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专题10 等效重力场模型
1.等效重力场
物体在匀强电场和重力场中的运动，可以将重力场与电场合二为一，用一个全新的“复合场”来代替，可
形象称之为“等效重力场”。
2.方法应用
(1)求出重力与静电力的合力，将这个合力视为一个等效重力。
(2)将a＝视为等效重力加速度。
(3)小球能自由静止的位置，即是“等效最低点”，圆周上与该点在同一直径的点为“等效最高点”。
注意：这里的最高点不一定是几何最高点。
(4)将物体在重力场中的运动规律迁移到“等效重力场”中分析求解。
3.“等效最高点”和“等效最低点”示意图
如图所示，ABCD 为表示竖直放在场强为E＝104 V/m 的水平匀强电场中的绝缘光滑轨道，其
中轨道的BCD 部分是半径为R 的半圆环，轨道的水平部分与半圆环相切A 为水平轨道的一点，
而且AB＝R＝0.2 m。把一质量m＝100 g、带电荷量q＝10－4 C 的小球，放在水平轨道的A 点
由静止开始被释放后，在轨道的内侧运动。(g＝10 m/s2)求：
1
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(1)它到达C 点时的速度是多大？
(2)它到达C 点时对轨道压力是多大？
(3)小球所能获得的最大动能是多少？
【方法介绍】
等效思维法就是要在保持效果或关系不变的前提下，对复杂的研究对象、背景条件、过程进
行有目的的分解、重组、变换或替代，使它们转换为我们所熟知的、更简单的理想化模型，
从而达到简化问题的目的。
【思路分析】
1.等效重力场：重力场、电场等叠加而成的复合场；等效重力：重力、电场力的合力
2.处理思路：①受力分析，计算等效重力(重力与电场力的合力)的大小和方向。
②在复合场中找出等效最低点、最高点。
③根据圆周运动供需平衡结合动能定理列方程处理。
【方法感悟】
有些物理问题用常规思维方法求解很繁琐，而且容易陷入困境，如果我们能灵活地采用等效
变换思维方法，则往往可以化繁为简。
一、单选题
1．（24-25 高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图所示，竖直平面内有水平向左匀强电场，在匀强电场中
有一根长为L=0.5m 的绝缘细线，细线一端固定在O 点，另一端系一质量为m=2kg 的带电小球，电量大小
为q=0.1C。小球静止时细线与竖直方向成θ=37°角，此时让小球获得初速度且恰能绕O 点在竖直平面内沿
逆时针方向做圆周运动，重力加速度为g=10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8，不考虑空气阻力。下列说法正
确的是（ ）
A．小球带正电
B．匀强电场的电场强度120N/C
C．小球做圆周运动过程中动能的最小值为6.25J
D．小球从初始位置开始，运动到竖直面圆周最高点的过程中机械能变化量为4.5J
2
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2．（24-25 高二上·北京东城·阶段练习）如图，在水平方向的匀强电场中，一质量为m、电量为+q 的小球，
栓在一长为L 的轻绳一端，在水平绝缘光滑桌面上绕O 点做圆周运动，小球运动到B 点时的速度方向恰与
电场方向垂直，小球运动到与B 点在同一直径上的A 点时，球与绳间刚好没有拉力作用，则（ ）
A．小球在B 点时的速度
B．小球在B 点时的速度
C．小球在B 点时绳上的拉力大小为
D．小球运动向心加速度的最大值是最小值的6 倍
3．（24-25 高二上·云南红河·开学考试）真空中存在空间范围足够大的水平向右的匀强电场，在电场中，
一个质量为m、带电的小球在B 点静止时细线与竖直方向的夹角为37°，小球所带的电荷量为q，细线的长
度为l，重力加速度为g，
，
。下列说法正确的是（ ）
A．小球带负电
B．电场强度的大小
C．若将小球从A 点由静止释放，则小球从A 点运动到C 点的过程中电势能增加了0.75mgl
D．若将小球从A 点由静止释放，则小球运动到C 点受到细线的拉力大小为3mg
二、多选题
4．（24-25 高二上·河北衡水·阶段练习）近日，街头有一种新型游戏，参与者借助游戏工具给一带电小球
3
