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专题十 带电粒子在复合场中的运动
——精剖细解细备考讲义
高考对于这部分知识点主要以模型与几何关系结合，考查带电粒子在电磁场中的运动等。强化
对物理基本概念、基本规律的考核。试题的呈现形式丰富，提问角度设置新颖。在解决此类问题时
要将所学物理知识与实际情境联系起来，抓住问题实质，具备一定的空间思维能力。主要考查的知
识点有：带电粒子在电场、磁场以及复合场中的运动。
知识点1：带电粒子在复合场中的运动
带电粒子在电场做直线运动：
带电粒子在电场中的曲线运动：
情形
进入电场的方式
受力特点
运动特点
图示
以初速度v0
垂直场强方
向射入匀强
电场
以初速度v0垂直
场强方向射入匀
强电场，受恒定
电场力作用，做
类似平抛运动。
电场力大小恒
定，且方向与初
速度v0 的方向垂
直。
做类平抛运动
（匀变速曲线
运动运动）。
先加速后偏
转
静止放在匀强电
场中，经过电场
加速获得速度
v0，然后垂直场
强方向射入匀强
电场。
加速阶段：电场
力大小恒定，且
方向与运动方向
平行；偏转阶
段：电场力大小
恒定，且方向与
速度v0 的方向垂
加速阶段：匀
加速直线运
动；偏转阶
段：做类平抛
运动。
1
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直。
圆周运动类型：
运动类型
受力分析
系统的形式
运动的条件
仅在电场力作用下的匀
速圆周运动
只受电场力（或者库仑
力），电场力（或者库
仑力）提供向心力。
除带电粒子外，系统存
在单个点电荷或者多个
点电荷。
速度方向与库仑力力的
方向垂直。
电场力和重力作用下的
匀速圆周运动
①受一个库仑力，一个
电场力（匀强电场）和
重力，重力和电场力平
衡，库仑力提供向心
力。②只受重力和电场
力的情形：二者的合力
提供向心力。
①除带电粒子外，系统
存在一个点电荷、一个
匀强电场和重力。②除
带电粒子外，系统存在
一个点电荷和重力。
①带电粒子受到匀强电
场的电场力与重力平
衡，速度方向与库仑力
的方向垂直。②速度方
向与库仑力和重力的合
力的方向垂直。
径向电场中的匀速圆周
运动
电场力提供向心力。
电子偏转器的剖面图。
速度方向与电场力的方
向垂直。
带电粒子在磁场中的运动：
安培力大小：F＝BILsin θ(其中θ 为B 与I 之间的夹角)；磁场和电流垂直时F＝
BIL；磁场和电流平行时F＝0。
洛伦兹力大小：F＝qvBsinθ(其中θ 为B 与v 之间的夹角)；磁场和电荷运动速度垂直
时F＝qvB；磁场和电荷运动速度平行时F＝0。洛伦兹力的方向总是垂直于运动电荷速度方
向和磁场方向确定的平面；当电荷运动方向发生变化时，洛伦兹力的方向也随之变化；运动电荷在
磁场中不一定受洛伦兹力作用；左手判断洛伦兹力方向，但一定分正、负电荷。负电荷在磁场中运
动所受的洛伦兹力时，要注意将四指指向电荷运动的反方向；洛伦兹力一定不做功。一个力与速度
方向如果始终垂直，则这个力对该物体始终不做功。由于洛伦兹力方向始终与电荷运动方向垂直，
洛伦兹力对运动电荷永不做功，即洛伦兹力不能改变速度的大小和动能大小，仅能够改变运动电荷
的速度方向。
导体在磁场中平衡和加速问题的分析思路：
2
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带电粒子在磁场中的运动：
研究带电粒子在磁场中的匀速圆周运动的关键是圆心、半径、运动时间的确定——轨道圆的
“三个确定”。
圆心的确定如下表：
圆心的确定
方法
由两点和两线确定圆
心，画出带电粒子在匀
强磁场中的运动轨迹。
确定带电粒子运动轨迹
上的两个特殊点（一般
是射入和射出磁场时的
两点），过这两点作带
电粒子运动方向的垂线
（这两垂线即为粒子在
这两点所受洛伦兹力的
方向），则两垂线的交
点就是圆心。
若只已知过其中
一个点的粒子运
动方向，则除过
已知运动方向的
该点作垂线外，
还要将这两点相
连作弦，再作弦
的中垂线，两垂
线交点就是圆
心。
若只已知一个点
及运动方向，也
知另外某时刻的
速度方向，但不
确定该速度方向
所在的点，此时
要将其中一速度
的延长线与另一
速度的反向延长
线相交成一角
（∠PAM），画
出该角的角平分
线，它与已知点
的速度的垂线交
于一点O，该点
就是圆心。
轨迹圆弧与边界切
点的法线过圆心。
某点的速度垂线与
切点法线的交点。
图示
3
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半径的确定如下表：
