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考点37 带电粒子在电场中的运动
（核心考点精讲精练）
1. 5 年真题考点分布
带电粒子在电场
中的运动
2023·浙江1 月选考·T12
2023·湖北卷·T10
2022·江苏卷·T15
2022·辽宁卷·T14
2022·湖北卷·T10
2021·全国乙卷·T20
2021·湖南卷·T9
2020·浙江7 月选考·T6
2019·全国卷Ⅱ ·T24
2019·全国卷Ⅲ ·T24
2019·天津卷·T3
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】近几年高考主要考查：带电粒子在电场中运动, 用动力学、能量和动量观点分析带电粒子的
力电综合问题
【备考策略】
1.利用动力学、功能观点分析带电粒子在电场中的直线运动．
2.掌握带电粒子在电场中的偏转规律.
3.会分析带电粒子在电场中偏转的功能关系.
4.掌握带电粒子在电场和重力场的复合场中的运动规律.
5.会分析、计算带电粒子在交变电场中的偏转问题．
6.会用等效法分析带电粒子在电场和重力场中的圆周运动.
7.会用动力学、能量和动量观点分析带电粒子的力电综合问题．
【命题预测】
电粒子在交变电场中的偏转问题; 带电粒子在电场和重力场中的圆周运动; 用动力学、能量和动量观点分析
带电粒子的力电综合问题
1
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带电粒子（体）在电场中直线运动的分析方法
带电粒子在电场中的偏转规律
考向
1 带电粒子
( 带电体
) 在电场中的直线运动
1．做直线运动的条件
(1)粒子所受合外力F 合＝0，粒子或静止，或做匀速直线运动。
(2)匀强电场中，粒子所受合外力F 合≠0，且与初速度方向在同一条直线上，带电粒子将做匀加速直线运动
或匀减速直线运动。
2．用动力学观点分析
a＝，E＝，v2－v0
2＝2ad(匀强电场)。
3．用功能观点分析
匀强电场中：W＝Eqd＝qU＝mv2－mv0
2。
非匀强电场中：W＝qU＝Ek2－Ek1。
4．对带电粒子进行受力分析时应注意的问题
(1)要掌握静电力的特点．静电力的大小和方向不仅跟电场强度的大小和方向有关，还跟带电粒子的电性和
电荷量有关．
2
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(2)是否考虑重力依据情况而定．
基本粒子：如电子、质子、α 粒子、离子等除有特殊说明或明确的暗示外，一般不考虑重力(但不能忽略质
量)．
带电颗粒：如液滴、油滴、尘埃、小球等，除有特殊说明或明确的暗示外，一般都不能忽略重力．
（2023 秋·黑龙江鸡西·高三校考期末）水平放置的充电平行金属板相距为d，其间形成匀强电场，一质量
为m，带电量为
的油滴从下板边缘射入运动到上板，路径如图所示直线，则下列判断不正确的是
（ ）
A．场强方向竖直向上
B．油滴一定是以
做匀速直线运动
C．两板间电势差为
D．油滴的电势能增加了
【答案】 D
【解析】ABC．带电油滴受到的重力和电场力都在竖直方向上，为了保证带电油滴沿图中虚线做直线运动，
油滴受到的合力一定为0，则油滴一定是以
做匀速直线运动，电场力方向竖直向上，与重力平衡，则有
解得两板间电势差为
由于油滴带正电，可知电场方向竖直向上，故ABC 正确，不满足题意要求；
D．电场力对油滴做功为
可知油滴的电势能减少了
，故D 错误，满足题意要求。
故选D。
（2023·浙江温州·统考三模）如图甲所示为粒子直线加速器原理图，它由多个横截面积相同的同轴金属圆
3
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筒依次组成，序号为奇数的圆筒与序号为偶数的圆筒分别和交变电源相连，交变电源两极间的电势差的变
化规律如图乙所示。在
时，奇数圆筒比偶数圆筒电势高，此时和偶数圆筒相连的金属圆板（序号为
0）的中央有一自由电子由静止开始在各间隙中不断加速。若电子的质量为m，电荷量为e，交变电源的电
压为U，周期为T。不考虑电子的重力和相对论效应，忽略电子通过圆筒间隙的时间。下列说法正确的是
（ ）
A．电子在圆筒中也做加速直线运动
B．电子离开圆筒1 时的速度为
C．第n 个圆筒的长度应满足
D．保持加速器筒长不变，若要加速比荷更大的粒子，则要调大交变电压的周期
【答案】 C
【解析】A．由于金属圆筒处于静电平衡状态，圆筒内部场强为零，则电子在金属圆筒中做匀速直线运动，
故A 错误；
B．电子离开圆筒1 时，由动能定理得
所以电子离开圆筒1 瞬间速度为
故B 错误；
C．电子从金属圆筒出来后要继续做加速运动，在金属圆筒中的运动时间为交变电源周期的一半，即
，
电子在圆筒中做匀速直线运动，所以第n 个圆筒长度为
故C 正确；
D．由C 可知，保持加速器筒长不变，若要加速比荷更大的粒子，则要调小交变电压的周期，故D 错误。
故选C。
考向
2 带电粒子在匀强电场中的偏转
1．基本规律
设粒子所带电荷量为q，质量为m，所受重力影响忽略，两平行金属板间的电压为U，板长为l，板间距离
4
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为d，粒子能以平行金属板的初速度v0进入两金属板间且能从两金属板之间穿过，则有
(1)加速度：a＝＝＝。
(2)在电场中的运动时间：t＝。
(3)末速度
v＝ ，tan θ＝＝。
(4)位移。
2．两个结论
(1)不同的带电粒子从静止开始经过同一电场加速后再从同一偏转电场射出时，偏移量和偏转角总是相同的。
证明：由qU1＝mv0
2，y＝at2＝··()2，tan θ＝，得y＝，tan θ＝。
(2)粒子经电场偏转后射出，合速度的反向延长线与初速度延长线的交点O′为粒子水平位移的中点，即O′到
偏转电场边缘的距离为。
3．在示波管模型中，带电粒子经加速电场U1加速，再经偏转电场U2偏转后，需要经历一段匀速直线运动
才会打到荧光屏上而显示亮点P，如图所示。
(1)确定最终偏移距离
思路一：
思路二：
(2)确定偏转后的动能(或速度)
思路一：
思路二：
（多选）（2023·湖北·统考高考真题）一带正电微粒从静止开始经电压
加速后，射入水平放置的平行板
5
