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2024 年高考物理一轮复习模型及秒杀技巧一遍过
模块7 静电场各模块大招
第09 讲 带电粒子在复合场中的运动及“等效重力场”模型
（原卷版）
目录
【内容一】 带电粒子在复合场中的匀变速曲线运
动模
型..............................................................................1
【内容二】 “等效重力场”建立方法——概念的全面类比模型..................................................................2
【内容三】 “等效重力场”中的直线运动模型..............................................................................................3
【内容四】 “等效重力场”中的抛体类运动模型..........................................................................................4
【内容五】 “等效重力场”中的单摆类模型..................................................................................................5
技巧总结
内容一：带电粒子在复合场中的匀变速曲线运动
技巧总结
1.带电物体在静电场和重力场的复合场中运动时的能量守恒
(1)带电物体只受重力和静电场力作用时，电势能、重力势能以及动能相互转化，总
能
量守恒，即
恒定值
(2)带电物体除受重力和静电场力作用外，如果还受到其它力的作用时，电势能、重
力
势能以及动能之和发生变化，此变化量等于其它力的功，这类问题通常用动能定理来
解决。
2.带电粒子在复合场中的匀变速曲线运动的几种常见情况
“等效重力场”模型
1
技巧总结
内容二：“等效重力场”建立方法——概念的全面类比
1
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等效重力场
重力场、电场叠加而成的复合场
等效重力
重力、电场力的合力
等效重力加速度
等效重力与物体质量的比值
等效“最低点”
物体自由时能处于稳定平衡状态的位置
等效“最高点”
物体圆周运动时与等效“最低点”关于圆心对称的位置
等效重力势能
等效重力大小与物体沿等效重力场方向“高度”的乘积
内容三：“等效重力场”中的直线运动模型
模型： 如图所示，在离坡底为L 的山坡上的C 点树直固定一根直杆，杆高也是L．杆
上端A 到坡底B 之间有一光滑细绳，一个带电量为q、质量为m 的物体穿心于绳上，
整个系统处在水平向右的匀强电场中，已知细线与竖直方向的夹角θ=30º．若物体从A
点由静止开始沿绳无摩擦的滑下，设细绳始终没有发生形变，求物体在细绳上滑行的
时间．（g=10m/s2，sin37º=0.6，cos37º=0.8）
因细绳始终没有发生形变，故知在垂直绳的方向上没有压力存在，即带电小球受到的
重力和电场力的合力方向沿绳的方向．建立“等效重力场”如图所示
“等效重力场”的“等效重力加速度”，方向：与竖直方向的夹角30∘
，大小：
带电小球沿绳做初速度为零，加速度为g'
的匀加速运动
SAB=2 Lcos30∘
①
SAB =1
2 g
' t2
②由①②两式解得
t=√3 L
g
“等效重力场”的直线运动的几种常见情况
内容四：“等效重力场”中的抛体类运动模型
模型：如图所示，在电场强度为E 的水平匀强电场中，以初速度为v0 竖直向上发射一
个质量为m、带电量为+q 的带电小球，求小球在运动过程中具有的最小速度．
2
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建立等效重力场如图所示，等效重力加速度g'
设g'
与竖直方向的夹角为θ，则
g
