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11 磁 场
[-考点-10-] 带电粒子在叠加场中的运动
叠加场：电场、磁场、重力场叠加，或其中某两场叠加．
1．是否考虑粒子重力
(1)对于微观粒子，如电子、质子、离子等，因为一般情况下其重力与静电力或洛伦兹力相
比太小，可以忽略；而对于一些宏观物体，如带电小球、液滴、尘埃等一般应当考虑其重
力．
(2)在题目中有明确说明是否要考虑重力的，按题目要求处理．
(3)不能直接判断是否要考虑重力的，在进行受力分析与运动分析时，要结合运动状态确定
是否考虑重力．
2．带电粒子在叠加场中常见的几种运动形式
运动性质
受力特点
方法规律
匀速直
线运动
粒子所受合力为0
平衡条件
匀速圆
周运动
除洛伦兹力外，另外两力的合力为零：
qE＝mg
牛顿第二定律、圆周运动的规
律
较复杂的
曲线运动
除洛伦兹力外，其他力的合力既不为
零，也不与洛伦兹力等大反向
动能定理、能量守恒定律
3．处理带电粒子在叠加场中的运动的基本思路
典例1 (带电粒子在叠加场中的直线运动)如图所示，竖直平面内存在水平方向的匀强电
场，电场强度为E，同时存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，纸面内放
1
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置一光滑的绝缘细杆，与水平方向成θ＝45°角．质量为m、带电荷量为q 的金属小环套在
细杆上，以初速度v0沿着细杆向下运动，小环离开细杆后，恰好做直线运动，重力加速度
为g，则以下说法正确的是( )
A．小环可能带负电
B．电场方向可能水平向右
C．小环的初速度v0＝
D．小环离开细杆时的速度v＝
答案 C
解析 小环离开细杆后，恰好做直线运动，该运动一定是匀速直线运动，如果是变速运
动，洛伦兹力大小会变化，而洛伦兹力又垂直速度方向，就一定要改变速度的方向，小环
做曲线运动；如果小环带负电荷，静电力方向不管是向左还是向右，小环均不可能平衡，
所以小环只能带正电，根据平衡条件，静电力向左，故电场方向水平向左，故选项A、B
错误；小环离开杆后做匀速直线运动，根据平衡条件，在平行杆的方向则有mgsin 45°＝
qEcos 45°，垂直杆的方向则有mgcos 45°＋qEsin 45°＝qvB，联立解得v＝，qE＝mg，故v
＝；小环在杆上运动过程，重力和静电力的合力垂直杆不做功，而支持力和洛伦兹力也不
做功，故小环在杆上的运动是匀速运动，小环的初速度为v0＝v＝，故选项C 正确，D 错
误．
典例2 (带电粒子在叠加场中的匀速圆周运动)如图所示，一带电液滴在相互垂直的匀强电
场和匀强磁场中刚好做匀速圆周运动，其轨道半径为R，已知该电场的电场强度大小为
E、方向竖直向下；该磁场的磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里，不计空气阻力，设
重力加速度为g，则( )
A．液滴带正电
B．液滴比荷＝
C．液滴沿顺时针方向运动
D．液滴运动速度大小v＝
答案 C
解析 液滴在重力场、匀强电场、匀强磁场的复合场中做匀速圆周运动，可知qE＝mg，得
2
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＝，选项B 错误；静电力方向竖直向上，液滴带负电，选项A 错误；由左手定则可判断液
滴沿顺时针方向运动，选项C 正确；对液滴有qE＝mg，qvB＝m，联立得v＝，选项D 错
误．
典例3 (带电粒子在叠加场中的一般曲线运动)(多选)(2021·扬州中学高二期中)空间存在竖直
向下的匀强电场和水平方向(垂直纸面向里)的匀强磁场，如图所示，已知一离子在静电力
和洛伦兹力共同作用下，从静止开始自A 点沿曲线ACB 运动，到达B 点时速度为零，C 为
运动的最低点．不计重力，则( )
A．该离子带负电
B．A、B 两点位于同一高度
C．到达C 点时离子速度最大
D．离子到达B 点后，将沿原曲线返回A 点
答案 BC
解析 离子开始仅受到静电力作用由静止开始向下运动，可知离子受到的静电力方向向
