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专题14 “等效重力场”模型
目录
一.“等效重力场”模型解法综述..........................................................................................................................1
二．“等效重力场”中的直线运动模型............................................................................................................1
三．“等效重力场”中的抛体类运动模型........................................................................................................8
四．“等效重力场”中的单摆类模型..............................................................................................................18
五．“等效重力场”中的圆周运动类模型......................................................................................................30
一.“等效重力场”模型解法综述
将一个过程或事物变换成另一个规律相同的过程和或事物进行分析和研究就是等效法．中学物理中常
见的等效变换有组合等效法（如几个串、并联电阻器的总电阻）；叠加等效法（如矢量的合成与分解）；
整体等效法（如将平抛运动等效为一个匀速直线运动和一个自由落体运动）；过程等效法（如将热传递改
变物体的内能等效为做功改变物体的内能）
“等效重力场”建立方法——概念的全面类比
为了方便后续处理方法的迁移，必须首先搞清“等效重力场”中的部分概念与复合之前的相关概念之
间关系．具体对应如下：
等效重力场
重力场、电场叠加而成的复合场
等效重力
重力、电场力的合力
等效重力加速度
等效重力与物体质量的比值
等效“最低点”
物体自由时能处于稳定平衡状态的位置
等效“最高点”
物体圆周运动时与等效“最低点”关于圆心对称的位置
等效重力势能
等效重力大小与物体沿等效重力场方向“高度”的乘积
二．“等效重力场”中的直线运动模型
【运动模型】 如图所示，在离坡底为L 的山坡上的C 点树直固定一根直杆，杆高也是L．杆上端A 到坡底
B 之间有一光滑细绳，一个带电量为q、质量为m 的物体穿心于绳上，整个系统处在水平向右的匀强电场
中，已知细线与竖直方向的夹角θ=30º．若物体从A 点由静止开始沿绳无摩擦的滑下，设细绳始终没有发
生形变，求物体在细绳上滑行的时间．（g=10m/s2，sin37º=0.6，cos37º=0.8）
因细绳始终没有发生形变，故知在垂直绳的方向上没有压力存在，即带电小球受到的重力和电场力的合力
方向沿绳的方向．建立“等效重力场”如图所示
C
B
A
E
1
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“等效重力场”的“等效重力加速度”，方向：与竖直方向的夹角30∘
，大小：
带电小球沿
绳做初速度为零，加速度为g'
的匀加速运动
SAB=2 Lcos30∘
①
SAB =1
2 g
' t2
②
由①②两式解得
t=√3 L
g
“等效重力场”的直线运动的几种常见情况
匀速直线运动
匀加速直线运动
匀减速直线运动
1.如图所示，相距为d 的平行板A 和B 之间有电场强度为E、方向竖直向下的匀强电场．电场中C 点距B
板的距离为0.3d，D 点距A 板的距离为0.2d，有一个质量为m 的带电微粒沿图中虚线所示的直线从C 点运
动至D 点，若重力加速度为g，则下列说法正确的是( )
A．该微粒在D 点时的电势能比在C 点时的大
