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模板11-2 磁场（四大题型）
题型01 带电粒子在叠加场中的运动
电场、磁场、重力场中的两者或三者在同一区域共存，就形成叠加场。带电粒子在叠加场中的运动，
一般具有较复杂的运动情景，涉及力的种类较多，包含的运动类型多，综合性强，对数学水平有较高的要
求。
一、必备基础知识
1、叠加场
电场、磁场、重力场中的两者或三者在同一区域共存，就形成叠加场。
2、分类
电场力、重力并存，即电场力+重力＝F 等效（恒力）：①带电粒子静止或匀速直线运动，则F 电＝mg
且方向相反（即F 等效＝0）；②带电粒子做匀变速直线运动，则F 等效≠0 且与v 共线；③带电粒子做匀变速
曲线运动，则F 等效≠0 且与v 不共线。该情景带电粒子没有圆周运动。
洛伦兹力、重力并存：①带电粒子做匀速直线运动，则F 洛＝mg 且方向相反，运动方向与F 洛垂直；
②带电粒子做变加速曲线运动（复杂曲线），则重力和洛伦兹力不平衡，因洛伦兹力不做功，故机械能守
恒。该情景带电粒子无静止、无匀变速直线运动、无匀变速曲线运动、无匀速圆周。
磁场力、电场力并存（不计重力的微观粒子）：①带电粒子做匀速直线运动，则F 洛＝F 电且方向相反，
运动方向与F 洛垂直；②带电粒子做变加速曲线运动（复杂曲线），因洛伦兹力不做功，可用动能定理
求解。该情景带电粒子无静止、无匀变速直线运动、无匀变速曲线运动、无匀速圆周。
本节导航：
题型01 带电粒子在叠加场中的运动 题型02 带电粒子在交变电磁场中的运动
题型03 带电粒子在磁场中运动的多解问题
题型04 带电粒子的运动在现代科技中的应用
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静电力、洛伦兹力、重力并存：①带电粒子静止，则F 电＝mg 且方向相反，且F 洛＝0；②带电粒子做
匀速直线运动，则F 电、mg、F 洛三力平衡；③带电粒子做匀速圆周运动，则F 电＝mg 且方向相反，且F 洛
＝Fn；④带电粒子做变加速曲线运动（复杂曲线），则合力不为零且与速度方向不垂直，因洛伦兹力不做
功，可用能量守恒定律或动能定理求解问题。该情景带电粒子无匀变速直线运动、无匀变速曲线运动。
3、带电体在叠加场中有约束情况下的运动
带电体在叠加场中受轻杆、轻绳、圆环、轨道等约束的情况下，常见的运动形式有直线运动和圆周运
动，此时解题要通过受力分析明确变力、恒力做功情况，并注意洛伦兹力不做功的特点，运用动能定理、
能量守恒定律结合牛顿运动定律求解。
二、解题模板
1、解题思路
2、注意问题
直线运动：①带电粒子所受合外力为零时，做匀速直线运动，处理这类问题，应根据受力平衡列方程
求解；②带电粒子所受合外力恒定，且与初速度在一条直线上，粒子将作匀变速直线运动，处理这类问题，
根据洛伦兹力不做功的特点，选用牛顿第二定律、动量定理、动能定理、能量守恒等规律列方程求解
曲线运动：①当带电粒子在所受的重力与电场力等值反向时，洛伦兹力提供向心力时，带电粒子在垂
直于磁场的平面内做匀速圆周运动.处理这类问题，往往同时应用牛顿第二定律、动能定理列方程求解；
②当带电粒子所受的合外力是变力，与初速度方向不在同一直线上时，粒子做非匀变速曲线运动，这时粒
子的运动轨迹既不是圆弧，也不是抛物线，一般处理这类问题，选用动能定理或能量守恒列方程求解。
3、解题方法
叠加场的组成：弄清电场、磁场、重力场叠加情况；
受力分析：先分析场力（重力、电场力、磁场力），然后分析接触力（弹力、摩檫力），最后分析其
它力；
运动分析：注意运动情况和受力情况的结合；
分段分析：粒子通过不同种类的场时，分段讨论；
画出轨迹：①静止或匀速直线运动（运用平衡条件）；②匀速圆周运动（运用牛顿运动定律和圆周运