下，与电场方向同向则该离子带正电，A 错误；洛伦兹力不做功，从A 到B，动能变化为
零，根据动能定理知，静电力做功为零，A、B 两点等电势，因为该电场是匀强电场，所以
A、B 两点位于同一高度，B 正确；根据动能定理知，离子到达C 点时静电力做功最多，则
速度最大，C 正确；离子在B 点的状态与A 点的状态(速度为零，电势能相等)相同，如果右
侧仍有同样的电场和磁场的叠加区域，离子将在B 点的右侧重复前面的曲线运动，不可能
沿原曲线返回A 点，D 错误．
典例4 (带电粒子在交变电、磁场中的运动)如图(a)所示的xOy 平面处于变化的匀强电场和
匀强磁场中，电场强度E 和磁感应强度B 随时间t 做周期性变化的图像如图(b)所示，y 轴正
方向为E 的正方向，垂直于纸面向里为B 的正方向，t＝0 时刻，带负电的粒子P(重力不计)
由原点O 以速度v0沿y 轴正方向射出，它恰能沿一定轨道做周期性运动．v0、E0和t0为已
知量，且＝，在0～t0时间内粒子P 第一次离x 轴最远时的坐标为(，)．求：
(1)粒子P 的比荷；
(2)t＝2t0时刻粒子P 的位置坐标；
3
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(3)带电粒子在运动中距离原点O 的最远距离L.
答案 (1) (2) (3)v0t0
解析 (1)0～t0时间内粒子P 在匀强磁场中做匀速圆周运动，当粒于所在位置的纵、横坐标
相等时，粒子在磁场中恰好经过圆周，所以粒子P 第一次离x 轴的最远距离等于轨道半径
R，
即R＝①
又qv0B0＝m②
又有＝
联立解得＝③
(2)设粒子P 在磁场中运动的周期为T，
则T＝④
联立①④式解得T＝4t0⑤
即粒子P 做圆周运动后磁场变为电场，粒子以速度v0垂直电场方向进入电场后做类平抛运
动，设t0～2t0时间内水平位移和竖直位移分别为x1、y1，则x1＝v0t0＝＝⑥
y1＝at0
2⑦
其中加速度a＝⑧
联立①③⑦⑧式解得y1＝＝R⑨
因此t＝2t0时刻粒子P 的位置坐标为
(v0t0,0)，如图中的b 点所示．
(3)分析知，粒子P 在2t0～3t0时间内，静电力产生的加速度方向沿y 轴正方向，由对称关系
知，在3t0时刻速度方向为x 轴正方向，位移x2＝x1＝v0t0；在3t0～5t0时间内粒子P 沿逆时
针方向做匀速圆周运动，往复运动轨迹如(2)中图所示，由图可知，带电粒子在运动中距原
点O 的最远距离L，即O、d 间的距离，则L＝2R＋2x1，解得L＝v0t0.
1.(多选)(2021·绵阳市月考)地面附近空间中存在着水平方向的匀强电场(未画出)和垂直纸面
向里的匀强磁场，一个带电油滴沿着与竖直方向成α 角的直线MN 运动，如图所示，由此
可以判断( )
4
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A．油滴一定做匀速运动
B．油滴可以做变速运动
C．如果油滴带正电，它是从N 点运动到M 点
D．如果油滴带正电，它是从M 点运动到N 点
答案 AD
解析 油滴做直线运动，受重力、静电力和洛伦兹力作用，因为重力和静电力均为恒力，
根据油滴做直线运动条件可知，油滴所受洛伦兹力亦为恒力．根据F＝qvB 可知，油滴必
定做匀速直线运动，A 正确，B 错误；根据做匀速直线运动的条件可知油滴的受力情况如
图所示，如果油滴带正电，由左手定则可知，油滴从M 点运动到N 点，C 错误，D 正确．
2.(多选)如图所示，实线表示在竖直平面内的电场线，电场线与水平方向成α 角，水平方向
的匀强磁场与电场正交，有一带电液滴沿斜向上的虚线L 做直线运动，L 与水平方向成β
角，且α>β，则下列说法中正确的是( )
A．液滴一定做匀速直线运动
B．液滴一定带正电
C．电场线方向一定斜向上
D．液滴有可能做匀变速直线运动
答案 ABC
解析 液滴受重力、静电力、洛伦兹力的共同作用而做匀速直线运动，合力为零，可判断
出洛伦兹力与静电力的方向，判断出液滴只有带正电才可能所受合力为零而做匀速直线运
动，此时电场线方向必斜向上，故A、B、C 正确，D 错误．
3.(多选)质量为m、电荷量为q 的微粒以速度v 与水平方向成θ 角从O 点进入方向如图所示
