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第50 讲 带电粒子在叠加场中的运动
目录
01 模拟基础练
【题型一】带电粒子在叠加场中运动的实例分析
【题型二】带电粒子在叠加场中的运动
02 重难创新练
【题型一】带电粒子在叠加场中运动的实例分析
1．电磁场与现代高科技密切关联，并有重要应用。对以下四个科技实例，说法正确的是（ ）
A．图甲的速度选择器能使速度大小
的粒子沿直线匀速通过，但与粒子的带电性质、带电量及速
度方向无关
B．图乙的磁流体发电机正常工作时电流方向为
，电阻R 两端的电势差等于发电机的电动势
C．图丙是质谱仪工作原理示意图，粒子打在胶片上的位置越靠近狭缝
，粒子的比荷越小
D．图丁为霍尔元件，若载流子带负电，稳定时元件左侧的电势低于右侧的电势
【答案】D
【详解】A．电场的方向与B 的方向垂直，带电粒子从左端进入复合场，受电场力和安培力，且二力是平
衡力，即
解得
1
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可知不管粒子带正电还是带负电都可以匀速直线通过，所以与粒子的带电性质及带电量无关，当带电粒子
从右端进入时，所受电场力与洛伦兹力方向均相同，不能匀速直线通过。可见与速度方向有关。故A 错误；
B．由左手定则知正离子向上偏转，负离子会向下偏转，所以P 板是电源正极，Q 板是电源负极，正常工
作时电流方向为
，但电路工作时等离子体也有电阻，故电阻R 两端的电势差等于发电机的路端
电压，小于电动势。故B 错误；
C．粒子先经过加速电场，然后进入速度选择器，从S3射入磁场时的速度相同，进入磁场后根据公式
得
故粒子打在胶片上的位置越靠近狭缝S3，则r 越小，荷质比越大。故C 错误；
D．若载流子带负电，由左手定则可知，负粒子向左端偏转，所以稳定时元件左侧的电势低于右侧的电势。
故D 正确。
故选D。
2．一对平行金属板中存在匀强电场和匀强磁场，其中电场的方向与金属板垂直，磁场的方向与金属板平
行且垂直纸面向里，如图所示。一带正电粒子以速度
自O 点沿中轴线射入，恰沿中轴线做匀速直线运动，
所有粒子均不考虑重力的影响。则以下说法正确的是（ ）
A．仅该变粒子的速度，粒子仍能够做匀速直线运动
B．仅改变粒子的比荷，粒子仍能够做匀速直线运动
C．仅改变电场的方向，粒子仍能够做匀速直线运动
D．其他条件不变，改为自A 点沿中轴线射入，粒子仍能做匀速直线运动
【答案】B
【详解】A．由题意可知，一带正电粒子以速度
自O 点沿中轴线射入，恰沿中轴线做匀速直线运动，由
平衡条件可得
解得
若仅该变粒子的速度，则电场力不等于洛伦兹力，粒子将会偏转做曲线运动，不能够做匀速直线运动，A
错误；
2
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B．仅改变粒子的比荷，由于粒子不考虑重力的影响。因此
不变，粒子仍能够做匀速直线运动，B 正确；
C．仅改变电场的方向，可知粒子受到的电场力方向改变，则电场力与洛伦兹力就不能平衡，粒子会产生
偏转，就不能够做匀速直线运动，C 错误；
D．其他条件不变，改为自A 点沿中轴线射入，可知粒子受到的电场力不变，粒子受到的洛伦兹力方向会
变化，因此电场力与洛伦兹力就不能平衡，粒子不能做匀速直线运动，D 错误。
故选B。
3．鼠标滚轮是鼠标上位于左键与右键之间的部件。某一鼠标滚轮上使用了霍尔效应传感器，传感器上有
一块非常小的金属板，如图所示，P、Q 端与电压表相连，左右端与电源相连。当环形磁铁旋转时，电压
表就会有读数，图示时刻磁铁的N、S 极分别在竖直面的下、上两端。则（ ）
A．图示时刻左端积累了负电荷
B．图示时刻P 端积累了负电荷
C．图示时刻金属板中电子恰好不受磁场力的作用
D．磁铁的旋转不会对金属板中电子运动产生影响
【答案】B
【详解】ABC．图示时刻电流方向向右，则金属板所在位置磁场方向向上，由于电子向左运动，根据左手
定则可知，电子受到的洛仑兹力指向P 端，即电子积累在P 端，故AC 错误，B 正确；
D．磁铁旋转过程中，金属板所在位置垂直于金属板方向的磁感应强度发生变化，可知，磁铁的旋转会对
金属板中电子运动产生影响，故D 错误。
故选B。
4．笔记本电脑机身和显示屏分别装有霍尔元件和磁体，实现开屏变亮，合屏熄灭。图乙为一块利用自由
电子导电，长、宽、高分别为a、b、c 的霍尔元件，电流方向向右。当合上显示屏时，水平放置的元件处
于竖直向下的匀强磁场中，元件前、后表面间产生电压，当电压达到某一临界值时，屏幕自动熄灭。则元
件的（ ）
3
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A．合屏过程中，前表面的电势比后表面的低
B．开屏过程中，元件前、后表面间的电压变大
C．若磁场变强，可能出现闭合屏幕时无法熄屏
D．开、合屏过程中，前、后表面间的电压U 与b 无关
【答案】D
【详解】A．电流方向向右，电子向左定向移动，根据左手定则判断可知，电子所受的洛伦兹力方向向里，
则后表面积累了电子，前表面的电势比后表面的电势高，故A 错误；
B．开屏过程中，穿过霍尔元件的竖直方向的磁场减弱，元件前、后表面间的电压变小，故B 错误；
C．若磁场变强，元件前、后表面间的电压变大，闭合屏幕时仍然能熄屏，故C 错误；
D．由电子受力平衡可得
解得
开、合屏过程中，前、后表面间的电压U 与b 无关，故D 正确；
故选D。
5．磁流体发电是一项新兴技术， 它可以把物体的内能直接转化为电能，其原理如图所示。平行金属板
之间有一个很强的磁场，将一束等离子体（含有大量带正、负电的粒子）射入磁场，
两板间便
产生电压，如果把
板和用电器连接，
板相当于一个直流电源的两个电极。不计重力、空气阻力
和粒子间的相互影响，则下列说法正确的是（ ）
A．图中
板是发电机的正极
B．等离子体在运动过程中只受洛仑兹力的作用
C．只减小等离子体的速率，电路中的电流不变
D．只减小
板的间距，电路中的电流增大
【答案】A
4
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【详解】AB．根据题意，由左手定则可知，正离子受指向B 板的洛伦兹力，向B 板偏转，B 金属板相当于
电源的正极，同理A 板相当于电源的负极，这时等离子体将受到电场力的作用，故A 正确，B 错误；
CD．最终电荷在电场力和洛伦兹力作用下处于平衡，有
解得
则当只减小等离子体的速率和只减小
板的间距时，感应电动势减小，由
知电路中的电流减小，故CD 错误。
故选A。
【题型二】带电粒子在叠加场中的运动
1．如图所示，绝缘粗糙的竖直平面MN 左侧同时存在相互垂直的匀强电场和匀强磁场，电场方向水平向右，
电场强度大小为E，磁场方向垂直纸面向外，磁感应强度大小为B。一质量为m、电荷量为q 的带正电的小
滑块从A 点由静止开始沿MN 下滑，到达C 点时离开MN 做曲线运动。
(1)求小滑块运动到C 点时的速度大小vc；
(2)若已知m=0.2kg，E=2000N/C，q=0.001C，重力加速度g=10m/s2，且D 点为小滑块在电场力、洛伦兹力
及重力作用下运动过程中速度最大的位置，当小滑块运动到D 点时撤去磁场，此后小滑块继续运动到水平
地面上的P 点。已知小滑块在D 点时速度大小为10
m/s，小滑块运动到P 点时速度大小为10
m/s，
求小滑块从D 点运动到P 点的时间t0。
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意知,根据左手定则可判断，滑块在下滑的过程中受到水平向左的洛伦兹力,当洛伦兹力
等于电场力时，滑块离开MN 开始做曲线运动，则有
解得
5
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（2）设重力与电场力的合力为F，由题意可知，在D 点速度
的方向与F 的方向垂直，从D 到P 做类平
抛运动，在力F 方向上做匀加速直线运动，其加速度
t 时间内，F 方向的位移
从D 到P，由动能定理可得
联立解得
2．如图所示，真空中有范围足够大、垂直
平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。在x 轴下方有
