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秘籍12 电磁感应中的电路与图像问题
【解密高考】
【题型一】电磁感应中的电路问题
【题型二】电磁感应中的图像问题
：电磁感应中的电路问题是导体棒（线框）切割的基础，此类问题结合楞次定律或右手定
则判断感应电流的方向，结合种图像（如磁通量-时间图像，B-t 图像和i-t 图像等），考查感应电流的产生
条件及其方向的判定，感应电动势的计算，常以实际生产、生活问题创设情景，考本同学们的学以致用的
能力。
：分析电磁感应中的电路问题和图像问题，理解电路的结构是基础，知道电磁感应现象中
哪部分是“电源”（“电源是否有内阻），哪部分为外电路且外电路用电器是如何连接，综合法拉第电
磁感应定律、楞次定律、闭合电路欧姆定律和能量守恒定律进行解题。
【题型一】电磁感应中的电路问题
1.分析电磁感应中电路问题的基本步骤
注：如果在一个电路中产生电动势的部分有几个且相互联系，可视为等效电源的串、并联。
1
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2．电磁感应中电路知识的关系图
【例1】四个完全相同的小灯泡
按图示电路连接，圆形区域内部存在垂直纸面向外的匀强
磁场，磁感应强度大小随时间均匀增大。下列说法正确的是（ ）
A．通过灯泡
的电流方向为
到
B．灯泡
的亮度逐渐增大
C．灯泡
的亮度最暗
D．灯泡
的亮度最亮
【答案】D
【详解】D．磁感应强度大小随时间均匀增大，由法拉第电磁感应定律可知，回路中产生恒定的感应电流，
L3与L4串联之后与L2并联，L1在干路上，电流最大，故L1最亮，D 正确；
A．由楞次定律，通过灯泡
的电流方向为
到
，A 错误；
B．由上述分析可知，灯泡
的亮度不变，B 错误；
C．由上述分析可知，灯泡
、
的亮度最暗，C 错误。
故选D。
电磁感应中电路问题的误区
(1)不能正确根据感应电动势或感应电流的方向分析外电路中电势的高低。因产生感应电动势的那部分电
路相当于电源，故该部分电路中的电
流从低电势处流向高电势处，而外电路中电流的方向是从高电势处到低电势处。
(2)应用欧姆定律分析求解电路时，没有考虑到电源的内阻对电路的影响。
(3)对连接在电路中电表的读数不能正确进行分析，例如并联在等效电源两端的电压表，其示数是路端电
2
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压，而不是等效电源的电动势。
【例2】如图（a）所示，两根间距为L、足够长的光滑平行金属导轨竖直放置并固定，顶端接有阻值为R
的电阻，垂直导轨平面存在变化规律如图（b）所示的匀强磁场，t=0 时磁场方向垂直纸面向里。在t=0 到
t=2t0的时间内，金属棒水平固定在距导轨顶端L 处；t=2t0时，释放金属棒。整个过程中金属棒与导轨接触
良好，导轨与金属棒的电阻不计，则（ ）
A．在
时，金属棒中电流的大小为
B．在
时，金属棒受到安培力的方向竖直向下
C．在
时，金属棒受到安培力的大小为
D．在t=3t0时，金属棒中电流的方向向右
【答案】C
【详解】A．由图可知在0~2t0时间段内产生的感应电动势为
根据闭合电路欧姆定律有此时间段的电流大小为
故A 错误；
BC．根据安培力公式可知
由图可知在
时，磁场方向垂直纸面向外并逐渐增大，根据楞次定律可知产生顺时针方向的电流，再
由左手定则可知金属棒受到的安培力方向竖直向上，故B 错误，C 正确；
D．在t=2t0时，释放金属棒。电路中感应电流为零，安培力为零，金属棒在重力的作用下向下运动，在
t=3t0时，磁场方向垂直纸面向外，金属棒速度向下，根据右手定则可知金属棒中的感应电流方向向左，故
D 错误。
故选C。
【例3】（多选）如下图所示，圆心为O 的同心圆a、b、c 是磁场的圆形边界，半径分别为r、2r、3r，在
3
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a 内有垂直于纸面向外的匀强磁场，在b 和c 之间有垂直于纸面向里的匀强磁场，两磁场的磁感应强度大
小均为B。一根长为4r 的金属棒垂直磁场放置，一端与O 点重合，A、C、D 是金属棒上三个点，到O 点