B．该微粒做匀变速直线运动
C．在此过程中电场力对微粒做的功为0.5mgd
D．该微粒带正电，所带电荷量大小为q＝
g'
C
B
A
θ
v0
mg
qE
θ
v0
mg
qE
F 合
θ
v0
mg
qE
F 合
2
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2.AB、CD 两块正对的平行金属板与水平面成30°角固定，竖直截面如图所示。两板间距10cm，电荷量为
、质量为
的小球用长为5cm 的绝缘细线悬挂于A 点。闭合开关S，小球静止时，细
线与AB 板夹角为30°；剪断细线，小球运动到CD 板上的M 点（未标出），则（ ）
A．MC 距离为
B．电势能增加了
C．电场强度大小为
D．减小R 的阻值，MC 的距离将变大
3.如图所示，在竖直面（纸面）内有匀强电场，带电量为q（q>0）、质量为m 的小球受水平向右大小为F
的恒力，从M 匀速运动到N。已知MN 长为d，与力F 的夹角为
，重力加速度为g，则
A．场强大小为
B．M、N 间的电势差为
C．从M 到N，电场力做功为
D．若仅将力F 方向顺时针转
，小球将从M 向N 做匀变速曲线运动
4.如图所示，匀强电场的方向与水平方向间夹角为
，电场强度大小为E。质量为m 的带负电小球以初速
度
开始运动，初速度方向与电场线平行，重力加速度为g。求：
3
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（1）若小球所带电荷量
，为使小球做匀速直线运动，则对小球施加的恒力
的大小和方向；
（2）若小球所带电荷量
，为使小球做直线运动，现对小球施加一最小恒力
，则小球的加速度为
多大。
5.如图所示，倾斜放置的平行板电容器两极板与水平面夹角为
，极板间距为d，带负电的微粒质量为m、
带电荷量大小为q，从极板M 的左边缘A 处以初速度
水平射入，沿直线运动并从极板N 的右边缘B 处射
出，重力加速度为g，求：
（1）微粒到达B 点时的速度大小；
（2）两极板的电势差
。
三．“等效重力场”中的抛体类运动模型
【运动模型】如图所示，在电场强度为E 的水平匀强电场中，以初速度为v0 竖直向上发射一个质量为m、
带电量为+q 的带电小球，求小球在运动过程中具有的最小速度．
建立等效重力场如图所示，等效重力加速度g'
E
v0
4
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设g'
与竖直方向的夹角为θ，则
g
'=
g
cosθ
其中
arcsinθ=
qE
√（qE ）
2+（mg ）
2
则小球在“等效重力场”中做斜抛运动
vx=v0sinθ v y=v0cosθ
当小球在y 轴方向的速度减小到零，即v y=0 时，两者的
合速度即为运动过程中的最小速度
vmin=vx=v0sinθ=v0
qE
√（mg ）2+（qE ）2
1.如图所示，平面直角坐标系
处于竖直平面内，O 为坐标原点，x 轴水平且上方处于匀强电场中。质量
为m、带电量为q 的微粒在竖直平面内以初速度
从x 轴上的A 点进入电场，初速度方向与x 轴负方向成
45°角，
两点间的距离为L。若x 轴上方的匀强电场竖直向上，微粒恰能沿初速度方向做匀速直线运动。
重力加速度为g，求：
(1)微粒带正电还是负电？
(2)匀强电场的场强大小；
(3)若保持电场强度大小不变，只将方向改为水平向左后，让微粒再以原初速度从A 点进入，微粒在匀强电
qE
m
g
v）
g'
y
x
θ
5
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场运动的过程中，经过多长时间离x 轴最远；
(4)在（3）的条件下，微粒再次经过x 轴时的位置坐标。
2．人类为了开发外太空，需要模拟各种等效重力场下的逃生方式。如图所示，水平面xOy 和竖直面yOz
内分别固定着两个半径均为R 的半圆形光滑绝缘轨道OMN 和OPQ，整个空间存在着方向沿y 轴正方向的
匀强电场，质量分别为0.5m、m 的逃生球A、B 套在轨道上，其中绝缘的A 球不带电，B 球的电荷量为
。
已知匀强电场的电场强度大小为
