文档内容
秘籍 13 电磁感应中的电路和图像问题
一、电磁感应中电路知识的关系图
二、电磁感应中的图像问题
电磁感应中图像问题的解题思路：
(1)明确图像的种类，即是 B－t图还是Φ－t图，或者E－t图、I－t图等；对切割磁感线产生
感应电动势和感应电流的情况，还常涉及E－x图像和i－x图像；
(2)分析电磁感应的具体过程；
(3)用右手定则或楞次定律确定方向的对应关系；
(4)结合法拉第电磁感应定律、闭合电路欧姆定律、牛顿运动定律等知识写出相应的函数关系
式；
(5)根据函数关系式，进行数学分析，如分析斜率的变化、截距等；
(6)画图像或判断图像．【题型一】电磁感应中的电路问题
【典例1】（2024·贵州·模拟预测）如图，倾角为θ的光滑固定轨道cdef，宽为l，上端连接阻
值为R的电阻，导体杆ab质量为m、电阻为r，以初速度 沿轨道向上运动，空间存在水平
向右、磁感应强度大小为 B的匀强磁场，不计导轨电阻，导体杆与导轨始终接触良好，ab杆
向上运动的距离为x，下列选项正确的是（重力加速度为g）（ ）
A．开始时电阻电功率为
B．开始时ab所受合力为
C．该过程克服安培力做功
D．该过程流过ab的电量
【答案】B
【详解】
A．ab切割磁感线产生电动势
电流大小
方向在棒上为b到a，故电阻电功率
故A错误；B．安培力为
方向竖直向下，经正交分解后得出开始时ab所受合力为
故B正确；
C．做功表达式
运动过程安培力不是恒力，不能直接使用，故C错误；
D．感应电动势为
电流为
流过ab的电量为
联立可得
故D错误。
故选B。
【典例2】（2024·云南昆明·三模）如图所示，匝数为10匝、面积为1㎡，电阻为1Ω的圆形
金属线框位于垂直纸面向里匀强磁场中，线框平面与磁场方向垂直，圆形线框平面两端点
A、B间接有阻值为2Ω的定值电阻。匀强磁场的磁感应强度随时间均匀变化关系为B＝1.2-
0.3t（B的单位为T，t的单位为s）。则下列说法正确的是（ ）
A．圆形金属线框中感应电流沿逆时针方向
B．A点与B点间的电压为3V
C．0～2s内通过定值电阻的电荷量为2C
D．0～4s内圆形金属线框中产生的焦耳热为4J【答案】CD
【详解】A.由题意知金属线框的磁场在减少，由楞次定律知圆形金属线框中感应电流沿顺时
针方向，故A错误；
B.由法拉第电磁感应定律得，金属线框产生的感应电动势为
A点与B点间的电压为
故B错误；
C.0～2s内通过定值电阻的电荷量为
故C正确；
D.0～4s内回路电流为
0～4s内圆形金属线框中产生的焦耳热为
故D正确。
故选CD。
【典例3】（2024·河北·模拟预测）如图1所示，间距L=1m的足够长倾斜导轨倾角θ=37°，
导轨顶端连一电阻R=1Ω。左侧存在一面积S=0.6m2的圆形磁场区域B，磁场方向垂直于斜面
向下，大小随时间变化如图2所示，右侧存在着方向垂直于斜面向下的恒定磁场B =1T，一
1
长为L=1m，电阻r=1Ω的金属棒ab与导轨垂直放置，t=0至t=1s，金属棒ab恰好能静止在右
侧的导轨上，之后金属棒ab开始沿导轨下滑，经过一段时间后匀速下滑，已知导轨光滑，取
g=10m/s2，不计导轨电阻与其他阻力，sin37°=0.6，cos37°=0.8。求：
（1）t=0至t=1s内流过电阻的电流和金属棒ab的质量；
（2）金属棒ab匀速时的速度大小。
【答案】（1）0.3A，0.05kg；（2）
【详解】（1）根据法拉第电磁感应定律可得t=0至t=1s内回路中的感应电动势为根据闭合电路欧姆定律可得t=0至t=1s内流过电阻的电流为
设金属棒ab的质量为m，这段时间内金属棒ab受力平衡，即