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电容器，极板间电压为
。微粒射入时紧靠下极板边缘，速度方向与极板夹角为
，微粒运动轨迹的最
高点到极板左右两端的水平距离分别为
和L，到两极板距离均为d，如图所示。忽略边缘效应，不计重
力。下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．微粒穿过电容器区域的偏转角度的正切值为2
D．仅改变微粒的质量或者电荷数量，微粒在电容器中的运动轨迹不变
【答案】 BD
【解析】B．粒子在电容器中水平方向做匀速直线运动，竖直方向做匀变速直线直线运动，根据电场强度
和电势差的关系及场强和电场力的关系可得
，
粒子射入电容器后的速度为
，水平方向和竖直方向的分速度
，
从射入到运动到最高点由运动学关系
粒子射入电场时由动能定理可得
联立解得
B 正确；
A．粒子从射入到运动到最高点由运动学可得
，
联立可得
A 错误；
C．粒子穿过电容器时从最高点到穿出时由运动学可得
6
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，
射入电容器到最高点有
解得
设粒子穿过电容器与水平的夹角为
，则
粒子射入电场和水平的夹角为
C 错误；
D．粒子射入到最高点的过程水平方向的位移为
，竖直方向的位移为
联立
，
，
解得
且
，
即解得
即粒子在运动到最高点的过程中水平和竖直位移均与电荷量和质量无关，最高点到射出电容器过程同理
，
，
即轨迹不会变化，D 正确。
故选BD。
（多选）（2021·全国·高考真题）四个带电粒子的电荷量和质量分别
、
、
、
它们先后以相同的速度从坐标原点沿x 轴正方向射入一匀强电场中，电场方向与y 轴平行，不计
重力，下列描绘这四个粒子运动轨迹的图像中，可能正确的是（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】 AD
【解析】带电粒子在匀强电场中做类平抛运动，加速度为
由类平抛运动规律可知，带电粒子的在电场中运动时间为
离开电场时，带电粒子的偏转角的正切为
因为四个带电的粒子的初速相同，电场强度相同，极板长度相同，所以偏转角只与比荷有关，前面三个带
电粒子带正电，一个带电粒子带负电，所以一个粒子与另外三个粒子的偏转方向不同；
粒子与
粒子的比荷相同，所以偏转角相同，轨迹相同，且与
粒子的比荷也相同，所以
、
、
三个粒子偏转角相同，但
粒子与前两个粒子的偏转方向相反；
粒子的
比荷与
、
粒子的比荷小，所以
粒子比
、
粒子的偏转角小，但都
带正电，偏转方向相同。
故选AD。
考向
3 带电粒子在重力场和电场复合场中的运动
1．等效重力场
物体仅在重力场中的运动是最常见、最基本的运动，但是对于处在匀强电场和重力场中物体的运动问题就
会变得复杂一些．此时可以将重力场与电场合二为一，用一个全新的“复合场”来代替，可形象称之为
“等效重力场”．
2.
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3．举例
（多选）（2022·全国·统考高考真题）地面上方某区域存在方向水平向右的匀强电场，将一带正电荷的小
球自电场中Р 点水平向左射出。小球所受的重力和电场力的大小相等，重力势能和电势能的零点均取在Р
点。则射出后，（ ）
A．小球的动能最小时，其电势能最大
B．小球的动能等于初始动能时，其电势能最大
C．小球速度的水平分量和竖直分量大小相等时，其动能最大
D．从射出时刻到小球速度的水平分量为零时，重力做的功等于小球电势能的增加量
【答案】 BD
【解析】A．如图所示
故等效重力
的方向与水平成
。
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当
时速度最小为
，由于此时
存在水平分量，电场力还可以向左做负功，故此时电势能不是
最大，故A 错误；
BD．水平方向上
在竖直方向上
由于
，得
如图所示，小球的动能等于末动能。由于此时速度没有水平分量，故电势能最大。由动能定理可知
则重力做功等于小球电势能的增加量， 故BD 正确；
C．当如图中v1所示时，此时速度水平分量与竖直分量相等，动能最小，故C 错误；
故选BD。
（2023·陕西商洛·镇安中学校考模拟预测）如图所示，一长为L 的绝缘轻绳一端系着
质量为m、带电荷量为+q 的小球（可视为质点）、另一端固定在O 点，整个空间存在与竖直方向夹角为
的匀强电场。小球绕O 点在竖直面ACBD 内做圆周运动，其中AB 水平，CD 竖直，E、F 连线与电场平
行且经过O 点，小球运动到A 点时速度最小，为
，g 为重力加速度，则下列说法正确的是（ ）
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A．匀强电场的电场强度大小为
B．小球从A 点运动到B 点，合力做功为4mgL
C．小球在B 点时轻绳的拉力大小为6mg
D．小球运动到E 点时机械能最小
【答案】 D
【解析】A．小球运动到A 点时速度最小，则电场力和重力的合力水平向右，电场力
mg
解得匀强电场的电场强度大小
故A 错误；
B．电场力和重力的合力大小
F 合=mg
方向水平向右，所以小球从A 点运动到B 点合力做功为2mgL，故B 错误；
C．A 到B 过程，由动能定理有
小球在B 点时有
解得小球在B 点时轻绳的拉力大小
故C 错误；
D．由能量守恒知，小球运动到E 点时电势能最大，机械能最小，故D 正确。
故选D。
考向
4 带电粒子在交变电场中的偏转
一、带电粒子在交变电场中的直线运动
1．常见的交变电场
常见的产生交变电场的电压波形有方形波、锯齿波、正弦波等．
2．常见的题目类型
(1)粒子做单向直线运动．
(2)粒子做往返运动．
3．解题技巧
(1)按周期性分段研究．
(2)将――→a－t 图像――→v－t 图像．
二、带电粒子在交变电场中的偏转
1．带电粒子在交变电场中的运动，通常只讨论电压的大小不变、方向做周期性变化(如方波)的情形．
当粒子垂直于交变电场方向射入时，沿初速度方向的分运动为匀速直线运动，沿电场方向的分运动具有周
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期性．
