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秘籍09 电场中的功和能与图像问题
【解密高考】
【题型一】电场中的图像问题
【题型二】 电场中的功能综合问题
：电场中的图像问题可以描述带电粒子的运动情况、反映描述电场的物理量（如电场强度、
电势和电势能）的变化情况，此类问题可以综合带电粒子在电场中的动力学问题，同时结合电场中的功能
关系考查带电粒子在电场中的能量问题。高考中多以选择题的形式出现。
：掌握电场中各种图像的物理意义，同时理解图像的截距、斜率和面积，各表示什么物理
意义，结合带电粒子在电场中的运动情况分析粒子运动过程中的能量转化。
【题型一】电场中的图像问题
一、.vt 图像
根据电荷在电场中运动的vt 图像的速度变化、斜率变化(即加速度变化)，确定电荷所受静电力的方向与静
电力的大小变化情况，进而确定电场强度的方向和大小、电势的高低及电势能的变化。
二、φx 图像(电场方向与x 轴平行)
1．电场强度可用φx 图线的斜率表示，斜率的绝对值表示电场强度的大小，斜率的正负表示电场强度的方
向。
1
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2．在φx 图像中可以直接判断各点电势的高低，并可根据电势高低关系分析电荷移动时电势能的变化。
3．电场中常见的φx 图像
(1)点电荷的φx 图像(取无限远处电势为零)，如图所示。
(2)两个等量异种点电荷连线上的φx 图像(取无穷远处电势为零)，如图所示。
(3)两个等量正点电荷的φx 图像(取无穷远处电势为零)，如图所示。
三、Ex 图像(电场方向与x 轴平行)
1．Ex 图像为静电场在x 轴上的电场强度E 随x 的变化关系，若规定x 轴正方向为电场强度E 的正方向，
则E>0，电场强度E 沿x 轴正方向；E<0，电场强度E 沿x 轴负方向。
2．Ex 图线与x 轴所围图形“面积”表示电势差(如图所示)，两点的电势高低根据电场方向判定。在与粒
子运动相结合的题目中，可进一步确定粒子的电性、动能变化、电势能变化等情况。
3．电场中常见的Ex 图像
(1)点电荷的Ex 图像
正点电荷及负点电荷的电场强度E 随坐标x 变化关系的图像大致如图所示。
(2)两个等量异种点电荷的Ex 图像，如图所示。
2
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(3)两个等量正点电荷的Ex 图像，如图所示。
四、.Epx 图像(电场方向与x 轴平行)
1．由Epx 图像可以判断某一位置电势能的大小，进而确定电势能的变化情况，根据电势能的变化可以判
断静电力做功情况，结合带电粒子的运动可以确定静电力的方向。
2．Epx 图像的斜率k＝＝＝＝－F 静电，即图像的斜率绝对值和正负分别表示静电力的大小和方向。
【例1】静电场中有一水平光滑绝缘桌面，桌面上有一电场线与x 轴重合，将一个质量为m、电荷量为
可视为点电荷的带电小球从桌面上
坐标处由静止释放后，小球沿x 轴向正方向运动，其加速度a 随坐标
x 变化的图像如图所示。小球在运动过程中电荷量不发生变化，下列说法正确的是（ ）
A．该电场为匀强电场
B．该电场线上电场的方向沿x 轴负方向
C．小球运动到
处的速度大小为
D．小球运动到
处速度减为0
【答案】B
【详解】A．由牛顿第二定律可知，小球的加速度为
因为小球的加速度先增大后减小，故电场强度先增大后减小，不是匀强电场，A 错误；
B．由图像可知，加速度的方向一直沿x 轴正方向，负电荷受力方向与场强方向相反，故电场方向沿x 轴负
方向，B 正确；
C．由
可知，
图像的面积为
故
，解得
，C 错误；
D．小球从
至
一直做加速度运动，故小球运动到
处速度最大，D 错误。
3
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故选B。
解决电场相关图像问题的要点
同解决力学中的图像类问题相似，解决电场相关图像问题，关键是弄清图像坐标轴的物理意义，坐标正
负代表什么，斜率、“面积”表示什么物理量，然后结合粒子的运动进一步分析静电力、电势能、动能
等变化情况。
【例2】某静电场在x 轴上的电场强度E 随x 的变化关系（
图像）如图所示，x 轴正方向为电场强度
正方向。一个带正电的点电荷仅在电场力作用下由静止开始沿x 轴运动，在x 轴上的a、b、c、d 四点间隔
相等，则下列说法正确的是（ ）
A．点电荷由a 运动到d 的过程中加速度先减小后增大
B．b 和d 两点处电势相等
C．点电荷由a 运动到d 的过程中电势能先增大再减小
