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专题09 带电粒子在叠加场中的运动
命题预测
在2025 年高考中，带电粒子在叠加场中的运动在高考物理中占据重要地位，是检验学生
综合运用电场、磁场等物理知识解决复杂问题的能力的重要考点。在命题方式上，这类题目
通常以综合性强的计算题形式出现，可能涉及电场、磁场、重力场等多个叠加场的组合，要
求考生分析带电粒子在这些叠加场中的受力情况、运动轨迹、速度变化等，并运用相应的物
理公式和定理进行计算和推理。
复习备考时，考生应首先深入理解叠加场的基本原理和带电粒子在其中的运动规律，掌
握电场力、洛伦兹力、重力等力的计算方法和叠加原理。同时，考生需要熟悉相关的物理公
式和定理，并能够灵活运用它们解决具体问题。此外，考生还应注重实践练习，通过大量做
题来提高自己的解题能力和速度。
高频考法
1.带电粒子在叠加场中做直线运动
2.带电粒子在叠加场中做匀速圆周运动
3.带电粒子在叠加场中的变速圆周运动
4.带电粒子在叠加场中做旋进运动
5.带电粒子在叠加场中的一般曲线运动
6.带电粒子在叠加场中含动量问题
考向一：带电粒子在叠加场中的直线运动
1.带电粒子在电场和磁场的叠加场中做直线运动，电场力和洛伦兹力一定相互平衡，因此可利用二力平衡
解题。
2.带电粒子在电场、磁场、重力场的叠加场中做直线运动，则粒子一定处于平衡状态，因此可利用平衡条
件解题。
考向二：带电粒子在叠加场中的圆周运动
1.带电粒子做匀速圆周运动，隐含条件是必须考虑重力，且电场力和重力平衡。
2.洛伦兹力提供向心力和带电粒子只在磁场中做圆周运动解题方法相同。
考向三：配速法处理带电粒子在叠加场中的运动
1.若带电粒子在磁场中所受合力不会零，则粒子的速度会改变，洛伦兹力也会随着变化，合力也会跟着变
化，则粒子做一般曲线运动，运动比较麻烦，此时，我们可以把初速度分解成两个分速度，使其一个分速
度对应的洛伦兹力与重力（或电场力，或重力和电场力的合力）平衡，另一个分速度对应的洛伦兹力使粒
子做匀速圆周运动，这样一个复杂的曲线运动就可以分解分两个比较常见的运动，这种方法叫配速法。
1
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2.几种常见情况：
常见情况
处理方法
初速度
为0，
有重力
把初速度0，分解一个向左的速度v1和一个向右的速度v1
初速度
为0，
不计重
力
把初速度0，分解一个向左的速度v1和一个向右的速度v1
初速度
为0，
有重力
把初速度0，分解一个斜向左下方的速度v1
和一个斜向右上方的速度v1
初速度
为v0，
有重力
把初速度v0，分解速度v1和速度v2
01 带电粒子在叠加场中做直线运动
1．空间中存在磁感应强度为B 的匀强磁场（未画出），两相同极板A 与B 竖直放置在磁场中，极板间的
电压为U，间距为d，其中极板A 带正电。一带电微粒由A 板附近的M 点沿直线运动到B 板附近的N 点，
如图所示。下列说法正确的是（ ）
2
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A．微粒带负电
B．磁场方向垂直于纸面向里
C．微粒运动的速度大小
D．同时减小微粒的速度大小和极板间的距离，其他条件不变，微粒仍有可能在A、B 板间沿直线运动
【答案】B
【详解】AB．极板A 带正电，电场方向水平向右，粒子受到重力、电场力与洛伦兹力作用做直线运动，则
粒子一定做匀速直线运动，合力为0，若粒子带负电，粒子所受重力方向竖直向下，电场力方向一定水平
向左，根据左手定则可知，当磁场垂直于纸面向里时，洛伦兹力方向垂直于MN 斜向右下方，此时，合力
一定不为0，当磁场垂直于纸面向外时，洛伦兹力方向垂直于MN 斜向左上方，此时，合力也一定不为0，
可知，粒子一定带正电，重力方向竖直向下，电场力方向水平向右，根据左手定则可知，当磁场垂直于纸
面向里时，洛伦兹力方向垂直于MN 斜向左上方，此时，合力可能为0，当磁场垂直于纸面向外时，洛伦
兹力方向垂直于MN 斜向右上方，此时，合力一定不为0，结合上述，粒子带正电，磁场垂直于纸面向里，
故A 错误，B 正确；
C．令粒子质量为m，结合上述，根据平衡条件有
解得
故C 错误；
D．结合上述可知，重力、电场力与洛伦兹力的合力为0，重力为一个恒力，根据平衡条件可知，三个力能
