跟踪训练05双曲线（解析版）_2.2025数学总复习_2024年新高考资料_3.2024专项复习_更新中2024年新高考数学一轮复习之题型归纳与重难专题突破提升（新高考专用）_第八章平面解析几何

跟踪训练 05 双曲线 1．已知双曲线 ，则该双曲线的离心率为 A． B． C． D． 【解答】解：双曲线 ，则 ， ，则 ， 该双曲线的离心率 ， 故选： ． 2．过双曲线 的右焦点 作一条渐近线的垂线，垂足为 ．若 为坐标原点），则该双曲线的离心率为 A． B． C．2 D． 或2 【解答】解：在 中，因为 ， 所以 ，则 ， 所以 ， 故选： ． 3．已知 ， 分别为双曲线 的左、右焦点，过 与双曲线的一条 渐近线平行的直线交双曲线于点 ，若 ，则双曲线的离心率为 A．3 B． C． D．2【解答】解：因为 ，① 易知在双曲线中 ，② 联立①②，解得 ， ， 因为过 与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线于点 ， 又双曲线渐近线斜率为 ， 所以直线 的斜率为 ， 即 ， 可得 ， 又 ， 所以 ， 由余弦定理得 ， 因为 ， 所以 ， 整理得 ， 则 ． 故选： ． 4 ． 已 知 抛 物 线 的 焦 点 为 ， 准 线 为 ， 且 与 双 曲 线 的两条渐近线分别交于 ， 两点，若 是正三角形，则双曲线 的离心率为 A． B． C． D． 【解答】解：由题意，得 ， 不妨设点 在点 的上方，则抛物线 的准线 与双曲线的渐近线的交点 ， ， 因为 是等边三角形， 所以 ， 所以 ， 所以双曲线的离心率 ． 故选： ． 5．若双曲线 的左焦点为 ，点 是双曲线右支上的动点， ，则 的最小值是 A．8 B．9 C．10 D．12 【解答】解：不妨设 为双曲线 的右焦点， 可得 ， 又点 是双曲线右支上的动点， ， 所以， 当且仅当 ， ， 共线时，等号成立， 则 的最小值为9． 故选： ． 6．双曲线 的两条渐近线的夹角为 A． B． C． D． 【解答】解：双曲线 中， ， ， 则其渐近线方程为 ， 直线 的倾斜角为 ，直线 的倾斜角为 ， 则双曲线 的两条渐近线的夹角为 ． 故选： ． 7．已知双曲线 的一条渐近线与直线 平行，则 A．36 B． C．6 D． 【解答】解：由题设，双曲线渐近线为 ，其中一条与 平行， 所以 ． 故选： ． 8．已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，过 斜率为 的直 线与 的右支交于点 ，若线段 恰被 轴平分，则 的离心率为 A． B． C．2 D．3【解答】解：如图，设 交 轴与 ， 为 的中点， 因为 为 的中点， 故 为△ 的中位线， 则 ， 而 ， 则 ， 因为直线 的斜率为 ， 故在 △ 中， ， 设 ， 则 ， ， 结合双曲线定义以及 在双曲线右支上， 则 ， ， 则 ， ． 故选： ． 9．过双曲线 的左焦点 作 的一条切线，设切点为 ，该切线与双曲线 在第一象限交于点 ，若 ，则双曲线 的离心率为 A． B． C． D． 【解答】解：令双曲线 的右焦点为 ，半焦距为 ，取线段 中点 ，连接 ， ， ， 因为 切圆 于 ， 则 ， 有 ， 因为 ， 则有 ， ， 而 为 的中点， 于是 ， 即 ， ， 在 △ 中， ， 整理得 ， 所以双曲线 的离心率 ． 故选： ．10．已知双曲线 的上下焦点分别为 ， ，点 在 的下支上， 过点 作 的一条渐近线的垂线，垂足为 ，若 恒成立，则 的离 心率的值可能为 A． B． C．2 D． 【解答】解：过点 作渐近线的垂线，垂足为 ， 不妨设 ， 此时点 到渐近线 的距离 ， 由双曲线的定义可得 ， 所以 ， 此时 ， 则 的最小值为 ， 因为 恒成立， 所以 恒成立， 即 恒成立，所以 ， 对等式两边同时平方得 ，① 又 ，② 联立①②，解得 ， 对等式两边同除 得 ， 解得 ， 故则 的离心率的值可能为 ． 