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2024 年高考物理一轮大单元综合复习导学练
专题47 带电粒子在力电等效场、交变电场中的运动和电场中的功能问题
导练目标
导练内容
目标1
带电粒子在力电等效场中的圆周运动
目标2
带电粒子在交变电场中的运动
目标3
带电粒子在电场中的能量动量问题
【知识导学与典例导练】
一、带电粒子在力电等效场中的圆周运动
1.方法概述
等效思维方法是将一个复杂的物理问题,等效为一个熟知的物理模型或问题的方法。对于这类问题,若采用
常规方法求解,过程复杂,运算量大。若采用等效法求解,则能避开复杂的运算,过程比较简捷。
2.方法应用
先求出重力与电场力的合力,将这个合力视为一个等效重力,将a=F合
m 视为等效重力加速度。再将物体在重
力场中的运动规律迁移到等效重力场中分析求解即可。
【例1】如图所示，用绝缘细线拴一个带负电的小球，让它在竖直向下的匀强电场中绕O 点做竖直平面内
的圆周运动，a、b 两点分别是圆周的最高点和最低点，则（ ）
1
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A．小球经过a 点时，线中的张力一定最小B．小球经过a 点时，电势能一定最大
C．小球经过b 点时，电势不是最低
D．小球经过b 点时，机械能一定最小
【答案】D
【详解】A．带负电的小球受向上的电场力，向下的重力，若电场力大于重力，则两个力的合力向上，则
小球经过a 点时，速度最大，此时线中的张力最大，故A 错误；
BC．沿着电场线方向电势降低，小球经过b 点时，电势最低，因b 点所在位置的电势最低，则负电荷在b
点的电势能最大，故BC 错误；
D．因小球运动过程中只有电场力和重力做功，则电势能与机械能之和守恒，则小球经过b 点时，电势能
最大，则机械能最小，故D 正确。故选D。
【例2】如图所示，在竖直平面内有水平向左的匀强电场，在匀强电场中有一根长为L 的绝缘细线，细线
一端固定在O 点，另一端系一质量为m 的带电小球。小球静止时细线与竖直方向成
角，此时让小球获得
初速度且恰能绕O 点在竖直平面内沿逆时针方向做圆周运动，重力加速度为g。下列说法正确的是
（ ）
A．匀强电场的电场强度
B．小球动能的最小值为
C．小球的重力势能最小时机械能也最小
D．小球从初始位置开始，在竖直平面内运动一周的过程中，其电势能先增大后减小再增大
【答案】B
【详解】A．小球静止时悬线与竖直方向成
角，对小球受力分析，小球受重力、拉力和电场力，三力平衡，
根据平衡条件，有
解得
故A 错误；
B．小球恰能绕O 点在竖直平面内做圆周运动，在等效最高点A 速度最小，如图
2
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根据牛顿第二定律，有
则最小动能
故B 正确；
C．小球的机械能和电势能之和守恒，则小球运动至电势能最大的位置机械能最小，小球带负电，则小球
运动到圆周轨迹的最左端点时机械能最小，故C 错误；
D．小球从初始位置开始，在竖直平面内沿逆时针方向运动一周的过程中，电场力先做正功后做负功，再
做正功，则其电势能先减小后增大，再减小，故D 错误。故选B。
二、带电粒子在交变电场中的运动
1.此类题型一般有三种情况:一是粒子做单向直线运动(一般用牛顿运动定律求解);二是粒子做往返运动(一般
分段研究);三是粒子做偏转运动(一般根据交变电场的特点分段研究)。
2.分析时从两条思路出发:一是力和运动的关系,根据牛顿第二定律及运动学规律分析;二是功能关系。
3.注重全面分析(分析受力特点和运动特点),抓住粒子的运动具有周期性和在空间上具有对称性的特征,求解
粒子运动过程中的速度、位移、做功或确定与物理过程相关的边界条件。
4.交变电场中的直线运动（方法实操展示）
U-t 图像
v-t 图像
轨迹图
3
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5.交变电场中的偏转（带电粒子重力不计，方法实操展示）
U-t 图
轨迹图
[来源:Zxxk.Com]
vy-t 图
【例3】接在平行板电容器的A、B 两极板电压随时间变化关系图像如图所示，两板间距足够大，一质量为