沿y 轴负方向的匀强电场，电场强度大小为E。质量为m、电荷量为
的粒子在
平面内从y 轴上的P
点以初速度大小
射出，不考虑粒子的重力。
(1)若粒子与y 轴负方向成
角从P 点射出，刚好能到达x 轴，求P 点的纵坐标
；
(2)若粒子沿y 轴负方向从P 点射出，穿过x 轴进入第四象限，在x 轴下方运动到离x 轴最远距离为d 的Q
点（图中未标出），求粒子在Q 点加速度的大小a；
(3)若所在空间存在空气，粒子沿y 轴负方向从P 点射出，受到空气阻力的作用，方向始终与运动方向相反，
粒子从M 点进入第四象限时速度与x 轴正方向成
角。求粒子从P 点运动到M 点的过程中运动的时间t。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）设粒子在磁场中做圆周运动的半径为R，则由洛伦兹力充当向心力，根据牛顿第二定律可得
6
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由几何关系得
yP=R（1-sinα）
解得
（2）设粒
进
第四象限离
⼦
⼊
x 轴距离最大时速度为v1，电场力对粒子做正功，由动能定理可得
由
顿第二定律有
⽜
qv1B-qE=ma
解得
（3）粒
从
⼦
P 点运动到M 点过程中任意时刻满足
qvB=mvω
则P 点运动到M 点的时间为
解得
3．如图所示，两水平虚线之间的空间内存在着相互垂直的匀强电场E 和匀强磁场B（如图甲示），有一个
带正电的油滴（电荷量为+q，质量为m）从该电磁复合场上方某一高度自由下落恰好做匀速圆周运动；现
保持电场大小方向和磁场大小不变，磁场方向变为垂直于纸面向里（如图乙示），油滴从复合场上方高度
为h 位置静止释放，空间中电磁场横向范围足够大。
(1)求带电油滴第n 次穿出磁场的位置与O 点的距离和带电油滴在电磁场中运动的时间
。
(2)若带电油滴以初速度v 与x 轴线成θ 角从O 点进入电磁场（如图丙示），电磁场强度仍然保持不变，问
油滴将做什么运动并求进入电磁场后油滴第一次回到x 轴的时间
。
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(3)若带电油滴以初速度v 与水平方向成α 角从
点进入电磁场（如图丁示），当油滴沿着直线运动到P 点
时撤掉磁场（不考虑磁场消失引起的电磁感应现象），求撤掉磁场后油滴第一次穿过x 轴的时间
。
【答案】(1)
，
（n=1，2，3…）
(2)螺旋运动，
(3)
【详解】（1）图甲中，油滴在电磁复合场中做匀速圆周运动，则有
现保持电场大小方向和磁场大小不变，磁场方向变为垂直于纸面向里，由于电场力与重力平衡，油滴仍然
做匀速圆周运动，则有
，
解得
油滴从高度为h 位置静止释放，根据动能定理有
带电油滴第n 次穿出磁场的位置与O 点的距离和带电油滴在电磁场中运动的时间分别为
，
（n=1，2，3…）
解得
，
（n=1，2，3…）
（2）结合上述可知，电场力与重力平衡，将速度沿x 轴与y 轴分解为
，
油滴在沿x 轴方向做匀速直线运动，垂直于纸面方向做匀速圆周运动，即油滴向右做螺旋运动，则有
，
解得
结合螺旋运动的周期性，进入电磁场后油滴第一次回到x 轴的时间
8
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（3）油滴沿着直线运动到P 点，油滴受到重力、电场力与洛伦兹力，可知，油滴做匀速直线运动，到达P
点后，撤去磁场，粒子做类抛体运动，水平方向做匀加速直线运动，竖直方向做竖直上抛运动，则有
解得
4．如图所示，直角坐标系xOy 位于竖直平面内，在第二、三、四象限内存在平行于y 轴向上的匀强电场，
在第三、四象限内存在磁应强度为B、方向垂直xOy 平面向外的匀强磁场。质量为m、电荷量为q 的带正
电小球，从y 轴上的A 点水平向右抛出，记为小球第一次通过y 轴，经x 轴上的M 点进入电场和磁场，恰
能做匀速圆周运动，已知
，磁感应强度
，不计空气阻力，重力加速度为g。求：
（1）电场强度E 的大小和粒子经过M 点的速度大小；
（2）粒子第三次经过y 轴时的纵坐标。
【答案】（1）
；（2）
【详解】（1）因小球在第四象限做匀速圆周运动，故重力和电场力平衡，故：
解得
小球在第Ⅰ象限平抛，由运动学规律，有
联立解得
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竖直方向速度
经过M 点的速度大小为
（2）小球在第四和第三象限做匀速圆周运动，
为圆心，MN 为弦长，
；小球在第二象限做
匀速直线运动，第三次经过y 轴的点记为Q，如图所示
设半径为r，小球在磁场中做匀速圆周运动，有
由几何关系知
由
小球在第二象限做匀速直线运动，有
联立求得
5．如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，有沿x 轴正向的匀强电场和垂直坐标平面向外的匀强磁场，电场
强度大小为
，磁感应强度大小为B。从O 点发射一比荷为
的带正电微粒，该微粒恰能在xOy 坐标平
面内做直线运动。已知y 轴正方向竖直向上，重力加速度为g。
（1）求微粒发射时的速度大小和方向；
（2）若仅撤去磁场，微粒以（1）中的速度从O 点射出后，求微粒通过y 轴时到O 点的距离；
（3）若仅撤去电场，微粒改为从O 点由静止释放，求微粒运动的轨迹离x 轴的最大距离。
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【答案】（1）
，
轴负方向夹角为
；（2）
；（3）
【详解】（1）由题意知，粒子做匀速直线运动，受力分析如图
则
解得
粒子出射的速度方向与
轴负方向夹角为
解得
即微粒发射的速度大小为
与
轴负方向夹角为
；
（2）撤去磁场后，粒子做类平抛运动，如图
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将速度分解可得
轴方向的加速度大小
经过
轴时的时间
。
距
点的距离
（3）解法1：
微粒运动的轨迹离
轴的距离最大时，速度与
轴平行，设最大距离为
，在
方向上，由动量定理得
即
由动能定理得
解得
解法2：
将静止释放的微粒看成同时有大小相等、方向水平向左和向右的初速度
，向左的速度
产生的洛伦
兹力与重力大小相等（如图）
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则
解得
向左的分速度使微粒水平向左匀速直线运动，向右的分速度使微粒在洛伦兹力下做匀速圆周运动，即
解得
微粒运动的轨迹离
轴的最大距离
6．霍尔推进器某局部区域可抽象成如图所示的模型。xOy 平面内存在竖直向下的匀强电场和垂直坐标平面
向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。质量为m，电荷量为e 的电子从О 点沿x 轴正方向水平入射，入
射速度为
时，电子沿x 轴做直线运动；入射速度小于
时，电子的运动轨迹如图中的虚线所示，且在最
高点与在最低点所受的合力大小相等。不计电子重力及电子间相互作用。
（1）求电场强度的大小E；
（2）若电子入射速度为
，求运动到速度为
时位置的纵坐标y；
（3）若电子入射速度在
的范围内均匀分布，求能到达纵坐标
位置的电子数N 占总电子
数N0的百分比。
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【答案】（1）v0B；（2）
；（3）87.5%
【详解】（1）由题知，入射速度为v0时，电子沿x 轴做直线运动则有
Ee=ev0B
解得
E=v0B
（2）电子在竖直向下的匀强电场和垂直坐标平面向里的匀强磁场的复合场中，由于洛伦兹力不做功，且
由于电子入射速度为
，则电子受到的电场力大于洛伦兹力，则电子向上偏转，根据动能定理有
解得
（3）若电子以v 入射时，设电子能达到的最高点位置的纵坐标为y，则根据动能定理有
由于电子在最高点与在最低点所受的合力大小相等，则在最高点有
F 合=evmB－eE
在最低点有
F 合=eE－evB
联立有
，
要让电子达纵坐标
位置，即
y≥y2
解得