（g 为重力加速度），B 球从OMN 轨道进入OPQ 轨道时无能量损
失，初始时B 球静止在OMN 轨道的中点处，A 球以大小为
的初速度从N 点滑上轨道，A、B 两
球之间的碰撞为弹性碰撞，且碰撞过程中B 球的电荷量不变，A、B 两球均可视为质点，碰后A 球被锁定。
求：
(1)B 球到达O 点的速度大小；
(2)B 球在OPQ 轨道上的最小动能；
(3)B 球从Q 点脱离轨道后，经过y 轴时的坐标。
3.如图，一质量为m、带电量为
的小球从距地面高度为h 处以一定的初速度水平抛出，在距离抛出点水
平距离为L 处，有一根管口比小球直径略大的竖直细管，管的上端距离地面高度为
，为使小球能无碰撞
地通过管子，在管子上方的整个区域内加一个方向水平向左的匀强电场，求：
6
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(1)小球运动至管上口的时间；
(2)匀强电场的场强大小；
(3)小球落地时的动能。
4.如图，abc 是竖直面内的光滑绝缘固定轨道，ab 水平，bc 是与ab 相切于b 点且半径为
圆弧．所在空
间有方向平行于ab 向右的匀强电场。面轨道上P 点由静止释放个质量为m、电荷量为
的小球，小
球飞出轨道后达到的最高点为Q（图中未画出）。若小球可视为质点，重力加速度大小为g，电场的场强
大小
，Q 与c 点的高度差为
，求：
(1)Pb 之间距离；
(2)Q 点与c 点之间距离；
(3)小球对轨道的最大压力。
5.如图所示，竖直平面（即纸面）内存在范围足够大的匀强电场，其大小和方向未知。一质量为m、带电
量为
的小球从O 点以初速度
水平向左抛出，小球运动到抛出点正下方A 点时的速度大小为
，已知
两点间距离为
，重力加速度为g，不计空气阻力，在小球从O 点运动到A 点的过程中，
求：
（1）电场力对小球做的功；
（2）电场强度E 的大小和方向；
（3）小球的最小速度。
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6.如图所示，其空中有一足够大的水平向右的匀强电场，质量均为
、带电量分别为
和
的两小球同
时从
点以速度
斜向右上方射入匀强电场中，
方向与水平方向成
，A、B（图中末画出）两点分别
为两小球运动轨迹的最高点，带正电的小球经过A 点的速度大小仍然为
，不考虑两球间的库仑力。下列
说法错误的是（ ）
A．两小球同时到A、B 两点
B．带负电的小球经过
点的速度大小也为
C．两小球到达A、B 两点过程中电势能变化量之比为
D．
与
水平距离之比为
7.如图所示的坐标系，在第一象限内存在水平向右的匀强电场，一带电小球由y 轴上的P 点以水平速度
抛出，经过一段时间小球刚好落在坐标原点。已知小球的质量为m、带电荷量为q，电场强度
，重
力加速度为g。
8
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(1)判断小球所带电荷的电性并求出小球从P 到O 的过程中中间时刻的坐标值；
(2)求小球动能的最小值。
四．“等效重力场”中的单摆类模型
【模型构建】如图所示，在沿水平方向的匀强电场中有一固定点O，用一根长度L=0.4m 的绝缘细绳把质
量为m=0.10kg、带有正电荷的金属小球悬挂在O 点，小球静止在B 点时细绳与竖直方向的夹角为θ=37º．
现将小球拉至位置A 使细线水平后由静止释放：
建立“等效重力场”如图所示，“等效重力加速度”g'
，
方向：与竖直方向的夹角30∘
，大小：
g
'=
g
cos37∘=1.25g
由A、C 点分别做绳OB 的垂线，交点分别为A'、C'，由动能
定理得带电小球从A 点运动到C 点等效重力做功
m g
'(LO A
'−LOC
')=m g
' L(cosθ−sinθ)=1
2 mv C
2
代入数值得vC≈1.4 m/s
当带电小球摆到B 点时，绳上的拉力最大，设该时小球的速度为vB ，绳上的拉力为F ，则
mg
'（L−Lsinθ）=1
2 mv B
2
①
F−m g
'=m vB
2
L ②
+
L
θ
E
C
B
A
O
+
C'
A'
θ
C
B
A
O
g'
θ
9