m、带电量为＋q 的粒子（不计重力），开始静止在两极板中央，从某时刻由静止释放，关于带电粒子的运
动，下列描述正确的是（ ）
A．若从0 时刻由静止释放，粒子向右运动的最大速度
B．若从0 时刻由静止释放，粒子先向右后向左做往复性的运动
C．若从
时刻由静止释放，粒子时而右，时而左，每个周期都会向左移动一定距离
D．若从
时刻由静止释放，粒子时而左，时而右，每个周期都会向右移动一定距离
v0
v0
v0
v0
v0
t
O
vy
v0
T/2
T
单向直线运动
A
B
速度不反向
t
O
vy
v0
往返直线运动
A
B
速度反向
T
T/2
-v0
4
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【答案】CD
【详解】AB．从0 时刻释放粒子，根据静止粒子所受电场力方向及作用时间，画出电子的v−t 图像如图：
由图可知，粒子在向右的电场力的作用下，向右做匀加速运动，若在
时刻恰好到达右极板，则此时有最
大速度，根据动能定理有
解得
若在
时刻未到达右极板，板间距足够大的情况下，
则此后
时间内再向右做匀减速运动直至速度减为零，之后重复上述运动，运动的方向始终向右，因此粒
子始终向右运动，直至到达右极板，故AB 错误；
C．若粒子从
时刻由静止释放，根据静止电子所受电场力方向及作用时间，画出电子的v−t 图像如图：
由图可知，粒子在电场力的作用下，时而右，时而左，一个周期内向左运动的位移大于向右运动的位移，
每个周期都会向左移动一定距离，故C 正确；
D．若粒子从
时刻由静止释放，根据静止电子所受电场力方向及作用时间，画出电子的v−t 图像如图：
5
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由图可知，粒子在电场力的作用下，时而左，时而右，一个周期内向右运动的位移大于向左运动的位移，
每个周期都会向右移动一定距离，故D 正确。故选CD。
【例4】如图甲所示，两平行金属板A、B 放在真空中，间距为d，
为板间水平中线，A、B 板间的电势
差U 随时间t 的变化情况如图乙所示。0 至
时间内，陆续有一群完全相同的质量为m，电荷量为q 的带负
电的粒子，从O 点以
的速度水平射入电场，运动时间T 后离开电场。其中
时刻射入的粒子恰好从A 板
右边缘射出电场，不计粒子的重力。则下列说法正确的是（ ）
A．板间电压
B．板间电压
C．
时刻射入的粒子，离开电场的位置距离
点
D．
时刻射入的粒子，离开电场的位置距离
点
【答案】AC
【详解】AB．粒子在水平方向不受外力，因此运动时间均相同为T，在
时刻射入的粒子前
时间做类平
6
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抛运动，后
时间做匀速运动，轨迹如图
由几何关系可知
在
时间内受力分析
根据运动学公式可知
解得
故A 正确，B 错误；
CD．
时刻射入的粒子在
时间内竖直方向无位移，在
时间内竖直方向做匀加速直线运动
，
时间内竖直方向做匀速直线运动，则
故
时刻射入的粒
子，离开电场的位置距离
点
故C 正确，D 错误。故选AC。
三、带电粒子在电场中的功能问题
1．电场中的功能关系
(1)若只有静电力做功电势能与动能之和保持不变。
(2)若只有静电力和重力做功电势能、重力势能、动能之和保持不变。
(3)除重力之外，其他各力对物体做的功等于物体机械能的变化。
(4)所有外力对物体所做的功等于物体动能的变化。
2．电场力做功的计算方法
(1)WAB＝qUAB(普遍适用)
(2)W＝qEx cos θ(适用于匀强电场)
(3)WAB＝－ΔEp＝EpA－EpB(从能量角度求解)
(4)W 电＋W 非电＝ΔEk(由动能定理求解)
【例5】如图所示，一质量为m 的带电小球在方向竖直向下的匀强电场中由静止释放，小球以加速度
竖直向下做匀加速度直线运动，不计空气阻力。在小球向下运动距离h 的过程中（ ）
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A．小球的重力势能减少了
B．小球的动能减少了
C．小球的机械能增加了
D．小球的电势能增加了
【答案】D
【详解】A．重力做的功等于重力势能的减少量，重力做功WG=mgh＞0 故小球的重力势能减少mgh，故A
错误；
