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考点45 带电粒子在复合场中的运动
1. 高考真题考点分布
题型
考点考查
考题统计
计算题
组合场的考查
2024 年江苏卷
计算题
组合场的考查
2024 年甘肃卷
计算题
叠加场的考查
2024 年贵州卷
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】高考对带电粒子在复合场中的运动的考查非常频繁，大多以计算题中出现，并且一般作为高
考试卷的压轴题出现，难度较大，也是高考复习的重点内容。
【备考策略】
1.理解和掌握带电粒子在电磁组合场的基本规律。
2.能够利用带电粒子在电磁组合场中的基本规律处理解决力电综合问题。
【命题预测】重点关注带电粒子在组合场和叠加场中运动在计算题中的考查。
1．三种场的比较
力的特点
功和能的特点
重力场
大小：G＝mg
方向：竖直向下
重力做功与路径无关
重力做功改变物体的重力势能
电场
大小：F＝qE
方向：正电荷受力方向与场强方向相同，负电荷
受力方向与场强方向相反
电场力做功与路径无关
W＝qU
电场力做功改变电势能
磁场
大小：F＝qvB(v⊥B)
方向：可用左手定则判断
洛伦兹力不做功，不改变带电粒子的动
能
2．关于是否考虑粒子重力的三种情况
(1)对于微观粒子，如电子、质子、离子等，因为其重力一般情况下与静电力或磁场力相比太小，可以忽略；
而对于一些实际物体，如带电小球、液滴、尘埃等一般应当考虑其重力。
(2)在题目中有明确说明是否要考虑重力的，按题目要求处理。
(3)不能直接判断是否要考虑重力的，在进行受力分析与运动分析时，要结合运动状态确定是否要考虑重力。
1
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考点一 带电粒子在组合场中的运动
带电粒子在组合场中运动分析思路
1．带电粒子在组合场中运动的分析思路
第1 步：粒子按照时间顺序进入不同的区域可分成几个不同的阶段。
第2 步：受力分析和运动分析，主要涉及两种典型运动，如第3 步中表图所示。
第3 步：用规律
2．“电偏转”与“磁偏转”的比较
垂直电场线进入
匀强电场(不计重力)
垂直磁感线进入
匀强磁场(不计重力)
受力情况
电场力FE＝qE，其大小、方向不变，
与速度v 无关，FE是恒力
洛伦兹力FB＝qvB，其大小不变，方向随v
而改变，FB是变力
轨迹
抛物线
圆或圆的一部分
运动轨迹示例
求解方法
利用类平抛运动的规律求解：vx＝v0，
x＝v0t，vy＝·t，y＝··t2
偏转角φ 满足：tan φ＝＝
半径：r＝
周期：T＝
偏移距离y 和偏转角φ 要结合圆的几何关系
利用圆周运动规律讨论求解
2
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运动时间
t＝
t＝T＝
动能
变化
不变
考向
1 先电场后磁场问题
(1)先在电场中做加速直线运动，然后进入磁场做圆周运动。如图甲、乙所示，在电场中利用动能定理或
运动学公式求粒子刚进入磁场时的速度。
(2)先在电场中做类平抛运动，然后进入磁场做圆周运动。如图丙、丁所示，在电场中利用平抛运动知识
求粒子进入磁场时的速度。
1．在竖直平面内存在垂直于纸面向外、半径为R 的圆形匀强磁场区域，在磁场左侧存在竖直向上的匀强
电场，电场强度大小未知，电场区域的宽度为d。如图所示，一质量为m、电荷量为q 的带正电粒子，以
大小为v0的初速度沿与竖直方向成30°角的方向斜向下进入电场，经过电场作用，粒子的速度方向改变60°
后恰好从电场与磁场的切点进入磁场，在磁场中经过磁场作用后正好以原来进入电场的速度方向离开磁场，
不计带电粒子受到的重力，下列说法正确的是（ ）