的正交的匀强电场和匀强磁场组成的混合场区，该微粒在静电力、洛伦兹力和重力的共同
作用下，恰好沿直线运动到A，下列说法中正确的是(重力加速度为g)( )
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A．该微粒一定带负电荷
B．微粒从O 到A 的运动可能是匀变速运动
C．该磁场的磁感应强度大小为
D．该电场的电场强度大小为
答案 AC
解析 若微粒带正电荷，它受竖直向下的重力mg、水平向左的静电力qE 和垂直OA 斜向
右下方的洛伦兹力qvB，知微粒不能做直线运动，据此可知微粒应带负电荷，它受竖直向
下的重力mg、水平向右的静电力qE 和垂直OA 斜向左上方的洛伦兹力qvB，又知微粒恰好
沿着直线运动到A，可知微粒应该做匀速直线运动，故A 正确，B 错误；由平衡条件得
qvBcos θ＝mg，qvBsin θ＝qE，得磁场的磁感应强度大小B＝，电场的电场强度大小E
＝，故C 正确，D 错误．
4.如图所示，空间中存在相互垂直的匀强电场和匀强磁场，有一带电液滴在竖直面内做半
径为R 的匀速圆周运动，已知电场强度为E，磁感应强度为B，重力加速度为g，则液滴环
绕速度大小及方向分别为( )
A.，顺时针
B.，逆时针
C.，顺时针
D.，逆时针
答案 C
解析 液滴在叠加场中做匀速圆周运动，知重力和静电力平衡，则液滴受到向上的静电力
可知液滴带负电，根据左手定则可知液滴做顺时针的匀速圆周运动，根据洛伦兹力提供向
心力有qvB＝m,又因为重力和静电力平衡，则有qE＝mg,解得v＝,故A、B、D 错误，C 正
确．
5.(多选)如图所示，空间存在竖直向下的匀强电场和垂直纸面向外的匀强磁场，一带电液滴
从静止开始自A 点沿曲线ACB 运动，到达B 点时速度为零，C 点是运动轨迹的最低点，不
计空气阻力，则以下说法中正确的是( )
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A．液滴一定带正电
B．液滴在C 点时的动能最大
C．从A 到C 过程液滴的电势能增大
D．从C 到B 过程液滴的机械能增大
答案 BCD
解析 从题图中可以看出，带电液滴由静止开始向下运动，说明重力和静电力的合力向下
洛伦兹力指向弧线内侧，根据左手定则可知，液滴带负电，故A 错误；重力向下，静电力
向上，且重力大于静电力，从A 到C 的过程中，重力做正功，而静电力做负功，洛伦兹力
不做功，合力做正功，液滴动能增大，从C 到B 的过程中，重力做负功，静电力做正功，
洛伦兹力不做功，合力做负功，液滴动能减小，所以液滴在C 点时的动能最大，故B 正确；
从A 到C 过程液滴克服静电力做功，电势能增大，故C 正确；从C 到B 的过程中，静电力
做正功，洛伦兹力不做功，机械能增大，故D 正确．
6.如图，区域Ⅰ内有与水平方向成45°角的匀强电场E1，区域宽度为d1，区域Ⅱ内有正交的
有界匀强磁场B 和匀强电场E2，区域宽度为d2，磁场方向垂直纸面向里，电场方向竖直向
下．一质量为m、电荷量大小为q 的微粒在区域Ⅰ左边界的P 点由静止释放后水平向右做
直线运动，进入区域Ⅱ后做匀速圆周运动，从区域Ⅱ右边界上的Q 点穿出，其速度方向改
变了30°，重力加速度为g，求：
(1)区域Ⅰ和区域Ⅱ内匀强电场的电场强度E1、E2的大小；
(2)区域Ⅱ内匀强磁场的磁感应强度B 的大小；
(3)微粒从P 运动到Q 的时间．
答案 (1) (2)
(3)＋
解析 (1)微粒在区域Ⅰ内水平向右做直线运动，则在竖直方向上有qE1sin 45°＝mg
解得E1＝
微粒在区域Ⅱ内做匀速圆周运动，则重力和静电力平衡，有mg＝qE2，解得E2＝
7
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(2)粒子进入磁场区域时满足：
qE1d1cos 45°＝mv2
qvB＝m
根据几何关系，分析可知R＝＝2d2
整理得B＝
(3)微粒从P 到Q 的时间包括在区域Ⅰ内的运动时间t1和在区域Ⅱ内的运动时间t2，
由a1t1
2＝d1，mgtan 45°＝ma1
整理得t1＝
由t2＝·＝·＝
得t＝t1＋t2＝＋.