B．根据动能定理可知小球动能的变化量等于合力做功，有
故小球的动能增加
了
，故B 错误；
C．在小球向下运动距离h 的过程中，根据牛顿第二定律有
解得
方向竖直
向上。此过程根据功能关系可知小球机械能的变化量
故机械能减少了
，故
C 错误；
D．电场力做功等于电势能的变化量，电场力做功为
电场力做负功，说明电势能增加了
，
故D 正确。故选D。
【例6】如图甲所示，质量为
、带正电
的物块放在绝缘的水平桌面上，滑块处在匀强
电场中，电场强度
，重力加速度
．从原点O 开始，物块与桌面的动摩擦因数
随x 的变化如图乙所示，取原点O 的电势能为零，则下列判断正确的是（ ）
8
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A．物块运动的最大速度为
B．物块向右运动的最大位移为
C．当物块速度为
，物块的电势能可能为
D．物块最终静止时，物块与水平桌面因摩擦生热量为
【答案】BC
【详解】A．电场力
摩擦力
当
时，即
时速度最大，根据动能定理
得
解得
，A 错误；
B．设向右运动得最大距离为
，根据动能定理可得
解得
，B 正确；
C．设当物块速度为
时的位移为
，根据动能定理可得
解得
所以电势能
，C 正确；
D．根据能量守恒定律可知当物块停止运动时电势能的减少量将全部转化为摩擦生热，即
，
D 错误。故选BC。
【综合提升专练】
1．如图所示，甲图实验只在重力场中进行、乙图实验在重力场和竖直向上的匀强电场中进行且带正电的
小球所受的电场力与重力大小相等，两个实验装置中小球的质量和绳子的长度均相等。实验时分别在最高
点时给小球大小相等的初速度，小球均在竖直面内做圆周运动，A 点和C 点分别为轨迹最高点，B 点和D
点分别为轨迹最低点，忽略空气阻力，则下列预判正确的是（ ）
9
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A．小球在A、C 两点时绳子的拉力大小相等
B．小球在B、D 两点时向心力的大小相等
C．小球在B 点时绳子的拉力大小大于在D 点时绳子的拉力大小
D．小球自A 点到B 点过程中绳子的拉力做正功
【答案】C
【详解】A．甲图中小球做圆周运动，机械能守恒，A 到B 速率增大，乙图中小球所受的向上的电场力与向
下的重力大小相等，则小球做匀速圆周运动，在A 点时有
，C 点时有
故A 点绳子
的拉力比C 的点小，选项A 错误；
BC．小球在B 点的速率大于在D 点的速率，对B 点有
对D 点有
所以在B 点时绳子
的拉力大于在D 点时绳子的拉力，在B 点时的向心力大于D 点时的向心力，选项B 错误，C 正确；
D．两种情况下绳子方向始终与速度方向垂直，拉力不做功，选项D 错误。故选C。
2．如图所示，光滑绝缘的水平面与半径为
的
绝缘圆弧轨道相切于点
，
点为光滑圆弧轨道的圆心，
且在
点的正上方，光滑圆弧轨道在竖直平面内，整个空间内有水平向右的匀强电场。现将一质量为
、
电荷量为
的带电小球从距离
点
处的位置A 由静止释放，小球恰好能运动到圆弧轨道高度的一半位置
处，已知重力加速度为
。则下列选项正确的是（ ）
A．小球带负电
B．匀强电场的电场强度为
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C．要使小球能运动到
，应从距离
点
的位置由静止释放小球
D．若使小球从
点由静止释放，则小球运动到
点时对轨道的压力为
【答案】D
【详解】A．由题意可知，小球运动方向与电场方向相同，即受电场力的方向与电场方向一致，所以小球
带正点，A 错误；
B．根据题意可知，小球从A 点由静止释放运动到圆弧轨道的
高度的过程中，沿电场方向的位移为
此过程由动能定理可得
联立解得
，B 错误；
C．设小球释放点距
点的距离为
，小球从释放点运动到
点的过程中，由动能定理可
解得
，C 错误；
D．在小球从
点由静止释放运动到
点的过程中，由动能定理可得
在最低点由牛顿
第二定律可得
联立可得
由牛顿第三定律可得小球在
点时对轨道的压力大
小为
，D 正确。故选D。
3．如图甲所示为粒子直线加速器原理图，它由多个横截面积相同的同轴金属圆筒依次组成，序号为奇数
的圆筒与序号为偶数的圆筒分别和交变电源相连，交变电源两极间的电势差的变化规律如图乙所示。在