半径的确定方法
由物理方程求：半径R＝
由几何方程求：一般由数学知识（勾股定理、三角函数等）计算
来确定。
例：（右图）R＝或由R2＝L2＋（R－d）2求得R＝。
圆心角与时间的确定如下：
由圆心角求，t＝·T；
由弧长求，t＝。
3、带电粒子在复合场中的运动
分析思路如下图所示：
4
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带电粒子在复合场中的运动
1．（2023·山东济南·二模）如图所示，半径为R 的圆形区域中有垂直纸面向外的匀强磁场（图中未
画出），磁感应强度B，一比荷为
的带正电粒子，从圆形磁场边界上的A 点以
的速度垂
直直径MN 射入磁场，恰好从N 点射出，且
，下列选项正确的是（ ）
5
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A．粒子在磁场中运动的时间为
B．粒子从N 点射出方向竖直向下
C．若粒子改为从圆形磁场边界上的C 点以相同的速度入射，一定从N 点射出
D．若要实现带电粒子从A 点入射，从N 点出射，则所加圆形磁场的最小面积为
【答案】C
【详解】A．粒子恰好从N 点射出，轨迹如下图所示，运动周期为
四边形AONP 的圆心角为
粒子在磁场中运动的时间为
故A 错误；
B．粒子在磁场中速度偏转
，从N 点射出方向是与竖直方向呈
，故B 错误；
C．若粒子改为从圆形磁场边界上的C 点以相同的速度入射，轨迹如下图所示，四边形SCON 为菱
形，由几何知识可知一定从N 点射出，故C 正确；
D．若要实现带电粒子从A 点入射，从N 点出射，则所加圆形磁场以AN 为直径时面积最小，最小
面积为
故D 错误。
6
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故选C。
2．（2023·云南·二模）如图所示，纸面内有一圆心为O，半径为R 的圆形磁场区域，磁感应强度的
大小为B，方向垂直于纸面向里。由距离O 点
处的P 点沿着与
连线成
的方向发射速
率大小不等的电子。已知电子的质量为m，电荷量为e，不计电子的重力且不考虑电子间的相互作
用。为使电子不离开圆形磁场区域，则电子的最大速率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】如图
当电子的运动轨迹与磁场边界相切时，根据
7
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得
电子运动半径最大，速度最大。电子圆周运动的圆心与圆形磁场的圆心以及切点共线，过电子圆周
运动的圆心做OP 的垂线，由几何关系得
得
则最大速率为
故选C。
3．（2023·山东聊城·模拟预测）如图所示是带电粒子收集器的示意图，直角三角形ABC 区域内有
垂直于纸面向外、磁感应强度大小为B 的匀强磁场，AC 边长为L，∠A=30°。一束带正电的粒子流
以相同速度在CD 范围内垂直AC 边射入，从D 点射入的粒子恰好不能从AB 边射出。已知从BC 边
垂直射出的粒子在磁场中运动的时间为3t，在磁场中运动时间最长的粒子所用时间为4t，则
（ ）
A．粒子的比荷为
B．粒子运动的轨道半径为
C．粒子射入磁场的速度大小为
D．这束粒子在磁场中扫过的面积为
8
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【答案】C
【详解】A．从BC 边垂直射出的粒子运动时间
解得
根据
可知
解得
故A 错误；
B．在磁场中运动时间最长的粒子轨迹如图所示
由几何关系
9
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解得
故B 错误；
C．由
解得
故C 正确；
D．粒子在磁场中扫过的面积如图中灰色部分所示，则
故D 错误。
故选C。
4．（2023·福建南平·模拟预测）回旋加速器工作原理如图所示，置于真空中的两个半圆形金属盒半
径为R，两盒间留有一狭缝接有频率为f 的高频交流电，加速电压为U，磁感应强度为B 的匀强磁
场与盒面垂直。若A 处粒子源产生的氘核
在狭缝中被加速，不考虑相对论效应和重力的影响，
不计粒子在电场中的加速时间。则（ ）
A．氘核离开回旋加速器时的最大速率随加速电压U 增大而增大
B．氘核被加速后的最大速度可能超过
C．氘核第n 次和第
次经过两金属盒间狭缝后的轨道半径之比为
D．不改变磁感应强度B 和交流电频率f，该回旋加速器也能加速
