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考点47 带电粒子在叠加场中运动
（核心考点精讲精练）
1. 5 年真题考点分布
带电粒子在叠加场中运动
2023·江苏卷·T16
2023·全国乙卷·T18
2023·浙江1 月选考·T8
2022·全国甲卷·T18
2022·广东卷·T8
2022·浙江1 月选考·T22
2022·重庆卷·T5
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】近几年高考主要考查：电粒子在叠加场中的运动问题，带电粒子在交变电、磁场中运动和电
场和磁场叠加的几种实例
【备考策略】
1.了解叠加场的特点，会处理带电粒子在叠加场中的运动问题.
2.掌握带电粒子在交变电、磁场中运动的解题思路和处理方法．
3.会分析电场和磁场叠加的几种实例：速度选择器、磁流体发电机、电磁流量计、霍尔效应的原理和分析
【命题预测】
要注意现代科学技术与带电粒子在叠加场运动相结合，动量观点和能量观点在叠加场应用。
叠加场应用实例
若qvB＝Eq，即v＝E
B ，则粒子做匀速直线运动
等离子体射入极板间，受洛伦兹力偏转，使两极板分别带正、负
电，两极板间电压为U 时稳定，有qU
d ＝qvB，得U＝vBd
1
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当qU
d ＝qvB 时，有v＝U
Bd ，流量Q＝Sv＝
π(
d
2)
2 U
Bd ＝π dU
4 B
在匀强磁场中放置一个矩形截面的载流导体，当磁场方向与电流
方向垂直时，导体在与磁场、电流方向都垂直的方向上出现了电
势差，这种现象称为霍尔效应，此电压称为霍尔电压
共同特点：当带电粒子（不计重力）在叠加场中做匀速直线运动时，洛伦兹力与静电力大小相等qvB＝qE
或qvB＝qU
d 。
考向
1 带电粒子在叠加场中的运动
1．叠加场
电场、磁场、重力场共存，或其中某两场共存．
2．带电粒子(带电体)在叠加场中无约束情况下的运动
(1)静电力、重力并存
静电力与重力的合力一般为恒力，带电体做匀速直线运动或匀变速直线(或曲线)运动，比较简单。
(2)磁场力、重力并存
①若重力和洛伦兹力平衡，则带电体做匀速直线运动。
②若重力和洛伦兹力不平衡，则带电体将做复杂的曲线运动，因洛伦兹力不做功，故机械能守恒，由此可
求解问题。
(3)静电力、磁场力并存(不计重力的微观粒子)
①若静电力和洛伦兹力平衡，则带电粒子做匀速直线运动。
②若静电力和洛伦兹力不平衡，则带电粒子将做复杂的曲线运动，因洛伦兹力不做功，可用动能定理求解
问题。
(4)静电力、磁场力、重力并存
①若三力平衡，一定做匀速直线运动。
②若重力与静电力平衡，一定做匀速圆周运动。
③若合力不为零且与速度方向不垂直，将做复杂的曲线运动，因洛伦兹力不做功，可用能量守恒定律或动
能定理求解问题。
3．带电体在叠加场中有约束情况下的运动
带电体在叠加场中受轻杆、轻绳、圆环、轨道等约束的情况下，常见的运动形式有直线运动和圆周运动，
此时解题要通过受力分析明确变力、恒力做功情况，并注意洛伦兹力不做功的特点，运用动能定理、能量
守恒定律结合牛顿运动定律求出结果。
4．带电粒子(带电体)在叠加场中运动的解题思路
(1)弄清叠加场的组成，一般有磁场、电场的叠加，电场、重力场的叠加，磁场、重力场的叠加，磁场、电
2
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场、重力场三者的叠加。
(2)正确分析受力，除重力、弹力、摩擦力外要特别注意静电力和磁场力的分析。
(3)确定带电粒子(带电体)的运动状态，注意运动情况和受力情况可能会相互影响。
(4)画出粒子(带电体)的运动轨迹，灵活选择不同的运动规律。
(5)对于粒子(带电体)连续通过几个不同叠加场的问题，要分阶段进行处理。衔接点的速度不变往往是解题
的突破口。
1．是否考虑重力的判断
①对于微观粒子，如电子、质子、离子等，若无特殊说明，一般不考虑重力；对于宏观带电小物体，如带
电小球、尘埃、油滴、液滴等，若无特殊说明，一般需要考虑重力。
②题目中已明确说明是否需要考虑重力时则按说明分析。
③不能直接判断是否需要考虑重力的，在进行受力分析和运动分析时，由分析结果确定是否考虑重力。
2．带电粒子在叠加场中常见的几种运动形式
运动性质
受力特点
方法规律
匀速直
线运动
粒子所受合力为0
平衡条件
匀速圆
周运动
除洛伦兹力外，另外两力的合力为零：
qE＝mg
牛顿第二定律、圆周运动的规
律
较复杂的
曲线运动
除洛伦兹力外，其他力的合力既不为
零，也不与洛伦兹力等大反向
动能定理、能量守恒定律
（2023·江苏·统考高考真题）霍尔推进器某局部区域可抽象成如图所示的模型。Oxy 平面内存在竖直向下
的匀强电场和垂直坐标平面向里的匀强磁场，磁感应强度为B。质量为m、电荷量为e 的电子从O 点沿x
轴正方向水平入射。入射速度为v0时，电子沿x 轴做直线运动；入射速度小于v0时，电子的运动轨迹如图
中的虚线所示，且在最高点与在最低点所受的合力大小相等。不计重力及电子间相互作用。
（1）求电场强度的大小E；
（2）若电子入射速度为
，求运动到速度为
时位置的纵坐标y1；
（3）若电子入射速度在0 < v < v0范围内均匀分布，求能到达纵坐标
位置的电子数N 占总电子数
N0的百分比。
3
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【答案】 （1）v0B；（2）
；（3）90%
【解析】（1）由题知，入射速度为v0时，电子沿x 轴做直线运动则有
Ee = ev0B
解得
E = v0B
（2）电子在竖直向下的匀强电场和垂直坐标平面向里的匀强磁场的复合场中，由于洛伦兹力不做功，且
由于电子入射速度为
，则电子受到的电场力大于洛伦兹力，则电子向上偏转，根据动能定理有
解得
（3）若电子以v 入射时，设电子能达到的最高点位置的纵坐标为y，则根据动能定理有
由于电子在最高点与在最低点所受的合力大小相等，则在最高点有
F 合 = evmB－eE
在最低点有
F 合 = eE－evB
联立有
要让电子达纵坐标
位置，即
y ≥ y2
解得
则若电子入射速度在0 < v < v0范围内均匀分布，能到达纵坐标
位置的电子数N 占总电子数N0的
4
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90%。
（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考三模）整个空间中存在匀强电场，虚线右方区域同时存在着宽度为
L、磁感应强度大小为B 的匀强磁场，方向垂直于纸面向里。在P 点将质量为m、电荷量为+q 的小球以初
速度
竖直向上抛出，小球运动中经过A 点和C 点，在A 点速度大小为
、方向水平向右。P、C 两点在
同一水平线上，小球从C 点进入虚线右侧区域。不计空气阻力，已知
，重力加速度为g，
，
。求：
（1）从P 到C 的过程中小球动能的最小值；
（2）电场强度E 的方向与重力方向的夹角
；