时，奇数圆筒比偶数圆筒电势高，此时和偶数圆筒相连的金属圆板（序号为0）的中央有一自由电子
由静止开始在各间隙中不断加速。若电子的质量为m，电荷量为e，交变电源的电压为U，周期为T。不考
虑电子的重力和相对论效应，忽略电子通过圆筒间隙的时间。下列说法正确的是（ ）
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A．电子在圆筒中也做加速直线运动
B．电子离开圆筒1 时的速度为
C．第n 个圆筒的长度应满足
D．保持加速器筒长不变，若要加速比荷更大的粒子，则要调大交变电压的周期
【答案】C
【详解】A．由于金属圆筒处于静电平衡状态，圆筒内部场强为零，则电子在金属圆筒中做匀速直线运动，
故A 错误；
B．电子离开圆筒1 时，由动能定理得
所以电子离开圆筒1 瞬间速度为
故B 错误；
C．电子从金属圆筒出来后要继续做加速运动，在金属圆筒中的运动时间为交变电源周期的一半，即
，
电子在圆筒中做匀速直线运动，所以第n 个圆筒长度为
故C 正确；
D．由C 可知，保持加速器筒长不变，若要加速比荷更大的粒子，则要调小交变电压的周期，故D 错误。
故选C。
4．如图甲所示，在两距离足够大的平行金属板中央有一个静止的质子（不计重力），
时刻，
板电
势高于
板电势，当两板间加上如图乙所示的交变电压后，下列图象中能正确反映质子速度、位移
、
加速度
和动能
四个物理量随时间变化规律的是（ ）
12
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A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】A、质子在电场中的加速度
即加速度
与金属板间电压
成正比，故图象应与
图相似，A 错误；
B、
时间内，质子在金属板间做匀加速直线运动，由
知质子的位移
与时间成二次函数关系，
图象应该为抛物线，B 错误；
C、由图乙可知，在
时间内，质子做初速度为零的匀加速直线运动，在
时间内，加速度方向
相反，大小不变，故质子先做匀减速直线运动，减速为零后以相同的加速度反向匀加速；
同理，C
正确；
D、由于
；
故动能
与时间为二次函数关系，图象应该为抛物线，D 错误。故选C。
5．如图所示，竖直平面直角坐标系xOy 所在平面内存在一匀强电场，电场的方向与x 轴负方向成
角。
A 是电场中的一点，O、A 两点的连线与一条电场线重合。一质量为m、电荷量为q 的带电小球从A 点沿平
行于x 轴正方向射出，小球经过时间t 到达x 轴上的B 点，到达B 点时小球的动能与在A 点射出时相同。已
知A、B 两点距离坐标原点O 的距离相等，重力加速度大小为g。则带电小球从A 点运动到B 点增加的电
势能为（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】小球从A 点运动到B 点动能不变，设A、B 两点距离坐标原点O 的距离为L，由动能定理知
解得
小球沿y 轴方向，由牛顿第二定律知
又
解得
小球沿电场线方向上的位移大小为
则电势能的增加量
故选C。
6．如图所示，倾角为
的光滑斜面上固定有光滑圆弧轨道，
点分别为最高和最低点，
两点与
圆心等高，斜面上有平行于斜面的水平匀强电场，一质量为
，电量为
的带正电小球（视为质点），从
点无初速释放，球沿轨道运动最远到达点；现在
点将小球以速度
沿斜面向下弹出，小球恰好能沿轨
道做圆周运动而不脱离，重力加速度为
，以下说法正确的是（ ）
14
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A．电场方向由
指向
B．电场强度大小为
C．圆弧轨道半径为
D．小球电势能最大时动能为
【答案】BD
【详解】A．从
点无初速释放，球沿轨道运动最远到达点，带正电小球是克服电场力做功，故电场方向
由
指向
，故A 错误；
B．从
点无初速释放，球沿轨道运动最远到达点过程中由动能定理得
解得
故B 正确；
C．由题意可知小球圆周运动的等效最高点为
弧的中点，在
点将小球以速度
沿斜面向下弹出，小球
恰好能沿轨道做圆周运动而不脱离，说明小球恰能到达等效最高点，由牛顿运动定律可得
由动能定理得
两式联立解得
故C 错误；
D．小球在
点电势能最大，从
由动能定理可得
带入数据解得
