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第56 讲 带电粒子在复合场中的运动
核心考点
考点一 带电粒子在组合场中的运动............................................................................................1
考点二 带电粒子在叠加场中的运动..........................................................................................13
考点三 带电粒子在交变电、磁场中的运动..............................................................................26
考点一 带电粒子在组合场中的运动
1.组合场：电场与磁场各位于一定的区域内，并不重叠，或在同一区域，电场、磁场交替出
现。
2.分析思路
(1)画运动轨迹：根据受力分析和运动学分析，大致画出粒子的运动轨迹图。
(2)找关键点：确定带电粒子在场区边界的速度(包括大小和方向)是解决该类问题的关键。
(3)划分过程：将粒子运动的过程划分为几个不同的阶段，对不同的阶段选取不同的规律处理。
3.常见粒子的运动及解题方法
4.常见情形
(1)先电场后磁场
基础过关
1
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①带电粒子先在匀强电场中做匀加速直线运动，然后垂直磁场方向进入匀强磁场做匀速圆周
运动，如图甲。
②带电粒子先在匀强电场中做类平抛运动，然后垂直磁场方向进入磁场做匀速圆周运动，如
图乙。
(2)先磁场后电场
常见情境
进入匀强电场时粒
子速度方向与电场
方向平行
进入匀强电场时粒子速度
方向与电场方向垂直
进入匀强电场时粒子速度方向与
电场方向成一定角度(非直角)
运动示意
图举例
在电场中
的运动性
质
匀加速或匀减速直
线运动
类平抛运动
类斜抛运动
分析方法
动能定理或牛顿运
动定律结合运动学
公式
平抛运动知识，运动的合
成与分解
斜抛运动知识，运动的合成与分
解
【例1】（2025·天津北辰·三模）如图，在平面直角坐标系的第三象限内存在沿
轴正方向的
匀强电场，第一象限某区域内存在垂直于坐标平面向里的圆形区域的匀强磁场（图中没有画
出）。一质量为
，电荷量为
的带正电粒子从电场中的
点以大小为
的速度平行于
轴
正方向射入电场，经原点
射入第一象限时与
轴正方向的夹角为
，运动一段时间
后进入圆形匀强磁场区域，最后射出磁场时与
轴正方向的夹角也为
。已知
点与
轴的距离为，匀强磁场的磁感应强度大小
，不计粒子受到的重力。求：
2
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(1)匀强电场的电场强度大小
；
(2)粒子在磁场中运动的时间；
(3)圆形匀强磁场区域的最小半径
。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）带电粒子在电场中做类平抛运动，有
，
，
又
联立解得
（2）设粒子从
点射入第一象限时的速度大小为
，在磁场中运动轨迹所对应的圆心角等于
，则运动时间
又有
，
联立解得
（3）粒子在匀强磁场区域内的运动轨迹如图所示
3
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由几何关系可知，当进入磁场的点和射出磁场的点的连线是圆形磁场区域的直径
时，磁场
区域半径最小，则有
又
，
联立解得
【例2】（2025·湖南怀化·三模）如图，在
坐标系内，第一象限有垂直纸面向外的匀强磁
场，第二象限有沿
轴正方向的匀强电场，电场强度大小为
。一质量为
、电荷
量为
的带电粒子从
轴上的
点以速度
沿与
轴正方向成
角的方向射入磁场，
恰好垂直于
轴射出磁场进入电场，不计粒子重力，求：
(1)磁感应强度
的大小；
(2)粒子再次经过
轴时的
坐标及粒子的速度大小。