A．粒子在电场中运动的时间为
B．粒子在电场中沿竖直方向运动的位移大小为
3
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C．匀强磁场的磁感应强度大小为
D．粒子在电场和磁场中运动的总时间为
2．如图所示，质量为m，带电量为+q 的点电荷，从原点以初速度
射入第一象限内的电磁场区域，在
，
(
、
为已知)区域内有竖直向上的匀强电场，在
区域内有垂直纸面向里的匀强
磁场B，控制电场强度(E 值有多种可能)，均可让粒子从NP 射入磁场后偏转打到接收器MN 上，则
（ ）
A．粒子从距N 点的
NP 处射入磁场，电场强度满足
B．粒子在磁场中做圆周运动的圆心到MN 的距离为
C．粒子在磁场中运动的圆周半径最大值是
D．粒子从О 点到MN 整个过程的运动时间是
(其中
的反三角函数)
考向
2 先磁场后电场问题
对于粒子从磁场进入电场的运动，常见的有两种情况：
(1)进入电场时粒子速度方向与电场方向相同或相反，如图甲所示，粒子在电场中做加速或减速运动，用
动能定理或运动学公式列式。
(2)进入电场时粒子速度方向与电场方向垂直，如图乙所示，粒子在电场中做类平抛运动，用平抛运动知
识分析。
4
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3．电磁场可以控制带电粒子的运动。如图所示，在直角坐标系第一象限内有平行于坐标平面的匀强电场
（图中未画出），在第二象限内有垂直坐标平面向外的匀强磁场。一个质量为m、电荷量为
的带
电粒子，在M 点沿y 轴正方向以速度
进入磁场，过y 轴上的N 点后进入电场，运动轨迹与x 轴交于P 点，
并且过P 点时速度大小仍为
。已知M、N、P 三点到O 点的距离分别为
、
和3L，不计粒子重力，
下列说法正确的是（ ）
A．匀强磁场的磁感应强度大小为
B．粒子过N 点时速度方向与y 轴正方向的夹角为
C．电场强度大小为
D．粒子运动过程中最小速度为
4．如图所示，在xOy 平面的第一、二象限内有垂直坐标平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，在第
三、四象限
范围内有沿x 轴正方向的匀强电场，在坐标原点O 有一个粒子源可以向x 轴上方以不
同速率向各个方向发射质量为m、电荷量为q 的带正电粒子，x 轴上的P 点坐标为
，y 轴上的Q 点坐
标为
。不计粒子的重力及粒子之间的相互作用。下列说法中正确的是（ ）
5
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A．所有经过P 点的粒子最小速度为
B．若以最小速率经过P 点的粒子又恰好能过Q 点，则电场强度大小为
C．沿不同方向进入匀强磁场的粒子要经过P 点，速度大小一定不同
D．所有经过P 点的粒子在匀强电场中运动的时间均相同
考点二 带电粒子在交变电磁场中的运动
考向 带电粒子在交变电磁场中的运动
一、交变场的常见类型
1.电场周期性变化，磁场不变。
2.磁场周期性变化，电场不变。
3.电场、磁场均周期性变化。
二、分析带电粒子在交变场中运动问题的基本思路
6
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5．某空间存在着一个变化的电磁场，电场方向向右（即图中由B 到C 的方向），电场大小变化如
图
像，磁感应强度的变化如
图像，在A 点从
（即1s 末）开始每隔2s 有一相同带电粒子（重力不
计）沿AB 方向（垂直于BC）以速度v 射出，恰都能击中C 点，若
，且粒子在A、C 间运动的时
间小于1s，则（ ）
A．磁场的方向垂直纸面向里
B．图像中
和
的比值为
C．图像中