2．研究带电粒子在交变电场中的运动，关键是根据电场变化的特点，利用牛顿第二定律正确地判断粒子
的运动情况．根据电场的变化情况，分段求解带电粒子运动的末速度、位移等．
3．注重全面分析(分析受力特点和运动规律)：抓住粒子运动时间上的周期性和空间上的对称性，求解粒子
运动过程中的速度、位移、做功或确定与物理过程相关的临界条件．
4．对于锯齿波和正弦波等电压产生的交变电场，若粒子穿过板间的时间极短，带电粒子穿过电场时可认
为是在匀强电场中运动．
【特别提醒】
1.三种常见题型
（1）粒子做单向直线运动（一般用牛顿运动定律求解）。
（2）粒子做往返运动（一般分段研究）。
（3）粒子做偏转运动（一般根据交变电场的特点分段研究）。
2.两条分析思路
一是力和运动的关系，根据牛顿第二定律及运动学规律分析；二是功能关系（机械能守恒、动能定理、能
量守恒）。
3.两个运动特征
分析受力特点和运动规律，抓住粒子的运动具有周期性和空间上具有对称性的特征，求解粒子运动过程中
的速度、位移等，并确定与物理过程相关的边界条件。
（2023·广东梅州·统考二模）真空中两块相同的金属板A、B 水平正对，O 是贴近A 板上表面左边缘处的一
个点，如图甲所示，A 板接地，两板间加上周期性的交变电压后，在两板之间产生了交变的匀强电场。B
板的电势
随时间t 的变化规律如图乙所示。现在O 点放一个粒子源，粒子源不断水平向右发射带负电的
粒子，粒子一旦碰到金属板，就附着在金属板上不再运动，且电荷量同时消失，不影响A、B 板间的电压。
已知粒子源发射的粒子初速度大小均为
，电荷量均为q，质量均为m，A、B 板间交变电压的周期为T，
图乙中
是已知量，但
是可变量，不计粒子的重力和粒子之间的相互作用。若
，在
时刻被射
出的粒子，经过一个周期的时间恰好回到A 板。
（1）求图乙中
的值。
（2）求金属板A、B 间的最小距离。
（3）若
，粒子源保持均匀发射粒子，金属板A、B 间的距离
，
，则在
时
间内，打在B 板上的粒子占一个周期内发射的粒子的百分比大约是多少？（已知
）
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【答案】 （1）
；（2）
；（3）14%
【解析】（1）若
，则在
时间内，粒子的加速度大小
方向向上；
在
时间内，粒子的加速度大小
方向向下；
根据题意有
解得
（2）若
，粒子恰好不能打到B 金属板，则此时金属板A、B 间的距离最小，粒子在
时刻垂直金
属板方向的分速度
粒子沿垂直金属板方向加速运动的距离
粒子沿垂直金属板方向减速运动的距离
A、B 两板间的最小距离
解得
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（3）若
，
，
，设经过
时间向上加速运动、再经过
时间向上减速运动的粒子
恰好能打在B 金属板上，根据垂直金属板方向粒子的运动特点有
并且
联立解得
故在
时间内发出的粒子均可打到B 金属板上，所以一个周期内发出的粒子打到B 金属板上所占百
分比约为
（多选）（2023 秋·河北沧州·高三统考期末）如图甲所示，两平行板沿水平方向放置，且在两极板间加如
图乙所示的电压，
时刻由两极板的正中央静止释放一带负电的粒子，结果在
时粒子回到出发点，
且整个过程中粒子刚好未与极板M 发生碰撞，忽略粒子的重力。则下列说法正确的是（ ）
A．粒子在
时刻刚好运动到极板M
B．在
时刻粒子的速率最大
C．
D．
与
时刻粒子的动能之比为
【答案】 CD
【解析】AC．设两极板之间的距离为d，粒子的质量为m，电荷量的绝对值为q。在
时间内平行板间
的电场强度为
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粒子的加速度
向上做匀加速直线运动，经过时间
的位移为
此时的速度为
在
时间内平行板间电场强度为
加速度大小为
粒子以
的速度先向上做匀减速直线运动到达M 板时，速度减为零，然后向下做匀加速直线运动，这段时
间内的位移为
由题意知，在
时刻，粒子回到出发点，则有
联立可得
A 错误，C 正确；
BD．由以上分析可知，在
时刻粒子的速度大小为
在
时刻粒子的速度大小为
整理得
显然
与
时刻粒子的速率之比为
由公式
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可知
与
时刻粒子的动能之比为
，B 错误，D 正确。
故选CD。
考向
5 电场中的力电综合问题
1．动力学的观点
(1)由于匀强电场中带电粒子所受静电力和重力都是恒力，可用正交分解法．
(2)综合运用牛顿运动定律和运动学公式，注意受力分析要全面，特别注意重力是否需要考虑的问题．
2．能量的观点
(1)运用动能定理，注意过程分析要全面，准确求出过程中的所有力做的功，判断是对分过程还是对全过程
使用动能定理．
(2)运用能量守恒定律，注意题目中有哪些形式的能量出现．
①若带电粒子只在静电力作用下运动，其动能和电势能之和保持不变．
②若带电粒子只在重力和静电力作用下运动，其机械能和电势能之和保持不变．
3．动量的观点
(1)运用动量定理，要注意动量定理的表达式是矢量式，在一维情况下，各个矢量必须选同一个正方向．
(2)运用动量守恒定律，除了要注意动量守恒定律的表达式是矢量式，还要注意题目表述是否为某方向上动
量守恒．
（2023· 四川成都· 统考三模）如图（a ），“ L” 型绝缘不带电木板静止在水平地面上，电荷量
的滑块
静止在木板上左端，电荷量
的滑块
静止在木板上距木板右端
处；
左侧（含B 所在位置）的木板面粗糙，右侧的木板面光滑；
和粗糙木板面间的动摩
擦因数
，木板和地面间的动摩擦因数
。
时刻，在空间加一水平向右的电场，场强大小
随时间变化的图像如图（b），
时刻，撤去电场。已知木板、
的质量均为
可
视为质点，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，可能的碰撞均为时间极短的弹性碰撞，不计
间的库仑力，
重力加速度
。
（1）试通过计算判断：
时刻，滑块
和木板是否处于静止状态；
（2）求
时刻，滑块B 的速度大小；
（3）求滑块B 再次返回木板上初始位置的时刻。
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【答案】 （1）A、B 和木板均处于静止状态；（2）
