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专题37 电容器 带电粒子在电场中的运动
学习目标
理解电容器的充放电现象，并能根据充放电现象判断电容器的动态变化情
况；掌握带电粒子在电场中的受力分析方法,判断带电粒子在电场中的偏转情
况和运动情况；熟练拿握平抛运动的特点和规律，正确应用牛顿第二定律解
决类平抛问题。
知识点梳理
1．电容器
(1)充、放电
①充电：使电容器两极板上带等量异种电荷的过程，电源提供的能量储存在
电容器中。
②放电：使电容器两极板电荷中和的过程，电容器储存的能量转化为其他形
式的能。
(2)电容
①定义式：C＝Q
U 。
②单位：法拉(F)、 微法(μF)、皮法(pF)
1 F＝10
6 μF＝10
12 pF。
③平行板电容器：C＝εr S
4 π kd 。
2．带电粒子在匀强电场中的运动
(1)加速
①匀强电场：W＝qEd＝qU＝1
2 mv
2- 1
2 _ mv0
2。
②非匀强电场：W＝qU＝1
2 m v
2- 1
2 m v0
2。
(2)偏转
①运动形式：类平抛运动。
②处理方法：应用运动的合成与分解。
③基本关系式
ⅰ．运动时间：t＝l
v0。
ⅱ．加速度：a＝F
m＝qE
m ＝qU
md 。
ⅲ．偏转量：y＝1
2at2＝qU l
2
2md v0
2。
ⅳ．偏转角θ 的正切值：tan θ＝
v y
v0
＝at
v0＝
qUl
md v0
2。
3．示波管
(1)构造
①电子枪，②偏转电极，③荧光屏。(如图所示)
(2)工作原理
①YY′偏转电极上加的是待测的信号电压，XX′偏转电极上是仪器自身产生的
锯齿形电压，叫作扫描电压。
②观察到的现象
ⅰ．如果在偏转电极XX′和YY′之间都没有加电压，则电子枪射出的电子沿直
线运动，打在荧光屏中心，产生一个亮斑。
ⅱ．若所加扫描电压和信号电压的周期相等，就可以在荧光屏上得到待测信
号在一个周期内变化的稳定图像。
真题汇编
1．（2025•甘肃）如图，两极板不平行的电容器与直流电源相连，极板间形成
非匀强电场，实线为电场线，虚线表示等势面。
、
点在同一等势面上，
、
点在同一电场线上。下列说法正确的是
A．
点的电势比
点的低
B．
点的电场强度比
点的小
C．负电荷从
点运动到
点，速度增大
D．负电荷从
点运动到
点，电场力做负功
2．（2025•甘肃）离子注入机是研究材料辐照效应的重要设备，其工作原理如
图1 所示。从离子源
释放的正离子（初速度视为零）经电压为
的电场加速
后，沿
方向射入电压为
的电场
为平行于两极板的中轴线），极板长
度为、间距为
，
关系如图2 所示。长度为
的样品垂直放置在距
极
板
处，样品中心位于
点。假设单个离子在通过
区域的极短时间内，电压
可视为不变，当
时，离子恰好从两极板的边缘射出。不计重力及离
子之间的相互作用。下列说法正确的是
A．
的最大值
B．当
且
时，离子恰好能打到样品边缘
C．若其他条件不变，要增大样品的辐照范围，需增大
D．在和
时刻射入
的离子，有可能分别打在
和
点
3．（2025•福建）某种静电分析器简化图如图所示，在两条半圆形圆弧板组成
的管道中加上径向电场。现将一电子
自
点垂直电场射出，恰好做圆周运动，
运动轨迹为
，半径为。另一电子自
点垂直电场射出，轨迹为弧
，
其中
共线，已知
电势差为
，
，粒子入射动能为
，则
A．
点的电场强度
B．
点场强大于
点场强
C．粒子在
点动能小于
点动能
D．粒子全程的克服电场力做功小于
4．（2025•回忆版）电容器的形状变化会导致其电容变化，这一性质可用于设
计键盘，简化原理图如图所示。键盘按键下的装置可视为平行板电容器，电容
器的极板面积为
、间距为
，电容