7.(2022·江西高三月考)如图所示，在竖直平面内的直角坐标系xOy 中，第四象限内有垂直
坐标平面向里的匀强磁场和沿x 轴正方向的匀强电场，磁感应强度大小为B，电场强度大
小为E.第一象限中有沿y 轴正方向的匀强电场(电场强度大小未知)且某未知矩形区域内有
垂直坐标平面向里的匀强磁场(磁感应强度大小也为B)．一个带电小球从图中y 轴上的M 点，
沿与x 轴成θ＝45°角斜向上做匀速直线运动，由x 轴上的N 点进入第一象限并立即在矩形
磁场区域内做匀速圆周运动，离开矩形磁场区域后垂直打在y 轴上的P 点(图中未标出)，已
知O、N 点间的距离为L，重力加速度大小为g(取sin 22.5°＝0.4，cos 22.5°＝0.9)．求：
(1)小球所带电荷量与质量的比值和第一象限内匀强电场的场强大小；
(2)矩形匀强磁场区域面积S 的最小值；
(3)小球从M 点运动到P 点所用的时间．
答案 (1) E (2) (3)(1＋)＋(π－)
解析 (1)设小球质量为m，电荷量为q，速度为v，小球在MN 段受力如图
因为在MN 段做匀速直线运动，所以小球受力平衡，由平衡条件得
mgtan 45°＝qE
qvBsin 45°＝qE
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解得＝
要使小球进入第一象限后能立即在矩形磁场区城内做匀速圆周运动，则小球受的重力必须
与静电力平衡，mg＝qE1
联立解得E1＝E
(2)由(1)可知qvB＝qE
即v＝
由qvB＝m
可知R＝＝
由图可知矩形的最小面积S＝2Rcos 22.5°×(R－Rsin 22.5°)＝
(3)在第四象限运动的时间
t1＝
在第一象限矩形磁场区域运动的时间
t2＝
在第一象限做匀速直线运动的时间
t3＝
联立解得小球从M 到P 的总时间
t＝t1＋t2＋t3＝(1＋)＋(π－)．
8.如图所示，位于竖直平面内的坐标系xOy，在第三象限空间有垂直于纸面向外的匀强磁
场，磁感应强度大小为B＝0.5 T，还有沿x 轴负方向的匀强电场，电场强度大小为E＝2
N/C.在第一象限空间有沿y 轴负方向、电场强度大小也为E 的匀强电场，并在y＞h＝0.4 m
的区域有磁感应强度大小也为B 的垂直于纸面向里的匀强磁场．一个带电荷量为q 的油滴
从图中第三象限的P 点得到一初速度，恰好能沿PO 做匀速直线运动(PO 与x 轴负方向的夹
角为θ＝45°)，并从原点O 进入第一象限．已知重力加速度g 取10 m/s2，求：
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(1)油滴在第三象限运动时受到的重力、静电力、洛伦兹力三力的大小之比，并指出油滴带
哪种电荷；
(2)油滴在P 点得到的初速度大小；
(3)油滴在第一象限运动的时间(取π＝3.14)．
答案 (1)1∶1∶ 负电荷 (2)4 m/s (3)0.828 s
解析 (1)根据受力分析(如图所示)，可知油滴带负电荷，设油滴质量为m，由平衡条件得
mg∶qE∶F＝1∶1∶.
(2)由第(1)问得qvB＝qE，
代入数据解得v＝＝4 m/s.
