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第40 讲 带电粒子在复合场中的运动
目录
01 课标达标练.......................................................................................................................................................1
题型01 带电粒子在电、磁组合场中的运动..............................................................................................1
题型02 带电粒子在磁、磁组合场中的运动..............................................................................................6
题型03 回旋加速器.........................................................................................................................................10
题型04 质谱仪.................................................................................................................................................14
题型05 带电粒子磁场与重力场的叠加场中的运动.....................................................................................16
题型06 带电粒子在电场与磁场的叠加场中的运动................................................................................19
题型07 带电体在叠加场中有约束的运动.....................................................................................................23
题型08 磁流体发电机..................................................................................................................................... 27
题型09 电磁流量计.......................................................................................................................................... 29
题型10 带电粒子在交变场中的运动........................................................................................................33
02 核心突破练...................................................................................................................................................... 38
03 真题溯源练.....................................................................................................................................................50
01 带电粒子在电、磁组合场中的运动
1．（2025·安徽合肥·模拟预测）（多选）如图所示，一质量为m、电荷量为q 的带正电粒子从边界上O 点
射入磁场，入射方向与边界成45°角。当粒子第一次运动到电场中的P 点时速度大小为
、方向与边界平
行，且P 点与O 点水平方向相距3L，P 点与边界相距L。不计粒子的重力，下列说法正确的是（ ）
1
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A．粒子从O 点射入磁场时的速度大小为
B．粒子第一次射入电场时的速度大小为
C．匀强电场的场强大小为
D．匀强磁场的磁感应强度大小为
【答案】ACD
【详解】AB．若粒子第一次在电场中到达最高点P，则其运动轨迹如图所示
粒子在O 点时的速度大小为v，
段为圆周，
段为抛物线，根据对称性可知，粒子在Q 点时的速度大
小也为v，方向与x 轴正方向成45°角，可得
解得
，选项A 正确，B 错误；
C．在粒子从Q 运动到P 的过程中，由动能定理得
解得
，选项C 正确；
2
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D．在匀强电场由Q 到P 的过程中，水平方向的位移为
竖直方向的位移为
可得
，
由
故粒子在
段圆周运动的半径
及
解得
，选项D 正确。
故选ACD。
