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2024 版新课标高中物理模型与方法
专题14 “等效重力场”模型
目录
一.“等效重力场”模型解法综述.......................................................................................................................1
二．“等效重力场”中的直线运动模型..........................................................................................................1
三．“等效重力场”中的抛体类运动模型......................................................................................................8
四．“等效重力场”中的单摆类模型............................................................................................................18
五．“等效重力场”中的圆周运动类模型....................................................................................................30
一.“等效重力场”模型解法综述
将一个过程或事物变换成另一个规律相同的过程和或事物进行分析和研究就是等效法．中学物理中常
见的等效变换有组合等效法（如几个串、并联电阻器的总电阻）；叠加等效法（如矢量的合成与分解）；
整体等效法（如将平抛运动等效为一个匀速直线运动和一个自由落体运动）；过程等效法（如将热传递改
变物体的内能等效为做功改变物体的内能）
“等效重力场”建立方法——概念的全面类比
为了方便后续处理方法的迁移，必须首先搞清“等效重力场”中的部分概念与复合之前的相关概念之
间关系．具体对应如下：
等效重力场
重力场、电场叠加而成的复合场
等效重力
重力、电场力的合力
等效重力加速度
等效重力与物体质量的比值
等效“最低点”
物体自由时能处于稳定平衡状态的位置
等效“最高点”
物体圆周运动时与等效“最低点”关于圆心对称的位置
等效重力势能
等效重力大小与物体沿等效重力场方向“高度”的乘积
二．“等效重力场”中的直线运动模型
【运动模型】 如图所示，在离坡底为L 的山坡上的C 点树直固定一根直杆，杆高也是L．杆上端A 到坡底
B 之间有一光滑细绳，一个带电量为q、质量为m 的物体穿心于绳上，整个系统处在水平向右的匀强电场
中，已知细线与竖直方向的夹角θ=30º．若物体从A 点由静止开始沿绳无摩擦的滑下，设细绳始终没有发
生形变，求物体在细绳上滑行的时间．（g=10m/s2，sin37º=0.6，cos37º=0.8）
因细绳始终没有发生形变，故知在垂直绳的方向上没有压力存在，即带电小球受到的重力和电场力的合力
C
B
A
E
1
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方向沿绳的方向．建立“等效重力场”如图所示
“等效重力场”的“等效重力加速度”，方向：与竖直方向的夹角30∘
，大小：
带电小球沿
绳做初速度为零，加速度为g'
的匀加速运动
SAB=2 Lcos30∘
①
SAB =1
2 g
' t2
②
由①②两式解得
t=√3 L
g
“等效重力场”的直线运动的几种常见情况
匀速直线运动
匀加速直线运动
匀减速直线运动
【模型演练1】如图所示，相距为d 的平行板A 和B 之间有电场强度为E、方向竖直向下的匀强电场．电场
中C 点距B 板的距离为0.3d，D 点距A 板的距离为0.2d，有一个质量为m 的带电微粒沿图中虚线所示的直
线从C 点运动至D 点，若重力加速度为g，则下列说法正确的是( )
A．该微粒在D 点时的电势能比在C 点时的大
B．该微粒做匀变速直线运动
C．在此过程中电场力对微粒做的功为0.5mgd
D．该微粒带正电，所带电荷量大小为q＝
【答案】 C
g'
C
B
A
θ
v0
mg
qE
θ
v0
mg
qE
F 合
θ
v0
mg
qE
F 合
2
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【解析】 由题知，微粒沿直线运动，可知重力和电场力二力平衡，微粒做匀速直线运动，微粒带负电，
B、D 错误；微粒从C 点运动至D 点，电场力做正功，电势能减小，A 错误；此过程中电场力对微粒做的
功为W＝Fx＝mg(d－0.3d－0.2d)＝0.5mgd，C 正确．
【模型演练2】（2023·全国·高三专题练习）AB、CD 两块正对的平行金属板与水平面成30°角固定，竖直
截面如图所示。两板间距10cm，电荷量为
、质量为
的小球用长为5cm 的绝缘细线悬
挂于A 点。闭合开关S，小球静止时，细线与AB 板夹角为30°；剪断细线，小球运动到CD 板上的M 点
（未标出），则（ ）
A．MC 距离为
B．电势能增加了
C．电场强度大小为
D．减小R 的阻值，MC 的距离将变大
【答案】B
【详解】A．根据平衡条件和几何关系，对小球受力分析如图所示
根据几何关系可得
联立解得
剪断细线，小球做匀加速直线运动，如图所示
3
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根据几何关系可得
故A 错误；