D．点电荷从b 运动到a 电场力做的功小于从c 运动到b 电场力做的功
【答案】D
【详解】A．由a 运动到d 的过程中，由题图可以看出电场强度先增大后减小，故电场力先增大后减小，加
速度先增大后减小，选项A 错误；
B．从a 向右电场强度沿x 轴负方向，则从b 到d 处逆着电场线方向移动，电势升高，选项B 错误；
C．从a 到d 处逆着电场线方向移动，电势升高，正电荷的电势能一直增大，选项C 错误；
D．由题图可知，a 和b 之间的平均电场强度小于b 和c 之间的平均电场强度，根据公式W＝qEd 可知，电
荷从b 运动到a 电场力做功小于从c 运动到b 电场力做功，选项D 正确。
故选D。
【例3】电子枪是电子显微镜中的重要元件，其简化结构的截面图如图所示，阴极与阳极间存在非匀强电
场、实线为电场线。以电子发射点
为坐标原点、装置中轴线
方向为正方向建立
轴，则
连线上各
点电势
随
变化图像可能正确的是（ ）
4
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A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】因阳极接地，电势为零，沿电场线电势逐渐降低，则OP 间的电势均为负值，因φ-x 图像的斜率
绝对值表示场强大小，而从O 到P 场强先增加后减小，可知图像的斜率先增加后减小，结合图可知，只有
B 正确。
故选B。
【例4】在某电场中建立x 坐标轴，一个质子从坐标原点O 仅在电场力作用下由静止开始沿x 轴正方向运
动，该质子的电势能Ep随坐标x 变化的关系如图所示。则下列说法中正确的是（ ）
A．x0处的电势低于3x0处的电势
B．质子在x0处的加速度小于7x0处的加速度
C．质子从x0处到7x0处电场力先做正功后做负功
D．若具有一定初速度的电子从O 点沿x 轴运动到3x0，则电子的电势能一直在减小
【答案】C
【详解】A．根据
，结合质子的电势能Ep随坐标x 变化的图像可知，x0处的电势高于3x0处的电势，
故A 错误；
B．图像斜率的绝对值表示电场力的大小，由图像可知质子在x0处的加速度大于7x0处的加速度，故B 错误；
C．根据图像可知电势能先减小后增加，电场力先做正功后做负功，故C 正确；
D．根据图像可知O 点到3x0处的电场线沿x 轴的正方向，电子受到的电场力做负功，电势能一直在增加，
故D 错误。
故选C。
【变式1】如图所示，一块无限大，厚度为0.2m 的金属板垂直电场线放在水平向右的匀强电场中，电场强
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度大小为
，以板左侧
点为坐标原点、水平向右为正方向建立
轴，取板右侧面为零势能面，
点到板左侧的距离为0.2m，则
轴上场强、电势分布图像正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由静电屏蔽知识可知，金属板内的电场强度为0，因金属板是一个等势体，
图像的斜率表示
电场强度大小，则金属板左右两侧直线的斜率相同，即电场强度相同，且与
轴交点的电势相等。
故选C。
【变式2】空间存在一沿x 轴方向的电场，一电荷量为+q 的试探电荷只在电场力作用下沿x 轴正方向运动，
其所受电场力随位置变化的图像如图所示，以x 轴正方向为电场力的正方向，设无穷远处电势为零。以下
说法正确的是（ ）
A．
处电势最高
B．+q 在
处的速度大于在
处的速度
C．+q 在
处电势能最大
D．+q 在
处电势能为零
【答案】C
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【详解】ACD．由图可知，在
范围内正电荷所受电场力合力为水平向左，电场力做负功，电势能
增大；在
范围内正电荷所受电场力合力为水平向右，电场力做正功，电势能减小，故在
处电势能最
大，根据
可知在
处电势最高，故AD 错误，C 正确；
B．因在
范围内正电荷所受电场力合力为水平向右，电场力做正功，电势能减小，动能增大，故+q 在
处的速度小于在
处的速度，故B 错误。
故选C。
【变式3】（多选）某空间相距
固定放置两个点电荷A、B。如果以A 电荷所在位置为原点，A、B 连线
为
轴建立坐标系，如图甲所示，则
轴上各点电势
随坐标
的变化的
图像如图乙所示。如果取无
穷远处为零电势点，则点电荷的电势公式为
，其中
为静电力常量、
为场源点电荷的电荷量、
为某点距场源点电荷的距离。则下列说法正确的是（ ）
A．
点的场强为零
B．
与
点场强方向相反
C．B 的电荷量是A 的电荷量的8 倍
D．
【答案】BD
【详解】A.