解得
m=0.05kg
（2）设金属棒ab匀速时的速度大小v，此时回路中的感应电动势为
回路中的电流为
导体棒ab所受安培力大小为
根据平衡条件可得
解得
1．（2024·河北·模拟预测）如图装置可形成稳定的辐向磁场，磁场内有匝数为n、半径为R
的圆形线圈，在 时刻线圈由静止释放，经时间t速度变为v，假设此段时间内线圈所在处
磁感应强度大小恒为B，线圈导线单位长度的质量、电阻分别为m、r，重力加速度为g，下
列说法正确的是（ ）
A．在t时刻线圈的加速度大小为B．0~t时间内通过线圈的电荷量为
C．0~t时间内线圈下落高度为
D．线圈下落过程中，通过线圈的磁通量始终为零
【答案】C
【详解】A．在t时刻，线圈切割辐向磁场产生感应电动势
感应电流
线圈所受安培力
由牛顿第二定律得
解得
故A错误；
B．从开始下落到t时刻，设线圈中的平均电流为 ，由动量定理得
又
综合解得
故B错误；
C．从开始下落到t时刻，下落高度为 ，由
①
由B项分析可知
②由①②得
故C正确；
D．线圈下落过程中，N极内部由竖直向上的磁场，通过线圈的磁通量不始终为零，故D错
误。
故选C。
2．（2024·全国·模拟预测）如图所示，两光滑平行金属导轨固定于同一水平面内，其左端接
一定值电阻，金属杆静置在导轨上，电阻右侧的矩形匀强磁场区域 的磁感应强度大小
为 、方向竖直向下， 、 分别是磁场横向边界 、 的中点，导轨和金属杆的电阻不
计，导轨光滑且足够长。控制磁场使得该磁场区域以速度 匀速地向右扫过金属杆。金属杆
在运动过程中始终与导轨垂直且与导轨保持良好接触，金属杆内做定向移动的自由电子总量
保持不变。已知当磁场的 连线刚扫上金属杆时，金属杆内自由电子沿杆定向移动的速率
为 ；当磁场的 连线刚扫上金属杆时，金属杆内自由电子沿杆定向移动的速率为 。则
当磁场的 连线和磁场的 连线分别扫上金属杆时（ ）
A．金属杆的速度之比为
B．金属杆的加速度之比为
C．安培力对金属杆做功的瞬时功率之比为
D．电阻的热功率之比为
【答案】BD
【详解】A．根据
MN线刚扫上金属杆时到磁场的 连线刚扫上金属杆，有
从磁场的 连线刚扫上金属杆时到磁场的 连线刚扫上金属杆，有得到
故A错误；
B．当磁场的 连线刚扫上金属杆时有
当磁场的 连线刚扫上金属杆时有
当磁场的 连线刚扫上金属杆时有
由以上关系得到
， ， ，
根据
可得
故B正确；
C．根据
可得
故C错误；
D．根据可得
故D正确。
故选BD。
3．（2024·湖南岳阳·一模）如图所示，两根足够长光滑平行金属导轨固定在倾角θ=37°的绝
缘斜面上，底部接有一阻值R=2Ω的定值电阻，轨道上端开口，间距L=1m，整个装置处于磁
感应强度B=2T的匀强磁场中，磁场方向垂直斜面向上。质量m=0.2kg的金属棒ab置于导轨
上，通过细线（细线与导轨平行）经定滑轮与质量为M=0.2kg的小物块相连。金属棒ab在导
轨间的电阻r=1Ω，导轨电阻不计。金属棒由静止释放到匀速运动前，电阻R产生的焦耳热总
共为1.552J，金属棒与导轨接触良好，不计空气阻力，sin37°=0.6，cos37°=0.8，g=10m/s2，则
下列说法正确的（ ）
A．金属棒ab匀速运动时的速度大小为0.6m/s
B．金属棒ab沿导轨运动过程中，电阻R上的最大电功率为0.36W
C．金属棒从开始运动到最大速度沿导轨运动的距离2m
D．从金属棒ab开始运动至达到最大速度过程中，流过电阻R的总电荷量为2C
【答案】AD
【详解】A．金属棒ab匀速运动时，感应电流为
金属棒处于平衡状态，对金属棒与小物块整体进行分析有