B．根据几何关系可得小球沿着电场力方向的位移
与电场力方向相反，电场力做功为
则小球的电势能增加
，故B 正确；
C．电场强度的大小
故C 错误；
D．减小R 的阻值，极板间的电势差不变，极板间的电场强度不变，所以小球的运动不会发生改变，MC 的
距离不变，故D 错误。
故选B。
【模型演练3】（2023·河南郑州·郑州外国语学校校考模拟预测）如图所示，在竖直面（纸面）内有匀强电
场，带电量为q（q>0）、质量为m 的小球受水平向右大小为F 的恒力，从M 匀速运动到N。已知MN 长为
d，与力F 的夹角为
，重力加速度为g，则
4
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A．场强大小为
B．M、N 间的电势差为
C．从M 到N，电场力做功为
D．若仅将力F 方向顺时针转
，小球将从M 向N 做匀变速曲线运动
【答案】AC
【详解】A．对小球受力分析，如图所示
根据受力平衡可得
解得场强大小为
故A 正确；
B．设MN 与场强方向的夹角为
，则M、N 间的电势差为
故B 错误；
C．从M 到N，根据动能定理可得
可得电场力做功为
5
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故C 正确；
D．因电场力
和重力
的合力与
等大反向，则若仅将力
方向顺时针转
，小球受的合力方向沿
NM 的方向向下，大小为
，则小球将从M 向N 做匀变速直线运动，故D 错误。
故选AC。
【模型演练4】（2023 春·四川德阳·高三统考期末）如图所示，匀强电场的方向与水平方向间夹角为
，
电场强度大小为E。质量为m 的带负电小球以初速度
开始运动，初速度方向与电场线平行，重力加速度
为g。求：
（1）若小球所带电荷量
，为使小球做匀速直线运动，则对小球施加的恒力
的大小和方向；
（2）若小球所带电荷量
，为使小球做直线运动，现对小球施加一最小恒力
，则小球的加速度为
多大。
【答案】（1）mg，与水平方向夹角30°向左上方；（2）1.5g
【详解】（1）欲使小球做匀速直线运动，必须使其合外力为0，如图所示
设对小球施加的力
和水平方向夹角为
，则
解得
方向与水平成
斜向右上方；
6
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（2）为使小球做直线运动，则小球的合力必须与运动方向在同一直线上，故要求力
和
的合力和电场
力在一条直线上，当电场力与此直线垂直时，施加的恒力最小，如图所示：
则小球所受合力为
小球的加速度为
【模型演练5】．（2023 春·江苏苏州·高三常熟中学校考阶段练习）如图所示，倾斜放置的平行板电容器
两极板与水平面夹角为
，极板间距为d，带负电的微粒质量为m、带电荷量大小为q，从极板M 的左边缘
A 处以初速度
水平射入，沿直线运动并从极板N 的右边缘B 处射出，重力加速度为g，求：
（1）微粒到达B 点时的速度大小；
（2）两极板的电势差
。
【答案】（1）
； （2）
【详解】（1）对微粒受力分析，受重力和电场力，微粒在两个力作用下在电场中沿直线运动，则有合力
方向沿水平方向，由此可知，电场力方向垂直极板斜向左上方，可知合力方向水平向左，如图所示，微粒
做匀减速运动，由解析图可得
7
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由几何关系可得
由匀变速直线运动的速度位移关系公式
，可得微粒到达B 点时的速度大小
（2）在竖直方向由平衡条件可得
解得
因微粒带负电，电容器两极板间电场方向由M 指向N，由匀强电场的电场强度与电势差的关系公式，可得
两极板的电势差
则有
三．“等效重力场”中的抛体类运动模型
【运动模型】如图所示，在电场强度为E 的水平匀强电场中，以初速度为v0 竖直向上发射一个质量为m、
带电量为+q 的带电小球，求小球在运动过程中具有的最小速度．
8
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建立等效重力场如图所示，等效重力加速度g'
设g'
与竖直方向的夹角为θ，则
g
'=
g
cosθ
其中
arcsinθ=
qE
√（qE ）
2+（mg ）
2
则小球在“等效重力场”中做斜抛运动
vx=v0sinθ v y=v0cosθ
当小球在y 轴方向的速度减小到零，即v y=0 时，两者的
合速度即为运动过程中的最小速度
vmin=vx=v0sinθ=v0
qE
√（mg ）2+（qE ）2
【模型演练1】.（2023·辽宁丹东·统考二模）真空中存在空间范围足够大的，水平向右的匀强电场。在电
场中，若将一个质量为
，带正电的小球由空中静止释放，运动中小球的速度与竖直方向夹角为53°。如
图所示，若在此电场中，放置一个竖直面内的光滑固定轨道
（电场没有画出），
水平，长度为
，
是半径为
的四分之一的圆弧，与
相切于
点。现将该小球由
点静止释放，求从
点开始运动的整
个过程中（取重力加速度大小为
，
，
）。
（1）小球受到的电场力大小及方向；
（2）从
点开始运动到轨迹最高点过程中小球电势能的变化量；
（3）小球从c 点离开轨道后速度最小时距c 点的距离。
E
v0
qE
m
g
v）
g'
y
x
θ
9
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【答案】（1）
，水平向右；（2）
；（3）
【详解】（1）由题意，电场力大小
方向：水平向右
（2）对小球由a 到c 的过程，由动能定理得
解得
小球离开点后竖直方向在重力作用力下做匀㓕速直线运动（竖直上抛运动），设小球离开c 点到其轨迹
最高点所需的时间为t，有
