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专题三 电场和磁场
第10讲 带电粒子在复合场中的运动题型总结
一．带电粒子在重力场、电场及磁场混合场中的运动
1．（2023 秋•合肥期末）如图所示，某空间存在正交的匀强磁场和匀强电场，电场方向水平向右，磁场方
向垂直纸面向里，带电微粒由a 点进入该区域并刚好沿ab 直线向上运动，下列说法正确的是（ ）
A．微粒可能做匀变速直线运动 B．微粒可能带正电
C．微粒的电势能一定减小 D．微粒的机械能一定减少
2．（2024•泉州二模）如图所示，速度选择器MN 两极板间的距离为d，板间匀强磁场的磁感应强度大小
为B，O 为速度选择器中轴线上的粒子源，可沿OO′方向发射速度大小不同、带电荷量均为q（q＞0）、
质量均为m 的带电粒子，经速度选择器后，粒子先后经过真空中两平行边界的匀强磁场区域到达足够大荧
光屏；匀强磁场的磁感应强度分别为B1、B2，对应边界的宽度分别为d1、d2。调节滑片P 可改变速度选择
器M、N 两极板间的电压，使粒子沿OO′方向垂直磁场B1边界进入B1，经磁场B1偏转后进入B2，最后
荧光屏恰好未发光，粒子重力不计，则MN 两极板间的电压大小是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2024•西城区校级开学）如图所示，两平行极板水平放置，两板间有垂直纸面向里的匀强磁场和竖直
向下的匀强电场，磁场的磁感应强度为B。一束质量均为m、电荷量均为+q 的粒子，以不同速率沿着两板
中轴线PQ 方向进入板间后，速率为v 的甲粒子恰好做匀速直线运动；速率为
的乙粒子在板间的运动轨
迹如图中曲线所示，A 为乙粒子第一次到达轨迹最低点的位置，乙粒子全程速率在
和
之间变化。研究
一般的曲线运动时，可将曲线分割成许多很短的小段，这样质点在每一小段的运动都可以看作圆周运动的
一部分，采用圆周运动的分析方法来处理。不计粒子受到的重力及粒子间的相互作用，下列说法正确的是
（ ）
1
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A．两板间电场强度的大小为
B．乙粒子从进入板间运动至A 位置的过程中，在水平方向上做匀速运动
C．乙粒子偏离中轴线的最远距离为
D．乙粒子的运动轨迹在A 处对应圆周的半径为
4．（2024•深圳一模）如图所示，整个空间存在一水平向右的匀强电场和垂直纸面向外的匀强磁场，光滑
绝缘斜面固定在水平面上。一带正电滑块从斜面顶端由静止下滑，下滑过程中始终没有离开斜面，下滑过
程中滑块的位移x、受到的洛伦兹力f 洛、加速度a 与机械能E 机等物理量的大小随时间变化的图线可能正确
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2024•天河区二模）如图所示，水平放置的两个正对的带电金属板MN、PQ 间存在着相互垂直的匀强
电场和匀强磁场，磁场方向垂直纸面向外。在a 点由静止释放一带电的微粒，释放后微粒沿曲线acb 运动
（a、b 两点在同一水平高度），c 点是曲线上离MN 板最远的点。不计微粒所受空气阻力，下列说法正确
的是（ ）
A．微粒在c 点时电势能最大
B．a 点电势低于c 点电势
C．微粒在运动到c 点过程中电场力做的功等于动能的变化量
D．微粒到达b 点后将沿原路径返回a 点
2
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（多选）6．（2024•郑州一模）光滑绝缘水平桌面上有一个可视为质点的带正电小球，桌面右侧存在由匀
强电场和匀强磁场组成的复合场，复合场的下边界是水平面，到桌面的距离为h，电场强度为E、方向竖
直向上，磁感应强度为B、方向垂直纸面向外，重力加速度为g，带电小球的比荷为
。如图所示，现给