（3）小球从P 到C 过程中，当电势能最高时，小球的速度；
（4）已知小球离开磁场区域时，速度方向水平向右，求小球从P 点出发到离开磁场区域的时间。
【答案】 （1）
；（2）
；（3）
，方向与水平向右成
指向右上方；
（4）
【解析】（1）设小球合力方向与竖直方向夹角为
，则速度变化量的方向与合力方向相同，有
得
对小球，从
到
的过程中，将小球运动分解为垂直于合力方向速率为
的匀速直线运动和沿合力反方向
的匀减速直线运动，当沿合力反方向速度减为零时，小球动能最小。有
，
解得
（2）在小球重力、电场力和合力组成的力学三角形中
5
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（或者为：
）
代入数据解得
得
（3）建立以沿电场方向为
轴，垂直于电场方向为
轴的直角坐标系
，，
，
，
用时
沿电场反方向速度减为零，此时小球电势能最高
，
解得
方向与水平向右成
指向右上方
（4）对小球，从P 点到离开磁场区域，由竖直方向动量定理
，
解得
考向
2 带电粒子在交变电、磁场中的运动
交变场是指电场、磁场在某一区域内随时间做周期性变化，带电粒子在交变场中的运动问题涉及的物理过
程比较复杂。粒子在交变场中的运动情况不仅与交变电磁场的变化规律有关，还与粒子进入场的时刻有关。
周期性变化的电磁场会使带电粒子顺次历经不同特点的电磁场，从而表现出“多过程”现象。所以最好画
出粒子的运动轨迹草图，并把粒子的运动分解成多个阶段分别列方程联立求解。
1．解决带电粒子在交变电磁场中的运动问题的基本思路
先读图
看清并且明白场的变化情况
6
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受力分析
分析粒子在不同的变化场区的受力情况
过程分析
分析粒子在不同时间段内的运动情况
找衔接点
找出衔接相邻两过程的速度大小及方向
选规律
联立不同阶段的方程求解
解决带电粒子在交变电磁场中运动问题的基本思路（导图）
2．解决带电粒子在交变电磁场中运动问题的注意事项
电场或磁场周期性变化，或者二者都周期性变化，在某段时间内，电场、磁场、重力场可能只存在其中之
一，可能存在其中之二，也可能三者同时存在，导致带电粒子的运动出现多样性。
求解带电粒子在交变电磁场中的运动的方法，就是各个击破，分段分析。首先相信，命题者设计的带电粒
子的运动一定是很规律的运动，如匀速直线运动、类平抛运动、圆周运动，每段时间内电场强度的大小和
方向、磁感应强度的大小和方向、每段时间的长短都是精心“算出来”的，所以当我们分析某段运动毫无
规律时，一般是我们算错了，需认真核实。
（2021·浙江·高考真题）如图甲所示，空间站上某种离子推进器由离子源、间距为d 的中间有小孔的两平
行金属板M、N 和边长为L 的立方体构成，其后端面P 为喷口。以金属板N 的中心O 为坐标原点，垂直立
方体侧面和金属板建立x、y 和z 坐标轴。M、N 板之间存在场强为E、方向沿z 轴正方向的匀强电场；立
方体内存在磁场，其磁感应强度沿z 方向的分量始终为零，沿x 和y 方向的分量
和
随时间周期性变化
规律如图乙所示，图中
可调。氙离子（
）束从离子源小孔S 射出，沿z 方向匀速运动到M 板，经电
场加速进入磁场区域，最后从端面P 射出，测得离子经电场加速后在金属板N 中心点O 处相对推进器的速
度为v0。已知单个离子的质量为m、电荷量为
，忽略离子间的相互作用，且射出的离子总质量远小于推
进器的质量。
（1）求离子从小孔S 射出时相对推进器的速度大小vS；
（2）不考虑在磁场突变时运动的离子，调节
的值，使得从小孔S 射出的离子均能从喷口后端面P 射出，
求
的取值范围；
（3）设离子在磁场中的运动时间远小于磁场变化周期T，单位时间从端面P 射出的离子数为n，且
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。求图乙中
时刻离子束对推进器作用力沿z 轴方向的分力。
【答案】 （1）
；（2）
；（3）
，方向沿z 轴负方向
【解析】（1）离子从小孔S 射出运动到金属板N 中心点O 处，根据动能定理有
解得离子从小孔S 射出时相对推进器的速度大小
（2）当磁场仅有沿x 方向的分量取最大值时，离子从喷口P 的下边缘中点射出，根据几何关系有
根据洛伦兹力提供向心力有
联立解得
当磁场在x 和y 方向的分量同取最大值时，离子从喷口P 边缘交点射出，根据几何关系有
此时
；根据洛伦兹力提供向心力有
联立解得
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故
的取值范围为
；
（3）粒子在立方体中运动轨迹剖面图如图所示
由题意根据洛伦兹力提供向心力有
且满足
所以可得
所以可得
离子从端面P 射出时，在沿z 轴方向根据动量定理有
根据牛顿第三定律可得离子束对推进器作用力大小为
方向沿z 轴负方向。
（2023 秋·湖南怀化·高三怀化市第三中学校考开学考试）如图甲所示，在竖直平面内建立
坐标系（
轴竖直），在
区域有沿
轴正方向的匀强电场，电场强度大小
；在
区域，还有按图乙规
律变化的磁场，磁感应强度大小为
，磁场方向以垂直纸面向外为正方向。
时刻，有一质量为
、带
电荷量为
的小球（可视为质点）以初速度
从原点
沿与
轴正方向夹角
的方向射入第一象限，
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重力加速度为
．求：
（1）小球从上往下穿过
轴的位置到坐标原点的可能距离；
（2）小球与
轴之间的最大距离。
【答案】 （1）
；（2）
【解析】（1）带电小球从原点进入
区域后有
所以在此区域内，带电小球在有磁场时做匀速圆周运动，在无磁场时做匀速直线运动，其轨迹如图所示
在
时间内，有
即
小球沿
轴正方向前进的距离
在
时间内，小球沿
轴正方向前进的距离
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在
时间内，小球沿
轴正方向前进的距离为
在
时间内，小球沿
轴正方向前进的距离为
以此类推，小球从上往下穿过
轴时的位置到坐标原点的距离
．
（2）由轨迹图可知，小球与
轴的最大距离位置在第四象限
小球与x 轴之间的最大距离
．
考向
3 叠加场在科技中的四种应用：速度选择器、磁流体发电机、电磁流量计、霍尔效应的原理和分析
1、速度选择器
(1)平行板间电场强度E 和磁感应强度B 互相垂直．(如图)
(2)带电粒子能够沿直线匀速通过速度选择器的条件是洛伦兹力与静电力平衡
qvB＝qE，即v＝.
(3)速度选择器只能选择粒子的速度，不能选择粒子的电性、电荷量、质量．
(4)速度选择器具有单向性．
2、磁流体发电机
(1)原理：如图所示，等离子体喷入磁场，正、负离子在洛伦兹力的作用下发生偏转而聚集在B、A 板上，
产生电势差，它可以把离子的动能通过磁场转化为电能．
(2)电源正、负极判断：根据左手定则可判断出正离子偏向B 板，图中的B 板是发电机的正极．
(3)发电机的电动势：当发电机外电路断路时，正、负离子所受静电力和洛伦兹力平衡时，两极板间达到的
最大电势差为U，则q＝qvB，得U＝Bdv，则E＝U＝Bdv.
