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模板09 静电场（五大题型）
题型01 带电粒子在电场中的直线运动
1、该题型的命题思路一：带电粒子沿与电场线平行的方向进入电场，若粒子重力不计，则所受电
场力与运动方向在一条直线上，带电粒子做直线运动（加速或减速）。
2、命题思路二：带电粒子垂直电场线进入匀强电场，且重力不能忽略，重力与电场力等大反向，
粒子做匀速直线运动。
一、必备基础知识
1、带电粒子的种类
基本粒子：电子和质子等，除有说明或有明确的暗示以外，此类粒子一般不考虑重力，但不能忽
略质量。
带电微粒：油滴、尘埃和小球等，除有说明或有明确的暗示以外，一般都不能忽略重力。
2、条件
粒子所受合外力F 合＝0，粒子或静止，或做匀速直线运动。
粒子所受合外力F 合≠0，且与初速度方向在同一条直线上，带电粒子将做匀加速直线运动或匀减
速直线运动。
3、电场强度
定义：放入电场中某一点的电荷受到的电场力F 跟它的电荷量q 的比值，叫做该点的电场强度。
表达式：E＝ ，单位为N/C 或V/m。
方向：规定正电荷在电场中某点所受电场力的方向为该点的电场强度方向。
本节导航：
题型01 带电粒子在电场中的直线运动 题型02 带电粒子在匀强电场中的偏转
题型03 带电体在等效场中运动的问题 题型04 带电粒子在交变电场中的运动
题型05 电场中的力电综合问题
1
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4、电场线
定义：为了形象描述电场而假想的一条条有方向的曲线。曲线上每一点的切线的方向表示该点的
电场强度的方向。
特点：①电场线既不相交也不闭合，这是因为在电场中任意一点的电场强度不可能有两个方向；
②电场线从正电荷或无穷远处出发，终止于负电荷或无穷远处；③电场线上每一点的切线方向就表示
该点电场强度的方向，正电荷受力方向与电场线在该点切线方向相同，负电荷受力方向与电场线在该
点切线方向相反；④电场线不是实际存在的曲线，是为了形象描述电场而假想的。
5、静电力做功
求电场力做功的方法：①公式法：W AB =qEl cosα ，仅适用于匀强电场。②动能定理：W 电＋
W 其＝ΔEk。③电势差（电势）的关系：W＝qUAB＝q(φA－φB)。④电势能的关系：W AB =−ΔEP。
6、电势能
定义：电荷在电场中具有的能叫做电势能，符号用Ep表示，单位为J。
大小：电势能的大小等于将电荷从该点移到零势能位置时电场力所做的功。该物理量为标量，正
号表示电势能大于零势能点位置，负号表示电势能小于零势能点位置。
电势能与电场力做功的关系：电场力做的功等于电势能的减少量，即WAB＝EpA－EpB。电场力做正
（负）功，电势能减少（增加）。该公式适用于匀强电场，也适用于非匀强电场；适用于正电荷，也
适用于负电荷。
7、电势
定义：电荷在电场中某一点的电势能与它的电荷量的比值，叫做这一点的电势。在数值上等于单
位正电荷由该点移到零电势点时电场力所做的功。
表达式：
ϕ= E p
q ，单位为伏特，符号为V，其中1V=1J/C。
8、电势差
定义：电场中两点间电势的之差，叫做电势差，也叫电压。单位为伏特，符号为V。电荷在电场中
由一点A 移动到另一点B 时，电场力所做的功WAB与电荷量q 的比值W AB
q
叫做AB 两点间的电势差，即
UAB=W AB
q
。
表达式：电场中A 点的电势为φA，B 点的电势为φB，则有
和
，故
。
二、解题模板
2
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1、解题思路
2、注意问题
解决这类问题时和解决物体受重力、弹力、摩擦力等做直线运动的问题的思路是相同的，不同的
