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专题强化十五 带电粒子在电场中运动的综合问题
【复习目标】
1.掌握带电粒子在电场和重力场的复合场中的运动规律。 2.知道“等效重力场”的概念。 3.会用
动力学观点和能量观点分析电场中的力电综合问题。
考点一 带电粒子在等效重力场中的运动
【知识梳理】
1.
注意:(1)这里的最高点不一定是几何最高点。
(2)将物体在重力场中的运动规律迁移到“等效重力场”中分析求解。
2.“等效最高点”和“等效最低点”示意图
【典例剖析】
1
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例1 (多选)如图所示，在竖直平面内有水平向左的匀强电场，在匀强电场中有一根长为L 的绝缘
细线，细线一端固定在O 点，另一端系一质量为m 的带电小球。小球静止时细线与竖直方向成θ
角，此时让小球获得初速度且恰能绕O 点在竖直平面内沿逆时针方向做圆周运动，重力加速度为
g。下列说法正确的是( )
A.匀强电场的电场强度E＝mg tanθ
q
B.小球动能的最小值为Ek＝mgL
2cosθ
C.小球运动至圆周轨迹的最高点时机械能最小
D.小球从初始位置开始，在竖直平面内运动一周的过程中，其电势能先减小后增大
【解题妙招】
将恒定的静电力和重力看成一个等效力，可以将原来圆周运动的最低点和最高点的情况进行拓展，
等效最高点在沿等效力方向的直径上。
【即时训练】
1.(多选)(2025·江西南昌模拟)如图所示，竖直平面内有固定的半径为R 的光滑绝缘圆形轨道，水平
匀强电场平行于轨道平面向左，P、Q 分别为轨道上的最高点、最低点，M、N 分别是轨道上与圆
心等高的点。质量为m、电荷量为q 的带正电小球(可视为质点)在轨道内运动，已知重力加速度为
g，电场强度E＝3mg
4 q ，要使小球能沿轨道做完整的圆周运动，则下列说法正确的是( )
A.小球在轨道上运动时，动能最小的位置电势能最大
B.小球在轨道上运动时，机械能最大的位置一定在M 点
C.小球过Q、P 两点受轨道弹力大小的差值为6mg
D.小球过Q、P 两点受轨道弹力大小的差值为7.5mg
【典例剖析】
2
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例2 (多选)如图所示，分别将带正电、带负电和不带电的三个等质量小球以相同的水平速度由P
点射入水平放置的平行金属板间，已知上板带负电，下板接地。三小球分别落在图中A、B、C 三
点，则下列选项中正确的是( )
A.落点在A 点的小球带正电，落点在B 点的小球带负电
B.三小球在电场中的加速度大小关系是
aA<aB<aC
C.三小球在电场中运动的时间相等
D.三小球到达下板时的动能关系是
EkC>EkB>EkA
【解题妙招】
将恒定的静电力和重力看成一个等效力，替换原来平抛运动模型中的重力，相应解题方法便可移
植过来。
考点二 电场中的力、电综合问题
【知识梳理】
要善于把电学问题转化为力学问题，建立带电粒子在电场中加速和偏转的模型，能够从带电粒子
受力与运动的关系、功能关系和能量关系等多角度进行分析与研究。
1.动力学的观点
(1)由于匀强电场中带电粒子所受电场力和重力都是恒力，可用正交分解法。
(2)综合运用牛顿运动定律和匀变速直线运动公式，注意受力分析要全面，特别注意重力是否需要
考虑。
2.能量的观点
(1)运用动能定理，注意过程分析要全面，准确求出过程中的所有力做的功，判断是对分过程还是
对全过程使用动能定理。
(2)运用能量守恒定律，注意题目中有哪些形式的能量出现。
3.动量的观点
(1)运用动量定理，要注意动量定理的表达式是矢量式，在一维情况下，各个矢量必须选同一个正
方向。
3
