北京曲一线图书策划有限公司 22版 《5年高考3年模拟 B版》
§9.2 直线、圆的位置关系
— 专题检测 —
一、单项选择题
1.(2021北京朝阳质量检测一,4)已知圆x2+y2=4截直线y=kx+2所得弦的长度为2√3,则实数k= (
)
A.√2 B.-√3 C.±√2 D.±√3
答案 D 本题考查圆的弦长,通过直线与圆的位置关系考查学生分析问题与解决问题的能力,渗
透数学运算的核心素养,试题体现基础性.
圆心到直线的距离d= =1= 2 ,则k2=3,故k=± ,故选D.
√4-(√3)2 √3
√k2+1
方法小结 (1)圆的弦长:设圆的半径为r,圆心到直线的距离为d,直线与圆相交时,弦长=2 ;
√r2-d2
|Ax +B y +C|
(2)点线距离:点(x 0 ,y 0 )到直线Ax+By+C=0的距离d= 0 0 .
√A2+B2
2.(2021北京朝阳二模,8)若圆O:x2+y2=1上存在点P,直线l:y=k(x+2)上存在点Q,使得⃗OP=⃗QO,则实
数k的取值范围为 ( )
A.[- , ] B.[ √3 √3]
√3√3 - ,
3 3
C.{- , } D.{ √3 √3}
√3√3 - ,
3 3
答案 B 本题考查直线与圆的位置关系,考查学生分析问题与解决问题的能力,渗透直观想象与
数学运算的核心素养,试题体现创新性.
1 / 8北京曲一线图书策划有限公司 22版 《5年高考3年模拟 B版》
易知|⃗OP|=1,因而|⃗QO|=1,只有直线l与圆O相切或相交时才存在符合题意的点Q,当直线l与圆O
相切时, |2k| =1,得k=±√3,故直线l与圆O相切或相交时-√3≤k≤√3,所以存在符合题意
√k2+(-1)2 3 3 3
的点Q时,实数k的取值范围是[ √3 √3].故选B.
- ,
3 3
3.(2021天津南开中学统练(25),2)已知直线l:mx-2y+1=0,l:x-(m-1)y-1=0,则“m=2”是“l∥l”的
1 2 1 2
( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
答案 C 由l∥l 得-m(m-1)=1×(-2),解得m=2或m=-1,经验证,当m=-1时,直线l 与l 重合,舍去,所
1 2 1 2
以“m=2”是“l∥l”的充要条件.
1 2
4.(2021天津部分区一模,4)直线x-y+2=0与圆(x+1)2+y2=2相交于A,B两点,则|AB|= ( )
1 √2 √3
A. B. C. D.√6
2 2 2
答案 D 圆(x+1)2+y2=2的圆心为(-1,0),半径r=√2,
|-1+2| √2
圆心到直线x-y+2=0的距离d= = ,
√2 2
√ 1
则|AB|=2× 2- =√6.故选D.
2
5.(2021浙江绍兴4月模拟,6)设m∈R,则“1≤m≤2”是“直线l:x+y-m=0和圆C:x2+y2-
2x-4y+m+2=0有公共点”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
答案 A 圆C:x2+y2-2x-4y+m+2=0的圆心坐标为(1,2),半径r=√3-m.其中m<3.
|3-m|
直线l:x+y-m=0和圆C:x2+y2-2x-4y+m+2=0有公共点的等价条件为 ≤√3-m,即1≤m<3.
√2
因为[1,2]⊆[1,3),所以由集合的包含关系可知“1≤m≤2”是“直线l:x+y-m=0和圆C:x2+y2-
2x-4y+m+2=0有公共点”的充分不必要条件,故选A.