'=
g
cosθ 其中
arcsinθ=
qE
√（qE ）
2+（mg ）
2
则小球在“等效重力场”中做斜抛运动vx=v0sinθ v y=v0cosθ
当小球在y 轴方向的速度减小到零，即v y=0 时，两者的
合速度即为运动过程中的最小速度
vmin=vx=v0sinθ=v0
qE
√（mg ）2+（qE ）2
内容五：“等效重力场”中的单摆类模型
模型：如图所示，在沿水平方向的匀强电场中有一固定点O，用一根长度L=0.4m 的绝
缘细绳把质量为m=0.10kg、带有正电荷的金属小球悬挂在O 点，小球静止在B 点时细
绳与竖直方向的夹角为θ=37º．现将小球拉至位置A 使细线水平后由静止释放：
建立“等效重力场”如图所示，“等效重力加速度”g'
，
方向：与竖直方向的夹角30∘
，大小：
g
'=
g
cos37∘=1.25g
由A、C 点分别做绳OB 的垂线，交点分别为A'、C'，由动能
定理得带电小球从A 点运动到C 点等效重力做功
m g
'( LO A
'−LOC
')=m g
' L(cosθ−sinθ)=1
2 mv C
2
代入数值得vC≈1.4 m/s
当带电小球摆到B 点时，绳上的拉力最大，设该时小球的速度为vB ，绳上的拉力为F ，
则
m g
'（L−Lsinθ）=1
2 mv B
2
①
F−m g
'=m vB
2
L ②联立①②两式子得F=2.25N
3
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“等效重力场”中的圆周运动类模型
模型：如图所示，绝缘光滑轨道AB 部分为倾角为30°的斜面，AC 部分为竖直平面上
半径为R 的圆轨道，斜面与圆轨道相切．整个装置处于场强为E、方向水平向右的匀
强电场中．现有一质量为m 的带正电，电量为
q=√3 mg
3 E
小球，要使小球能安全通过
圆轨道，在O 点的初速度应为多大？
运动特点：小球先在斜面上运动，受重力、电场力、支持力，然后在圆轨道上运动，
受到重力、电场力，轨道作用力，且要求能安全通过圆轨道．
对应知识点：在重力场中，小球先在水平面上运动，重力不作功，后在圆轨道上运动
的模型：过山车．
等效分析：如图所示，对小球受电场力和重力，将电场力与重力合成视为等效重力
m g
'
，大小
m g
'=√(qE )2+(mg )2=2√3mg
3
，
tanθ=qE
mg =√3
3 ，得θ=30° ，于是等
效重力方向为垂直斜面向下，得到小球在斜面上运动，等效重力不做功，小球运动可
类比为重力场中过山车模型．
规律应用：分析重力中过山车运动，要过圆轨道存在一个最高点，在最高点满足重力
当好提供向心力，只要过最高点点就能安全通过圆轨道．如果将斜面顺时针转过300，
就成了如图3-3 所示的过山车模型，最高点应为等效重力方向上直径对应的点B，则B
点应满足“重力”当好提供向心力即：
m g
'= mv B
2
R
假设以最小初速度v0运动，小球在斜面上作匀速直线运动，进入圆轨道后只有重力作
功，则根据动能定理：
−m g
'2 R=1
2 mv B
2−1
2 mv 0
2
解得：
v0=√
10√3gR
3
例题演练
例1、如图所示，相距为d 的平行板A 和B 之间有电场强度为E、方向竖直向下的匀强
电场．电场中C 点距B 板的距离为0.3d，D 点距A 板的距离为0.2d，有一个质量为m
的带电微粒沿图中虚线所示的直线从C 点运动至D 点，若重力加速度为g，则下列说
法正确的是( )
A．该微粒在D 点时的电势能比在C 点时的大
4
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B．该微粒做匀变速直线运动
C．在此过程中电场力对微粒做的功为0.5mgd
D．该微粒带正电，所带电荷量大小为q＝
解：由题知，微粒沿直线运动，可知重力和电场力二力平衡，微粒做匀速直线运动，
微粒带负电，B、D 错误；微粒从C 点运动至D 点，电场力做正功，电势能减小，A
错误；此过程中电场力对微粒做的功为W＝Fx＝mg(d－0.3d－0.2d)＝0.5mgd，C 正
确．