则若电子入射速度在0<v<v0范围内均匀分布，能到达纵坐标
位置的电子数N 占总电子数N0的
87.5%。
7．如图所示，竖直平面内有一直角坐标系
，其第一、二象限存在一场强为
的匀强电场，方向竖直
向下，虚线内的圆形区域还存在一方向垂直纸面向里的匀强磁场，该区域圆心
的坐标为
，半径为
。现从
点水平向右发射一个初速度为
带负电的微粒，发现微粒在电场中做匀速直线运动，进
入磁场后发生偏转，并恰好从
点射出磁场。已知重力加速度为
。
（1）求微粒的比荷和磁场的磁感应强度大小；
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（2）若将发射微粒的位置调整为
，其他条件不变，求微粒从发射到穿出磁场的时间；
（3）在第（2）问中，微粒会穿过
轴进入下方区域，若
轴下方区域存在大小也为
的匀强电场（图中
未画出），并使微粒轨迹发生偏转经过
轴某点，该电场朝什么方向时，能使微粒用最短时间到达
轴？
并求出轨迹与
轴交点的坐标。
【答案】（1）
，
；（2）
；（3）沿
轴正向，
【详解】（1）微粒做匀速直线运动所以受力平衡
解得
作出微粒在磁场中的轨迹如图所示
由几何知识得微粒的轨迹圆半径
根据牛顿第二定律
解得
15
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（2）微粒轨迹如图
由几何知识得
设直线运动的时间为
设圆周运动的时间为
故微粒到达
点用时
（3）微粒在第四象限轨迹为抛物线，要用时最短通过
轴，则电场方向应水平向右水平方向：先匀减速后
反向匀加速，初速度
加速度
用时为
竖直方向：匀加速运动，加速度
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初速度
下落高度为
解得
故轨迹与
轴交点的坐标为
。
8．在如图所示的竖直平面xOy 中，一质量为m、电荷量为
的带电小球沿x 轴正方向以初速度
从A 点射入第一象限，第一象限有竖直向上的匀强电场
，小球偏转后打到x 轴上的
点，x
轴下方有匀强电场
（图中未画出），第三、四象限有垂直于纸面向外、磁感应强度大小不同的匀强磁场，
小球在x 轴下方做匀速圆周运动，已知第四象限匀强磁场的磁感应强度大小为
，重力加速度大小为
g。
（1）求x 轴下方匀强电场的电场强度E2；
（2）求带电小球在C 点的速度
；
（3）若第三象限匀强磁场的磁感应强度大小为
，求粒子从C 点运动到
点所用的时间。
【答案】（1）
；竖直向上；（2）
；方向与x 轴正方向成
向下；（3）
或
【详解】（1）小球在x 轴下方做匀速圆周运动，则
解得
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竖直向上。
（2）小球在第一象限做类平抛运动
解得
又
，
可得
则
根据
解得
即方向与x 轴正方向成
向下。
（3）小球在第四象限内做匀速圆周运动，运动半径为
，则
解得
设粒子运动的周期为
，则
解得
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如图1，由几何关系可知，粒子从C 到P 偏转圆心角为
，此过程运动时间为
粒子经P 点进入第三象限后，设运动半径为
，则
解得
设粒子运动的周期为
，则
解得
如图2，粒子从P 点再回到P 点所用时间为
粒子从C 点运动到P 点所用的时间为
故粒子从C 点运动到P 点所用的时间为
或
。
9．如图所示，在竖直的xoy 平面内，在水平x 轴上方存在场强大小
方向平行于x 轴向右的匀强
电场，在x 轴下方存在方向垂直纸面向外的匀强磁场B 和大小方向都未知的匀强电场
一质量为m、带
电量为q 的小球从y 轴上的P（0，L）位置无初速度释放，释放后小球从第一象限进入第四象限做匀速圆
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周运动，运动轨迹恰好与y 轴相切，已知重力加速度为g。
（1）求匀强电场
大小与方向；
（2）求匀强磁场B 的大小；
（3）求小球第二次穿过x 轴的位置与第三次穿过x 轴的位置之间的距离；
【答案】1）
；方向竖直向上；（2）
；（3）
【详解】（1）小球在第四象限做匀速圆周运动，有
qE2=mg
得
小球释放后进入第一象限，故小球带正电，可得电场方向竖直向上
（2）小球的运动轨迹如图所示，
小球在第一象限做匀加速直线运动，对小球，有
由③④⑤得
x 轴下方匀强磁场磁感应强度大小为B，小球进入磁场，有
20
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匀强磁场B 的大小
（3）小球再次回到第一象限做类平抛运动
竖直方向
水平方向
联立解得
10．如图所示，在竖直平面内在边界
以下存在水平向右的匀强电场，电场强度大小为
，
为
一根固定的粗糙倾斜绝缘杆，与水平方向的夹角为
；边界
下方过杆端点
的竖直边界两侧分别
存在着两个方向相反的水平匀强磁场，左侧磁场方向垂直电场方向向里，磁感应强度的大小为
，
右侧磁场方向垂直电场方向向外，磁感应强度的大小为
.现有一带正电的小球，其质量为
、电荷量为
，以速度在过
点的竖直边界左侧磁场区域做匀速直线运动，当小球经过
位置时撤去磁场
，运动一段时间后，小球上有一小孔刚好从
端沿杆方向套在倾斜绝缘杆上，已知
位
置与绝缘杆
端等高，小球与绝缘杆之间的动摩擦因数为
，绝缘杆足够长，不考虑磁场消失引起
的电磁感应现象，重力加速度大小为
，
，
求：
（1）小球匀速运动的速度的大小；
（2）小球套在倾斜杆上后，沿杆下滑的最大速度
；
（3）小球从
位置运动至
位置，电场力对小球做的功
。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）小球以速度在过
点的竖直边界左侧磁场区域做匀速直线运动，则有
解得
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（2）小球套在倾斜杆上后，当速度最大时受力平衡，沿杆方向根据平衡条件
解得
（3）在左侧磁场运动过程中，由于重力与电场力大小相等，根据左手定则可知小球匀速时速度方向与水
平方向夹角为45°斜向右上，当撤去磁场时，小球做类平抛运动，加速度大小为
运动到M 点时速度方向刚好沿杆，则有
根据动能定理
电场力对小球做的功
1．电磁场与现代高科技密切关联，并有重要应用。对以下四个科技实例，说法正确的是（ ）
A．图甲的速度选择器能使速度大小
的粒子沿直线匀速通过，但与粒子的带电性质、带电量及速
度方向无关
B．图乙的磁流体发电机正常工作时电流方向为
，电阻R 两端的电势差等于发电机的电动势
C．图丙是质谱仪工作原理示意图，粒子打在胶片上的位置越靠近狭缝
，粒子的比荷越小
D．图丁为霍尔元件，若载流子带负电，稳定时元件左侧的电势低于右侧的电势
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【答案】D
【详解】A．电场的方向与B 的方向垂直，带电粒子从左端进入复合场，受电场力和安培力，且二力是平
衡力，即
解得
可知不管粒子带正电还是带负电都可以匀速直线通过，所以与粒子的带电性质及带电量无关，当带电粒子
从右端进入时，所受电场力与洛伦兹力方向均相同，不能匀速直线通过。可见与速度方向有关。故A 错误；
B．由左手定则知正离子向上偏转，负离子会向下偏转，所以P 板是电源正极，Q 板是电源负极，正常工
作时电流方向为
，但电路工作时等离子体也有电阻，故电阻R 两端的电势差等于发电机的路端
电压，小于电动势。故B 错误；
C．粒子先经过加速电场，然后进入速度选择器，从S3射入磁场时的速度相同，进入磁场后根据公式
得
故粒子打在胶片上的位置越靠近狭缝S3，则r 越小，荷质比越大。故C 错误；
D．若载流子带负电，由左手定则可知，负粒子向左端偏转，所以稳定时元件左侧的电势低于右侧的电势。
故D 正确。
故选D。
2．一对平行金属板中存在匀强电场和匀强磁场，其中电场的方向与金属板垂直，磁场的方向与金属板平
行且垂直纸面向里，如图所示。一带正电粒子以速度
自O 点沿中轴线射入，恰沿中轴线做匀速直线运动，
所有粒子均不考虑重力的影响。则以下说法正确的是（ ）