动规律）；③复杂曲线运动（运用动能定理或能量守恒定律）；④对于临界问题，注意挖掘隐含条件。
受力分析是基础：一般要从受力、运动、功能的角度来分析．这类问题涉及的力的种类多，含重力、
2
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电场力、磁场力、弹力、摩擦力等。
运动过程分析是关键：包含的运动种类多，含匀速直线运动、匀变速直线运动、类平抛运动、圆周运
动以及其他曲线运动。
根据不同的运动过程及物理模型，选择合适的定理列方程（牛顿运动定律、运动学规律、动能定理、
能量守恒定律等）求解。
（2024·贵州·高考真题）如图，边长为L 的正方形
区域及矩形
区域内均存在电场强度
大小为E、方向竖直向下且与
边平行的匀强电场，
右边有一半径为
且与
相切的圆形区域，切
点为
的中点，该圆形区域与
区域内均存在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场。一
带电粒子从b 点斜向上射入电场后沿图中曲线运动，经
边的中点进入
区域，并沿直线通过该区域后
进入圆形区域。所有区域均在纸面内，粒子始终在该纸面内运动，不计粒子重力。求：
(1)粒子沿直线通过
区域时的速度大小；
(2)粒子的电荷量与质量之比；
(3)粒子射出圆形区域时速度方向与进入圆形区域时速度方向的夹角。
（2024·湖南·模拟预测）如图所示，空间中CE 左侧区域Ⅰ内有场强大小
N/C、方向
水平向左的匀强电场，一条长L=0.8m 且不可伸长的轻绳一端固定在区域I 内的O 点，另一端系一质量
m=0.2kg，带电荷量q 为0.1C 的绝缘带正电小球a，初始时小球静止在M 点。在紧靠区域I 的右侧竖直放置
一足够长、半径R=1m 的光滑绝缘圆筒，圆筒上端截面水平，CD 是圆筒上表面的一条直径且与区域Ⅰ的O
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点共线，直径PQ 与直径CD 垂直，圆筒内左半边PQJHEC 区域Ⅱ中存在大小
=20N/C、方向垂直CDEF
平面向里的匀强电场。第一次给M 处的小球一垂直于OM 斜向上的初速度
（未知），使其在竖直平面内
绕O 点恰好做完整的圆周运动，AB 为圆的竖直直径。第二次给M 处的小球一垂直于OM 斜向上的初速度
（未知），当小球a 运动到O 点正上方B 点时，轻绳突然断裂，小球a 刚好从区域Ⅰ的边界C 点竖直向
下离开区域Ⅰ的电场，然后贴着圆筒内侧进入区域Ⅱ。已知重力加速度大小取g=10m/s2，绳断前﹑断后瞬
间，小球a 的速度保持不变，忽略一切阻力，图中ABCDEF 在同一竖直平直内。求：
(1)小球a 第一次在M 的初速度大小
和第一次经过B 点时绳的拉力T；
(2)绳断后小球a 从B 到C 过程电势能的变化量
；
(3)若小球a 刚进入圆筒时，另一质量
=0.2kg 的绝缘不带电小球b 从D 点以相同速度竖直向下贴着圆筒内
侧进入圆筒，经过一段时间，小球a、b 发生弹性碰撞，且碰撞中小球a 的电荷量保持不变，则从小球b 进
入圆筒到与两球发生第7 次碰撞后，小球b 增加的机械能
是多大。
题型02 带电粒子在交变电磁场中的运动
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交变电磁场的类型主要有以下三种：①电场周期性变化，磁场不变；②磁场周期性变化，电场不变；
③电场和磁场周期性变化。要明确场的变化规律，找出衔接点是解题的关键。
一、必备基础知识
1、常见类型
①电场周期性变化，磁场不变；②磁场周期性变化，电场不变；③电场和磁场周期性变化。
2、分析思路
仔细分析并确定各场的变化特点及相应的时间，其变化周期一般与粒子在电场或磁场中的运动周期相
关联。应抓住变化周期与运动周期之间的联系作为解题的突破口。