和
的比值为
D．若第一个粒子击中C 点的时刻已知为
，那么第二个粒子击中C 点的时刻是
6．如图甲所示的平行金属极板MN 之间存在交替出现的匀强磁场和匀强电场，取垂直纸面向外为磁场正方
向，磁感应强度B 随时间t 周期性变化的规律如图乙所示，取垂直极板向上为电场正方向，电场强度E 随
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时间t 周期性变化的规律如图丙所示。
时，一不计重力、带正电的粒子从极板左端以速度v 沿板间
中线平行极板射入板间，最终平行于极板中线射出，已知粒子在
时速度为零，且整个运动过程中始
终未与两极板接触，则下列说法正确的是（ ）
A．粒子可能在
时刻射出极板
B．极板间距不小于
C．极板长度为
D．
=
考点三 带电粒子在叠加场中的运动
考向
1 带电粒子在叠加场中的直线运动
带电粒子在叠加场中的直线运动
(1)带电粒子在电场和磁场的叠加场中做直线运动，电场力和洛伦兹力一定相互平衡，因此可利用二力平
衡解题。
(2)带电粒子在电场、磁场、重力场的叠加场中做直线运动，则粒子一定处于平衡状态，因此可利用平衡
条件解题。
7．如图所示，一质量为
，电荷量为
的带正电绝缘体小球穿在粗糙竖直杆上，小球与杆的动摩擦因数
为
，整个空间存在水平向右、磁感应强度为
的匀强磁场。现给小球竖直向下的初速度
，空气阻力忽
略不计，小球电荷量不变，则整个运动过程中，小球的速度与时间关系图像可能正确的是（ ）
8
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A．
B．
C．
D．
8．如图所示，空间有一垂直纸面向外的磁感应强度为0.5T 的匀强磁场，一质量为0.2kg，且足够长的绝缘
木板静止在光滑水平面上，在木板的左端无初速放置一质量为0.1kg，电荷量q 的滑块，滑块与绝缘木板之
间动摩擦因数为0.5，滑块受到的最大静摩擦力可认为等于滑动摩擦力。现对木板施加方向水平向左，大
小为0.6N 的恒力，g 取10m/s2。则（ ）
A．若
，木板和滑块一起做加速度减小的加速运动，最后做
匀速运动
B．若
，滑块先匀加速到
，再做加速度减小的加速运动，最后做
匀速运动
C．若
，木板和滑块一直以
的加速度做匀加速运动
D．若
，木板先以
做匀加速运动，再做加速度增大的加速运动，最后做
匀加速
运动
考向
2 带电粒子在叠加场中的圆周运动
带电粒子在叠加场中的圆周运动
(1)带电粒子做匀速圆周运动，隐含条件是必须考虑重力，且电场力和重力平衡。
(2)洛伦兹力提供向心力和带电粒子只在磁场中做圆周运动解题方法相同。
9．如图所示，在绝缘挡板的上方有一无限大的匀强电场和匀强磁场复合区域，匀强磁场垂直纸面向外且
磁感应强度
，匀强电场方向竖直向上。在P 处弹射装置能够弹射质量为0.01kg，电荷量大小为
的小球，小球的速度方向竖直向上，大小为
。小球经过磁场偏转后与挡板发生碰撞，每
一次碰撞前后小球电荷量不变且碰撞后小球速度变为碰撞前的一半，形成的部分轨迹为一系列相连的半圆。
9
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重力加速度的大小
，下列说法正确的是（ ）
A．小球带正电
B．电场强度的大小为
C．小球相邻两次与挡板碰撞的时间间隔不变，均为
D．小球最终位置与P 点的距离为2m
10．如图所示，在正交电磁场中，竖直固定一个半径
的光滑圆弧
，它对应的圆心角为
240°，
连线沿竖直方向，
为圆弧轨道的最低点，
与圆心
等高。在
的左端有一倾斜光滑轨道
，
与圆弧轨道相切，切点为
。电场强度为
的匀强电场充满整个空间，而磁感应强度为
的匀
强磁场只分布在圆弧轨道所在的右半侧区域，取重力加速度
。现在