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）粒子带负电，在磁场中的运动轨迹如图所示
4
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由几何关系得
解得
根据洛伦兹力提供向心力有
解得
（2）粒子离开磁场时的
坐标为
粒子进入电场后做类平抛运动
，−
，
解得
竖直方向速度
粒子再次经过
轴的速度大小为
解得
【例3】（2025·四川成都·三模）如图所示，在水平虚线下方有正交的匀强磁场和匀强电场，
其中磁场方向垂直纸面向里，电场方向水平向右。在距离水平虚线h 高处以某一初速度水平
向右抛出一个质量为m、带电荷量为
的小球，通过水平虚线上的A 点进入电磁场中，一段
时间后又从水平虚线上的P 点沿与水平方向成
角斜向右上方射出电磁场区域，已知电场
强度
，O 到A 的水平距离及A、P 间距离均为2h，已知当地重力加速度为g，求：
5
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(1)带电小球经过A 点时的速度；
(2)带电小球经过P 点时的速度大小及磁感应强度B 的大小；
(3)带电小球从O 到P 运动的时间。
【答案】(1)
，方向与水平方向的夹角为
(2)
，
(3)
【详解】（1）小球从O 点到A 做平抛运动，在竖直方向有
解得
所以有
在水平方向有
解得
所以带电小球经过A 点时的速度大小为
方向与水平方向的夹角为
；
（2）洛伦兹力不做功，从
到
，根据动能定理
解得带电小球经过P 点时的速度大小
6
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根据题意可知小球离开磁场时，水平方向速度
竖直向上；
竖直方向的速度大小
竖直方向，根据动量定理
水平方向，根据动量定理
根据题意
，
联立解得
，
（3）带电小球从O 到P 运动的时间
结合上述分析可得
【例4】（2025·湖北·三模）如图所示，空间交替分布着宽度均为L 的匀强电磁场区域，磁场
垂直xOy 平面向里，磁感应强度大小为
电场沿x 轴负方向，电场强度大小为
一带正电的粒子从坐标原点O 沿与x 轴负方向成θ 角、初速度大小为
进入匀强磁
场区域，虚线边界有磁场。粒子的质量为m、电荷量为q，不计重力，取
。
(1)若粒子第一次经磁场偏转后恰好不越过该磁场区域左边界，求此时θ 大小；
(2)若粒子只能经历两个完整的电场区，求
满足的条件；
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(3)若θ=0，粒子以
的初速度从O 点进入匀强磁场区域，电场强度大小变为
求当粒子竖直位移大小为
时的运动时间。
【答案】(1)30 ；
(2)
；
(3)
或
或
【详解】（1）由
得
粒子第一次经磁场偏转后恰好不越过该磁场区域左边界，由几何关系得
L
解得
30
（2）粒子向左只能经历两个完整的电场区，设粒子在第三个磁场中水平速度变为0 时竖直速
度为
，由竖直方向动量定理有
即
又由动能定理
其中
联立解得
即
（3）由
得
=
粒子第一次经电场减速后，速度大小变为
8
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根据动能定理有
得
=
粒子在电磁场中运动一个完整的周期T，沿y 轴向下移动的距离
设粒子能运动完整的n 个周期，则满足n
且
解得n
7.5
故n=8
粒子在电场中减速和加速时间均为
=
T=
+2
故当粒子竖直位移大小为y=
时的运动时间可能为
或
或
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即
【例5】（2025·重庆·三模）如图所示，
平面内，在
的区域存在匀强电场，电场强
度大小为
，方向与
方向夹角为
；在
轴下方存在匀强磁场，方向垂直于纸面向外。
一质量为
、电荷量为
的带正电的粒子以大小为
的初速度从原点
沿
轴正方向射出，
一段时间后粒子第一次从
点进入磁场，在磁场中运动一段时间后回到原点
再进入电场。
不计粒子的重力，取
,
。
(1)求粒子从
到
点的时间；
(2)求磁感应强度