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瞬时冲量，使其获得某一初速度进入暗盒，暗盒中加以电场，小球最后从暗盒顶部水平抛出，然后落地，
落地小球越近者获胜。现将上述情景，简化成如图模型，一半径为R 的光滑绝缘半圆弧轨道固定在竖直平
面内，其下端与光滑绝缘水平面相切于B 点，整个空间存在水平向右的匀强电场。一质量为m 的带电小球
从A 点以某一初速度向左运动，恰好能经过P 点且此时对圆弧轨道没有压力。已知轨道上的M 点与圆心O
等高，
与竖直方向夹角为
，取
，
，重力加速度大小为g，则小球
（ ）
A．带电小球经过P 点的速度大小为
B．带电小球所受电场力大小为
C．带电小球经过C 点的速度为
D．带电小球经过M 点时对圆弧轨道的压力大小为
5．如图所示，空间中存在水平向右的匀强电场，一内壁光滑、半径为R 的绝缘圆轨道固定在竖直平面内，
AB 为圆轨道的水平直径，CD 为竖直直径。一质量为m、电荷量为q 的带正电小球从轨道的最低点C 获得
一定的初速度
后，能够在轨道内做圆周运动，已知重力加速度为g，匀强电场的电场强度
，不
计空气阻力，下列说法正确的是（ ）
A．小球运动到D 点时的动能最小
4
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B．小球运动到B 点时的机械能最大
C．小球所受重力和电场力的合力方向与竖直方向夹角的正切值为
D．若
，小球恰好能够沿着轨道做圆周运动
6．如图，在竖直平面内有水平向左的匀强电场，在匀强电场中有一根长为L 的绝缘细线，细线一端固定
在O 点，另一端系一质量为m 带电量为q 的小球。小球静止时细线与竖直方向成θ 角，此时让小球获得初
速度且恰能绕O 点在竖直平面内做圆周运动，重力加速度为g。则（ ）
A．匀强电场的电场强度大小为
B．小球获得初速度的大小为
C．小球从初始位置运动至轨迹的最左端增加的机械能为
D．小球从初始位置在竖直平面内顺时针运动一周的过程中，其电势能先减小后增大
7．如图所示，在水平向左且足够大的匀强电场中，一长为L 的绝缘细线一端固定于O 点，另一端系着一
个质量为m、电荷量为q 的带正电小球，小球静止在M 点．现给小球一垂直于OM 的初速度
，使其在竖
直平面内绕
点恰好做完整的圆周运动，
为圆的竖直直径．知匀强电场的场强大小为
，重力加
速度为
．当小球第二次运动到
点时细线突然断裂，则下列说法正确的是（ ）
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A．小球做完整的圆周运动时，动能的最小值为
B．细线断裂后，小球动能的最小值为
C．从细线断裂到小球的动能与在
点时的动能相等的过程中，电势能增加了
D．从细线断裂到小球的电势能与在
点时的电势能相等的过程中，重力势能减少了
8．（22-23 高二上·广东江门·阶段练习）如图所示，绝缘光滑圆轨道竖直放置，其所处空间存在竖直向上
的匀强电场，圆轨道的半径为R，在圆轨道的最高点A 处静止着一个质量为m、电荷量为+q 的小球。现给
小球一个
的初速度，小球刚好能通过圆轨道的最低点B。已知重力加速度为g，则下列说法正确
的是（ ）
A．匀强电场的电场强度大小为
B．匀强电场的电场强度大小为
C．从A 运动到B 的过程，小球电势能的增量为4mgR
D．从A 运动到B 的过程，小球动能减少了4mgR
9．（23-24 高二下·四川眉山·期末）如图所示，在水平向左的匀强电场中，一长为L 的绝缘细线一端固定
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于O 点，另一端系着一个质量为m、电荷量为q 的带正电小球，小球静止在M 点。现给小球一垂直于OM
的初速度v0，使其在竖直平面内绕O 点恰好做完整的圆周运动，AB 为圆的竖直直径。已知匀强电场的场
强大小为
，重力加速度为g。当小球第二次运动到B 点时细线突然断裂，则下列说法正确的是
（ ）
A．小球做完整的圆周运动时，粒子初速度的最小值
B．细线断裂后，小球速度的最小值为
C．从细线断裂到小球的动能与B 点动能相等的过程中，电势能增加了
D．从细线断裂到小球的电势能与B 点电势能相等的过程中，重力势能减少了2mgL
10．（23-24 高二下·陕西汉中·期末）如图所示，空间内存在方向水平向右的匀强电场，一根长为
，不可
伸长的绝缘细绳的一端连着一个质量为
、带电荷量为
的小球（视为质点），另一端固定于
点。
初始时细绳（张紧状态）与电场线平行，由静止释放小球，小球摆到