是受力分析时，不要遗漏电场力。解决此类问题的关键是灵活利用动力学分析的思想，采用受力分析
和运动学方程相结合的方法进行解决，也可以采用功能结合的观点进行解决，往往优先采用动能定理。
3、解题方法
运动状态的分析：带电粒子沿与电场线平行的方向进入匀强电场，受到的电场力与运动方向在同
一条直线上，做加（减）速直线运动，即a＝，E＝，v2－v＝2ad。这种方法适用于粒子受恒力作用。
用能量的观点进行分析：电场力对带电粒子做的功等于带电粒子动能的变化量，即qU＝mv2－mv
（在匀强电场中有W＝Eqd＝qU＝mv2－mv，而在非匀强电场中有W＝qU＝Ek2－Ek1。）。这种方法适
用于粒子受恒力或变力作用。
（2022·北京·高考真题）如图所示，真空中平行金属板M、N 之间距离为d，两板所加的电
压为U。一质量为m、电荷量为q 的带正电粒子从M 板由静止释放。不计带电粒子的重力。
（1）求带电粒子所受的静电力的大小F；
（2）求带电粒子到达N 板时的速度大小v；
（3）若在带电粒子运动
距离时撤去所加电压，求该粒子从M 板运动到N 板经历的时间t。
（2024·河北·模拟预测）如图所示，上下正对放置的两块带电平行板之间的距离为
，两板
之间的电势差为
。两板之间匀强电场方向竖直向下。把一个质子从上极板由静止释放，质子质量和
电荷量分别为
和，质子的重力不计。
3
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(1)求质子在电场中运动时受到的电场力大小；
(2)求质子运动到下极板时的速度大小；
(3)若质子运动到两板正中间时，两板之间的电场突然消失（不考虑电场变化产生的磁场），求在这种
情况下质子从上板运动到下板的时间。
题型02 带电粒子在匀强电场中的偏转
1、该题型为带电粒子垂直进入匀强电场中，初速度与电场力的方向垂直，粒子做类平抛运动。该
题型的解题方法为利用类平抛运动的知识进行求解。
2、该题型带电粒子进入偏转电场一般有两种情况：①有初速度进入偏转电场；②经过加速电场后
再进入偏转电场。
一、必备基础知识
1、进入电场的方式
①有初速度：以初速度v0垂直场强方向射入匀强电场，受恒定电场力作用，做类平抛运动。
②无初速度：静止放在匀强电场中，经过电场加速获得速度v0，然后垂直场强方向射入匀强电场。
2、受力特点
①有初速度：电场力大小恒定，且方向与初速度v0的方向垂直。
②无初速度：加速阶段电场力大小恒定，且方向与运动方向平行；偏转阶段电场力大小恒定，且
方向与速度v0的方向垂直。
3、运动特点
①有初速度：做类平抛运动（匀变速曲线运动运动）。
②无初速度：加速阶段做匀加速直线运动；偏转阶段做类平抛运动。
4、图例
①有初速度的图例如下所示：
4
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②无初速度的图例如下所示：
二、解题模板
1、解题思路
2、注意问题
带电粒子做类平抛运动，两个重要推论与平抛运动的相同。
3、解题方法
分解的方法（在偏转电场中，运动分解成相互垂直的两个方向上的直线运动）：①沿初速度方向
做匀速直线运动；②沿电场方向做初速为零的匀加速直线运动。
功能的方法（首先对带电粒子进行受力分析，再进行运动过程分析，然后根据具体情况选用公式
计算）：①若选用动能定理，则要分清有哪些力做功，是恒力做功还是变力做功，同时要明确初、末
状态及运动过程中的动能的增量；②若选用能量守恒定律，则要分清带电粒子在运动中共有多少种能
量参与转化，哪些能量是增加的，哪些能量是减少的。
偏转角的分析和计算：
已知电荷情况及初速度，如上图所示，设带电粒子质量为m，带电荷量为q，以速度v0垂直于电场