粒子
【答案】D
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【详解】A．根据
可得
可知氘核离开回旋加速器时的最大速率与加速电压U 无关，故A 错误；
B．氘核被加速后的最大速度时的半径为R，则
故氘核被加速后的最大速度不可能超过
，故B 错误；
C．氘核第n 次和第
次经过两金属盒间狭缝后的分别有
解得
又
则
则氘核第n 次和第
次经过两金属盒间狭缝后的轨道半径之比为
故C 错误；
D．回旋加速器的周期为
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由于氘核
和
粒子
的比荷相等，所以不改变磁感应强度B 和交流电频率f，该回旋加速
器也能加速
粒子，故D 正确。
故选D。
5．（2023·四川绵阳·三模）质谱仪可测定同位素的组成。现有一束一价的钠23 和钠24 离子经电场
加速后，沿着与磁场边界垂直的方向进入匀强磁场中，如图所示。测试时规定加速电压大小为
，
但在实验过程中加速电压有较小的波动，可能偏大或偏小
。为使钠23 和钠24 打在照相底片上
的区域不重叠，不计离子的重力，则
不得超过（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】设磁场的磁感应强度为
，电荷量的电荷量为
，质量为
，其在磁场中运动的轨迹半径
为
，则由动能定理有
由洛伦兹力充当向心力有
联立解得
根据该式可知，在加速电压
、磁感应强度
、电荷量
相同的情况下，
小的半径小，所以钠
23 半径小，钠24 半径大。设钠23 质量为
加速电压取最大值
，最大半径为
；钠24 质
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量为
，加速电压取最小值
，最小半径为
，因此有
钠23 和钠24 打在照相底片上的区域恰好有重叠，则有
，可得
解得
即
不得超过
。
故选C。
多选题
6．（2024·四川成都·二模）如图所示，竖直平面内建立直角坐标系，整个空间存在平行
平面的
匀强电场，电场强度方向与
轴正方向成
角。质量为
的带电小球从坐标原点沿
轴的正方向
以初速度
水平抛出，经过一段时间小球以
的速度穿过
轴正半轴某点（图中未画），重力加
速度为
，不计空气阻力。则下列说法正确的是（ ）
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A．小球所受电场力大小为
B．小球所受电场力大小为
C．小球电势能最大时动能最小
D．小球电势能最大时水平速度大小等于竖直速度大小
【答案】BD
【详解】AB．将小球的运动分解为水平方向和竖直方向，根据对称性可知，小球穿过
轴正半轴
时的水平分速度为
则小球穿过
轴正半轴时的竖直分速度为
水平方向有
，
竖直方向有
，
联立可得小球所受电场力大小为
故A 错误，B 正确；
CD．小球抛出后，当速度方向与电场线垂直斜向上时，克服电场力做功最多，电势能最大，此时
电场力的方向与速度方向垂直，而重力的方向与速度方向夹角为钝角，接下来小球的速度会继续减
小，并非此时是动能最小的时刻；由于此时小球速度与水平方向成
，则此时水平速度大小等于
竖直速度大小，故C 错误，D 正确。
故选BD。
7．（2024·辽宁·模拟预测）如图所示，在水平方向的匀强电场中，一质量为m 的带电小球用一轻
绳连接恰好在竖直平面内绕O 点做半径为R 的圆周运动，运动轨迹上均匀地分布着A、B、C、D、
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F、G、H 和P 点，OA 垂直于电场强度方向。已知小球带电荷量为
，电场强度
（g
为重力加速度），则下列说法错误的是（ ）
A．小球在A 点时的速度为
B．小球运动至C 点的电势能小于H 点时的电势能
C．小球运动过程中绳子的最大拉力为
D．小球运动过程中的最小速度为
【答案】AC
【详解】AD．由于电场强度
则有
电场力和重力的合力大小为
方向与竖直方向成
斜向右下；小球恰好在竖直平面内绕O 点做圆周运动，则它运动到达P 点时
速度最小，设为，此时电场力和重力的合力刚好提供向心力，则有
解得
小球从P 到A 的过程中，由动能定理可得
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解得
故A 错误，满足题意要求，D 正确，不满足题意要求；
B．由于
，
，根据
可知小球运动至C 点的电势能小于H 点时的电势能，故B 正确，不满足题意要求；
