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第九章 静电场
第48 课时 专题强化：带电粒子在交变电场中的运动
【考情分析·探规律】
带电粒子在交
变电场中的运
动
2025·黑吉辽蒙卷、2025·黑吉辽蒙卷、2025·福建、2025·山东、
2025·河南、2025·河南、2025·甘肃、2025·四川、2025·江苏
2024 山东卷T10、2024 浙江6 月选考T12、2024 黑吉辽T6、2024 江
西卷T10、
2024 浙江1 月选考T11、2023 北京卷T20、2023 浙江6 月选考T8、
T12、
2023 湖北卷T10、2022 江苏卷T15、2022 辽宁卷T14、2022 湖北卷
T10
试
题
情
境
生活实践
类
人体带电头发散开，尖端放电，避雷针，静电吸附，直线加速器，
示波器，静电加速器
学习探究
类
观察静电感应现象，探究电荷间的作用力的影响因素，库仑扭秤实
验，模拟电场线，观察电容器的充、放电现象
【知识梳理】
考点一 带电粒子在交变电场中的直线运动
1.常见的交变电场
常见的产生交变电场的电压波形有方形波、锯齿波、正弦波等。
2.常见的题目类型
(1)粒子做单向直线运动。
(2)粒子做往返运动。
3.思维方法
(1)注重全面分析(分析受力特点和运动规律)：抓住粒子的运动具有周期性和在空间上
具有对称性的特征，求解粒子运动过程中的速度、位移、做功或确定与物理过程相关
的临界条件。
(2)从两条思路出发：一是力和运动的关系，根据牛顿第二定律及运动学规律分析；二
是功能关系。
4.解题技巧
(1)按周期性分段研究。
1
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(2)将
φ−t 图像
U −t 图像
E−t 图像}
a－t 图像
v－t 图像。
【小试牛刀】
典例1.(多选)如图(a)所示，A、B 是一对平行的金属板，在两板间加上一周期为T
的交变电压，两板间电势差随时间的变化规律如图(b)所示。现有一电子从A 板上的
小孔进入两板间的电场区域内，设电子的初速度和重力的影响可忽略。则下列说法
正确的是( )
A.若电子是在t＝0 时刻进入的，它将一直向B 板运动
B.若电子是在t＝T
8 时刻进入的，它可能时而向B 板运动，时而向A 板运动，最后
打在B 板上
C.若电子是在t＝3T
8 时刻进入的，它可能时而向B 板运动，时而向A 板运动，最后
打在B 板上
D.若电子是在t＝T
2 时刻进入的，它可能时而向B 板运动，时而向A 板运动
【答案】AB
【解析】根据电子进入电场后的受力和运动情况，作出如图所示的图像。
2
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由图丁可知，当电子在t＝0 时刻进入电场时，电子一直向B 板运动，故A 正确；若电
子在t＝T
8 时刻进入，则由图像知，向B 板运动的位移大于向A 板运动的位移，因此最
后仍能打在B 板上，故B 正确；若电子在t＝3T
8 时刻进入电场，则由图像知，在第一
个周期电子即返回A 板从小孔飞出，故C 错误；t＝T
2 时刻电子一靠近小孔便受到排斥
力，此时电子不能进入电场，故D 错误。
【解题技巧】在画速度—时间图像时，要注意以下几点：
(1)带电粒子进入电场的时刻。
(2)速度—时间图像的斜率表示加速度，因此加速度相同的运动的图像一定是平行的直
线。
(3)图线与时间轴围成的“面积”表示位移，且在横轴上方所围成的“面积”为正，在
横轴下方所围成的“面积”为负。
(4)注意对称性和周期性变化关系的应用。
(5)图线与横轴有交点，表示此时速度为零；对于运动很复杂，不容易画出速度—时间
图像的问题，还应逐段分析求解。
考点二 带电粒子在交变电场中的偏转