故D 正确；故选BD。
7．细线拉着一质量为m 的带电小球在竖直平面内做半径为R 的圆周运动，该区域内存在水平方向的匀强
电场（图中未画出），小球所受电场力水平向右，大小是其重力的
倍，圆周上A 点在圆心的正上方，小
球过A 点时的速度大小为
，方向水平向左，除受重力、电场力及细线的拉力外小球不受其他力的作用，
重力加速度为g，在小球做圆周运动的过程中（ ）
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A．小球最小速率为
B．小球速率最小时其电势能最大
C．若小球过A 点时细线断开，之后小球电势能最大时速率为
D．若小球过A 点时细线断开，之后小球电势能最大时速率为
【答案】AC
【详解】A．如图，当小球到达B 点时小球的速度最大，到达C 点时速度最小，BC 连线与竖直方向夹角为
可知
由A 到C 由动能定理
解得
选项A 正确；
B．电场方向沿水平方向，则电势最高点和最低点应该在水平直径的两端，则C 点不是电势能最大的位置，
选项B 错误；
CD．若小球过A 点时细线断开，之后小球电势能最大时水平速度减为零，则此时的时间
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竖直方向做自由落体，则此时的速率为
选项C 正确，D 错误。
故选AC。
8．如图甲所示，用轻绳拴着一个质量为m、电荷量为+q 的小球在竖直面内绕O 点做圆周运动，竖直面内
加有竖直向下的匀强电场，不计一切阻力，小球运动到最高点时的动能Ek与绳中张力F 间的关系如图乙所
示，重力加速度为g，则（ ）
A．轻绳的长度为
B．电场强度大小为
C．小球在最低点时的最小速度为
D．小球在最低点和最高点所受绳子的拉力差为6b
【答案】BD
【详解】AB．根据牛顿第二定律得
又因为
解得
根据图像得
；
解得
；
，A 错误，B 正确；
C．最高点小球速度最小时，绳没有拉力，根据牛顿第二定律得
根据动能定理得
解得
小球在最低点时的最小速度为
，C 错误；
D．在最高点根据牛顿第二定律得
在最高点根据牛顿第二定律得
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根据动能定理得
绳子的拉力差为
解得
，D 正确。
故选BD。
9．如图所示，绝缘光滑轨道AB 是倾角为37°的斜面，AMDN 为竖直平面内半径为R 的绝缘光滑圆轨道，
斜面与圆轨道相切于A 点，AD 为垂直于AB 的直径，MN 为竖直直径。整个装置放在方向水平向右的匀强
电场中。现将一个质量为m、电荷量为q 的带正电小球，从斜面AB 上的C 点沿斜面向下以一定的初速度
释放，已知电场强度大小
，重力加速度为g，
，
。下列说法正确的是（
）
A．小球从C 运动到A 的过程中，动能越来越大
B．小球在D 点的速度为
时，圆轨道对小球的作用力为零
C．要使小球能够沿圆轨道运动并通过D 点和N 点，小球在C 点释放时的最小速度应为
D．要使小球能够沿圆轨道运动并通过D 点和N 点，小球在C 点释放时的最小速度应为
【答案】BD
【详解】A．受力分析，重力沿斜面向下分力为
电场力沿斜面向上分力为
所以，沿斜面受力平衡，匀速下滑，所以小球从C 运动到A 的过程中，动能不变，
故A 错误；
B．小球在D 点时，根据圆周运动知识，可得
代入解得
所以圆轨道对
小球的作用力为零，故B 正确；
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CD．由受力分析可知，重力和电场力等效合力沿DA 方向，大小为
D 点为等效最高点，且临界速度为
，所以要使小球能够沿圆轨道运动并通过D 点和N 点，只需恰好
通过等效最高点，运用动能定理，得
代入数据解得
即为小球在C 点释放
时的最小速度，故C 错误，D 正确。故选BD。
10．如图甲所示，A、B 两极板间加上如图乙所示的交变电压，A 板的电势为0，一质量为m、电荷量大小
为q 的电子仅在静电力作用下，在t＝
时刻从A 板的小孔处由静止释放进入两极板间运动，恰好到达B 板，
则（ ）
A．A、B 两板间的距离为
B．电子在两板间的最大速度为
C．电子在两板间做匀加速直线运动
D．若电子在t＝
时刻进入两极板间，它将时而向B 板运动，时而向A 板运动，最终到达B 板