够构成一个直角三角形，其中重力对应的直角边一定，若同时减小微粒的速度大小和极板间的距离，即减
小洛伦兹力，增大电场力，由于电场力方向不变，则这三个力不可能再构成一个闭合的直角三角形，即合
力不可能为0，微粒不可能在A、B 板间沿直线运动，故D 错误。
3
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故选B。
02 带电粒子在叠加场中做匀速圆周运动
如图所示，竖直面内的平面直角坐标系xoy 的第二象限内布满了一个匀强电场，方向与x 轴正方向夹60°角，
其它三个象限布满了电场强度为
、方向竖直向上的匀强电场。质量为m、电荷量为q 的带正电微粒在x
轴上的A 点
由静止释放，它会在上方匀强电场的作用下开始运动，并从y 轴上的P 点
射入
第一象限，第一象限和第四象限布满了匀强磁场，方向垂直于坐标系平面向外，之后观察到该粒子会以垂
直于x 轴方向的速度经过C 点，g 为重力加速度，求：
（1）第二象限内匀强电场的电场强度
的大小；
（2）微粒在第一象限和第四象限中的运动过程所用的总时间t；
（3）若第三象限内某处存在一个方向垂直于坐标系平面、边界分别与x，y 轴平行的矩形磁场区域，该区
域的最小面积为S，观察到微粒通过该区域可将速度方向调整至x 轴垂直的方向后射出该区域，则该矩形
区域的磁感应强度
与第一、四象限内磁场磁感应强度
的比值为多少。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
或
【知识点】带电粒子在叠加场中做匀速圆周运动、带电物体（计重力）在匀强电场中的直线运动
【详解】（1）带正电微粒在第二象限做匀加速运动，位移为
4
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位移与
轴正方向的夹角为
解得
根据平衡条件可得
解得第二象限内匀强电场的电场强度
的大小为
（2）带正电微粒在第二象限，根据牛顿第二定律可得
根据动力学公式
解得
带正电微粒在第一、四象限中，由于
洛伦兹力提供向心力，带电微粒做圆周运动，如图所示
5
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根据几何关系有
微粒在第一象限和第四象限中的运动过程所用的总时间为
（3）若磁感应强度
方向为坐标系平面垂直向外，根据几何关系有
根据洛伦兹力提供向心力
可得
该矩形区域的磁感应强度
与第一、四象限内磁场磁感应强度
的比值为
若磁感应强度
方向为坐标系平面垂直向里，根据几何关系有
6
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该矩形区域的磁感应强度
与第一、四象限内磁场磁感应强度
的比值为
03 带电粒子在叠加场中的变速圆周运动
利用电场与磁场控制带电粒子的运动，在现代科学实验和技术设备中有着广泛的应用。如图，一粒子源不
断释放质量为m，带电量为+q 的粒子，以一定速度
垂直左面
，射入边长为2L 的正方体区域
。可调整粒子源位置，使带电粒子在边长为L 的正方形
区域内入射。以
为原
点建立如图所示直角坐标系
，不计粒子重力及粒子间的相互作用。若仅在正方体区域中加上沿+x
轴方向的匀强电场，要让所有粒子都到达前表面
，所加电场强度的最小值设为
；若仅在正方体
区域中加上沿+x 轴方向的匀强磁场，要让所有粒子都到达底面
，所加磁感应强度的最小值设为
。
（
）
（1）求
和
的值。
（2）在正方体区域同时加上沿+x 轴方向大小为
的匀强磁场和+z 方向大小为
的匀强电场，求从I 点
垂直左面入射的粒子离开正方体区域时的位置坐标。
（3）在正方体区域同时加上大小分别为
的匀强电场及
的匀强磁场，方向都沿+x 轴。若垂直入射到
区域内不同位置的粒子，有的从前表面
离开正方体区域，有的从底面
离开正方体区
域，则
应满足什么条件？
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【答案】（1）
；（2）（
，
，
）；（3）见解析
【知识点】带电粒子在叠加场中的变速圆周运动、带电粒子在匀强电场中做类抛体运动的相关计算
【详解】（1）正方体区域内加上沿MN 的匀强电场时，粒子进入正方体区域后做类平抛运动。