2．（2025·陕西宝鸡·一模）（多选）医生常用CT 扫描机给病人检查病灶，CT 机的部分工作原理如图所示。
电子从静止开始经加速电场加速后，沿水平方向进入垂直纸面的矩形匀强磁场，最后打在靶上的P 点，
产生X 射线。已知MN 间的电压为U， 磁场的宽度为d， 电子的比荷为k， 电子离开磁场时的速度偏转
角为θ， 则下列说法正确的为（ ）
A．偏转磁场的方向垂直纸面向里
B．电子进入磁场的速度大小为
C．电子在磁场中做圆周运动的半径为
D．偏转磁场的磁感应强度大小为
【答案】AC
【详解】A．电子经电场加速后进入磁场向下偏转，由左手定则知偏转磁场的方向垂直纸面向里，故A 正
确；
B．电子加速过程，由动能定理可得
3
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解得
故B 错误；
CD．如图所示，电子在匀强磁场中做匀速圆周运动
由洛伦兹力作为向心力可得
由几何关系可得
联立解得半径为
磁感应强度的大小为
故C 正确，故D 错误。
故选AC。
3．（24-25 高三上·安徽·阶段练习）如图所示，在平面直角坐标系xOy 的第一象限内有沿y 轴负方向的匀
强电场，第二象限内有一半径为R 的圆形匀强磁场区域，磁感应强度大小为B，方向垂直于坐标平面向外，
磁场的边界圆刚好与两坐标轴相切于P、Q 两点。P 点处有一粒子源，粒子源在坐标平面内均匀地向磁场
区域的各个方向射出质量为m、电荷量为q 的带正电粒子，粒子射出的初速度大小相同，沿y 轴正向射出
的粒子恰好通过Q 点，其中粒子a 经磁场、电场偏转后最终通过x 正半轴上离O 点最远的出射点M 点（图
中未画出），粒子b 恰好通过x 轴上OM 的中点，不计粒子的重力及粒子间的相互作用，求：
4
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(1)粒子从P 点射出的速度大小v0；
(2)粒子a、b 在磁场中运动的时间之比。
【答案】(1)
(2)3
【详解】（1）沿y 轴正向射入的粒子恰好通过Q 点，则粒子在磁场中做圆周运动的轨迹半径为
根据牛顿第二定律有
解得
（2）由于粒子的运动半径与磁场区域半径相等，根据几何关系可知从磁场区域射出的粒子均垂直于y 轴进
入电场，由于粒子的速度相等，方向垂直电场线方向，粒子在电场中做类平抛运动，粒子a 在电场中射程
最远，所以时间最长，从P 点进入磁场方向沿x 轴负方向，在磁场中转半个圆周进入电场中，对粒子a 分
析，在磁场中运动时间为
（T 为粒子在磁场中做圆周运动的周期）
在电场中有
，
对粒子b 分析，在电场中有
，
解得
5
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根据几何关系可知，粒子b 在磁场中运动的时间为
所以粒子a、b 在磁场中运动的时间之比为
4． 如图所示，纸面内边长为d 的正方形区域ABCD 内，有一磁感应强度大小为
、方向垂直于纸面向里
的匀强磁场，在AB 的上方有一电场强度大小为E、方向垂直AB 向下的匀强电场。现将一质量为m、电荷
量为q 的带正电粒子从DA 延长线上的O 点由静止释放，结果粒子通过A 点后恰好从C 点射出磁场。不计
粒子所受的重力。
(1)求O、A 两点间的距离
；
(2)若O 点可以在DA 的延长线上移动，要使粒子通过A 点后不会从B 点左侧（包括B 点）进入电场区域，
求O、A 两点间的距离x 应满足的条件。
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设粒子通过A 点时的速度大小为
，根据动能定理则有
根据几何关系可知，粒子在磁场中做圆周运动的半径
洛伦兹力提供粒子做圆周运动所需的向心力，则有
6
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解得
（2）根据几何关系可知，在粒子通过A 点后不进入电场区域而直接到达B 点的情况下，粒子在磁场中做
圆周运动的半径
设此种情况下粒子在磁场中做圆周运动的线速度大小为
，则有
设此种情况下O、A 两点间的距离为
，根据动能定理则有
解得
因此，要使粒子通过A 点后不会从B 点左侧（包括B 点）进入电场区域，O、A 两点间的距离x 应满足的
条件为
02 带电粒子在磁、磁组合场中的运动
5．（25-26 高三上·安徽·开学考试）（多选）某科学仪器用如图所示的磁场控制带电粒子的运动．两磁场
区域Ⅰ、Ⅱ足够长，宽度分别为
、
，磁感应强度大小分别为
、
，且满足
，一带正电粒子
从Ⅰ的左边界以某一速度射入磁场，速度方向与磁场Ⅰ左边界的夹角为
．不计粒子重力，关于粒
子的运动，下列说法正确的是（ ）
A．粒子可能从磁场Ⅰ的左边界离开磁场
B．粒子可能从磁场Ⅱ的右边界离开磁场
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C．如果粒子从磁场Ⅱ的右边界射出磁场，则射出速度一定与刚进入磁场时的速度相同
D．如果粒子从磁场Ⅱ的右边界射出磁场，则射出速度可能与刚进入磁场时的速度不相同
【答案】ABC
【详解】AB．粒子进入磁场后做圆周运动，当速度较小时可能从磁场Ⅰ的左边界射出，当速度较大时可能
从磁场Ⅱ的右边界射出，A、B 正确；
CD．设粒子的电荷量为
，入射速度为，从磁场Ⅱ的右边界射出时，速度方向与右边界的夹角为
，如
图所示，由几何关系可得
，
根据洛伦兹力提供向心力可知
粒子做圆周运动的半径
又
解得
，故粒子从右边界出射时的速度方向与从左边界入射时的速度方向相同，由于洛伦兹力不做功，
射出磁场时速度大小也不变，C 正确、D 错误。
故选ABC。
6．（25-26 高三上·安徽·开学考试）（多选）如图所示，在平面直角坐标系的第一、二象限内存在方向垂