【答案】AB
【详解】A．电子在t＝
时刻由静止释放进入两极板运动，由分析可知，电子先加速后减速，在t＝
T 时
刻到达B 板，设两板的间距为d，加速度大小为
则有
解得
故A 正确；
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B．由题意可知，经过
时间电子速度最大，则最大速度为
故B 正确；
C．电子在两板间先向右做匀加速直线运动，然后向右做匀减速直线运动，故C 错误；
D．若电子在t＝
时刻进入两极板间，在
～
时间内电子做匀加速直线运动，位移
说明电子会一直向B 板运动并在
之前就打在B 板上，不会向A 板运动，故D 错误。故选AB。
11．如图（a），长为4d、间距为d 的平行金属板水平放置，两金属板左边中点O 有一粒子源，能持续水
平向右发射初速度为
、电荷量为
、质量为m 的粒子，金属板右侧距离为d 处竖直放置一足够大
的荧光屏。现在两板间加图（b）所示电压，已知
时刻射入的粒子恰好能从金属板射出。不计粒子重
力，则（ ）
A．无论哪个时刻入射的粒子在金属板间运动的时间相等
B．无论哪个时刻入射的粒子恰能从金属板右侧中点
出射
C．无论哪个时刻入射的粒子从金属板间出射时动能
D．粒子打在右侧荧光屏上的长度范围为
【答案】AC
【详解】AB．已知
时刻射入的粒子恰好能从金属板射出，则有
；
；
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作出不同时刻进入金属板的粒子在电场方向速度与时间的图像如下图
由图像可以看出，在时刻
（n=0,1,2,3，…）进入金属板的粒子会在电场方向上有最大位移，结合题目
条件知最大位移为
，其它时刻进入的粒子在电场方向位移都小于
，所以不同时刻进入金属板的粒子都
能够输出金属板，由水平方向匀速运动可知，粒子射出金属板时间都相同，时间都为
故A 正确，B
错误；
C．由于粒子在电场中运动的时间都为
，恰为电压随时间变化的周期，故粒子在电场中所受相反电场力
作用时间相同，根据动量定理有
故粒子无论何时进入电场，出射时只剩水平速度v0，竖
直方向的速度为0，故粒子从金属板间出射时动能都为
故C 正确；
D．由AC 选项分析可知不同时刻出射的粒子出射的位置在两金属板右侧上下边缘之间，竖直方向最大位移
大小都为
，且出射时速度均水平向右，故粒子打在右侧荧光屏上的长度范围为d，故D 错误。故选AC。
12．如图甲所示，长为
的两水平金属板
、
组成一间距为
的平行板电容器，电容器的
板接地，
板电势
随时间的变化关系如图乙所示，其周期
。
为靠近
板左侧的一粒子源，能够水平向
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右发射初速度为
的相同带电粒子。已知
时刻发射的粒子刚好能从
板右侧边缘离开电容器，则下列
判断正确的是（ ）
A．任何时刻发射的粒子都能离开电容器
B．该粒子源发射的粒子的比荷为
C．
时刻射入的粒子离开电容器时的电势能等于射入时的电势能
D．任何时刻发射的粒子在电场中的速度大小不会超过
【答案】CD
【详解】AC．根据题意可知，能离开电容器的粒子在电容器中的运动时间为
粒子在竖直方向上
的加速阶段和减速阶段的加速度大小均为
则在
时刻进入的粒子在竖直方向上先向下加速后减
速，然后又向上加速后减速，在持续的
时间内，根据对称性可知粒子在竖直方向的总位移为0，即
时刻从粒子源射出的粒子，刚好从A 板右侧上方离开，且与粒子源在同一直线上，所以其电势能不变。
在
时刻开始的任一个完整周期的
时刻之后进入的粒子会打到A 极板。故A 错误，C 正确；
B．在
时刻开始的2 个周期内，粒子在竖直方向上运动的距离为d，由匀变速直线运动的规律可得
又因为
，
可解得
故B 错误；
D．粒子速度最大时，在竖直方向上加速时间最长，减速时间最短，例如
时刻发射的粒子，最长加速
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时间为
，粒子在竖直方向的分速度为
故此时粒子的速度大小为
则任何时刻发射的粒子在电场中的速度大小不会超过
。故D 正确。故选CD。
13．如图所示，竖直向上的匀强电场中，绝缘轻质弹簧竖直立于水平地面上，上面放一质量为
的带正电