小球沿水平方向做初速度为0 的匀加速运动，加速度为a，则有：由牛顿第二定律可知
此过程小球沿电场方向位移为
电场力做功为
因为电场力做正功，所以电势能减少量为
（3）由题意可知，重力与电场力合力方向与竖直方向夹角53°，斜向下如图，沿着合力与垂直合力方向建
立坐标系，将C 点速度沿着两个方向分解
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y 方向做匀减速直线运动，由牛顿第二定律可知
从C 点到小球速度最小时的位移
x 方向做匀速直线运动，此速度为离开C 后的最小速度
小球从C 点离开轨道后速度最小时距C 点的距离
【模型演练2】（2023·全国·高三专题练习）如图所示，水平轨道与半径为R 的
圆弧轨道相切于A 点，整
个空间存在范围足够大的水平向右的匀强电场，电场强度大小为
，质量为m 的不带电小球乙静止
在A 点，质量为2m、电荷量为q 的带正电的小球甲由水平轨道的O 点静止释放，已知
，经过一段
时间两球发生碰撞，碰后并粘合为一体，忽略一切摩擦，小球在整个过程中电荷量不变，两球均可视为质
点，重力加速度大小为g。求：
（1）碰后两球对轨道的最大压力；
（2）小球离开B 点后到再次回到与B 点等高处时的速率。
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【答案】（1）
；（2）
【详解】（1）碰前对小球甲由O 到A 的过程，由动能定理得
两球碰撞过程动量守恒，则由
解得
碰后小球所受的电场力为
电场力与重力的合力斜向右下方与水平方向成
角，大小为
小球的等效最低点位于弧AB 的中点C，对小球由A 到C 的过程由动能定理得
又由牛顿第二定律得
解得
由牛顿第三定律可知小球对轨道的最大压力为
（2）小球由A 到B 由动能定理得
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解得
小球离开B 点后在竖直方向上做竖直上抛运动，水平方向上做初速度为零的匀加速运动，设小球再次运动
到距水平面高度为R 的位置时，所用时间为t，根据运动学公式得
在t 时间内小球沿电场方向运动的位移为
又
解得
对小球，从B 点到再次运动到距水平面高度为R 的位置，根据动能定理得
解得
【模型演练3】（2023·全国·高三专题练习）真空中存在空间范围足够大的、水平向右的匀强电场。在电场
中，若将一个质量为m、带正电的小球由静止释放，运动中小球速度方向与竖直方向夹角为37°（取sin37°
＝0.6，cos37°＝0.8）。现将该小球从电场中某点以初速度v0竖直向上抛出。求运动过程中
（1）小球受到的静电力的大小及方向；
（2）小球的最小速度的大小及方向。
【答案】（1）
，方向水平向右；（2）
，与电场方向夹角为37°斜向上
【详解】（1）小球静止释放后运动速度方向即为所受合外力方向，根据平行四边形法则可得静电力大小
为
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方向水平向右；
（2）小球沿竖直方向做匀减速运动
vy＝v0－gt
沿水平方向做初速度为零的匀加速运动
vx＝axt
小球的速度
由以上各式可得关于
的函数解析式
解得当
时，v 有最小值
此时
即与电场方向夹角为37°斜向上。
【模型演练4】（2023 春·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）如图所示，竖直平面（即纸面）内
存在范围足够大的匀强电场，其大小和方向未知。一质量为m、带电量为
的小球从O 点以初速度
水平向左抛出，小球运动到抛出点正下方A 点时的速度大小为
，已知
两点间距离为
，重力
加速度为g，不计空气阻力，在小球从O 点运动到A 点的过程中，求：
（1）电场力对小球做的功；
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（2）电场强度E 的大小和方向；
（3）小球的最小速度。
【答案】（1）
；（2）
，方向为与OA 成60°角斜向下；（3）
【详解】（1）小球由O 运动到A 过程，由动能定理有
代入数据得电场力对小球做功为
（2）设电场力方向与OA 的夹角为θ，则小球由O 运动到A 过程，电场力做功
可得
小球在水平方向做匀变速直线运动，加速度大小为
在竖直方向做匀加速直线运动，加速度大小为
则
，
联立得
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，
电场强度大小为
且
即电场强度的方向为与OA 成60°角斜向下。
（3）经过时间t，小球的速度大小为
整理可得
可见当
，即
时，小球的速度最小，为
【模型演练5】（2023·四川成都·成都七中校考模拟预测）如图所示，其空中有一足够大的水平向右的匀强
电场，质量均为
、带电量分别为
和
的两小球同时从
点以速度
斜向右上方射入匀强电场中，
方向与水平方向成
，A、B（图中末画出）两点分别为两小球运动轨迹的最高点，带正电的小球经过A
点的速度大小仍然为
，不考虑两球间的库仑力。下列说法错误的是（ ）
A．两小球同时到A、B 两点
B．带负电的小球经过
点的速度大小也为
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C．两小球到达A、B 两点过程中电势能变化量之比为
D．
与
水平距离之比为
【答案】C
【详解】A．由题可知，将带电小球的运动分解成水平方向和竖直方向的运动，由受力可知，两小球在竖
直方向只受重力，故在竖直方向做竖直上抛运动，竖直方向的初速度大小均为
上升到最高点时，竖直方向速度为零，由此可知，两球到达A、B 两点的时间相同，A 正确，不符合题意；