为常量）。按下键盘按键时，极
板间的距离变为按压前的
倍；撤去按压，按键在弹力作用下复位。电容器充
电后，
（1）若按压按键不改变电容器所带的电荷量，则按压后极板间的电压变为按压
前的多少倍？
（2）若按压按键不改变电容器极板间的电压，则按压后极板间的电场强度大小
变为按压前的多少倍？
5．（2025•江苏）如图所示，在电场强度为
，方向竖直向下的匀强电场中，
两个相同的带正电粒子、同时从
点以初速度
射出，速度方向与水平方向
夹角均为
。已知粒子的质量为
。电荷量为，不计重力及粒子间相互作用。
求：
（1）运动到最高点的时间；
（2）到达最高点时，、间的距离
。
1．平行板电容器两类典型问题
(1)如图甲所示，电容器始终与恒压电源相连，电容器两极板间的电势差U 保
持不变。
(2)如图乙所示，电容器充电后与电源断开，电容器两极板所带的电荷量Q 保
持不变。
2．动态分析思路
(1)U 不变
①根据C＝εr S
4 π kd 和C＝Q
U ，先分析电容的变化，再分析Q 的变化。
②根据E＝U
d 分析电场强度的变化。
③根据UAB＝Ed 分析某点电势变化。
(2)Q 不变
①根据C＝εr S
4 π kd 和C＝Q
U ，先分析电容的变化，再分析U 的变化。
②根据E＝U
d 分析电场强度变化。
例题精讲：
【例1】（2025•太康县校级开学）某同学设计了一款河水水位监测器，如图，
平行板电容器、电流表和电源组成一电路，绝缘细杆一端连接漂浮在水面上的
考点1：平行板电容器的动态分析
浮子，另一端与电容器极板
连接（极板
固定），上下移动就带动
上下
移动（初始时，极板
的高度低于极板
，监测人员通过电流表指针偏转情况
就可以远距离得知河水水位的变化。已知电流从左侧进入电流表，其指针左偏；
电流从右侧进入电流表，其指针右偏。若监测人员发现电流表指针右偏，可以
得出
A．河水水位在下降
B．
极板的电荷量在减少
C．平行板电容器的电容在增大
D．
、
间的电场强度在变大
【例2】（2025 春•沭阳县期末）电容式麦克风的振动膜是利用超薄金属或镀金
的塑料薄膜制成的，其工作原理如图所示，振动膜与基板构成电容器，并与电
阻、电池构成闭合回路，两极板间电压不变。振动膜向右振动，两极板间的距
离减小，则
A．振动膜带正电
B．电容器电容减小
C．电容器带的电荷量增加
D．电容器两极板间的电场强度减小
【例3】（2025 春•贵州期末）智能手环已成为人们生活中监测健康与运动状态
的得力助手，其核心元件之一是平行板电容器，当用户剧烈运动时挤压手环，
内部平行板电容器的极板间距会变小。若该电容器在被挤压前已完成充电，且
与电源断开，则在挤压过程中，以下说法正确的是
A．电容器极板所带电荷量变小
B．电容器的电容
变小
C．极板间的电场强度
变小
D．极板间的电压
变小
1．关于带电粒子(体)的重力分析
(1)基本粒子：如电子、质子、α 粒子、离子等除有特殊说明或明确的暗示
外，一般不考虑重力(但不能忽略质量)。
(2)带电颗粒：如液滴、油滴、尘埃、小球等，除有特殊说明或明确的暗示
外，一般都不能忽略重力。
2．分析带电粒子(体)在电场中的直线运动的方法
(1)用动力学观点分析(只适用于匀强电场)
a＝qE
m ，E＝U
d ，v
2- v0
2＝2ad。
(2)用功能观点分析
考点2：带电粒子的电场中的直线运动
①匀强电场中：W＝qEd＝qU＝1
2 m v
2- 1
2 m v0
2。
②非匀强电场中：W＝qU＝Ek2－Ek1。
例题精讲：
【例4】（2025•武冈市开学）如图所示，
和
为两平行金属板，板间有恒定
的电压，在
板附近有一电子（不计重力）由静止开始向
板运动，下列说法
正确的是
A．电子到达
板时的速率，与板间电压无关，仅与两板间距离有关