；（3）
【解析】（1）由题图（b）的
图像可知：
时刻，
受到的电场力大小为
（向左），
（向右）
和
所受的最大静摩擦力为
因为
故
和
均不会相对木板滑动，地面对木板的最大静摩擦力为
对木板、
和
组成的系统，因
故木板不会相对地面滑动，所以滑块A、B 和木板均处于静止状态；
（2）①随
增大，设
在
时刻相对木板滑动并从滑板左侧滑落，此时的临界关系为
解得
由题图（b）的
图像可知对应时刻为
②随
继续增大，假设木板和
相对静止且在
时刻开始向右运动，此时的临界关系为
解得
由题图（b）的
图像可知对应时刻为
，因为
所以假设成立
再随
继续增大，
将在
时刻相对木板向右滑动，此时的临界关系为
对B 分析
对系统分析
解得
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由题图（b）的
图像可知对应时刻为
综上，在时间
内，电场力的冲量为
对系统，由动量定理有
代入数据解得
时刻
和木板的共同速度为
（3）
至
，电场强度恒为
，B 进入木板上光滑部分
由牛顿第二定律可得
对B
对木板
代入数据得
（向右），
（向左）
设木板经时间
发生位移
停止运动，由运动学规律有
代入数据得
设B 在
内发生位移
，由运动学规律有
代入数据得
因为
故恰好在
时刻，B 以速度
与静止的木板相碰
因B 和木板的质量相等，碰撞过程中系统能量、动量均守恒，故碰撞后两者速度互换，即碰后木板和
的
速度分别为
（向右），
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设再经过
再次返回木板上的初始位置，此过程中，B 始终静止，木板的加速度仍为
由运动学规律有
代入数据解得
综上，B 再次返回木板上的初始位置的时刻为
（2023·河北·模拟预测）如图所示，水平绝缘长直轨道与光滑圆弧轨道在C 处相切且平滑连接，水平轨道
处于方向水平向左、场强大小为E 的匀强电场中，圆弧轨道的半径为R，O 点为轨道圆心，整个装置固定
在同一竖直平面内。两个小滑块A、B（都可视为质点）的质量分别为3m 和m。已知滑块B 不带电，其与
水平轨道间的动摩擦因数为
，滑块A 带电，但与轨道间无摩擦力。开始时滑块A、B 都静止于水平轨道
上，与C 点的距离分别为2R 和R。现将滑块A 由静止释放，之后A、B 之间发生的碰撞皆为完全非弹性碰
撞，且碰后两者一起沿水平轨道做匀速直线运动，进入圆弧轨道后仍能从C 点返回水平轨道，碰撞后两者
之间并不粘连，整个过程中A 的电荷量始终保持不变，重力加速度为g，求：
（1）滑块A 所带电荷量的大小及两滑块进入圆弧轨道运动过程中对圆弧轨道压力的最大值；
（2）滑块AB 再次返回水平轨道后两者之间的最远距离；
（3）整个过程中滑块B 在水平轨道上运动的总路程。
【答案】 （1）
；（2）
；（3）
【解析】（1）根据题意，A、B 能发生碰撞，说明A 所受电场力向左，故A 带正电；碰撞后一起做匀速直
线运动，对AB 整体，满足
解得
对滑块A，由动能定理有
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解得A、B 碰撞前A 的速度为
由动量守恒定律有
解得A、B 碰后的共同速度为
根据圆周运动规律可知，两滑块对圆弧轨道的压力的最大值出现在C 点，所以有
解得
由牛顿第三定律得两滑块对圆弧轨道压力的最大值为
（2）滑块B 第1 次返回水平面时，有
解得
滑块A 第1 次返回水平面时，有
解得
故A、B 返回水平面后会分，根据能量守恒定律可知，AB 返回时的速度大小为
则滑块B 在第1 次返回在水平面上向右移动的位移为
滑块A 在第1 次返回在水平面上向右移动的位移为
20
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所以AB 再次返回水平轨道后之间的最大距离为
（3）由题意可知，A、B 在水平轨道上分离后，A 在电场力作用下会与B 发生第二次碰撞，根据动能定理
有
根据动量守恒定律，碰撞过程中有
碰后继续一起做匀速直线运动，然后冲上圆弧轨道，返回到水平轨道上时速度大小仍为
，则滑块B 第2
次返回时的水平位移为
则滑块A 第2 次返回时的水平位移为
A、B 停止运动时之间的距离为
同理第3 次碰撞到再次返回有
联立解
以此类推可得：第n 次返回时B 的水平位移为
最终两个滑块A、B 将停于C 点，所以B 运动的总路程为
解得
21
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【基础过关】
1．（2023·河北保定·统考二模）一对平行正对的金属板C、D 接入如图所示的电路中，电源电动势为E，
C 板固定，D 板可左右平行移动，闭合开关，一段时间后再断开开关，从C 板发射一电子，恰能运动到A
点后再返回，已知A 到D 板的距离是板间距离的三分之一，电子质量为m，电荷量为-e，忽略电子的重力，
则（ ）
A．设定C 板电势为0，电子在A 点的电势能为
B．若要让电子能够到达D 板，可将D 板向左平移至A 点或A 点左侧某位置
C．若要让电子能够到达D 板，可将D 板向右平移至某位置
D．若要让电子能够到达D 板，可闭合开关，再将D 板向右平移至某位置
【答案】 B
【解析】A．金属板的电场线由C 指向D，沿着电场线电势逐渐降低，设定C 板电势为0，则A 点的电势
为
电子在A 点的电势能为
故A 错误；
BCD．闭合开关，一段时间后再断开开关，则电容器的电量Q 不变，根据电容的定义式和决定式有
，
联立解得
从C 板发射一电子，恰能运动到A 点后再返回，则有
所以若要让电子能够到达D 板，可将D 板向左平移至A 点或A 点左侧某位置，或者闭合开关，再将D 板向
左平移至A 点或A 点左侧某位置，故B 正确，CD 错误
22
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故选B。
2．（2023·河南开封·统考三模）如图所示，半径为
的光滑绝缘圆环固定在竖直面内，圆环上直径
之间的夹角为
，
与
之间的夹角也为
。在A、C 两点分别固定电荷量均为
的正点电
荷，电荷量为
的带正电小环由
点静止释放。已知点电荷周围某点的电势
，式中
为点电荷的电
荷量，