距离分别为r、2r、3r，让金属棒在纸面内绕O 点沿逆时针方向以角速度
匀速转动。下列说法正确的是
（ ）
A．O、A 电势差绝对值等于C、D 电势差绝对值
B．金属棒上各点的电势关系为
C．O、D 两点的电势差绝对值为
D．金属棒中有O 向D 的感应电流
【答案】BC
【详解】A．OA 段切割磁感线的平均速度小于CD 段切割磁感线平均速度，因此O、A 电势差绝对值小于
C、D 电势差绝对值，故A 错误；
B． 因AC 段无磁场，所以A、C 两点电势相等，由右手定则有
故
故B 正确；
C．O、D 两点的电势差绝对值为
故C 正确；
D．因未形成闭合回路，所以金属棒中无感应电流，故D 错误。
故选BC。
【例4】如图，两条相距l 的光滑平行金属导轨位于同一水平面（纸面）内，其左端接一阻值为R 的电阻；
一与导轨垂直的金属棒置于两导轨上；在电阻、导轨和金属棒中间有一面积为S 的区域，区域中存在垂直
于纸面向里的磁场，磁感应强度大小为
随时间t 的变化关系为
，式中k 为常量；在金属棒右侧还有
一匀强磁场区域，区域左边界MN（虚线）与导轨垂直，磁场的磁感应强度大小为
，方向也垂直于纸面
向里。某时刻金属棒在一外加水平恒力F 的作用下，从图示位置由静止开始向右运动，在
时刻恰好以速
度
越过MN，此后向右做匀速运动。金属棒与导轨始终相互垂直并接触良好，它们的电阻均忽略不计。
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求：
(1)在
时间内，流过电阻的电荷量q；
(2)在时刻
穿过回路的总磁通量Φ 与t 的关系式；
(3)金属棒所受外加水平恒力F 的大小。
【答案】(1)
；(2)
；(3)
【详解】（1）在金属棒未越过MN 之前，
时刻穿过回路的磁通量为
由法拉第电磁感应有
由欧姆定律有
由电流的定义有
解得在
到
的时间间隔内，流过电阻R 的电荷量为
（2）当
时，匀强磁场穿过回路的磁通量为
回路的总磁通量为
则在时刻
穿过回路的总磁通量为
（3）当
时，金属棒已越过MN，由于金属棒在MN 右侧做匀速运动，则有
设此时回路中的电流为k，
的大小为
由法拉第电磁感应定律得，回路感应电动势的大小为
由欧姆定律有
联立可得
【变式1】如图所示，半径为R 的
金属圆环ab 固定在水平桌面上，有一垂直于圆环向里的匀强磁场，磁
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感应强度B 随时间t 变化的关系为B=kt（k>0）。一长为2R 的金属直杆垂直磁场放置在圆环上，杆的一端
与圆环的端口a 接触，t=0 时，杆从图示实线位置以角速度ω 顺时针绕a 在圆环所在平面内匀速转动，
时，金属杆转到虚线位置，与圆环另一端口b 刚好接触，设
时金属杆和金属圆环构成的整个
回路的总电阻为r，金属杆与圆环接触良好，下列说法正确的是（ ）
A．
时，回路中的电流方向为逆时针方向
B．t=0 到
的过程中，回路中的感应电动势一直增大
C．
时，回路中的感应电动势大小为
D．
时，回路中的电流大小为
【答案】ABD
【详解】A．由楞次定律可知，感应电流方向为逆时针方向，故A 正确；
B．t=0 到
的过程中，回路中的感生电动势和动生电动势均增大，故B 正确；
C．
时，圆环与杆构成的回路由于磁场均匀增大，产生的感生电动势为
动生电动势为
所以回路中的感应电动势大小为
故C 错误；
D．
时，回路中的电流大小为
故D 正确。
故选ABD。
【变式2】直流电动机拖动直流发电机－对直流电压进行升降压，学名斩波。图中直流电动机M 的内阻
，电动机由一电动势
、内阻
的电源供电，并通过绝缘皮带带动一飞轮，飞轮由
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三根长
、
的辐条和电阻不计的金属圆环组成，可绕过其中心的水平固定绝缘轴转动，转轴
半径
，转轴中心与金属圆环通过导线连接，导线不随飞轮转动。不可伸长细绳绕在圆环上，末端
系一质量
的重物，细绳与圆环之间无相对滑动。飞轮处在方向垂直环面的匀强磁场中。闭合
，
断开
，飞轮转动稳定后测得电源的输出电压
，重物的提升速度为