点安装一个弹射装置，它
能以不同速度沿
方向发射可视为质点的带电小球，其射出后能在
上做匀速直线运动。则下列说法
正确的是（ ）
A．小球一定带负电
B．小球从
到
的过程中动能逐渐减小
C．小球在轨道的
点处电势能最小
D．若撤去磁场，让小球以初速度
射出，则小球一定不会脱离轨道
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11．
是自然界中存量较为丰富的放射性同位素，其衰变方程为：
。如图所示，x 轴
下方存在垂直于纸面向里的匀强磁场，x 轴上方存在沿y 轴正方向、电场强度大小为E 的匀强电场。静置
于点
的
经过衰变可看成电子源，该电子源只能沿x 轴正方向发射电子。某个电子经过电场后，
以与x 轴正方向夹角
射入磁场，第一次射出磁场时恰好经过坐标原点O。已知电子的质量为m，电
荷量为
。衰变过程中产生的
的质量为
，初动能为
。衰变过程中产生的核能全部转化为
和电子的动能。下列说法正确的是（ ）
A．
衰变过程中的质量亏损为
B．该电子从电子源射出时的速度为
C．磁场的磁感应强度大小为
D．该电子从初始到第n 次射出磁场时，所用的时间为
12．如图所示的xOy 平面内，x＜0 的区域内有竖直向上的匀强电场．在0＜x≤2
L 区域内，处于第一象限
的匀强磁场，磁感应强度为B1；处于第四象限的匀强磁场，磁感应强度为B2，大小关系为B2=2B1，均垂直
于纸面向外．一质量为m、带电荷量为＋q 的粒子，在t=0 时刻，从P（－2L，－
L）点以速度v0沿x 轴
正向水平射出，恰好从坐标原点进入第一象限，最终从x 轴上的Q（
，0）点射出磁场，不计粒子的
重力。下面说法正确的是（ ）
A．磁感应强度B1的最小值B1min=2
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B．匀强电场的电场强度大小E=
C．若B1=
，整个过程粒子运动的时间t=（2＋5π）
D．若B1=
，整个过程粒子运动的时间t=
+
13．如图甲所示，水平放置的平行金属板A、B，板长
、板间距离
，在两板间加如图乙
所示的交变电压，紧靠金属板右侧竖直放置足够大的荧光屏，右侧空间有垂直纸面向里、磁感应强度大小
的匀强磁场。一群带正电、比荷
的粒子，以
的水平速度从金
属板左端板间中央位置处连续射入电场，射出电场后进入磁场最终打在荧光屏上，形成亮线的两端点间的
距离为s。已知甲粒子在磁场中运动的时间最长，乙粒子在磁场中运动的时间最短，设在每个粒子通过电
场区域的极短时间内，电场可视作恒定不变，忽略粒子重力的影响。则（ ）
A．粒子在匀强磁场中运动的最短时间为
B．粒子在匀强磁场中运动的最长时间为
C．若在磁场中再加上同方向的匀强电场，则s 可能小于0.20m
D．若甲、乙两粒子同时打在荧光屏上，则
的最大值为
14．如图，一根绝缘细杆固定在磁感应强度为B 的水平匀强磁场中，杆和磁场垂直，与水平方向成θ 角，
杆上套一个质量为m 电量为+q 的小球，小球与杆之间的动摩擦因数为µ，从A 点开始静止释放小球，使小
球沿杆向下运动，设磁场区域很大，杆足够长，已知重力加速度为g，则下列叙述中正确的是（ ）
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A．小球运动的速度先增大后减小再保持不变
B．小球运动的加速度先增大到gsinθ，然后减小到零
C．小球的速度达到最大速度一半时加速度一定0.5g(sinθ+μcosθ)
D．小球的速度达到最大速度一半时加速度可能是0.5g(3sinθ-μcosθ)
15．滚轮线（也称为摆线）是数学中众多迷人曲线之一，它是这样定义的：一个圆沿一直线无滑动地滚动，