线方向射入匀强偏转电场，偏转电压为U1。若粒子飞出电场时偏转角为θ，则tanθ＝，式中vy＝at＝·，
vx＝v0，联立解得tanθ＝ ①。
结论：动能一定时tanθ 与q 成正比，电荷量相同时tanθ 与动能成反比。
已知加速电压U0，如果不同的带电粒子是从静止经过同一加速电压U0加速后进入偏转电场的，则
由动能定理有：qU0＝mv ②，由①②式得：tanθ＝ 。
5
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结论：粒子的偏转角与粒子的q、m 无关，仅取决于加速电场和偏转电场。即不同的带电粒子从静
止经过同一电场加速后进入同一偏转电场，它们在电场中的偏转角度总是相同的。
偏转量的计算和分析：
由y＝at2＝··（）2 ③，作粒子速度的反向延长线，设交于O 点，O 点与电场边缘的距离为x，则x
＝＝＝。
结论：粒子从偏转电场中射出时，就像是从极板间的l/2 处沿直线射出。
如果不同的带电粒子是从静止经同一加速电压U0加速后进入偏转电场的，则由②和③，得：y＝。
结论：粒子的偏转距离与粒子的q、m 无关，仅取决于加速电场和偏转电场。即不同的带电粒子从
静止经过同一电场加速后进入同一偏转电场，它们在电场中的偏转距离总是相同的。
在电场中的运动时间：能飞出电容器的时间计算式为t= l
v0 ；不能飞出电容器的时间计算式为
t=√
2mdy
qU
，y=1
2 at 2= qU
2md t2
。
推论1：粒子从偏转电场中射出时，其速度反向延长线与初速度方向延长线交于一点，此点平分沿
初速度方向的位移。
推论2：位移方向与初速度方向间夹角的正切等于速度偏转角正切的，即tanα＝tanθ。
（2024·福建·高考真题）如图，直角坐标系
中，第Ⅰ象限内存在垂直纸面向外的匀强磁
场。第Ⅱ、Ⅲ象限中有两平行板电容器
、
，其中
垂直
轴放置，极板与
轴相交处存在小孔
、
；
垂直
轴放置，上、下极板右端分别紧贴
轴上的
、
点。一带电粒子从
静止释放，经电
场直线加速后从
射出，紧贴
下极板进入
，而后从
进入第Ⅰ象限；经磁场偏转后恰好垂直
轴
离开，运动轨迹如图中虚线所示。已知粒子质量为
、带电量为
，
、
间距离为
，
、
的板
间电压大小均为
，板间电场视为匀强电场，不计重力，忽略边缘效应。求：
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(1)粒子经过
时的速度大小；
(2)粒子经过
时速度方向与
轴正向的夹角；
（2024·河南·模拟预测）如图所示，平行边界A、B 间有垂直于边界向右的匀强电场Ⅰ，平
行边界B、C 间有方向与边界成45°斜向右下方的匀强电场Ⅱ，边界A 上有一粒子源，可以在纸面内向
电场Ⅰ内各个方向射出质量为m、电荷量为q 的带正电的粒子，粒子射出的初速度大小相同，平行边界
向下射出的粒子经电场Ⅰ偏转后，进入电场Ⅱ，在电场Ⅱ中做直线运动，平行边界向上射出的粒子，
经电场Ⅰ、Ⅱ偏转，恰好垂直边界C 射出。已知电场I 的电场强度为E，A、B 间距为L，B、C 间距为
2L，不计粒子的重力和粒子间的作用力，求：
(1)所有粒子进电场Ⅱ时的速度大小；
(2)电场Ⅱ的电场强度的大小；
(3)边界C 上有粒子射出区域的长度。
题型03 带电体在等效场中的运动问题
带电体在电场中除了受电场力以外，还受到重力的作用，对于处在匀强电场和重力场中物体的运
动问题就会变得复杂一些。此时可以将重力场与电场合二为一，用一个全新的“复合场”来代替，可
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形象称之为“等效重力场”。
一、必备基础知识
1、等效场模型