A．仅该变粒子的速度，粒子仍能够做匀速直线运动
B．仅改变粒子的比荷，粒子仍能够做匀速直线运动
C．仅改变电场的方向，粒子仍能够做匀速直线运动
D．其他条件不变，改为自A 点沿中轴线射入，粒子仍能做匀速直线运动
【答案】B
【详解】A．由题意可知，一带正电粒子以速度
自O 点沿中轴线射入，恰沿中轴线做匀速直线运动，由
平衡条件可得
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解得
若仅该变粒子的速度，则电场力不等于洛伦兹力，粒子将会偏转做曲线运动，不能够做匀速直线运动，A
错误；
B．仅改变粒子的比荷，由于粒子不考虑重力的影响。因此
不变，粒子仍能够做匀速直线运动，B 正确；
C．仅改变电场的方向，可知粒子受到的电场力方向改变，则电场力与洛伦兹力就不能平衡，粒子会产生
偏转，就不能够做匀速直线运动，C 错误；
D．其他条件不变，改为自A 点沿中轴线射入，可知粒子受到的电场力不变，粒子受到的洛伦兹力方向会
变化，因此电场力与洛伦兹力就不能平衡，粒子不能做匀速直线运动，D 错误。
故选B。
3．鼠标滚轮是鼠标上位于左键与右键之间的部件。某一鼠标滚轮上使用了霍尔效应传感器，传感器上有
一块非常小的金属板，如图所示，P、Q 端与电压表相连，左右端与电源相连。当环形磁铁旋转时，电压
表就会有读数，图示时刻磁铁的N、S 极分别在竖直面的下、上两端。则（ ）
A．图示时刻左端积累了负电荷
B．图示时刻P 端积累了负电荷
C．图示时刻金属板中电子恰好不受磁场力的作用
D．磁铁的旋转不会对金属板中电子运动产生影响
【答案】B
【详解】ABC．图示时刻电流方向向右，则金属板所在位置磁场方向向上，由于电子向左运动，根据左手
定则可知，电子受到的洛仑兹力指向P 端，即电子积累在P 端，故AC 错误，B 正确；
D．磁铁旋转过程中，金属板所在位置垂直于金属板方向的磁感应强度发生变化，可知，磁铁的旋转会对
金属板中电子运动产生影响，故D 错误。
故选B。
4．笔记本电脑机身和显示屏分别装有霍尔元件和磁体，实现开屏变亮，合屏熄灭。图乙为一块利用自由
电子导电，长、宽、高分别为a、b、c 的霍尔元件，电流方向向右。当合上显示屏时，水平放置的元件处
于竖直向下的匀强磁场中，元件前、后表面间产生电压，当电压达到某一临界值时，屏幕自动熄灭。则元
件的（ ）
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A．合屏过程中，前表面的电势比后表面的低
B．开屏过程中，元件前、后表面间的电压变大
C．若磁场变强，可能出现闭合屏幕时无法熄屏
D．开、合屏过程中，前、后表面间的电压U 与b 无关
【答案】D
【详解】A．电流方向向右，电子向左定向移动，根据左手定则判断可知，电子所受的洛伦兹力方向向里，
则后表面积累了电子，前表面的电势比后表面的电势高，故A 错误；
B．开屏过程中，穿过霍尔元件的竖直方向的磁场减弱，元件前、后表面间的电压变小，故B 错误；
C．若磁场变强，元件前、后表面间的电压变大，闭合屏幕时仍然能熄屏，故C 错误；
D．由电子受力平衡可得
解得
开、合屏过程中，前、后表面间的电压U 与b 无关，故D 正确；
故选D。
5．磁流体发电是一项新兴技术， 它可以把物体的内能直接转化为电能，其原理如图所示。平行金属板
之间有一个很强的磁场，将一束等离子体（含有大量带正、负电的粒子）射入磁场，
两板间便
产生电压，如果把
板和用电器连接，
板相当于一个直流电源的两个电极。不计重力、空气阻力
和粒子间的相互影响，则下列说法正确的是（ ）
A．图中
板是发电机的正极
B．等离子体在运动过程中只受洛仑兹力的作用
C．只减小等离子体的速率，电路中的电流不变
D．只减小
板的间距，电路中的电流增大
【答案】A
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【详解】AB．根据题意，由左手定则可知，正离子受指向B 板的洛伦兹力，向B 板偏转，B 金属板相当于
电源的正极，同理A 板相当于电源的负极，这时等离子体将受到电场力的作用，故A 正确，B 错误；
CD．最终电荷在电场力和洛伦兹力作用下处于平衡，有
解得
则当只减小等离子体的速率和只减小
板的间距时，感应电动势减小，由
知电路中的电流减小，故CD 错误。
故选A。
6．在实验室中有一种污水流量计，其工作原理图如图所示。废液内含有大量正负离子，从直径为d 的圆柱
形容器右侧流入，左侧流出，流量值Q 等于单位时间通过横截面的液体的体积。空间有垂直纸面向里的磁
感应强度为B 的匀强磁场，MN 为管道壁上两点，下列说法正确的是（ ）
A．M 点的电势高于N 点的电势
B．保证流速不变，当污水中离子浓度降低时，MN 两点电压将减小
C．当磁感应强度B 减小时，污水流速将减小
D．只需要测量磁感应强度B 及MN 两点电压U，就能够推算污水的流量
【答案】D
【详解】A．由左手定则可知，正离子受洛伦兹力向下，负离子受洛伦兹力向上，则M 点的电势低于N 点
的电势，故A 错误；
B．根据
可得MN 两点电压
则保证流速不变，当污水中离子浓度降低时，MN 两点电压不变，故B 错误；
C．磁感应强度B 不影响污水流速，故C 错误；
D．只需要测量磁感应强度B 及MN 两点电压U，可得污水流速
则推算污水的流量
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故D 正确。
故选D。
7．为监测某化工厂的污水（导电液体）排放量，某物理兴趣小组的同学在该厂的排污管末端安装了如图
所示的流量计。该装置由绝缘材料制成，长、宽、高分别为
，左右两端开口。如图，在垂直于前、
后两面方向加磁感应强度大小为B 的匀强磁场，在上、下两个面分别固定有金属板M、N 作为电极，V 为
理想电压表。当含有大量负离子的污水从左向右流经该装置时，下列说法正确的是（ ）
A．M 板的电势低于 N 板的电势
B．若导电液体的流速为，M、N 两电极间将产生电势差
C．若仅增大导电液体中离子的浓度，电压表示数将增大
D．若已知M、N 电极间的电势差为U，则液体流量为
【答案】B
【详解】A．根据左手定则可知，负电离子受到的洛伦兹力指向N 板，故M 板的电势高于N 板的电势，故
A 错误；
BD．若导电液体的流速为，根据受力平衡可得
解得
当电压表的示数为 U 时，液体流量为
联立解得
故B 正确，D 错误；
C．根据
若仅增大导电液体中离子的浓度，电压表示数保持不变，故C 错误。
故选B。
8．新冠肺炎疫情持续期间，医院需要用到血液流量计检查患者身体情况。某种电磁血液流量计的原理可
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简化为如图所示模型。血液内含有少量正、负离子，从直径为d 的血管右侧流入，左侧流出，空间有垂直
纸面向里、磁感应强度大小为B 的匀强磁场，M、N 两点之间的电压稳定时测量值为U，流量Q 等于单位
时间通过横截面的液体的体积。下列说法正确的是（ ）
A．离子所受洛伦兹力方向一定竖直向下
B．M 点的电势一定高于N 点的电势
C．血液流量
D．电压稳定时，正、负离子不再受洛伦兹力
【答案】C
【详解】AB．由左手定则可知，水平向左入射的正离子受竖直向下的洛伦兹力，负离子受竖直向上的洛伦
兹力，则正电荷聚集在N 一侧，负电荷聚集在M 一侧，则N 点电势高于M 点电势，AB 错误；
C．电压稳定后，离子所受的洛伦兹力等于电场力，即
可得流速为
则流量Q 为
C 正确；
D．电压稳定时，正、负离子受到的洛伦兹力与电场力平衡，D 错误。
故选C。
9．电磁流量计广泛应用于测量工业废水（含正负离子）在管中的流量
（单位时间内流过管内某一横截
面的流体的体积）。如图所示，假设某电磁流量计主要结构是横截面为长方形的一段管道，其长、宽、高
分别为
、
、，其上、下两面是绝缘材料，前后两面是金属材料。流量计所处位置存在竖直向下且磁感
应强度为
的匀强磁场，其左右两端与输送工业废水的管道相连，工业废水从左向右运动。当工业废水稳
定地流经流量计时，前后两个金属侧而将产生电势差
，则下列说法正确的是（ ）
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A．洛伦兹力对导电液体中的离子做正功