当发电机接入电路时，遵从闭合电路欧姆定律．
3、电磁流量计
(1)流量(Q)：单位时间流过导管某一截面的导电液体的体积．
(2)导电液体的流速(v)的计算：
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如图所示，一圆柱形导管直径为d，用非磁性材料制成，其中有可以导电的液体向右流动．导电液体中的
正、负离子在洛伦兹力作用下发生偏转，a 处积累正电荷，b 处积累负电荷，使a、b 间出现电势差，φa>φb.
当自由电荷所受静电力和洛伦兹力平衡时，a、b 间的电势差(U)达到最大，由q＝qvB，可得v＝.
(3)流量的表达式：Q＝Sv＝·＝.
(4)电势高低的判断：根据左手定则可得φa>φb.
4、霍尔效应的原理和分析
(1)定义：高为h、宽为d 的导体(自由电荷是电子或正电荷)置于匀强磁场B 中，当电流通过导体时，在导体
的上表面A 和下表面A′之间产生电势差，这种现象称为霍尔效应，此电压称为霍尔电压．
(2)电势高低的判断：如图，导体中的电流I 向右时，根据左手定则可得，若自由电荷是电子，则下表面A′
的电势高．若自由电荷是正电荷，则下表面A′的电势低．
(3)霍尔电压：导体中的自由电荷(电荷量为q)在洛伦兹力作用下偏转，A、A′间出现电势差，当自由电荷所
受静电力和洛伦兹力平衡时，A、A′间的电势差(U)就保持稳定，由qvB＝q，I＝nqvS，S＝hd，联立解得U
＝＝k，k＝称为霍尔系数．
（2023·浙江·高考真题）某兴趣小组设计的测量大电流的装置如图所示，通有电流I 的螺绕环在霍尔元件处
产生的磁场
，通有待测电流
的直导线
垂直穿过螺绕环中心，在霍尔元件处产生的磁场
。
调节电阻R，当电流表示数为
时，元件输出霍尔电压
为零，则待测电流
的方向和大小分别为
（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】 D
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【解析】根据安培定则可知螺绕环在霍尔元件处产生的磁场方向向下，则要使元件输出霍尔电压
为零
直导线
在霍尔元件处产生的磁场方向应向上，根据安培定则可知待测电流
的方向应该是
；元件
输出霍尔电压
为零，则霍尔元件处合场强为0，所以有
解得
故选D。
（多选）（2023·河北沧州·河北省吴桥中学校考模拟预测）如图所示的磁流体发电机由彼此正对的两水平
且彼此平行的金属板M、N 构成，M、N 间存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B1，两金属
板与两平行且水平放置的金属导轨相连，金属板M、N 及两平行金属导轨间的距离均为d，平行金属导轨
间存在磁感应强度为B2的匀强磁场，磁场的方向与竖直方向成θ 角，在两平行金属导轨上放有一长为d 的
直导体棒PQ，直导体棒PQ 与两平行金属导轨垂直，其电阻为R，其余电阻不计。在两平行金属板M、N
间垂直于磁场方向喷入一束速度大小为v0的等离子体，PQ 仍静止在导轨上，已知导体棒的质量为m，它
与金属导轨间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，下列说法正确的是（ ）
A．通过导体棒的电流方向为P→Q
B．导体棒受到的安培力大小为
C．金属导轨对导体棒的支持力大小为
D．导体棒受到金属导轨的摩擦力大小为
【答案】 CD
【解析】A．由左手定则知M 板聚集负电荷，N 板聚集正电荷，即M 板为磁流体发电机的负极，N 板为正
极，通过导体棒的电流方向为Q→P，故A 错误；
B．当洛伦兹力与电场力相等时形成稳定的电势差，即
由欧姆定律可得导体棒上的电流为
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所以导体棒受到的安培力大小为
故B 错误；
CD．如图对导体棒进行受力分析
竖直方向上有
水平方向上有
联立解得
，
故C、D 正确。
故选CD。
【基础过关】
1．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）当电流垂直于外磁场通过导体时，载流子发生偏转，垂直于
电流和磁场的方向会产生一附加电场，从而在导体的两端产生电势差（也称霍尔电势差），这一现象就是
霍尔效应。现有一金属导体霍尔元件连在如图所示电路中，电源内阻不计，电动势恒定，霍尔电势差稳定
后，下列说法正确的是（ ）
A．若元件的厚度增加，a、b 两端电势差减小
B．a 端电势低于b 端电势
C．若要测量赤道附近的地磁场，工作面应保持竖直
D．霍尔电势差的大小只由单位体积内电子数目和电子的热运动速率决定
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【答案】 C
【解析】B．由题图知电流方向从右向左，则霍尔元件中电子从左向右定向移动，根据左手定则判断可知
在洛伦兹力的作用下电子向b 端偏转，故b 端电势较低，故B 错误；
AD．稳定后，定向移动的电子受到的电场力与洛伦兹力大小相等，即
由电流微观表达式
联立可得
Bd
则a、b 两端电势差U 与磁感应强度B、元件的前后距离d、单位体积内电子数目n 等因素有关，与题中元
件的厚度无关，故AD 错误；
C．由于赤道附近的地磁场平行于地面。若要测量赤道附近地磁场，工作面应该处于竖直状态，故C 正确.
故选C。
2．（2023·湖南长沙·长郡中学校考二模）如图所示，一轨道由半径为
的四分之一竖直圆弧轨道
AB 和长度可以调节的水平直轨道BC 在B 点平滑连接而成。现有一质量为0.5kg 的带正电小球从A 点无初
速释放，经过圆弧上的B 点时，传感器测得轨道所受压力大小为7.5N，小球经过BC 段所受阻力为其重力
的0.2 倍，然后从C 点水平飞离轨道，落到水平面上的P 点，P、C 两点间的高度差为3.2m。g 取
，
不计空气阻力。下列说法正确的是（ ）
A．小球沿圆弧面下滑过程中，机械能守恒
B．若施加一垂直轨道面向里的磁场，洛伦兹力不做功，小球经过B 点的速度不变
C．若将小球放在B 点，对其施加一方向始终与速度方向相同的拉力F，把小球沿圆弧轨道拉到A 点，则F
至少做功为15.75J
D．仅调节BC 的长度，可以使小球落地点P 到B 点的水平距离为2.5m
【答案】 D
【解析】A．小球在B 点受到的重力与支持力的合力提供向心力，则有
解得
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A 至B 过程中，由动能定理
解得
J
故机械能不守恒，故A 错误；
B．当施加磁场后，洛伦兹力不做功，但是小球与轨道的挤压力会减小，克服摩擦力做功会减少，故B 点
速度增大，故B 错误；
C．小球沿圆弧轨道缓慢拉到A 点的过程，相对于从A 下滑到B 过程，速度小，向心力小，正压力小，克
服摩擦力做功小于6.75J，而克服重力做功9J，则F 做功小于15.75J，故C 错误；
D．B 至C 过程中，由动能定理
B 至P 的水平距离为
联立两式，由数学知识可得当
时，P 至B 的水平距离最大，最大距离为
m
故D 正确。
故选D。
3．（多选）（2023·辽宁沈阳·沈阳二中校考模拟预测）如图所示，以竖直向上为轴建立
坐标系，
空间中存在匀强电场和匀强磁场。匀强电场的电场强度方向沿着