当射入M 点的粒子恰好经过P 点时，所加的匀强电场的电场强度具有最小值，则
联立知，电场强度的最小值
当正方体区域内加上沿MN 方向的匀强磁场时，粒子进入正方体区域后做匀速圆周运动。
当射入M 点的粒子恰好经过Q 时，磁感应强度具有最小值，此时粒子做圆周运动的半径为
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R=2L
由牛顿第二定律
解得磁感应强度的最小值
（2）当
时
取
可见粒子以v 向右匀速运动，同时以v 顺时针方向在竖直面内做匀速圆周运动,其轨道半径
假设从上表面离开，则
解得
运动的时间
沿+y 方向运动，则
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解得
y = 1.52L<2L
可见假设成立，离开位置坐标为(L,1.52L,2L)
（3）x 轴方向获得的速度平行于磁场方向，不受洛伦兹力，粒子沿+x 方向做匀加速直线运动，在垂直x 轴
平面做匀速圆周运动时，半径
加速度
当从J 点入射粒子恰好从前面离开
对应的
，则
解得
当从H 点入射粒子恰好从底边离开时
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解得
可见当
时，粒子全部从前面离开;当
时，粒子全部从底面离开；当
时。两个表
面均匀粒子离开。
04 带电粒子在叠加场中做旋进运动
4.在空间中存在水平向右的匀强磁场和匀强电场，磁感应强度为B，电场强度为E，x 轴水平向右。在O 点，
一个
粒子（氦原子核）以速度
，与x 轴夹角60°的方向，射入电磁场，已知质子质量为m，电荷量为
q，不计
粒子的重力。求：
（1）
粒子离x 轴的最远距离；
（2）
粒子从O 点射出后，第3 次与x 轴相交时的动能。
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【答案】（1）
；（2）
。
【详解】（1）由题意可知
粒子的质量为
电荷量为
将
粒子的初速度分解成沿
轴方向分速度
与垂直
轴方向分速度
，则有
由于
与磁场方向平行，不产生洛伦兹力，电场方向沿着
轴方向，只影响
，不影响
，故
粒子在电
磁场中的运动可分解为：垂直于
轴的平面内做匀速圆周运动，以及沿
轴方向的匀加速直线运动。对于
垂直于
轴平面内的匀速圆周运动，有
解得圆周运动半径
故
粒子离x 轴的最远距离为直径的长度
；
（2）
粒子从O 点射出后，第3 次与x 轴相交时，由垂直于
轴的平面内的匀速圆周运动，可知，此过程
经历的时间
沿
轴方向的匀加速直线运动所通过的位移
又加速度
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解得
粒子从O 点射出后，第3 次与x 轴相交过程，由动能定理
联立解得
粒子从O 点射出后，第3 次与x 轴相交时的动能
05 带电粒子在叠加场中的一般曲线运动
5.空间中存在竖直向下、电场强度为E 的匀强电场和垂直纸面向里、磁感应强度大小为B 的匀强磁场。电
场、磁场均未画出。一质量为m、电荷量为q（
）的粒子只在电场力和洛伦兹力作用下，从I 点由静
止开始运动，以I 点为原点建立平面直角坐标系，粒子运动轨迹如图所示，粒子在轨迹上任意一点的坐标
为（x，y）。J 点是轨迹上的第一个最低点，以粒子开始运动时为计时起点，则下列说法正确的是
（ ）
A．J 点的坐标为
B．粒子在轨迹上任意点的速率为
C．
时，粒子速度与
轴正方向夹角为
D．若电场强度的大小突然加倍，则粒子可能做匀速直线运动
【答案】ABD
【知识点】带电粒子在叠加场中的一般曲线运动
【详解】A．粒子在I 点的速度为0，根据配速法，将粒子在I 点的速度配成沿x 轴正方向的
与沿x 轴负
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方向的
，且使得x 轴正方向的
所受洛伦兹力与电场力平衡，即有
粒子的运动可以看为x 轴正方向的匀速直线运动与逆时针运动的匀速圆周运动两个分运动，则有
解得
圆周运动的周期
当粒子运动到J 点时，根据分运动的等时性与独立性有
，
解得
，
即J 点的坐标为
，故A 正确；
B．粒子运动过程中，洛伦兹力不做功，根据动能定理有
解得
故B 正确；
C．结合上述可知