故选： ． 11．已知 ， 分别是双曲线 的左、右焦点， 为双曲线右支 上一点，若 ， ，则双曲线的离心率为 A． B． C． D．2 【解答】解：设 ， ，则 ， ， 由余弦定理可得： ， 由双曲线的定义可知 ， ，即 ， ，解得 或 （舍 ． 故选： ． 12．若离心率为 的双曲线与椭圆 的焦点相同，则双曲线的方程是A． B． C． D． 【解答】解：由题知在椭圆中 ， 焦点坐标为 ， ， 双曲线中，焦点坐标为 ， ， ， ， ， ， ． 故双曲线的方程为 ． 故选： ． 13．已知双曲线 的中心在原点，焦点在坐标轴上，渐近线方程为 ，则 的离心 率为 A． B． C． 或 D． 或 【解答】解：焦点在 轴上时： ，可得 ； 焦点在 轴上时： ，可得 ． 故选： ． 14．若方程 所表示的曲线为 ，则下列命题错误的是 A．若曲线 为双曲线，则 或 B．若曲线 为椭圆，则 C．曲线 可能是圆 D．若曲线 为焦点在 轴上的椭圆，则【解答】解：对于选项 ：方程表示双曲线，则 ，解得 或 ，故 正确； 对于选项 ：方程表示椭圆，则 ，解得 且 ，故 错误； 对于选项 ：当 时，方程表示圆，故 正确； 对于选项 ：方程表示焦点在 轴上的椭圆，则 ，解得 ，故 正确； 故选： ． 15．已知双曲线 ，点 的坐标为 ，若 上的任意一点 都 满足 ，则 的离心率取值范围是 A． B． C． D． 【解答】解：设 ， ， 由 ，代入不等式 中， 整理得 恒成立， 则 ， 解 得 ， 又 ，则 ； 故选： ． 二．多选题（共5小题）16．已知双曲线 ，直线 与双曲线有唯一的公共点 ，过点 且与 垂直的直线分别交 轴、 轴于 ， ， 两点．当点 变化时，点 ， 之变化．则下列结论中正确的是 A． B． C． 点坐标可以是 D． 有最大值 【解答】解： 消 可得 ，直线与双曲线只有一个 公共点，则△ ， ， ， 对； ， ，令 ， 令 错； ，则 ， 对； ，根据 选项 ， 选项取等条件是 ， 错． 故选： ． 17．已知双曲线 的焦点分别为 ， ，则下列结论正确的是 A．渐近线方程为 B．双曲线 与椭圆 的离心率互为倒数 C．若双曲线 上一点 满足 ，则△ 的周长为28 D．若从双曲线 的左、右支上任取一点，则这两点的最短距离为6 【解答】解：由双曲线 ，得 ， 双曲线的渐近线方程为 ，即 ，故 错误； 易双曲线和椭圆的离心率分别为 ， 它们不互为倒数，故 错误； 由双曲线的定义可知 ， 若 ，则 ， ， 又 ，故△ 的周长为 ，故 正确； 由双曲线的图象可知左右两支上距离最近的两点为左右顶点，故 正确． 故选： ． 18．已知 ， 分别为双曲线 的左、右焦点，点 ， 为双 曲线 在第一象限的右支上一点，以 为切点作双曲线 的切线交 轴于点 ， ，则下列结论正确的有 A． B． C． D．若 ，且 ，则双曲线 的离心率 【解答】解：对于 ，则 ，则 ， 则在点 ， 处的切线斜率为 ， 在点 ， 处的切线方程为 ， 又 ，则切线方程为 ， ，即 ，故 错误； 对于 ：由 得 ，又 ，则 ，故 正确； 对于 ， ， ，由 得 ， ， ， ， 设点 到 轴的距离为 ， 则 ， ， ， 又 ，则 ，故 正确； 对于 ， ，即 ， ， ， ， ，解得 ，故 错误， 故选： ． 19．已知双曲线 过点 且渐近线为 ，则下列结论正确的是A． 的方程为 B． 的离心率为2 C． 的焦点到渐近线的距离为1 D．直线 与 只有一个交点 【解答】解：由双曲线的渐近线方程为 ， 可设双曲线方程为 ， 把点 代入，得 ， 解得 ， 则双曲线 的方程为 ，故 正确； 由 ， ，得 ， 则双曲线 的离心率为 ，故 错误； 双曲线 的焦点坐标 ， 焦点到渐近线 的距离为 ，故 正确； 联立方程 ， 解得 ， ， 则直线 与 只有一个交点 ，故 正确． 故选： ．20．