B．工业废水在管中的流量
与
、
无关
C．若流量
恒定，仅增大磁感应强度
的大小，前后两个金属侧面间的电势差
不变
D．无法判断流量计前后表面的电势高低
【答案】B
【详解】A．洛伦兹力方向始终与离子运动方向垂直，所以洛伦兹力对离子不做功，故A 错误；
B．最终正负离子会受到电场力和洛伦兹力而平衡，即
，
而水的流量为
联立可得
所以工业废水在管中的流量
与
、
无关，故B 正确；
C．由
可知，若流量
恒定，仅增大磁感应强度
的大小
增加，故C 错误；
D．根据左手定则可知，工业废水中的正离子向后表面偏，工业废水中的负离子向前表面偏，因此流量计
前表面的电势低于流量计后表面的电势，故D 错误。
故选B。
10．如图所示是磁流体发电机示意图。平行金属板a、b 之间有一个很强的匀强磁场，将一束等离子体（即
高温下电离的气体，含有大量的等量正、负离子）垂直于磁场的方向喷入磁场，a、b 两板间便产生电压。
如果把a、b 板与用电器相连接，a、b 板就是等效直流电源的两个电极。若磁场的磁感应强度为B，每个离
子的电荷量大小为q、速度为v，a、b 两板间距为d，两板间等离子体的等效电阻为r，用电器电阻为R。
稳定时，下列判断正确的是（ ）
A．图中b 板是电源的正极
B．电源的电动势为Bvq
C．用电器中电流为
D．用电器两端的电压为
Bvd
【答案】AD
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【详解】A．由左手定则，正离子受洛伦兹力向下偏转，负离子受洛伦兹力向上偏转，b 板为电源的正极，
A 正确；
BCD．稳定时，由平衡条件得
电源电动势为
电流为
用电器两端的电压
故BC 错误，D 正确。
故选AD。
11．如图磁流体发电机的长方体发电导管的前后两个侧面是绝缘体，上下两个侧面是电阻可忽略的导电电
极，两极间距为d，极板的长、宽分别为a、b，面积为S，这两个电极与可变电阻R 相连。在垂直于前后
侧面的方向上有一匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向由前向后．发电导管内有电阻率为
的高温电离
气体——等离子体，等离子体以速度v 向右流动，并通过专用通道导出。不计等离子体流动时的阻力，调
节可变电阻的阻值，下列说法正确的是（ ）
A．磁流体发电机的电动势为
B．可变电阻R 中的电流方向是从P 到Q
C．当可变电阻的阻值为
时，流过R 的电流为
D．当可变电阻的阻值为
时，R 消耗的电功率为最大值
【答案】BCD
【详解】A．发电管和内部的高温电离气体相当于电源，高温电离气体相当于内阻．稳定时即气体离子不
再偏转，此时
整理得发电机电动势
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故A 错误；
B．根据左手定则可判断等离子体中的正离子向上极板偏转、负离子向下极板偏转，即上极板为正极，故
可变电阻R 中的电流方向是从P 到Q，故B 正确；
C．根据电流方向，判断高温电离气体的横截面积为S，长度为d，所以内阻
当可变电阻的阻值为
R＝
根据闭合电路欧姆定律得流过R 的电流为
I＝
故C 正确；
D．当外电阻等于电源内阻即R=r 时外电路即可变电阻R 消耗的电功率最大，最大值为
故D 正确。
故选BCD。
12．某种电磁流量计的外形如图甲所示，工作原理如图乙所示：直径为d 的圆柱形管道的上、下方装有励
磁线圈，励磁线圈通过恒定电流Ⅰ时，管内会产生竖直向下的匀强磁场，磁感应强度与所加的励磁电流成正
比，比例系数为k；当含有大量正负离子的液体沿管道以图示方向以恒定速度v 通过流量计时，在水平直
径两端的a、b 电极之间就会产生恒定的电势差，可以通过连接在a、b 两端的电压表读出，经过转换即可
得到穿过管道的液体的流量（单位时间内流过管道横截面的液体体积）。
（1）a、b 哪点电势高？
（2）为了把电压表转换为流量表，需要得到流量与电压表示数的比值s，求s 的值。
【答案】（1）b 点电势高；（2）
【详解】（1）根据左手定则可知，正电荷受到的洛伦兹力指向b，故b 点电势高；
（2）磁感应强度为
a、b 电极之间产生恒定的电势差时，有
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管道中液体的流量为
解得
13．如图所示，在y 轴两侧存在大小相等方向相反的匀强电场，同时圆形区域充满方向垂直纸面向里的匀
强磁场，圆形区域圆心在O（0，0）点，圆过
点。已知比荷
的带正电粒子从A 点
射入圆形区域，从O 点穿过y 轴。x＜0 区域，粒子做匀速圆周运动。x＞0 区域，粒子做匀速直线运动。
（重力加速度
）。求：
（1）y 轴左侧电场强度的大小和方向；
（2）粒子入射速度；
（3）粒子在圆形区域运动时间。
【答案】（1）E=10N/C，方向竖直向上；（2）v=1m/s；（3）
【详解】（1）x＜0 区域，粒子做圆周运动，可知此时重力等于电场力，E 方向竖直向上
解得
E=10N/C
（2）x＞0 区域，粒子做匀速直线运动，根据（1）可知此区域电场力向下，因此电场力与重力的合力方向
竖直向下，洛伦兹力方向必然向上
根据过y 轴后洛伦兹力向上，可以判断速度水平向右，圆周运动的圆心在y 轴线上，设轨迹圆圆心坐标为
C（0，r），轨迹半径为r，根据A、C 距离为r 可得
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解得
x＜0 区域，粒子做圆周运动，洛伦兹力提供向心力
解得
（3）设粒子划过的圆心角即为α
解得
粒子划过的弧长L
匀速直线运动距离为边界圆半径
代入可得
14．如图所示，
坐标系的第三象限有一对正交的匀强电场和匀强磁场，磁场的磁感应强度为
，方向
垂直纸面向里，电场强度
。第二象限内有一边界
与x 轴负方向的夹角为45°，该边界
线的左边为垂直纸面向外的匀强磁场
，边界线的右边有方向水平向左的匀强电场
。一个比荷
的带正电的粒子从M 点以
射入板间，沿中
线
做直线运动，穿出后从x 轴上的N 点垂直x 轴射入磁场区，随后第一次沿水平方向进入电场，之后
多次穿越边界线
，不计粒子重力，求：
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（1）磁感应强度
的大小；
（2）
间的距离L；
（3）粒子第四次到达分界线
时离x 轴的距离。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）粒子在复合场中沿中线
做直线运动，表明粒子做匀速直线运动，则根据平衡条件有
解得
（2）粒子进入
后做匀速圆周运动，由于随后第一次沿水平方向进入电场，根据几何关系有
根据洛伦兹力提供向心力有
其中
解得
（3）根据上述第三次到达分界线距离O 距离
之后做类平抛运动，根据几何关系，水平与竖直分位移大小相等，则有
解得
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粒子第四次到达分界线
时离x 轴的距离
解得
15．霍尔推进器主要包括以下步骤：霍尔效应使电子被约束在一个磁场中，并通过电场被加速，电子撞击
推进剂（氙气、氩气等）分子，导致电子被剥离，形成离子。形成的离子在电场的作用下沿着轴向加速，
加速后的离子向外喷出，反冲产生推力。在某局部区域可简化为如图所示的模型。XOY 平面内存在方向向
右的匀强电场和垂直坐标平面向里的匀强磁场，电场强度为E，磁感应强度为B，质量为m、电荷量为e 的
电子从坐标O 点沿Y 轴正方向入射，不计重力及电子间相互作用。
（1）若离子质量为M，加速后以v 速度沿轴向方向喷出，单位时间喷出离子数为n，求推进器产生的推力
F；
（2）在某局部区域内，当电子入射速度为
时，电子沿Y 轴做直线运动，求
的大小；
（3）在某局部区域内，若电子入射速度为
，电子的运动轨迹如图中的虚线所示，求运动到离Y 轴的最
远距离x 和回到Y 轴坐标y。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
，
【详解】（1）根据动量定理得
解得
（2）由题知，入射速度为
时，电子沿
轴做直线运动则有
解得
