｃ２ ，
ï ＰＦ ＰＦ ｃ ａ ｜ １｜ ＋｜ ２｜ ＝４ ，
ï｜ １｜＋｜ ２｜－２ ＰＦ ＰＦ ａ ｃ
î ＝ ， ｜ １｜＋｜ ２｜＝ ＋２ ，②
２ ２
由 ２ ２ 得 ＰＦ ２ ＰＦ ２ ａ２ ａｃ ｃ２ 即 ｃ２ ａ２
① ＋② ２（｜ １｜ ＋｜ ２｜ ）＝５ ＋４ ＋４ ， ８ ＝５ ＋
ａｃ ｃ２
４ ＋４ ，
故 ｅ２ ｅ 解得ｅ ６＋１ 负的已舍 故选 ．
４ －４ －５＝０， ＝ （ ）， Ｃ
２ 答案
ｘ２ ３＋１
８．（２０２０北京十四中期中，１０）双曲线
－
ｙ２
＝１
的渐近线方程
解析 由题意得 ＡＦ Ｆ Ｆ ° ｃ ＡＦ
４ ｜ ２｜ ＝｜ １ ２｜·ｃｏｓ ３０ ＝ ３ ，｜ １｜ ＝
为 ． Ｆ Ｆ ° ｃ．由双曲线的定义得 ＡＦ ＡＦ ａ 即
｜ １ ２｜·ｓｉｎ３０ ＝ ｜ ２｜－｜ １｜＝２ ，
ｃ
答案 ｙ １ ｘ ａ ｃ ｅ ２ ．
＝± ２ ＝（ ３－１） ，∴ ＝ ａ ＝ ＝ ３＋１
２ ３－１
６５２ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
１１．（２０１８江苏扬州期末检测，１０）在平面直角坐标系ｘＯｙ中 若 答案
， （１，２）
ｘ２ ｙ２ ｘ２ ｙ２
双曲线 ａ ｂ 的渐近线与圆ｘ２ ｙ２ ｙ 解析 椭圆 的右焦点Ｆ为
ａ２ －ｂ２ ＝１（ ＞０， ＞０） ＋ －６ ＋５＝０ ＋ ＝１ （２，０），
１６ １２
没有交点 则双曲线离心率的取值范围是 ． ｘ２ ｙ２
， 不妨取双曲线Ｅ ａ ｂ 的一条渐近线为ｂｘ
( ) ：ａ２ －ｂ２ ＝１（ ＞０， ＞０） ＋
答案 ３
１， ａｙ
２ ＝０，
解析 圆ｘ２ ＋ ｙ２ －６ ｙ ＋５＝０ 的标准方程为ｘ２ ＋（ ｙ －３） ２ ＝４， 双 则Ｆ到渐近线ｂｘ ａｙ 的距离ｄ ｜２ ｂ ｜
曲线的渐近线方程为ｙ
ｂ
ｘ 即ｂｘ ａｙ 由条件知圆心到
＋ ＝０ ＝ ｂ２
＋
ａ２ ＜ ３，
＝± ａ ， ± ＝０，
即有 ｂ ｃ ｂ２ ｃ２
ａ ２ ＜ ３ ，∴４ ＜３ ，
渐近线的距离大于半径 从而有 ｜３ ｜ ａ ｃ ｅ ｃ２ ａ２ ｃ２
， ａ２ ＋ ｂ２ ＞２，∴ ３ ＞２ ，∴ ＜ ∴４ ｅ （ － ）＜３ ，
( ) ∴ ＜２，
３ 又ｅ ｅ ３ 离心率的取值范围是 ３ ． ∵ ｅ ＞１，∴１＜ ｅ ＜２ ．
２ ， ＞１，∴１＜ ＜ ２ ，∴ １， ２ 失分警示 求双曲线离心率的范围时一定要注意离心率大
评析 本题根据双曲线的渐近线与圆没有交点，即圆心到渐
于 的前提条件．
近线的距离大于半径找到基本量的关系，得到离心率的范围，
１５．（２０
１
１８河北名校名师俱乐部二调，１５）已知Ｆ Ｆ 分别是双
是基础题． １、 ２
ｙ２
１２．（２０１８江苏南京、盐城高三二模，８）在平面直角坐标系 ｘＯｙ 曲线ｘ２ －ｂ２ ＝１（ ｂ ＞０） 的左 、 右焦点 ， Ａ是双曲线上在第一象限
中
，
双曲线Ｃ
：
ｘ２
－
ｙ
ｂ
２
２ ＝１（
ｂ
＞０）