轴正向，大小为
，匀强磁场的磁感应
强度为
，方向未知。现有一个质量为
、电荷量为
的带正电的小球恰好从
点沿
轴正方向以速
度做匀速直线运动，
为重力加速度，下列说法正确的是（ ）
A．匀强磁场的方向一定沿
轴正方向
B．若
的方向改为沿
轴正方向，则改变磁场方向，可使小球仍做匀速直线运动，磁感应强度大小可能
为
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C．若撤去电场，小球运动的最低点坐标为
D．若撤去电场，小球第一次返回到
平面的可能坐标为（
，
）
【答案】 BCD
【解析】A．根据题意知
正电的小球恰好从
点沿
轴正方向以速度
做匀速直线运动，由平衡条件可知带电小球不受洛仑兹力，
所以速度方向与磁场方向相互平行，匀强磁场的方向可能沿
轴正方向，也可能沿
轴负方向，故A 错误；
B．若
的方向改为沿
轴正方向，则小球受到的重力和电场力的合力为
方向方向沿
轴正方向和y 轴负方向的角平分线，改变磁场方向，可使小球仍做匀速直线运动，根据平衡
条件可知小球所受的洛仑兹力大小为
则磁感应强度大小可能为
故B 正确；
C．撤去电场后，粒子的运动如图：
在最低点有
且
根据题意可知
根据几何关系可知最低点坐标为
故C 正确；
17
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D．撤去电场后，小球沿
轴做匀速直线运动，则
粒子做圆周运动的周期为
且
x 方向的坐标为
解得
，
所以小球第一次返回到
平面的可能坐标为（
，
），故D 正确；
故选BCD。
4．（多选）（2023·云南昆明·云南师大附中校考模拟预测）如图所示，为了测量某金属中自由电子的“数
密度”（单位体积内的自由电子数量），用该材料制成一段长方体，端面边长分别为
和
；将其置于匀
强磁场中，磁场方向垂直于前表面向里，材料内部磁感应强度大小为
。当通以从左到右的恒定电流
时，
测得上、下表面之间的电压大小为
。已知电子电荷量大小为，则（ ）
A．自由电子数密度为
B．自由电子数密度为
C．上表面电势比下表面电势高
D．上表面电势比下表面电势低
【答案】 BD
【解析】电流稳定时，电子所受电场力和洛伦兹力平衡，有
解得
电流的微观表达式
联立可得
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电流方向自左向右，电子自右向左运动，根据左手定则，可知电子向上表面聚集，下表面正电荷较多，电
场方向自下向上，故上表面电势低，故选BD。
5．（多选）（2023 秋·福建宁德·高三校考期末）武汉病毒研究所是我国防护等级最高的P4 实验室，在该
实验室中有一种污水流量计，其原理可以简化为如图乙所示模型：废液内含有大量正、负离子，从直径为
d 的圆柱形容器右侧流入，左侧流出，流量值Q 等于单位时间通过横截面的液体的体积。空间有垂直纸面
向里的磁感应强度为B 的匀强磁场，下列说法正确的是（ ）
A．当污水中离子浓度升高时，MN 两点电压将增大
B．磁感应强度B 不变，当污水流速将增大时，MN 两点电压U 增大
C．只需要测量磁感应强度B 及MN 两点电压U 的值，就能够推算污水的流量
D．只需要测量磁感应强度B、直径d 及MN 两点电压U 的值，就能够推算污水的流量
【答案】 BD
【解析】AB．当电磁流量计中的流量稳定时污水中的粒子在圆柱中做匀速直线运动，粒子所受的电场力和
洛伦兹力平衡，即
解得
由以上结果可知，污水中离子浓度对MN 两点间电压无影响；污水流速
增大时，MN 两点电压U 增大。
故A 错误，B 正确；
CD．流量值Q 等于单位时间通过横截面的液体的体积，即
需要测量磁感应强度B、直径d 及MN 两点电压U 的值才能推算污水的流量。故C 错误，D 正确。
故选BD。
6．（2023·海南省直辖县级单位·嘉积中学校考三模）如图所示，在区域Ⅰ有与水平方向成
的匀强电场，
电场方向斜向左下方；在区域Ⅱ有竖直向下的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场，电场强度大小
，磁感应强度大小为
。区域Ⅰ、Ⅱ的边界均沿竖直方向。一质量为
、电荷量为
的微粒从区
域Ⅰ的左边界
点由静止释放。微粒沿水平虚线向右运动，进入区域Ⅱ，区域Ⅱ的宽度为
。微粒从区域
Ⅱ右边界的
点（图中未画出）离开复合场区域，速度方向偏转了
，重力加速度为
。求：
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（1）区域Ⅰ的电场强度大小
。
（2）微粒进入区域Ⅱ时的速度大小。
【答案】 （1）
；（2）
【解析】（1）微粒在区域Ⅰ沿水平虚线做直线运动，说明微粒在竖直方向上受力平衡，根据平衡条件有
解得
（2）微粒进入区域Ⅱ后，根据题意有
由此可知微粒在区域Ⅱ中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，有
根据几何关系有
联立解得
7．（2023·河南洛阳·统考模拟预测）如图所示，在平面直角坐标系Oxy 中，第I 象限有竖直方向的电场
（未画出），第II 象限有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度
，两极板之间的距离为20cm，调
节两极板电压至
时，某带电粒子（不计重力）从两极板左侧射入，轨迹为平行于A 极板的直
线，从C 点进入第I 象限，粒子运动轨迹刚好没有碰到右侧挡板PD，最终打在x 轴上。已知
，
，PD 与坐标轴夹角
。求：
（1）粒子到达C 点的速度大小；
（2）粒子到达OD 边的速度大小。
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【答案】 （1）
；（2）
【解析】（1）在第II 象限
代入数据得
（2）粒子在第I 象限做类平抛运动，设轨迹与PD 切于F 点，从C 到F
，
在F 点
所以
又
得
从C 到F
从C 到OD 边
联立得
【能力提升】
8．（2023·四川巴中·南江中学校考模拟预测）如图所示，某竖直平面内存在着相互正交的匀强电场和匀强
磁场，电场方向水平向左，磁场方向水平向外．一质量为
、电荷量为
的微粒以速度
与水平方向成
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角从
点射入该区域，微粒恰好沿速度方向做直线运动，下列说法中正确的是（ ）
A．微粒从
到
的运动可能是匀减速直线运动
B．该微粒一定带正电荷
C．该磁场的磁感应强度大小为
D．该电场的场强为
【答案】 C
【解析】AB．若微粒带正电
，它受竖直向下的重力
、向左的电场力
和右斜向下的洛伦兹力
，
知微粒不能做直线运动．据此可知微粒一定带负电
，它受竖直向下的重力
、向右的电场力
和左斜
向上的洛伦兹力
，又知微粒恰好沿着直线运动，可知微粒一定做匀速直线运动，故AB 错误；
CD．由平衡条件有关系
得磁场的磁感应强度
电场的场强
故C 正确，D 错误。
故选C。
9．（2023 春·河南开封·高三统考期末）霍尔元件是一种基于霍尔效应的磁传感器，用以检测磁场及其变化。
某半导体材料制成的霍尔元件如图所示，长方体元件处于方向垂直于工作面向下的待测匀强磁场中，接通