把粒子的运动过程还原成一个直观的运动轨迹草图进行分析。
把粒子的运动分解成多个运动阶段分别进行处理，根据每一个阶段上的受力情况确定粒子的运动规律。
二、解题模板
1、解题思路
2、注意问题
应抓住变化周期与运动周期之间的联系作为解题的突破口。
3、解题方法
先读图，看清并且明白不同场的变化情况；
受力分析，分析粒子在不同的变化场区的受力情况；
过程分析，分析粒子在不同时间段内的运动情况；
找衔接点，找出衔接相邻两个过程的速度大小及方向；
选规律，联立不同阶段的方程求解。
（2023·安徽·模拟预测）如图，两竖直平行线
间存在两个有界匀强磁场，其中水平分
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界线
上方Ⅰ区域磁场垂直纸面向里，分界线
下方Ⅱ区域磁场垂直纸面向外，磁感应强度均为B。一
个质量为
、电荷量为
的粒子以速度可以分别从左边界的
两点水平射入磁场中。已知
两点
间的距离等于
与
的距离等于
，粒子重力忽略不计。
（1）求粒子在磁场中做圆周运动的轨道半径
；
（2）若粒子从
点射入磁场中且恰好不从磁场左边界射出，求入射点
到
的距离
；
（3）若粒子从
点射入磁场中，求粒子在磁场中运动的总时间。
（2023·山东济南·模拟预测）如图甲所示，两平行板P、Q 足够大，间距为
。板间有可独立控
制的变化的电场和磁场。取垂直于纸面向里为正方向，磁感应强度随时间的变化规律如图乙所示，电场强
度E 随时间的变化规律如图丙所示。
时刻，一质量为
、带电量为
的粒子（不计重力），以初速
度
由Q 板左端靠近板面的位置，沿垂直于磁场且平行于板面的方向射入磁场区。当
、
、
取某些
特定值时，可使
时刻入射的粒子经
垂直打在P 板上（不考虑粒子反弹）。上述
、
、
、
、
为已知量。
（1）若只加磁场，当
时，求
满足的条件；
（2）若同时加电场、磁场，当
时，求
满足的条件和粒子的位移；
（3）若同时加电场、磁场，当
，求
。
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题型03 带电粒子在磁场中运动的多解问题
带电粒子在磁场中运动时，往往由于粒子的电性不确定、磁场方向不确定、运动具有往复性等而造成
多解。分析这类问题需要我们全面考虑多种可能，尽量避免因思维定势而造成漏解。
一、必备基础知识
1、问题
带电粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，由于多种因素的影响，使问题形成多解。
2、问题的类型
①带电粒子电性不确定形成多解：受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电，也可能带负电，当粒子
具有相同初速度时，正、负粒子在磁场中运动轨迹不同，导致多解。如下图所示，带电粒子以速度v 垂直
进入匀强磁场，若带正电，其轨迹为a；若带负电，其轨迹为b。
②临界状态不是唯一的形成多解：带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时，由于粒子运动轨迹是
圆弧状，因此粒子的运动情况为可能从边界穿过去了或者转过180°后从入射面边界反向飞出，如下图所示。
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③磁场方向不确定形成多解：磁感应强度是矢量，如果题述条件只给出磁感应强度大小，而未说明磁
感应强度方向，则应考虑因磁场方向不确定而导致的多解。如下图所示，带正电的粒子以速度v 垂直进入
匀强磁场，若B 垂直纸面向里，其轨迹为a；若B 垂直纸面向外，其轨迹为b。
④运动的往复性形成多解：带电粒子在部分是电场，部分是磁场的空间运动时，运动往往具有往复性，
从而形成多解，如下图所示。
二、解题模板
1、解题思路