为该点到点电荷的距离，
为静电力常量，不计带电小环的重力，则带电小环运动到
点时的动
能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】 A
【解析】根据电场的叠加性原理，A 和C 两点电荷在B 点的电势为
同理根据电场的叠加性原理可知，E 点的电势为
小环从B 点到E 点，由能量守恒有
解得
故选A。
3．（2023 秋·黑龙江鸡西·高三校考期末）如图所示，带电粒子A、B 所带电荷量
、
之比为
，带电
粒子A、B 以相等的速度
从平行板电容器左侧同一点射入电场，沿着跟电场强度垂直的方向射入平行板
电容器中，分别打在C、D 两点，O 为下极板左侧端点，若
，忽略粒子所受重力的影响，则（
）
23
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A．A、B 在电场中运动的时间之比为
B．A、B 运动的加速度大小之比为
C．A、B 的质量之比为
D．A、B 均带负电
【答案】 C
【解析】A．带电粒子A、B 以相等的速度
从平行板电容器左侧同一点射入电场，水平方向有
可得A、B 在电场中运动的时间之比为
故A 错误；
B．根据动力学公式有
，
可得A、B 运动的加速度大小之比为
故B 错误；
C．根据牛顿第二定律有
，
带电粒子所受的电场力为
，
可得A、B 的质量之比为
故C 正确；
D．带电粒子A、B 向负极板运动，可知A、B 均带正电，故D 错误。
故选C。
4．（多选）（2023 秋·河北保定·高三保定一中校联考开学考试）如图所示，匀强电场的方向水平向右，一
质量为m 的带电粒子在匀强电场所在的竖直平面内运动，A、B 为其运动轨迹上的两点。已知该带电粒子
在A 点的速度大小为v0，方向与竖直方向的夹角为30°，它运动到B 点时速度方向与竖直方向的夹角变为
60°。不计带电粒子受到的重力，若B 点电势为零，则下列说法正确的是（ ）
24
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A．带电粒子带正电
B．带电粒子在B 点的速度大小为2v0
C．带电粒子从A 点运动到B 点的过程中，电势能减少了
D．带电粒子在A 点的电势能为
【答案】 AD
【解析】A．由带电粒子的运动轨迹可得，带电粒子带正电，故A 正确；
B．带电粒子在竖直方向的速度不变，设带电粒子在B 点的速度大小为v，有
解得
故B 错误；
C．带电粒子的电势能减少量为
故C 错误；
D．B 点的电势为零，带电粒子在B 点的电势能也为零，在A 点的电势能为
，故D 正确。
故选AD。
5．（多选）（2023·天津·模拟预测）如图所示，a、b、c、d 为匀强电场中的等势面，一个质量为m，电荷
量为q 的质子在匀强电场中运动，A、B 为其运动轨迹上的两个点。已知该粒子在A 点的速度大小为v1，且
方向与等势面平行，在B 点的速度大小为v2，A、B 连线长为L，连线与等势面间的夹角为θ，不计粒子受
到的重力，则（ ）
A．粒子的速度v2一定大于v1
B．等势面b 的电势比等势面c 的电势低
25
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C．粒子从A 点运动到B 点所用的时间为
D．匀强电场的电场强度大小为
【答案】 AC
【解析】A．该电场为匀强电场，等势面沿水平方向，则电场方向沿竖直方向，粒子的轨迹向下弯曲，所
以粒子受到的电场力竖直向下，从A 到B 的过程中电场力对粒子做正功，粒子的速度增大，所以粒子的速
度v2一定大于v1，故A 正确；
B．粒子带正电，则知电场方向竖直向下，等势面b 的电势比等势面c 的电势高，故B 错误；
C．粒子在A 点的速度大小为v1，粒子在沿等势面方向做匀速直线运动，所以粒子运动的时间
故C 正确；
D．A、B 两点沿电场线方向的距离为
由动能定理有
联立解得
故D 错误；
故选AC。
6．（多选）（2023·山西·校联考模拟预测）如图所示，原来静止的、电荷量为q、不计重力的带电粒子经
左侧加速电场加速后，垂直于电场线方向进入偏转电场。当粒子进入偏转电场时的初速度为
时，粒子离
开偏转电场时沿电场线方向的速度为
，其他条件不变，仅减小加速电压，粒子离开偏转电场时的速
度v 有可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】 AB
26
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【解析】由类平抛运动知
联立解得
设粒子以
射入电场，沿电场方向速度为
粒子射出电场的速度
当
时，v 取最小值，即
代入求得最小速度
故选AB。
7．（2023·湖北·模拟预测）如图所示，一质量为
，电荷量为
的小球，以初速度
沿两块正对带电平
行金属板左侧某位置水平向右射入两极板之间，离开时恰好由A 点沿圆弧切线进入竖直光滑固定轨道ABC
中。A 点为圆弧轨道与极板端点DD' 连线的交点，CB 为圆弧的竖直直径并与DD'平行，竖直线DD'的右边
界空间存在竖直向下，且大小可调节的匀强电场
。已知极板长为，极板间距为
，圆弧的半径为
，
∠AOB=53°，重力加速为
，sin53°=0.8，cos53°=0.6.不计空气阻力，板间电场为匀强电场，小球可视为质
点。
（1）求两极板间的电场强调
大小；
（2）当电场强度
时，求小球沿圆弧轨道运动过程中的最大动量；
（3）若要使小球始终沿圆弧轨道运动且恰好能够通过最高点C，求电场强度
的大小。
27
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【答案】 （1）
；（2）
；（3）
【解析】（1）在A 点，离开电场的竖直分速度为
带电小球在平行板中运动的时间为
又
，
联立解得
（2）在A 点速度为
从A 到B，由动能定理得
又
，
联立解得最大动量为
（3）从A 到C，由能量守恒得
在C 点，由牛顿第二定律得
28
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联立解得
8．（2023·天津·模拟预测）如图所示，电源电动势为E=100V，内阻不计，R1、R2、R4的阻值均为300Ω，