B．水平方向只受电场力，故水平方向做匀变速直线运动，水平方向的初速度为
由题可知，带正电的小球有
带负电的小球有
解得
带负电的小球经过
点的速度大小也为
，B 正确，不符合题意；
C．由B 解析可知，到达最高点时两小球的速度大小相等，水平方向只有电场力做功，由动能定理可知，
两球到达A、B 两点过程中电势能变化量之比为
，C 错误，符合题意；
D．由上分析可知
联立解得
故
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代入数据解得
即
与
水平距离之比为
，D 正确，不符合题意。
故选C。
【模型演练6】．（2023·北京西城·北京四中校考模拟预测）如图所示，在水平向右的匀强电场中，质量为
m 的带电小球，以初速度v 从M 点竖直向上运动，通过N 点时，速度大小为2v，方向与电场方向相反，则
小球从M 运动到N 的过程（ ）
A．动能增加
B．机械能增加
C．重力势能增加
D．电势能增加
【答案】B
【详解】A．小球动能增加量为
故A 错误；
BC．小球在竖直方向做匀减速运动，竖直速度减为零时，设上升高度为h，有
解得
则重力势能增加量为
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机械能增加量为
故B 正确，C 错误；
D．小球在竖直方向做匀减速直线运动，水平方向做初速度为零的匀加速直线运动，竖直速度由v 减到零
的过程，水平速度刚好由零加到2v，根据加速度定义式
可知水平方向的加速度大小为竖直方向加速度大小的2 倍，根据牛顿第二定律得水平方向电场力和加速度
大小分别为2mg、2g，则水平方向位移大小为
电场力做正功，电势能减少，减少量为
故D 错误。故选B。
四．“等效重力场”中的单摆类模型
【模型构建】如图所示，在沿水平方向的匀强电场中有一固定点O，用一根长度L=0.4m 的绝缘细绳把质
量为m=0.10kg、带有正电荷的金属小球悬挂在O 点，小球静止在B 点时细绳与竖直方向的夹角为θ=37º．
现将小球拉至位置A 使细线水平后由静止释放：
建立“等效重力场”如图所示，“等效重力加速度”g'
，
方向：与竖直方向的夹角30∘
，大小：
g
'=
g
cos37∘=1.25g
由A、C 点分别做绳OB 的垂线，交点分别为A'、C'，由动能
+
L
θ
E
C
B
A
O
+
C'
A'
θ
C
B
A
O
g'
θ
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定理得带电小球从A 点运动到C 点等效重力做功
m g
'(LO A
'−LOC
')=m g
' L(cosθ−sinθ)=1
2 mv C
2
代入数值得vC≈1.4 m/s
当带电小球摆到B 点时，绳上的拉力最大，设该时小球的速度为vB ，绳上的拉力为F ，则
mg
'（L−Lsinθ）=1
2 mv B
2
①
F−m g
'=m vB
2
L ②
联立①②两式子得F=2.25N
【模型演练1】如图甲所示，可视为质点的小球用长为
、不可伸长的轻绳悬挂于
点。现对小球施加水
平恒力使其从静止开始运动，轻绳拉力
大小随绳转过的角度
变化的曲线如图乙所示，图中
为已知
量，重力加速度为
，下列说法正确的是（ ）
A. 小球到达最高点时的机械能最大
B. 小球到达最高点时的加速度大小为
C. 小球运动过程中轻绳拉力的最大值为
D. 小球从开始运动到最高点，增加的机械能为
【答案】BC
【解析】水平恒力
与重力合成出一个新力场（因为两个力的方向和大小都不变），得到
力场，
力
场为等效重力场模型，受力分析如图所示
20
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A．除重力之外只有
在做功，当小球到达水平位置时，
做功最多，所以当小球到达水平位置时机械能
最大（绳子拉力与小球速度垂直，不做功），故A 选项错误；
B．小球到达最高点时，速度为
，设其加速度为
，据牛二定律得
解得
，
据加速度的合成与分解得
故B 选项正确；
C．由图可知，当
时，轻绳拉力
达到最大值
，轻绳的拉力
与
的合力为小球运
动提供向心力，则有
由动能定理得
其中
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联立上式，解得
因为刚开始时小球是静止的，则有
故
故C 选项正确；
D．小球运动到最高点时，增加的机械能为水平恒力所做的功，即
故D 选项错误。
故选BC。
【模型演练2】.（2023·新疆·统考二模）如图所示，水平向右的匀强电场中，一根长
的不可伸长
的绝缘细线，一端连着一质量
的带电小球，另一端固定于O 点。把小球拉起至A 点，此时细线水
平，把小球从A 点由静止释放，小球经最低点B 后到达B 的另一侧C 点时速度为零，
与
夹角为
，
g 取
。则（ ）
A．小球一定带负电
B．小球从A 点经过B 点再到C 点的过程中，机械能先增加后减小
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C．细线所受的最大拉力为
D．小球到达B 点时的动能为
【答案】D
【详解】A．对全过程，重力做正功，可知电场力做负功，可知电场力方向向右，则小球带正电，A 错误；
B．小球从A 点经过B 点再到C 点的过程中，电场力一直做负功，可知小球的机械能一直减小，B 错误；
C．对全过程根据动能定理可得
解得
重力和电场力的合力
与水平方向夹角的正切值
可得
如图所示
此时合力方向与圆弧的焦点为等效最低点，此时绳子的拉力最大，根据动能定理
在等效最低点，根据牛顿第二定律
联立解得细线所受的最大拉力