。不计飞轮质量和其
他一切摩擦。
(1)求电源的效率
和电动机的电功率
；
(2)求匀强磁场的磁感应强度大小
；
(3)断开
，闭合
，若电动机内部结构与飞轮相似，绝缘皮带缠绕在电动机的外环上，电动机内部有三个
的同材质的辐条，在电动机处施加磁感应强度大小为
、方向与辐条组成的环面垂直的匀强磁
场，重物的质量变为
，求重物稳定下降时的速度大小
。
【答案】(1)
，130W；(2)3.6T；(3)
【详解】（1）电源的效率为
通过电动机的电流为
则电动机的电功率
（2）稳定后电动机的输出功率等于重物提升的功率和辐条热功率之和，飞轮的三根辐条并联，飞轮切割
磁感线产生的电动势为
总电阻为
根据
解得
（3）稳定下降后重物重力做功的功率等于两个发电机的电功率之和，由于
，则电动机辐条边缘的速
度为飞轮辐条边缘速度的
倍，可得
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解得
【变式3】（多选）如图甲所示，两平行光滑金属导轨固定在绝缘水平面上，左端连接阻值为R＝1.5Ω 的
电阻，导轨间距为L＝1m。一长为L＝1m，阻值为r＝0.5Ω 的导体棒垂直放置在导轨上，到导轨左端的距
离为
，空间中有垂直导轨平面向里均匀分布的磁场，磁感应强度随时间变化的图线如图乙所示。
从t＝0 时刻开始，导体棒在外力作用下向左做初速度为零的匀加速直线运动，速度随时间变化的关系如图
丙所示，在导体棒离开导轨前的过程，下列说法正确的是（ ）
A．回路中的电流先逐渐增大后逐渐减小
B．t＝2s 内某时刻回路中电流方向发生变化
C．t＝1s 时导体棒所受安培力大小为0.11N、方向向左
D．该过程通过定值电阻R 的净电荷量为0.8C
【答案】CD
【详解】AB．由图乙可知，磁感应强度随时间变化的关系式为
由图丙可知，导体棒运动速度与时间的关系式为
导体棒运动位移与时间的关系式为
由于到导轨左端的距离为
，所以导体棒运动的最大时间为
磁感应强度变化产生的感生电动势为
导体棒运动产生的动生电动势为
由楞次定律和右手定则可知，感生电动势与动生电动势方向相反，则回路中感应电动势为
感应电流为
可知，随着增大，感应电流减小，当
时
即
时，感应电流方向改变，电流开始反向增大，所以回路中的电流先逐渐减小后逐渐增大，
时
回路中电流方向发生变化，故AB 均错误；
C．结合AB 分析可知，
时，感应电流为
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方向为逆时针，磁感应强度为
导体棒所受安培力大小为
由左手定则可知，方向向左，C 正确；
D．根据
，
，
可得
D 正确。
故选CD。
【题型二】电磁感应中的图像问题
1.解题关键
弄清初始条件、物理量的正负对应的变化范围、所研究物理量的函数表达式、进出磁场的转折点等是解
决此类问题的关键。
2．解题步骤
(1)明确图像的种类，即是Bt 图还是Φt 图，或者Et 图、It 图等；对切割磁感线产生感应电动势和感应电
流的情况，还常涉及Ex 图像和ix 图像。
(2)分析电磁感应的具体过程。
(3)用右手定则或楞次定律确定方向的对应关系。
(4)结合法拉第电磁感应定律、闭合电路的欧姆定律、牛顿运动定律等知识写出相应的函数关系式。
(5)根据函数关系式，进行数学分析，如分析斜率的变化、截距等。
(6)画图像或判断图像。
3．常用方法
(1)排除法：定性地分析电磁感应过程中物理量的正负，增大还是减小，以及变化快慢，来排除错误选项。
(2)函数法：写出两个物理量之间的函数关系，然后由函数关系对图像进行分析和判断。
【例1】如图所示，两相邻宽度均为L 的有界匀强磁场，其磁场方向相反，磁感应强度大小均为B。边长
为L、电阻为R 的单匝正方形线框abcd 的ab 边与磁场左边界共线，线框在外力作用下，以速度v 匀速穿越
有界磁场。以ab 边刚进入磁场为计时零点，规定线框中感应电流i 逆时针方向为正方向，力方向向右为正
方向，ab 边所受安培力为
，外力为F，下列图像正确的是（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
时间内，由楞次定律可知，电流方向逆时针，感应电动势
感应电流为