R3为可变电阻。C 为一水平放置的平行板电容器，虚线到两极板距离相等且通过竖直放置的荧光屏中心，
极板长为L=8cm，板间距离为d=1cm，右端到荧光屏距离为s=20cm，荧光屏直径为D=5cm。有一细电子
束沿图中虚线以E0=9.6×102eV 的动能连续不断地向右射入平行板电容器。要使电子都能打在荧光屏上，变
阻器R3的取值范围多大？（已知电子电量e=1.6×10—19C）
【答案】
【解析】电子穿过电容器过程中，在水平方向做匀速运动
l= v0t
在竖直方向做匀加速运动
，vy= at ，
电子穿过平行板电容器时，速度方向偏转θ 角
联立解得
电子打在荧光屏上偏离中心O′的位移为
y = y1 + stanθ
即
当
时，代入数据求得
y=3cm>
故要使电子都能打在荧光屏上，应满足
y≤
29
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解得
代入数据求得
U≤25V
当UAB=25V 时，即
代入数据求得
R3=900Ω
当UBA=25V 时，即
代入数据求得
R3=100Ω
综述
100Ω≤R3≤900Ω
【能力提升】
9．（2023·四川成都·成都七中校考模拟预测）如图所示，其空中有一足够大的水平向右的匀强电场，质量
均为
、带电量分别为
和
的两小球同时从
点以速度
斜向右上方射入匀强电场中，
方向与水平
方向成
，A、B（图中末画出）两点分别为两小球运动轨迹的最高点，带正电的小球经过A 点的速度大
小仍然为
，不考虑两球间的库仑力。下列说法错误的是（ ）
A．两小球同时到A、B 两点
B．带负电的小球经过
点的速度大小也为
C．两小球到达A、B 两点过程中电势能变化量之比为
D．
与
水平距离之比为
30
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【答案】 C
【解析】A．由题可知，将带电小球的运动分解成水平方向和竖直方向的运动，由受力可知，两小球在竖
直方向只受重力，故在竖直方向做竖直上抛运动，竖直方向的初速度大小均为
上升到最高点时，竖直方向速度为零，由此可知，两球到达A、B 两点的时间相同，A 正确，不符合题意；
B．水平方向只受电场力，故水平方向做匀变速直线运动，水平方向的初速度为
由题可知，带正电的小球有
带负电的小球有
解得
带负电的小球经过
点的速度大小也为
，B 正确，不符合题意；
C．由B 解析可知，到达最高点时两小球的速度大小相等，水平方向只有电场力做功，由动能定理可知，
两球到达A、B 两点过程中电势能变化量之比为
，C 错误，符合题意；
D．由上分析可知
联立解得
故
代入数据解得
即
与
水平距离之比为
，D 正确，不符合题意。
故选C。
10．（2023·全国·模拟预测）一对正对平行金属板上加有如图所示的电压，在两板的中间位置有一点电荷
31
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（不计重力），在下列哪一时刻由静止释放该点电荷，它可能永远撞不上金属板（ ）
A．0
B．
末
C．
末
D．
末
【答案】 C
【解析】假设点电荷带正电，如图所示，由图可知在0 时刻、
末释放时粒子做单向运动，
末释放时，
粒子在一个周期内沿正方向通过的位移大于沿负方向通过的位移，一个周期内的合位移沿着正方向，这几
种情况下粒子都将撞在金属板上，而在
末释放时粒子只在某一空间范围往复运动，粒子不会撞在金属板
上。假设点电荷带负电，分析同上，C 正确。
故选C。
11．（多选）（2023·海南·统考模拟预测）如图所示，与一恒定电压连接的平行金属板A、
水平放置，两
个质量相等的带电粒子
、
分别从极板A 的右侧边缘和两极板的左侧正中间沿水平方向同时进入板间
电场。两粒子在板间某点相遇时，
运动的水平距离小于
运动的水平距离。粒子的重力和它们之间的
相互作用及边缘效应忽略不计，下列说法正确的是（ ）
A．
所带的电荷量大于
所带的电荷量
B．进入电场时
的速度大小小于
的速度大小
C．从进入电场到相遇，两粒子的动能增加量相等
D．两粒子相遇时，
的速度大小大于
的速度大小
【答案】 AB
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【解析】A．
沿电场方向的位移大于
的，则由
可知
所带的电荷量大于
所带的电荷量，故A 正确；
B．M 垂直电场方向的位移小于N 的，由
可知进入电场时
的速度大小小于
的速度大小，故B 正确；
C．根据动能定理
可得
动能增加量大于
的，故C 错误。
D．两粒子相遇时的速度为
M 的水平位移小，电荷量大，故无法确定速度大小，故D 错误。
故选AB。
12．（多选）（2023 秋·河南·高三校联考开学考试）如图所示，半径为R 的绝缘光滑圆环固定在竖直平面
内，O 是圆心，AB 是水平方向的直径，CD 是竖直方向的直径，整个圆环处在水平向右的匀强电场中。将
质量为m、电荷量为＋q（
）的小球套在圆环上，从A 点由静止释放，小球运动到P 点时的动能最大，
。已知重力加速度大小为g，取
，
。下列说法正确的是（ ）
A．小球可以沿圆环运动到C 点
B．匀强电场的电场强度大小为
C．P、B 两点间的电势差为
D．小球运动到B 点时，向心加速度大小为3g
【答案】 CD
【解析】B．小球运动到P 点时的动能最大，即重力和电场力的合力沿着OP 方向，对小球受力分析有
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解得
故B 错误；
A．假设小球能够沿圆环运动到C 点，根据动能定理有
分析上式可知
，显然这是不可能的，即假设错误，故A 错误；
C．P、B 两点间的电势差
故C 正确；
D．小球从A 点运动到B 点，根据动能定理有
此时小球的向心加速度大小
故D 正确。
故选CD。
13．（多选）（2023·广东·模拟预测）如图所示，虚线MN 左侧有一场强为E1=E 的匀强电场，在两条平行
的虚线MN 和PQ 之间存在着宽为L、电场强度为E2=3E 的匀强电场，在虚线PQ 右侧相距为L 处有一与电
场E2平行的屏。现将一电子（电荷量为e，质量为m，不计重力）无初速度地放入电场E1中的A 点，A 点
到MN 的距离为
，最后电子打在右侧的屏上，AO 连线与屏垂直，垂足为O，则（ ）
A．电子从释放到打到屏上所用的时间为