此时，圆周分运动的线速度方向与匀速直线分运动的速度方向垂直，由于两分速度大小相等，可知，此时
粒子合速度与
轴正方向夹角为
，故C 错误；
D．结合上述可知，当粒子运动到最低点时，圆周分运动的线速度方向与匀速直线分运动的速度方向均沿x
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轴正方向，此时的洛伦兹力
根据左手定则可知，此时洛伦兹力的分析沿y 轴负方向，于电场方向相反。若此时电场强度的大小突然加
倍，即电场力与洛伦兹力大小相等，方向相反，粒子所受合力为0，则粒子随后将以
的速度，沿x 轴正
方向做匀速直线运动，故D 正确。
故选ABD。
06 带电粒子在叠加场中含动量问题
如图甲，一质量为m 足够长的绝缘板静止在光滑水平面上，板的左端有一个质量也为m 的带电小物块，其
电荷量为
。距绝缘板左端
到
之间存在电场和磁场，匀强磁场方向垂直于纸面向里，匀强电
场方向竖直向下。现让带电小物块在水平恒力的作用下从静止开始向右运动。小物块到达电、磁场区域的
左边界时刻，撤去水平恒力，此时绝缘板的速度大小为
。带电小物块从开始运动到前进
的过程中，速
度随位移变化的
图像如图乙，其中
段为直线，重力加速度为g。求：
（1）带电小物块从开始运动到电磁场左边界的时间t；
（2）小物块与绝缘板的动摩擦因数
和水平恒力F 的大小；
（3）从开始运动到小物块前进
过程，系统克服摩擦力所做的功
；
（4）电场强度E 和磁感应强度B 的大小。
【答案】（1）
；（2）
，
；（3）
；（4）
，
【知识点】带电粒子在叠加场中含动量问题、带电粒子在叠加场中做直线运动
【详解】（1）带电小物块在恒力作用下做匀加速运动，根据运动学公式
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解得
（2）带电小物块运动
过程，根据动量定理
对绝缘板
解得
对小物块
解得
（3）撤力后，系统动量守恒，设小物块前进
时，绝缘板的速度大小为
，则有
小物块前进
过程，系统由功能关系有
联立解得
（4）撤去恒力后，带电小物块在电、磁场区域时，竖直方向
水平方向，小物块所受摩擦力为
根据动量定理，得
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化简得
依题意可知
解得
由图乙可知
解得
1．如图，水平地面上竖直固定着两根相同的圆柱形粗糙绝缘杆，将两相同的带电小环
和
分别套在两杆
上，其电荷量均为
、质量均为
。小环的直径略大于杆的直径。在套
环的杆所处空间加一水平方向、
电场强度大小为
的匀强电场，在套
环的杆所处空间加一水平方向、磁感应强度大小为
的匀强磁场，
在水平面高度相同的位置同时分别给
、
一个竖直向上的大小相等的初速度
。发现
、
上升到最高点
时高度相同。若带电小环
、
与两杆的动摩擦因数均为
，重力加速度大小为
，则（ ）
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A．带电小环
从开始到上升到最高点的时间大于带电小环
从开始到上升到最高点的时间
B．初速度
应满足
C．带电小环
与
到达最高点后，均可以从最高点返回初始位置
D．带电小环
从开始到上升到最高点的时间
满足
【答案】BD
【详解】A．对环
进行分析，根据牛顿第二定律可得
解得
可知，环
向上做匀减速直线运动。对环
进行分析，根据牛顿第二定律可得
解得
可知，环
向上做加速度减小的减速直线运动。由于当两者速度都为零时，其位移相同，可以作出环
和
环
运动的
图像分别如图中的实线和虚线所示
由于
图像中，图像与时间轴所围几何图形的面积表示位移，由题意可知，两者上升到最高点位移相同，
则有
故A 错误；
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B．
图像某点切线斜率的绝对值表示加速度大小，结合上述图像可知，初始的加速度
即有
解得
故B 正确；
C．带电小环
与
到达最高点后，当
时，环
将静止于最高点处，环
向下做加速度减小的加速
运动，若加速度能够减小到0，之后将做匀速直线运动，环b 最终回到初始位置，故C 错误；
D．对环a 进行分析，结合上述，利用逆向思维，根据速度与位移的关系有
对环
进行分析，根据动量定理可得
即有
联立可得
故D 正确。
故选BD。