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C 错误；
D．从A 到B 根据动能定理可得
D 正确。故选D。
【模型演练3】（2023 春·福建宁德·高三校联考阶段练习）如图所示，在竖直平面内有水平向左的匀强电
场，在匀强电场中有一根长为L 的绝缘细线，细线一端固定在O 点，另一端系一质量为m 的带电小球。小
球静止时细线与竖直方向成
角，此时让小球获得初速度且恰能绕O 点在竖直平面内沿逆时针方向做圆周
运动，重力加速度为g，不考虑空气阻力。下列说法正确的是（ ）
A．匀强电场的电场强度
B．小球做圆周运动过程中动能的最小值为
C．小球运动至圆周轨迹的最高点时机械能最小
D．小球从初始位置开始，在竖直平面内运动一周的过程中，其电势能先减小后增大
【答案】A
【详解】A．小球静止时细线与竖直方向成
角，对小球进行受力分析，如图所示
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由平衡关系可知
解得
故A 正确；
B．小球静止时细线与竖直方向成
角，则A 点为小球绕O 点在竖直平面内沿逆时针方向做圆周运动的等
效最高点
A 点时小球的速度最小，动能最小，由牛顿第二定律可知
动能
联立解得
故B 错误；
C．由机械能守恒定律可知，机械能的变化量等于除重力和弹簧弹力之外的其他力做的功，此处即电场力
做的功。由题意可知，当小球运动到最左边与O 点等高时，电场力做负功最多，机械能最小，故C 错误；
D．小球从初始位置开始，在竖直平面内运动一周的过程中，电场力先做负功后做正功，所以电势能先增
大后减小，故D 错误。
故选A。
【模型演练4】（2023·河南开封·统考三模）如图所示，空间有水平方向的匀强电场E（末画出），长为L
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的绝缘轻质细线一端固定在天花板上O 点，另一端系质量为m，电荷量为q 的带正电小球，现由图示A 位
置静止释放小球，小球沿圆弧经最低点C 恰好能到达B 点，已知OB 与竖直方向的夹角为
且
，
重力加速度为g，忽略空气阻力。则下列说法正确的是（ ）
A．电场强度
B．小球在B 点时的电势能最小
C．小球经过C 点时对细线的拉力为
D．小球经过C 点时的动能最大
【答案】AC
【详解】A．根据图形可知，小球向左运动过程中，电场力做负功，则电场方向水平向右，由A 到B 过程
有
解得
A 正确；
B．根据上述可知，由A 到B 过程电场力做负功，因此小球在B 点时的电势能最大，B 错误；
C．由A 到C 过程有
在C 点有
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根据牛顿第三定律有
解得
C 正确；
D．由于
即有
令物理等效最低点位置与圆心连线方向与水方向夹角为
，则有
小球经过物理等效最低点时的动能最大，即该位置位于AC 之间，不在C 点，D 错误。
故选AC。
【模型演练5】（2023 秋·北京海淀·高三统考期末）如图所示，在水平向右的匀强电场中，长为L 的绝缘
细线一端悬于O 点，另一端系一质量为m、电荷量为＋q 的小球（可视为点电荷）。将小球拉至与O 点等
高的A 点，保持细线绷紧并静止释放，小球运动到与竖直方向夹角
的P 点时速度变为0。已知
、
，电场范围足够大，重力加速度为g，空气阻力可忽略。求：
（1）小球刚释放时的加速度a；
（2）小球所受电场力F；
（3）P 点和A 点间的电势差
；
（4）小球从A 运动到P 的过程中，电势能的改变量
；
（5）小球通过最低点B 时的速度大小
；
（6）小球速度最大时，细线与水平方向的夹角
（用
表示）；
（7）小球运动过程中的最大速度
。
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【答案】（1）
，方向竖直向下；（2）
，方向水平向右；（3）
；（4）
；（5）
；（6）
；（7）
【详解】（1）由题知，小球带正电，故小球所受力的电场力水平向右，在A 点时保持细线绷紧，故小球
受到的电场力与受到轻绳的拉力平衡，则小球的合外力等于小球的重力，根据牛顿第二定律有
解得
方向：竖直向下；
（2）由题知，小球由静止释放，并运动到与竖直方向夹角
的P 点时速度变为0，根据动能定理有
解得
方向：水平向右；
（3）由题知，小球由静止释放，并运动到与竖直方向夹角
的P 点时速度变为0，根据动能定理有
解得
（4）小球从A 运动到P 的过程中，电场力做负功，则有
故电势能的改变量
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（5）小球由静止释放至B 点，根据动能定理有
解得
（6）将电场力与重力合成一个等效“重力”，其等效“重力”的最低点即为速度的最大点，由题分析，
可知该点在A 点与B 点之间，设为C 点，则有
又小球由静止释放，并运动到与竖直方向夹角
的P 点时速度变为0，根据动能定理有
解得
联立解得
根据数学知识变形得
解得
（7）由A 点运动到最大速度C 点，根据动能定理有
联立解得
【模型演练6】（2023 秋·黑龙江绥化·高三校考期末）一长为L 的绝缘细线，细线一端固定在O 点，另一
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端拴一质量为m、带电荷量为q 的小球，处于如图所示的水平向右的匀强电场中。开始时，将细线与小球
拉成水平，小球静止在A 点，释放后小球由静止开始向下摆动，当细线转过60°角时，小球到达B 点，速
度恰好为零。（已知重力加速度为g，答案可以带根号），求：