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(2)运用动量守恒定律，除了要注意动量守恒定律的表达式是矢量式，还要注意题目表述是否在某
方向上动量守恒。
【典例剖析】
例3 (2024·河北卷，13)如图，竖直向上的匀强电场中，用长为L 的绝缘细线系住一带电小球，在
竖直平面内绕O 点做圆周运动。图中A、B 为圆周上的两点，A 点为最低点，B 点与O 点等高。当
小球运动到A 点时，细线对小球的拉力恰好为0，已知小球的电荷量为q(q>0)，质量为m，A、B
两点间的电势差为U，重力加速度大小为g，求:
(1)电场强度E 的大小;
(2)小球在A、B 两点的速度大小。
例4 (2025·湖北襄阳模拟)如图甲所示，两个半径为R 的竖直固定的绝缘光滑1
4细圆管道与粗糙水
平地面AB 在B 点平滑相切，过管道圆心O1O2的水平界面下方空间有水平向右的电场，记A 点所
在位置为坐标原点，沿AB 方向建立x 坐标轴，电场强度大小随位置x 变化如图乙所示。质量为
m、带电荷量为＋q(q>0)的小球P 静止在A 点，与地面间动摩擦因数μ＝0.5。另有一光滑绝缘不带
电小球Q，质量为m
2 ，以速度v0＝3
2 √2gR向右运动，与小球P 发生弹性正碰，碰撞时间极短，且
4
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P、Q 间无电荷转移，碰后P 球可从B 点无碰撞进入管道。已知A、B 间距离为4R，E0＝mg
2q ，重
力加速度为g，不计空气阻力，小球P、Q 均可视为质点。求:
(1)碰后小球P 的速度大小vP;
(2)小球P 从A 点运动到管道最高点C 的过程中静电力做的功WAC;
(3)小球P 再次到达水平地面时与B 点的距离。
【即时训练】
2.(2025·山东实验中学高三模拟)如图所示在电场强度为E 的匀强电场中有一带电绝缘物体P 处于
水平面上。已知P 的质量为m、带电荷量为＋q，其所受阻力与时间的关系为f＝f0＋kt。t＝0 时物
体P 由静止开始运动直至速度再次为零的过程中，以下说法正确的是( )
A.物体达到最大速度的时间qE−f 0
mk
B.物体达到的最大速度为(qE−f 0)
2
2mk
5
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C.全过程中，物体所受静电力的冲量为qE(qE−f 0)
2k
D.全过程中，物体所受阻力f 的冲量为f 0(qE−f 0)
k
【限时训练】（40min）
1.如图所示，在竖直向上的匀强电场中，一根不可伸长的绝缘细绳的一端系着一个带电小球，另
一端固定于O 点，小球在竖直平面内做匀速圆周运动，最高点为a，最低点为b。不计空气阻力，
则下列说法正确的是( )
A.小球带负电
B.静电力与重力平衡
C.小球在从a 点运动到b 点的过程中，电势能减小
D.小球在运动过程中机械能守恒
2.(2025·四川绵阳模拟)如图所示，A、B、C、D、E、F、G、H 是竖直光滑绝缘圆轨道的八等分点，
AE 竖直，空间存在平行于圆轨道面的匀强电场，从A 点静止释放一质量为m 的带电小球，小球
沿圆弧恰好能到达C 点。若在A 点给带电小球一个水平向右的冲量，让小球沿轨道做完整的圆周
运动，则小球运动过程中( )
A.E 点的动能最小
B.B 点的电势能最大
C.C 点的机械能最大
D.F 点的机械能最小
3.真空中存在空间范围足够大的水平向右的匀强电场，在电场中，一个质量为m、带电的小球在
B 点静止时细线与竖直方向的夹角为37°，小球所带的电荷量为q，细线的长度为l，重力加速度
为g，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。下列说法正确的是( )
6
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A.小球带负电