2．如图所示，水平固定的平行极板M、N 间距为d，两板间存在电场强度大小为E 的匀强电场（图中未画
出）和垂直纸面向外、磁感应强度大小为B 的匀强磁场。一质量为m、电荷量为q 的带正电的粒子由两板
间的中点P 以大小为
的初速度水平向右射入两极板间的区域，该粒子恰好沿直线运动。仅将粒子初速度
大小调整为
，发现粒子由Q 点（未标出）沿水平方向射出两极板间的区域。不计粒子重力，下列说法
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正确的是（ ）
A．M 板带正电，N 板带负电
B．磁感应强度大小
C．Q 与P 在同一水平线上
D．d 的大小可能等于
【答案】BCD
【详解】A．带正电的粒子恰好沿直线运动，该运动为匀速直线运动，根据左手定则可知，在P 点受到竖
直向下的洛伦兹力，故其受到竖直向上的电场力，可知N 板带正电，M 板带负电，故A 错误；
B．结合上述，粒子受力平衡，则有
解得
故B 正确；
C．当射入速度大小为
时粒子做匀速直线运动，由此可知，可将
分解为水平向右的
和
，则满足
即有
可知，粒子一个分运动为以初速度
向右匀速直线运动，另一个分运动为以速度
在竖直平面内做圆周运
动，设其半径为r，则有
解得
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P 点为粒子轨迹最高点，只有当粒子运动至轨迹最高点时，其才能沿水平方向射出两极板间的区域，
此时速度沿水平方向向右，可知Q 点与P 点在同一水平线上，故C 正确；
D．结合上述可知，粒子能射出两板间区域，可知
结合上述解得
故D 正确。
故选BCD。
3．如图所示，倾角为53°的光滑绝缘无限长的斜面处于匀强磁场中，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面
向外。可视为质点的小球质量为m，带电量为+q，从斜面顶端由静止释放，t 时刻小球刚好离开斜面。已知
重力加速度为g，
，整个运动过程中小球带电量保持不变，下列说法正确的是（ ）
A．
B．小球在斜面上运动的长度为
C．小球离开斜面之前斜面对小球的弹力的冲量大小为
D．小球离开斜面后距分离点上升的最大高度为
【答案】ABD
【详解】A．小球上行过程中洛伦兹力垂直斜面向上，小球在下滑至某位置时离开斜面。离开斜面前满足
可得
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恒定。离开斜面瞬间满足
可得
由匀变速直线运动规律得
可得
故A 正确；
B．小球在斜面上运动的长度为
故B 正确；
C．小球离开斜面之前斜面对小球的弹力的冲量大小为
故C 错误；
D．小球离开斜面后做摆线运动，从离开斜面至到达最高点的过程中由功能关系可得
在水平方向上由动量定理可得
联立，可得
故D 正确。
故选ABD。
4．如图所示的正交的电磁场中，匀强电场方向水平向右，匀强磁场方向沿水平方向垂直纸面向里，一个
质量为m、电荷量为q 的带正电的小球从P 点以一定的速度抛出，小球恰好能做直线运动，已知电场强度
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，磁场的磁感应强度大小为B，重力加速度为g，则下列说法正确的是（ ）
A．小球抛出的初速度大小为
B．小球运动过程中电势能增加
C．某时刻撤去电场，此后小球运动的最小速度为0
D．某时刻撤去电场，此后小球在竖直方向上能上升的最大高度为
【答案】AC
【详解】A．由题意可知，重力与电场的合力为
由于小球恰好能做直线运动，则由平衡条件可知
解得小球抛出的初速度大小为
故A 正确；
B．由A 选项可知，小球所受洛伦兹力方向为斜向左上方与水平方向的夹角为45°，由左手定则可知小球的
速度方向为斜向右上方与水平方向的夹角为45°，小球所受电场力做正功，电势能减少，故B 错误；
C．某时刻撤去电场，撤去电场时将小球的速度分解为水平方向的分速度
竖直方向的分速度为
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此后小球的运动可以看成是以速度v1的匀速直线运动和以速度v2的匀速圆周运动，当小球做匀速圆周运动
的分运动到最高点时合速度为零，故C 正确；
D．某时刻撤去电场，此后小球在竖直方向上能上升的最大高度为
故D 错误。