各种性质的场与实物（分子和原子的构成物质）的根本区别之一是场具有叠加性，即几个场可以
同时占据同一空间，从而形成复合场。对于复合场中的力学问题，可以根据力的独立作用原理分别研
究每种场力对物体的作用效果，也可以同时研究几种场力共同作用的效果，将复合场等效为一个简单
场，然后与重力场中的力学问题进行类比，利用力学的规律和方法进行分析与解答。
等效重力：重力与静电力的合力；等效加速度：等效重力与物体质量的比值。
2、等效最“高”点与最“低”点的寻找
确定重力和电场力的合力的大小和方向，然后过圆周圆心作等效重力作用线的反向延长线，反向
延长线交圆周上的那个点即为圆周的等效最“高”点，延长线交圆周的那个点为等效最“低”点。
二、解题模板
1、解题思路
2、注意问题
等效模型问题：先求出重力与电场力的合力，将这个合力视为一个“等效重力”，将a＝ 视为
“等效重力加速度”， F 合的方向等效为“重力”的方向。如此便建立起“等效重力场”。再将物体在
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重力场中的运动规律迁移到等效重力场中分析求解即可。
3、解题方法
正交分解法：由于带电粒子在匀强电场中所受电场力和重力都是恒力，不受约束的粒子做的都是
匀变速运动，因此可以采用正交分解法处理。将复杂的运动分解为两个互相垂直的直线运动，再根据
运动合成求解复杂运动的有关物理量。
等效思维法：等效思维法是将一个复杂的物理问题，等效为一个熟知的物理模型或问题的方法。
对于这类问题，若采用常规方法求解，过程复杂，运算量大。若采用“等效法”求解，则能避开复杂
的运算，过程比较简捷。
（2024·安徽合肥·模拟预测）如图所示，竖直面内有一半径为r 的光滑圆形轨道，圆形轨道
的最低点B 处有一入口与水平地面连接，空间存在方向水平向左的匀强电场。一带电荷量为
、质量
为m 的小物块从水平地面上的A 点由静止释放。已知电场强度大小
，小物块与水平地面间的
动摩擦因数
，重力加速度为
，
，
。
(1)求等效重力加速度
；
(2)若取B 点电势为零，
，求物块电势能的最小值及此时的动能；
（2024·福建·一模）在竖直平面内有水平向右的匀强电场，在场中有一根长为L 的绝缘细线，
一端固定在O 点，另一端系质量为m 的带电小球，它静止时细线与竖直方向成θ = 37°角，如图所示。
现给小球一个方向与细线垂直的初速度让小球恰能绕O 点在竖直平面内做顺时针的圆周运动，
，重力加速度大小为g。
（1）求小球受到电场力的大小F 并指出小球带何种电荷；
（2）求小球运动的最大速度
；
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（3）若小球运动到最低点时细线立即被烧断，求小球经过O 点正下方时与O 点的高度差h。
题型04 带电粒子在交变电场中的运动
1、带电粒子在交变电场中的运动问题，由于不同时段所受力不同，则运动情况也不同，导致运动
情景比较复杂，所以需要分段分析。不同阶段的衔接点很重要。
2、这类问题的难度一般较大，对想象能力和综合分析能力的要求较高。
一、必备基础知识
1、交变电场类型
交变电场常见的电压波形：正弦波、方形波、锯齿波等。
2、运动类型
粒子做单向直线运动，方法为对整段或分段研究用牛顿运动定律结合运动学公式求解。
粒子做往返运动，方法为分段研究，应用牛顿运动定律结合运动学公式或者动能定理等求解。
U-t 图像
v-t 图像
轨迹图
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粒子做偏转运动，方法为根据交变电场特点进行分段研究，应用牛顿运动定律结合运动学公式或
者动能定理等求解。