(3)进入第一象限，静电力和重力平衡，油滴先做匀速直线运动，从A 点进入y>h 的区域后
做匀速圆周运动，再从C 点离开y>h 区域，最后从x 轴上的N 点离开第一象限．
由O→A 匀速运动的位移为s1＝＝h
其运动时间t1＝＝0.1 s
由qvB＝m，T＝得T＝
油滴从A→C 做圆周运动的时间为t2＝T＝＝0.628 s
由对称性知，从C→N 的时间t3＝t1
故油滴在第一象限运动的总时间t＝t1＋t2＋t3＝2×0.1 s＋0.628 s＝0.828 s.
9.(2023·江西高三月考)如图所示，在竖直平面内的直角坐标系xOy 中，第四象限内有垂直
坐标平面向里的匀强磁场和沿x 轴正方向的匀强电场，磁感应强度大小为B，电场强度大
小为E.第一象限中有沿y 轴正方向的匀强电场(电场强度大小未知)，且某未知矩形区域内
有垂直坐标平面向里的匀强磁场(磁感应强度大小也为B)．一个带电小球从图中y 轴上的M
点沿与x 轴成θ＝45°角斜向上做匀速直线运动，由x 轴上的N 点进入第一象限并立即在矩
形磁场区域内做匀速圆周运动，离开矩形磁场区域后垂直打在y 轴上的P 点(图中未标出)，
已知O、N 两点间的距离为L，重力加速度大小为g，取sin 22.5°＝0.4，cos 22.5°＝0.9.求：
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(1)小球所带电荷量与质量的比值和第一象限内匀强电场的电场强度大小；
(2)矩形匀强磁场区域面积S 的最小值；
(3)小球从M 点运动到P 点所用的时间．
答案 (1) E (2)
(3)(1＋)＋(π－)
解析 (1)设小球质量为m、电荷量为q、速度为v，小球在MN 段受力如图
因为在MN 段做匀速直线运动，所以小球受力平衡，由平衡条件得mgtan 45°＝qE，解得＝，
要使小球进入第一象限后能立即在矩形磁场区城内做匀速圆周运动，则小球受的重力必须
与静电力平衡有mg＝qE1
联立解得E1＝E
(2)由(1)可知qvB＝qE，即v＝
由qvB＝m，可知R＝＝
轨迹图如图所示，由图可知矩形的最小面积
S＝2Rcos 22.5°×(R－Rsin 22.5°)＝
(3)在第四象限运动的时间t1＝
在第一象限矩形磁场区域运动的时间t2＝
在第一象限做匀速直线运动的时间t3＝
联立解得小球从M 到P 的总时间
t＝t1＋t2＋t3＝(1＋)＋(π－)．
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10.如图甲所示的坐标系中，在x 轴上方的区域内存在着如图乙所示周期性变化的电场和磁
场，交变电场的电场强度大小为E0，交变磁场的磁感应强度大小为B0，取x 轴正方向为电
场的正方向，垂直纸面向外为磁场的正方向．在t＝0 时刻，将一质量为m、带电荷量为
q、重力不计的带正电粒子，从y 轴上A 点由静止释放．粒子经过电场加速和磁场偏转后垂
直打在x 轴上．求：
(1)粒子第一次在磁场中运动的半径；
(2)粒子打在x 轴负半轴上到O 点的最小距离；
(3)起点A 与坐标原点间的距离d 应满足的条件；
(4)粒子打在x 轴上的位置与坐标原点O 的距离跟粒子加速和偏转次数n 的关系．
答案 (1) (2)(π＋2)
(3)d＝(n＝1,2,3，…)
(4)xP＝(π＋2)(n＝1,2,3，…)
解析 (1)粒子第一次在电场中有qE0＝ma
v1＝at0，t0＝
粒子第一次进入磁场中有qv1B0＝
联立解得R1＝
(2)由题意可知粒子经2 次加速和偏转后打在x 轴负半轴上到O 点的距离最小，如图甲所示
第一次加速的位移为Δx1＝＝
第二次加速的位移Δx2＝3Δx1
v2＝2at0＝
ΔxP＝Δx2－Δx1＋R2＝(π＋2)
(3)分析带电粒子运动轨迹，如图乙所示
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可知A 与坐标原点间的距离d 应满足
d＝n2R1＝(n＝1,2,3，…)
(4)若粒子经过n 次加速和偏转后打在x 轴上
xP＝n(Δx1＋R1)＝(π＋2)(n＝1,2,3，…)．
13
