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考点巩固卷59
带电粒子在周期性复合场中的运动
建议用时：50 分钟
考点序号
考点
题型分布
考点1
带电粒子在交变电场中的直线运动
2 单选+3 多选+1 解答
考点2
带电粒子在交变电场中的偏转运动
3 单选+2 多选+3 解答
考点01：带电粒子在交变电场中的直线运动（2 单选+多选+1 解答）
一、单选题
1．（2023·全国·模拟预测）一对正对平行金属板上加有如图所示的电压，在两板的中间位置有一点电荷
（不计重力），在下列哪一时刻由静止释放该点电荷，它可能永远撞不上金属板（ ）
A．0
B．
末
C．
末
D．
末
【答案】C
【详解】假设点电荷带正电，如图所示，由图可知在0 时刻、
末释放时粒子做单向运动，
末释放时，
粒子在一个周期内沿正方向通过的位移大于沿负方向通过的位移，一个周期内的合位移沿着正方向，这几
种情况下粒子都将撞在金属板上，而在
末释放时粒子只在某一空间范围往复运动，粒子不会撞在金属板
上。假设点电荷带负电，分析同上，C 正确。
故选C。
2．（2023·天津和平·耀华中学校考二模）如图（a）所示，两平行正对的金属板A、B 间加有如图（b）所
1
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示的交变电压，一重力可忽略不计的带正电粒子被固定在两板的正中间P 处．若在t0时刻释放该粒子，粒
子会时而向A 板运动，时而向B 板运动，并最终打在A 板上．则t0可能属于的时间段是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】A．若0＜t0＜
，带正电粒子先加速向B 板运动、再减速运动至零；然后再反方向加速运动、减
速运动至零；如此反复运动，每次向右运动的距离大于向左运动的距离，最终打在B 板上，所以A 不符合
题意；
B．若
＜t0＜
，带正电粒子先加速向A 板运动、再减速运动至零；然后再反方向加速运动、减速运动
至零；如此反复运动，每次向左运动的距离大于向右运动的距离，最终打在A 板上，所以B 符合题意；
C．若
＜t0＜T，带正电粒子先加速向A 板运动、再减速运动至零；然后再反方向加速运动、减速运动至
零；如此反复运动，每次向左运动的距离小于向右运动的距离，最终打在B 板上，所以C 不符合题意；
D．若T＜t0＜
，带正电粒子先加速向B 板运动、再减速运动至零；然后再反方向加速运动、减速运动
至零；如此反复运动，每次向右运动的距离大于向左运动的距离，最终打在B 板上，所以D 不符合题意。
故选B。
二、多选题
3．（2023·全国·模拟预测）如图所示，两平行金属板竖直放置，左极板接地，中间有小孔。右极板电势随
时间变化的规律如图所示。电子原来静止在左极板小孔处。（电子电量为e，不计重力作用）下列说法中
正确的是（ ）
2
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A．若从
时刻释放电子，电子将始终向右运动，直到打到右极板上
B．若从
时刻释放电子，电子可能在两板间振动
C．若从
时刻释放电子，在
恰好到达右极板，则到达右极板时电子的为
D．若从
时刻释放电子，在
时刻到达右极板，则到达右极板时的电子的动能是
【答案】AD
【详解】A B．若t=0 时刻释放电子，电子将重复先加速后减速，直到打到右极板，不会在两板间振动，所
以A 正确，B 错误；
C D．设两极板距离为
，极板间电场强度大小
若从
时刻释放电子，在
时刻到达右极板，则电子经历了先加速再减速后加速三个过程，每段加
速度大小
相同，则每段位大小相同，均为
。全过程由动能定理得
得
又
得
3
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C 错误，D 正确。
故选AD。
4．（2023·安徽滁州·安徽省定远中学校考模拟预测）如图甲所示，两平行金属板竖直放置，左极板接地，
右极板电势随时间变化的规律如图乙所示，电子原来静止在两极板之间的中点位置，不计重力，下列说法
正确的是（ ）
A．从t=0 时刻释放的电子，将始终向右运动，直到打到右极板上
B．从
时刻释放的电子，最终将打在左极板上
C．从
时刻释放的电子，若出发后T 时间内没有撞板，则第一次单向直线运动和第二次单向直线运
动的位移大小之比为9:1
D．从
时刻释放的电子，最终将一定打在右极板上
【答案】AC
【详解】A．刚开始电子在向右电场力的作用下，电子先向右做匀加速，再向右做匀减速，运动的方向始