2、注意问题
周期性的多解问题要注意寻找通式。
3、解题方法
根据题意，确定多解的问题类型；
对运动过程进行受力分析和几何分析；
画出粒子运动的可能草图；
根据规律列方程进行求解。
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（2024·陕西安康·模拟预测）如图所示，以OP 为分界线将直角MON 分为区域Ⅰ和Ⅱ，区域Ⅰ
内存在方向垂直纸面向外、磁感应强度大小为B 的匀强磁场，区域Ⅱ内存在方向垂直纸面向里、磁感应强
度大小为2B 的匀强磁场，OP 与OM 间的夹角为30°。一质量为m、带电量为
的粒子从分界线上的P 点
以速度v、沿与分界线OP 成60°角的方向射入区域Ⅰ，在区域Ⅰ偏转后直接从O 点离开磁场区域，不计粒
子的重力。
（1）求OP 之间的距离；
（2）若粒子从P 点射入的速度方向不变，大小可以改变，要使粒子仍从O 点离开磁场区域，求粒子射入
时速度大小的可能值。
（2024·河南安阳·一模）如图所示，在平面直角坐标系第一象限内存在一理想边界，边界和x
轴之间存在垂直纸面、磁感应强度大小为B 的匀强磁场（图中未画出），边界与y 轴之间存在沿x 轴负方
向、电场强度大小为E 的匀强电场。在第四象限内存在平行于y 轴向下的匀强电场，在y 轴正半轴上有可
移动的粒子源能无初速释放电荷量大小为e、质量为m 的电子，电子从静止被电场加速后进入磁场区域均
能垂直穿过x 轴，图中A 点坐标为
，不计电子受到的重力，求：
(1)磁场的方向；
(2)边界曲线的方程；
(3)能经过A 点的电子释放点的纵坐标应满足的条件。
题型04 带电粒子的运动在现代科技中的应用
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带电粒子的运动与现代科技的结合，使得这类题目的考查情景较新颖，这类题型的特点为在现代科技
中考查带电粒子的运动问题，学生只需进行受力分析和运动分析，运用相关的物理规律就可以解决这类问
题。
一、必备基础知识
1、速度选择器
简介：平行板中电场强度E 和磁感应强度B 互相垂直，这种装置能把具有一定速度的粒子选择出来，
所以叫做速度选择器。
图例如下：
原理：①粒子受力特点：同时受方向相反的电场力和磁场力作用。②电场力和洛伦兹力平衡：
qE=qvB，解得v=
。
作用：①速度大小只有满足v=
的粒子才能做匀速直线运动。②若v＜
，电场力大，粒子向电场
力方向偏，电场力做正功，动能增加。③若v＞
，洛伦兹力大，粒子向磁场力方向偏，电场力做负功，
动能减少。
2、质谱仪
简介：质谱仪是一种精密仪器，是测量带电粒子的质量和分析同位素的重要工具。
图例如下：
原理：
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速度选择器和偏转磁场组合：①加速阶段
qU =1
2 mv 2⇒v=√
2qU
m
；②匀速阶段
qE =qvB ⇒v= E
B ； ③偏转过程
qvB 0=m v2
R ⇒R= mv
qB 2 ；解得
d=2 R⇒d= 2mE
BB 0 q ，其中E,B,B0
都为定值，而偏转直径与
m
q 成正比。
加速电场和偏转磁场组合：①加速阶段
qU =1
2 mv 2⇒v=√
2qU
m
；②偏转过程
qvB =m v2
R ⇒R= mv
qB ；解得
d=2R⇒d=2√2Um
B√q
，其中E,B,B0都为定值，而偏转直径与
m
q 成正
比。
作用：测量带电粒子质量和分离同位素。
3、回旋计时器
构造：如图所示，D1、D2是半圆金属盒，D 形盒处于匀强磁场B 中，D 形盒的缝隙处接交流电源。
图例如下：
原理：两个半圆金属盒处于与盒面垂直的匀强磁场B 中，所以粒子在磁场中做匀速圆周运动。经过半
个圆周之后，当它再次到达两盒间的缝隙时，控制两盒间的电势差，使其恰好改变正负，于是粒子经过盒