U-t 图像
v-t 图像
轨迹图
二、解题模板
1、解题思路
2、注意问题
①当粒子平行于电场方向射入时，粒子做直线运动，其初速度和受力情况决定了粒子的运动情况，
粒子可以做周期性的直线运动；②当粒子垂直于电场方向射入时，沿初速度方向的分运动为匀速直线
运动，沿电场方向的分运动具有周期性。
从一个阶段转换到另一个阶段时，要分析好物理量的衔接。
3、解题方法
动力学三大观点：①动力学观点（牛顿运动定律和运动学规律结合）；②能量观点（动能定理和功能
t
O
vy
v0
T/2
T
单向直线运动
A
B
速度不反向
v0
v0
t
O
vy
v0
往返直线运动
A
B
速度反向
T
T/2
-v0
v0
v0
v0
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关系等）；③动量观点（动量定理和动量守恒定律）。
带电粒子在交变电场中的运动，通常只讨论电压的大小不变、方向做周期性变化(如方波)的情形。
当粒子垂直于交变电场方向射入时，沿初速度方向的分运动为匀速直线运动，沿电场方向的分运动具
有周期性。
对于锯齿波和正弦波等电压产生的交变电场，若粒子穿过板间的时间极短，带电粒子穿过电场时
可认为是在匀强电场中运动。
注重全面分析(分析受力特点和运动规律)：抓住粒子运动时间上的周期性和空间上的对称性，求
解粒子运动过程中的速度、位移、做功或确定与物理过程相关的临界条件。
研究带电粒子在交变电场中的运动，关键是根据电场变化的特点，利用牛顿第二定律正确地判断
粒子的运动情况。根据电场的变化情况，分段求解带电粒子运动的末速度、位移等。
两条思路：一是力和运动的关系，根据牛顿运动定律和运动学规律分析；二是功能关系。
（2024·贵州六盘水·模拟预测）如图甲所示，大量质量为m、电量为q 的同种带正电粒子组
成长为
的直线型粒子阵列，以
的初速度射入两板M、N 之间的加速电场，离开加速电场后
粒子阵列长度变为
。
时刻，位于阵列最前端的粒子开始从O 点沿Ox 轴正方向射入场强大小为
，方向周期性变化（周期为T）的匀强电场中，向下为电场正方向，电场右边界PQ 横坐标为
，y 方向范围足够大。忽略粒子间的相互作用，不计粒子重力。求：
(1)M、N 两板间加速电压
的大小；
(2)粒子离开PQ 时的纵坐标范围。
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（2024·河南·模拟预测）如图甲所示，平行板A、B 长度为L，平行板M、N 长度与板间距
离相等（大小未知），两组平行板均水平放置且中线重合，在A、B 板中线左侧有一粒子源，均匀地向
右沿中线射出质量为m、电荷量为q 的带正电粒子，粒子射出的初速度大小恒定，在A、B 板间加有如
图乙所示的交变电压（图中
和T 均已知），所有粒子在A、B 板间运动的时间均为T，在
时刻
进入A、B 板间的粒子恰好从A 板的右边缘附近射出；在M、N 板间加有恒定电压，所有粒子进入M、
N 板后，有一半的粒子能从M、N 板间射出。M、N 两板右端的虚线PQ 与荧光屏间有方向斜向右上方
的匀强电场，PQ 与荧光屏平行，从M、N 板间射出的粒子进入PQ 右侧电场后，沿直线运动打在荧光
屏上，将M、N 两板的电压（电压大小不变）反接，粒子最终垂直打在荧光屏上，不计粒子的重力，
不计粒子间的相互影响，求：
(1)A、B 板间的距离；
(2)M、N 板间所加的电压；
(3)M、N 两板间电压未反向时，进入PQ 右侧电场的粒子最终打在荧光屏上时的动能。
题型05 电场中的力电综合问题
要善于把电学问题转化为力学问题，建立带电粒子在电场中加速和偏转的模型，能够从带电粒子
受力与运动的关系、功能关系和能量关系等多角度进行分析与研究。