ab 两点间的电势差
ab 所受的安培力大小为
方向向左，外力
方向向右；
时间内，由楞次定律可知，电流方向顺时针，感应电动势
感应电流为
ab 两点间的电势差
ab 所受的安培力大小为
方向向左，cd 所受的安培力大小也为
方向向左，则外力
方向向右；
时间内，由楞次定律可知，电流方向逆时针，感应电动势
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感应电流为
ab 两点间的电势差
ab 所受的安培力大小为
cd 所受的安培力大小为
方向向左，则外力
方向向右；综合分析可知选项B 正确。
故选B。
【例2】（多选）水平面内有一腰长为
的等腰直角三角形ABC 区域，区域内有垂直水平面向里的匀
强磁场，一边长为L 的正方形金属线框EFGH 在水平拉力的作用下，以恒定的速度沿x 轴正方向运动，如
图所示，从线框进入磁场开始计时，直至通过磁场区域的过程中，线框中的感应电流i（电流沿逆时针方
向为正）和线框受到的沿x 轴方向的安培力F（沿x 轴负方向为正）随时间的变化图像正确的是（ ）
A．
B．
电磁感应图像问题的“六个明确”
(1)明确图像横、纵坐标的含义及单位；
(2)明确图像中物理量正负的含义；
(3)明确图像斜率、截距、所围面积的含义；
(4)明确图像所描述的物理意义；
(5)明确所选的正方向与图线的对应关系；
(6)明确图像和电磁感应过程之间的对应关系。
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C．
D．
【答案】AD
【详解】AB．线框进磁场过程中，根据右手定则可知，感应电流方向沿逆时针方向，线框中的感应电流大
小为
，
所以
同理，当GF 全部进入磁场后，有
线框全部进入磁场后，感应电流为0，而线框出磁场时感应电流的变化与进磁场时相同，根据右手定则可
知，感应电流方向相反，故A 正确，B 错误；
CD．根据左手定则可知，线框进入、离开磁场过程中，安培力方向一直水平向左，则F 一直为正值，线框
受到的沿x 轴方向的安培力为
故C 错误，D 正确。
故选AD。
【例3】（多选）在光滑绝缘的水平面上有两相互平行的边界MN、PQ，边界内有竖直向下的匀强磁场。
紧靠MN 有一材料相同、粗细均匀的正方形线框abcd，如图所示（俯视图）。已知线框边长为L，磁场宽
度为2L。从
时刻起线框在水平向右外力作用下从图示位置由静止水平向右匀加速直线运动。则从线框
ab 边进磁场到cd 边出磁场的过程中，以下关于线框中的磁通量
、ab 边电压U、外力F 和电功率P 随位
移x 变化的规律图像正确的是（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【详解】A．线框中的磁通量
，可知：
，
，
随x 均匀增大；
，
不变；
，
随x 均匀减小，故A 正确；
B．根据法拉第电磁感应定律结合欧姆定律，
，
完全进入磁场的瞬间
完全进入磁场后在磁场中加速运动，此时
线圈的ab 边出磁场的瞬间
线圈完全出磁场后速度减速为零，此时
故B 错误；
C．
，线圈的ab 边开始进入磁场的安培力
F 与x 不是线性关系，故C 错误；
D．
，电功率
，线圈完全进入磁场，
，电功率为0
，ab 离开磁场，电功率
故D 正确。
故选AD。
【变式1】如图所示，正六边形线框
边长为
，放置在绝缘平面上，线框右侧有一宽度为
的匀
强磁场区域，
、
为磁场边界线，
，线框以垂直
方向的速度匀速向右运动。设线框中感
应电流为
，磁场对线框的安培力为
。以逆时针方向为线框中感应电流的正方向，水平向左为安培力的
正方向。线框
点进入磁场时开始计时，下列图像可能正确的是（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】第一步：判断进磁场过程线框中电流方向
线框进磁场过程，线框中的磁通量向里增大，根据楞次定律可知，线框中感应电流沿逆时针方向。
第二步：按阶段划分线框运动过程
开始计时后，在时刻，线框
点到磁场左边界的距离
［提示：由选项可知
］。当
时，线框的有效切割长度
感应电动势
又线框电阻不变，则回路中的感应电流随时间均匀增大，线框所受安培力