开关S，调节滑动变阻器R，使电路中电流为定值I，此时在元件的前后表面间会出现电势差（称为霍尔电
压），用电压表测出前后表面M、N（图中未标出）间电势差
的大小，即可求出该磁场的磁感应强度。
的大小与I 和B 满足
，
称为霍尔元件灵敏度，
越大，灵敏度越高。已知元件长为a，宽
为b，高为h。下列说法正确的是（ ）
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A．表面M 电势高，说明半导体材料中的载流子（参与导电部分）带负电
B．霍尔电压
越大，说明磁感应强度越大
C．元件的宽度b 越大，霍尔元件的灵敏度越高
D．元件的高度h 越小，霍尔元件的灵敏度越高
【答案】 D
【解析】A．电流方向向右，若载流子带负电，则向左运动，根据左手定则，表面M 电势低，说明载流子
带正电，A 错误
B．霍尔电压由灵敏度、电流和磁感应强度共同决定，B 错误；
CD．由平衡条件
又
n 为单位体积内自由电荷的个数，可知
元件的宽度b 越大，霍尔元件的灵敏度不变；元件的高度h 越小，霍尔元件的灵敏度越高，C 错误，D 正
确。
故选D。
10．（多选）（2023·海南海口·海南华侨中学校考模拟预测）如图所示，一根固定的绝缘竖直长杆位于范
围足够大且相互正交的匀强电场和匀强磁场中，匀强电场的电场强度大小
、方向竖直向上，匀强
磁场的磁感应强度大小为
、方向垂直纸面向里。一质量为
、电荷量为
的带正电小圆环套在杆上，圆
环与杆间的动摩擦因数为
。现使圆环以初速度
沿杆向下运动，经过时间
，圆环回到出发点。若圆环
回到出发点之前已经开始做匀速直线运动，不计空气阻力，重力加速度为
，则下列说法中正确的是
（ ）
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A．圆环下降过程中的加速度逐渐减小
B．圆环的最大加速度
C．圆环在
时间内损失的机械能为
D．圆环下降过程和上升过程中，系统因摩擦产生的内能相等
【答案】 AC
【解析】A.圆环向下运动时竖直方向受到重力、向上的电场力和向上的摩擦力。设圆环向下运动的加速度
大小为
，则
因此圆环速度的减小，会导致其所受洛伦兹力减小，则摩擦力会减小，因此圆环做加速度减小的减速运动，
故A 正确；
B.当圆环向上运动时，圆环的加速度大小
随着圆环速度的增大，圆环开始做加速度减小的加速运动，之后做匀速直线运动，圆环向下运动时的加速
度大于向上运动时的加速度，而向下运动时圆环受到的摩擦力越大，则加速度越大，因此圆环刚开始运动
时，加速度最大，有
可得
故B 错误；
C.圆环先后两次经过出发点过程中，重力势能变化量为零，可知圆环机械能的损失，即为动能的损失，根
据动能定理，有
而圆环最后做匀速运动的速度
因此圆环在
时间内损失的机械能为
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故C 正确；
D.圆环上升和下降的过程中，摩擦力大小的平均值不同，而圆环运动的路程相同，所以两过程中，系统因
摩擦产生的内能不相等，故D 项错误。
故选AC。
11．（多选）（2023·河南郑州·郑州外国语学校校考模拟预测）如图所示，下端封闭、上端开口、高h＝
5m 内壁光滑的细玻璃管竖直放置，管底有质量m＝10g，电荷量的绝对值|q|＝0.2C 的小球，整个装置以v
＝5m/s 的速度沿垂直于磁场方向进入磁感应强度B＝0.2T，方向垂直纸面向内的匀强磁场，由于外力的作
用，玻璃管在磁场中的速度保持不变，最终小球从上端管口飞出。g 取10m/s2。下列说法中正确的是（
）
A．整个过程中洛伦兹力对小球做正功
B．小球在离开管前做匀变速曲线运动
C．小球在玻璃管中的运动时间大于1s
D．小球机械能的增加量为1J
【答案】 BD
【解析】小球的质量m＝10g＝0.01kg。
A．小球在玻璃管中刚开始所受洛伦兹力方向竖直向上，F 洛＞mg，小球获得竖直向上的加速度，向上加速
运动，具有向上的速度之后，物体合速度指向右上方，洛伦兹力与物体合速度始终垂直，始终不做功，故
A 错误；
B．由于玻璃管在磁场中水平方向匀速运动，小球在水平方向上与玻璃管保持相对静止，故小球在水平方
向匀速运动，那么洛伦兹力在竖直方向上的分力始终等于qvB 保持不变，小球在竖直方向上合力为
F 合＝qvB﹣mg
恒定不变，所以小球在竖直方向做匀加速直线运动，可知小球在离开管前做匀变速曲线运动，故B 正确；
C．小球的实际运动速度可分解为水平方向的速度v 和竖直方向的速度vy。与两个分速度对应的洛伦兹力
的分力分别是水平方向的
和竖直方向的F，其中竖直方向的洛伦兹力F＝qvB 不变，在竖直方向上，由
牛顿第二定律得
qvB﹣mg＝ma
解得
a＝10m/s2
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由匀变速运动的位移公式得
解得
t＝1s
故C 错误；
D．小球飞出管口时，竖直速度为
vy＝at＝10×1m/s＝10m/s
飞出管口的合速度为
v 合＝
动能增量
代入数据解得
0.5J
重力势能的增量
ΔEp＝mgh＝0.01×10×5J＝0.5J，
机械能的增量
ΔE＝
+
＝0.5J+0.5J＝1J
故D 正确。
故选BD。
12．（多选）（2023 春·四川成都·高三树德中学校考开学考试）如图所示，空间有一垂直纸面向外的磁感
应强度为
的匀强磁场，一质量为
且足够长的绝缘木板静止在光滑水平面上，在木板左端无初速
放置一质量为
、电荷量
的滑块，滑块与绝缘木板之间的动摩擦因数为
，滑块受到的
最大静摩擦力可认为等于滑动摩擦力。现对木板施加方向水平向左，大小为
的恒力F，重力加速度
，则（ ）
A．前
合外力对木板做的功为
B．
时木板对地面的压力大小为
C．静摩擦力对滑块做的功为
D．滑动摩擦力对滑块的冲量大小为
【答案】 BC
【解析】A．静摩擦力能提供的最大加速度为
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开始时木板滑块一起运动，加速度为
而滑块向左运动后，由左手定则可知，会受到一个向上的洛伦兹力，设滑块速度为v 时，两者开始相对滑
动，由牛顿第二定律得，对滑块有
对木板有
可得
则发生相对滑动需要时间
时木板速度
根据动能定理，前
合外力对木板做的功为
故A 错误；
B．
时速度
木板对地面的压力大小为
故B 正确；
C．根据动能定理，静摩擦力对滑块做的功为
故C 正确；
D．当滑块受的洛伦兹力大小等于重力时，两者分离，此时由
可得
滑动摩擦力对滑块的冲量大小为
故D 错误。
故选BC。
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13．（多选）（2023·广东珠海·珠海市第一中学校考三模）如图所示，以棱长为L 的正方体顶点O 为原点
建立三维坐标系Oxyz，其中顶点P 落在x 轴上、Q 落在y 轴上。质量为m、电荷量为＋q 的粒子（重力不
计〉由Q 点沿x 轴正方向以速度
射入。第一次只在正方体内加沿z 轴负方向磁感应强度大小为B 的匀强
磁场，该粒子恰好能通过OQ 的中点；第二次只在正方体内加沿y 轴负方向电场强度大小为E 的匀强电场，
该粒子恰好能通过OP 的中点；第三次在正方体内同时加上匀强磁场和匀强电场；磁场方向不变，电场方
向调整为沿z 轴正方向，则（ ）
A．该粒子在正方体内运动的时间第一次大于第二次