（1）A、B 两点间的电势差和电场强度大小；
（2）判断小球的电性和小球到达B 点时，细线对小球的拉力大小。
（3）小球由A 到B 过程中，细线对小球的最大拉力。
【答案】（1）
，
；（2）正电，
；（3）
【详解】由动能定理可得
解得A、B 两点间的电势差
又由
可得，A、B 两点间的电场强度大小
（2）小球由A 到B 过程电场力做负功，小球在 B 点受到水平向右的电场力,与电场方向相同,故小球带正电；
小球在A、B 间摆动，由对称性得知，B 处细线的拉力与A 处细线的拉力大小相等，而在A 处由水平方向
受力平衡有
故小球到达B 点时，细线对小球的拉力大小
（3）由单摆运动的对称性可知，重力与电场力的合力方向与A、B 两点连线垂直，即等效的复合场沿OC
方向，且在B 点受力分析，重力与电场力的合力方向与OC 平行，如图所示
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小球在复合场中受的合场力为
小球由A 到B 过程中，细线对小球的最大拉力即在等效复合场中等效最低点，由于小球做圆周运动，等效
最低点线速度最大，绳子拉力也最大，则由A 点做圆周运动至最低点由动能定理有
解得等效最低点的线速度为
则在等效最低点由牛顿第二定律有
解得等效最低点的最大拉力为
五．“等效重力场”中的圆周运动类模型
【模型构建】如图所示，绝缘光滑轨道AB 部分为倾角为30°的斜面，AC 部分为竖直平面上半径为R 的圆
轨道，斜面与圆轨道相切．整个装置处于场强为E、方向水平向右的匀强电场中．现有一质量为m 的带正
电，电量为
q=√3 mg
3 E
小球，要使小球能安全通过圆轨道，在O 点的初速度应为多大？
31
E
R
300
mg
qE
g
m
N
R
300
E
O
B
3
g
m
R
300
O
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运动特点：小球先在斜面上运动，受重力、电场力、支持力，然后在圆轨道上运动，受到重力、电场力，
轨道作用力，且要求能安全通过圆轨道．
对应联想：在重力场中，小球先在水平面上运动，重力不作功，后在圆轨道上运动的模型：过山车．
等效分析：如图所示，对小球受电场力和重力，将电场力与重力合成视为等效重力m g
'
，大小
m g
'=√(qE )2+(mg )2=2√3mg
3
，
tg θ=qE
mg =√3
3 ，得θ=30° ，于是重效重力方向为垂直斜面向下，
得到小球在斜面上运动，等效重力不做功，小球运动可类比为重力场中过山车模型．
规律应用：分析重力中过山车运动，要过圆轨道存在一个最高点，在最高点满足重力当好提供向心力，只
要过最高点点就能安全通过圆轨道．如果将斜面顺时针转过300，就成了如图3-3 所示的过山车模型，最高
点应为等效重力方向上直径对应的点B，则B 点应满足“重力”当好提供向心力即：
m g'= mv B
2
R
假设以最小初速度v0运动，小球在斜面上作匀速直线运动，进入圆轨道后只有重力作功，则根据动能定理：
−m g
'2 R=1
2 mv B
2−1
2 mv 0
2
解得：
v0=√
10√3gR
3
【模型演练1】（2023·安徽·校联考模拟预测）如图所示，半径为R 的双层光滑管道位于竖直平面内，质量
为m、带电量为＋q 的小球位于管道最低点A，B 是最高点，空间存在水平向左、场强大小
的匀强
电场，现在A 点给小球一水平初速度v0，小球恰好能够做完整的圆周运动，重力加速度为g，下列说法正
确的是（ ）
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A．v0的大小为
B．经过B 点时小球受到管道外壁的压力大小为
C．经过A 点时小球受到管道外壁的支持力大小为
D．若在A 点给小球的水平初速度增大一倍，小球经过B 点的速度也增大一倍
【答案】AC
【详解】A．如图所示
小球在等效最低点P 静止时，受重力、支持力和电场力三力平衡，根据平衡条件，有
mgtanθ = qE
结合
可知
θ = 45°
且重力和电场力的合力
小球恰好能够做完整的圆周运动，说明小球经过等效最高点Q 时速度刚好为零，由Q 到A 根据动能定理，
有
解得
A 正确；
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C．在A 点根据向心力公式有
解得
C 正确；
BD．由B 到A 根据动能定理，有
解得
在B 点有
解得经过R 点时小球受到管道内壁的支持力大小为
BD 错误。
故选AC。
【模型演练2】（2023 春·江西·高三校联考阶段练习）如图甲所示，空间有一水平向右的匀强电场，其中
有一个半径为R 的竖直光滑圆环轨道，环内有两根光滑的轨道
和
，A 点所在的半径与竖直直径
间的夹角为
。质量为m、电荷量为q 的带电小球（可视为质点）从A 点静止释放，分别沿轨道
和
到达圆环上B、C 两点的时间相同。现去掉轨道
和
，如图乙所示，在C 点给小球一个初速度，
让小球恰能在圆环轨道内做完整的圆周运动，不考虑小球运动过程中电荷量的变化。下列说法正确的是
（tan37°=0.75，g=10m/s2）（ ）
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A．匀强电场的电场强度为
B．甲图中小球从A 点运动到C 点的时间为
C．乙图中小球经过A 点时的电势能和重力势能之和最大
D．乙图中小球做圆周运动过程中对环的压力最大值为
【答案】BCD
【详解】A．小球沿AB 轨道运动过程有
，
小球沿AC 轨道运动过程有
，
解得
A 错误；
B．根据上述有
即电场力与重力的合力方向由A 指向O，且大小为
则有
结合上述解得