故选AC。
5．在中国古代，人们利用磁体在地磁场中受力的特点制作司南用以辨别方向，如今在科学研究中，科学
家常用电场和磁场控制带电粒子的运动。如图甲所示，某一竖直方向存在上、下宽度分别为
和
的匀强
电场与匀强磁场，匀强电场竖直向下，匀强磁场沿水平方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为
。现有一
质量为
、电荷量为
的带正电粒子（不计重力）从电场内紧贴上边界的
点由静止释放，运动到磁场的
下边界的
点（图甲中未画出）时粒子的运动轨迹正好与下边界相切。若以上电场和磁场同时存在于一足
够大的区域，如图乙所示，重新让粒子从
点由静止释放，经过时间粒子第一次到达最低点
，下列说
法正确的是（ ）
A．甲图中粒子从
点运动到
点的时间为
B．乙图中粒子经过
点时速度大小为
C．乙图中O、N 两点的竖直距离为
D．乙图中O、N 两点的水平距离为
【答案】BD
【详解】A．设粒子在磁场中的速率为v，半径为R，在电场中由动能定理，有
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洛伦兹力充当向心力，有
由几何关系可得
综上可得
粒子在电场中的运动时间为
在磁场中的运动时间为
甲图中粒子从
点运动到
点的时间为
故A 错误；
BC．将粒子从O 到N 的过程中某时刻的速度分解为向右和向下的分量
、
，再把粒子受到的洛伦兹力
分别沿水平方向和竖直方向分解，两个洛伦兹力分量分别为
，
设粒子在最低点N 的速度大小为
，ON 的竖直距离为y。水平方向由动量定理可得
由动能定理可得
解得
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，
故B 正确，C 错误；
D．竖直方向由动量定理可得
其中
解得O、N 两点的水平距离为
故D 正确。
故选BD。
6．如图所示，平面直角坐标系xOy 中，在第一象限内
轴与直线
之间和第四象限内存在垂直xOy
平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为
；同时第四象限内存在沿
轴正方向的匀强电场，电场强度大
小为
；位于第二象限的MN 与PQ 两金属板之间存在加速电场，两板间电压
。质量为
，电
荷量为
的粒子从MN 的中点由静止开始加速，从
轴上的
点垂直
轴进入第一象限，通过直线
上的
点和
轴上的点（
点和点图中均未画出）进入第四象限。已知
、
间的距离
，不计粒子的重力。求：
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(1)粒子在第一象限内的磁场中做圆周运动的轨道半径；
(2) 点的坐标以及粒子从
点运动到点的时间；
(3)粒子在第四象限运动过程中距离
轴最近时的位置坐标。
【答案】(1)
(2)
，
(3)
【详解】（1）粒子在电场中加速过程，根据动能定理得
解得
带电粒子在磁场中运动过程，洛伦兹力提供向心力，有
解得
（2）粒子在第一象限内的运动轨迹如图所示
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轨迹圆心在
轴上的
点，在三角形
中，根据正弦定理有
解得
根据几何关系可判断
所以
则点的坐标为
，粒子自
运动到
的时间
解得
粒子自
运动到的时间
解得
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综上，粒子自
运动到的时间
（3）根据（2），粒子以与
轴正方向夹角为
的方向进入第四象限，将粒子速度分解为沿
轴负方
向的分速度
和沿
轴正方向的分速度
，则有
第四象限内电场和磁场叠加刚好使粒子沿
轴负方向做匀速直线运动，沿
轴正方向的分速度使粒子做匀
速圆周运动，粒子实际轨迹为两运动的叠加。设粒子做圆周运动的半径为
，则有
解得
可得粒子与
轴的最小距离为
当匀速圆周运动的速度偏转
时，粒子第一次距离
轴最近，此过程经历的时间为
粒子第一次距离
轴最近时的
轴坐标为
在圆周运动的一个周期内粒子沿
轴方向运动的位移大小为
距离
轴最近时
轴的坐标为
运动过程中距离
轴最近位置的坐标为
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7．利用电场和磁场实现粒子偏转是科学仪器中广泛应用的技术。如图1 所示，