C．小球运动等效最低点D 时的速度最大，对绳子的拉力最大，小球从P 到D 的过程中，由动能定
理可得
在等效最低点D 处，根据牛顿第二定律可得
联立解得
故C 错误，满足题意要求。
故选AC。
8．（2024·河北·模拟预测）如图所示，一个光滑斜面与一个光滑的竖直圆轨道在A 点相切，B 点为
圆轨道的最低点，C 点为圆轨道的最高点，整个空间存在水平向左的匀强电场。一质量为m=1kg，
电荷量为-q（q>0）的带电小球从斜面上静止释放，小球始终能沿轨道运动。已知电场强度
，θ=53°，圆轨道半径R=1m，释放点距A 点的距离为1.2m，g 取10m/s2，sin53°=0.8，
cos53°=0.6。则以下说法中正确的是（ ）
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A．刚释放小球时小球的加速度的大小为12.5m/s2
B．若小球恰好能到达C 点，到达C 点时的速度为
C．若小球恰好能到达C 点，此运动过程中小球对轨道的最大压力为67.5N
D．若小球恰好能到达C 点，此运动过程中小球对轨道的最大压力为12.75N
【答案】AC
【详解】A．根据牛顿第二定律
刚释放小球时小球的加速度的大小为
故A 正确；
B．若小球恰好能到达C 点，轨道对小球的弹力为零，则
得
故B 错误；
CD．设小球到达等效最低点E 时对轨道压力最大。由题意可得
则OE 与竖直方向夹角为
，根据动能定理
又
得
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根据牛顿第三定律，此运动过程中小球对轨道的最大压力为67.5N，故C 正确，D 错误。
故选AC。
9．（2024·陕西西安·一模）如图所示，垂直纸面向里的匀强磁场区域，磁感应强度大小为B，边界
分别是半径为R 和2R 的同心圆，O 为圆心。在圆心O 处有一粒子源（图中未画出），在纸面内沿
各个方向发射出比荷为
的带负电的粒子，速度连续分布且粒子间的相互作用力可忽略不计，这些
带电粒子受到的重力也可以忽略不计，已知sin37°=0.6，cos37°=0.8。若所有的粒子都不能射出磁场，
则下列说法正确的是（ ）
A．粒子速度的最大值为
B．粒子速度的最大值为
C．某粒子恰好不从大圆边界射出磁场，其在磁场中运动的时间为
（不考虑粒子再次进
入磁场的情况）
D．某粒子恰好不从大圆边界射出磁场，其在磁场中运动的时间为
（不考虑粒子再次进入
磁场的情况）
【答案】AC
【详解】AB．根据洛伦兹力提供向心力
可得粒子的运动半径为
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可知粒子速度最大时，运动半径最大，做出粒子的运动轨迹如图所示。
根据几何关系有
联立解得
，
故A 正确，B 错误；
CD．某粒子恰好不从大圆边界射出磁场，即粒子速度最大时，根据几何关系有
解得
其在磁场中运动的时间为
故C 正确，D 错误。
故选AC。
10．（2024·辽宁·一模）如图所示，在竖直平面内建立直角坐标系
，整个空间存在着磁感应强
度大小为
、方向垂直
平面向里的匀强磁场。一质量为
、带正电的微粒从原点
沿
轴负方
向以初速度
射入磁场，微粒带电量大小为
，重力加速度为
，下列说法正确的是
（ ）
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A．微粒一定能运动到
轴上方区域
B．微粒运动轨迹最低点的纵坐标为
C．微粒运动过程中的最大速率为
D．微粒运动过程中的最小速率为
【答案】AC
【详解】A．根据补偿法，将微粒速度分解成
，
，如图所示
其中
则
，
微粒的运动可以看作速度大小为
的向右匀速直线运动与速度大小为
的匀速圆周运动的合运动，
故微粒一定能运动到
轴上方区域，故A 正确；
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B．速度大小为
的向右匀速直线运动不影响微粒运动轨迹的纵坐标，根据洛伦兹力提供向心力
微粒运动轨迹最低点的纵坐标为
故B 错误；
C．当
速度方向与
速度同向时，微粒运动过程中的速率最大，为
故C 正确；
D．当
速度方向与
速度反向时，微粒运动过程中的速率最小，为
故D 错误。
故选AC。
解答题
11．（2024·湖南衡阳·二模）如图所示，倾角为30°的绝缘粗糙斜面在B 点与光滑绝缘的水平面平
滑连接，B 点左侧的斜面上方存在平行于斜面向下的匀强电场，电场强度