小球一个向右的初速度，使之离开桌边缘立刻进入复合场运动，已知小球从下边界射出，射出时的速度方
向与下边界的夹角为60°，下列说法正确的是（ ）
A．小球在复合场中的运动时间可能是
B．小球在复合场中运动的加速度大小可能是
C．小球在复合场中运动的路程可能是
D．小球的初速度大小可能是
7．（2023 秋•下城区校级期末）如图所示，真空中平行板电容器间有匀强电场和匀强磁场，电场方向竖直
向下（与纸面平行），磁场方向垂直纸面向里，右侧圆形区域内（含右半圆边界）有垂直纸面向外的匀强
磁场。极板间距离为d，板长为L，忽略电容器边缘效应，圆形区域左侧与极板右端连线相切，上侧与上
极板的延长线相切于C 点，下侧与下极板的延长线相切于D 点。一束宽度为d、比荷一定但速率不同的带
正电粒子平行于极板方向射入电容器中，L 足够长，只有沿直线运动的粒子才能离开平行板电容器。若平
行板间电场强度大小为E、磁感应强度大小为B1，圆形区域中磁感应强度大小为B2，不计粒子重力，下列
说法正确的是（ ）
A．进入圆形磁场区域的粒子在电容器内运动的时间为
B．通过电容器的粒子都将从D 点离开圆形磁场区域
C．若粒子的比荷为
，距上、下极板
处射出极板的粒子在圆形磁场区域运动的时间之比为2：1
D．若粒子的比荷为
，紧贴上极板的带电粒子从进入电容器到离开右侧圆形磁场区域，运动的总时
3
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间为
（多选）8．（2024•重庆模拟）光滑绝缘水平桌面上有一个可视为质点的带正电小球，桌面右侧为由有界
匀强电场和有界匀强磁场组成的复合场，复合场的下边界是水平面，到桌面的距离为h，复合场水平距离
未知。电场强度为E、方向竖直向上，磁感应强度为B、方向垂直纸面向外，重力加速度为g，带电小球的
比荷为
。如图所示，现给小球一个向右的初速度，使之离开桌面边缘立刻进入复合场运动，已知小球从
下边界的中点射出射出时的速度方向与下边界的夹角为37°，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，下列说法正确的是
（ ）
A．小球的初速度为
或
B．小球在复合场中运动的位移可能是4h
C．小球在复合场中运动的加速度可能是
D．若小球一定不从复合场的下边界射出，则初速度应大于
或小于
9．（2024•泉州模拟）如图，在直角坐标系xOy 中，y 轴竖直，左侧存在一个垂直纸面向里的匀强磁场和
沿y 轴正方向的匀强电场；右侧存在沿x 轴负方向的匀强电场，y 轴左侧场强大小为右侧的2 倍。质量为
m、电荷量为q 的带正电小球（可视为质点），从点M（L，﹣2L）以某一初速度沿y 轴正方向射出，恰好
经过原点O 且此时速度方向刚好沿x 轴负方向，继续运动一段时间后到达点
。已知重
力加速度大小为g。求：（1）小球从M 点运动到原点O 过程中的水平加速度大小；
（2）y 轴左侧电场强度的大小；（3）匀强磁场的磁感应强度大小B。
10．（2024•广州一模）如图，在棱长为L 的正方体区域的右侧面，以中心O 为原点建立直角坐标系
xOy，x 轴平行于正方体底面。该区域内加有方向均沿x 轴正方向、电场强度大小为E 的匀强电场和磁感应
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强度大小为B 的匀强磁场，若电量为q、质量为m 的正离子以某一速度正对O 点并垂直右侧面射入该区
域，则正离子在电磁场作用下发生偏转。（1）若正离子从右侧面坐标为（x0，y0）的P 点射出，求正离子
通过该区域过程的动能增量；
（2）若撤去电场只保留磁场，试判断入射速度
的正离子能否从右侧面射出。若能，求出射点坐
标；若不能，请说明理由。
11．（2024•泉州模拟）如图甲所示，在水平地面上方分布有相互垂直的匀强电场与匀强磁场，电场方向
竖直向上，场强大小为E，磁场方向垂直纸面向里。在离地高为h 的O 点处建立一直角坐标系xOy，y 轴