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联立①②两式子得F=2.25N
1.如图甲所示，可视为质点的小球用长为
、不可伸长的轻绳悬挂于
点。现对小球施加水平恒力使其从
静止开始运动，轻绳拉力
大小随绳转过的角度
变化的曲线如图乙所示，图中
为已知量，重力加速
度为
，下列说法正确的是（ ）
A. 小球到达最高点时的机械能最大
B. 小球到达最高点时的加速度大小为
C. 小球运动过程中轻绳拉力的最大值为
D. 小球从开始运动到最高点，增加的机械能为
2.如图所示，水平向右的匀强电场中，一根长
的不可伸长的绝缘细线，一端连着一质量
的
带电小球，另一端固定于O 点。把小球拉起至A 点，此时细线水平，把小球从A 点由静止释放，小球经最
低点B 后到达B 的另一侧C 点时速度为零，
与
夹角为
，g 取
。则（ ）
A．小球一定带负电
B．小球从A 点经过B 点再到C 点的过程中，机械能先增加后减小
C．细线所受的最大拉力为
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D．小球到达B 点时的动能为
3.如图所示，在竖直平面内有水平向左的匀强电场，在匀强电场中有一根长为L 的绝缘细线，细线一端固
定在O 点，另一端系一质量为m 的带电小球。小球静止时细线与竖直方向成
角，此时让小球获得初速度
且恰能绕O 点在竖直平面内沿逆时针方向做圆周运动，重力加速度为g，不考虑空气阻力。下列说法正确
的是（ ）
A．匀强电场的电场强度
B．小球做圆周运动过程中动能的最小值为
C．小球运动至圆周轨迹的最高点时机械能最小
D．小球从初始位置开始，在竖直平面内运动一周的过程中，其电势能先减小后增大
4．如图水平向右的匀强电场中，用长为L 的不可伸长的轻质绝缘细线系住一质量为m，带电量为
（q>0）的小球。小球从竖直位置A 点静止释放，可绕着悬点O 在竖直平面内摆过最大角度为
。在小
球右侧还有一足够长的斜面，斜面倾角为
，O 点距斜面垂直距离为H，忽略空气阻力的影响，重力加速
度为 g。
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(1)求电场强度
；
(2)换用另一根长度也为L 的绝缘细线，当绳中拉力达到4 mg 时，绳会断开。求从 A 点静止释放小球，细
线断后小球还能上升的最大高度（此时未落到斜面上）；
(3)使用相同材质的细线，改变（2）问中的细线长度，仍从A 点静止释放小球，求当细线长度为多少时，
小球在斜面上的落点最高。
5．如图所示，在沿水平方向的匀强电场中有一固定点O，用一根长度为
的绝缘细线把质量为
，带有
正电荷的金属小球悬挂在O 点，小球静止在B 点时离地的竖直高度为
，细线与竖直方向的夹角为
。已知
两点分别为细线悬挂小球的水平位置和竖直位置，
则：（g 取
）
(1)求匀强电场的电场强度E 的大小和
两点间的电势差
；
(2)若小球静止在B 点时突然剪断轻绳，求小球的加速度a 和小球落地的速度大小v；
(3)将小球拉至左边水平位置，使细线水平拉直后由静止释放，求小球通过最低点C 时细线对小球的拉力F
的大小（结果保留两位有效数字）。
6．如图所示，足够大的匀强电场水平向右，用一根长度为L 的不可伸长绝缘细绳把一可视为质点且带正
电的小球悬挂在O 点，小球的质量为m、电荷量为q，小球可在B 点保持静止，此时细绳与竖直方向的夹
角为
。现将小球拉至位置A 使细线水平后由静止释放，重力加速度大小为g（
，
），规定O 点为电势能零点。求：
(1)电场强度E 的大小；
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(2)求小球在A 点的电势能
；
(3)小球在运动过程中所受细线拉力的最大值。
7.一长为L 的绝缘细线，细线一端固定在O 点，另一端拴一质量为m、带电荷量为q 的小球，处于如图所
示的水平向右的匀强电场中。开始时，将细线与小球拉成水平，小球静止在A 点，释放后小球由静止开始
向下摆动，当细线转过60°角时，小球到达B 点，速度恰好为零。（已知重力加速度为g，答案可以带根
号），求：