解得
故A正确；
B．金属棒ab匀速运动时速度最大，此时电阻上的电功率也最大，则有
结合上述解得故B错误；
C．金属棒从开始运动到最大速度过程，根据动能定理有
根据电热分配有
解得
故C错误；
D．从金属棒ab开始运动至达到最大速度过程中，感应电动势的平均值
感应电流的平均值
解得
故D正确。
故选AD。
4．（2024·河北·模拟预测）如图所示，足够长的U型光滑金属导轨平面与水平面成θ角，其
中MN与PQ平行且间距为d，导轨平面与磁感应强度为B的匀强磁场垂直，导轨底端接定值
电阻R，导轨电阻不计，现质量为m的金属杆ab以初速度v 沿导轨向上开始运动，并与两导
0
轨始终保持垂直且接触良好，杆ab接入电路的电阻为r，重力加速度大小为g。则（ ）
A．若杆ab运动距离为L时速度恰好减为0，该过程杆ab运动时间为
B．若杆ab运动距离为L时速度恰好减为0，该过程杆ab平均速度C．若杆ab经时间t速度恰好减为0，该过程通过杆ab的电荷量为
D．若杆ab经时间t速度恰好减为0，该过程杆ab运动的距离为
【答案】AD
【详解】A．若杆ab运动为L时速度恰好减为0，由动量定理得
又因为
联立可得，该过程杆ab运动时间为
故A正确；
B．对ab杆由牛顿第二定律
可知杆ab加速度逐渐减小，其 图像如图所示
由图可知该过程杆ab的平均速度
故B错误；
CD．若杆ab经时间t速度恰好减为0，由动量定理得
其中
联立可得，该过程通过杆ab的电荷量为
该过程杆ab运动的距离为故C错误，D正确。
故选AD。
5．（2024·湖南长沙·一模）如图甲所示，足够长的平行金属导轨MN、PQ固定在同一水平面
上，其宽度 ，导轨M与P之间连接阻值为 的电阻，质量为 、电阻为
、长度为 的金属杆ab静置在导轨上，整个装置处于竖直向下的匀强磁场中。现用
一垂直杆水平向右的恒力 拉金属杆ab，使它由静止开始运动，运动中金属杆与导轨
接触良好并保持与导轨垂直，其通过电阻R上的电荷量q与时间t的关系如图乙所示，图像中
的OA段为曲线，AB段为直线，导轨电阻不计，已知ab与导轨间的动摩擦因数 ，取
（忽略ab杆运动过程中对原磁场的影响），求：
（1）磁感应强度B的大小和金属杆的最大速度；
（2）金属杆ab从开始运动的 内所通过的位移；
（3）从开始运动到电阻R产生热量 时，金属杆ab所通过的位移。
【答案】（1） ， ；（2） ；（3）
【详解】（1） 过程电流稳定金属棒速度达到最大值，通过导体棒电流
得
导体棒匀速，对导体棒
导体棒匀速时，导体棒电动势
欧姆定律
解得（2） 过程中由动量定理得
即
解得
（3） 过程中由动能定理得
过程产生总热量
电阻R产生热量
解得
后匀速阶段电阻R热量
解得
【题型二】 电磁感应中的图像问题
【典例1】（2024·山东菏泽·一模）如图所示，边长为2L的正三角形abc区域内有垂直纸面
向里的匀强磁场，一边长为L的菱形单匝金属线框ABCD的底边与bc在同一直线上，菱形线
框的 。使线框水平向右匀速穿过磁场区域，BC边与磁场边界bc始终共线，以B点
刚进入磁场为计时起点，规定导线框中感应电流逆时针方向为正，则下列图像正确的是（
）A． B． C． D．
【答案】A
【详解】设线框匀速运动速度大小为 ；以B点刚进入磁场为计时起点，在 内， 边逐
渐进入磁场切割磁感线，产生的电动势为
线圈中的电流大小为
根据楞次定律可知，线圈中的电流方向为逆时针方向，即电流为正；
在 内，整条 边在磁场中切割磁感线， 边逐渐进入磁场切割磁感线，线圈产生的
电动势为
线圈中的电流大小为