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（3）由于电子入射速度为
，初速度可分解为向
正方向
和
负方向
两个合成，把洛伦兹力分解
为两个分力，其中
解得
则电子可以看作向
正方向
匀速直线运动在
轴左侧以
匀速圆周运动，根据运动的合成：
到达离
轴最远时速度
求
方法一：
根据动能定理有
解得
求
方法二：
由牛顿第二定律得
解得圆周运动半径为
又
解得
求
方法三：
方向动量定理
解得
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求
方法一：
到达
轴时间为周期的
倍，由公式
解得周期
轴坐标
解得
求
方法二：
根据
方向动量定理
解得
16．在xOy 坐标系的第二象限内和第四象限内有如图所示的匀强电场，两电场的场强大小相等，方向分别
与x 轴和y 轴平行；第四象限内还存在垂直于纸面的匀强磁场（图中未画出）。将一个质量为m、电荷量
为q 的微粒在第二象限内的
点由静止释放，之后微粒沿直线运动到坐标原点并进入第四象限，微
粒在第四象限内运动后从x 轴上的
点进入第一象限，重力加速度为g。求：
（1）带电微粒运动到O 点时的速度大小；
（2）匀强磁场的磁感应强度大小；
（3）带电微粒从P 点运动到Q 点所用的时间。
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【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）粒子在第二象限内做直线运动，因此电场力和重力的合力方向沿PO 方向，可知粒子带正电，
且
粒子在第二象限内的加速度为
根据动力学公式
解得带电微粒运动到O 点时的速度大小为
（2）根据
可知粒子从O 点进入第四象限的速度方向与x 轴正方向成
角，由于粒子在第四象限内受到电场力与重
力等大反向，因此粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，由于粒子做匀速圆周运动后从x 轴上的
点进入第一象限，根据左手定则可以判断，磁场方向垂直于纸面向里，根据题意做出粒子的轨迹图
根据几何关系有，粒子做匀速圆周运动的轨迹半径为
根据洛伦兹力提供向心力
匀强磁场的磁感应强度大小
（3）粒子在第二象限内做直线运动的时间为
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粒子在第四象限内做直线运动的时间为
带电微粒从P 点运动到Q 点所用的时间
17．下图所示的光滑绝缘的水平面上放置一个质量为m、带电荷量为＋q 的小球（可视为点电荷）。在竖
直平面内存在匀强磁场和匀强电场，y 轴左侧电场方向水平向右，无磁场，y 轴右侧电场方向竖直向上，磁
感应强度大小为B，磁场方向垂直纸面向里。两侧电场强度大小相等，均为
、现将小球从左侧距O 点
为2L 的A 点由静止释放，若小球第一次落回地面时落到A 点附近。
（1）小球第一次经过y 轴时的速度大小；
（2）小球第二次经过y 轴时到O 点的距离；
（3）小球第二次经过y 轴后，到落地前，经过P 点（图中未标出）的速度最小，求：小球从开始运动到P
点所用的时间t。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）根据动能定理
解得
（2）在磁场中，由于
合力为洛伦兹力，做圆周运动，根据牛顿第二定律
解得
39
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小球第二次经过y 轴时到O 点的距离为圆周运动的直径
（3）运动轨迹如图所示
由A 到O 物体做匀加速，根据牛顿第二定律
解得
根据运动学规律
解得
在磁场中做匀速圆周运动，周期为
所用时间为
回到y 轴左侧后，物体做类斜抛运动，速度与合力方向垂直时，即速度方向斜向左下时，速度最小，从回
到y 轴左侧起至速度最小所需时间t3
解得
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总时间
18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，y 轴左侧存在沿x 轴正方向的匀强电场，y 轴右侧存在沿y 轴正方向
的匀强电场和垂直纸面向外的匀强磁场，两侧电场的电场强度大小相同，电场、磁场的范围均足够大。一
质量为 m、电量为q（>0）的带电粒子以一定的初速度v0 （未知）沿y 轴正方向从坐标点（-d，0）射入
第二象限，在此后的运动过程中，粒子由（0，3d）第一次穿过y 轴，并在右侧区域做匀速圆周运动，第二
次恰好在原点O 穿过y 轴。已知重力加速度为g，求：
（1）匀强电场的电场强度大小；
（2）粒子第一次穿过y 轴的速度和匀强磁场的磁感应强度大小；
（3）粒子第五次经过y 轴的坐标。
【答案】（1）
；（2）
，与y 轴正方向夹角为
，
；（3）（0，-11d）
【详解】（1）粒子在右侧区域做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，则重力与电场力平衡，则有
解得
（2）粒子在第二象限做类斜抛运动，水平方向上由牛顿第二定律有
由运动学公式有
，
竖直方向上由运动学公式有
，
由矢量合成法则有
41
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解得
可知
方向与y 轴正方向夹角为
，粒子在右侧区域轨迹如图所示
，
由几何关系得
由洛伦兹力提供向心力有
解得
（3）粒子从原点O 回到第二象限后，做匀减速直线运动，后反向做匀加速直线运动进入第四象限做匀速
圆周运动，粒子再次穿过y 轴的纵坐标记为
，由几何关系可知
，带电粒子再次进入第三象限做
类平抛运动，则x 轴方向上有
y 轴方向上有
解得
故粒子第五次经过y 轴的坐标为（0，-11d）。
19．如图所示，在xOy 坐标系的第一象限内，存在沿y 轴正方向的匀强电场和垂直纸面向外的匀强磁场，
其中电场在
的范围内，磁场在
的范围内。一电荷量为q、质量为m 的带正电的粒子（重力
42
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不计）从y 轴上P 点以初速度
进入第一象限，速度方向与y 轴负方向成
角，P 点纵坐标为
。
粒子经过电场后，刚好沿直线 MN 穿过电场、磁场复合区，最终从x 轴上A 点离开磁场，已知MN 与x 轴
平行。求：
（1）电场强度的大小E 及M 点的纵坐标
；
（2）粒子经过A 点时的速度方向及A 点的横坐标
；
（3）粒子从P 点到A 点所用的时间t。
【答案】（1）
；（2）2.5L；（3）
【详解】（1）由题意，带电粒子从 P 到M 过程中只受电场力作用，做匀变速运动，且粒子到 M 点时速
度沿MN 方向，将v0分解成沿x 轴正方向的v1和沿y 轴负方向的v2，则
解得
43
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故
（2）粒子经过复合区时以v1沿MN 做匀速直线运动，则
粒子离开N 点后在磁场中做匀速圆周运动，则
解得
由几何关系得
即粒子经过A 点时的速度方向与x 轴负方向的夹角为
，A 点的横坐标为2.5L；
（3）粒子从P 经M 到N 过程中，沿x 方向做匀速运动，则
粒子从N 到A 做匀速圆周运动对应圆心角为
，则
粒子从P 点到A 点所用的时间为
20．微波炉中的磁控管是一种用来产生微波的电真空器件。管内电子在相互垂直的恒定磁场和恒定电场的
控制下，把从恒定电场中获得能量转变成微波能量，从而达到产生微波的目的。如图所示，MN、PQ 为带
电金属板，板间有相互垂直的匀强电场和匀强磁场，电场强度为E，磁感应强度为B。一束电子以平行于
的速度自O 点射入复合场区域，恰好沿直线通过。O 为MP 中点，MP=2d，MN 足够长，电子比荷为
。
不计电子重力及它们之间的相互作用。
（1）求电子沿直线经过两板间的速度大小；
（2）若撤去电场，求电子打在金属板上距所在金属板左端的距离x；
44