终向右，故电子始终向右运动，直到打在右极板上，故A 正确；
B．从
时刻释放的电子，刚开始电子在向右电场力的作用下，电子先向右做从
时间的匀加速，再向
右做
时间的匀减速，减速到0，接着做
时间的向左的匀加速，然后做
时间的向左的匀减速，减速到
0，电子在两极板间做往复运动，故B 错误；
C．由分析可知从
时刻释放的电子，先做
时间的匀加速直线运动，然后做
时间的匀减速到0，
此时的位移为
4
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接着做反向
时间的匀加速运动，再做
时间的匀减速到0，此段的位移为
所以两次位移大小之比为9:1，故C 正确；
D．从
时刻释放的电子，电子在两极板间做往复运动，不会打在右极板上，故D 错误。
故选AC。
5．（2023·河南安阳·安阳一中校考模拟预测）如图所示，两平行正对的金属板A、B 间加有交变电压，一
重力可忽略不计的带正电粒子被固定在两板的正中间P 处．若在t0时刻释放该粒子，下列说法正确的是(
)
A．
，粒子一定打到B 板
B．
，粒子可能打到A 板
C．
，粒子一定打到A 板
D．
，粒子一定打到B 板
【答案】AC
【详解】AB. 若
释放该粒子，带正电粒子先加速向
板运动、再减速运动至零，然后再反方向加
速运动、减速运动至零，如此反复下去，每次向
板运动的距离大于向
板运动的距离，最终打在
板上，
故A 正确，B 错误；
C. 若
释放该粒子，带正电粒子先加速向
板运动、再减速运动至零，然后再反方向加速运动、
减速运动至零，如此反复下去，每次向
板运动的距离大于向
板运动的距离，最终打在
板上，故C 正
确；
5
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D. 若
释放该粒子，带正电粒子先加速向
板运动、再减速运动至零，然后再反方向加速运动、
减速运动至零，如此反复下去，每次向B 板运动的距离大于向
板运动的距离，最终打在
板上，但是由
于具有向
板运动的初速度，当其足够大时，粒子可能打到
板上，故D 错误．
三、解答题
6．（2023·江苏·模拟预测）飞行时间质谱仪通过探测不同离子到达探测头时间，可以测得离子比荷。如图
甲所示，探测头在探测器左端中点。脉冲阀P 喷出微量气体，经激光S 照射产生不同价位的离子，假设正
离子在A 极板处初速度为零，AB 极板间的加速电压为U0，离子加速后从B 板小孔射出，沿中心线方向进
入C、D 板间的偏转控制区。已知加速电场AB 间距为d，偏转极板CD 的长度及宽度均为L。设加速电场
和偏转电场均为匀强电场，不计离子重力和离子间相互作用。
(1)若偏转电压UCD=0，某比荷为k 的离子沿中心线到达探测头，求该离子飞行总时间；
(2)若偏转电压UCD=0，在C、D 板间加上垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，要使所有离子均能
通过控制区域并从右侧飞出，求这些离子比荷的取值范围；
(3)若偏转电压UCD与时间t 的关系如图乙所示，最大值Um=4U0，周期
，假设离子比荷为k，并
且在t=0 时刻开始连续均匀地射入偏转电场。以D 极板的右端点为坐标原点，竖直向上为y 轴正方向，探
测头可在y 轴上自由移动，在t=T 到
时间内，要使探测头能收集到所有粒子，求探测头坐标y 随时间
t 变化的关系。
【答案】(1)
；(2)
；(3)
【详解】(1)在电场中加速过程，由动能定理
6
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得
根据
得离子的加速时间
离子在CD 在之间匀速运动的时间
所以离子飞行的总时间
(2)若离子从C 极板边缘飞出，此时离子做圆周运动的半径是最小的，其运动轨迹如图
由几何关系得
解得
因为
联立解得
7
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离子比荷的取值范围
。
(3)离子通过CD 电场的时间
加速度
若
时进入，偏转位移
刚好从极板下边缘飞出。
设离子在
时刻进入，探测头接收到的时间
向下偏转位移大小
则探测头所处的坐标为
考点02：带电粒子在交变电场中的偏转运动（3 单选+2 多选+3 解答）
一、单选题
1．（2023·云南·校联考模拟预测）如图甲，一带电粒子沿平行板电容器中线MN 以速度v 平行于极板进入
（记为
时刻），同时在两板上加一按图乙变化的电压。已知粒子比荷为k，带电粒子只受静电力的作