，B 点右侧有一
缓冲装置，劲度系数足够大的绝缘轻弹簧与轻杆相连，轻杆可在固定的槽内移动，轻杆与槽间的滑
21
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动摩擦力
，轻杆向右移动的距离不超过l 时，装置可安全工作。在斜面上有一质量为m、
电荷量为＋q 且可视为质点的滑块，滑块与斜面间的动摩擦因数
，若将滑块由距B 点x＝
4.5l 处的A 点静止释放，滑块撞击弹簧后将导致轻杆向右移动
，已知重力加速度为g，轻杆与槽
间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力。
（1）求滑块第一次到达B 点时的速度大小
；
（2）在保证装置安全工作的前提下，求滑块的静止释放点距B 点的最远距离
；
（3）在缓冲装置安全工作的前提下，试讨论该滑块第一次被弹回后上升到距B 点的最大距离s＇与
释放时距B 点的距离s 之间的关系。
【答案】（1）
；（2）
；（3）见解析
【详解】（1）由动能定理有
得
（2）因杆是轻杆，故当杆开始移动后弹簧的形变量就保持不变，设弹簧压缩到最短时弹簧的弹性
势能是
。从滑块接触弹簧到减速为0 的过程中，根据能量守恒定律有
22
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得
当释放点距B 点最远，即滑块速度最大，对应轻杆移动的距离为时，滑块速度减为0，弹性势能
仍为
，则
对滑块，从距B 点
处由静止释放到速度最大，由动能定理得
得
（3）设滑块从距B 点
时由静止下滑，轻杆刚好没被推动，弹簧压缩到最短时，弹簧弹性势能为
，则
结合
得
当释放点距B 点的距离
滑块接触弹簧后以原速率反弹回来，由能量守恒定律得
得
23
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当释放点距B 点的距离
时，滑块被弹簧弹回，弹簧的弹性势能
转化为动能，设速度
为，有
得
即当
时
；当
时，
。
12．（2024·安徽六安·模拟预测） 如图a 所示的水平面OMN，O、M 之间水平面是粗糙的， 其余
部分均光滑，
点左侧有光滑半圆轨道，OP 的左侧和 MQ 的右侧有水平向右的匀强电场
。轻弹簧一端连接N 处的固定挡板，另一端与质量为
的绝缘物块A 接触于 M 点（不拴
接）。带电量为
的绝缘物块B 以初动能
自
点向右运动，与A 碰撞后粘在一起，B 向右
运动过程中 A、B 两物块总动能随物块B 的位移
变化情况如图b 所示（
为原点，图中数据均为
已知），且碰后
处物块动能最大，
处物块动能为零。两物块均可视为质点，它们与水平面间
的动摩擦因数相同，两物块运动过程中电荷量不变，重力加速度为g，求：
（1） 弹簧的劲度系数
及弹簧弹性势能的最大值；
（2） 物块B 的质量
；
（3） 要想两物块冲上半圆轨道 OP 后，恰好能沿半圆轨道上升到某一高度又返回到水平面 OM
上，求该轨道半径R。
24
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【答案】（1）
，
；（2）
；（3）
【详解】（1）物块在
处弹簧处于原长状态，
处动能最大，则有
可得
物块由
运动
过程中，由能量守恒可得
解得弹簧弹性势能的最大值为
（2）B 与A 碰撞过程中动量守恒，有
又
，
解得
（3）根据能量守恒定律，回到
点时，动能为
，并通过
点到达
点，克服摩擦力做功为
25
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则
点处动能为
在半圆轨道运动过程中，重力和电场力合成后等效重力为
，且与竖直方向夹角为
，要想不
脱离轨道，则到达等效圆心等高点
处，速度恰好为0；由动能定理有
解得
13．（2024·山西·一模）CT 技术是通过高能电子撞击目标靶，使目标靶放出X 射线，对人体进行
扫描取得信息的，其原理如图所示：半径为
的圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，水平放置
的目标靶长为
，靶左端点
、右端点
与磁场圆心
的距离相等、竖直距离为
。从阴极逸
出的电子（初速度可忽略），经电场加速后瞄准圆心
沿着水平方向进入磁场，经磁场偏转后恰好
击中
点。设电子质量为
、电荷量为，电子枪的加速电压为
，不考虑电子受到的重力，求：
（1）匀强磁场的磁感应强度的大小。
（2）仅通过调节匀强磁场
的大小，可实现电子束在目标靶上从
到
的扫描，求