例2、如图所示，质量为m、带电荷量为q 的带正电小滑块(可视为质点)，从绝缘斜面
顶端由静止开始匀加速下滑，下滑高度为2h 后进入匀强电场区域，再下滑高度h 后到
达斜面底端，匀强电场区域有理想边界，电场强度E 方向竖直向下，且qE＝mg，小滑
块与斜面间的动摩擦因数μ 恒定．则下列说法正确的是( )
A．滑块进入匀强电场区域前后的加速度大小之比为1 2∶
B．滑块进入匀强电场区域前后的加速度大小保持不变
C．滑块进入匀强电场区域前后两个阶段的滑行时间之比为(＋1) 1∶
D．滑块进入匀强电场区域前后两个阶段滑行时的摩擦力做功之比为2 1∶
解：设斜面倾角为θ，由牛顿第二定律可知滑块进入匀强电场区域前加速度为a1＝＝
gsin θ－μgcos θ
滑块进入匀强电场区域后加速度为a2＝
由于qE＝mg，则a2＝2(gsin θ－μgcos θ)＝2a1
则滑块进入匀强电场区域前后的加速度大小之比为1 2∶，故A 正确，B 错误；
设滑块进入匀强电场区域前瞬间的速度为v0，则有v0
2＝2a1·
滑块到达斜面底端时的速度有v2－v0
2＝2a2·且a2＝2a1，则v＝v0，由公式x＝t 可得滑块
进入匀强电场区域前后两个阶段的滑行时间之比为＝2(＋1)，故C 错误；
滑块进入匀强电场区域前后的摩擦力分别为Ff1＝μmgcos θ，Ff2＝μ(mg＋qE)cos θ＝
2μmgcos θ
由功定义式W＝Fx 可知，滑块进入匀强电场区域前后两个阶段滑行时的摩擦力做功之
比为1 1∶，故D 错误．
例3、如图，平行板电容器两个极板与水平地面成2α 角，在平行板间存在着匀强电
场，直线CD 是两板间一条垂直于板的直线，竖直线EF 与CD 交于O 点，一个带电小
球沿着∠FOD 的角平分线从A 点经O 点向B 点做直线运动，重力加速度为g.则在此过
程中，下列说法正确的是( )
5
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A．小球带正电 B．小球可能做匀加速直线运动
C．小球加速度大小为gcos α
D．小球重力势能的增加量等于电势能的增加量
解：带电小球沿着∠FOD 的角平分线从A 点经O 点向B 点做直线运动，所以小球所受
合外力沿BA 方向，又由于小球受重力，所以电场力的方向由O 到D，由于此电场的方
向未知，所以小球的电性不能确定，小球做匀减速直线运动，故A、B 错误；由题图
可知，由于OA 是角平分线，且小球的加速度方向由O 到A，据几何关系可知a＝
2gcos α，故C 错误；由分析可知，小球所受重力大小等于电场力大小，运动的位移与
重力、电场力的夹角相同，所以二力做的功相同，据功能关系可知，小球重力势能的
增加量等于电势能的增加量，故D 正确．
例4、如图所示，在电场强度方向水平向右的匀强电场中，一质量为m、带电荷量为q
的粒子从A 点以初速度v0竖直向上抛出，粒子运动到B 点时速度方向水平，大小也为
v0，重力加速度为g，不计空气阻力．下列说法正确的是( )
A．粒子在该过程中克服电场力做功mv0
2 B．匀强电场的电场强度大小为
C．粒子在A 点的电势能比在B 点的电势能大mv0
2
D．粒子从A 点运动到B 点所用的时间为
解：竖直方向粒子在重力作用下做加速度为g 的匀减速直线运动，则v0＝gt，t＝，水
平方向粒子在电场力作用下做匀加速直线运动，则v0＝at＝t
则a＝g；匀强电场的电场强度大小为E＝，B 错误，D 正确．
从A 到B 电场力做正功W＝qE·＝mv0
2 则电势能减小mv0
2，
则粒子在A 点的电势能比在B 点的电势能大mv0
2，C 正确，A 错误．
例5、如图所示，在水平向右的匀强电场中，质量为
的带电小球，以初速度v 从
点竖直向上运动，通过
点时，速度大小为2v，方向与电场方向相反，则小球从
运动到
的过程
A．动能增加
B．机械能增加
C．重力势能增加
D．电势能增加
6
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解：带电小球M 到N 过程动能增量为
ΔEk=EkN −EkM =1
2 m(2v)2−1
2 mv 2=3