1.当粒子垂直于交变电场方向射入时，沿初速度方向的分运动为匀速直线运动，沿电场
方向的分运动具有周期性。
2.研究带电粒子在交变电场中的偏转运动，关键是根据电场变化的特点，利用牛顿第二
定律正确地判断粒子的运动情况。根据电场的变化情况，分段求解带电粒子运动的末
速度、位移等。
3.对于锯齿波和正弦波等电压产生的交变电场，若粒子穿过板间的时间极短，带电粒子
穿过电场时可认为是在匀强电场中运动。
【小试牛刀】
典例1.如图a 所示，水平放置的两正对、平行金属板A、B 间加有如图b 所示的交
流电压UAB，现有一带电粒子从A 板左端边缘以速度v0水平射入电场。粒子电荷量
为＋q，质量为m，不计粒子重力。
3
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(1)若粒子能够射出电场，已知金属板长度为L，求粒子在电场中的运动时间t；
(2)若粒子在t＝0 时刻射入电场，经过一段时间后从B 板右侧边缘水平射出。
①定性画出垂直板方向的速度vy(规定竖直向下为正方向)随时间变化的图像。
②求出板长L 和两板间距d 分别满足的条件。
(3)若粒子在t＝T
4 时刻射入电场，经过一段时间后从A 板右侧边缘水平射出，则板
长L 和两板间距d 分别满足什么条件？
【答案】(1) L
v0
(2)①见解析图 ②见解析
(3)L＝nv0T(n＝1，2，3，…) d≥T
4 √
qU 0
m
【解析】(1)根据题意可知，粒子在电场中，水平方向上做匀速直线运动，若粒子能够
射出电场，则粒子在电场中的运动时间为t＝L
v0
(2)①②由对称性可知，粒子可能在t1＝nT，即vy＝0 时从B 板右边缘水平射出，
L＝v0t1＝nv0T(n＝1，2，3，…)，
d＝2n·1
2a(T
2 )2
由牛顿第二定律有a＝U 0q
md ，
联立得d＝T
2 √
nqU 0
m
(n＝1，2，3，…)
4
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(3)根据题意可知，若粒子在t＝T
4 时刻射入电场，且经过一段时间后能够从A 板右侧边
缘水平射出，则在竖直方向上，粒子在T
4 ~T
2 时间内，做向下的匀加速直线运动，在T
2
~3T
4 时间内，向下做匀减速直线运动，由对称性可知，粒子在3T
4 时，竖直分速度减
小到0，此时，粒子未达到B 板上，然后在3T
4 ~T 时间内，向上做匀加速直线运动，在
T~5T
4 时间内，向上做匀减速直线运动，由对称性可知，在5T
4 时，粒子恰好回到A 板
边缘，且竖直分速度为0，由上述分析可知，两板间距d 满足条件d≥2×1
2a(T
4 )2
由牛顿第二定律可得a＝U 0q
md
联立解得d≥T
4 √
qU 0
m
粒子在电场中的运动时间为t2＝nT(n＝1，2，3，…)
则板长为L＝v0t2＝nv0T(n＝1，2，3，…)
【变式训练】(多选)如图甲所示，真空中水平放置两块长度为2d 的平行金属板P、
Q，两板间距为d，两板间加上如图乙所示最大值为U0且周期性变化的电压，在两
板左侧紧靠P 板处有一粒子源A，自t＝0 时刻开始连续释放初速度大小为v0、方向
平行于金属板的相同带电粒子，t＝0 时刻释放的粒子恰好从Q 板右侧边缘离开电场，
已知电场变化周期T＝2d
v0
，粒子质量为m，不计粒子重力及相互间的作用力，则(
)
A.在t＝0 时刻进入的粒子离开电场时速度大小仍为v0
B.粒子的电荷量为m v0
2
2U 0
C.在t＝1
8T 时刻进入的粒子离开电场时电势能减少了1
8mv0
2
5
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D.在t＝1
4 T 时刻进入的粒子刚好从P 板右侧边缘离开电场
【答案】AD