B．电子到达
板时的速率，与两板间距离无关，仅与板间电压有关
C．两板间距离越小，电子的加速度就越小
D．两板间距离越大，加速时间越短
【例5】（2025 春•汕头期末）
磁谱仪可在太空中用于寻找反物质和暗物质。
如图为该仪器加速环节的简化模型：
点为圆心，电势为零；辐射状的加速电
场边界为半圆弧面
，其半径为
，电势为
。假设太空中漂浮着大量的带
电粒子，每个粒子质量为
、电量为，它们能吸附到辐射状电场的半圆弧面
上，并从静止开始加速到达
点，不计粒子间的相互作用和重力的影响。则
A．粒子带负电
B．加速电场的电场强度大小
C．粒子到达
点时的速度大小为
D．粒子到达
点的过程中，加速度逐渐减小
【例6】（2025 春•北京校级期末）如图（a）所示，平行正对的金属板
、
间加有如图（b）所示的变化电压
，重力可忽略的带正电粒子被固定在两板
的正中间
处。若在
时刻释放该粒子，粒子先向
板运动，再向
板运动
，
最终打在
板上。则
可能属于的时间段是
A．
B．
C．
D．
1．带电粒子在电场中偏转规律
2．几个重要推论
(1)粒子从偏转电场中射出时，其速度方向反向延长线与初速度方向延长线交
于一点，此交点为沿初速度方向位移的中点。
(2)速度偏转角θ 的正切值等于位移偏转角α 的正切值的2 倍，即tan θ＝2tan
α。
(3)以相同的初速度进入同一个偏转电场的带电粒子，不论m、q 是否相同，
只要比荷q
m相同，则偏转距离y 和偏转角θ 相同。
(4)若以相同的初动能Ek0进入同一个偏转电场，只要q 相同，不论m 是否相
同，则偏转距离y 和偏转角θ 相同。
(5)电荷量q 不同的同性带电粒子经同一电场加速后(即加速电压U1相同)，再
经同一电场偏转(即偏转电压U2相同)，则偏转距离y 和偏转角θ 均相同。
(6)当讨论带电粒子的末速度v 时，也可以从能量的角度进行求解：qUy＝
1
2 mv
2- 1
2 mv0
2，其Uy＝U
d y，指初、末位置间的电势差。
例题精讲：
【例7】（多选）（2025•黑龙江校级开学）如图所示，平行金属板
，
水平
放置，两板带有等量异种电荷，两板间形成的匀强电场方向竖直向下。现将一
考点3：带电粒子在匀强电场中的偏转
带电粒子沿水平方向从
板左侧靠近
板射入电场中，当粒子射入速度大小为
时，粒子沿轨迹Ⅰ从两板正中间飞出，粒子在两板间运动的时间为；当粒子
射入速度大小为
时，粒子沿轨迹Ⅱ落到
板正中间，粒子在两板间运动的时
间为。不计重力，下列说法正确的是
A．
B．
C．粒子沿轨迹Ⅱ运动时的电势能变化量是沿轨迹Ⅰ运动时的2 倍
D．粒子沿轨迹Ⅱ运动时的速度偏转角的正切值是沿轨迹Ⅰ运动时的4 倍
【例8】（2025•信宜市校级开学）如图所示，电子在电势差为
的加速电场中
由静止开始运动，然后射入电势差为
的两块平行板间的电场中，入射方向跟
极板平行。整个装置处在真空中，重力可忽略。在电子能射出平行板区的条件
下，下列四种情况中，一定能使电子的偏转角
变大的是
A．
变大，
变大
B．
变小，
变大
C．
变大，
变小
D．
变小，
变小
【例9】（2025•长沙校级模拟）如图所示，空间存在大小为
、方向竖直向下
的匀强电场，一质量为
、电荷量为
的粒子以速度
从
连线上的
点水平向右射出，已知
与水平方向成
角，粒子的重力可以忽略。则粒子
到达
连线上的某点时
A．所用的时间为
B．速度大小为
C．与
点的距离为
D．速度方向与竖直方向的夹角为
课后提优练习
一．选择题（共14 小题）
1．（2025 春•江苏期中）电子仅在电场力作用下沿曲线abc 从a 运动到c，已知
电子速率是递减的。关于b 点电场强度E 的方向，下列图示中可能正确的是