2 mv 2
，故A 错误；带电小球在电场中做类平抛运动，竖直方向受重力做匀减速运动，水平
方向受电场力做匀加速运动，由运动学公式有
v y=v=gt ,vx=2v=at=qE
m t
，可得
qE =2mg ，竖直方向的位移
h= v
2 t
，水平方向的位移
x=2v
2 t=vt
，因此有x=2h
，对小球由动能定理有
qEx −mgh=3
2 mv 2
，联立上式可解得
qEx =2mv 2,mgh=1
2 mv 2
，，因此电场力做正功，机械能增加，故机械能增加
2mv 2
，电势能减少2mv 2
，故B 正确D 错误，重力做负功重力势能增加量为
1
2 mv 2
，故C 错误。
例6、匀强电场平行于纸面（未画出），如图，质量为m、电荷量为q 的正离子以竖直
向下的初速度v0开始在电场中运动（记为t=0），t=t0时刻速度最小且为
，图中虚线
为该离子的运动轨迹。不计重力，则下列说法正确的是（ ）
A．匀强电场的方向斜向左上方，与竖直方向夹角为60°
B．匀强电场的场强大小为
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C．t=3t0时刻，离子的速度大小为
D．从t=0 到t=3t0，离子的位移为
解：A．设电场与竖直方向夹角为θ，粒子沿电场力方向做匀减速运动，垂直电场力方
向做匀速运动，当沿电场力方的速度减为零时，粒子的速度最小，因最小值为
，则
由几何关系可知
则θ=30°即匀强电场的方向斜向左上方，与竖直方向夹
角为30°，选项A 错误；
B．在沿电场方向上
解得
选项B 正确；
C．t=3t0时刻，离子沿电场方向的速度大小为
（负号表示与初速度方向相反）
此时的合速度
选项C 正确；
D．从t=0 到t=3t0，离子沿电场力方向的位移
垂直电场力方向的位移为
则总位移
选项D 正确；故选BCD。
例7、在电场方向水平向右的匀强电场中，一带电小球从A 点竖直向上抛出，其运动
的轨迹如图所示，小球运动的轨迹上A、B 两点在同一水平线上，M 为轨迹的最高点，
小球抛出时的动能为8.0J，在M 点的动能为6.0J，不计空气的阻力，则（ ）
8
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A. 从A 点运动到M 点电势能增加 2J B. 小球水平位移 x1与 x2 的比值 1：4
C. 小球落到B 点时的动能 24J
D. 小球从A 点运动到B 点的过程中动能有可能小于 6J
解：将小球的运动沿水平和竖直方向正交分解，水平分运动为初速度为零的匀加速直
线运动，竖直分运动为匀变速直线运动；
A．从A 点运动到M 点过程中，电场力做正功，电势能减小，故A 错误；
B．对于初速度为零的匀加速直线运动，在连续相等的时间间隔内位移之比为1：3，
故B 错误；
C．设物体在B 动能为EkB，水平分速度为VBx，竖直分速度为VBy。
由竖直方向运动对称性知
mVBy
2=8J
对于水平分运动Fx1=
mVMx
2-
mVAX
2，F（x1+x2）=
mVBx
2-
mVAX
2，x1：x2=1：3
解得：Fx1=6J；F（x1+x2）=24J 故EkB=
m（VBy
2+VBx
2）=32J 故C 错误；
D．由于合运动与分运动具有等时性，设小球所受的电场力为F，重力为G，则有：
Fx1=6J，
，Gh=8J，
所以：
由右图可得：
所以
则小球从 A 运动到B 的过程中速度最小时速度一定与等效G’垂直，
9
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即图中的 P 点，故
故D 正确。故选D。
对应题型精炼
一、解答题
1．如图所示，在竖直平面内固定一光滑圆弧轨道
，轨道半径为
，轨道最
高点A 与圆心O 等高．有一倾角
的斜面，斜面底端C 点在圆弧轨道B 点正下方、
距B 点
．圆弧轨道和斜面均处于场强大小
、竖直向下的匀强电场
中。现将一个质量为
、带电荷量为
的带电小球从A 点由静止释放，
小球通过B 点离开圆弧轨道沿水平方向飞出，当小球运动到斜面上D 点时速度方向恰