【解析】粒子进入电场后，水平方向做匀速直线运动，则t＝0 时刻进入电场的粒子在
电场中运动时间t＝2d
v0
，此时间正好是交流电压的一个周期，粒子在竖直方向先做匀
加速直线运动后做匀减速直线运动，经过一个周期，粒子的竖直速度为零，故粒子离
开电场时的速度大小等于水平速度v0，故A 正确；在竖直方向，t＝0 时刻进入电场的
粒子在T
2 时间内的位移为d
2 ，则d
2 ＝1
2a(T
2 )2＝
U 0q
2dm ( d
v0
)2，解得q＝mv0
2
U 0
，故B 错误；
在t＝T
8 时刻进入电场的粒子，离开电场时在竖直方向上的位移为y＝2×1
2a(3
8T)2－2×
1
2a(T
8 )2＝d
2 ，故静电力做功为W＝qU 0
d
×1
2d＝1
2U0q＝1
2mv0
2，电势能减少了1
2mv0
2，
故C 错误；t＝T
4 时刻进入的粒子，在竖直方向先向下匀加速直线运动T
4 ，然后向下匀
减速直线运动T
4 ，再向上匀加速直线运动T
4 ，然后再向上匀减速直线运动T
4 ，由对称
性可以知道，此时竖直方向的位移为零，故粒子刚好从P 板右侧边缘离开电场，故D
正确。
【限时训练】（限时：60 分钟）
【基础必刷题】1~3 题每小题6 分，共18 分
1.(2024·山东临沂市检测)如图甲所示，在平行板电容器A、B 两极板间加上如图乙所示
的交流电压。开始A 板的电势比B 板高，此时两板中间原来静止的电子在静电力作用
下开始运动。设电子在运动中不与极板发生碰撞，向A 板运动时为速度的正方向，则
下列图像中能正确反映电子速度变化规律的是(其中C、D 两项中的图线按正弦函数规
律变化)( )
6
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【答案】A
【解析】在前半个周期内，A 板的电势高，电场的方向向右，电子受到的静电力方向
水平向左，电子向左做初速度为零的匀加速直线运动，在后半个周期，电场的方向向
左，电子所受的静电力水平向右，电子向左做匀减速直线运动直到速度为零，然后进
入第二个周期，重复之前的运动，由此可知，电子在每个周期内先向左做初速度为零
的匀加速直线运动，然后向左做匀减速直线运动，如此反复，由图像可知A 正确，
B、C、D 错误。
2.如图甲所示，两平行正对的金属板A、B 间加有如图乙所示的交流电压，一重力可忽
略不计的带正电粒子被固定在两板的正中间P 处，若在t0时刻释放该粒子，粒子会时
而向A 板运动，时而向B 板运动，并最终打在A 板上，则t0可能属于的时间段是(
)
A.0<t0<T
4
B.T
2 <t0<3T
4
C.3T
4 <t0<T
D.T<t0<9T
8
【答案】B
【解析】若0<t0<T
4 ，带正电粒子先加速向B 板运动、再减速运动至零，然后再反方向
加速运动、减速运动至零；如此反复运动，每次向右运动的距离大于向左运动的距离，
最终打在B 板上，所以A 不符合题意；若T
2 <t0<3T
4 ，带正电粒子先加速向A 运动、再
减速运动至零，然后再反方向加速运动、减速运动至零，如此反复运动，每次向左运
7
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动的距离大于向右运动的距离，最终打在A 板上，所以B 符合题意；若3T
4 <t0<T，带
正电粒子先加速向A 板运动、再减速运动至零；然后再反方向加速运动、减速运动至
零，如此反复运动，每次向左运动的距离小于向右运动的距离，最终打在B 板上，所
以C 不符合题意；若T<t0<9T
8 ，带正电粒子先加速向B 板运动、再减速运动至零，然
后再反方向加速运动、减速运动至零，如此反复运动，每次向右运动的距离大于向左
运动的距离，最终打在B 板上，所以D 不符合题意。
3.如图甲，一带电粒子沿平行板电容器中线MN 以速度v 平行于极板进入(记为t＝0 时