根据楞次定律可知，线圈中的电流方向为逆时针方向，即电流为正；
在 内，整条 边离开磁场区域，整条 边在磁场中切割磁感线，产生的电动势恒为线圈中的电流大小恒为
根据楞次定律可知，线圈中的电流方向为顺时针方向，即电流为负；之后整个线框离开磁场
区域，没有感应电流。
故选A。
【典例2】（23-24高三上·贵州安顺·期末）如图甲所示，正方形线圈abcd内有垂直于线圈的
匀强磁场，已知线圈匝数n=10，边长ab=1m，线圈总电阻r=1Ω，线圈内磁感应强度随时间
的变化情况如图乙所示。设图示的磁场方向与感应电流方向为正方向，则下列有关线圈的感
应电流i，焦耳热Q以及ab两点间电压u，ab边的安培力F（取向下为正方向）随时间t的变
化图像正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【详解】A． 内产生的感应电动势为
由楞次定律，感应电流为逆时针（为负），大小为
同理可得， 内产生的感应电动势为由楞次定律，感应电流为顺时针（为正），大小为
A正确；
B． 两点间的电压， 内大小为
方向为负， 内大小为
方向为正，B错误；
C． 边的安培力， 内大小为
随时间逐渐增大，由左手定则，方向为向下为正。同理 内大小为
随时间逐渐减小，由左手定则，方向为向上为负。同理 内大小为
随时间逐渐增大，由左手定则，方向为向下为正。C正确；
D． 内焦耳热
随时间逐渐增加， 内焦耳热
D正确。
故选ACD。
【典例3】（23-24高二下·湖北·阶段练习）如图甲所示，水平面上有一圆形线圈，通过导线
与足够长的光滑水平导轨相连，线圈内存在垂直线圈平面方向竖直向上的匀强磁场，其磁感
应强度 大小随时间变化图像如图乙所示。平行光滑金属导轨处于磁感应强度大小为 、方
向垂直导轨平面向下的匀强磁场中。一导体棒 垂直于导轨水平放置，由静止释放。已知
线圈匝数 ，面积 ，其电阻 ，导轨相距 ，磁感应强度 ，
导体棒质量 ，其电阻 ，其余电阻不计。求
（1） 时刻，导体棒中的电流I的大小及方向；（2） 时刻，导体棒的加速度大小和方向；
（3）导体棒的最大速度的大小。
【答案】（1） ，从 到 ；（2） ，水平向右；（3）
【详解】（1） 时刻，感应电动势为
导体棒中的电流的大小为
根据楞次定律，导体棒中的电流方向为从 到 。
（2）根据牛顿第二定律
解得 时刻，导体棒的加速度大小为
根据左手定则，导体棒受到的安培力水平向右，故导体棒的加速度水平向右。
（3）当导体棒受到的安培力为零时，即回路中的感应电流为零时，导体棒的速度最大，则
解得导体棒的最大速度的大小为
1．（2024·广东湛江·一模）如图所示，在区域Ⅰ、Ⅱ中分别有磁感应强度大小相等、垂直纸
面但方向相反、宽度均为 的匀强磁场区域。高为 的正三角形线框efg从图示位置沿 轴正
方向匀速穿过两磁场区域，以逆时针方向为电流的正方向，下列图像中能正确描述线框efg中
感应电流 与线框移动距离 关系的是（ ）A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】正三角形线框efg刚进入向里的磁场Ⅰ时，I的大小为零，之后随线框进入磁场距离
的增大没利用楞次定律可知，感应电流沿逆时针方向，为正方向，在进入过程中，ef和fg两
边的有效切割长度变大，其有效长度为
感应电动势为
感应电流为
当线框efg前进a距离时，达到最大，即
在线圈刚进入向外的磁场区域Ⅱ瞬间，感应电流为零，之后随线框进入磁场距离的增大，利
用楞次定律可知，efg线框中感应电流方向沿顺时针方向，即为负。进入过程边有效切割长度