与斜面垂直，并刚好与一个以一定初速度从斜面底端上滑的物块相遇。若物块与斜面
间的动摩擦因数
，空气阻力不计，g 取
，小球和物块都可视为质点．求：
（1）小球经过B 点时对轨道的压力
；
（2）B、D 两点间电势差
；
（3）物块上滑初速度
满足条件的最小值。
2．如图所示，一带电荷量为+q、质量为m 的小物块处于一倾角为37°的光滑斜面上，
当整个装置被置于一水平向右的匀强电场中时，小物块恰好静止。重力加速度用g 表
示，sin37°=0.6，cos37°=0.8。求：
（1）电场强度的大小E；
（2）将电场强度减小为原来的
时，物块加速度的大小a 以及物块下滑距离L 时的动
能Ek。
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3．如图所示，ABCD 为放在E＝1.0×103V/m 的水平匀强电场中的绝缘光滑轨道，其中
BCD 部分是直径为20cm 的半圆环，AB＝15cm，今有m＝10g、q＝10－4C 的小球从静
止由A 起沿轨道运动，求：
（1）运动到图中C 处时速度的大小；
（2）在C 处时对轨道的压力；
（3）要使小球能运动到D 点，开始时小球的位置应离B 点的距离。
4．如图所示，在水平向右的匀强电场中，重力为G 的带电小球，以初速度v 从M 点
竖直向上运动，通过N 点时速度大小也为v，方向与电场方向相反。求小球：
（1）所受电场力的大小；
（2）运动到与M 等高点时的速度。
5．如图所示，真空中存在空间范围足㿟大的、方向水平向左的匀强电场，在电场中，
圆心为
、半径为
的圆弧形光滑绝缘轨道
固定在竖直平面内，
恰好
处于同一竖直线上，
，
与竖直方向之间的夹角
。水平虚线
上有
一点A，点
的连线恰好与圆弧轨道相切于
点，
。现有一质量为
、
电荷量为
的带电小球（可视为质点）从A 点以一定的初速度沿
做直线运动，带
电小球从
点进入圆弧轨道后，恰好能沿圆弧轨道运动并从
点射出。已知
，重力加速度大小g 取
。求：
（1）带电小球在A 点时的初速度大小；
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（2）带电小球从
点射出后经过水平虚线
上的
点（图中未画出）到A 点的距离。
（结果保留根式）
6．如图所示，匀强电场
，方向水平向右，ABCD 为竖直放置在电场中的
绝缘导轨，半圆形轨道BCD 光滑，半径
，B 为圆轨道最低点，水平轨道与其
相切于B 点，水平轨道粗糙，
，一质量
、电荷量
的带正
电的小滑块在A 点有一个水平向右的初速度
。已知水平轨道与小滑块之间的
动摩擦因数
，重力加速度g 取10m/s，求：
（1）小滑块从A 到C 的过程中，电场力做功为多少？
（2）小滑块到达C 点时速度大小；
（3）小滑块到达C 点时对轨道压力大小。
（4）通过计算说明小滑块能否到达最高点D 点。
7．如图所示，在
的竖直匀强电场中，有一光滑的半圆形绝缘轨道
QPN 与一水平绝缘轨道MN 在N 点平滑相接，半圆形轨道平面与电场线平行，其半径
R=40cm，N 为半圆形轨道最低点，P 为QN 圆弧的中点，一带正电荷的小滑块质量为
，带电荷量为
，与水平轨道间的动摩擦因数
，位于N 点
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右侧s=1.5m 的M 处，要使小滑块恰能运动到圆轨道的最髙点Q，取
，求：
（1）滑块应以多大的初速度
向左运动？
（2）滑块通过P 点时轨道受到的压力。
8．如图所示，绝缘光滑轨道ABCD 竖直放在与水平方向成θ=45°的匀强电场中，其中
BCD 部分是半径为R 半圆环，轨道的水平部分与半圆相切，现把一质量为m=1kg，电
荷量为q=+2×10-5C 的小球（大小忽略不计），放在水平面上某点由静止开始释放，恰
好能通过半圆轨道最高点D，落地时恰好落在B 点。已知g=10m/s2.求：
（1）电场强度E；
（2）起点距B 点的距离L。
9．如图所示，一个光滑斜面与一个光滑的竖直圆轨道在A 点相切，斜面与水平方向的