竖直向上。一个带正电小球A 从O 点以速率v0沿x 轴负方向射出，恰好可以垂直打到地面。已知重力加速
度大小为g，A 受到的电场力恰好等于重力，运动过程中带电量不变，忽略空气阻力。
（1）求匀强磁场的磁感应强度的大小B；
（2）若大量与A 相同的小球仍从O 点以速率v0在xOy 平面内沿各个方向先后射出，小球间的相互作用均
不计，落地后均不反弹，求小球落地点区间的长度；
（3）若撤去电场，小球仍从O 点以某一速率沿y 轴正方向射出，恰好不会打到地面。
ⅰ．求小球从O 点射出时的速率v1；
ⅱ．已知小球的速率v 与时间t 的关系如图乙所示，求小球速率达到最小时两个位置之间的距离。
12．（2024•南通一模）某种负离子空气净化原理如图所示，空气和带负电的灰尘颗粒物组成的混合气流
从左侧进入由一对平行金属板构成的收集器，颗粒物在磁场和电场的作用下，打到金属板上被收集。已知
颗粒物的质量均为m，电荷量均为﹣q，初速度大小均为v0、方向与金属板平行，金属板长为L，间距为
d，不考虑重力影响和颗粒间相互作用。（1）若金属板间只加匀强电场，上极板带负电。不计空气阻力，
板间电压为U1时，颗粒物全部被收集，求电压U1的范围；
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（2）若金属板间只加匀强磁场，方向垂直纸面向里，不计空气阻力，颗粒物全部被收集，求磁感应强度
大小B 的范围；
（3）若金属板间存在匀强电场和磁感应强度大小为B0、方向垂直纸面向里的匀强磁场，收集器中气流的
速度大小为v0，方向沿板的方向保持不变。颗粒物所受阻力与其相对于空气的速度v 方向相反，大小f＝
kv，k 为常量。若板间电压为U2，上极板带负电，假设颗粒物进入收集器后极短时间内加速到最大速度，
此后做匀速运动，颗粒物恰好全部被收集，求电压U2的大小。
13．（2024•重庆模拟）如题图所示，两个相同的光滑弹性竖直挡板MN、PQ 固定在纸面内，平行正对且
相距足够远，矩形MNQP 区域内（含边界）充满竖直向下的匀强电场，电场强度大小为E。紧邻MN 板右
侧有一匀强磁场，方向垂直纸面向里，磁场右边界为半圆，圆心为MN 板的中点O。现有一带负电小球在
纸面内从M 点射入磁场，速度大小为v、方向与MP 的夹角为θ，恰好能在磁场中做匀速圆周运动，且第
一次飞出磁场时速度恰好水平。已知重力加速度为g，MN＝PQ＝d＜
，NQ＝MP＝L，该小球可视
为质点且电荷量保持不变，挡板厚度不计，忽略边界效应。该小球每次与挡板（含端点）碰撞后瞬时，水
平速度大小不变、方向反向，竖直速度不变。
（1）求该小球第一次与MN 板碰撞前在磁场中运动的路程；
（2）求该匀强磁场的磁感应强度大小B；
（3）若该小球能通过N 点，求θ 的大小，以及该小球第二次离开矩形MNQP 区域前运动的总时间。
14．（2024•湖北模拟）如图所示的平面直角坐标系中，x 轴水平向右、y 轴竖直向上，区域Ⅰ存在平行于
xoy 平面的匀强电场，电场强度大小为
，区域Ⅱ存在垂直于xoy 平面向里的匀强磁场，磁感应强度大
6
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小为
，区域Ⅲ存在竖直向上、场强大小为
的匀强电场，和垂直于xoy 平面向外、宽度均为
d、磁感应强度大小依次为B0、2B0⋯nB0的匀强磁场。在坐标原点O 将质量为m、电荷量为+q 的小球以大
小为v0的初速度竖直向上抛出，小球运动过程中经过A、C 两点，在A 点的速度大小为
，方向与x
轴正方向相同，第一次经过NN′时速度方向沿x 轴正方向；MM′、NN′是相邻区域的边界且均与x 轴
垂直，C 是MM′与x 轴的交点，各区域竖直空间足够大。已知重力加速度为g。求：
（1）小球从O 到A 速度变化量Δv 的大小和区域Ⅰ中电场强度与x 轴正方向的夹角θ；