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B 正确；
C．小球在图乙中只有重力势能、动能与电势能之间的相互转化，总的能量守恒，根据上述可知，小球在
A 点的电场力与重力的合力方向指向圆心，即A 点为等效的物理最高点，小球在该点的动能最小，则乙图
中小球经过A 点时的电势能和重力势能之和最大，C 正确；
D．由于小球恰能在圆环轨道内做完整的圆周运动，则在等效物理最高点有
根据上述，与A 点关于圆心对称的点为等效物理最低点，该位置小球做圆周运动过程中对环的压力最大，
小球有A 点到该点过程有
在等效物理最低点有
则小球做圆周运动过程中对环的压力
解得
D 正确。
故选BCD。
【模型演练3】（2023·全国·高三专题练习）如图所示，竖直平面内固定着一个半径为R 的光滑绝缘圆环，
a 为圆环的最低点，c 为圆环的最高点，b 点与圆心O 等高，该空间存在与圆环平面平行的匀强电场。质量
为m、带电量为
的小球P 套在圆环上，沿环做圆周运动，通过a、b、c 三点时的速度大小分别为
、
、
。下列说法正确的是（ ）
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A．a 与b 之间的电势差
B．匀强电场场强大小为
C．匀强电场的方向为a 指向b
D．小球运动过程中的最小速度为
【答案】AD
【详解】AC．从最低点到最高点：
解得：
故ac 连线为等势线，从a 到b，有
解得：
电场线垂直于等势线，且沿电场线方向电势逐渐降低，故匀强电场方向水平向右，故A 正确，C 错误；
B． 匀强电场场强大小
故B 错误；
D．电场力
当电场力与重力合力与圆心在一条直线上时，对圆环的压力达到最大和最小，根据几何关系可知，最小速
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度
解得
故D 正确。
故选AD。
【模型演练4】（2023·辽宁·模拟预测）如图所示，水平绝缘轨道AB 与处于竖直平面内的半圆形绝缘光滑
轨道BC 平滑连接，半圆形轨道的半径R＝0.40m。轨道所在空间存在水平向右的匀强电场，电场强度E＝
1.0×104N/C。现有一电荷量
，质量m＝0.10kg 的带电体（可视为质点），在水平轨道上的P
点由静止释放，已知P 点与圆形轨道最低点B 距离s＝2.5m。带电体与水平轨道间的动摩擦因数μ＝0.50，
重力加速度
，取
。求：
（1）带电体运动到圆形轨道的最高点C 时，对轨道的压力大小；
（2）带电体第一次经过C 点后，落在水平轨道上的位置到B 点的距离。
【答案】（1）1.25N；（2）0.4m
【详解】（1）从P 点到B 点根据动能定理有
代入数据解得
设带电体运动到C 点的速度为
，从B 点到C 点根据动能定理有
解得
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在C 点，根据牛顿第二定律，有
代入数据解得
（2）带电体离开C 点后在竖直方向上做自由落体运动，设在空间运动的时间为，则有
解得
在水平方向上做匀减速运动，设在水平方向的加速度大小为
，根据牛顿第二定律，有
设落在水平轨道上的位置到B 点距离为
，根据运动学公式
代入数据解得
【模型演练5】（2023·全国·二模）在水平向右足够大的匀强电场中，大小可忽略的两个带电小球A、B 分
别用不可伸长，长度均为l 的绝缘轻质细线悬挂在同一水平面上的M、N 两点，并静止在如图所示位置，
两细线与电场线在同一竖直平面内，细线与竖直方向夹角均为
。已知两小球质量都为m，电荷量均
为q 且带等量异种电荷，匀强电场的场强大小
，重力加速度大小为g，取
，
。求
（1）A、B 两小球之间库仑力的大小；
（2）保持小球B 的位置和带电量不变，移除A 小球后，将小球B 由静止释放，求B 小球此后运动过程中
速度的最大值。
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【答案】（1）
；（2）
【详解】（1）设B 小球受到的电场力为
对B 小球受力分析如图所示，
小球B 静止，受力平衡得
联立解得
（2）小球A 撤去后，小球B 在电场力、重力和绳子拉力作用下做变速圆周运动，当重力和电场力的合力
沿着半径方向时小球速度最大。设小球速度最大时，绳子与竖直方向的夹角为
。由几何关系可得
小球B 从初始位置运动到速度最大位置，在竖直方向的位移为
在水平方向的位移为
由动能定理得
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解得
【模型演练6】（2023·湖南常德·高三常德市一中校考阶段练习）如图所示，竖直平面内有一半径为L，圆
心为O 的圆，AB 为水平直径，CD 为竖直直径。长为L 的轻质细线一端系小球，另一端固定在圆心O。可
视为质点的小球的带电量为+q、质量为m。方向水平向右、场强大小为E 的匀强电场与圆平面平行，且
qE=mg。
（1）若小球从C 点静止释放，在运动过程中，细线与竖直方向的最大夹角是多少？
（2）要使小球做完整的圆周运动，在C 点小球至少应该以多大的速度水平抛出？
（3）若小球从A 点静止释放，经过B 点时绳子的拉力是多少？
（4）若小球从A 点以
竖直上抛，再次经过圆周时的位置？
【答案】（1）
；（2）
；（3）
；（4）恰好经过B 点
【详解】（1）设小球与竖直方向的最大夹角为
解得
（2）由qE=mg 可知，小球所受合力与水平方向成45°斜向下，故当小球经过与合力方向相反，位于A、D
中间的E 点时速度最小，设为v1
解得
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小球从C 到E 的过程，由动能定理