缝时再一次被加速。如此，粒子在做圆周运动的过程中一次一次地经过盒缝，而两盒间的电势差一次一次
地反向，粒子的速度就能够增加到很大。交流电周期和粒子做圆周运动的周期相等，使粒子每经过一次D
形盒缝隙，粒子被加速一次。
4、磁流体发电
简介：磁流体发电是一项新兴技术，它可以把内能直接转化为电能。
图例如下：
原理：将等离子气体垂直于磁场方向喷入匀强磁场，正、负离子在洛伦兹力作用下发生上下偏转而聚
集到A、B 板上，产生电势差。设平行金属板A、B 的面积为S，相距L，等离子气体的电阻率为ρ，喷入气
体速率为v，板间磁场的磁感应强度为B，板外电阻为R，当正、负离子受到的洛伦兹力和静电力大小相等
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时，匀速通过A、B 板间，此时A、B 板上聚集的电荷最多，板间电势差最大，大小即为电源的电动势E。
沿从S 极向N 极方向进行观察，如下图所示，则有
q E
L =Bqv
，则电动势E=BLv ，电源内阻
r=ρ⋅L
S ，
由闭合电路欧姆定律知，通过R 的电流
I= E
R+r =
BLv
R+ρ⋅L
S
= BLvS
RS +ρL
。
5、电磁流量计
简介：电磁流量计是应用电磁感应原理， 根据导电流体通过外加磁场时感生的电动势来测量导电流
体流量的一种仪器。
图例如下：
原理：
流量(Q)：单位时间流过导管某一截面的导电液体的体积。
导电液体的流速(v)的计算：一圆柱形导管直径为d，用非磁性材料制成，其中有可以导电的液体向右
流动。导电液体中的自由电荷(正、负离子)在洛伦兹力作用下发生偏转，使a、b 间出现电势差，当自由电
荷所受电场力和洛伦兹力平衡时，a、b 间的电势差(U)达到最大，由
q U
d =qvB
，可得v= U
Bd 。
流量的表达式：
Q=Sv = πd2
4 ⋅U
Bd = π dU
4 B
。
电势高低的判断：根据左手定则可得φa＞φb。
6、霍尔效应模型
简介：高为h、宽为d 的导体(自由电荷是电子或正电荷)置于匀强磁场B 中，当电流通过导体时，在导
体的上表面A 和下表面A′之间产生电势差，这种现象称为霍尔效应，此电压称为霍尔电压。
图例如下：
原理：
电势高低的判断：如图所示，导体中的电流I 向右时，根据左手定则可得，若自由电荷是电子，则下
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表面A′的电势高；若自由电荷是正电荷，则下表面A′的电势低。
霍尔电压：导体中的自由电荷(电荷量为q)在洛伦兹力作用下偏转，A、A′间出现电势差，当自由电荷
所受电场力和洛伦兹力平衡时，A、A′间的电势差(U)就保持稳定，由
q U
h =qvB
，I=nqvS ，
S=hd ，联立解得
U= BI
naq =k BI
d
。
霍尔系数：k= 1
nq 。
二、解题模板
1、解题思路
2、注意问题
速度选择器只能选择粒子的速度，不能选择粒子的电性、电荷量、质量。
3、解题方法
回旋加速器：
粒子运动的总时间：粒子在磁场中运动一个周期，被电场加速两次，每次增加动能qU ，加速次数
n= Ekm
qU
，粒子在磁场中运动的总时间
t=n
2 T= Em
2qU ⋅2πm
qB =2πR2
2U
。该式忽略粒子在狭缝中运
动的时间。
不忽略加速时间的总时间：加速时间为
t2= vmax−0
qU
md
（粒子加速时做匀加速直线运动，有
a= F
m=qE
m =
q U
d
m =qU
md ，vmax=0+at 2 ），则
t 总=N⋅T
2 + vmax−0
qU
md
。
当带电粒子速度最大时，其运动半径也最大，即rm＝，再由动能定理得：Ekm＝，所以要提高带电粒
子获得的最大动能，应尽可能增大磁感应强度B 和D 形盒的半径rm。若D 形盒半径为R，则带电粒子的最