的大小；
(3)若在
正半轴上另放置
个质量也为
的不带电微粒(按碰撞顺序标号依次为1、2、
)，使带电粒子最初从
点出发后每次从电场进入磁场时都恰好与一个不带电微粒发生正碰，
碰后结合为一个整体，该整体仍可视为质点，且总质量与电荷量不变，不计重力。求第
个
微粒的位置坐标
。
【答案】(1)
(2)
(3)
或
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【详解】（1）带电粒子在电场中运动时，则y 方向有
解得
粒子经
第一次到达P 点，此时粒子在y 方向上速度为
，则
联立解得
（2）对粒子，x 方向有
解得
由
联立解得
设粒子第一次经过
点时速度大小为
，方向与
轴正向夹角为
，由
解得第一次在磁场中圆周运动半径
半径在x 轴方向的投影
由
联立解得
（3）如图所示
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每次碰后在磁场中偏转后回到电场，以及在电场中偏转后进行下一次碰前，过x 轴时y 方向
速度大小不变，设第n 次碰后y 方向速度为
，则
碰撞过程中，y 方向动量守恒：
第n 次在磁场中圆周运动半径的x 轴投影
即每次碰后，经磁场后都要向
方向返回
第n 次在电场中运动时，在y 方向做匀变速直线运动，则有
解得
即每次在电场中偏转时间相同
第一次碰前x 方向速度：
与第①个静止微粒碰撞，x 方向动量守恒有
解得
在磁场中偏转后回到电场时x 方向速度仍为
，第二次碰前x 方向速度
与第②个静止微粒碰撞，x 方向动量守恒有
解得
第三次碰前x 方向速度
易知，第（n−1）次碰后x 方向速度为
第n 次碰前x 方向速度
第（n−1）次碰后到第n 次碰前，沿+x 方向前进距离
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解得
综上，第n 个微粒的位置坐标
联立可得
或
解得
或
解答电场与磁场组合问题解题思路
(1)画运动轨迹：根据受力分析和运动学分析，大致画出粒子的运动轨迹图。
(2)找关键点：确定带电粒子在场区边界的速度(包括大小和方向)是解决该类问题的关键。
(3)划分过程：将粒子运动的过程划分为几个不同的阶段，对不同的阶段选取不同的规律
处理。
考点二 带电粒子在叠加场中的运动
1.叠加场
电场、磁场、重力场共存，或其中某两场共存。
2.带电粒子在叠加场中常见的几种运动形式
运动性质
受力特点
方法规律
匀速直线运动
粒子所受合力为0
平衡条件
匀速圆周运动
除洛伦兹力外，另外两力的合力为
零：
qE＝mg
牛顿第二定律、圆周运动的规
律
较复杂的曲线运动
除洛伦兹力外，其他力的合力既不为
零，也不与洛伦兹力等大反向
动能定理、能量守恒定律
【例6】（2025·湖北·模拟预测）如图所示，在xOy 平面内，
的区域内磁场方向垂
直纸面向里，
的区域内磁场方向垂直纸面向外，且两区域磁感应强度大小相
精讲考点
基础过关
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等，
区域无磁场。一质量为m，电荷量为
的粒子（重力不计）在O 处以速度
沿x
轴正方向射入磁场。
(1)若粒子第一次经过两磁场边界时速度方向与边界夹角为
，求磁感应强度大小
；
(2)粒子的初速度仍为
，改变磁感应强度大小，使粒子能进入
的磁场区域内
且能回到y 轴正半轴上，求磁感应强度大小
的取值范围及k 的最小值；
(3)磁感应强度大小为
时，在
内加上方向水平向右、场强大小为
的匀强电场，求粒子运动的最大速度。
【答案】(1)
(2)
(3)
，速度方向与y 轴负方向的夹角
有
【详解】（1）若到达边界时粒子的速度方向与边界夹角为
，作出轨迹如图所示
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轨迹圆心角为
，轨迹半径满足
洛伦兹力提供向心力，则有
解得
（2）当粒子恰好不进入右磁场时，作出轨迹如图所示
此时轨迹与磁场边界相切，则有
，
解得
当粒子进入右磁场后再次回到左磁场，且恰好回到O 点时，作出轨迹如图所示