2 / 8北京曲一线图书策划有限公司 22版 《5年高考3年模拟 B版》
x y
6.(2021甘肃顶级名校4月联考,9)已知直角坐标系xOy中,圆C:(x-2)2+(y-2)2=4,直线l: +
m n
=1(m>0,n>0),圆心C与原点O在直线l的两侧,若直线l与圆C相切于点P,则m+n+ 的值
√m2+n2
为 ( )
A.2 B.2√3 C.4 D.3√2
答案 C 设直线l与x轴,y轴的交点分别为A,B,则A(m,0),B(0,n),则|OA|=m,|OB|=n,所以|AB|=
,所以m+n+ 表示△AOB的周长,设圆C与x轴相切于点E(2,0),与y轴相切于点
√m2+n2 √m2+n2
F(0,2),又因为直线l与圆C相切于点P,圆心C与原点O在直线l两侧,所以|PA|=|AE|,|PB|=|BF|,所以
m+n+ =|OE|+|OF|=2+2=4,故选C.
√m2+n2
7.(2021云南昆明一中第六次月考,9)已知A(-2,0),B(1,0),M(-3,0)三点,动点P不在x轴上,且满足
∠APO=∠BPO,其中O为原点,则直线PM斜率的取值范围是 ( )
A.[ 2√21 2√21] B.( 2√21 2√21)
- , - ,
21 21 21 21
C.[ 2√21 )∪( 2√21] D.( 2√21]
- ,0 0, 0,
21 21 21
答案 C 因为∠APO=∠BPO,所以|PA|=2|PB|.设P(x,y),则 =2 ,整理
√(x+2)2+ y2 √(x-1)2+ y2
得动点P的轨迹方程为(x-2)2+y2=4(y≠0).设直线PM的方程为y=k(x+3),即kx-y+3k=0,当PM与圆相
切时,圆心(2,0)到直线PM的距离为d= |5k| =2,所以k=±2√21.又因为动点P不在x轴上,所以
√k2+1 21
直线PM斜率的取值范围是[ 2√21 )∪( 2√21],选C.
- ,0 0,
21 21
8.(2021贵州贵阳第一次适应性测试,10)过点M(-3,-3)且互相垂直的两条直线与圆x2+y2+4y-21=0
分别交于A,B与C,D,若|AB|=|CD|,则四边形ABCD的面积等于 ( )
A.20 B.30 C.40 D.60
3 / 8北京曲一线图书策划有限公司 22版 《5年高考3年模拟 B版》
答案 C 由已知得圆的标准方程为x2+(y+2)2=25,所以圆的圆心坐标为(0,-2),半径为5,因为
AB⊥CD,且|AB|=|CD|,所以由圆的对称性知直线AB、CD的斜率均存在且不为0,设直线AB的方
1
程为y+3=k(x+3)(k≠0),即kx-y+3k-3=0,则直线CD的方程为y+3=- (x+3),即x+ky+3+3k=0,因为|AB|
k
=|CD|,所以圆心到直线AB、CD的距离相等,即 |2+3k-3| = |-2k+3+3k| ,解得k=2或k=-1
√k2+1 √k2+1 2
1
,所以圆心到直线AB,CD的距离均为√5,所以|AB|=|CD|=2√52-(√5)2=4√5,所以S
四边形ABCD
= |
2
1
AB|×|CD|= ×4√5×4√5=40,故选C.
2
二、多项选择题
9.(2021届江苏镇江八校期中联考,12)已知圆C:(x-3)2+(y-3)2=72,若直线x+y-m=0垂直于圆C的一条
直径,且经过这条直径的一个三等分点,则m= ( )
A.2 B.4 C.6 D.10
答案 AD 圆C:(x-3)2+(y-3)2=72的圆心C的坐标为(3,3),半径r=6√2,
因为直线x+y-m=0垂直于圆C的一条直径,且经过这条直径的一个三等分点,所以圆心到直线的距
|6-m|
离为2√2,则有d= =2√2,解得m=2或10,故选AD.