一、必备基础知识
1、三种观点
把电学问题转化为力学问题，建立带电粒子在电场中加速和偏转的模型，能够从带电粒子的受力
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与运动的关系及功能关系两条途径进行分析与研究。
动力学的观点：①由于匀强电场中带电粒子所受电场力和重力都是恒力，可用正交分解法。②综
合运用牛顿运动定律和匀变速直线运动公式，注意受力分析要全面，特别注意重力是否需要考虑的问
题。
能量的观点：①运用动能定理，注意过程分析要全面，准确求出过程中的所有力做的功，则要分
清有哪些力做功，是恒力做功还是变力做功，同时要明确初、末状态及运动过程中的动能的增量。②
运用能量守恒定律，分清带电体在运动中共有多少种能量参与转化，哪些能量是增加的，哪些能量是
减少的。
动量的观点：①运用动量定理，要注意动量定理的表达式是矢量式，在一维情况下，各个矢量必
须选同一个正方向。②运用动量守恒定律，除了要注意动量守恒定律的表达式是矢量式，还要注意题
目表述是否为某方向上动量守恒。
2、运动情况反映受力情况
物体静止（保持）：F 合＝0。
直线运动：①匀速直线运动：F 合＝0。②变速直线运动：F 合≠0，且F 合方向与速度方向总是一致。
曲线运动：F 合≠0，F 合方向与速度方向不在一条直线上，且总指向运动轨迹曲线的内侧。F 合与v
的夹角为α，加速运动：0≤α＜90°；减速运动：90°＜α≤180°。
匀变速运动：F 合＝恒量。
二、解题模板
1、解题思路
2、注意问题
动力学观点是指用匀变速运动的公式来解决实际问题，一般有两种情况：①带电粒子初速度方向
与电场线共线，则粒子做匀变速直线运动；②带电粒子的初速度方向垂直电场线，则粒子做匀变速曲
线运动（类平抛运动）。当带电粒子在电场中做匀变速曲线运动时，一般要采用类平抛运动规律解决
问题。
3、解题方法
确定研究对象——一个带电体或几个带电体构成的系统。
两大分析：①受力分析：a、多了个电场力；b、重力是否忽略，据题意：若是基本粒子一般忽略；
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若是带电颗粒，一般不能忽略。②运动分析——运动情况反映受力情况。
选用规律列方程式求解——平衡条件、牛顿第二定律、动量守恒定律、动能定理、能量守恒定律
等。
（2024·福建·二模）如图，绝缘的木板B 放置在倾角为α=37°、固定的光滑斜面上（斜面足
够长），斜面最底端固定一挡板，B 底端与挡板的距离L=6m。一带正电物块A 放置在木板最上端，通
过一根跨过轻质定滑轮的轻绳与小球C 相连，轻绳绝缘且不可伸长，A 与滑轮间的绳子与斜面平行。斜
面上方存在一沿斜面向下的匀强电场，A、B、C 均静止，轻绳处于伸直状态。t=0 时剪断连接A、C 之间
的轻绳，已知A、B、C 的质量分别为mA=1.5kg、mB=1kg、mC=3kg，A 的带电量为q=3×10-6C，A 与B 之间
的动摩擦因数为μ=0.5，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，轻绳与滑轮间的摩擦力不计，B 与挡板碰撞视
为弹性碰撞，整个过程A 未与木板B 脱离，重力加速度大小g=10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8。
(1)求匀强电场的电场强度E 的大小；
(2)求木板B 第一次与挡板碰撞前瞬间的速度大小；
(3)若木板B 第一次与挡板碰撞时，电场方向改为沿斜面向上，求第6 次与挡板碰撞时，B 的速度大小和
B 要满足的最小长度Lmin。
（2024·四川·一模）如图（a），绝缘不带电木板静止在水平地面上，电荷量