平面左侧存在沿y 轴负
方向的匀强电场，右侧存在沿x 轴正方向的匀强磁场。一质量为m、电荷量为q 的带正电的粒子，从
点以初速度
、沿着x 轴正方向射入电场，恰好从O 点进入磁场，再次从
点通过x
轴，不计粒子的重力。
(1)求匀强电场的电场强度大小E 和匀强磁场的磁感应强度大小B；
(2)从O 点进入磁场运动时间为
时，求粒子的位置坐标；
(3)如图2 所示，若在
平面左侧再加垂直
平面向里的匀强磁场，将上述带正电粒子从
点以初速度
、沿着x 轴正方向射入电磁场，运动轨迹恰好与x 轴负半轴相切。
求所加匀强磁场的磁感应强度大小
。
【答案】(1)
，
(2)
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(3)
【详解】（1）粒子在电场中做类平抛运动，则有
，
解得
粒子从O 点进入磁场时水平方向的分速度为
，竖直方向的分速度为
结合上述解得
粒子接入右侧磁场后做螺旋运动，水平向右速度为
的匀速直线运动，
平面方向速度为
的匀速圆周
运动，则有
，
，
解得
，
（2）粒子在磁场中水平向右速度为
的匀速直线运动，结合上述可知
由于
表明
平面方向速度为
的匀速圆周运动对应圆心角为
，根据几何关系有
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，
解得
，
即粒子的位置坐标为
。
（3）将速度
分解为水平向右的
和水平向左的
，且有
，
此时将粒子的运动分解为水平向右的速度为
的匀速直线运动与速度为
的匀速圆周运动，则有
由于粒子轨迹恰好与x 轴负半轴相切，则有
结合上述解得
8．如图所示，在平行板电容器的两板之间，存在相互垂直的匀强磁场和匀强电场，磁感应强度
，
方向垂直纸面向里，电场强度
，
为板间中线。紧靠平行板右侧边缘
坐标系的第一
象限内，有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度
，磁场边界
和
轴的夹角
。
一束带电量
的同位素正离子从
点射入平行板间，沿中线
做直线运动，穿出平行板后从
轴上坐标为
的
点垂直
轴射入磁场区，离子通过
轴时的速度方向与
轴正方向夹角在
之间，不计离子重力，求：
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（1）离子运动的速度大小；
（2）离子从
运动到
轴的最长时间；
（3）若只改变
区域内磁场的磁感应强度大小，使离子都不能打到
轴上，磁感应强度大小
应满足
什么条件？
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）离子在两板间时有
解得：
（2）当通过x 轴时的速度方向与x 轴正方向夹角为45°时，到达x 轴上的M 点，如图所示
则
所以
当通过x 轴时的速度方向与x 轴正方向夹角为90°时，到达x 轴上的N 点，则
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所以
所有离子速度都相同，当离子运动路程最长时，时间也最长，由图知当
时离子运动时间最长，则
（3）由牛顿第二定律有
则
当
时，同位素离子质量最大
若质量最大的离子不能穿过直线OA，则所有离子必都不能到达x 轴，由图可知使离子不能打到x 轴上的最
大半径
如图所示
设使离子都不能打到x 轴上，最小的磁感应强度大小为
，则
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解得
则
9．如图甲为一种真空示波管，电子从炽热的灯丝K 发出（初速度不计），经灯丝与板间的加速电压
加
速，自板中心孔沿中心线射出，然后进入两块平行金属板形成的偏转电场中，两板间的距离为d，板长为
L，板间电压随时间变化规律如图乙所示，其中T 远大于电子自发出到打在荧光屏上的时间。电子进入电
场时的速度与电场方向垂直，金属板右端到荧光屏距离为z（其大小可调），金属板到荧光屏之间存在与
金属板平行的匀强磁场，磁感应强度为B，当加在金属板上的电压为零时，电子打在荧光屏上的O 点，以
O 点为坐标原点，建立直角坐标系xOy，坐标平面与磁感应强度方向垂直，从左向右看，垂直金属板向上