则圆上一固定点所经过的轨迹称为滚轮线。在竖直平面内有xOy 坐标系，空间存在垂直xOy 平面向里的匀
强磁场，磁感应强度为B，一质量为m、电荷量为＋q 的小球从坐标原点由静止释放，小球的轨迹就是滚轮
线。小球在O 点速度为0 时，可以分解为一水平向右的速度v0和一水平向左的速度v0两个分速度，如果v0
取适当的值，就可以把滚轮线分解成以v0的速度向右做匀速直线运动和从O 点向左速度为v0的匀速圆周运
动两个分运动。设重力加速度为g，下列说法正确的是（ ）
A．速度
所取的适当值应为
B．经过t＝
第一次到达滚轮线最低点
C．最低点的y 轴坐标为y＝－
D．小球经过最低点的速度为
16．如图所示，空间中有
坐标系，
平面水平，y 轴沿竖直方向，在y 轴右侧
平面上方空间
存在竖直向上的匀强电场，在y 轴右侧
平面下方空间存在竖直向下的匀强磁场。一带负电的粒子从y
轴正半轴上的M 点以一定速度
沿平行于x 轴的正方向射入电场，经x 轴上的N 点与x 轴正方向成
角离
开电场，粒子在以后的运动中恰好不离开磁场。已知M 点的坐标为
，带负电的粒子质量为m、电荷
量大小为q，不计粒子重力，则下列说法正确的是（ ）
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A．电场强度
B．磁场强度
C．粒子在磁场中运动的轨道半径
D．粒子在
平面上相邻切点间距离
17．利用电磁控制带电粒子的运动轨迹在现代实验和设备中得到广泛应用。如图所示，空间内有正立方体
abcd-efgh 区域，正方体区域内存在着方向沿ae 向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B，一带电粒子从a 点
沿ab 方向以速度
进入空间，粒子恰好通过c 点；第一次撤去磁场，正方体内加上竖直向下的匀强电场
，粒子仍从a 点以原速度
进入电场，粒子恰好通过f 点；第二次恢复原磁场，同时换上竖直向下的匀
强电场
，粒子仍从a 点以原速度
进入场区，粒子恰好通过g 点，不计粒子重力，正方体外无电场和磁
场，下列说法正确的是（ ）
A．电场强度
大小为
B．粒子从a 点到c 点时间是从a 点到f 点时间的
倍
C．电场强度
大小为
D．到达g 点时速度大小为
18．一倾角为
的绝缘光滑斜面处在平行斜面向上的匀强磁场中，磁感应强度大小为B。质量为m、电荷
量为
的小球，以初速度
从N 点沿NM 边水平射入磁场。已知斜面的高度为h 且足够宽，小球始终未脱
离斜面。下列说法正确的是（ ）
A．小球在斜面上做匀加速曲线运动
B．小球到达底边的时间为
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C．小球到达底边的动能为
D．匀强磁场磁感应强度的取值范围为
19．如图所示，在xOy 平面内，
空间存在方向垂直纸面向外的匀强磁场，第三象限空间存在方向沿x
轴正方向的匀强电场。一质量为m、电荷量为q 的带正电粒子（不计重力），以大小为
、方向与y 轴正
方向夹角
的速度沿纸面从坐标为
的A 点进入电场中，然后从坐标为
的B 点垂直x 轴
进入磁场区域，并通过坐标为
的C 点，最后从x 轴上的D 点（图中未画出）射出磁场。求：
(1)粒子通过B 点时的速度大小以及电场强度的大小E；
(2)磁场的磁感应强度大小B；
(3)粒子从A 点运动到D 点所用的时间t。
20．利用电场和磁场实现粒子偏转是科学仪器中广泛应用的技术。在图示的xOy 平面（纸面）内，
的区域Ⅰ内存在垂直纸面向外的匀强磁场，x 轴上方的
区域Ⅱ内存在沿y 轴负方向的匀强电场。一
质量为m、电荷量为q 的带正电粒子（不计重力），从原点O 处以大小为
的速度垂直磁场射入第二象限，
方向与x 轴负方向夹角
，一段时间后垂直
虚线边界进入电场。已知
，