刻)，同时在两板上加一按图乙变化的电压。已知粒子比荷为k，带电粒子只受静电力
的作用且不与极板发生碰撞，经过一段时间，粒子以平行极板方向的速度射出。则下
列说法中正确的是( )
A.粒子射出时间可能为t＝4 s
B.粒子射出的速度大小为2v
C.极板长度满足L＝3vn(n＝1，2，3，…)
D.极板间最小距离为√
3k U 0
2
【答案】D
【解析】粒子进入电容器后，在平行于极板方向做匀速直线运动，垂直极板方向的运
动v－t 图像如图所示
因为粒子平行极板射出，可知粒子垂直极板的分速度为0，所以射出时刻可能为1.5
s、3 s、4.5 s…，满足t＝1.5n(n＝1，2，3，…)，粒子射出的速度大小必定为v，故
A、B 错误；极板长度L＝v·1.5n(n＝1，2，3，…)，故C 错误；因为粒子不跟极板碰撞，
则应满足d
2 ≥1
2vy×1.5 s，vy＝a×1 s，a＝qU 0
md ，联立求得d≥√
3k U 0
2
，故D 正确。
8
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【巩固必刷题】4 题7 分，5 题9 分，共16 分
4.如图甲所示，长为8d、间距为d 的平行金属板水平放置，O 点为两板中点的一粒子
源，能持续水平向右发射初速度为v0、电荷量为＋q、质量为m 的粒子。在两板间存在
如图乙所示的交变电场，取竖直向下为正方向，不计粒子重力及粒子间的相互作用，
以下判断正确的是( )
A.能从板间射出的粒子的动能均相同
B.粒子在电场中运动的最短时间为√2d
2v0
C.t＝d
v0
时刻进入的粒子，从O'点的下方射出
D.t＝d
2v0
时刻进入的粒子，从O'点的上方射出
【答案】A
【解析】由题图乙可知电场强度E＝m v0
2
2qd
，则粒子在电场中的加速度a＝qE
m ＝v0
2
2d
，
则粒子在电场中运动的最短时间满足1
2d＝1
2atmin
2，解得tmin＝√2d
v0
，故B 错误；能从
板间射出的粒子在板间运动的时间均为t＝8d
v0
＝2T，则这些粒子射出电场时沿电场方
向的速度均为0，可知射出电场时的动能均为1
2mv0
2，故A 正确；t＝d
v0
＝T
4 时刻进入
的粒子，在沿电场方向的运动是：先向下加速T
4 ，后向下减速T
4 速度到零；然后向上
加速T
4 ，再向上减速T
4 速度到零……如此反复，则最后射出时沿电场方向的位移为零，
则粒子将从O'点射出，故C 错误；t＝d
2v0
＝T
8 时刻进入的粒子，在沿电场方向的运动
9
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是：先向下加速3T
8 ，运动的位移y1＝1
2at2＝1
2·v0
2
2d
·( 3d
2v0
)2＝9
16d>1
2d，此时粒子已经
到达下极板，即粒子不能从右侧射出，故D 错误。
5.(9 分)某示波管简化装置由加速板P、Q、偏转板A、B 及圆弧荧光屏MN 组成，如图
甲所示，加速电场电压为U0，A、B 两板间距和板长均为l，荧光屏圆弧的半径为2l，
其圆心与正方形偏转区域的中心点O 恰好重合，A、B 板间电压UAB随时间t 的变化规
律如图乙所示。质量为m、电荷量为q、初速度为零的粒子从t＝0 时刻开始连续均匀
地“飘入”加速电场，粒子通过偏转电场的时间远小于T，不计粒子间的相互作用及粒
子的重力。求：
(1)(2 分)粒子进入偏转电场时的速度大小；
(2)(3 分)在电压变化的一个周期内，能穿过偏转电场的粒子数占总粒子数的百分比；
(3)(4 分)粒子从进入偏转电场到打在屏上的最长时间与最短时间之差。
【答案】(1)√
2qU 0
m
(2)66.7%
(3)(√2－1)l√
m
qU 0
【解析】(1)根据动能定理可得qU0＝1