（虚线是曲线在b 点的切线）（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025•建邺区校级开学）如图所示，绝缘水平地面上固定有一带正电小球
A，小球A 正上方有一个轻小光滑定滑轮，绝缘细线绕过定滑轮拴住另一个
相同的带电小球B。已知两小球的质量均为m，电荷量均为q，重力加速度
大小为g，静电力常量为k，两小球均可视为点电荷，拉力F = 2❑√3
3
mg时，小
球B 对地面恰好无压力，然后继续缓慢拉动细线使小球B 缓慢移动到小球A
的正上方，下列说法正确的是（ ）
A．小球B 对地面恰好无压力时两小球间的距离为❑√
❑√3k q
2
mg
B．小球B 被拉动后，拉力F 大小保持不变
C．小球B 被拉动后，电场力对小球B 先做正功后做负功
D．把小球B 拉到小球A 正上方的过程中，拉力对小球B 做的功为2（❑√3-
1）mg❑√
❑√3k q
2
mg
3．（2025•扬州校级模拟）一充电的平行板电容器，板长为L，现将一带电微
粒（重力不计）从下极板的左边缘以v0射入电场中，速度方向与下极板的夹
角为θ，结果带电微粒刚好从上极板的右边缘水平射出。下列说法正确的是
（ ）
A．微粒在两板之间做变加速曲线运动
B．两板间距为1
2Ltanθ
C．微粒在极板间运动的时间为
L
v0 sinθ
D．加大两平行板之间的距离，微粒会打在上极板
4．（2025 春•镇江期末）如图所示为某一电场中电场线的分布情况，一带电粒
子在电场中运动的轨迹如虚线所示，若不考虑其他力，下列判断正确的是（
）
A．粒子带正电
B．粒子在A 点加速度大于在B 点加速度
C．粒子在A 点速度大于在B 点速度
D．粒子在A 点电势能大于在B 点电势能
5．（2025 春•镇江期末）如图所示，两个粒子a 和b 电荷量之比为1：2，以相
同的初动能垂直射入偏转电场（不计粒子重力），则这两个粒子射出电场时
的侧位移y 之比为（ ）
A．1：2
B．1：4
C．1：8
D．1：16
6．（2025 春•淮安区期末）某静电场中的电场线如图所示，一带电粒子仅受电
场力作用，其运动轨迹如图中虚线所示，则粒子（ ）
A．带负电荷
B．一定从M 点运动到N 点
C．在M 点的加速度比在N 点的大
D．在M 点的电势能比在N 点的大
7．（2025 春•南京期末）如图所示，在竖直平面内有水平向左的匀强电场，一
根长L＝0.5m 的绝缘细线的一端固定在电场中的O 点，另一端系住一质量m
＝0.3kg、带电量q＝﹣4×10
7
﹣C 的小球，小球静止时细线与竖直方向成θ＝
37°角。现给小球一个与细线垂直的初速度，使其从静止位置开始运动，发现
它恰好能绕O 点在竖直平面内做完整的圆周运动。已知g＝10m/s2，sin37°＝
0.6，cos37°＝0.8，则（ ）
A．匀强电场的电场强度大小为1×107N/C
B．小球从初始位置运动至轨迹最左端的过程中机械能减小了1.8J
C．小球获得的初速度大小为5m/s
D．小球在竖直平面内顺时针运动一周回到初始位置的过程中，其电势能先
增大后减小
8．（2025 春•六合区校级期末）在平行于纸面内的匀强电场中，有一电荷量为
q 的带正电粒子，仅在电场力作用下，粒子从电场中A 点运动到B 点，速度
大小没变，均为2v0，粒子的初、末速度与AB 连线的夹角均为30°，如图所
示，已知A、B 两点间的距离为d，则该匀强电场的电场强度为（ ）
A．
❑√3m v0
2
qd
，方向竖直向下
B．2m v0
2
qd
，方向斜向左上方
C．3m v0
2
qd
，方向竖直向下
D．2❑√3m v0
2
qd
，方向斜向左下方
9．（2025 春•鼓楼区校级期末）如图所示，三块平行放置的带电金属薄板A、
B、C 中央各有一小孔，小孔分别位于O、M、P 点，由O 点静止释放的电子