变大，在该过程中，结合之前的分析其电流的瞬时值为当前进距离为2a时，其感应电流达到最大，结合之前的分析，其最大值为
在刚出向外的磁场区域Ⅱ瞬间，感应电流大小为零，之后随线框出磁场距离的增加，利用楞
次定律可知，efg中感应电流方向沿逆时针方向，为正，有效切割长度变大，在该过程中，结
合之前的分析其电流的瞬时值为
当前进距离为3a时，达到最大，其最大值为
故选B。
2．（2024·内蒙古赤峰·一模）矩形导线框abcd放在匀强磁场中，在外力控制下处于静止状
态，如图甲所示。磁感线方向与导线框所在平面垂直，磁感应强度 B随时间变化的图像如图
乙所示（规定磁感应强度的方向垂直导线框平面向里为正方向），在 0~4s时间内，流过导线
框的电流（规定顺时针方向为正方向）与导线框 ad边所受安培力随时间变化的图像（规定以
向左为安培力正方向）可能是图中的（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【详解】AB．在0~1s内，原磁场磁感应强度垂直纸面向外，且线性减小，线框产生的感应
电流为逆时针方向，即为负方向，大小不变。同理可得，在1~2s时间内，线框上的感应电流为逆时针方向，即为负方向，大小不变。在2~3s时间内，线框上的感应电流为顺时针方向，
即为正方向，大小不变。在3~4s内，线框产生的感应电流为顺时针方向，即为正方向，大小
不变。故A正确；B错误；
CD．由以上分析得，在0~1s时间内，导线框ad边电流方向为由a向d，空间所加磁场的磁
感应强度B为垂直纸面向外，且线性减小，根据左手定则得，导线框ad边受安培力向左，且
线性减小，即安培力为正方向，线性减小。同理可得，在1~2s时间内，导线框ad边电流方
向为由a向d，空间所加磁场的磁感应强度B为垂直纸面向里，且线性增大，根据左手定则
得，导线框ad边受安培力向右，且线性增大，即安培力为负方向，线性增大。在2~3s时间
内，导线框ad边电流方向为由d向a，空间所加磁场的磁感应强度B为垂直纸面向里，且线
性减小，根据左手定则得，导线框ad边受安培力向左，且线性减小，即安培力为正方向，线
性减小。在3~4s内，导线框ad边电流方向为由d向a，空间所加磁场的磁感应强度B为垂直
纸面向外，且线性增大，根据左手定则得，导线框ad边受安培力向右，且线性增大，即安培
力为负方向，线性增大。故C正确；D错误。
故选AC。
3．（2024·福建漳州·二模）如图，两条光滑平行金属导轨固定，所在平面与水平面夹角为
，导轨电阻可忽略不计；导轨间有一垂直于导轨所在平面向上的匀强磁场，其边界ab、cd均
与导轨垂直。现将两相同的导体棒PQ、MN先后自导轨上同一位置由静止释放，运动过程中
PQ、MN始终与导轨垂直且接触良好。已知PQ进入磁场时加速度恰好为零，从PQ进入磁场
时开始计时，MN中电流记为i，MN两端电势差记为u，则下列 、 图像可能正确的是
（ ）
A． B．C． D．
【答案】AC
【详解】AB．MN刚进磁场时的速度与PQ刚进磁场时相同，设 时MN中电流为 ，若
PQ刚出磁场时MN进入磁场，此时电流立即反向，MN进入磁场后仍匀速运动，因此电流大
小不变，A正确，B错误；
C．PQ刚进磁场时，MN两端的电势差记为 ，若PQ还未离开磁场时MN已进入磁场，根据
题设此时两导体棒速度相等，回路电流为零，MN两端的电势差（导体棒切割磁场产生的电
动势）为 ，两导体棒均未离开磁场前做匀加速运动，电动势均匀增大，当PQ离开磁场
时，MN的速度大于其刚进入磁场时的速度，其两端的电势差U发生突变，且略大于 ，此