用且不与极板发生碰撞，经过一段时间，粒子以平行极板方向的速度射出。则下列说法中正确的是
（ ）
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A．粒子射出时间可能为
B．粒子射出的速度大小为
C．极板长度满足
D．极板间最小距离为
【答案】D
【详解】AB．粒子进入电容器后，在平行于极板方向做匀速直线运动，垂直极板方向的运动
图像如图
所示
因为粒子平行极板射出，可知粒子垂直板的分速度为0，所以射出时刻可能为
、
、
……，满足
（
，2，3……）
粒子射出的速度大小必定为v，故AB 错误；
C．极板长度
（
，2，3……）
故C 错误；
D．因为粒子不跟极板碰撞，则应满足
联立求得
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故D 正确。
故选D。
2．（2023·浙江·模拟预测）在真空中有水平放置的两个平行、正对金属平板，板长为l，两板间距离为d，
在两极板间加一交变电压如图乙，质量为m，电荷量为e 的电子以速度v0（v0接近光速的
）从两极板左
端中点沿水平方向连续不断地射入两平行板之间。若电子经过两极板间的时间相比交变电流的周期可忽略
不计，不考虑电子间的相互作用和相对论效应，则在任意0.2s 内（ ）
A．当
时，所有电子都能从极板的右端射出
B．当
时，将没有电子能从极板的右端射出
C．当
时，有电子从极板右端射出的时间与无电子从极板右端射出的时间之比为1：2
D．当
时，有电子从极板右端射出的时间与无电子从极板右端射出的时间之比为
【答案】D
【详解】AB．电子进入极板后，水平方向上不受力，做匀速直线运动，竖直方向上受到电场力作用，当电
子恰好飞出极板时有
解得
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当
时，所有电子都能从极板的右端射出；
当
时，在0.2s 时间内，极板间电压
的时间段内，电子能从极板的右端射出，故AB
错误；
C．当
时，分析图乙可知，任意0.2s 内，有一半的时间内极板间电压低于临界电压
，
因此有电子从极板右端射出的时间与无电子从极板右端射出的时间之比为1：1，故C 错误；
D．当
时，分析图乙可知，任意0.2s 内，有
0.2s 的时间内极板间电压低于临界电压
，因此有电子从极板右端射出的时间与无电子从极板右端射出的时间之比为
，故D 正确。
故选D。
3．（2023·重庆渝中·重庆巴蜀中学校考一模）如图甲所示，两平行金属板
、
的板长和板间距离相
等，板间存在如图乙所示的随时间周期性变化的电场，电场方向与两板垂直，不计重力的带电粒子沿板间
中线垂直电场方向源源不断地射入电场，粒子射入电场时的初动能均为
。已知
时刻射入电场的粒
子刚好沿上板右边缘垂直电场方向射出电场。则（ ）
A．部分粒子会打到两极板上
B．每个粒子在板间运动全过程，所受电场力会致使带电粒子离开电场时沿电场方向的速度不为零
C．运动过程中所有粒子的最大动能不可能超过
D．有
（
，…）时刻射入电场的粒子才能垂直电场方向射出电场
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【答案】C
【详解】BD．带电粒子在垂直于电场方向上做匀速直线运动，在沿电场方向上，做加速度大小不变、方向
周期性变化的变速直线运动，由
时刻进入电场的粒子运动情况可知，粒子在平行板间运动时间为交变
电流周期的整数倍，在
时间内带电粒子运动的加速度为
由匀变速直线运动规律得
同理可分析
时间内的运动情况，所以带电粒子在沿电场方向的速度v 与
图线所围面积成正比
（时间轴下方的面积取负值），而经过整数个周期，
图像与坐标轴所围面积始终为零，故带电粒子
离开电场时沿电场方向的速度总为零，都垂直电场方向射出电场，故BD 错误；
A．带电粒子在
时刻射入时，侧向位移最大，故其他粒子均不可能打到极板上，故A 错误；
C．当粒子在
时刻射入且经过T 离开电场时，粒子在
时达到最大速度，由题意得此时两分位移之
比为
即
可得
故粒子的最大速度为
因此最大动能为初动能的2 倍，故C 正确。
故选C。
二、多选题
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4．（2023·全国·二模）图甲中的水平平行金属板M、N 间加有图乙所示的变化电压，
后电压消失。
当电压稳定时，板间为匀强电场。O 位于M、N 板间中点，可以向外释放初速度为零的带电液滴。在
时，均带负电的液滴甲、乙从O 由静止进入板间，甲、乙两液滴的比荷分别为k 和