B．电子从释放到打到屏上所用的时间为
C．电子刚射出电场E2时的速度方向与AO 连线夹角的正切值为2
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D．电子打到屏上的点P'（图中未标出）到点O 的距离为
【答案】 BD
【解析】AB．电子在
的匀强电场中做初速度为零的匀加速直线运动，由牛顿第二定律
根据位移一时间公式，有
电子进入
的匀强电场时的速度
，在水平方向上做匀速直线运动，有
电子从释放到打到屏上所用的时间为
解得
B 正确，A 错误；
C．电子在电场
的竖直方向上，有
，
，
电子刚射出电场
时的速度方向与
连线夹角的正切值
解得
C 错误；
D．电子离开电场
时的速度反向延长线交于
电场中点
，轨迹如图所示，电子打到屏上的点
到点
的距离为
，由相似三角形得
解得
D 正确。
故选BD。
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14．（2023·江西南昌·统考三模）如图所示，半径为R 的
光滑绝缘圆形轨道固定在竖直面内，以圆形轨
道的圆心O 为坐标原点，沿水平方向建立x 轴，竖直方向建立y 轴．y 轴右侧（含y 轴）存在竖直向下、范
围足够大的匀强电场，电场强度大小为
，第二象限存在匀强电场
（方向与大小均未知）．不带
电的绝缘小球a 质量未知，带电量为
的小球b 质量为m，a 球从与圆心等高的轨道A 处以初速度
（方向竖直向下）开始沿轨道下滑，与静止于轨道最低点的b 球发生弹性正碰，碰撞后b 球恰好
能通过轨道最高点C，并落回轨道A 处，小球落回A 处时的速度大小与小球离开最高点C 时速度大小相等，
重力加速度为g，小球b 的电荷量始终保持不变。求：
（1）小球a 的质量
；
（2）第二象限中电场强度
的大小和方向；
（3）小球b 从B 点运动到A 点的过程中电势能的变化量。
【答案】 （1）
；（2）
，方向水平向右；（3）
【解析】（1）设小球a 沿轨道下滑到最低点时速度为v，由机械能守恒定律得
设a、b 小球在B 点碰撞后的速度分别为
，b 球过最高点时速度为
，有
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由动能定理
解得
（2）要让b 小球落回A 处时的速度大小与小球离开最高点C 时速度大小相等，电场力
与
的合力应
垂直于AC 边斜向下，把小球的运动沿CA 方向与垂直CA 方向分解，沿CA 方向做匀速直线运动，垂直CA
方向做匀减速运动，如图，
由几何关系得CA 长
设小球b 从C 运动到A 点时间为t，垂直CA 方向加速度大小为a 有
解得
小球从C 到A 受到的合力为
由几何关系可知电场力大小为
方向水平向右
则
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方向水平向右；
（3）小球b 从B 到A 过程中，电场力做功
电势能变化量
15．（2023 秋·河北保定·高三统考期末）半径为R 的半圆形光滑绝缘轨道固定在水平面上，直径AC 以下
存在匀强电场，以圆心为坐标原点建立xOy 坐标系。质量为m、电荷量为+q 的小球（可视为点电荷）从点
（R，-R）由静止释放，从A 点进入半圆形轨道，沿轨道运动到最低点B 时速度恰好为零。求：
（1）电场强度的大小E；
（2）刚进入半圆形轨道时小球对A 点的压力；
（3）小球速度最大时的位置坐标。
【答案】 （1）
；（2）4mg，水平向左；（3）（
，
）
【解析】（1）小球释放后到B 点的过程，有
解得
（2）小球释放后到A 点的过程，有
对小球在A 点水平方向做受力分析，由牛顿第二定律得
由牛顿第三定律有
解得
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方向水平向左；
（3）设小球在D 位置时速度最大，OD 与x 轴正方向的夹角为θ，从开始下落到D 点的过程中，有
整理得
，
小球速度最大时
由此可知
，
所以
即C 点的位置坐标为（
，
）。
16．（2023·山西阳泉·统考三模）如图所示，一质量为
，带电量
的小滑块静止在倾角为
的绝
缘光滑斜面底端，现在加一个沿斜面向上的匀强电场，小滑块开始沿斜面向上运动，运动一段时间（未
知）后，小滑块的电势能减少了
，此时撤去电场，又经过
时间，小滑块又回到了斜面的底端．选斜面
底端所在的平面势能为零，重力加速度用
表示。求：
（1）小滑块返回到斜面底端时的动能
；
（2）所加的匀强电场的电场强度大小；
（3）小滑块的动能为
时的重力势能
。
【答案】 （1）
；（2）
；（3）
【解析】（1）由能量转化和守恒，回到地面时的动能为
39
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（2）设从开始加上电场到撤去电场，小滑块沿斜面向上运动距离为，末速度为，则
，
撤去电场后，小滑块先沿斜面向上减速，后沿斜面向下加速，设撤去电场后运动的加速度大小为
，则
依题意有
解得
根据牛顿第二定律，有
解得
（3）动能为
时小滑块的位置可能在的下方或上方；设小滑块的位置在下方离地s1处，则
而
解得
重力势能
设小滑块的位置在上方离地
处，则由机械能守恒，有
因此
17．（2023 秋·河南驻马店·高三统考期末）示波管的结构示意图如图甲所示，电子枪中的金属丝加热后可
以逸出电子（逸出时的速度较小可以忽略），电子经加速电压
加速后进入平行正对的偏转电极
40
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，电极都是边长为
的正方形金属板，极板间距都为边长的
。如图乙所示，当
极板间的电
压及
极板间的电压均为0 时，即
，电子恰好打在荧光屏的正中央（直角坐标系的原点
）；当
时，电子打在荧光屏上的
点；当
时，电子打在荧光屏上的
点；当
时，电子打在荧光屏上的
点。已知电子的质量为
，所带的电荷量为
极
板右端到荧光屏的距离为
极板右端到荧光屏的距离为
，不计电子受到的重力及电子间的相互作
用，忽略金属板的边缘效应。求：
（1）电子打到
点时的速度大小
；
（2）电子打到
点时的动能
；
（3）
点到原点
的距离
。
【答案】 （1）
；（2）
；（3）
【解析】（1）根据动能定理
①
当