（1）A、B 两点间的电势差和电场强度大小；
（2）判断小球的电性和小球到达B 点时，细线对小球的拉力大小。
（3）小球由A 到B 过程中，细线对小球的最大拉力。
8．如图所示，长为l 的绝缘细线一端固定在O 点，另一端系一质量为m 电荷量为q 的小球。现将此装置放
在水平向右的匀强电场中，小球处于静止状态，此时细线与竖直方向成37。重力加速度为g， sin37 =
0.60，cos37 0.80。
(1)判断小球的带电性质；
(2)求该匀强电场的电场强度E 的大小；
(3)将小球向右拉起至与O 点处于同一水平高度且细绳刚好张紧，静止释放，求：
a.小球运动到最低点时的速度v 的大小；
b.及此时细线对小球的拉力F 的大小。
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五．“等效重力场”中的圆周运动类模型
【模型构建】如图所示，绝缘光滑轨道AB 部分为倾角为30°的斜面，AC 部分为竖直平面上半径为R 的圆
轨道，斜面与圆轨道相切．整个装置处于场强为E、方向水平向右的匀强电场中．现有一质量为m 的带正
电，电量为
q=√3 mg
3 E
小球，要使小球能安全通过圆轨道，在O 点的初速度应为多大？运动特点：小球先
在斜面上运动，受重力、电场力、支持力，然后在圆轨道上运动，受到重力、电场力，轨道作用力，且要
求能安全通过圆轨道．
对应联想：在重力场中，小球先在水平面上运动，重力不作功，后在圆轨道上运动的模型：过山车．等效
分析：如图所示，对小球受电场力和重力，将电场力与重力合成视为等效重力m g
'
，大小
m g
'=√(qE )2+(mg )2=2√3mg
3
，
tg θ=qE
mg =√3
3 ，得θ=30° ，于是重效重力方向为垂直斜面向下，
得到小球在斜面上运动，等效重力不做功，小球运动可类比为重力场中过山车模型．
规律应用：分析重力中过山车运动，要过圆轨道存在一个最高点，在最高点满足重力当好提供向心力，只
要过最高点点就能安全通过圆轨道．如果将斜面顺时针转过300，就成了如图3-3 所示的过山车模型，最高
点应为等效重力方向上直径对应的点B，则B 点应满足“重力”当好提供向心力即：
m g'= mv B
2
R
假设以最小初速度v0运动，小球在斜面上作匀速直线运动，进入圆轨道后只有重力作功，则根据动能定理：
−m g
'2 R=1
2 mv B
2−1
2 mv 0
2
解得：
v0=√
10√3gR
3
1．如图所示，水平绝缘光滑轨道AB 的B 端与处于竖直平面内的圆弧形光滑绝缘轨道BCD 平滑连接，圆
弧的半径
，轨道所在空间存在水平向右的匀强电场，电场强度
。现有一质量
的带正电小球（可视为质点）放在水平轨道上与B 端距离
的位置，由于受到电场力的作
用，带电体由静止开始运动。已知带电体所带的电荷量
（取
，
，
，
，
）。
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(1)带电小球运动到何处时对轨道的压力最大；最大值为多少？
(2)带电小球到达圆弧最高点D 时受到轨道的作用力大小。
2．如图所示，质量为m、电荷量为q 的带正电的小球用长为L 的绝缘细线悬挂在天花板上，空间存在水平
向右的匀强电场，小球静止时位于P 点，此时细线与竖直方向的夹角α=37°，不计小球的大小，重力加速
度为g。
(1)求匀强电场的电场强度大小；
(2)若把小球向右移到与O 点等高的位置且细线刚好拉直，由静止释放小球，运动过程中小球速度最大值是
多少？此时细线的拉力是多少？
(3)若在（2）问中，小球运动到P 点时细线刚好断开，求从细线断开到小球运动到P 点正下方时小球到P
点的距离。
3．如图所示，光滑水平轨道与半径为R 的光滑竖直半圆轨道在B 点平滑连接，在过圆心O 的水平界面MN
的下方分布有水平向右的匀强电场，现将一质量为m、电荷量为
的小球（可视为质点）从水平轨道上A
点由静止释放，小球运动到C 点离开半圆轨道后，经界面MN 上的P 点进入电场，已知P 点在A 点的正上
方，整个运动过程小球的电荷量保持不变，A、B 间的距离为2R，重力加速度为g。求：
(1)匀强电场的电场强度E 的大小；