的滑块A 静止在木板上左端，电荷量
的滑块B 静止在木板上距木板右端
处；B 左
侧（含B 所在位置）的木板面粗糙，右侧的木板面光滑；A、B 和粗糙木板面间的动摩擦因数
，
木板和地面间的动摩擦因数
。
时刻，在空间加一水平向右的电场，场强大小E 随时间t 变
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化的图像如图（b），
时刻，撤去电场。已知木板、A、B 的质量均为
，A、B 可视为质点，
最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力，可能的碰撞均为时间极短的弹性碰撞，不计A、B 间的库仑力，重
力加速度
。
(1)通过计算判断：
时刻，滑块A、B 和木板是否处于静止状态；
(2)
时，求滑块B 的速度大小；
(3)判断滑块B 是否能再次返回木板上，若能则求出返回初始位置的时刻，若不能则说明理由。
1．（2024·江苏淮安·一模）如图所示，倾角
的光滑绝缘斜面AB 与半径
的圆弧光滑绝缘轨
道BCD 在竖直平面内相切于B 点，圆弧轨道处于方向水平向右的有界匀强电场中，电场的电场强度大
小
。质量
、电荷量
的小滑块从斜面上P 点由静止释放，沿斜面运
动经B 点进入圆弧轨道，已知P、B 两点间距
，
，
，g 取
。
(1)求滑块运动到B 点时速度大小；
(2)求滑块运动到与圆心O 等高的Q 点时对轨道的压力大小；
(3)调整斜面上释放点位置，欲使滑块能从D 点飞出，求该释放点
与B 点间距的最小值。
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2．（2024·全国·模拟预测）内部长度为l、质量为m 的“]”形木块扣在水平面上，右侧有一可视为质点的电
荷，质量为m，电荷量为
，电荷表面绝缘且光滑，木块恰好能处于静止状态，整个空间有水平向右
的匀强电场，电场强度大小为
，木块不影响电场的分布，给木块一个水平向右的冲量，之后所
有碰撞均为弹性碰撞且碰撞时间极短，重力加速度大小为g，最大静摩擦力可视为滑动摩擦力。
（1）求木块与地面之间的动摩擦因数
。
（2）欲使木块与电荷的第一次碰撞发生在木块左端，给木块水平向右的冲量
需要满足什么条件？
（3）分别给电荷和木块一水平向左、向右大小均为
的冲量，求两者第二次碰撞前木块与
地面摩擦生热的热量Q。
3．（2024·云南·模拟预测）某装置用电场控制带电粒子运动，工作原理如图所示，矩形
区域内存在
两层紧邻的匀强电场，每层的高度均为d，电场强度大小均为E，方向沿竖直方向（如图所示），
边长为
，
边长为
，质量为m、电荷量为
的粒子流从
边中点P 射入电场，粒子初速度为
，入射角为θ，在纸面内运动，不计粒子重力及粒子间相互作用。
(1)当
时，若粒子能从
边射出，求该粒子通过电场的时间t；
(2)当
时，若粒子从
边射出电场时与轴线
的距离小于d，求入射角θ 的范围。
4．（2024·陕西宝鸡·模拟预测）如图，在水平向右的匀强电场区域内，固定有一个倾角为
的光滑斜面，
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一质量
、电荷量
的小物块置于斜面上的A 点，恰能处于静止状态。已知A 点与斜
面底端B 的距离为1.5m，g 取
，
，
，求：
（1）电场的电场强度大小E；
（2）若电场强度方向不变，大小变为原来的一半，则小物块由A 点运动到B 点所需的时间和此过程小
物块电势能的变化量分别为多少？
5．（2024·全国·模拟预测）如图所示，一倾角为
的光滑绝缘斜面固定于水平面上，斜面上有一凹进斜