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粒子轨迹关于x 轴对称，由几何关系可知
，
，
解得
，
由于
解得
此时k 的最小值为
综上，当粒子能进入右磁场且能回到y 轴正半轴上时有
（3）粒子进入右磁场后，受到沿x 轴正方向的电场力，大小为
如图所示
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将粒子的速度分解为
、
，令
1
则有
，
即带电粒子具有两个分运动，以
，做匀速直线运动，速度方向沿y 轴负方向
以初速度
，做半径为
的匀速圆周运动，如图所示
则有
结合上述解得
①若带电粒子不从右磁场的右边界离开磁场区域，则有
解得
当匀速直线运动与匀速圆周运动的合速度最大时，圆周运动速度方向与
相同，如图所示
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此时合速度沿y 轴负方向，大小为
②若带电粒子从右磁场的右边界离开磁场区域，则有
解得
当匀速直线运动与匀速圆周运动的合速度最大时，圆周运动速度方向与
夹角最小，此时粒
子刚好从右磁场的右边界离开磁场区域。如图所示
对粒子在右磁场内的运动使用动能定理有
解得
则
与
的夹角
满足余弦定理
即速度达到最大时，速度方向与y 轴负方向的夹角为
，且有
【例7】（2025·湖南邵阳·三模）如图所示，金属板
和
互相平行竖直放置，形
成两条狭缝，金属板上的小孔
和O 点共线，狭缝
的电势差与狭缝
的电
势差均为U，一质量为m，电荷量为
的粒子从小孔
飘入狭缝
（初速度为
零），通过小孔
进入金属板
和P 之间的区域I，区域I 中存在匀强磁场和匀强电场（未
画出），其中匀强磁场的磁感应强度为B，方向垂直纸面向里。粒子沿直线
运动，经过
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进入狭缝
，经O 点进入金属板
右侧区域II，区域II 具有和区域I 完全相同的电场和
磁场。以O 点为坐标原点，垂直于金属板向右的方向为
轴正方向，平行于金属板向上的方
向为
轴正方向建立直角坐标系，不计粒子重力，不计粒子经过狭缝的时间。求：
(1)粒子刚进入区域I 时的速度大小
；
(2)区域I、区域II 电场强度E；
(3)粒子到达O 点开始计时，第二次到达距
轴最远处的速度
和需要的时间。
【答案】(1)
(2)
(3)
,
【详解】（1）粒子在狭缝
中做匀加速直线运动，经过
时的速度为
，由动能定理得
解得
（2）粒子在区域I 中做匀速直线运动，则
解得
方向沿
轴负方向；
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（3）粒子在狭缝
中做匀加速直线运动，经过O 点速度为
，由动能定理得
解得
粒子在区域II 的运动看作是速度为
的匀速直线运动和速率为
的匀速圆周运
动的合运动
又
解得
粒子第二次离
轴最远时，恰好完成
个周期的运动。
由运动的合成与分解，得
，即
方向：沿
轴正方向；
需要的时间为
【例8】（2025·山西大同·三模）如图所示，在平面直角坐标系
中，虚线垂直于x 轴，在
y 轴和虚线之间的区域空间有沿x 轴正方向的匀强电场和匀强磁场，电场强度大小
未知，
磁感应强度大小
；在虚线的右侧区域空间有沿y 轴正方向的匀强电场和垂直于坐标平
面向外的匀强磁场，电场强度
，磁感应强度
。将质量为m、电荷量为
q 的带正电的粒子从坐标原点以与x 轴正方向成
角斜向上的速度
射入第一象限，粒
子刚好在第一次过x 轴时进入虚线右侧区域，且速度方向与x 轴正方向的夹角为37°，不计粒
子的重力，
，
．求：
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(1)粒子在y 轴和虚线之间运动的时间；
(2)电场强度
的大小；
(3)粒子在虚线右侧运动过程中，离x 轴的最大距离。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）粒子射入第一象限后，在垂直磁感应强度平面内做匀速圆周运动，有
运动到第一次过x 轴的时间刚好是一个周期，则