的大小范围。
26
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【答案】（1）
；（2）
【详解】（1）如图所示
根据几何关系可得
由此可知电子在磁场中运动的轨迹半径为
电子在加速电场中加速，由动能定理有
由洛伦兹力充当向心力有
联立解得
（2）由由洛伦兹力充当向心力有
可知，磁感应强度越小，电子在磁场中做圆周运动的轨迹半径就越大，电子到达目标靶N 的轨迹半
径如图所示
27
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根据几何关系可得
对应的磁感应强度大小为
则可知，磁场强度取最大值时电子恰好打在目标靶M 点，当磁场强度取最小值时电子恰好打在目
标靶N 点，可得磁感应强度B 的调节范围为
14．（2023·广东茂名·一模）半导体有着广泛的应用，人们通过离子注入的方式优化半导体以满足
不同的需求。离子注入系统的原理简化如图所示。质量为m、电荷量为q 的正离子经电场加速后从
中点P 垂直OE 射入四分之一环形匀强磁场，环形磁场圆心为O，内环半径
，外
环半径
，磁场方向垂直纸面向里。当磁感应强度为
时，离子恰好垂直边界从
中点Q 射出。不考虑离子重力以及离子间的相互作用。求：
（1）加速电场M、N 两板间的电压；
（2）为使离子能够到达
面，环形区域内磁场的取值范围。
【答案】（1）
；（2）
【详解】（1）当磁感应强度为
时，离子恰好垂直边界从
中点Q 射出，根据几何关系可知，
圆周运动半径
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且
解得
电场中
解得
（2）若磁感应强度为B1时，粒子恰好能打在G1位置，轨迹半径为r1，根据几何关系
解得
且
解得
若磁感应强度为B2时，粒子恰好能打在G 位置，轨迹半径为r2，根据几何关系
解得
同理解得
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为使离子能够到达
面，环形区域内磁场的取值范围
15．（2024·广东梅州·一模）在芯片领域，技术人员往往通过离子注入方式来优化半导体。其中控
制离子流运动时，采用了如图所示的控制装置，在一个边长为L 的正方形ABCD 的空间里，沿对角
线AC 将它分成Ⅰ、Ⅱ两个区域，其中Ⅰ区域有垂直于纸面的匀强磁场，在Ⅱ区域内有平行于DC
且由C 指向D 的匀强电场。一正离子生成器不断有正离子生成，所有正离子从A 点沿AB 方向以v
的速度射入Ⅰ区域，然后这些正离子从对角线AC 上F 点（图中未画出）进入Ⅱ区域，其中
，最后这些正离子恰好D 点进入被优化的半导体。已知离子流的正离子带电量均为e，
质量为m，不考虑离子的重力以及离子间的相互作用力。求：
（1）Ⅰ区域磁感应强度B 的大小和方向；
（2）Ⅱ区域电场强度E 的大小；
（3）正离子从A 点运动到D 点所用时间t。
【答案】（1）
，方向垂直纸面向里；（2）
；（3）
【详解】（1）根据左手定则，可以判断磁场方向垂直纸面向里，轨迹如图所示
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设带电粒子在磁场中运动的半径为r，根据几何关系有
根据洛伦兹力提供向心力有
解得
（2）粒子进入电场的速度方向竖直方向，在电场中做类平抛运动，竖直方向做匀速直线运动，水
平方向做匀加速直线运动，则
解得
，
（3）粒子做匀速圆周运动的时间为
所以粒子运动的总时间为
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16．（2024·安徽安庆·一模）如图甲所示，在水平放置的两平行金属板的右侧存在有界的匀强磁场，
磁场方向垂直于纸面向里，磁场边界MN 和PQ 与平行板的中线
垂直。金属板的下极板接地，
上极板的电压u 随时间变化的情况如图乙所示，匀强磁场的磁感应强度
现有带正电的
粒子以
的速度沿两板间的中线
连续进入电场，经电场后射入磁
场。已
知带电粒子的比荷
，在时刻射入电场的带电粒子恰能从平行金属板边缘穿越电场
射入磁场。假设在粒子通过电场区的极短时间内极板间的电压可以看作不变，粒子的重力和粒子间
相互作用力均可以忽略不计。
（1）求
时刻射入电场的带电粒子射出电场时的速度大小和方向。
（2）为
使时刻射入电场的带电粒子不会由磁场右边界射出，该匀强磁场区的宽度至少为
多大？
（3）若磁场的宽度足够大，对任何时刻以
射入电场的带电粒子，射入磁场后，从磁场射出的出