2mv0
2，解得v0＝√
2qU 0
m
；
(2)粒子通过偏转电场的时间远小于T，故在 A、B 板间运动时电压可视作恒定。粒子
恰好在极板右侧边缘射出时，l＝v0t，l
2 ＝1
2at2，a＝qU m
ml ，解得Um＝2U0，故所占百
分比为
2U 0
3U 0
×100%≈66.7%；
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(3)由于所有出射粒子进入偏转电场后沿轴线方向的运动相同，故该方向的分位移之差
最大时，时间差最大，如图所示，则Δtm＝
Δ xm
v0
，Δxm＝O1D＝(2－√2)l，得Δtm＝(√2
－1)l√
m
qU 0
。
【尖子拔高题】
6.(16 分)真空中两块相同的金属板A、B 水平正对，O 是贴近A 板上表面左边缘处的一
个点，如图甲所示，A 板接地，两板间加上周期性的交流电压后，在两板之间产生了
交变的匀强电场。B 板的电势φB随时间t 的变化规律如图乙所示。现在O 点放一个粒
子源，粒子源不断水平向右发射带负电的粒子，粒子一旦碰到金属板，就附着在金属
板上不再运动，且电荷量同时消失，不影响A、B 板间的电压。已知粒子源发射的粒
子初速度大小均为v0，电荷量均为q，质量均为m，A、B 板间交流电压的周期为T，
图乙中φ0是已知量，但φ 是可变量，不计粒子的重力和粒子之间的相互作用。若φ＝
8φ0，在t＝0 时刻被射出的粒子，经过一个周期的时间恰好回到A 板。
(1)(5 分)求图乙中t0的值；
(2)(5 分)求金属板A、B 间的最小距离；
(3)(6 分)若φ＝4φ0，粒子源保持均匀发射粒子，金属板A、B 间的距离d＝T
5 √
2q φ0
m
，
t0＝T
2 ，则在0~T 时间内，打在B 板上的粒子占一个周期内发射的粒子的百分比大约是
多少？(已知√5≈2.25)
【答案】(1)2
3T (2)T
2 √
q φ0
m
(3)14%
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【解析】(1)若φ＝8φ0，则在0~t0时间内，粒子的加速度大小a1＝q φ0
md ，方向向上；
在t0~T 时间内，粒子的加速度大小a2＝qφ
md ＝8a1，方向向下；
根据题意有1
2a1t0
2＋a1t0(T－t0)－1
2a2(T－t0)2＝0
解得t0＝2
3T
(2)若φ＝8φ0，粒子恰好不能打到B 金属板，则此时金属板A、B 间的距离最小，设最
小距离为dm，粒子在t0时刻垂直金属板方向的分速度v＝
q φ0
mdm
t0＝
2q φ0
3mdm
T
粒子沿垂直金属板方向加速运动的距离
y1＝1
2× q φ0
mdm
t0
2＝2q φ0
9mdm
T2
粒子沿垂直金属板方向减速运动的距离
y2＝v
2
2a
' ，其中a'＝8q φ0
mdm
，
联立得y2＝
q φ0
36mdm
T2
A、B 两板间的最小距离
dm＝y1＋y2＝q φ0
4 mdm
T2
解得dm＝T
2 √
q φ0
m
(3)若φ＝4φ0，d＝T
5 √
2q φ0
m
，t0＝T
2 ，设经过t1时间向上加速运动、再经过t2时间向上
减速运动的粒子恰好能打在B 金属板上，根据垂直金属板方向粒子的运动特点有
1
2·q φ0
md ·t1
2＋q φ0
md ·t1·t2－1
2· qφ
md ·t2
2＝d
并且q φ0
md t1＝qφ
md t2
联立解得t1＝4√5
25 T≈9
25T
12
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故在0~ 7
50T 时间内发出的粒子均可打到B 金属板上，所以一个周期内发射的粒子打到
B 金属板上所占百分比约为
η＝
7
50 T
T
×100%＝14%。
13