解得
（2）粒子在y 轴与虚线之间沿电场方向做匀加速直线运动，初速度大小为
粒子经过虚线时，沿x 轴方向的分速度大小
根据牛顿第二定律有
根据运动学公式有
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解得
（3）粒子进入虚线右侧区域时，由于
因此粒子的运动可以看成是沿x 轴正方向以速度
做匀速直线运动和以速度
做匀
速圆周运动的合运动，设做圆周运动的半径为R，则有
解得
因此粒子在虚线右侧运动过程中，离x 轴的最大距离为
【例9】（2025·山东德州·三模）如图所示，竖直绝缘管固定在水平地面上的小车上，管内底
部有一截面直径比管的内径略小、可视为质点的小圆柱体，小圆柱体质量
，电荷量
，绝缘管长为
。在管口所在水平面
的下方存在着垂直纸面向里、
磁感应强度
的匀强磁场，
面上方存在着垂直纸面向外、磁感应强度
的匀
强磁场，
上下的整个区域还存在着竖直向上、场强
的匀强电场。现让小车始
终保持
的速度匀速向右运动，一段时间后小圆柱体在绝缘管内匀速，然后沿与竖
直方向夹角为37°的方向离开绝缘管。小圆柱体在绝缘管外受到的空气阻力大小与其速度大小
关系为
，已知小圆柱体第一次与第二次经过水平面
的距离为
。取
，不计其它阻力。求：
(1)小圆柱体刚进入磁场
时的加速度大小；
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(2)小圆柱体的加速度为
时的速度大小；
(3)小圆柱体在绝缘管内运动时产生的热量；
(4)小圆柱体第二次经过水平面
时的速度大小。
【答案】(1)6m/s2
(2)
m/s
(3)0.2J
(4)
m/s
【详解】（1）小圆柱体刚进入磁场B1时，受重力、电场力和洛伦兹力三个力的作用，其中
重力和电场力二力平衡
所以洛伦兹力就是小圆柱体的合力，根据牛顿第二定律得
解得
（2）一段时间后小圆柱体在绝缘管内匀速，则有
其中
解得
竖直方向的洛伦兹力和摩擦力的合力等于小圆柱体的合力，根据牛顿第二定律得
将
代入得
此时小圆柱体的速度大小为
（3）由题意知，小圆柱体离开绝缘管时的速度为
小圆柱体在绝缘管内运动的过程中，根据动能定理有
解得小圆柱体在绝缘管内运动时产生的热量
（4）设某时刻速度为
，方向与竖直方向夹角为
，竖直方向根据动量定理有
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即
解得
水平方向根据动量定理有
即
解得
所以小圆柱体第二次经过水平面ab 时的速度大小为
【例10】（2025·浙江·三模）某创新小组设计了一个粒子探测器。如图所示，在xOy 平面内
第一象限的虚线与y 轴所围区域内有一个场强大小为
、方向平行于y 轴的匀强电
场；第三象限内存在垂直xOy 平面向外，磁感应强度大小为
的匀强磁场；在电场
边界右侧放置长为
、高为3L 的容器（左侧为网状不影响粒子进入，右侧为收集
板），容器内分布着正交电磁场，其中匀强磁场方向垂直xOy 平面向里，磁感应强度大小为
，匀强电场方向竖直向下，场强大小为
。点P（0，-d）（d>0）处有
一粒子源，某一瞬间向第三象限与y 轴正方向成θ 角
，在该角度范围内发射
了N 个电荷量为q、质量为m 的带正电粒子。所有粒子的速度方向均在xOy 平面内，且粒子
数随角度均匀分布；所有射出的粒子均能通过坐标原点O，粒子经电场再进入容器，若碰到
右侧收集板即被吸收，不计粒子间的相互作用及粒子的重力。求：
(1)粒子由P 点射出时水平分速度vx的大小；
(2)要使所有粒子经过匀强电场后均能沿x 轴正方向运动，试判断电场方向并写出此虚线的方
24
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程；
(3)在满足（2）的条件下，能进入容器的粒子占总粒子数的百分比；
(4)在满足（2）的条件下，右侧收集板因吸收粒子而在水平方向上受到的平均作用力。
【答案】(1)3v0
(2)
(3)
(4)
【详解】（1）设从P 点射出的一粒子，其速度大小为v，方向与y 轴正方向成θ 角。
可得
即从P 点射出的粒子其平行于x 轴的分速度大小是3v0。