，区
域Ⅱ中电场的场强
。求：
(1)区域Ⅰ内磁场的磁感应强度大小
；
(2)粒子从原点O 出发到离开电场的总时间t；
(3)粒子离开电场时的速度大小v。
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21．如图，在平面
内存在匀强磁场，磁场方向与
垂直，且与水平面
的夹角为60°。竖直
平面
的右侧存在竖直向上的匀强电场，电场强度为
。质量为
，电量为
的带负电的小球，以初速度
从A 点沿平面
射入匀强磁场，入射方向与
的
夹角也为60°，小球恰好从图中的C 点垂直于磁场方向水平离开，并垂直于电场方向进入匀强电场，经过
一段时间后击中水平面上的P 点。已知小球在磁场中的运动轨迹为抛物线，C 点在M 点的正上方，
之
间的高度差为
，重力加速度g 大小取
，不计空气阻力，
，
。求：
(1)匀强磁场的磁感应强度
的大小；
(2)小球在磁场中的运动时间t；
(3)小球触地时重力的瞬时功率。
22．如图所示，在半径为R 的圆形区域内有垂直于xOy 平面向外的匀强磁场Ⅰ，磁感应强度大小为B，圆
心
的坐标为（
，
），在第三象限内
和y 轴之间，有沿y 轴负方向的匀强电场，在第四象限内
有垂直于坐标平面向外的匀强磁场Ⅱ，一个质量为m、电荷量为q 的带正电粒子从
（
，
）点以一定
的初速度沿x 轴正向射入磁场Ⅰ，粒子在磁场Ⅰ中的速度方向偏转了60°角后进入磁场Ⅱ，经磁场Ⅱ偏转，
沿与y 轴正向成60°角的方向进入电场，此后，粒子在电场中的轨迹刚好与x 轴相切，不计粒子重力，求：
(1)粒子从P 点射入磁场时的初速度大小；
(2)磁场Ⅱ的磁感应强度大小；
(3)粒子出电场的位置到x 轴的距离。
23．如图甲所示，空间站上某种离子推进器由离子源、间距为d 的中间有小孔的两平行金属板M、N 和边
长为L 的立方体构成，其后端面P 为喷口。以金属板N 的中心O 为坐标原点，垂直立方体侧面和金属板建
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立x、y 和z 坐标轴。M、N 板之间存在场强为E、方向沿z 轴正方向的匀强电场，立方体内存在磁场，其磁
感应强度沿z 方向的分量始终为零，沿x 和y 方向的分量
和
随时间周期性变化规律如图乙所示，图中
可调。氙离子（
）束从离子源小孔S 射出，沿z 方向匀速运动到M 板，经电场加速进入磁场区域，
最后从端面P 射出，测得离子经电场加速后在金属板N 中心点O 处相对推进器的速度为v0。已知单个离子
的质量为m、电荷量为
，忽略离子间的相互作用，且射出的离子总质量远小于推进器的质量。
(1)求离子从小孔S 射出时相对推进器的速度大小vS；
(2)不考虑在磁场突变时运动的离子，调节
的值，使得从小孔S 射出的离子均能从喷口后端面P 射出，求
的取值范围；
(3)设离子在磁场中的运动时间远小于磁场变化周期T，单位时间从端面P 射出的离子数为n，且
。求图乙中
时刻离子束对推进器作用力沿z 轴方向的分力。
24．如图甲，MNQP 构成一矩形边界，其内存在垂直于纸面的交变磁场，其变化规律如图乙所示，该交变
磁场周期为
、幅值为
（
代表磁场垂直于纸面向外），磁场边界MN 和PQ 长度均为2L，
MN 到PQ 的距离为2.4L，在MN 和PQ 上放置涂有特殊材料的挡板，一旦粒子碰到挡板将被吸收。在
MNQP 左侧和右侧分布有匀强电场
和
（场强大小均未知，方向平行于MN，如图所示）。在
时刻，
有一带电粒子从左侧电场某位置由静止释放，并在
时刻恰好从下板左端边缘位置水平向右进入磁场区域，
该粒子在
时刻第一次离开磁场区域，水平向右进入右侧电场，并在
时刻从右侧电场再次进
入磁场区域。已知粒子质量为m，电荷量为q，
已知，忽略粒子所受的重力。