终动能Em＝，粒子获得的最大动能由磁感应强度B 和金属盒半径R 决定，与加速电压无关。
（2024·广东·二模）利用带电粒子在电场和磁场中受力偏转的原理，可以测定带电粒子的荷质
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比。如图所示，在长度为L、相距为d 的平行金属板M、N 间有垂直纸面向外、磁感应强度为B 的匀强磁
场。某带电粒子以初速度
沿平行板中轴线，射入两板间，测得粒子离开磁场时，速度的偏转角为
．然
后在两板间加上电压
，板间形成匀强电场，那么仍以初速度
射入的该带电粒子将不发生偏转，沿中轴
线通过磁场。不计粒子的重力，根据以上物理量，求：
（1）初速度
的大小；
（2）带电粒子的荷质比
．
（2024·山东济南·三模）回旋加速器是获取高能粒子的重要工具，被广泛应用于科学研究和医
学治疗中。回旋加速器的工作原理如图甲所示，真空中两个相同的半圆形区域
和
的圆心分别为
、
，两半圆形区域内分布着方向垂直纸面向里的匀强磁场。两区域间狭缝的宽度为
，在狭缝间施加如图
乙所示的交变电压，电压值的大小为
。
时刻，在
点由静止释放质量为
、电荷量为
带电粒子，
粒子经过狭缝的时间不能忽略，粒子在狭缝间的运动可视为匀变速直线运动，交变电压的变化周期
，匀强磁场感应强度的大小
，不计粒子重力及粒子的相对论效应，求
（1）粒子第一次在
区域内做匀速圆周运动的轨道半径；
（2）粒子从开始释放到第二次刚离开
区域所用的时间；
（3）若半圆形区域的直径足够大，粒子在磁场中运动的最大速度。
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1．（2023·天津西青·模拟预测）如图所示，在x 轴的上方存在垂直纸面向里，磁感应强度大小为B0的匀强
磁场。位于x 轴下方的离子源C 发射质量为m、电荷量为q 的一束负离子，其初速度大小范围
，
这束离子经电势差
的电场加速后，从小孔O（坐标原点）垂直x 轴并垂直磁场射入磁场区域，最
后打到x 轴上。在x 轴上
区间水平固定放置一探测板（
），假设每秒射入磁场的离子总数
为N0，打到x 轴上的离子数均匀分布（离子重力不计）。
（1）求离子束从小孔O 射入磁场后打到x 轴最远处位置（用含的物理量a 表示）；
（2）调整磁感应强度的大小，可使速度最大的离子恰好打在探测板右端，求此时的磁感应强度大小B1；
（3）保持磁感应强度B1不变，求每秒打在探测板上的离子数N；若打在板上的离子80%被吸收，20%被反
向弹回，弹回速度大小为打板前速度大小的0.6 倍，被吸收和被弹回的离子数在探测板上沿x 轴均匀分布，
求探测板受到的作用力大小。
2．（2024·天津和平·二模）将一金属或半导体薄片垂直置于磁场中，并沿垂直磁场方向通入电流，则在导
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体中垂直于电流和磁场方向会产生一个电势差，这一现象称为霍尔效应，此电势差称为霍尔电压。某长方
体薄片霍尔元件，长为a、宽为b、厚为c，在霍尔元件中有沿x 轴方向的电流强度为I，若霍尔元件中导
电的载流子是自由电子，带电量为e，薄片处在沿
方向磁感应强度为B 的匀强磁场中，则在沿z 轴方向
产生霍尔电压
，
（1）请判断该霍尔元件图中前、后两个侧面，哪端的电势高，并简要叙述理由；
（2）该霍尔元件在具体应用中，有
，式中的
称为霍尔元件灵敏度，一般要求
越大越好，
推导
的表达式并解释为什么霍尔元件一般都做得很薄；
（3）由于金属中载流子密度很大，霍尔效应不明显，因此霍尔元件常用半导体而不是金属。一种半导体
材料中同时存在电子与空穴两种载流子（空穴可视为能移动的带正电的粒子），每个载流子所带电量的绝