（2）电场方向沿y 轴负方向。粒子到达O 点后分布在与x 轴正方向成60°的范围内。
电场区域的边界为从O 点进入电场的粒子经电场偏转后速度平行于x 轴正方向时的}出点的
集合。令出点的坐标为（x，y），有x =vxt
消去 t 得
（3）若粒子恰能水平进入探测器，即竖直减速为零位移等于探测器高度
其中
解得
即当粒子发射方向与y 轴正方向成45⁰ 至90⁰ 角的范围内能进入探测器所占比例为
（4）粒子以大小为3v0的水平速度进入电磁场，为抵消粒子所受的电场力，需给粒子一个水
平向右的速度v0，粒子在探测器中的运动可以看成匀速直线运动和圆周运动的合运动,其圆周
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半径
，即离x 轴高L 的粒子恰能与上边界相切
根据
解得
即粒子发射方向与y 轴正方向成60°至90°角的范围内能达到右边收集板
收集粒子数
作用时间
根据探测器水平长度，假设粒子以v0匀速向右，则
其中圆周周期
根据
,可知
如图所示
解得
θ=60°
则撞击瞬间粒子水平速度为
由动量定理
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解得
1．叠加场
电场、磁场、重力场共存，或其中某两场共存。
2．带电粒子在无约束叠加场中的运动
(1)洛伦兹力、重力并存
①若重力和洛伦兹力平衡，则带电粒子做匀速直线运动。
②若重力和洛伦兹力不平衡，则带电粒子将做复杂的曲线运动，因洛伦兹力不做功，故
机械能守恒，由此可求解问题。
(2)静电力、洛伦兹力并存(不计重力的微观粒子)
①若静电力和洛伦兹力平衡，则带电粒子做匀速直线运动。
②若静电力和洛伦兹力不平衡，则带电粒子将做复杂的曲线运动，因洛伦兹力不做功，
可用动能定理求解问题。
(3)静电力、洛伦兹力、重力并存
①若带电体做直线运动，则一定是匀速直线运动。
②若重力与静电力平衡，一定做匀速圆周运动。
③若合力不为零且与速度方向不垂直，将做复杂的曲线运动，因洛伦兹力不做功，可用
能量守恒定律或动能定理求解问题。
考点三 带电粒子在交变电、磁场中的运动
解决带电粒子在交变电、磁场中的运动问题的基本思路
先读图
看清并且明白场的变化情况
受力分析
分析粒子在不同的变化场区的受力情况
过程分析
分析粒子在不同时间段内的运动情况
找衔接点
找出衔接相邻两过程的物理量
选规律
联立不同阶段的方程求解
【例11】（2025·江苏宿迁·模拟预测）如图1 所示，圆心为O、半径为R 的圆形有界磁场。
磁感应强度B 在一个周期T 内的变化规律如图2 所示（周期T 满足T=2t0+ Δt，T、t0、Δt 均未
知，B0大小可调），0~t0时间磁场方向垂直纸面向里。边界a 点处有一电子枪，电子经电压
精讲考点
基础过关
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加速后，于t=0 时刻沿直径ab 进入磁场。电子的初速度、重力不计，比荷为k。
(1)若已知加速电压为U0，电子进入磁场后运动t0时间速度偏转90°打到边界上。求对应磁感
应强度B0的大小；
(2)保持（1）中B0、t0不变，当Δt=2t0时，调节加速电压，电子进入磁场后恰能击中磁场边界
上的b 点，求加速电压U 与U0的关系；
(3)若T 已知，调节加速电压为U1，电子进入磁场后经过一个周期T 恰能回到发射点，且运动
过程中恰好不打到磁场边界，求加速电压U1。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）设电子进磁场时速度大小为
，电子在电场中，根据动能定理有
又因为
联立解得
由于电子运动
时间速度偏转
打到边界上，可知电子轨道半径r 与磁场圆半径R 相等，即
又因为电子在磁场中
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联立以上解得
（2）为使电子能击中磁场边界上的
点，且当
时，电子需运动
个整周期才能回到
虚线
，故
因为电子在磁场中
电子在电场中，根据动能定理有
又因为
联立解得
（3）经过一个周期
后恰能回到发射点，作出运动轨迹，如图所示