射点和入射点间的距离x 的大小是否相等？若不相等，求出x 的变化范围；若相等，求出x 的大小。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）由动能定理
解得
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设偏转角度为
，则
，
（2）粒子运动轨迹如图所示，设粒子运动轨迹刚好与右边界相切，这时磁场宽度为
，则
由
解得
（3）设粒子通过电场时偏转电场的电压为
，它射出电场时的速度为，设偏转角度为
，运动轨
迹如图
所示，则
由
，
解得
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所以，任意时刻粒子射出磁场点与射入磁场点的距离相等，且
17．（2024·天津·一模）如图所示，平行金属板a、b 水平放置，上极板接电源负极，下极板接电源
正极，板长
，极板间距
，与极板右端相接的竖直虚线
右侧有范围足够大的匀
强磁场，磁感应强度大小
，方向垂直纸面向外。在两极板左端正中间O 点水平向右发
射一比荷
、初速度
的带正电粒子。不计粒子的重力，不考虑极板边
缘电场的影响。
（1）若两金属板间加适当电压，粒子恰好从上极板右边缘射出电场，求粒子在磁场中运动的时间
（结果中的π 无需代入数值）；
（2）若两金属板间加适当电压，粒子经电场、磁场偏转后，恰好能从下极板右边缘再次回到电场
中，求所加电压U 为多大？
【答案】（1）
；（2）
【详解】（1）恰好从上极板右边缘射出电场
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得
即
在磁场中
得
（2）在磁场中
得
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18．（2024·全国·一模）如左图所示为回旋加速器的工作原理图，
和
是两个中空的半圆金属
盒，半径为
，他们之间有一定的电势差
。D 形盒中心A 处的粒子源产生初速度不计的带电粒子，
粒子的质量为
，电荷量为
，它能在两盒之间被电场加速。两个半圆盒处于与盒面垂直的匀强磁
场中，磁感应强度大小为
，粒子可在磁场中做匀速圆周运动。经过半个圆周之后，当粒子再次到
达两盒间的缝隙时，这时控制两盒间的电势差，使其恰好改变正负极，于是粒子经过盒缝时再一次
被加速。粒子在做圆周运动的过程中一次一次的经过盒缝，两盒间的电势差一次一次的改变正负，
粒子的速度就能够不断增加，最终从D 形盒边缘射出。如果粒子能够被一直加速，则需要粒子做圆
周运动的周期
（未知量）等于交变电场周期
（未知量），交变电场变化的规律如右图所示。不
计粒子重力，加速过程中忽略粒子在电场中运动的时间，不考虑相对论效应和变化的电场对磁场分
布的影响，粒子在电场中的加速次数等于在磁场中回旋半周的次数。求：
（1）粒子被加速5 次后、6 次后在磁场中做圆周运动的半径之比
；
（2）粒子从开始被加速到离开D 形盒所需要的时间；
（3）若交变电场周期不稳定，
和
有一些差值（但在
或
的范围内），使
得
时刻产生的粒子恰好只能被加速
次，求周期
的范围。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
或
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【详解】（1）粒子在
形盒内被加速5 次，根据动能定理
粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力
综合解得
同理加速6 次时
所以粒子被加速5 次后、6 次后在磁场中做圆周运动的半径之比为
（2）设粒子做圆周运动的轨迹半径达到最大
时速度为，有
则最大动能为
设粒子加速
次后达到最大速度，由动能定理得
由周期公式
联立解得
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则粒子在磁场中运行的时间
解得
（3）①若
，粒子被加速的过程如图所示，则第
次加速时
第
次进入电场时，加速失败，则
联立解得
②若
，粒子被加速的过程如图所示，则第
次加速时
第
次加速时，加速失败，则
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联立解得
综上所述，的范围是或。
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