图像中图线的斜率绝对值表示电场强度大小，由题图可知，
点的场强不为零，故A 错
误；
B．沿电场方向电势降低，由题图可知，在
区域内的场强方向沿
轴正方向，在上
区域
内的场强方向沿
轴负方向，在
区域内的场强方向沿
轴正方向，故图中
与
点场强方向相反，
故B 正确；
CD．
图像中图线的斜率绝对值表示电场强度大小，则
处的电场强度为零，则有
可得
由题图可知
、
处的电势为零，根据电势公式有
，
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可得
，
则
故C 错误，D 正确。
故选BD。
【变式4】（多选）如图所示，某静电场中
轴正半轴上
区间内电场强度沿
轴正向分布如图所示，
图中浅灰色阴影部分面积为
，深灰色阴影部分面积为
，
。一个质量为
电荷量为
的带正电
的粒子在坐标原点处由静止释放，粒子仅在电场力作用下从静止开始沿
轴正向运动，关于粒子在
至
之间的运动，下列说法正确的是（ ）
A．从
到
的过程中，加速度逐渐减小
B．从
到
的过程中，电场力做功为
C．粒子在
处的速度最大
D．粒子的最大速度为
【答案】BD
【详解】A．粒子从
运动到
的过程中，电场强度越来越大，根据牛顿第二定律
可知加速
度逐渐增大，A 错误；
B．粒子从
运动到
的过程中，电场力做功为
又
可得
B 正确；
C．根据题图可知粒子从
至
过程电场强度一直为正，根据牛顿第二定律可知粒子一直被加速，
即粒子运动到
处的速度最大，
错误；
D．根据B 选项分析，由几何关系结合动能定理有
解得
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D 正确。
故选BD。
【变式5】为了测定某平行于纸面的匀强电场的电场强度，某同学进行了如下操作：取电场内某一位置O
为坐标原点建立x 轴，x 轴上P 点到O 点距离为r，以O 为圆心、r 为半径作圆，如图（a）所示。从P 点起
沿圆周逆时针测量圆周上各点的电势φ 和对应转过的角度θ，并绘制
图，如图（b）所示，
时达
到最大值
，
时达到最小值0。一电荷量为
的粒子沿图（a）中虚线逆时针做圆周运动，下
列说法正确的是（ ）
A．电场方向沿x 轴负方向
B．电场强度的大小为
C．由0 到
粒子的电势能一直减小
D．由0 到
电场力对粒子做功为
【答案】B
【详解】A．曲线在
时达到最大值，说明电场线不是沿着x 轴，而是沿着与x 轴正方向的夹角为
的
直线，而且电场线方向指向左下方，A 错误；
B．由题知，取曲线最高点电势和最低点电势来求电场强度，则有
B 正确；
C．带正电粒子的电势能
，由图可知，从
到
，电势逐渐升高到最大，粒子的电势能逐渐
升高到最大，从
到
，电势逐渐减小为零，粒子的电势能随之减小，故由0 到
粒子的电势能先增大后
减小，C 错误；
D．电场力做功等于带电粒子电势能的减少量,由于
时的电势小于
，而
时电势0，则两点的电
势能的变化量小于
，电场力所做的功小于
，D 错误。
故选B。
【题型二】电场中的功能综合问题
静电力做功的计算方法
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电场中的功能关系
(1)静电力做正功，电势能减少；静电力做负功，电势能增
加，且W＝－ΔEp。
(2)合力做正功，动能增大；合力做负功，动能减小。
(3)如果只有静电力做功，则动能和电势能之间相互转化，
动能(Ek)和电势能(Ep)的总和不变，即：ΔEk＝－ΔEp
【例1】如图所示为某半导体气相溅射沉积镀膜法的原理图，在真空室中，接电源正极的电容器上极板处
放置待镀膜的硅晶圆，接电源负极的下极板处放置镀膜靶材。等离子体氩气从左端进入真空室中的电场
（可认为离子初速为零），带正电的氩离子（Ar+）在电场力作用下加速轰击靶材，使得靶材原子溅射到上
方硅晶圆衬底上，从而实现硅晶圆镀膜。已知Ar 的相对原子质量大于He 的相对原子质量，不考虑离子间
相互作用，则离子在电场中的运动过程，下列说法正确的是（ ）
A．Ar+的电势能增大
B．若Ar+换为He+则获得的动量变小
C．若Ar+换为He+则获得的动能变小
D．等离子体中的负电荷从高电势向低电势运动
【答案】B
【详解】A．电场力对Ar+做正功，Ar+的电势能减小，故A 错误；
B．根据
解得