由图可知ΔABC 为等边三角形，故
且运动过程中恰好不打到磁场上边界，根据几何关系有
且
又因为
，
联立解得
【例12】（2025·广东惠州·模拟预测）如图（a）所示，在
空间有一圆形区域磁场，磁
感应强度为
，方向垂直纸面向外，圆与
轴相切于原点
，平行于
轴且与圆相切于
点
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的电场边界MN 下方有沿
轴正方向的匀强电场，在
空间有垂直纸面的随时间周期性变
化的磁场
随时间变化如图（b）所示，其中
已知，垂直纸面向外为正方向。足够长的
挡板PQ 垂直于
轴放置，挡板可沿
轴左右平移。质量为
，电荷量为
）的粒子从
电场中的
点以速度
沿
轴正方向进入匀强电场，并从
点进入圆形区域磁场，接着从原
点
进入第一象限（此时
）。已知
两点沿
轴方向的距离为
，沿
轴方向的距
离为
，不计粒子重力，不考虑磁场变化产生的感应电场。求：
(1)匀强电场的电场强度
；
(2)粒子在圆形区域磁场内的运动时间
；
(3)若粒子恰好能垂直击中挡板，则挡板距离
轴的距离
应满足的关系。
【答案】(1)
；
(2)
；
(3)
【详解】（1）粒子在电场中做类平抛运动，有
①
水平方向，有
②
竖直方向，有
③
联立解得
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（2）粒子从
到
过程，由动能定理，有
④
解得粒子在
点的速度
粒子在
点时，速度
与
轴正方向的夹角
满足
⑤
故
粒子从
点运动到
点，如图所示，根据几何关系可知粒子在圆形磁场内运动的圆弧轨迹所
对圆心角为
粒子做圆周运动，有
⑦
⑧
联立解得粒子在圆形磁场运动的时间
（3）粒子到达
点时速度大小为
，与
轴正方向夹角
，在第1、4 象限内，磁感应强度
为
和
时粒子做圆周运动的半径为
和
，周期为
和
，则
⑨
⑩
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联立解得
通过计算和对比
图像可以发现，粒子运动轨迹为圆心角
、半径
和
的圆弧交替
变化的周期性运动，如图所示。由几何关系可知，若要粒子能够垂直击中挡板，则
⑪
或者
联立解得
或者
【例13】（24-25 高三上·广东潮州·期末）如图a 所示，平面直角坐标系
中，第三象限中
存在方向沿y 轴负方向的匀强电场，第四象限直角三角形
区域中存在着大小、方向均可
调整的磁场。已知C 点坐标
边与x 轴正方向的夹角大小为
，一质量为m，
电荷量为q 的带正电粒子，从P 点以大小为y，方向与
边平行的初速度进入电场。经偏转
后从A 点垂直
边进入磁场。若磁场为方向垂直纸面向外的匀强磁场，则发现粒子恰好不
从
边射出。若磁场为随时间呈周期性变化的交变磁场（如图b，规定磁场方向垂直纸面向
外为正），则发现在
时从A 点进入磁场的粒子，经两个完整周期后恰好从C 点射出，已
知匀强电场场强
，不计粒子重力。求：
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(1)A 点的坐标；
(2)粒子恰好不从
边射出时，匀强磁场磁感应强度
的大小；
(3)交变磁场的磁感应强度
和周期
的大小。
【答案】(1)
(2)
(3)
，
【详解】（1）沿电场线反方向，粒子做匀减速直线运动，则有
，
根据牛顿第二定律则有
联立解得
对A 点
解得
A 点的坐标为
（2）粒子进入
的磁场中，则有
由牛顿第二定律
由几何关系得
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联立解得
（3）粒子进入
的磁场中，由牛顿第二定律
设粒子在
的时间内，轨迹的圆心角为
。由几何关系得，平行x 轴方向
平行y 轴方向
联立解得
，
交变磁场每经过
的时间，粒子在磁场中轨迹的圆心角为
解得
【例14】（2025·重庆·模拟预测）如图所示，空间有一圆心为O，半径为d，垂直纸面向外的
圆形匀强磁场区域，磁感应强度
，磁场正下方有一板间距为2d 的平行板电容器。y
轴是电容器的中心轴线，A、B 分别为极板左右边缘两点，AB 连线与圆形磁场相切。连线上