恰好能运动到P 点，现将C 板向左平移到P'点，则由O 点静止释放的电子（
）
A．运动到P 点返回
B．运动到P 和P′点之间返回
C．运动到P′点返回
D．穿过P'点后继续运动
10．（2025 春•鼓楼区校级期末）如图，静电场中虚线为等势面1、2、3、4，
且相邻等势面之间的电势差相等，其中等势面2 的电势为0。一带正电的粒
子只在静电力的作用下运动，从1 到4 依次经过四个等势面，经过1 和4 两
个等势面时的动能分别为30eV 和3eV。下列说法正确的是（ ）
A．电势φ1＞φ2＞φ3＞φ4
B．当粒子的动能为5eV 时，其电势能为16eV
C．粒子在经过四个等势面时，加速度在不断增大
D．粒子在等势面2 的电势能大于在等势面3 的电势能
11．（2025•兴化市校级开学）如图甲所示，竖直平面内固定一半径为R 的光滑
绝缘圆环，圆环所在平面内存在水平方向的匀强电场，环上A 点与圆心O 位
于同一水平高度，设圆环上的某点与O 点的连线与OA 连线的夹角为θ，其
电势φ 与θ 的关系图像如图乙所示，其中φ0=
❑√3mgR
3q
。初始时刻从圆环内A
点无初速释放一电量为+q、质量为m、可视为质点的小球，重力加速度为
g，则在小球以后的运动过程中，下列说法正确的是（ ）
A．小球运动至θ= π
6 的位置时，速度最大
B．小球运动至θ= π
2 的位置时，动能最大
C．小球运动至θ= 2π
3 的位置时，电势能最大
D．小球能做完整的圆周运动回到A 点
12．（2025•宿迁二模）如图所示，竖直放置在光滑绝缘水平面上的平行板电容
器，极板M 固定，N 与轻质绝缘弹簧相连，弹簧右端固定。充电后电容器所
带电荷量为Q，N 板静止在O 点，板间电场强度大小为E，每个极板在板间
产生的电场均为匀强电场。若将N 板向左移动Δx 由静止释放，此后运动过
程中（ ）
A．N 板在O 点时弹簧处于原长
B．N 板所带的电荷量为+ Q
2
C．弹簧弹力的方向不会改变
D．系统机械能变化的最大值为QEΔx
13．（2017 秋•泰兴市校级月考）电子在电势差U1为的加速电场中由静止开始
运动，然后射入电势差U2为的两块平行板间的电场中，入射方向跟极板平行。
整个装置处在真空中，重力可忽略。在满足电子能射出平行板区的条件下，
下述四种情况中，一定能使电子的偏转角θ 变小的是（ ）
A．U1变大，U2变大
B．U1变大，U2变小
C．U1变小，U2变大
D．U1变小，U2变小
14．（2025•海门区校级二模）如图，一带正电小球甲固定在光滑绝缘斜面上，
另一带正电小球乙在斜面上由静止释放。以释放点为原点，沿斜面向下为正
方向建立x 轴。在乙沿x 轴加速下滑过程中，其动能Ek和机械能E 随位置x
变化的图像，可能正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
二．解答题（共1 小题）
15．（2025•南京模拟）如图甲所示，两相同金属极板A 与B 的长度L 为1m，
相距d 为0.1m，极板间的电压UAB如图乙所示，U0为100V。在金属板右侧
空间存在宽度x 为2m 的竖直向上的匀强磁场，磁场右边缘处竖直放置一足
够大的荧光屏。大量带正电的同种粒子沿极板中线平行于板面方向持续射入
板间，射入时的速度v0为5.0×103m/s。已知粒子质量m 为1.0×10
6
﹣kg，电荷
量q 为1.0×10
3
﹣C，粒子的重力与相互间的作用力忽略不计。求：
（1）粒子在金属板间运动的加速度大小；
（2）t 为0s 时射入的粒子离开金属板时，沿垂直于板面方向偏移的距离；
（3）t 为2.0×10
4
﹣s 时射入的粒子，运动轨迹恰好与光屏相切，右侧空间的磁
感应强度。