对值均为e，单位体积内电子和空穴的数目之比为ρ，在霍尔电压稳定后，电子和空穴沿z 方向定向移动的
速率分别为
和
，求电子和空穴沿z 轴方向定向移动的速率
和
之比。
3．（2024·河南许昌·模拟预测）某种电磁流量计的外形如图甲所示，工作原理如图乙所示：直径为d 的圆
柱形管道的上、下方装有励磁线圈，励磁线圈通过恒定电流Ⅰ时，管内会产生竖直向下的匀强磁场，磁感应
强度与所加的励磁电流成正比，比例系数为k；当含有大量正负离子的液体沿管道以图示方向以恒定速度v
通过流量计时，在水平直径两端的a、b 电极之间就会产生恒定的电势差，可以通过连接在a、b 两端的电
压表读出，经过转换即可得到穿过管道的液体的流量（单位时间内流过管道横截面的液体体积）。
（1）a、b 哪点电势高？
（2）为了把电压表转换为流量表，需要得到流量与电压表示数的比值s，求s 的值。
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4．（2025·重庆·一模）图为可测定比荷的某装置的简化示意图，在第一象限区域内有垂直于纸面向里的匀
强磁场，磁感应强度大小
，在x 轴上距坐标原点L=0.50m 的P 处为离子的入射口，在y 上安
放接收器，现将一带正电荷的粒子以v=3.5×104m/s 的速率从P 处射入磁场，若粒子在y 轴上距坐标原点
L=0.50m 的M 处被观测到，且运动轨迹半径恰好最小，设带电粒子的质量为m，电量为q，不记其重力。
(1)求上述粒子的比荷
；
(2)如果在上述粒子运动过程中的某个时刻，在第一象限内再加一个匀强电场，就可以使其沿y 轴正方向做
匀速直线运动，求该匀强电场的场强大小和方向，并求出从粒子射入磁场开始计时经过多长时间加这个匀
强电场；
(3)为了在M 处观测到按题设条件运动的上述粒子，在第一象限内的磁场可以局限在一个矩形区域内，求此
矩形磁场区域的最小面积。
5．（2024·山东·模拟预测）如图所示，在
坐标系
区域内存在平行于
轴、电场强度大小为
（
未知）的匀强电场，分界线
将
区域分为区域Ⅰ和区域Ⅱ，区域Ⅰ存在垂直纸面向外、磁感应强度
大小为
（
未知）的匀强磁场，区域Ⅱ存在垂直直面向里、磁感应强度大小为
的匀强磁场及沿
轴负方向、电场强度大小为
的匀强电场。一质量为
、电荷量为
的带正电粒子从
点
以初速度
垂直电场方向进入第二象限，经
点进入区域Ⅰ，此时速度与
轴正方向的夹角为
，经区
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域Ⅰ后由分界线
上的
点（图中未画出）垂直分界线进入区域Ⅱ，不计粒子重力及电磁场的边界效应。
求：
(1)电场强度
的大小；
(2)带电粒子从
点运动到
点的时间；
(3)粒子在区域Ⅱ中运动时，第1 次和第5 次经过
轴的位置之间的距离。
6．（2025·重庆·模拟预测）如图所示，空间有一圆心为O，半径为d，垂直纸面向外的圆形匀强磁场区域，
磁感应强度
，磁场正下方有一板间距为2d 的平行板电容器。y 轴是电容器的中心轴线，A、B 分别
为极板左右边缘两点，AB 连线与圆形磁场相切。连线上的P 点距B 点0.5d。从距圆形磁场圆周上C 点L
处开始存在多个间距为L1、L2⋯ Ln的垂直纸面向外的窄条形磁场B1、B2⋯ Bn。磁场间距Ln满足Ln=nL（n
为正整数），相邻条形磁场间的无磁场区域，其间距始终为L。每个磁场的边界均与y 轴平行，且位于x
轴下方。现电容器左右极板间加上如图乙所示的周期为T 的交变电压，大量比荷为k 的正粒子从y 轴上的
M 点以相同速度v0沿y 轴正向射入电容器，其中t=0 时刻射入的粒子恰好在T 时刻到达P 点。不计粒子重
力及电场边缘效应和粒子间相互作用。
(1)求平行板电容器板长L0及电压U0的值；