B．电场强度和磁感应强度满足
C．第三次该粒子在正方体内的运动为匀变速曲线运动
D．第三次该粒子将从正方体的上表面穿出
【答案】 ABD
【解析】A．第一次粒子在磁场中做匀速圆周运动，其轨迹为一圆周，运动半径为
由洛伦兹力提供向心力得
解得
运动时间
第二次粒子在电场中做类平抛运动，沿+x 方向做匀速直线运动，则运动时间为
可知该粒子在正方体内运动的时间第一次大于第二次，故A 正确;
B．第二次运动中，粒子在沿-y 方向做匀加速直线运动，则有
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解得
故B 正确；
CD．第三次粒子射入时，所受电场力方向沿z 轴正方向，则电场力与洛伦兹力的合力都沿z 轴正方向，与
速度不在同一直线，且洛伦兹力不断变化，粒子不会做匀变速曲线运动，且粒子最终会从正方体的上表面
穿出，故C 错误，D 正确；
故选ABD。
14．（2023·安徽合肥·合肥市第六中学校考模拟预测）如图所示，长方体
空间中存在竖直向
下的匀强电场，电场强度大小为E。ab、ad 的长度分别为
L 和L，从ad 的中点e 水平向右射入一个质量
为m、电荷量为+q 的粒子，初速度大小为
，粒子恰好从
的中点g 射出。若在空间中再施加一个竖直
向下的匀强磁场，同时改变粒子的入射速度大小，粒子恰好从
点射出。求：
(1)粒子从e 到
点运动的时间；
(2)第二次粒子的入射速度大小
；
(3)粒子到达
点的速度大小。
【答案】 (1)
；(2)
；(3)
【解析】(1)施加磁场前后粒子在竖直方向上的运动是相同的，所以两次所经历的时间也是相同的。由第一
次运动水平方向上
解得
(2)施加磁场后粒子一边在竖直方向上匀加速，一边在水平面内做匀速圆周运动。c'点在abcd 上的投影为
。
设粒子在磁场中做圆周运动的半径为r，由几何关系可得
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解得
轨迹所对的圆心角
由
且
解得
(3)粒子到达c'点时的水平速度
竖直分速度
解得
15．（2023·吉林·统考模拟预测）如图所示，在竖直平面的直角坐标系xOy 中，第一象限有沿y 轴正方向
的匀强电场和垂直于纸面向外的匀强磁场，第二象限有沿x 轴正方向的匀强电场，两匀强电场的电场强度
大小均相等。一质量为m，电荷量为+q 的带电小球，从x 轴上的P
点以某一初速度v0沿y 轴正方向
射入第二象限，依次经过Q
点和M
点，图中M 点末标出。经过Q 点的速度与y 轴正方向成
45°，重力加速度为g，不计空气阻力，求：
（1）小球从P 点射出的初速度v0；
（2）匀强磁场的磁感应强度的大小。
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【答案】 （1）
；（2）
【解析】（1）根据题意可知，粒子从P 到Q 的过程中，水平方向上有
竖直方向上有
由几何关系有
联立可得
（2）根据题意，由（1）分析可知，粒子到达Q 点的速度为
由于
则粒子在第一象限做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，根据粒子在磁场中的运动轨迹，由几何关系可
知QM 为直径，则有
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由牛顿第二定律有
联立可得
16．（2023 春·山东·高三统考学业考试）如图甲所示，两平行板P、Q 足够大，间距为
。板间有可独立
控制的变化的电场和磁场。取垂直于纸面向里为正方向，磁感应强度随时间的变化规律如图乙所示，电场
强度E 随时间的变化规律如图丙所示。
时刻，一质量为
、带电量为
的粒子（不计重力），以初
速度
由Q 板左端靠近板面的位置，沿垂直于磁场且平行于板面的方向射入磁场区。当
、
、
取某
些特定值时，可使
时刻入射的粒子经
垂直打在P 板上（不考虑粒子反弹）。上述
、
、
、
、
为已知量。
（1）若只加磁场，当
时，求
满足的条件；
（2）若同时加电场、磁场，当
时，求
满足的条件和粒子的位移；
（3）若同时加电场、磁场，当
，求
。
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【答案】 （1）
；（2）
（
，
，
），
；（3）见解析
【解析】（1）若只加磁场，当
时，设粒子做圆周运动的半径为
，由洛伦兹力提供向心力得
可得
根据题意由几何关系可得
解得
（2）若同时加电场、磁场，当
时，设粒子做圆周运动的半径为
，由洛伦兹力提供向心力得
可得
由丙图可知在一个电场周期
内，沿电场方向的速度变化为0；根据题意由几何关系可得
解得
（
，
，
）
粒子沿电场方向的位移为
粒子的位移为
（3）若同时加电场、磁场，当
，设粒子做圆周运动的半径为
，周期为
，由圆周运动公式可
得
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由牛顿第二定律可得
可得
，
粒子运动轨迹如图所示
、
为圆心，
连线与水平方向的夹角为
，在每个
内，只有
、
两个位置才有可能垂直击中
P 板，且均要求
，由题意可得
可得
设经历完整
的个数为
（
，，
，
）。
若在
点击中P 板，根据题意由几何关系可得
当
，，
时，无解；
当
时，有
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若在
点击中P 板，根据题意由几何关系可得
当
，
时，无解；
当
时，
当
时，有
17．（2023·安徽合肥·合肥一中校考模拟预测）如图所示，与电源断开的带电平行金属板相互正对水平放
置，两板间存在着水平方向的匀强磁场。磁感应强度大小为B。某带电小球从光滑绝缘的
圆弧轨道上的
a 点由静止开始滑下，经过轨道端点P（轨道上P 点的切线沿水平方向）进入板间后恰好沿水平方向做直
线运动。
圆弧半径为R，小球质量为
电量大小为
，若保持磁感强度不变，使两板间距离增大一倍，
且保持P 点仍在两板正中间。让小球从距P 点高为
R 轨道上的b 点由静止开始滑下，再经P 点进入板间，
假设小球在运动中始终打不到板上。已知重力加速度为g。求：
（1）判断小球电性，并求两种情况下经过P 点时对轨道的压力大小之比；
（2）小球从b 点释放后在两板间运动的速度的最大值；
（3）若要小球在运动过程中打不到板上则两板间距离至少为多少？
P
【答案】 （1）正电，
；（2）
；（3）
【解析】（1）若小球带负电，所受的洛伦兹力和电场力、重力均向下，小球不能做匀速直线运动，则小
球一定带正电；
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小球第一次过P 点，有
解得
由牛顿第二定律有
解得
小球第二次过P 点，有
解得
由牛顿第二定律有
解得
由牛顿第三定律有
（2）第一次进入两板间，匀速时
第二次进入，由于两板与电源断开，则电量不变，改变板间距不改变场强。可将重力与电场力合成为一个
力F，则
可以把物体的运动分解为一个匀速运动和一个匀速圆周运动
令匀速运动的速度v，满足
可知
对于圆周运动，令其速率
故v 与u 同向时，合速度最大为
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（3）由于粒子运动中最小速度在最高点，且