面的光滑绝缘圆形区域，圆形区域与斜面底端相切，半径为R，M、
分别为圆形区域的最高点和最低
点，两个带电小球
、可以在圆形区域内运动，小球
质量为
、电荷量为
，小球质量
为
、电荷量为
，空间存在竖直向下的匀强电场，电场强度大小
，初始时小球
固定
于圆形区域边缘上的
点（图中未画出），小球静止于
点，两小球在运动和碰撞过程中电荷量始终
不变，不计两小球之间的库仑力，两小球均可视为质点，重力加速度为
，
。
(1)现给小球一个沿平行于斜面底端方向的初速度，当小球到达最高点
时速度大小
，求
此时小球对斜面的作用力
的大小（圆形区域属于斜面的一部分）；
(2)如果将小球
解除锁定，小球
沿圆形区域边缘由静止开始向下运动，运动到最低点
时与小球发
生弹性碰撞，碰撞之后小球恰好能经过点
，求小球
解除锁定的位置
点距斜面底端的距离
。
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6．（2025·福建福州·二模）如图（a），长度L = 0.8 m 的光滑杆左端固定一带正电的点电荷A，其电荷量
QA = 1.8 × 10−7 C，一质量m = 0.02 kg，带电量为q 的小球B 套在杆上。将杆沿水平方向固定于某非均
匀外电场中，以杆左端为原点，沿杆向右为x 轴正方向建立坐标系。点电荷A 对小球B 的作用力随B 位
置x 的变化关系如图（b）中曲线I 所示，小球B 所受水平方向的合力随B 位置x 的变化关系如图（b）
中曲线Ⅱ所示，其中曲线Ⅱ在0.16 ≤ x ≤ 0.20 和x ≥ 0.40 范围可近似看作直线。求：（静电力常量k =
9 × 109 N·m2/C2）可能用到的坐标：曲线Ⅰ中的（0.30，0.018）；曲线Ⅱ中的（0.16，0.030）、
（0.20，0）、（0.30，−0.012）、（0.40，−0.004）
(1)小球B 所带电量q 及电性；
(2)非均匀外电场在x = 0.3 m 处沿细杆方向的电场强度E 大小和方向；
(3)已知小球在x = 0.2 m 处获得v = 0.4 m/s 的初速度时，最远可以运动到x = 0.4 m。若小球在x = 0.16
m 处受到方向向右，大小为F = 0.04 N 的恒力作用后，由静止开始运动，为使小球能离开细杆，恒力作
用的最小距离s 是多少？
7．（2024·福建福州·一模）如图甲所示，一倾角为30°足够长的绝缘斜面固定在水平地面上，质量为m、
电荷量为
的物块A 压缩轻质绝缘微型弹簧a 后锁定（A 与弹簧不拴接）。空间中存在沿斜面
向上、大小
（g 为重力加速度）的匀强电场。质量为2m、电荷量为
的物块B 静止在斜面上
端，B 左侧固定有处于原长的轻质绝缘弹簧b，A、B 与斜面的滑动摩擦力大小分别为
、
，最
大静摩擦力等于滑动摩擦力，
时解除锁定，弹簧的弹性势能
瞬间全部转化为A 的动能，A 运动
距离L 后于
时刻到达P 点，此时速度为
、加速度为0，且未与弹簧b 接触；
时刻，A 到达Q 点，
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速度达到最大值
，弹簧b 的弹力大小为
，此过程中A 的
图像如图乙所示。已知A、B 的电
荷量始终保持不变，两者间的库仑力等效为真空中点电荷间的静电力，静电力常量为k，弹簧始终在弹
性限度内。求：
（1）A 从开始运动到P 点的过程中，B 对A 库仑力所做的功；
（2）A 到达P 点时，A 与B 之间的距离；
（3）A 从P 点运动到Q 点的过程中，A、B 系统（含弹簧b）的电势能变化量与弹性势能变化量的总和。
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