小球，小球与弹簧不连接，施加外力
将小球向下压至某位置静止。现撤去
，小球沿竖直方向运动，在
小球由释放到刚离开弹簧的过程中，重力、电场力对小球所做的功分别为
和
，小球离开弹簧时的速
度为，不计空气阻力，则上述过程中下列说法正确的是（ ）
A．小球的重力势能增加
B．小球的电势能增加
C．小球与弹簧组成的系统的机械能增加
D．撤去F 前弹簧的弹性势能为
【答案】ACD
【详解】A．根据重力做功与重力势能变化关系，可得
小球上升过程重力做负功，小球的
重力势能增加了
，故A 正确；
B．根据电场力做功与电势能变化关系，可得
带正电小球上升过程电场力做正功，小球的
电势能减少了
，故B 错误；
C．小球与弹簧组成的系统，在小球从静止开始运动到离开弹簧的过程中，由于电场力对小球做正功，大
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小为
，小球与弹簧组成的系统机械能增加了
，故C 正确；
D．在小球从静止开始运动到离开弹簧的过程中，根据能量守恒可知，减少的弹性势能与减少的电势能之
和等于增加的重力势能与增加的动能之和，则有
解得撤去
前弹簧的弹性势能为
故D 正确。故选ACD。
14．如图所示，电容为C、带电量为Q、极板间距为d 的电容器固定在绝缘底座上，两板竖直放置，总质
量为M，整个装置静止在光滑水平面上。在电容器右板上有一小孔，一质量为m、带电量为+q 的弹丸以速
度
从小孔水平射入电容器中（不计弹丸重力，设电容器外部电场强度为0），弹丸最远可到达距右板为x
的P 点，设弹丸刚进入电场时的电势能为零。则下列说法正确的是（ ）
A．在整个过程中，弹丸最小速度一定为零
B．弹丸在电容器中受到的电场力的大小为
C．
的大小为
D．弹丸电势能的最大值为
【答案】BC
【详解】A．弹丸在电场在受到的电场力水平向右，根据牛顿第三定律可知，电容器和底座受到的电场力
水平向左，则弹丸向左减速，电容器和底座向左加速，弹丸速度最小速度为弹丸从右侧小孔出来的时候的
速度，整个过程动量守恒，则
整个过程能量守恒，则
解得
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由于质量关系未知，弹丸最小速度不一定为零，A 错误；
B．根据公式
可得
弹丸在电容器中受到的电场力的大小为
故B 正确；
C．弹丸开始的速度比电容器与绝缘底座快，电荷和电容器组成的系统水平方向动量守恒，以向左为正方
向，由动量守恒定律可知
解得
在P 点时二者共速，弹丸到达距离右板最远处，
由能量守恒定律可知
解得
故C 正确；
D．弹丸电势能的最大值为
故D 错误。故选BC。
15．如图所示，不带电的物体A 和带负电的物体B 用跨过定滑轮的绝缘轻绳连接，A、B 的质量分别是m 和
2m，劲度系数为k 的轻质弹簧一端固定在水平面上，另一端与物体A 相连，倾角为θ 的斜面处于沿斜面向
上的匀强电场中，整个系统不计一切摩擦。开始时，物体B 在一沿斜面向上的外力F=3mgsinθ 的作用下保
持静止且轻绳恰好伸直，然后撤去外力F，直到物体B 获得最大速度，在此过程中弹簧未超过弹性限度且
A 一直在水平面上，（弹簧的弹性势能Ep=
，k 为弹簧劲度系数，x 为形变量）（ ）
A．撤去外力F 的瞬间，物体A 的加速度为
B．物体B 的最大速度为
C．B 获得最大速度时，弹簧伸长量为
D．物体A 和弹簧组成的系统机械能增加量等于物体B 机械能的减少量
【答案】ABC
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【详解】A．当施加外力时，对B 分析可知F-2mgsinθ-F 电=0 解得F 电=mgsinθ 当撤去外力瞬间，它们受到的
合力为F 合=F 电+2mgsinθ=（m+2m）a 解得a=gsinθ 故A 正确；
C．当B 受到的合力为零时，B 的速度最大，由kx=F 电+2mgsinθ 解得
故C 正确；
B．对AB 整体，由动能定理可得
解得
故B 正确；
D．根据能量守恒可知物体A、弹簧和地球所组成的系统机械能增加量等于于物体B 电势能的减少量和B 物
体机械能的减小量，故D 错误。故选ABC。
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