Ar+与He+两粒子所带电荷量相等，Ar 的相对原子质量大于He 的相对原子质量，可知，若将Ar+换为He+，
则获得的动量变小，故B 正确；
C．根据
由于Ar+与He+两粒子所带电荷量相等，可知，若将Ar+换为He+，则获得的动能不变，故C 错误；
D．等离子体中的负电荷在电场力作用下将向上偏转，可知，负电荷从低电势向高电势运动，故D 错误。
故选B。
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【例2】如图所示，在平行纸面的匀强电场中存在圆心为
、半径为
的圆，
、
是圆内夹角为
的两条直径。一带正电的粒子自A 点沿平行圆面先后以不同的速度射入电场，其中从
点射出的粒子动能
增加了
，从
点射出的粒子动能增加了
。已知粒子仅受电场力的作用，则（ ）
A．A 点电势低于
点电势
B．匀强电场的场强方向与
平行
C．若粒子从C 点射出，其动能增加
D．若粒子从
的中点射出，电场力做的功为
【答案】C
【详解】B．沿
方向建立
轴，过O 点向下的方向建立
轴，设该匀强电场的场强为
，将其正交分解
为
、
则对粒子由A 到
，根据动能定理可得
同理对粒子由A 到
，根据动能定理可得
，
联立可得，
，
，
可知该匀强电场的方向沿着
方向，故B 错误；
A．过C 点和A 点做AB 的垂线，均为对应的等势线，根据沿着电场线方向电势降低知，A 点电势高于
点
电势，故A 错误；
C．根据B 项分析知
，
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若粒子从
点射出，则根据动能定理可得
解得其动能增加
，故C 正确；
D．根据B 项分析知
，
若粒子从
的中点射出，则电场力做功为
故D 错误。
故选C。
【例3】如图所示，在粗糙绝缘水平地面上关于
点对称的
两点分别固定两个相同的正点电荷，在
连线上的
点静止释放一个带正电的绝缘小物块（可视为点电荷）后，小物块向右运动至最右端
点
位于
间未画出）。以
点为原点沿水平地面向右建立
轴，取无穷远处为零势能点。小物块加速度
、
动能
、电势能
、动能和电势能之和
随
轴坐标变化正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】A．PO 段电场强度逐渐减小，由牛顿第二定律
故物块先做加速度逐渐减小的加速运动，当
时，加速度为0，速度最大
之后电场力小于摩擦力，由牛顿第二定律
，物块开始做加速度逐渐增大的减速运动，O 点电场
力为0，摩擦力不为0，故加速度不为0，A 错误；
B．物块加速阶段，由动能定理
，由于电场力逐渐减小，故
图像斜率逐渐减小，同理
物块减速阶段
图像斜率逐渐增大，B 错误；
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C．PO 段电场力做正功电势能减小，OQ 段电场力做负功，电势能增大，故电势能先减小后增大，C 错误；
D．取无穷远电势能为0，则
由能量守恒
，即
图像斜率小于0，恒定不变，D 正确。
故选D。
【变式1】如图所示，真空中M、N 两点分别放有电荷量为
和
的点电荷，O、P 为MN 连线上
的两点，虚线为两电荷形成的以O 为球心、电势为零的球形等势面（取无穷处电势为零），S 为等势面与
直线MN 的交点，T、Q 为等势面上关于MN 对称的两点，下列说法正确的是（ ）
A．T、Q 两点电场强度相同
B．O 点的电势比S 点的高
C．将正试探电荷从T 点移到P 点，静电力做负功
D．除无穷远处外，再没有电场强度为零的点
【答案】C
【详解】A．根据点电荷叠加电场中的对称性，可知T、Q 两点电场强度大小相等，方向不同，故A 错误；
B．依题意，MN 连线上的电场线在M、N 之间由M 指向N，在N 点右侧由S 指向N，根据沿电场线方向电
势降低可知，O 点的电势比S 点的低，故B 错误；
C．由B 选项分析可知，T 点电势比P 点电势低，将正试探电荷从T 点移到P 点，电势能增加，静电力做负
功，故C 正确；
D．由于正电荷的电荷量大于负电荷电荷量，可知在N 左侧电场强度不可能为零，则N 右侧，设MN 距离
为L，根据
可知除无穷远处外，直线MN 电场强度为零的点只有一个， 故D 错误。
故选C。
【变式2】（多选）空间中有方向与纸面平行的匀强电场，其中纸面内P、Q 和R 三点分别是等边三角形