点正下方时速度为零，重力加速度
大小为
，下列说法正确的是（ ）
A．匀强电场的电场强度大小为
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B．摆动过程中小球的最大速度为
C．摆动过程中小球所受的最大拉力为
D．摆动过程中小球减少的重力势能与增加的电势能始终相等
11．如图所示，在地面上方的水平匀强电场中，一个质量为m、电荷量为＋q 的小球，系在一根长为d 的
绝缘细线一端，可以在竖直平面内绕O 点做圆周运动。AB 为圆周的水平直径，CD 为竖直直径。已知重力
加速度为g，电场强度
，下列说法正确的是（ ）
A．若小球能在竖直平面内绕O 点做圆周运动，则它运动到B 点动能最大
B．若小球恰能在竖直平面内绕O 点做圆周运动，则它运动的最小速度为
C．若小球在竖直平面内绕O 点做圆周运动，则小球运动到A 点时的机械能最小
D．若在A 点给小球竖直向下的初速度
，则小球运动到B 点的速度小于
12．（23-24 高二上·吉林延边·阶段练习）如图所示，竖直平面内的固定光滑圆形绝缘轨道的半径为R，
A、B 两点分别是圆形轨道的最低点和最高点，圆形轨道上C、D 两点的连线过圆心O 且OC 与竖直向下方
向的夹角为60°。空间存在方向水平向右且平行圆形轨道所在平面的匀强电场，一质量为m 的带负电小球
（视为质点）恰好能沿轨道内侧做完整的圆形轨道运动，且小球通过D 点时的速度最小。重力加速度大小
为g。下列说法正确的是（ ）
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A．小球受到的电场力大小为2mg
B．小球通过C 点时所受轨道的作用力大小为12mg
C．小球通过D 点时的速度大小为
D．小球在运动过程中的最大速度为
13．（23-24 高二下·河北·阶段练习）如图所示，光滑绝缘的圆形轨道固定在竖直平面内，处在水平向右的
匀强电场中的，轨道半径为r，圆心为O、最低点A、最高点B。电场强度大小为E，将一个质量为m、带
负电的小球放到轨道上的C 点，小球恰好处于静止状态。已知OC 与OA 的夹角θ＝60°，重力加速度为g。
（ ）
A．小球所带电荷量大小为
B．小球做完整圆周运动的最小速度
C．若使小球恰能做完整的圆周运动，则小球在A 点的初速度大小为
D．若取A 点为重力势能和电势能的零势能面的交汇点，则小球恰能做完整的圆周运动过程中的最大
机械能为
三、解答题
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14．如图所示，水平向右的匀强电场中有一半径为r 的光滑绝缘圆轨道，轨道平面与电场方向平行，a、b
为轨道水平直径的两端。一电荷量为q（q>0）、质量为m 的小球沿轨道内侧在竖直平面内运动，经过最低
点c 时速度大小为v。已知a、b 两点间的电势差
，重力加速度大小为g。求：
(1)小球运动到b 点时对轨道的压力大小；
(2)小球运动过程中的最大速度。（结果可用根号表示）
15．一条绝缘轻绳一端固定在O 点，一端连着一个带电小球，初始时小球在一竖直向下的匀强电场中保持
静止，轻绳沿水平方向，如图所示。小球的质量为
，电场强度
，轻绳长度
，g 取
。
(1)小球带何种电荷？电荷量为多少？
(2)现将电场方向调整到水平向右，且E 大小不变，小球在P 点由静止释放，则之后小球做什么运动？
(3)在（2）条件下，小球电势能最小时的速度大小为多少？
16.如图所示，一质量为m、电荷量为q（
）的带正电小球用一根长为L 的轻绳悬挂于O 点，处在水平
向右的匀强电场中。小球静止时轻绳与竖直方向成
角。已知重力加速度为g，
。求：
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(1)匀强电场的场强大小；
(2)若此时给小球一垂直轻绳斜向上的初速度
，使小球恰好可以绕O 点做完整的圆周运动，则
的大小。
17．如图所示，空间存在水平向左的匀强电场，一个质量为m、电荷量为q 的带正电小球用长为L 的绝缘
细线悬于电场中的O 点。将小球拉至与O 点等高的A 点，给小球一个竖直向下的初速度，小球在竖直面内
做圆周运动，恰好能到达C 点，OC 与竖直方向的夹角为37°，重力加速度为g，已知电场强度大小
，
，小球可视为质点，求：
(1)小球在A 点的初速度大小；
(2)小球运动到圆弧最低点B 时，细线的拉力大小；