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(1)判断带电粒子的电性，求粒子在磁场中做圆周运动的周期（用
、m、q、
表示）；
(2)求该粒子打在PQ 挡板上的位置与Q 点的距离；
(3)求匀强电场
和
的大小（均用
、m、q、
、L 表示）。
25．如图所示，水平面上方有正交电磁场区域足够宽，匀强磁场方向沿水平方向（图中所示），磁感应强
度大小为B，匀强电场方向竖直向下，场强大小为E；不计厚度、内壁光滑的竖直小圆筒内底部静止放有
一质量为m、带电荷量为+q 的带电微粒。现让小圆筒以加速度a 由静止开始向右平动，在微粒开始沿筒壁
上升瞬间，立即让小圆筒以此刻速度的2 倍做匀速运动，已知小圆筒匀速运动的距离为小圆筒长度的2 倍
时，微粒恰好离开小圆筒，并在此刻撤去匀强电场。不计重力大小，则：
(1)小圆筒由静止开始运动，经过多长时间微粒将沿筒壁上升；
(2)小圆筒的长度；
(3)求微粒离开小圆筒后能上升的最大高度（距离圆筒上端口的最大高度）。
26．如图所示，板长为L、间距为d 的平行金属板M、N 水平放置，下极板N 接地，板间有垂直于纸面向
外的匀强磁场。一质量为m、电荷量为-q 的带电粒子自A 点以初速度v0沿两极板中线AB 水平进入板间，
从B 点射出后，立即进入右侧垂直纸面向里的圆形有界匀强磁场。离开圆形磁场区域后，以与竖直方向成
的夹角打在圆形有界磁场下方足够大的水平接收屏PQ 上的C 点（图中未画出）。已知圆形磁场区
域的圆心O 在AB 延长线上，两匀强磁场的磁感应强度大小均为B，PQ 离O 点的距离为圆形有界磁场半径
的2 倍，取地面为零势能面，不计粒子重力及电场的边缘效应，求：
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(1)上极板M 的电势
；
(2)圆形有界匀强磁场半径R 的可能值；
(3)粒子从A 点运动到C 点的时间t 的可能值。
1．（2024·贵州·高考真题）如图，边长为L 的正方形
区域及矩形
区域内均存在电场强度大小为
E、方向竖直向下且与
边平行的匀强电场，
右边有一半径为
且与
相切的圆形区域，切点为
的中点，该圆形区域与
区域内均存在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场。一带电粒
子从b 点斜向上射入电场后沿图中曲线运动，经
边的中点进入
区域，并沿直线通过该区域后进入圆
形区域。所有区域均在纸面内，粒子始终在该纸面内运动，不计粒子重力。求：
(1)粒子沿直线通过
区域时的速度大小；
(2)粒子的电荷量与质量之比；
(3)粒子射出圆形区域时速度方向与进入圆形区域时速度方向的夹角。
2．（2024·江苏·高考真题）如图所示，两个半圆环区abcd、a'b'c'd'中有垂直纸面向里的匀强磁场，区域内、
外边界的半径分别为
、
。ab 与a'b'间有一个匀强电场，电势差为U，cd 与c'd'间有一个插入体，电子
每次经过插入体速度减小为原来的k 倍。现有一个质量为m、电荷量为e 的电子，从cd 面射入插入体，经
过磁场、电场后再次到达cd 面，速度增加，多次循环运动后，电子的速度大小达到一个稳定值，忽略相对
论效应，不计电子经过插入体和电场的时间。求：
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(1)电子进入插入体前后在磁场中运动的半径
、
之比；
(2)电子多次循环后到达cd 的稳定速度v；
(3)若电子到达cd 中点P 时速度稳定，并最终到达边界d，求电子从P 到d 的时间t。
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