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（3）若电子进复合场的初速度不变，将电场强度变为
，求电子在两板间运动的最大速度以及电子沿电
场线方向上的最大位移。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
，
【详解】（1）若电子能沿直线通过，受到的合力为0，根据电子的平衡状态可得
解得
（2）电子在磁场中做圆周运动，电子受到的洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律可得
解得
解得
电子向下偏转，电子打在PQ 板上距P 端x 处，由几何关系得
解得
（3）如图所示
通过配速，让电场力与洛伦兹力平衡可得
45
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解得
即将电子初速度分解为向右的
和向左的
，分别对应匀速直线运动和匀速圆周运动，v1与v2
同向时电子的运动速度最大，此时
匀速圆周运动的半径为
沿电场线方向的最大位移
解得
沿电场线方向的最大位移
21．如图所示，在竖直的xoy 平面内，在水平x 轴上方存在场强大小
、方向平行于x 轴向右的匀强
电场，在第二象限存在方向垂直纸面向里的匀强磁场。在x 轴下方存在方向垂直纸面向外的匀强磁场和大
小、方向均未知的匀强电场E2。一质量为m、带电量为q 的小球从y 轴上的P（0，L）位置无初速度释放，
释放后小球从第一象限进入第四象限做匀速圆周运动，运动轨迹恰好与y 轴相切，求：
（1）小球第一次穿过x 轴时速度大小和方向以及匀强电场E2大小；
（2）小球第二次穿过x 轴的位置与第三次穿过x 轴的位置之间的距离；
（3）若让小球从y 轴上P 点的下方Q 点（图中未标出）无初速度释放，小球通过第一、三、四象限后进
入第二象限做直线运动，并恰好又回到Q 点。求第二象限中匀强磁场的磁感应强度B 的大小。
46
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【答案】（1）
，与竖直方向夹角
，
；（2）
；（3）
【详解】（1）小球在第一象限做匀加速直线运动
与竖直方向夹角
-
对小球，有
小球在第四象限做匀速圆周运动，有
qE2=mg
得
（2）小球再次回到第一象限做类平抛运动，如图所示，竖直方向
水平方向
解得
（3）假设x 轴下方匀强磁场磁感应强度大小为B0，从P 点释放的小球进入磁场，有
47
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假设Q 点离坐标原点的距离为yQ，对从Q 点释放的小球，进入第一象限的速度v1，同理可得
从Q 点释放的小球通过第一象限进入x 轴下方，做匀速圆周运动，有
从Q 点释放的小球在第二象限做直线运动，电场力和重力的合力与洛伦兹力大小相等，v1与x 轴夹角
θ1=45°
有
电场力和重力的合力与洛伦兹力方向相反，则MQ 与NQ 必然垂直，由几何关系，得
解得
22．如图，在竖直平面内建立平面直角坐标系 xOy，第一象限存在沿 y 轴方向的匀强电场，电场强度大小
为
（未知）；第二象限也存在一个匀强电场，电场强度大小
，方向与x 轴正方向夹角
为45°；x 轴下方内存在方向竖直向上大小为
的匀强电场和磁感应强度大小
的方
向垂直纸面向外的圆形匀强磁场，圆形区域在P 点与x 轴相切，其半径
。一比荷
、
不计空气阻力的带正电小球，从第二象限的A 点由静止释放，A 点坐标为
，该粒子从y 轴上
C 点进入第一象限，恰从P（0.2m，0）点进入第四象限的匀强磁场，最终从圆形磁场的M 点射出（M 点
未标出）。
，求：
（1）小球经过C 点的速度大小
；
（2）电场强度
的大小及小球经过P 点的速度v；
（3）求M 点坐标。
48
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【答案】（1）
；（2）
，
，与x 轴正方向夹角为45°；（3）
【详解】（1）小球在第二象限时，小球受电场力和重力，由分析受力可知，小球合力
所以
（2）小球在第一象限时，由受力分析可知，小球在x 轴方向上做匀速直线运动，所以：沿x 轴方向
沿y 轴方向上
解得
方向竖直向下。由牛顿第二定律得
解得
且
所以
方向与x 轴正方向夹角为45°。
49
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（3）从P 点进入第四象限，由受力分析知
所以，小球所受的电场力与重力平衡，合力为洛伦兹力，设小球做圆周运动的半径为r，根据洛伦兹力提
供向心力
解得
所以，小球最终将以垂直y 轴方向的速度离开磁场，因此M 点的坐标为
即M 点坐标为
23．如图所示，匀强磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为B，质量为
、电荷量为的电子以垂直
于磁场方向的速度射入，运动过程中受到空气的阻力
，
为已知常量。
（1）电子速度从减小为
过程中空气阻力所做的功
；
（2）电子速度从减小为
过程中通过的路程；
（3）要使电子保持速度大小为，角速度为
做匀速圆周运动，可在空间加一个方向始终与磁场方向垂直
的匀强电场并使之旋转，不考虑电磁波的影响，求电场的场强大小
。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）由动能定理得
解得
50
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（2）沿电子运动轨迹的切线方向
又
，
所以
解得电子通过的路程为
（3）电场旋转的角速度大小为
。
情况1：电场力与空气阻力平衡，洛伦兹力提供向心力
解得
此时
情况2：
，电子受力如图
设电场力与洛伦兹力方向夹角为
，沿圆周切线方向
沿圆周半径方向
解得
51
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情况3：
，电子受力如图，设电场力与洛伦兹力反方向夹角为
，沿圆周切线方向
沿圆周半径方向
解得
综上分析可知
24．如图所示，在
轴下方，沿
轴方向每间隔
的高度就有一段间距为d 的区域P，区域P 内既
存在竖直向上、场强
的匀强电场，也存在垂直坐标平面水平向里的匀强磁场，磁感应强度
。现有一电荷量
、质量
的带正电的粒子从坐标原点O 自由下落。粒子可
视为质点，取重力加速度
。
（1）求粒子刚到达第一个区域P 时的速度大小
；
（2）求粒子穿出第一个区域P 时速度的水平分速度大小
；
（3）若将所有区域的磁感应强度的大小调整为
，使粒子刚好不能穿出第2 个区域P，求
的大小。
【答案】（1）2m/s；（2）0.2m/s；（3）
【详解】（1）动能定理
解得
（2）在区域P 中，粒子所受的合力
所以粒子在区域P 中做匀速圆周运动，粒子穿出第一个区域P 时，设
与x 轴正方向的夹角为
，其运动
轨迹如图所示。
52
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由题意
洛伦兹力提供向心力
几何关系
代入数据解得
（3）进入第2 个区域P 时，动能定理
解得
x 方向，动量定理
求和
得到
代入数据解得
26．如图所示，竖直平面内有直角坐标系xOy，y 轴竖直，两平行金属板MN、PQ 竖直正对放置，Q 点与
坐标原点O 重合，板的长度均为d，仅在板间存在沿x 轴正方向的匀强电场（未画出）。y 轴右侧有垂直平
面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为
。从板外A 点将一质量为m、电荷量为
的小球以初速度
沿x 轴正方向抛出，小球从M 点进入两板间，沿直线从Q 点离开，进入右侧的匀强磁场区域。已知
小球从A 点到M 点与从M 点到Q 点经历的时间相等，重力加速度为g，求：
（1）两板间的电场强度大小。
（2）小球离开Q 点时的速度大小。
（3）小球在磁场中运动的最小速度以及偏离x 轴的最大距离。
53
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【答案】（1）
；（2）
；（3）
，