abc 三边的中点，如图所示。已知三角形的边长为2 m，a、b 和c 三点的电势分别为1 V、2 V 和3 V。下列
说法正确的是（ ）
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A．该电场的电场强度大小为1 V/m
B．电子在R 点的电势能大于在P 点的电势能
C．将一个电子从P 点移动到Q 点，电场力做功为+0.5 eV
D．将一个电子从P 点移动到R 点，电场力做功为+0.5 eV
【答案】AD
【详解】A．根据匀强电场中沿任意方向两点间中点的电势为两点电势的平均值，则有P 点电势为
可知bP 是等势面，则场强方向由c 指向a 点，场强大小
选项A 正确；
B．R 点的电势为
可知电子在R 点的电势能小于在P 点的电势能，选项B 错误；
C．Q 点的电势为
将一个电子从P 点移动到Q 点，电场力做功为
选项C 错误；
D．将一个电子从P 点移动到R 点，电场力做功为
选项D 正确。
故选AD。
【变式3】（多选）如图，带电荷量为
的球1 固定在倾角为
光滑绝缘斜面上的N 点，其正上
方L 处固定一电荷量为
的球2，斜面上距N 点L 处的M 点有质量m 的带电球3，球3 与一端固定的绝缘
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轻质弹簧相连并在M 点处于静止状态。此时弹簧的压缩量为
，球2、3 间的静电力大小为
。迅速移
走球1 后，球3 沿斜面向下运动。g 为重力加速度，球的大小可忽略，下列关于球3 的说法正确的是（
）
A．带正电
B．运动到MN 中点处时，动能最大
C．运动至N 点的速度大小为
D．运动至N 点的加速度大小为2g
【答案】AD
【详解】A.由于2 球对3 球的作用力沿斜面方向的分力大小为
垂直斜面方向的分力大小为
小球所受重力沿沿斜面方向的分力大小为
垂直斜面方向的分力大小为
由于
，
，且弹簧被压缩，所以小球1 与小球3 之间是斥力，小球1 带正电，小球3 也带正电，
A 正确；
B．由于小球2 带负电，小球1 带正电，小球1 和2 之间是引力，球3 沿斜面向下运动合力为零时动能最大，
运动到MN 中点处时，小球所受弹簧的弹力为0，库仑力垂直于斜面向上，合力为
，
所以此时动能不是最大，B 错误；
C．运动至N 点的过程中，弹簧的弹性势能不变，电场力做功为零，电势能也不变，根据能量守恒有
可得
C 错误；
D．球3 在M 点时，根据平衡有，
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对于球3 和球2 之间有
可得
球3 运动至N 点时，弹簧弹力反向，大小不变， 根据牛顿第二定律，有
解得
D 正确。
故选AD。
【变式4】（多选）某同学用如图甲所示装置研究带电小球在重力场和电场中具有的势能
（重力势能、
电势能之和）的情况。两个带同种电荷的小球1、2 放在竖直放置的绝缘圆筒中，1 固定在圆筒底部，2 从
靠近1 位置处释放，测出2 的位置
和速度，利用能量守恒可以得到势能
图像。图乙中I 图线是小球
2 的
图像，II 图线是计算机拟合的图线I 的渐近线，实验中一切摩擦可忽略，小球的电荷量不会发生
变化，
，则小球2（ ）
A．上升过程中速度先变大后变小
B．上升过程中动能一直变大
C．质量为
D．从
处运动至
处电势能减少
【答案】AD
【详解】AB．上升过程系统能量守恒
结合图像可知，上升过程中势能先变小后变大，因此，小球2 的动能先变大后变小，速度也先变大后变小，
故B 错误，A 正确；
C．根据库仑定律
可知，当时
，
，系统势能的变化量主要取决于重力做功
即
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由此可知小球2 的重力等于图中渐近线的斜率，结合图像可知
N=5N
解得
故C 错误；
D．从
处运动至
过程中，根据系统能量守恒
J
根据动能定理可得
又因为
J
解得
J
从
处运动至
过程中，电场力做的正功，电势能减少0.3J，故D 正确。
故选AD。
处理电场中能量问题的几点注意
(1)应用动能定理解决问题须研究合力的功(或总功)。
(2)应用能量守恒定律解决问题须注意电势能和其他形式能之间的转化。
(3)应用功能关系解决问题须明确静电力做功与电势能改变之间的对应关系。
(4)有静电力做功的过程机械能不守恒，但机械能与电势能的总和可能守恒。
17