√1+1
10.(2020山东德州期末,6)已知点A是直线l:x+y-√2=0上一定点,点P、Q是圆x2+y2=1上的动点,若
∠PAQ的最大值为90°,则点A的坐标可以是( )
A.(0,√2) B.(1,√2-1) C.(√2,0) D.(√2-1,1)
答案 AC 设A(t,√2-t).如图所示:
4 / 8北京曲一线图书策划有限公司 22版 《5年高考3年模拟 B版》
原点到直线l的距离d= √2 =1,
√12+12
则直线l与圆x2+y2=1相切,
由图可知,当AP、AQ均为圆x2+y2=1的切线时,∠PAQ取得最大值,
连接OP、OQ,由于∠PAQ的最大值为90°,且∠APO=∠AQO=90°,|OP|=|OQ|=1,
则四边形APOQ为正方形,
所以|OA|=√2|OP|=√2,
由两点间的距离公式得|OA|= = ,
√t2+(√2-t)2 √2
整理得2t2-2√2t=0,解得t=0或t=√2,因此,点A的坐标为(0,√2)或(√2,0).故选AC.
11.(2020江苏启东检测,9)已知直线l:(a2+a+1)x-y+1=0,其中a∈R,下列说法正确的是 ( )
A.当a=-1时,直线l与直线x+y=0垂直
B.若直线l与直线x-y=0平行,则a=0
C.直线l过定点(0,1)
D.当a=0时,直线l在两坐标轴上的截距相等
答案 AC 对于A项,当a=-1时,直线l的方程为x-y+1=0,显然与直线x+y=0垂直,所以正确;
对于B项,若直线l与直线x-y=0平行,则(a2+a+1)·(-1)=1×(-1),
解得a=0或a=-1,所以不正确;
对于C项,当x=0时,有y=1,所以直线过定点(0,1),所以正确;
对于D项,当a=0时,直线l的方程为x-y+1=0,在两坐标轴上的截距分别是-1,1,所以不正确.
12.(2020山东泰安一模,10)下列说法正确的是 ( )
A.“c=5”是“点(2,1)到直线3x+4y+c=0的距离为3”的充要条件
B.直线xsin α-y+1=0的倾斜角的取值范围为[ π]∪[3π )
0, ,π
4 4
C.直线y=-2x+5与直线2x+y+1=0平行,且与圆x2+y2=5相切
D.离心率为√3的双曲线的渐近线方程为y=±√2x
答案 BC 本题主要考查直线倾斜角,点到直线的距离公式,直线与圆相切及双曲线的渐近线的
概念,考查逻辑推理、数学运算的数学素养.
5 / 8北京曲一线图书策划有限公司 22版 《5年高考3年模拟 B版》
|3×2+4×1+5|
对于选项A,当c=5时,点(2,1)到直线3x+4y+5=0的距离d= =3,因此充分性成立;
5
|6+4+c|
由(2,1)到3x+4y+c=0的距离为3可得, =3,解得c=5或-25,故必要性不成立,故A不正确;
5
对于选项B,直线y=xsin α+1的斜率为k=sin α∈[-1,1],其倾斜角的取值范围为[ π]∪
0,
4
[3 ),故B正确;
π,π
4
对于选项C,由于两直线方程分别为y=-2x+5与y=-2x-1,因此两直线平行,由于(0,0)到直线2x+y-5=0
|0+0-5|
的距离d= =√5,故直线y=-2x+5与圆x2+y2=5相切,因此C正确;
√5
对于选项D,离心率为√3的双曲线,其焦点可能在x轴上也可能在y轴上,
当焦点在y轴上时,设其方程为 y2 -x2 =1(a>0,b>0),其离心率e=c=√ b2 ,又∵e= ,∴√ b2 =
1+ √3 1+
a2 b2 a a2 a2
√2
√3,∴b=√2a,此时渐近线方程为y=± x,同理可得,当焦点在x轴上时,渐近线方程为y=±√2x,因此
2
D不正确,故选BC.
思路分析 根据点到直线的距离公式判断选项A错误;根据直线方程可确定直线斜率,由正弦函
数的值域确定斜率的取值范围,进而求出直线倾斜角的范围判断选项B正确;根据两直线平行的判
定及直线与圆相切的判定,可判断选项C正确;根据双曲线渐近线的斜率与离心率的关系,在明确
焦点在哪个轴的基础上,再求出渐近线方程,从而判断选项D错误.