为y 轴正方向，水平向右为x 轴正方向。已知电子的质量为m，元电荷为e，电子均能从金属板之间射出。
求：
（1）电子离开金属板时的最大侧移量；
（2）假设上下金属板间的偏转电压保持
不变，逐步增大z 值，请在坐标纸上定性画出电子打到荧光屏
上的位置，并求这些位置距坐标原点O 的最大距离；
（3）取
，电压恢复为锯齿波，经过较长时间，荧光屏上会有电子打上，请写出电子所打到
位置的横坐标x 与纵坐标y 间的函数关系。
【答案】（1）
；（2）图见解析，
；（3）
（
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）
【详解】（1）粒子在加速电场中只有电场力做功，根据动能定理有
解得电子进入偏转电场的速度大小为
电子进入偏转电场后，在电场力作用下做类平抛运动，设电子运动的时间为
，电子在水平方向做匀速直
线运动，则有
在竖直方向电子做初速度为0 的匀加速运动，电子在偏转电场中的加速度为
所以电子在偏转电场方向上的侧位移为
当偏转电压最大时，侧移量最大，则有
（2）电子离开金属板时沿板方向速度为
偏转电压保持
不变，垂直板方向的速度为
粒子沿磁场方向运动的速度不受洛伦兹力作用，沿
方向匀速运动，在
平面投影做圆周运动，轨迹半
径为
逐步增大z 值，电子打到荧光屏上的位置如图所示
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各点距坐标原点
的最大距离为
解得
（3）设电子在磁场中运动的时间为，则有
可知电子在垂直于磁场的平面内转过的圆心角为
，设电子打在荧光屏上的位置坐标为（
，
），如图
所示
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则有
，
其中
联立可得
（
）
10．如图所示，某种离子扭转器可以将射向不同方向的粒子，通过改变电场或磁场的大小和方向，使其经
过相同的点，该装置由间距均为L 的三块带有小孔的平行金属板M、N、P 构成，三块金属板的中心小孔
O、O1、O2连线与三块金属板垂直，粒子可以通过M 板上的中心小孔O，向各个方向发射，让粒子经过N
板上的小孔a，最后从P 板上的小孔O2射出，已知小孔a 在O1的正上方，到O1的距离为
。以
金属板M 的中心O 为坐标原点，以水平向内为x 轴，竖直向上为y 轴，垂直于金属板向右方向为z 轴，建
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立直角坐标系。M、N 板之间的区域为I 区，N、P 板间的区域为II 区。从正离子源射出的粒子质量为m，
带电量为q，以速度v0从金属板的小孔O 射入（不计粒子重力）。
（1）若粒子沿着y 轴正方向射入，在I 区加上与x 轴平行的匀强磁场B1，在II 区加上与y 轴平行的匀强电
场E1，求B1，E1的大小及方向；
（2）若粒子入射的方向在xOz 平面内，与x 轴正方向夹角α（为锐角），在I 区加上沿z 轴负方向的匀强
磁场B2，同时调整M、N 间的距离，使I 区的宽度达到最小值，求B2及I 区宽度的最小值
；
（3）在满足（2）的条件下，在II 区加平行于金属板的电场E2。求E2的大小。
【答案】（1）
，方向沿x 轴负方向；
，方向沿y 轴正方向；（2）
，
；（3）
【详解】（1）粒子在区域I 中做匀速圆周运动，圆心在z 轴上，根据左手定则可知，磁场方向沿x 轴负方
向，设轨道半径为R1，离开I 区时速度方向与竖直方向夹角为θ，如图所示
有几何关系可得
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由洛伦兹力提供向心力得
联立可得
，
在区域II 中粒子做类斜抛运动，则
又
联立可得
方向沿y 轴正方向。
（2）将初速度分解到沿z 轴方向和x 轴方向，根据左手定则可知，粒子沿z 轴方向做匀速直线运动，在垂
直z 轴平面内做匀速圆周运动，a 点恰好是圆周运动的最高点，因此
联立可得
由
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联立解得
（3）在通过a 点后，若通过小孔O2，在z 轴方向
在x 轴方向上
其中
在y 轴方向上
又
由以上各式联立解得
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