【详解】（1）小球从A 点到M 点与从M 点到Q 点，竖直方向做自由落体运动，两段时间相等，则竖直位
移之比为
，从A 点到M 点的竖直高度为
，小球从A 点到M 点，竖直方向有
设小球在M 点的速度方向与水平方向夹角为θ，则有
解得
小球在两板间沿MQ 做匀加速直线运动，电场力与重力的合力沿MO 直线，有
解得
（2）小球在两板间沿MQ 做匀加速直线运动，设两板间距离为l，则有
小球从A 点到Q 点，由动能定理可得
解得小球离开Q 点时的速度大小
（3）小球进入磁场时，沿x 轴正方向的分速度
沿y 轴负方向的分速度
因
54
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小球在磁场中的运动可分解为沿x 轴正方向的速度大小为
的匀速直线运动和在xOy 平面内速度大小为
的匀速圆周运动，当小球运动到圆周运动的最高点时速度最小，为
小球做匀速圆周运动，有
解得小球偏离x 轴的最大距离
27．光滑绝缘轨道ACD 由竖直的半圆轨道AC 和水平直轨道CD 组成。半圆轨道与直轨道相切于C 点。半
圆轨道的圆心为O、半径为R，且圆心在AC 连线上。空间有如图所示的匀强电场和匀强磁场，电场强度大
小为E，方向与水平面的夹角为
；匀强磁场的方向垂直纸面向里，重力加速度大小为g。在水平直
轨道上的F 点由静止释放一质量为m、电荷量为
的带正电小滑块，该滑块运动到直轨道末端C 点时
恰好与轨道无压力，之后磁场消失，滑块恰好能沿着半圆轨道运动到A 点，求：
（1）磁场的磁感应强度大小为多少？
（2）滑块从A 点水平抛出后，再次到达水平直轨道时距离C 点的距离为多少？
【答案】（1）
；（2）
【详解】（1）在A 点对滑块受力分析，有
解得
滑块从C 点到A 点，根据动能定理有
解得
55
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在C 点对滑块受力分析，有
解得
（2）滑块从A 点抛出后，以水平、竖直方向建立坐标系，竖直方向
解得
水平方向
解得
28．利用电磁场实现离子偏转是科学仪器中广泛应用的技术。如图所示，在xOy 平面内存在区域足够大的
方向垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。位于坐标原点O 处的离子源能在xOy 平面内持续发
射质量为m、电荷量为q 的负离子，其速度方向与y 轴正方向夹角
的最大值为
，且各个方向速度大小
随
变化的关系为
式中
为未知定值，且
的离子恰好通过坐标为
的P 点。不计离子的
重力及离子间的相互作用，并忽略磁场的边界效应，
，
。
（1）求关系式
中
的值；
（2）当离子的发射速度在第二象限内且
时，求离子第一次到达界面
的时间t；
（3）求所有离子中第一次到达界面
时，与x 轴的最远距离
；
（4）为回收离子，在界面
右侧加一宽度为L 且平行于x 轴、方向向右的匀强电场，如图所示，为使
所有离子都不能穿越电场右边界，求电场强度的最小值E。
56
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【答案】（1）
；（2）
；（3）
；（4）
【详解】（1）根据题意可知，当
时，即沿
轴正方向发射的离子恰好通过坐标为（L，L）的P 点，
则其轨迹的圆心一定在
轴上，设轨迹的半径为
，由几何关系有
解得
即圆心在界面
与
轴的交点，又有
其中
解得
（2）当离子的发射速度在第二象限内且
时，粒子的运动轨迹，如图所示
由题意可知
57
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由牛顿第二定律可得
解得
可知圆心
在
的界面上，由几何关系得圆心角
离子第一次到达界面
的时间为
（3）根据题意，由牛顿第二定律有
解得
由几何关系可知，所有离子运动轨迹圆心均在
的界面上，则离子沿左侧
射出时，通过界面时离
轴最远，此时离子运动的半径为
由几何关系可得
（4）综合上述分析可知，离子通过界面时，速度与界面垂直，则为使所有离子都不能穿越电场区域，即
保证速度最大的离子不能通过即可，即当离子以
射入时速度最大，最大速度为
离子在
轴方向上运动方向最大位移为L，此时速度为
，在复合场区域任意
时间，由动量定理可得
两边求和有
解得
由动能定理有
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解得
即电场强度的最小值
29．如图所示，直角坐标系xOy 位于竖直平面内，y 轴正方向竖直向上，x 轴正方向水平向右。空间中存在
相互垂直的匀强电场和匀强磁场，匀强磁场垂直xOy 平面向里，磁感应强度大小为B；匀强电场（图中未
画出）的方向平行于xOy 平面，电场强度大小为
。小球（可视为质点）的质量为m、带电量为
，
从O 点射出。忽略空气阻力，重力加速度为g。
（1）若撤去匀强电场，要使小球在空间中做直线运动，求小球射出时的速度大小和方向；
（2）若匀强电场在xOy 平面内的方向可调，要使小球在xOy 平面内做直线运动，求小球射出时速度大小
范围；
（3）若匀强电场方向竖直向下，将小球沿y 轴正方向射出，速度大小为
，求小球运动过程中距x 轴的
最大距离。
【答案】（1）
，方向水平向右；（2）
；（3）
【详解】（1）若撤去匀强电场，要使小球在空间中做直线运动，则小球必定做匀速直线运动，洛伦兹力
与重力平衡，即洛伦兹力方向竖直向上，根据左手定则可知，小球射入速度方向一定水平向右，根据平衡
条件有
解得
方向水平向右。
（2）小球受重力、电场力与洛伦兹力，小球在场力作用下做直线运动，该运动一定是匀速直线运动，根
据平衡条件，电场力与洛伦兹力的合力一定大小等于重力，方向一定竖直向上，由于
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即有
根据两个力的合力的取值范围可知
解得
（3）根据题意有
将小球速度沿x 轴正方向分解为
与y 轴正方向夹角为
的
，如图所示
其中分速度
对应的洛伦兹力与重力、电场力的合力平衡，即有
解得
可知
，
根据上述可知，小球的运动可以看为沿x 轴正方向的匀速直线运动与速度为
的匀速圆周运动两个分运动
合成，可知，当小球圆周分运动至最低点，即
方向沿水平向右方向时，小球合速度最大值为
此时小球的动能最大，电场力与重力做功最多，小球距离x 轴最远，令最大距离为d，根据动能定理有
结合上述解得
60
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30．如图所示，固定的光滑绝缘斜面的倾角为
，空间存在水平向里的匀强磁场。一质量为
m 的带正电小球，t=0 时刻从斜面上静止释放，经过时间T0离开斜面。重力加速度为g，不计其他阻力。
（1）求小球离开斜面时的速度v0；
（2）小球离开斜面后，在竖直面内的运动轨迹如图中虚曲线所示，且运动过程中的加速度大小始终不变。
已知小球经过相邻两个轨迹最高点所用的时间为
，求：
（ⅰ）小球的轨迹最高点和最低点间的高度差h；
（ⅱ）相邻两个最高点间的距离x。
【答案】（1）
；（2）（ⅰ）
；（ⅱ）
【详解】（1）小球释放后，沿斜面向下加速，洛伦兹力垂直斜面向上，小球脱离斜面前，洛伦兹力不影
响小球的加速度，沿斜面方向，由牛顿第二定律有
解得
小球在斜面上做匀加速直线运动，由运动学公式有
解得
（2）小球刚要离开斜面时，垂直斜面方向，有
设小球离开斜面后，在轨迹最低点的速度为
，在轨迹最高点的速度为
，分析可知，
、
的方向都水
平向右，且小球离开斜面后的加速度大小都等于刚脱离斜面时的加速度
（ⅰ）在最低点，小球加速度向上，由牛顿第二定律有
在最高点，小球加速度向下，由牛顿第二定律有
小球从最低点运动到最高点，只有重力做功，洛伦兹力不做功，由动能定理有
解得
61
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（ⅱ）小球离开斜面后，从一个最高点向相邻最高点运动的过程中，设某一时刻速度为，方向与水平向
右夹角为
，又经过一小段时间
，竖直方向速度变化量为
，水平方向分位移为∆x，竖直方向由动量
定理有
对小球从一个最高点到相邻最高点的整个过程求和，有
解得
62