(3)若小球向左运动到速度最大的位置时细线刚好断开，此后当小球运动的速度沿水平方向时，小球的速度
大小。
18．（24-25 高二上·安徽阜阳·阶段练习）如图所示，在竖直平面内有水平向左的匀强电场，在匀强电场中
有一根长为L 的绝缘细线，细线一端固定在O 点，另一端系一质量为m 的带电小球，小球电荷量大小为
q。小球静止时细线与竖直方向成θ 角，此时让小球获得初速度且恰能绕O 点在竖直平面内顺时针做圆周
运动，重力加速度为g。
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(1)匀强电场的电场强度大小；
(2)求小球动能的最小值；
(3)若小球恰好能够完成圆周运动，求小球运动过程中对绳的最大拉力的大小。
19．（24-25 高二上·湖南株洲·开学考试）地面上方空间存在水平向右的匀强电场，场强为E，不可伸长的
绝缘细线长为L，上端系于O 点，下端系一质量为m、电量为
的小球，现将小球在最低点A 以一定的初
速度水平向左抛出，小球恰能在竖直平面内绕O 点做圆周运动，当小球速度最小时，细线与竖直方向的夹
角
，已知重力加速度为g，求：
(1)电场强度的大小；
(2)小球在最低点的初速度大小；
(3)若抛出小球的同时剪断细线，小球恰好落在地面上A 点正下方的位置B，求A 点离地的高度。
20．如图所示，绝缘光滑圆轨道竖直放置在水平方向的匀强电场中，一个质量为m，电荷量为＋q 的小球
位于轨道内侧的最高点A 处。小球由静止释放后沿直线打到与圆心O 等高的B 点，小球可视为质点。已知
圆轨道的半径为R，重力加速度为g。
（1）求匀强电场的电场强度E1的大小；
（2）当给小球一个水平方向的初速度，小球恰能在竖直平面内做完整的圆周运动，求小球通过A 点时的
动能Ek。
（3）若电场方向不变，大小变为E1的一半，在A 点给小球一水平向右的初速度，使小球恰好到达B 点。
求初速度的大小。
21．在竖直平面内有水平向左、场强为E=1×104N/C 的匀强电场。电场中有一根长L=2m 的绝缘细线，一端
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固定在O 点，另一端系质量为1kg 的带电小球，小球静止时细线与竖直方向成37°角，如图所示。给小球
一个初速度让小球绕O 点在竖直平面内做圆周运动，取小球静止时的位置为电势能和重力势能的零点
（g=10m/s2，
，
），小球视为质点，如果小球恰能做圆周运动，求：
（1）小球所带电量；
（2）小球运动过程中动能的最小值；
（3）小球运动过程中机械能的最小值。
22．如图，水平轨道AB 与半径为R 的竖直半圆弧轨道BCD 在B 点平滑连接，整个装置处于与水平方向成
角斜向上的匀强电场中，场强大小
。质量为m，电荷量为q 的带正电小球从水平轨道上A 点
静止释放后以水平速度
经B 点进入圆弧轨道。不计一切摩擦阻力，重力加速度大小为g。求：
（1）水平轨道AB 之间的距离；
（2）小球运动到圆弧轨道上B 点时所受轨道支持力的大小；
（3）小球在轨道上运动的最大速度；
（4）小球从D 点离开圆弧轨道到第一次返回轨道所经历的时间。
23．如图所示，足够大的匀强电场水平向右，用一根长度为L 的绝缘细绳把一可视为质点且带正电的小球
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悬挂在
点，小球的质量为m、电荷量为q，小球可在B 点保持静止，此时细绳与竖直方向的夹角为
。现将小球拉至位置A 使细线水平后由静止释放，重力加速度大小为
求：
（1）匀强电场强度的大小E；
（2）小球通过最低点C 时绳子的拉力T；
（3）若在A 点给小球一沿切线方向的初速度
，小球恰好可以在竖直面内做完整的圆周运动，则
多大。
24．如图所示，长为L 的绝缘细线系一质量为m、电荷量为q 的小球，细线的另一端固定在O 点，由于空
间存在水平向右的电场，小球静止时细线与竖直方向的夹角为37°。当给小球一定的初速度时，小球可绕
O 点在竖直平面内做圆周运动。重力加速度为g。请思考下列问题：
（1）小球所受的静电力为多大？
（2）小球做圆周运动时，在哪个位置速度最小？在哪个位置速度最大？
（3）在小球静止处给小球一个多大的初速度v0，小球刚好能在竖直平面内绕O 做圆周运动？
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