B.电场强度的大小E＝3mg
5q
C.若将小球从A 点由静止释放，则小球从A 点运动到C 点的过程中电势能增加了0.75mgl
D.若将小球从A 点由静止释放，则小球运动到C 点时受到细线的拉力大小为3mg
4.(2024·海南文昌中学模拟)如图所示，处于真空中的匀强电场与水平方向成θ 角，直线AB 与匀强
电场E 互相垂直。在A 点以大小为v0的初速度水平抛出一质量为m、带电荷量为＋q 的小球，经
时间t，小球下落一段距离过C 点(图中未画出)时速度大小仍为v0，在小球由A 点运动到C 点的过
程中，下列说法中正确的是( )
A.小球的电势能减少
B.C 可能位于AB 直线的右侧
C.小球的机械能减少量一定等于1
2mg2t2
D.小球的机械能减少量一定大于1
2mg2t2
5.如图所示，一带电的平行板电容器固定在绝缘底座上，底座置于光滑水平面上，一光滑绝缘轻
杆左端固定在电容器的左极板上，并穿过右极板上的小孔，电容器极板连同底座总质量为2m，底
座锁定在水平面上时，套在杆上质量为m 的带电环以某一初速度由小孔进入电容器后，最远能到
达距离右极板为d 的位置。底座解除锁定后，将两极板间距离变为原来的2 倍，其他条件不变，
则带电环进入电容器后，最远能到达的位置距离右极板( )
A.1
2d
B.d
C.2
3d
D.4
3 d
7
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6.(2025·福建漳州模拟)如图所示，质量为9m 的靶盒(可视为质点)带正电，电荷量为q，静止在光
滑水平面上的O 点。O 点右侧存在电场强度大小为E、方向水平向左的匀强电场。在O 点左侧有
一质量为m 的子弹，以速度v0水平向右打入靶盒后与靶盒一起运动。已知子弹打入靶盒的时间极
短，子弹不带电，且靶盒带电荷量始终不变，不计空气阻力。
(1)求子弹打入靶盒后的瞬间，子弹和靶盒共同的速度大小v1;
(2)求子弹打入靶盒后，靶盒向右离开O 点的最大距离s;
(3)若靶盒回到O 点时，第2 颗完全相同的子弹也以v0水平向右打入靶盒，求第2 颗子弹对靶盒的
冲量大小I。
7.如图所示，光滑水平面AB 和竖直面内的光滑1
4圆弧导轨在B 点平滑连接，导轨半径为R。质量
为m 的带正电小球将轻质弹簧压缩至A 点后由静止释放，脱离弹簧后经过B 点时的速度大小为
√gR，之后沿轨道BO 运动。以O 为坐标原点建立直角坐标系xOy，在x≥－R 区域有方向与x 轴夹
角为θ＝45°的匀强电场，进入电场后小球受到的静电力大小为√2mg。小球在运动过程中电荷量保
持不变，重力加速度为g。求:
8
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(1)弹簧压缩至A 点时的弹性势能;
(2)小球经过O 点时的速度大小;
(3)小球过O 点后运动的轨迹方程。
8.如图所示，在竖直平面内，一半径R＝0.5 m 的光滑绝缘圆弧轨道BCD 和绝缘水平轨道AB 在B
点相切，BC 为圆弧轨道的直径，O 为圆心，OC 和OD 之间的夹角θ＝37°，整个装置固定在水平
向左的匀强电场中，匀强电场的电场强度大小E＝5
3×105 V/m。一质量m＝100 g 的带电小滑块从
A 点由静止释放后沿水平轨道向左运动，经B 点进入圆弧轨道，通过D 点后落回水平轨道。已知
滑块运动到D 点时所受合力的方向指向圆心O，且此时滑块对圆弧轨道恰好没有压力。不计空气
阻力，g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6。求:
(1)小滑块所带的电荷量;
(2)小滑块通过C 点时，对圆弧轨道的压力大小;
(3)小滑块落回水平轨道位置与B 点之间的距离。
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