所以最高点与P 等高；令P 距最低点距离为h，则有
解得
故两板间距离为
18．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）如图所示，光滑绝缘的水平面上放置一个质量为
m、带电荷量为+q 的小球（可视为点电荷）。在竖直平面内存在匀强磁场和匀强电场，y 轴左侧电场方向
水平向右，无磁场，y 轴右侧电场方向竖直向上，磁感应强度大小为B，磁场方向垂直纸面向里。两侧电
场强度大小相等，均为
、现将小球从左侧距O 点为L 的A 点由静止释放，若小球第一次落回地面时落
到A 点附近。
（1）求小球第二次经过y 轴时与O 的距离d：
（2）小球从开始运动到第二次经过y 轴后速度达到最小所用的时间t。
【答案】 （1）
；（2）
【解析】（1）在磁场中，由于
合力为洛伦兹力，做圆周运动
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根据动能定理
解得
结合几何关系可得
（2）由A 到O 物体做匀加速，根据牛顿第二定律
根据运动学规律
在磁场中做匀速圆周运动
回到y 轴左侧后，物体做类斜抛运动，速度与合力方向垂直时，即速度方向斜向左下
时，速度最小，从
回到y 轴左侧起至速度最小所需时间t3
总时间
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19．（2023 春·河南·高三统考期末）如图所示，在xOy 坐标平面内，第二三象限存在着沿y 轴正方向的匀
强电场，电场强度大小为
。在第一、四象限存在磁感应强度大小相等、方向相反且都垂直于纸面的匀
强磁场。在A 处有一质量为m、电荷量为q 的带负电粒子，以某一速度
沿着与x 轴正方向成
°的方向射入匀强电场，经过一段时间后从y 轴上某点进入磁场。已知A 点坐标为
，粒子
在运动过程中恰好不再返回电场，忽略粒子的重力。求
（1）粒子第一次进入磁场时速度v 的大小和方向；
（2）磁感应强度B 的大小；
（3）若仅将第四象限的磁感应强度变为原来的4 倍，在
处有一个垂直于x 轴足够大的挡板，求粒
子最终打在挡板上的坐标。
【答案】 （1）
，平行于x 轴正方向；（2）
；（3）
【解析】（1）粒子在电场中做类平抛运动，则
根据牛顿第二定律可知
联立解得
电场中运动沿y 轴方向位移
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粒子第一次进入磁场时速度v 的大小为
方向平行于x 轴正方向
（2）粒子进入磁场后轨迹如图所示
由几何关系得
解得
（3）将第四象限的磁感应强度变为原来的4 倍，有
得
轨迹如图所示
由几何关系得
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粒子垂直打在挡板上
坐标为
20．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）如图所示，空间中有
坐标系，
平面水平
y 轴沿竖直方向。在O 处有一个质量为m、带电量为
的小球（可视为点电荷），不计空气阻力，重力加
速度为g。
（1）若在
空间中存在着沿x 轴负向的匀强电场，电场强度
，将小球沿y 轴正向以速度
抛出，
求小球落回x 轴前动能的最小值；
（2）若在
的空间中存在着正交的电磁场，其中匀强电场沿y 轴正向，电场强度
，匀强磁场方
向沿z 轴负向，磁感应强度大小为B。小球以初速度
从O 点抛出，速度方向在
平面内且与x 轴正向
成
角，
，多次发射小球后，求小球在电磁场中可能的运动轨迹所覆盖的面积；
（3）若在
区域存在沿y 轴负向的匀强磁场，磁感应强度为
，在
区域存在沿y 轴负向的匀强
磁场，磁感应强度为
，小球从O 点沿x 轴正向以
的速度抛出，求小球从抛出到再次经过y 轴所用的
时间及经过y 轴时到O 点的距离。（忽略磁场的边界效应）
【答案】 （1）
；（2）
；（3）
；
【解析】（1）由
可知小球受到的电场力与重力等大，所以电场力与重力的合力为
方向与x 轴负方向夹角为45°，小球的运动可以看成类斜抛运动，当小球的速度与合力垂直时，速度最小，
动能最小，此时有
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联立可得
则最小速度大小为
动能的最小值为
（2）因为场强度
，电场沿y 轴正向，所以重力和电场力平衡，故小球做匀速圆周运动，由
可得
小球在x 轴正方向可能覆盖的面积是运动轨迹的半个圆周，在x 轴负方向可能覆盖的面积是以运动轨迹的
直径为半径的四分之一圆周，面积共为
（3）小球在xoz 平面内分别做匀速圆周运动，由
可得小球在两个磁场中的半径分别为
周期分别为
小球在每个磁场中完成半个圆周运动进入另一个磁场，则在
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的时间内，沿z 轴移动的距离为
则有
可得
则小球从抛出到再次经过y 轴所用的时间
小球在y 轴方向做自由落体运动，从抛出到再次经过y 轴时到O 点的距离为
【真题感知】
21．（2023·湖南·统考高考真题）如图，真空中有区域Ⅰ和Ⅱ，区域Ⅰ中存在匀强电场和匀强磁场，电场
方向竖直向下（与纸面平行），磁场方向垂直纸面向里，等腰直角三角形CGF 区域（区域Ⅱ）内存在匀强
磁场，磁场方向垂直纸面向外。图中A、C、O 三点在同一直线上，AO 与GF 垂直，且与电场和磁场方向
均垂直。A 点处的粒子源持续将比荷一定但速率不同的粒子射入区域Ⅰ中，只有沿直线AC 运动的粒子才
能进入区域Ⅱ。若区域Ⅰ中电场强度大小为E、磁感应强度大小为B1，区域Ⅱ中磁感应强度大小为B2，则
粒子从CF 的中点射出，它们在区域Ⅱ中运动的时间为t0。若改变电场或磁场强弱，能进入区域Ⅱ中的粒子
在区域Ⅱ中运动的时间为t，不计粒子的重力及粒子之间的相互作用，下列说法正确的是（ ）
A．若仅将区域Ⅰ中磁感应强度大小变为2B1，则t > t0
B．若仅将区域Ⅰ中电场强度大小变为2E，则t > t0
C．若仅将区域Ⅱ中磁感应强度大小变为
，则
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D．若仅将区域Ⅱ中磁感应强度大小变为
，则
【答案】 D
【解析】由题知粒子在AC 做直线运动，则有
qv0B1= qE
区域Ⅱ中磁感应强度大小为B2 ，则粒子从CF 的中点射出，则粒子转过的圆心角为90° ，根据
，有
A．若仅将区域Ⅰ中磁感应强度大小变为2B1，则粒子在AC 做直线运动的速度，有
qvA∙2B1= qE
则
再根据
，可知粒子半径减小，则粒子仍然从CF 边射出，粒子转过的圆心角仍为90°，则t =
t0，A 错误；
B．若仅将区域Ⅰ中电场强度大小变为2E，则粒子在AC 做直线运动的速度，有
qvBB1= q∙2E
则
vB = 2v0
再根据
，可知粒子半径变为原来的2 倍，则粒子F 点射出，粒子转过的圆心角仍为90°，则t =
t0，B 错误；
C．若仅将区域Ⅱ中磁感应强度大小变为
，则粒子在AC 做直线运动的速度仍为v0，再根据
，可知粒子半径变为原来的
，则粒子从OF 边射出，则画出粒子的运动轨迹如下图
根据