，忽略两个带电液
滴间的相互作用及其电荷量的变化。已知
时间里甲处于静止状态，
时刻甲恰好到达下极板附近。
重力加速度大小为g，则在图中所示的时间段内，下列说法正确的是（ ）
A．两板间距为
B．甲在该阶段的最大速度为
C．甲在
时刻恰好到达上极板附近
D．乙粒子在
时刻打到上极板
【答案】BD
【详解】ABC．根据题意可知甲液滴在
时间里
在
时间内甲液滴做自由落体运动，在
时间内做匀减速直线运动，在
时刻，甲液滴的速度
为
两板间距满足
解得
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甲液滴在
加速的时间和
减速时间相等，可知甲液滴做减速运动的加速度大小为
甲在该阶段的最大速度
甲从
向上运动的位移
可知甲回到
点，B 正确，AC 错误；
D．乙液滴在
时间内，根据牛顿第二定律
可得
向上运动的距离
时间内运动的位移
此时的速度
此时距离上极板的距离
在
后，根据牛顿第二定律
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解得
根据
解得
（另一解为负舍去）
乙粒子在打到上极板的时刻
D 正确。
故选BD。
5．（2023·甘肃·统考二模）如图甲所示，在空间中建立xOy 坐标系，
射线管由平行金属板A、B 和平行
于金属板的细管C 组成，放置在第Ⅱ象限，细管C 到两金属板的距离相等，细管C 开口在y 轴上。放射源
P 在A 板左端，可以沿特定方向发射某一初速度的
粒子。若金属板长为L、间距为d，当A、B 板间加上
某一电压时，
粒子刚好能以速度
从细管C 水平射出，进入位于第Ⅰ象限的静电分析器中。静电分析器
中存在着辐向电场，
粒子在该电场中恰好做匀速圆周运动，该电场的电场线沿半径方向指向圆心O，
粒子运动轨迹处的场强大小为
。在
时刻
粒子垂直于x 轴进入第Ⅳ象限的交变电场中，交变电场随
时间的变化关系如图乙所示，规定沿x 轴正方向为电场的正方向。已知
粒子的电荷量为2e（e 为元电
荷）、质量为m，重力不计。以下说法中正确的是（ ）
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A．
粒子从放射源P 运动到C 的过程中动能的变化量为
B．
粒子从放射源P 发射时的速度大小为
C．
粒子在静电分析器中运动的轨迹半径为
D．当
时，
粒子的坐标为
【答案】AC
【详解】AB．设
粒子运动到C 处时速度为
，
粒子反方向的运动为类平抛运动，水平方向有
竖直方向有
由牛顿第二定律
联立解得
粒子从放射源发射出到C 的过程，由动能定理
解得
设
粒子发射时速度的大小为v，
粒子从放射源发射至运动到C 的过程，由动能定理
解得
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故A 正确，B 错误；
C．由牛顿第二定律
得
故C 正确；
D．
时，
粒子在x 方向的速度为
所以一个周期内，离子在x 方向的平均速度
每个周期
粒子在x 正方向前进
因为开始计时时
粒子横坐标为
所以nT 时，
粒子的横坐标为
粒子的纵坐标为
在nT 时
粒子的坐标为
故D 错误。
故选AC。
三、解答题
6．（2023·广东梅州·统考二模）真空中两块相同的金属板A、B 水平正对，O 是贴近A 板上表面左边缘处
的一个点，如图甲所示，A 板接地，两板间加上周期性的交变电压后，在两板之间产生了交变的匀强电场。
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B 板的电势
随时间t 的变化规律如图乙所示。现在O 点放一个粒子源，粒子源不断水平向右发射带负电
的粒子，粒子一旦碰到金属板，就附着在金属板上不再运动，且电荷量同时消失，不影响A、B 板间的电
压。已知粒子源发射的粒子初速度大小均为
，电荷量均为q，质量均为m，A、B 板间交变电压的周期为
T，图乙中
是已知量，但
是可变量，不计粒子的重力和粒子之间的相互作用。若
，在
时刻
被射出的粒子，经过一个周期的时间恰好回到A 板。
（1）求图乙中
的值。
（2）求金属板A、B 间的最小距离。
（3）若
，粒子源保持均匀发射粒子，金属板A、B 间的距离
，
，则在
时间
内，打在B 板上的粒子占一个周期内发射的粒子的百分比大约是多少？（已知
）
【答案】（1）
；（2）
；（3）14%
【详解】（1）若
，则在
时间内，粒子的加速度大小
方向向上；
在
时间内，粒子的加速度大小
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方向向下；