（2）小球经过C 点时的速度大小v。和在区域Ⅱ运动时的最大速度v；
（3）若
，小球在区域Ⅲ运动过程中最大的水平位移x。
二．带电粒子在电场与磁场的组合场中的运动
15．（2024•重庆模拟）质量为m、电荷量为q 的粒子，从容器A 下方的小孔S1飘入（初速为0）加速电
场，经S1、S2间的电场加速后通过S3，沿与磁场垂直的方向进入磁感应强度为B 的匀强磁场中。最后垂直
打到照相底片D 上。已知S3与底片上落点间的距离为d，求：（1）粒子在磁场中运动的轨道半径R；
（2）粒子进入磁场时的速率v；（3）加速电场的电压U。
16．（2024•长沙模拟）如图，平面直角坐标系xOy 的第三象限中x＜﹣a 的区域内存在辐向电场，与P 点
（﹣a，0）等距的各点电场强度大小相等且方向始终指向P；在﹣a≤x≤0 的区域内无电场和磁场；在x＞
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0 的区域内分布着垂直纸面向里的匀强磁场。在A 点（﹣2a，0）有一粒子源，能够沿y 轴负方向发射出
甲、乙两种带正电的粒子束，两种粒子的速度均为v0、电荷量均为q，粒子甲的质量为m，粒子乙的质量
为1.5m。粒子甲在电场中做半径为a 的匀速圆周运动；粒子乙从D 点（﹣a，﹣1.5a）与x 轴正方向成θ 角
射出电场。进入磁场后，粒子甲从M 点（0，3a）射出磁场；粒子乙从N 点（图中未标出）射出磁场。不
计重力和粒子间的相互作用。（1）求匀强磁场磁感应强度的大小。
（2）求粒子甲从离开粒子源到经过x 轴所需要的时间。
（3）已知A、D 间的电势差
，
，求N 点的坐标。
17．（2024•贵州模拟）如图所示，在xOy 平面第一象限有沿y 轴负方向的匀强电场、第四象限有垂直纸
面向里的匀强磁场，在坐标为（0，h）的A 点有一带电粒子以某一初速度沿+x 方向抛出，从坐标为（L，
0）的C 点进入第四象限的匀强磁场中。已知粒子电荷量为q、质量为m，匀强电场的电场强度为E，匀强
磁场的磁感应强度为B，方向如图中所示。不计粒子所受重力。求：（1）粒子进入磁场时的速度大小；
（2）粒子第二次经过x 轴时的位置与坐标原点的距离。
18．（2024•天心区校级一模）制造芯片的过程中，需要用电磁场精准控制粒子的轨迹，如图所示，区域I
中正交的电磁场构成了一个速度选择器，右侧足够大的长方体被分成两个区域，区域Ⅱ中存在竖直向上的
匀强磁场，区域Ⅲ中存在水平向左的匀强电场。质量为m，带电荷量为+q 的粒子从区域I 左侧的小孔O 以
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垂直电磁场方向的速度v0射入，该粒子沿直线穿越区域I，从右侧的小孔O′离开，沿直线由P 点进入区
域Ⅱ，P 点到区域Ⅱ、Ⅲ边界的距离为d，粒子由区域Ⅱ、Ⅲ边界上的Q 点（未画出）进入区域Ⅲ，Q 点
到长方体左侧面的距离为
，最终粒子运动到长方体左侧面的S 点，粒子在S 点的速度与左侧面的夹角
为60°，忽略粒子的重力。
（1）求区域Ⅱ中磁感应强度的大小；
（2）求区域Ⅲ中电场强度的大小以及S 点到区域Ⅱ、Ⅲ边界的距离；
（3）将区域I 中的磁感应强度变为原来的2 倍，改变粒子的速度，粒子仍从O 点射入，结果发现粒子仍沿
直线由P 射入区域Ⅱ，求该粒子第二次运动到长方体左侧面时到区域Ⅱ、Ⅲ边界的距离。
（多选）19．（2024•辽宁模拟）如图所示，真空室中y 轴右侧存在连续排列的4 个圆形边界磁场，圆心均
在x 轴上，相邻两个圆相切，半径均为R，磁感应强度均为B。其中第1、3 个圆形边界的磁场方向垂直于
纸面向里，第2、4 个圆形边界的磁场方向垂直于纸面向外，第4 个磁场右侧有一个粒子接收屏与x 轴垂
直，并与第4 个磁场相切，切点为M，在磁场上方和下方分别有一条虚线与磁场相切，上方虚线以上有一
向下的范围无限大的匀强电场，下方虚线以下有一向上的范围无限大的匀强电场，电场强度大小均为E。