夹角为θ。B 点为圆轨道的最低点，C 点为圆轨道的最高点，O 点为圆轨道的圆心，半
径OA 与竖直方向夹角也为θ。整个空间存在水平向左的匀强电场，电场强度为
。已知
，圆轨道半径R=1m，g=10m/s2，
，
。
现把一质量为m=1kg，电荷量为q 的带正电小球从斜面上某位置由静止释放。为使小
球能在运动到C 点之前始终不脱离轨道，求小球释放位置离A 点的最小距离，和小球
从此位置释放后运动到B 点时对轨道的压力。
（计算结果均保留三位有效数字）
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10．空间存在范围足够大的水平方向匀强电场，长为L 的绝缘细线一端固定于O 点，
另一端系一带电量为q（
）质量为m 的小球，已知电场强度
，
处于
水平方向，
在竖直方向。小球从A 点由静止释放，当小球运动到O 点正下方B 时
细线恰好断裂（取
，
）。求：
（1）小球到达B 点时的速度大小及此时细线（断裂前）对小球拉力的大小；
（2）小球从A 点运动到B 点过程中的最大速率；
（3）当小球再次运动到
线上的D 点（图中未标出）时，小球速度的大小。
11．半径为R 的半圆形光滑绝缘轨道固定在水平面上，直径AC 以下存在匀强电场，以
圆心为坐标原点建立xOy 坐标系。质量为m、电荷量为+q 的小球（可视为点电荷）从
点（R，-R）由静止释放，从A 点进入半圆形轨道，沿轨道运动到最低点B 时速度恰好
为零。求：
（1）电场强度的大小E；
（2）刚进入半圆形轨道时小球对A 点的压力；
（3）小球速度最大时的位置坐标。
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12．如图所示，一根水平光滑的绝缘直槽轨连接一个竖直放置的半径为R=0.50m 的绝
缘光滑槽轨。槽轨处在垂直纸面向外的匀强磁场中，磁感应强度B=0.50T，有一个质
量m=0.10g、带电量为q=+1.6×10-3C 的小球在水平轨道上向右运动。若小球恰好能通
过最高点，重力加速度g=10m/s2。求：
（1）小球在最高点N 的速度大小；
（2）小球的初速度v0。
13．一长为l 的绝缘细线，上端固定，下端拴一质量为m、电荷量为q 的带正电的小球，
处于如图所示水平向右的匀强电场中。先将小球拉至A 点，使细线水平。然后释放小
球，当细线与水平方向夹角为
时，小球到达B 点，且速度恰好为零，重力加速度
为g，求：
（1）匀强电场A、B 两点间的电势差
的大小；
（2）小球速度最大时细线拉力的大小。
14．在如图所示的平面直角坐标系xoy 中，第I 象限区域内有沿y 轴正方向（竖直向
上）的匀强电场，电场强度大小E0=20N/C；第IV 象限区域内有一方向沿x 轴正方向
（水平向右）的匀强电场。质量m=0.lkg、电荷量q=+1×10-2C 的带电小球从y 轴上P
点以一定的初速度垂直y 轴方向进入第I 象限后，从x 轴上的A 点进入第IV 象限，并
恰好沿直线通过该区域后从B 点离开，已知P、A 的坐标分别为（0，0.04m），
（0.04m，0），取重力加速度g=10m/s2。求：
（1）带电小球在第I 象限运动的加速度及初速度v0的大小；
（2）AB 与x 轴之间的夹角的正切值；
（3）第IV 象限的电场强度；
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15．如图所示，CD 左侧存在场强大小
，方向水平向左的匀强电场，一个质量
为
、电荷量为
的光滑绝缘小球，从底边BC 长为
、倾角
的光滑直角三角形斜
面顶端A 点由静止开始下滑，运动到斜面底端C 点后进入一光滑竖直半圆形细圆管内
（C 处为一小段长度可忽略的光滑圆弧，圆管内径略大于小球直径，半圆直径CD 在竖
直线上），恰能到达细圆管最高点D 点，随后从D 点离开后落回斜面上某点P，（重
力加速度为g，
，
）求：
（1）小球到达C 点时的速度；
（2）C 点对轨道的正压力
（3）小球从D 点运动到P 点的时间t。
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