时，电子打在P 点，在
间，电子沿轴线方向
②
沿
方向
③
且
④
由①②③④得
41
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解得
（2）电子在两极板间沿垂直极板方向的偏转量是相同的，根据动能定理有
解得
（3）当
时，由（1）知
同理得
粒子在
间的偏转角
在
间的偏转角
M 点到O 点沿
方向的距离
M 点到O 点沿
方向的距离
18．（2023·海南海口·海南华侨中学校考一模）光滑绝缘水平面上有一坐标系xOy，半径为R 的光滑绝缘
圆环固定在坐标系内，圆环圆心位于坐标原点，如图甲所示。圆环内侧A（0，R）处放置一个质量为m、
电荷量为+q 的带电小球，为了通过电场来控制带电小球的运动，现在圆环内加上水平方向的匀强电场。若
小球由静止释放，经时间T 沿直线运动到B（R，0）处；若给小球一个沿﹣x 方向的初速度，小球恰能做
完整的圆周运动。小球可视为质点。
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（1）求匀强电场的电场强度E1的大小和方向。
（2）求小球做圆周运动时，通过A 点的动能EK。
（3）将原电场更换为图乙所示的交变电场（正、负号分别表示沿y 轴负方向和正方向），t=0 时刻，小球
在A 点由静止释放。欲使小球能在一个周期T 内不与圆环轨道相碰，试求所加电场强度E2的最大值。
【答案】 （1）
，方向由A 指向B；（2）
；（3）
【解析】（1）小球由静止释放，沿直线从A 到B，可知电场力方向沿着AB 方向指向B，由运动学公式可
得
可得
方向由A 指向B。
（2）小球最容易脱轨的位置为C 点，如下图所示：
小球恰能做完整的圆周运动，可知小球在C 点恰好由电场力来提供向心力，则有
从A 点到C 点利用动能定理
联立方程可得
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（3）若加上沿着y 轴方向的交变电场，若小球没有碰到轨道，可知小球在第一个
内做初速度为零的匀加
速直线运动，第二个
内做匀减速直线运动，这两个
内加速度大小相等，所以位移大小相等，第三个
内小球反向做匀加速直线运动，第四个
内做匀减速直线运动，所以小球在一个T 内返回A 点，要使电场
强度E2最大，且小球能在一个周期T 内不与圆环轨道相碰，可知小球在
时刻恰好运动到圆心，由运动学
公式可得
可得
【真题感知】
19．（2023·浙江·高考真题）如图所示，示波管由电子枪竖直方向偏转电极YY′、水平方向偏转电极XX′和
荧光屏组成。电极XX′的长度为l、间距为d、极板间电压为U，YY′极板间电压为零，电子枪加速电压为
10U。电子刚离开金属丝的速度为零，从电子枪射出后沿OO′方向进入偏转电极。已知电子电荷量为e，质
量为m，则电子（ ）
A．在XX′极板间的加速度大小为
B．打在荧光屏时，动能大小为11eU
C．在XX′极板间受到电场力的冲量大小为
D．打在荧光屏时，其速度方向与OO′连线夹角α 的正切
【答案】 D
【解析】A．由牛顿第二定律可得，在XX′极板间的加速度大小
A 错误；
B．电子电极XX′间运动时，有
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vx = axt
电子离开电极XX′时的动能为
电子离开电极XX′后做匀速直线运动，所以打在荧光屏时，动能大小为
，B 错误；
C．在XX′极板间受到电场力的冲量大小
C 错误；
D．打在荧光屏时，其速度方向与OO′连线夹角α 的正切
D 正确。
故选D。
20． （多选）（2022·湖北·统考高考真题）如图所示，一带电粒子以初速度v0沿x 轴正方向从坐标原点О
射入，并经过点P（a>0，b>0）。若上述过程仅由方向平行于y 轴的匀强电场实现，粒子从О 到Р 运动的
时间为t1，到达Р 点的动能为Ek1。若上述过程仅由方向垂直于纸面的匀强磁场实现，粒子从O 到Р 运动的
时间为t2，到达Р 点的动能为Ek2。下列关系式正确的是·（ ）
A．t1<t2
B．t1> t2
C．Ek1<Ek2
D．Ek1>Ek2
【答案】 AD
【解析】AB．该过程中由方向平行于y 轴的匀强电场实现，此时粒子做类平抛运动，沿x 轴正方向做匀速
直线运动；当该过程仅由方向垂直于纸面的匀强磁场实现时，此时粒子做匀速圆周运动，沿x 轴正方向分
速度在减小，根据
可知
t1<t2
故A 正确，B 错误。
CD．该过程中由方向平行于y 轴的匀强电场实现，此时粒子做类平抛运动，到达P 点时速度大于v0；当该
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过程仅由方向垂直于纸面的匀强磁场实现时，此时粒子做匀速圆周运动，到达P 点时速度等于v0，而根据
可知
Ek1>Ek2
故C 错误，D 正确。
故选AD。
21．（多选）（2021·湖南·高考真题）如图，圆心为
的圆处于匀强电场中，电场方向与圆平面平行，
和
为该圆直径。将电荷量为
的粒子从
点移动到
点，电场力做功为
；若将该粒子
从点移动到
点，电场力做功为
。下列说法正确的是（ ）
A．该匀强电场的场强方向与
平行
B．将该粒子从
点移动到
点，电场力做功为
C．
点电势低于点电势
D．若只受电场力，从
点射入圆形电场区域的所有带电粒子都做曲线运动
【答案】 AB
【解析】A．由于该电场为匀强电场，可采用矢量分解的的思路，沿cd 方向建立x 轴，垂直与cd 方向建立
y 轴如下图所示
在x 方向有
W = Exq2R
在y 方向有
2W = Eyq
R + ExqR
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经过计算有
Ex =
，Ey =
，E =
，tanθ =
由于电场方向与水平方向成60°，则电场与ab 平行，且沿a 指向b，A 正确；
B．该粒从d 点运动到b 点，电场力做的功为
W′ = Eq
= 0.5W
B 正确；
C．沿电场线方向电势逐渐降低，则a 点的电势高于c 点的电势，C 错误；
D．若粒子的初速度方向与ab 平行则粒子做匀变速直线运动，D 错误。
故选AB。
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