的P 点距B 点0.5d。从距圆形磁场圆周上C 点L 处开始存在多个间距为L1、L2⋯ Ln的垂直纸
面向外的窄条形磁场B1、B2⋯ Bn。磁场间距Ln满足Ln=nL（n 为正整数），相邻条形磁场间
的无磁场区域，其间距始终为L。每个磁场的边界均与y 轴平行，且位于x 轴下方。现电容器
左右极板间加上如图乙所示的周期为T 的交变电压，大量比荷为k 的正粒子从y 轴上的M 点
以相同速度v0沿y 轴正向射入电容器，其中t=0 时刻射入的粒子恰好在T 时刻到达P 点。不计
粒子重力及电场边缘效应和粒子间相互作用。
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(1)求平行板电容器板长L0及电压U0的值；
(2)若t 时刻打入平行板电容器的粒子能经C 点沿x 轴正向射出圆形磁场，求t 的可能值；
(3)若窄条形磁场的磁感应强度Bn满足
（n 为正整数），且
。将能打入条形
磁场的粒子能到达的最远磁场记为Bn，到达的最近磁场记为Bm，求n-m 的值。
【答案】(1)
，
(2)
，
(3)5
【详解】（1）粒子沿y 轴方向做匀速直线运动，则
粒子沿x 轴方向做匀加速直线运动，t=0 时刻打入的粒子在该方向v-t 图像如图所示
图像面积即为0.5d，则
联立可得
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（2）粒子打入圆形磁场，圆周运动半径为
由磁汇聚可知粒子均汇聚到C 点，沿x 轴正向射出磁场的粒子，则必沿y 轴正向射入磁场，
即粒子在电场中的侧移距离为零，t 时刻打入电场的粒子沿x 方向的v-t 图像如图所示，因其
侧移距离为零，由对称性易知
或
（3）设粒子打入第n 个磁场时速度与水平方向的夹角为
，在该磁场中粒子圆周运动半径
为
粒子到达的最远磁场为第n 个时，粒子是可穿过第（n-1）磁场的，如图所示
由图可得
则
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前n-1 个式相加有
因
代入解得
前n 个式相加有
故当
，即粒子从C 沿x 轴正方向时取
同理，当
，即
打入电场的粒子时取
故
【例15】（24-25 高三上·江苏无锡·阶段练习）如图甲所示，在xOy 平面内y 轴的左侧有宽为
L 的电场区域，在电场区域的左侧有一加速电场，电压为U0，一质量为m，带电量为+q 的带
电粒子从A 点飘入加速电场（忽略初速度），从x 轴的P 点（-L，0）进入电场区域，粒子进
入电场区域时在电场区域加上图乙所示的与y 轴平行的交变电场，（T 未知），y 轴正方向为
电场的正方向，粒子经过交变电场后从y 轴上的Q 点（0，L）沿着x 轴的正方向进入第一象
限。在第一象限有一垂直纸面的圆形磁场区域，磁场变化规律如图丙所示，磁场变化周期为
T0（忽略磁场突变的影响），粒子在t=0 时刻进入磁场，且始终在磁场区域内运动。求：
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(1)经过P 点时的速度v0；
(2)交变电场的场强大小E0；
(3)圆形磁场区域的最小面积S。
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【详解】（1）粒子从A 点到P 点，由动能定理有
解得
（2）粒子进入偏转电场中有
（n=1，2，3……）
（n=1，2，3……）
联立解得
（n=1，2，3……）
（3）粒子从Q 点射出时速度方向沿x 轴正方向，速度大小为v0，粒子在磁场中运动的周期为
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粒子在磁场中运动的轨迹如图所示
设粒子做圆周运动的半径为r，则
圆形磁场的最小半径
最小面积
解得
1．交变场的常见的类型
(1)电场周期性变化，磁场不变。
(2)磁场周期性变化，电场不变。
(3)电场、磁场均周期性变化。
2．分析带电粒子在交变场中运动问题的基本思路
精讲考点
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