根据题意有
解得
（2）若
，粒子恰好不能打到B 金属板，则此时金属板A、B 间的距离最小，粒子在
时刻垂直金属
板方向的分速度
粒子沿垂直金属板方向加速运动的距离
粒子沿垂直金属板方向减速运动的距离
A、B 两板间的最小距离
解得
（3）若
，
，
，设经过
时间向上加速运动、再经过
时间向上减速运动的粒子
恰好能打在B 金属板上，根据垂直金属板方向粒子的运动特点有
并且
联立解得
19
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故在
时间内发出的粒子均可打到B 金属板上，所以一个周期内发出的粒子打到B 金属板上所占百
分比约为
7．（2023·全国·校联考模拟预测）中科院高能物理研究所利用电场约束带电粒子的运动，其简化模型如图
1 所示，在
平面内的第一象限和第四象限加一沿
轴正方向的匀强电场
（未知），一粒子发射源固
定在坐标原点
，该装置可以沿
轴正方向发射质量为
、电荷量为
的粒子
，粒子的初速度均
为
，刚好能过第一象限内的
点，已知
点的横坐标为，不计重力及粒子间的相互作用。
（1）已知粒子
过
点时速度为
，求匀强电场的场强大小
和
点的纵坐标；
（2）若将原来的匀强电场替换为另一交变电场，如图2 所示，场强为正值时表示电场方向沿
轴正方向，
题干中其他条件均不变，
时刻从坐标原点射出的粒子
仍能过
点，求图2 中
与
的比值；
（3）如图3 所示，在
处放置一垂直于
轴、可吸收带电粒子的挡板，并在第一和第四象限内加如图2
所示的交变电场，图3 中两条虚线的纵坐标为
在
至
时间内从坐标原点
沿
轴正方
向连续发射粒子
，粒子的初速度均为
，求在哪个时间范围内发射出的粒子
，运动轨迹始终在图3 中
两条虚线之间（含虚线），并求出这些粒子落在挡桩上的纵坐标范围。
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【答案】（1）
； （2）
； （3）
【详解】（1）粒子
在电场中做类平抛运动，将粒子
运动到
点时的速度正交分解，其沿
轴方向的
上分速度为
，根据勾股定理其沿
轴方向的分速度
粒子
在电场中的加速度
根据动力学，有
联立可得
（2）换成交变电场后，粒子
运动至
点的运动时间仍为
结合题图2 可知，交变电场在此期间经历了两个周期，粒子
沿
轴的分速度随时间变化的
图像如图
甲所示，所以整个运动过程其在
轴方向运动的距离为
又知道
可解得
21
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故
（3）设
时刻发射出的粒子
恰好能运动至虚线
，结合粒子
沿
轴的分速度随时间变化的
图像如图乙所示，根据匀变速运动规律可知
可解得
由图乙可知在
时刻射出的粒子
最终打在挡板上时的纵坐标为
设
时刻发射出的粒子
恰好能运动至虚线
，结合运动图像如图丙所示，根据匀变速运动规律有
解得
由图丙可知在
时刻射出的粒子
最终打在挡板上时的纵坐标为
22
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综上所述，在
时间范围内射出的粒子
运动轨迹始终在题图3 中两虚线之间。这些粒子落在
挡板上范围为
8．（2023·黑龙江哈尔滨·哈九中校考三模）实验小组用如图所示装置研究带电粒子在两个平行金属板间的
运动，已知板长为L，两板间距d 未知，将放射源P 靠近平行金属板，放射出的带电粒子沿平行金属板A、
B 的中轴线MN 射入板间，平行金属板A、B 间加有如图所示的交变电压，已知电压
，周期T 未知，当
电压稳定时，板间是匀强电场。质量为m、电量为q 的粒子以
的速率在
时刻从M 点进入板间，T 时
刻离开金属板，运动过程中恰好不与金属板碰撞（粒子重力忽略不计）。求：平行板A、B 的间距d 是多少？
【答案】
【详解】
时刻从M 点进入板间，T 时刻离开金属板，粒子水平方向做匀速直线运动
竖直方向，规定向下为正方向做匀加速直线运动，设M、N 两板间距为d
，
由牛顿第二定律得
23
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在
时间内，竖直位移最大位移是
，先做加速运动，时间为
，
运动的位移为
再减速至反向加速运动，时间为
物体在
时间内做初速度为
向下，加速度向上
的匀变速运动，运动的位移为
因此物体的总位移为
解得
得
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