的两条渐近线与圆Ｏ
：
ｘ２
＋
ｙ２
＝２
内
支
的
于
点
点 ， Ｂ
若
则 ｜
ＡＦ
２ Ｆ ｜＝ Ａ ２ Ｂ
且
的 ∠ 面
Ｆ
积 １
Ａ
等
Ｆ
于 ２＝４５
°
，
延长
．
ＡＦ
２
交双曲线的右
的四个交点依次为Ａ Ｂ Ｃ Ｄ．若矩形ＡＢＣＤ的面积为ｂ 则ｂ ， △ １
， ， ， ， 答案
的值为 ． ４
解析 由题意知ａ 由双曲线定义知 ＡＦ ＡＦ ａ
答案 ＢＦ ＢＦ ａ
＝１， ｜ １｜－｜ ２｜＝２ ＝
解析 双 ７ 曲线的渐近线方程为ｙ ｂｘ 与圆的方程联立 解 ２，｜ ＡＦ １｜－｜ ２ Ａ ｜ Ｆ ＝２ ＝２， ＢＦ ＢＦ ．
＝± ， ， ∴ ｜ １｜＝２＋｜ ２｜＝４，｜ １｜＝２＋｜ ２｜
ì ï
ï
ｘ２
＝
２
ｂ２，
由题
Ｂ
意
Ａ
知 ｜
Ｂ
ＡＢ
Ｆ
｜＝｜ ＡＦ ２｜＋｜ ＢＦ ２｜＝２＋｜ ＢＦ ２｜，
得í １＋ 由对称性知矩形 ＡＢＣＤ 的面积 ｂ ｘｙ ∴ ｜ ｜＝｜ １｜，
ï ｂ２ ＝４｜ ｜ ＝ ＢＡＦ 为等腰三角形
î ïｙ２ ＝ ２ ｂ２， ∴ △ Ｆ ＡＦ １ ° ，
１＋ ∵ ∠ １ ２＝４５ ，
２ ２
ｂ２
解得ｂ ． ∴ ∠
ＡＢＦ
１＝９０
°
，
４
１＋
ｂ２ ×
１＋
ｂ２， ＝ ７
∴ △
ＢＡＦ
１
为等腰直角三角形．
解题关键 本题关键是抓住对称性 得到矩形ＡＢＣＤ的面积
， ＢＡ ＢＦ ２ ＡＦ ２ ．
ｂ ｘｙ ． ∴ ｜ ｜＝｜ １｜＝ ｜ １｜＝ ×４＝２ ２
＝４｜ ｜ ２ ２
１３．（２０１８南通高三调研，７）在平面直角坐标系ｘＯｙ中 已知双
， Ｓ １ ＢＡ ＢＦ １ ．
曲线Ｃ与双曲线ｘ２
ｙ２
有公共的渐近线 且经过点Ｐ
∴ △ Ｆ １ ＡＢ＝
２
｜ ｜·｜ １｜＝
２
×２ ２×２ ２＝４
－ ＝１ ， （－２，
３
则双曲线Ｃ的焦距为 ．
３），
答案
４ ３
ｙ２
解析 双曲线Ｃ与双曲线ｘ２ 有公共的渐近线
∵ － ＝１ ，
３
ｙ２
设双曲线Ｃ的方程为ｘ２ λ λ
∴ － ＝ （ ＞０）， ｘ２ ｙ２
３ １６．（２０１７河南百校联盟质检，１６）已知双曲线Ｃ ａ
双曲线Ｃ经过点Ｐ ：ａ２ －ｂ２ ＝１（ ＞
∵ （－２， ３），
λ ． ｂ 的左 右焦点分别为 Ｆ ｃ Ｆ ｃ Ａ Ｂ 是圆
∴ ＝４－１＝３ ０， ＞０） 、 １（－ ，０）， ２（ ，０）， ，
双曲线Ｃ的方程为
ｘ２ ｙ２
． （
ｘ
＋
ｃ
）
２
＋
ｙ２
＝４
ｃ２ 与双曲线 Ｃ 位于 ｘ 轴上方的两个交点
，
且
∴ － ＝１ Ｆ Ａ Ｆ Ｂ 则双曲线Ｃ的离心率为 ．
３ ９ １ ∥ ２ ，
双曲线Ｃ的焦距为 ．
∴ ２ ３＋９＝４ ３ 答案 ３＋ １７
方法归纳 与双曲线
ｘ２ ｙ２
ａ ｂ 有公共渐近线的 ４
ａ２ －ｂ２ ＝１（ ＞０， ＞０） 解析 由双曲线定义得
｜
ＡＦ
２｜＝２
ａ
＋２
ｃ
，｜
ＢＦ
２｜＝２
ｃ
－２
ａ
，
双曲线的方程可设为
ｘ２ ｙ２
λ λ 此种方法比用基本量
因为Ｆ
１
Ａ
∥
Ｆ
２