方向水平向左，安培力与时间的关系图像是过原点，开口向上的抛物线。
当
时，线框的有效切割长度不变，为
，感应电动势不变，感应电流不变，为
沿逆时针方向，安培力大小不变，为
，方向水平向左。
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当
时，线框的有效切割长度
感应电动势
线框中电流随时间均匀减小，沿逆时针方向，线框所受安培力
方向水平向左，安培力与时间的关系图像是顶点坐标为
、开口向上的抛物线。
分析可知，线框出磁场过程的电流时间图线与进磁场过程的电流时间图线关于点
中心对称，线框出
磁场过程的安培力时间图线与进磁场过程的安培力时间图线关于
对称，综上所述。
故选D。
【变式2】如图所示，正方形导线框在光滑水平面上以某初速度进入有界匀强磁场，线框边长是磁场宽度
的一半。线框穿过磁场的过程中，感应电流i 随时间t 的变化关系和速度v 随位移x 的变化关系图像，可能
正确的是 （ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】AB．根据法拉第电磁感应定律
设线圈电阻为R，根据闭合电路的欧姆定律
根据安培力公式
根据牛顿第二定律
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联立解得
根据加速度的表达式可知，线框向右全部进入磁场的过程，线框做加速度减小的减速运动；线框完全进入
磁场后，穿过线框的磁通量不变，线框中感应电动势为零，感应电流为零，安培力为零，加速度为零，因
此线框完全进入磁场到刚要离开磁场过程，线框做匀速运动；线框穿出磁场过程中，根据加速度的表达式
可知，线框继续做加速度减小的减速运动，直到完全穿出磁场；此过程v-t 图应为如下图所示
由于线框宽度只有磁场宽度的一半，所以线框整体在磁场中匀速运动的距离与出磁场的距离相等
则根据
可知出磁场电流将越来越小，方向与进磁场时的电流方向相反
综上可以得出出磁场时间比在磁场中匀速运动时间更长，故AB 错误；
CD．线框进入磁场过程中，水平向右由动量定理
联立得
即
因此v-x 图应该线性变化；完全进入磁场后，通过线框的磁通量为定值，所以没有安培力，线框做匀速直
线运动；出磁场时同理可得线框v-x 图应该也为线性变化，故C 错误，D 正确。
故选D。
【变式3】（多选）如图，直角梯形区域
为
的中点，直角三角形
、平行
四边形ebcd 两区域内存在磁感应强度大小相等、方向相反且垂直与纸面的匀强磁场，一等腰直角三角形导
线框
与梯形
在同一平面内，
边长为且与
共线，导线框以垂直于
的恒定速度穿过磁场
区域，从
点进入磁场开始计时，
末
刚好到达
点。规定逆时针方向为感应电流的正方向，水平向
左为导线
受到的安培力的正方向，此过程中线框中的感应电流
受到的安培力
，二者与时间
的关系图像可能正确的是（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【详解】AB．设导线框速度为v，电阻为R，则
内电流
可知均匀增大，该过程最大电流为
，由右手定则可知电流方向为逆时针，为正方向；
内，导线框一部分在垂直纸面向里的磁场，一部分在垂直纸面向外的磁场，且两边切割磁感线产生
的感应电动势方向相同，此时两边产生的感应电动势相加 ，可得
可知电流从最大
逐渐减小到0，由右手定则可知电流方向为顺时针，为负方向；
2~3s 内，导线框离开磁场，电流
可知电流逐渐减小到0，由右手定则可知电流方向为逆时针，为正方向。综合可知，
内最大电流是
末电流的 2 倍，所以
图像B 选项符合题意。
CD．根据
内，AC 在磁场外，安培力
内，导线框一部分在垂直纸面向里的磁场，一部分在垂直纸面向外的磁场，AC 边安培力大小
可知该过程安培力从最大值
逐渐减小到0，再反向增大最后减小到0，分析可知AC 边安培力方向先
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向左后向右，即方向先正后负，且图像为开口向上的二次函数；
内，线框出磁场，AC 边安培力大小
可知安培力从最大值
逐渐减小，且图像为开口向上的二次函数。综合分析可知C 选项符合题意。
故选BC。
18