已知 ， 分别是双曲线 的上、下焦点，点 在 上，且 的实轴 长等于虚轴长的2倍，则 A． B． C． 的离心率为 D． 的渐近线方程为 【解答】解：由题意， ， ，且 ， 所以 ，解得 ，故 错误； 因为 ，由双曲线定义知 ，故 正确； 因为 ， ，所以 ，故离心率 ，故 正确； 因为双曲线的焦点在 轴上，所以渐近线方程为 ，即 ，故 正确． 故选： ． 三．填空题（共5小题） 21．已知双曲线 的焦距为4，若 ，则 的方程为 ． 【解答】解：双曲线 ， 则双曲线的渐近线方程为 ， 若 ，所以 ， 又焦距为4，所以 ，所以 ，所以 ，所以 ，所以 的方程为： ． 故答案为： ． 22．双曲线 的左焦点为 ，直线 与双曲线 的右支交于点 ， ， 为线段 的两个三等分点，且 为坐标原点），则双曲线 的 离心率为 ． 【解答】解：双曲线 的左焦点为 ，直线 与双曲线 的右支交 于点 ， ， 为线段 的两个三等分点，且 为坐标原点）， 可得 ，取 中点 ，连接 ，设双曲线 的右焦点为 ，连接 ，因为 ，所以 ， 又 ， 为线段 的两个三等分点，所以 ，即 为 的中点， 又 为 的中点，所以 ，故 ，设 ，则 ，又 ， 由勾股定理得 ，则 ，由双曲线定义得 ，即 ①， 在 中，由勾股定理得 ，即 ②， 由①得 ，两边平方得 ，解得 或 （负值 舍去），将 代入②得 ， 故离心率为 ． 故答案为： ． 23．已知双曲线 的右焦点为 ，过 分别作 的两条渐近线的 平行线与 交于 ， 两点，若 ，则 的离心率为 ． 【解答】解：如图所示： 设直线方程为 ，与双曲线方程 联立，解得 ， ， 因为 ，所以 ， 即 ，即 ， 解得 ． 故答案为： ． 24．已知双曲线 的焦点分别为 ， ，实轴为线段 ，虚轴为线段 ，直线 与直线 交于点 ，若 ，则 的离心率等于 3 ． 【解答】解：设双曲线方程为 ， 则 ， ， ， ， ， 又 ， 设 ， 则 ， ， ， 即 ， ， 又点 在直线 上， 则 ， 即 ， 即 ， 即 的离心率等于3． 故答案为：3． 25．双曲线的渐近线方程为 ，它的一个焦点坐标是 ，则该双曲线的标准方程是 ． 【解答】解： 双曲线的渐近线方程为 ， 设双曲线方程为 ， 一个焦点的坐标为 ， ， ，解得 ， 双曲线标准方程为 ． 故答案为： ． 四．解答题（共3小题） 26．已知双曲线 的离心率为2，且双曲线 经过点 ． （1）求双曲线 的方程； （2）设 是直线 上任意一点，过点 作双曲线 的两条切线 ， ，切点分别为 ， ，试判断直线 是否过定点．若经过定点，求出该定点的坐标；若不经过定点， 请说明理由． 【解答】解：（1）因为双曲线的离心率为2，所以 ，即 ， 所以双曲线 的方程为 ， 把点 的坐标代入双曲线 的方程，得 ， 解得 ， 所以 ，双曲线 的方程为 ； （2）设 ， ， ， ， ， 的方程为 ，联立 ，消 整理得 ， ， 令△ ，得 ，即 ， 又 ， 所 以 ， 进 一 步 可 化 为 ， 所 以 ， 所以 的方程可化为 ，化简得 ， 同理可得 的方程为 ， 又点 在直线 和 上，所以 ， 所以过点 ， ， ， 的直线为 上， 令 ，得 ，故直线 过定点 ． 27．已知焦点在 轴上的双曲线 的渐近线方程为 ． （1）求双曲线 的离心率 ； （2）若直线 与 相交于不同的两点 ， ，且 ，求双曲线 的方程． 【解答】解：（1） 焦点在 轴上的双曲线 的渐近线方程为 ， ，则双曲线的离心率 ；（2）由题意设双曲线方程为 ， 联立 ，得 ， △ ， ， ， ， 得： ， 双曲线 的方程为 ． 28．已知双曲线 的渐近线方程为 ，且点 在该双曲线上． （1）求双曲线 方程； （2）若点 ， 分别是双曲线 的左、右焦点，且双曲线 上一点 满足 ， 求△ 的面积． 【解答】解：（1）因为双曲线 的渐近线方程为 ，且点 在该双曲 线上， 所以 ， 解得 ， 则双曲线 的方程为 ；（2）因为 ， 易知 ，① 易知 ，② 联立①②，解得 ， 故 ．