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(2)若t 时刻打入平行板电容器的粒子能经C 点沿x 轴正向射出圆形磁场，求t 的可能值；
(3)若窄条形磁场的磁感应强度Bn满足
（n 为正整数），且
。将能打入条形磁场的粒子能到
达的最远磁场记为Bn，到达的最近磁场记为Bm，求n-m 的值。
7．（2024·山东泰安·模拟预测）如图甲所示，在光滑绝缘水平桌面内建立xOy 坐标系，在第Ⅱ象限内有平
行于桌面的匀强电场，场强方向与x 轴负方向的夹角θ＝45°。在第Ⅲ象限垂直于桌面放置两块相互平行的
平板
、
，两板间距为
，板间有垂直于桌面向上的匀强磁场，两板右端在y 轴上，板
与x
轴重合，在其左端紧贴桌面有一小孔M，小孔M 离坐标原点O 的距离为L＝0.72 m。在第Ⅳ象限垂直于x
轴放置一块平行y 轴且沿y 轴负向足够长的竖直平板
，平板
在x 轴上垂足为Q，垂足Q 与原点O 相距
现将一带负电的小球从桌面上的P 点以初速度
垂直于电场方向射出，刚好垂直于x
轴穿过
板上的M 孔，进入磁场区域。已知小球可视为质点，小球的比荷
，P 点与小孔M 在
垂直于电场方向上的距离
，不考虑空气阻力。求：
（1）匀强电场的场强大小；
（2）要使带电小球无碰撞地穿出磁场并打到平板
上，求磁感应强度的取值范围；
（3）以小球从M 点进入磁场开始计时，磁场的磁感应强度随时间呈周期性变化，规定磁场方向垂直于桌
面向上为正方向，如图乙所示，求小球打到平板
上的位置到Q 点的距离。（
，计算结果保留
两位小数）
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8．（2023·广东·二模）如图甲是一种利用磁场约束离子运动的装置原理图，内、外半径分别为R 和3R 的
圆筒共轴放置，轴线
水平，在轴线正下方是一对平行金属板，上板正中间的小孔a 与外筒正中间的小
孔b 在通过轴线的同一竖直线上，a、b 间距离为d、两筒之间分布着以轴为圆心的同心磁场，各处磁感应
强度大小近似相等，磁感应强度为B，从右往左看截面如图乙所示。在平行板下板中央的一个质量为m、
电量为e 的氢离子（
）从静止加速经小孔a 从小孔b 进入磁场，在磁场中的轨迹恰好与内筒下边缘相切；
一段时间后调节板间电压为原来的2 倍，并让一个氘核（
）在下极板同一位置从静止加速也进入磁场。
已知离子与筒壁正碰后均原速反弹且碰撞时间极短，离子与筒壁接触其电荷量不变，筒壁光滑，忽略离子
间的相互作用和它们在平行板间加速的时间。
（1）求加速氢离子时平行板间的电压U 多大；
（2）分析氘核是否与内筒壁碰撞，如果与内筒壁碰撞，求它与内筒壁第一次碰撞的点P（未在图中画出）
与小孔b 的水平距离s 的大小；
（3）若氢离子第一次与筒左侧壁垂直碰撞后沿直线返回，运动到P 点时与氘核相遇，筒长
，求氢、
氘核释放的时间间隔。
9．（2024·云南·模拟预测）真空环境中的离子推进器固定在水平测试底座上，其核心部分由离子源、水平
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放置的两平行极板和产生匀强磁场的装置构成，简化模型如图所示。两极板间电压恒为U，极板间有磁感
应强度大小为B、方向垂直于纸面向外的匀强磁场。处于下极板左边缘的离子源发出质量为m、带电量为
q 的离子。某离子以速度v 沿垂直于极板方向射入极板间，经过一段时间后，恰好从上极板右边缘的P 点
水平射出。不考虑离子重力和离子间的相互作用。
(1)判断离子所带电荷的正负；
(2)若两极板间的距离为d，求该离子刚进入电磁场瞬间受到的合外力大小；
(3)若该离子从进入电磁场到水平射出所用时间为t，求该离子经过P 点时的速度大小及这段时间内对离子
推进器的平均作用力大小。
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