三、填空题
13.(2021天津南开中学统练(24),11)已知两圆的方程分别为x2+y2-4x=0和x2+y2-4y=0,则这两圆公共
弦的长等于 .
答案 2√2
解析 这两个圆的圆心分别为(2,0),(0,2),半径都是2,两圆方程相减可得x-y=0,这是公共弦所在直
|2-0|
线的方程,(2,0)到直线的距离为 =√2,所以公共弦的长为2√4-2=2√2.故答案为2√2.
√2
6 / 8北京曲一线图书策划有限公司 22版 《5年高考3年模拟 B版》
14.(2021山西晋中二模,15)过点P(2,√3)作圆C:x2+y2-2x=0的两条切线,切点分别为A,B,则⃗PA·⃗PB=
.
3
答案
2
解析 由x2+y2-2x=0得(x-1)2+y2=1,所以圆心C(1,0),半径为1,所以|PC|=2,|PA|=|PB|=√3,∠APB=60°,
3
所以⃗PA·⃗PB=|⃗PA||⃗PB|cos 60°= .
2
15.(2021浙江新高考研究卷(一),15)已知A(4,0)、B(0,5),点P(x,y)在线段AB(含端点)上移动,则
的取值范围为 .
√(x+3)2+ y2
答案 [35 ]
√41,7
41
解析 表示点P(x,y)与点C(-3,0)的距离|PC|,如图.
√(x+3)2+ y2
x y
当CP⊥AB时距离最短,易知直线AB的方程为 + =1,
4 5
35 35
即5x+4y-20=0,所以|CP| = = √41,又|PC| =max{|CB|,|CA|}=max{√32+52,√72+02}=7,所
min max
√41 41
以 ∈[35 ].
√(x+3)2+ y2 √41,7
41
16.(2021北京高三定位考试,15)已知曲线W:x2+y2=m2,W:x4+y2=m2,其中m>0.
1 2
①当m=1时,曲线W 与W 有4个公共点;
1 2
②当0<m<1时,曲线W 围成的区域面积大于曲线W 围成的区域面积;
1 2
③∃m>1,曲线W 围成的区域面积等于W 围成的区域面积;
1 2
④∀m>0,曲线W 围成的区域内整点(即横、纵坐标均为整数的点)个数不少于曲线W 围成的区域
1 2
内整点个数.
其中,所有正确结论的序号是 .
7 / 8北京曲一线图书策划有限公司 22版 《5年高考3年模拟 B版》
答案 ①③④
解析 本题考查曲线与方程问题,考查学生运用所学的解析几何的知识分析与解决几何问题的能
力,渗透直观想象与逻辑推理的核心素养,试题体现综合性.
首先需知道W,W 都关于x轴,y轴对称,关于原点中心对称.
1 2
对于①,曲线W:x2+y2=1,W:x4+y2=1,W 过轴上4个点,(0,±1),(±1,0),当x(x≠0)相同,W 的|y|更大,曲线
1 2 2 2
W 相对于曲线W 凸出,①正确;
2 1
对于②,当x=0时,纵坐标相同,当x≠0时,W 的|y|更大,当y=0时,W 的|x|更大.所以曲线W 围成的区
2 2 1
域面积小于曲线W 围成的区域面积,②错误;
2
对于③,当m=1时,曲线W 围成的区域面积小于W 围成的区域面积,当m无穷大时,曲线W 完全在
1 2 2
曲线W 里,曲线W 围成的区域面积大于W 围成的区域面积,即随着m的增加,一定有一个时刻使
1 1 2
两曲线围成的面积相等,③正确;
对于④,当0<m≤1时,W 中整点个数等于W 中整点个数;当m>1时,若x相同,则 > ,即W 中整
1 2 y2 y2 1
1 2
点个数大于W 中整点个数.④正确.
2
故答案为①③④.
8 / 8