Ｂ
，
ａ２ －ｂ２ ＝ （ ＞０）， 所以
∠
Ｆ
２
Ｆ
１
Ａ
＋∠
Ｆ
１
Ｆ
２
Ｂ
＝１８０
°
，
求ａ ｂ要简单． 所以 Ｆ Ｆ Ａ Ｆ Ｆ Ｂ
， ｃｏｓ∠ ２ １ ＝－ｃｏｓ∠ １ ２ ，
１４．（２０１７安徽池州模拟，１５）已知椭圆
ｘ２ ｙ２
的右焦点 Ｆ 结合余弦定理得４
ｃ２
＋４
ｃ２
－（２
ａ
＋２
ｃ
）
２
４
ｃ２
＋（２
ｃ
－２
ａ
）
２
－４
ｃ２
＋ ＝１ ｃ ｃ ＝－ ｃ ｃ ａ ，
１６ １２ ２×２ ×２ ２×２ ×（２ －２ ）
到双曲线Ｅ
ｘ２ ｙ２
ａ ｂ 的渐近线的距离小于
所以
２
ｅ２
－３
ｅ
－１＝０，
又ｅ
＞１，
：ａ２ －ｂ２ ＝１（ ＞０， ＞０） ３，
所以ｅ ３＋ １７．
则双曲线Ｅ的离心率的取值范围是 ． ＝
４
专题九 圆锥曲线 ６５３
圆与双曲线有共同的焦点Ｆ Ｆ 且 Ｆ Ｆ 椭圆的
１， ２， ｜ １ ２｜＝２ １３，
长半轴长与双曲线实半轴长之差为 离心率之比为 ．
４， ３ ∶ ７
求椭圆和双曲线的方程
（１） ；
若Ｐ为这两曲线的一个交点 求 Ｆ ＰＦ 的值．
（２） ， ｃｏｓ∠ １ ２
ｘ２ ｙ２
解析 由题意知ｃ 设椭圆方程为 ａ ｂ
（１） ＝ １３， ａ２ ＋ｂ２ ＝１（ ＞
ｘ２ ｙ２
双曲线方程为 ｍ ｎ
１７．（２０１８浙江名校协作体联考，１６）已知双曲线
ｘ２ ｙ２
ａ
＞０）， ｍ２ －ｎ２ ＝１（ ＞０， ＞０），
ａ２ －ｂ２ ＝１（ ＞ {ａ ｍ
－ ＝４，
ｂ 的右焦点为Ｆ 过Ｆ的直线ｌ与双曲线的渐近线交于 则 解得ａ ｍ ．则ｂ ｎ ．
０， ＞０） ， １３ １３ ＝７， ＝３ ＝６， ＝２
Ａ Ｂ两点 且与其中一条渐近线垂直 若→ＡＦ Ｆ→Ｂ 则此双曲 ７· ａ ＝３· ｍ ，
， ， ， ＝３ ，
线的离心率为 ． ｘ２ ｙ２ ｘ２ ｙ２
故椭圆方程为 双曲线方程为 ．
＋ ＝１， － ＝１
答案 ６ 不妨设Ｆ ４ Ｆ ９ 分 ３６ 别为左 右焦点 Ｐ是 ９ 第一 ４ 象限的一个交
２ （２） １， ２ 、 ，
解析 设渐近线 ｌ 的倾斜角为 θ 且 ＡＢ ｌ 则由题意知 点 则 ＰＦ ＰＦ ＰＦ ＰＦ
１ ， ⊥ １， ， ｜ １｜＋｜ ２｜＝１４，｜ １｜－｜ ２｜＝６，
ｂ 所以 ＰＦ ＰＦ ．又 Ｆ Ｆ
θ 且满足 θ θ 利用二倍角公式展开 知 ｜ １｜＝１０，｜ ２｜＝４ ｜ １ ２｜＝２ １３，
ｔａｎ ＝ ａ ， ｔａｎ ２ ＝４ｔａｎ ， ， ＰＦ ２ ＰＦ ２ Ｆ Ｆ ２
所以 Ｆ ＰＦ ｜ １｜ ＋｜ ２｜ －｜ １ ２｜
２ｔａｎ
２
θ
θ＝４ｔａｎ
θ
，
故
ｔａｎ
２θ
＝
１
，
所以
ａ
ｂ２
２ ＝
１
，
即ｅ２
＝
３
，
因此ｅ ｃｏｓ∠ １ ２＝ ２｜ ＰＦ １｜｜ ＰＦ ２｜
１－ｔａｎ ２ ２ ２ ２ ２ ２
１０ ＋４ －（２ １３） ４ ．
＝ ＝
６． ２×１０×４ ５
＝
２
１８．（２０１８江苏启东中学月考）中心在原点 焦点在ｘ轴上的椭
，