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可知转过的圆心角θ = 60°，根据
，有
则
C 错误；
D．若仅将区域Ⅱ中磁感应强度大小变为
，则粒子在AC 做直线运动的速度仍为v0，再根据
，可知粒子半径变为原来的
，则粒子OF 边射出，则画出粒子的运动轨迹如下图
根据
可知转过的圆心角为α = 45°，根据
，有
则
D 正确。
故选D。
22．（2022·重庆·高考真题）2021 年中国全超导托卡马克核聚变实验装置创造了新的纪录。为粗略了解等
离子体在托卡马克环形真空室内的运动状况，某同学将一小段真空室内的电场和磁场理想化为方向均水平
向右的匀强电场和匀强磁场（如图），电场强度大小为E，磁感应强度大小为B。若某电荷量为q 的正离
子在此电场和磁场中运动，其速度平行于磁场方向的分量大小为v1，垂直于磁场方向的分量大小为v2，不
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计离子重力，则（ ）
A．电场力的瞬时功率为
B．该离子受到的洛伦兹力大小为qv1B
C．v2与v1的比值不断变大
D．该离子的加速度大小不变
【答案】 D
【解析】A．根据功率的计算公式可知P = Fvcosθ，则电场力的瞬时功率为P = Eqv1，A 错误；
B．由于v1与磁场B 平行，则根据洛伦兹力的计算公式有F 洛 = qv2B，B 错误；
C．根据运动的叠加原理可知，离子在垂直于纸面内做匀速圆周运动，沿水平方向做加速运动，则v1增大，
v2不变，v2与v1的比值不断变小，C 错误；
D．离子受到的洛伦兹力不变，电场力不变，则该离子的加速度大小不变，D 正确。
故选D。
23．（多选）（2022·广东·高考真题）如图所示，磁控管内局部区域分布有水平向右的匀强电场和垂直纸
面向里的匀强磁场。电子从M 点由静止释放，沿图中所示轨迹依次经过N、P 两点。已知M、P 在同一等
势面上，下列说法正确的有（ ）
A．电子从N 到P，电场力做正功
B．N 点的电势高于P 点的电势
C．电子从M 到N，洛伦兹力不做功
D．电子在M 点所受的合力大于在P 点所受的合力
【答案】 BC
【解析】A．由题可知电子所受电场力水平向左，电子从N 到P 的过程中电场力做负功，故A 错误；
B．根据沿着电场线方向电势逐渐降低可知N 点的电势高于P 点，故B 正确；
C．由于洛伦兹力一直都和速度方向垂直，故电子从M 到N 洛伦兹力都不做功；故C 正确；
D．由于M 点和P 点在同一等势面上，故从M 到P 电场力做功为0，而洛伦兹力不做功，M 点速度为0，
根据动能定理可知电子在P 点速度也为0，则电子在M 点和P 点都只受电场力作用，在匀强电场中电子在
这两点电场力相等，即合力相等，故D 错误；
故选BC。
24．（2022·湖南·统考高考真题）如图，两个定值电阻的阻值分别为
和
，直流电源的内阻不计，平行
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板电容器两极板水平放置，板间距离为
，板长为
，极板间存在方向水平向里的匀强磁场。质量为
、
带电量为
的小球以初速度沿水平方向从电容器下板左侧边缘
点进入电容器，做匀速圆周运动，恰从
电容器上板右侧边缘离开电容器。此过程中，小球未与极板发生碰撞，重力加速度大小为
，忽略空气阻
力。
（1）求直流电源的电动势
；
（2）求两极板间磁场的磁感应强度
；
（3）在图中虚线的右侧设计一匀强电场，使小球离开电容器后沿直线运动，求电场强度的最小值
。
【答案】 （1）
；（2）
；（3）
【解析】（1）小球在电磁场中做匀速圆周运动，则电场力与重力平衡，可得
两端的电压
根据欧姆定律得
联立解得
（2）如图所示
设粒子在电磁场中做圆周运动的半径为，根据几何关系
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解得
根据
解得
（3）由几何关系可知，射出磁场时，小球速度方向与水平方向夹角为
，要使小球做直线运动，当小球
所受电场力与小球重力在垂直小球速度方向的分力相等时，电场力最小，电场强度最小，可得
解得
25．（2021·河北·高考真题）如图，距离为d 的两平行金属板P、Q 之间有一匀强磁场，磁感应强度大小为
，一束速度大小为v 的等离子体垂直于磁场喷入板间，相距为L 的两光滑平行金属导轨固定在与导轨平
面垂直的匀强磁场中，磁感应强度大小为
，导轨平面与水平面夹角为
，两导轨分别与P、Q 相连，质
量为m、电阻为R 的金属棒
垂直导轨放置，恰好静止，重力加速度为g，不计导轨电阻、板间电阻和等
离子体中的粒子重力，下列说法正确的是（ ）
A．导轨处磁场的方向垂直导轨平面向上，
B．导轨处磁场的方向垂直导轨平面向下，
C．导轨处磁场的方向垂直导轨平面向上，
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D．导轨处磁场的方向垂直导轨平面向下，
【答案】 B
【解析】等离子体垂直于磁场喷入板间时，根据左手定则可得金属板Q 带正电荷，金属板P 带负电荷，则
电流方向由金属棒a 端流向b 端。等离子体穿过金属板P、Q 时产生的电动势
满足
由欧姆定律
和安培力公式
可得
再根据金属棒ab 垂直导轨放置，恰好静止，可得
则
金属棒ab 受到的安培力方向沿斜面向上，由左手定则可判定导轨处磁场的方向垂直导轨平面向下。故B
正确。
故选B。
26．（2021·天津·高考真题）霍尔元件是一种重要的磁传感器，可用在多种自动控制系统中。长方体半导
体材料厚为a、宽为b、长为c，以长方体三边为坐标轴建立坐标系
，如图所示。半导体中有电荷量均
为e 的自由电子与空穴两种载流子，空穴可看作带正电荷的自由移动粒子，单位体积内自由电子和空穴的
数目分别为n 和p。当半导体材料通有沿
方向的恒定电流后，某时刻在半导体所在空间加一匀强磁场，
磁感应强度的大小为B，沿
方向，于是在z 方向上很快建立稳定电场，称其为霍尔电场，已知电场强度
大小为E，沿
方向。
（1）判断刚加磁场瞬间自由电子受到的洛伦兹力方向；
（2）若自由电子定向移动在沿
方向上形成的电流为
，求单个自由电子由于定向移动在z 方向上受到
洛伦兹力和霍尔电场力的合力大小
；
（3）霍尔电场建立后，自由电子与空穴在z 方向定向移动的速率分别为
、
，求
时间内运动到半导
体z 方向的上表面的自由电子数与空穴数，并说明两种载流子在z 方向上形成的电流应满足的条件。
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【答案】 （1）自由电子受到的洛伦兹力沿
方向；（2）
；（3）见解析所示
【解析】（1）自由电子受到的洛伦兹力沿
方向；
（2）设t 时间内流过半导体垂直于x 轴某一横截面自由电子的电荷量为q，由电流定义式，有
设自由电子在x 方向上定向移动速率为
，可导出自由电子的电流微观表达式为
单个自由电子所受洛伦兹力大小为
霍尔电场力大小为
自由电子在z 方向上受到的洛伦兹力和霍尔电场力方向相同，联立得其合力大小为
（3）设
时间内在z 方向上运动到半导体上表面的自由电子数为
、空穴数为
，则
霍尔电场建立后，半导体z 方向的上表面的电荷量就不再发生变化，则应
即在任何相等时间内运动到上表面的自由电子数与空穴数相等，这样两种载流子在z 方向形成的电流应大
小相等、方向相反。
50