解得
（3）小球从A 点静止释放，沿直线AC 运动，到达C 点时的速度为v3，由动能定理
绳子绷紧时，沿绳方向的动量损失。小球沿C 点切线方向的速度为v4
设小球到达B 点的速度为v5，由动能定理不难得出
，对B 点，
解得
（4）小球从A 点以速度v 竖直上抛时，绳子的拉力为
解得
此后小球在竖直方向做竖直上抛运动，水平方向做初速度为零，加速度为g 的匀加速直线运动。小球竖直
上抛的时间
回到与A 同一水平线上时，水平位移
故小球再次经过圆周时，恰好经过B 点。
【模型演练7】（2023·全国·高三专题练习）如图所示，竖直平面内有一半径R=0.4m 的竖直光滑绝缘圆弧
轨道BCD 和绝缘粗糙水平轨道在B 点相切，BC 为圆弧轨道的直径，O 为圆心，OC 和OD 之间的夹角为
θ=37°，整个装置处于水平向左的匀强电场中，电场强度大小E=500N/C，场强方向与粗糙水平轨道平行。
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质量为m=40g、电荷量为q=+6×10-4C 的带正电的小滑块从A 点由静止释放，小滑块恰好能通过竖直光滑绝
缘圆弧轨道BCD。已知小滑块与水平轨道间的动摩擦因数μ=0.5，小滑块可视为质点，sin37°=0.6，g 取
10m/s2。求
（1）小滑块在通过圆弧轨道BCD 中的最小速率；
（2）小滑块第一次通过B 点时对轨道的压力大小；
（3）A、B 点间的距离。
【答案】（1）
；（2）2.7N；（3）4.6m
【详解】（1）小滑块恰好能通过竖直光滑绝缘圆弧轨道BCD，即在等效最高点由重力和电场力合力F 提
供向心力，有
①
设F 与竖直方向的夹角为β，有
②
得
即D 点为等效最高点，小滑块在D 点处速度最小，有
③
由①③式得
④
（2）滑块由B 到D，由动能定理，有
⑤
由几何关系，有
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⑥
在B 点，有
⑦
由④⑤⑥⑦式得
⑧
由牛顿第三定律可知，滑块第一次通过B 点时对圆弧轨道的压力大小为2.7N ⑨
（3）滑块由A 到B，由动能定理，有
⑩
由⑤⑥⑩式得
⑪
【模型演练8】（2023·北京通州·高三统考期末）如图所示，长度为l 的绝缘轻绳上端固定在O 点，下端系
一质量为m，电荷量为＋q 的小球。现加一水平向右的匀强电场，当绝缘轻绳处于与竖直方向成
角的位
置A 处时，小球刚好处于静止状态（已知重力加速度为g，
，
，不计小球受到的空
气阻力）。求：
（1）匀强电场的电场强度大小E；
（2）若轻绳被剪断，则绳剪断瞬间小球的加速度a；
（3）现把小球置于图中位置B 处，使OB 沿着水平方向，轻绳处于拉直状态。小球从位置B 无初速度释放，
求小球通过最低点时的速度大小v。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）小球处于静止状态，受重力G，电场力F，轻绳拉力T，如图
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由共点力平衡条件可知
解得匀强电场的电场强度大小
（2）轻绳被剪断，小球重力G、电场力F 作用，小球受到的合力
由牛顿第二定律得
则绳剪断瞬间小球的加速度
（3）小球从位置B 无初速度释放到最低点的过程中，根据动能定理得
解得小球通过最低点时的速度大小
【模型演练9】（2023 秋·北京海淀·高三统考期末）如图所示，在水平向右的匀强电场中，长为L 的绝缘
细线一端悬于O 点，另一端系一质量为m、电荷量为
的小球（可视为点电荷）。将小球拉至与O 点等
高的A 点，保持细线绷紧并静止释放，小球运动到与竖直方向夹角
的P 点时速度变为零。已知
、
，空气阻力可忽略，重力加速度为g。求：
（1）电场强度的大小E；
（2）小球从A 运动到B 的过程中，电场力做的功W；
（3）小球通过最低点B 时，细线对小球的拉力大小F。
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【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）由A 到P 过程中，根据动能定理
解得
（2）小球从A 运动到B 的过程中，电场力做的功
（3）小球从A 运动到B 的过程中，根据动能定理
在B 点，根据牛顿第二定律
联立解得
【模型演练10】（2023·北京海淀·高三北京市十一学校校考阶段练习）如图所示，空间中存在水平向右的
匀强电场，场强大小为E，一带电小球质量为m，轻质悬线长为l，在B 点静止时与竖直方向夹角
，
重力加速度为g。已知
，
，问：
（1）小球带何种电荷？电荷量为多少？
（2）把小球向右拉至细线水平位置后（A 点）由静止释放，求小球过最低点C 时对悬线的拉力大小；
（3）若把细线剪断，将小球从某点以初速度
竖直向上抛出，求小球在运动过程中的最小速率。
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【答案】（1）正电，
；（2）
；（3）
【详解】（1）小球在B 点静止则电场力水平向右，与电场线方向相同，则小球带正电。小球受力平衡则
有
得
（2）根据动能定理
得小球在最低点速度为
在最低点由牛顿第二定律
得
根据牛顿第三定律，小球对绳的拉力大小为
（3）将初速度
分解到沿合力方向和垂直于合力方向，则最小速度为沿合力方向的分速度减为0 时的速度，
即最小速度为
47
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