后MN做加速度减小的减速运动，MN两端的电势差逐渐减小，C正确；
D．只有两导体棒同时在磁场中运动时，MN两端的电势差才等于 ，但不会恒定不变，D
错误。
故选AC。
4．（2024·北京平谷·模拟预测）如图a所示，边长 的单匝正方形线框cdef放置在足
够长的水平长木板上，在宽度也为L的区域有竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小
，线框质量 。现对线框施加一水平向右的力 使线框由静止开始向右运动，de
边离开磁场时撤去外力F，线框速度随时间变化的图像如图b所示。g取 。求：
（1）线框与木板间的动摩擦因素 ；
（2）线框的总电阻 ；
（3）线框在整个运动过程中所受摩擦力的冲量大小 。
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【详解】（1）根据题意，由图 可知，线框在 时， 进入磁场区域，且恰好以
的速度匀速运动，线框在 前做匀加速直线运动，加速度为由牛顿第二定律有
解得
（2） 进入磁场区域，感应电动势为
感应电流为
安培力为
又有
联立解得
，
（3）线框在从进入磁场到离开磁场的时间为
线框在整个运动过程中由动量定理有
解得
5．（2023·浙江温州·一模）如图甲所示，间距为L=0.2m的平行金属导轨由上方水平区域、
左侧竖直区域、下方倾斜区域依次对接组成。上方导轨右端连接电容C=0.1F的电容器，长度
的倾斜金属导轨下端连接阻值R=1.8Ω的定值电阻。开关S断开时，电容器极板所带
的电荷量q=0.08C质量m=1g的导体杆ab静止在水平导轨上。t=0时刻闭合开关S，导体杆ab
受到安培力开始向左运动，经过一段时间导体杆达到匀速；此后，t 时刻导体杆无碰撞通过
1
对接点CC′进入竖直导轨运动，竖直导轨上端DD′略错开CC′，t 时刻导体杆进入与水平方向
2
成30°角的倾斜导轨匀速下滑。已知整个空间存在方向竖直向下的匀强磁场，磁感应强度B随
时间t变化的图像如图乙所示，其中B =0.5T，B =0.3T，t 、t 未知；与导轨始终垂直且接触
1 2 1 2良好的导体杆ab的电阻r=0.9Ω，与竖直导轨间的动摩擦因数μ=0.25；不计其余轨道摩擦阻力
和电阻，导体杆ab通过轨道连接处无机械能损失。
（1）导体杆ab在上方水平导轨向左匀速运动时，a、b两端点的电势φ _____φ （选填“>”或
a b
“<”）；在下方倾斜导轨向下滑行时，a、b两端点的电势φ _____φ （选填“>”或“<”）；
a b
（2）求导体杆ab在上方水平轨道匀速运动时，电容器极板所带的电荷量q′；
（3）求导体杆ab在下方倾斜导轨匀速下滑过程中，整个回路的热功率P；
（4）求导体杆ab在竖直导轨上运动的时间t。
【答案】（1）>，<；（2）0.04C；（3）0.025W；（4）
【详解】（1）导体杆ab在上方水平导轨向左匀速运动时，根据左手定则可知，电流方向由a
流向b，所以a点的电势φ 大于b点电势φ ；在下方倾斜导轨向下滑行时，导体杆为电源，
a b
根据右手定则可知，a点的电势φ 小于b点电势φ ；
a b
（2）导体杆ab在上方水平轨道匀速运动时，流过导体杆的电流为零，则
联立解得
（3）导体杆ab在下方倾斜导轨匀速下滑过程中，有
整个回路的热功率为
联立解得（4）t ~t 时间内，由于穿过倾斜导轨的磁通量发生变化，从而产生感应电流，根据左手定则
1 2
可知，导体杆ab受到水平向左的安培力，水平向右的支持力，竖直向下的重力和竖直向上的
摩擦力，所以
联立解得