(2)轨道对小球支持力的最大值；
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(3)小球在水平轨道上的落点到A 点的距离。
4.如图所示，光滑水平面上固定一半径
的光滑半圆弧轨道ABC，圆弧轨道与水平面相切于A 点，
O 为圆弧轨道的圆心，AC 竖直，B 点与圆心O 等高。在AC 的右方存在水平向右、电场强度大小
的匀强电场，一质量
、电荷量
的带正电滑块（可视为点电荷）从P 点
以一定的速度向右匀速运动，滑块进入半圆弧轨道后恰好能到达C 点，已知滑块所带的电荷量始终不变，
取重力加速度大小
。求：
(1)滑块运动到B 点时受到的支持力大小
；
(2)滑块在半圆弧轨道上的最大动能
。
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设滑块到达B 点时的速度大小为
，滑块到达C 点时的速度大小为
，有
解得
（2）滑块进入圆弧轨道后相当于受到与水平方向的夹角为θ、大小
的等效重力而做圆周运动，其中
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滑块到达等效最低点时动能最大，则有
解得
5．如图所示，在水平向左匀强电场中，有一光滑半圆形绝缘轨道竖直放置，轨道与一水平绝缘轨道MN 平
滑连接，半圆形轨道所在竖直平面与电场线平行，其半径
。一带电荷量
的小滑块
质量为
，与水平轨道间的动摩擦因数
，滑块从水平轨道上离N 点的距离
处由静
止释放，小滑块恰好运动到半圆形轨道的最高点C。g 取
，求：
(1)小滑块在圆形轨道C 点的速度大小；
(2)小滑块运动至竖直轨道最低点N 点时的速度大小和在N 点时受到轨道的支持力大小；
(3)匀强电场的电场强度大小；
(4)小滑块在圆轨道上运动时的最大速率。
6．如图所示，竖直平面内固定有一条光滑绝缘轨道，轨道的曲线部分是半径为R 的
圆弧BCD，O 为圆
弧的圆心，与水平面成30°夹角的倾斜直线轨道与圆弧相切于B 点，整个轨道平面内存在水平向左的匀强
电场，一质量为m、带电荷量为+q 的小滑块恰好能静止于轨道上的C 点，OC 与竖直方向的夹角为60°。现
将小滑块自直线轨道上的A 点由静止释放，使其在轨道上运动过程中恰好能通过D 点。重力加速度为g，
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求：
(1)电场强度E 的大小；
(2)小滑块经过C 点时对轨道的压力大小。
7．如图，空间存在竖直向下的匀强电场，半径为R 的光滑绝缘圆弧轨道ABCD 固定在电场中的竖直面内，
BD 为圆弧的竖直直径，O 为圆心，OA 与竖直方向的夹角为
在电场中的P 点沿水平方向抛出一个质量
为m、电荷量为q 的带正电小球，小球恰好从A 点无碰撞地进入圆弧轨道。不计小球的大小，重力加速度
大小为g，匀强电场的电场强度大小
P、O 两点在同一水平线上，
求：
(1)小球从P 点抛出时的初速度大小；
(2)小球沿圆弧轨道向上运动过程中，能到达圆弧轨道的最高位置离O 点的高度；
(3)若小球到A 点时，保持电场强度大小不变，方向变为水平向右，则此后小球在圆弧轨道上运动的最大速
度多大？
8．如图所示，在方向水平向左、范围足够大的匀强电场中，固定一光滑绝缘的圆弧轨道
，轨道圆心为
O，竖直半径
，B 点和地面上A 点的连线与地面成
角，
。一质量为m、电荷量为q 的
小球（可视为质点）从地面上A 点以某一初速度沿
方向做直线运动，恰好无碰撞地从B 点沿切线方向
进入轨道内，到达轨道某处C（图中未标出）时恰好与轨道间无作用力并沿轨道从D 点射出。已知重力加
速度大小为g，
，
。求：
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(1)匀强电场的场强大小E；
(2)小球到达D 处时的速度大小
；
(3)若小球从轨道D 处飞出时电场反向（大小不变），求小球从轨道D 处飞出后向左运动距离D 处的最大
水平距离
。
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