现将一群质量均为m、电荷量均为+q（q＞0）的带电粒子从坐标原点O 向第一、四象限各个方向发射（不
考虑平行于y 轴方向发射的粒子），射出速度大小均为
，不计粒子重力，则下列说法正确的是（
）
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A．所有粒子从O 点射出到最终被接收屏接收的过程中在电场中运动的时间均为
B．所有粒子从O 点射出到最终被接收屏接收的过程中在磁场中运动的时间均为
C．所有粒子从O 点射出到最终被接收屏接收的时间不相同
D．所有被接收屏接收的粒子均从M 点沿x 轴正方向射出
20．（2024•曲靖一模）如图所示，真空中A 位置存在一带电粒子发射器，能够瞬间在平面内发射出大量
初速度大小为v0的同种正电荷，以不同的入射角θ（θ 为v0与x 轴正方向的夹角，且0°＜θ≤90°）射入半
径为R 的圆形边界匀强磁场（图中未标出）。圆形磁场刚好与x 轴相切于A 点，所有电荷均在该磁场的作
用下发生偏转，并全部沿x 轴正方向射出。图中第三象限虚线下方一定区域存在着方向沿y 轴正方向的匀
强电场，虚线刚好经过C 点（C 为实线圆最右端的点）且顶点与O 点相切，同时观察到进入该电场区域的
所有电荷均从O 点射入第一象限。第一象限内存在范围足够大的方向垂直于平面向里磁感应强度大小为B2
的匀强磁场，O 点上方沿y 轴正方向放置足够长的荧光屏，电荷打在荧光屏上能够被荧光屏吸收。已知电
荷的质量为m，电荷量大小为q，OA 的距离为2R，不考虑电荷所受重力及电荷之间的相互作用力。求：
（1）圆形磁场磁感应强度B1的大小及方向；（2）匀强电场上边界虚线的函数表达式；
（3）从A 点沿垂直x 轴向下射入磁场的粒子打在荧光屏上的坐标。
21．（2024•乌鲁木齐模拟）如图所示，在y＞0 的空间中存在匀强电场，电场强度大小为E，方向沿y 轴
负方向；在y＜0 的空间中存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直xOy 平面（纸面）向外。一带正
电的粒子（重力不计），从y 轴上A 点以水平初速度v0沿x 轴正方向射入电场中，之后粒子在电场、磁场
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中做周期性运动。已知
，粒子每次进、出磁场时两点间的距离均为d。（1）求粒子第一次经过x 轴
的位置距坐标原点的距离x0；
（2）若
，求粒子在电场中的运动轨迹的相邻的两交点间的距离Δx。
22．（2024•漳州模拟）如图甲的空间中存在随时间变化的磁场和电场，规定磁感应强度B 垂直xOy 平面
向内为正方向，电场强度E 沿x 轴正方向为正方向，B 随时间t 的变化规律如图乙，E 随时间t 的变化规律
如图丙。t＝0 时，一带正电的粒子从坐标原点O 以初速度v0沿y 轴负方向开始运动。已知B0、t0、v0，带
电粒子的比荷为
，粒子重力不计。
（1）求粒子在磁场中做圆周运动的周期T；
（2）求t＝t0时，粒子的位置坐标（x1，y1）；
（3）在0～2t0内，若粒子的最大速度是2v0，求E0与B0的比值。
23．（2024•苏州模拟）如图所示，在三维坐标系Oxyz 中，z＞0 的空间内充满沿z 轴负方向的匀强电场，
z＜0 的空间内充满沿y 轴正方向的匀强磁场，磁感应强度大小为B。甲粒子从坐标为（0，0，h）的A 点
以速率v0沿x 轴正方向射出，甲粒子第一次到达x 轴时速度方向与x 轴正方向的夹角为θ＝60°。乙粒子从
z＞0 的空间C 点（未标出）以相等速率v0沿y 轴正方向射出。甲、乙两粒子均在第2 次进入磁场后相遇，
相遇点为各自轨迹的最低点。已知甲、乙粒子的质量均为m，带电量均为+q，不计粒子重力以及粒子间的
相互作用。求：（1）电场强度E 的大小；（2）相遇时，甲粒子的运动时间；
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（3）乙粒子第一次进入磁场时与水平方向的夹角大小；（4）C 点的位置坐标。
24．（2024•邵阳一模）在光滑绝缘的水平桌面上半径R＝1m 的圆形区域内有竖直向下、磁感应强度大小
B＝2T 的匀强磁场，圆心为O。a 为圆周上一点，ac 与圆相切于a 点，d 为圆周上一点，cd 连线过O 点，α
＝60°，P 为cd 延长线上一点，Md、Nd 与Pd 的夹角均为β＝30°。MPN 是以d 为圆心的圆弧，MPN 与d 之
间为均匀辐向电场并且MPN 与d 之间电压U＝400V。一个带正电可看作质点的小球，它从圆弧MPN 上各
点无初速度释放后从d 点进入圆O 内的磁场中，小球质量m＝5g，电荷量q＝1C。求：
（1）小球运动到d 点时的速率v；（2）小球在磁场中运动的最长时间tm；
（3）小球穿过ac 所在直线范围的长度s。
25．（2024•宁波模拟）如图甲所示，曲线OP 上方有沿﹣y 方向的匀强电场，其场强大小为E1，曲线左侧
有一粒子源AB，B 端位于x 轴上，能够持续不断地沿+x 方向发射速度为v0、质量为m、电荷量为q 的粒
子束，这些粒子经电场偏转后均能够通过O 点，已知从A 点入射粒子恰好从P 点进入电场，不计重力及粒
子间的相互作用。
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（1）写出匀强电场边界OP 段的边界方程（粒子入射点的坐标y 和x 间的关系式）；
（2）若第四象限内存在边界平行于坐标轴的矩形匀强磁场B1（未画出），磁场方向垂直纸面向外。自O
点射入的粒子束，经磁场偏转后均能够返回y 轴，若粒子在第四象限运动时始终未离开磁场，求磁场的最
小面积；
（3）若第一象限与第四象限间存在多组紧密相邻的匀强磁场B2和匀强电场E2（如图乙），电磁场边界与
y 轴平行，宽度均为d，长度足够长。匀强磁场
，方向垂直纸面向里，匀强电场
，方向
沿x 轴正方向。现仅考虑自A 端射入的粒子，经匀强电场E1偏转后，恰好与y 轴负方向成θ＝45°从O 点射
入，试确定该粒子将在第几个磁场区域拐弯（即速度恰好与y 轴平行）。
26．（2024•南充模拟）利用磁场实现离子偏转是科学仪器中广泛应用的技术。如图所示，xOy 平面内，
x≤L 的区域内存在有区域足够大的方向垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，x＞L 的区域内
存在方向水平向右的匀强电场，电场强度为
，位于坐标原点O 处的离子源能在xOy 平面内持续
发射质量为m、电荷量为q 的负离子，其速度方向与y 轴正向夹角θ 的最大值为60°，所有离子经过界面x
＝L 时速度均与界面垂直。不计离子的重力及离子间的相互作用，并忽略场的边界效应。
（1）求离子速度v 与夹角θ 的关系式；（2）离子通过界面x＝L 时y 坐标的范围；
（3）离子在电场中运动的最远距离的最大值及对应离子从发射到第二次经过y 轴所经历的时间（在发射点
不算第一次经过y 轴，结果用q、B、m 表示）。
27．（2024•成都模拟）如图，在ABCD 区域内外分别存在竖直向上的匀强电场和垂直于纸面（竖直面）
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向里的匀强磁场。电荷量为q（q＞0），质量为m 的粒子以速度v0从AD 边中点O 垂直于AD 射入电场区
域后，经M 点进入磁场，并从A 点再次进入电场。已知AD＝BC＝AM＝DN＝2L，AB＝CD＝2
L，不
计粒子重力，磁场范围足够大。（1）求电场强度E 的大小；
（2）若仅改变粒子入射速度的大小，求粒子从AB 边进入磁场到再次从AB 边离开磁场经历的最长时间
tm；
（3）若粒子仍以速度v0从O 垂直AD 入射并开始计时，第一次经M 点离开电场后立即撤去电场，求粒子
通过N 点时刻的可能值。
14