直坐标平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为4B，在第三、四象限内也存在方向垂直坐标平面向外的匀
强磁场，磁感应强度大小为B．一带负电的粒子从坐标原点沿y 轴正方向以初速度
射入磁场中，恰好在
坐标（0，-L）处与挡板MN 发生碰撞。带电粒子与挡板碰撞前后x 轴方向速度保持不变，y 轴方向速度大
小不变，方向相反。不计粒子所受的重力，则
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A．带电粒子的比荷为
B．带电粒子的比荷为
C．带电粒子再次回到原点的时间为
D．带电粒子再次回到原点的时间为
【答案】AC
【详解】AB．题意可知粒子轨迹如图
设带电粒子的电荷量为q，质量为m，由洛伦兹力提供向心力
可得粒子在第一、二象限运动的半径为
在第三、四象限运动的半径为4r，由几何关系可知
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可得
联立解得带电粒子的比荷为
故A 正确，B 错误；
CD．对称性可知粒子在第一、二象限运动时间
对称性可知粒子在第三、四象限运动时间
则带电粒子再次回到原点的时间为
故C 正确，D 错误。
故选AC。
7．（2025·河北·二模）如图所示，分别在平面直角坐标系
的第二、三象限加垂直纸面向外、向里的匀
强磁场，磁感应强度大小均为
。从
点
发射比荷为
、带正电的粒子，速度大小为，方向与
轴夹
角，粒子恰能垂直穿过
轴，不计粒子重力。
(1)求
大小的可能值；
(2)求粒子到达
轴的时间；
【答案】(1)
(2)
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【详解】（1）设粒子在磁场中运动的半径为r，根据洛伦兹力提供向心力有
根据粒子恰能垂直穿过
轴可得
又
联立解得
（2）粒子在磁场中做圆周运动的周期为
根据小问（1）中的分析可知
粒子到达y 轴的时间为
联立解得
03 回旋加速器
8．（2025·河北沧州·一模）用如图所示的回旋加速器加速电荷量为
、质量为
的带电粒子，已知
形盒
半径为
，所加磁场磁感应强度大小为
间所接电压为
，粒子从图中
点开始加速，忽略两
形盒
间狭缝的宽度。下列说法正确的是（ ）
A．图中回旋加速器加速的带电粒子一定带正电
B．回旋加速器
、
之间所接高频交流电的周期为
C．回旋加速器加速后粒子的最大动能为
D．回旋加速器
形盒的半径
、磁感应强度
不变，则加速电压
越高，粒子飞出
形盒的动能
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越大
【答案】A
【详解】A．由左手定则可判断出图中回旋加速器加速的带电粒子一定是带正电的粒子，故A 正确；
B．为了保持始终加速，则交流电周期与粒子圆周运动周期相等，即
，故B 错误；
CD．在回旋加速器中，带电粒子每经过电场一次，获得动能
，根据洛伦兹力提供向心力有
，当粒子运动轨迹半径等于回旋加速器半径时，粒子速度最大，最大动能
，与加
速电压
无关，与
形盒的半径
的二次方成正比，所以
形盒的半径
、磁感应强度
不变，粒子飞出
形盒的最大动能不变，故CD 错误。
故选A。
9．（2025·海南·模拟预测）（多选）如图所示是医用回旋加速器示意图，其核心部分是两个D 形金属盒，
两金属盒置于匀强磁场中，并分别与高频电源相连，现分别加速氘核
和氦核
，下列说法中正确的是
（ ）
A．它们的最大速度相同
B．它们的最大动能相同
C．它们在D 形盒中运动被加速的次数相同
D．它们的高频电源的频率相同
【答案】ACD
【详解】A．设D 形盒的半径为R，则粒子最后射出磁场时有
解得最大速度
氘核和氦核的比荷相等，所以最大速度相等，故A 正确；
B．粒子获得的最大动能
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两粒子的比荷相等，但电荷量q 不相等，所以最大动能不相等，故B 错误；
C．粒子被加速的次数满足
，解得
两粒子的比荷相等，它们在D 形盒中运动被加速的次数相同，故C 正确；
D．带电粒子在磁场中运动的周期
两粒子的比荷相等，所以周期相等，因为回旋加速器所接高频电源的频率等于粒子做圆周运动的频率，所
以两次所接高频电源的频率相同，故D 正确。
故选ACD。
10．（多选）医用回旋加速器工作原理示意图如图甲所示，其工作原理是：带电粒子在磁场和交变电场的
作用下，反复在磁场中做回旋运动，并被交变电场反复加速，达到预期所需要的粒子能量，通过引出系统
引出后，轰击在靶材料上，获得所需要的核素。
时，回旋加速器中心部位O 处的灯丝释放的带电粒子
在回旋加速器中的运行轨道和加在间隙间的高频交流电压如图乙所示（图中为已知量）。若带电粒子的比
荷为k，忽略粒子经过间隙的时间和相对论效应，则（ ）
A．被加速的粒子带正电
B．磁体间匀强磁场的磁感应强度大小为
C．粒子被加速的最大动量大小与D 形盒的半径有关
D．带电粒子在D 形盒中被加速次数与交流电压有关
【答案】BCD
【详解】A．由题图乙可知
时
，粒子向右加速，故被加速的粒子带负电，故A 错误；
B．由题图乙可知交流电压的周期为
，粒子在回旋加速器中做圆周运动的周期与交流电压的周期相等，
粒子在磁场中运动时，洛伦兹力提供向心力有
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则
则
又
解得磁体间匀强磁场的磁感应强度大小为
故B 正确；
C．根据
可知，粒子被加速的最大动量大小与D 形盒的半径有关，故C 正确；
D．根据
解得
带电粒子在D 形盒中被加速次数与交流电压有关，故D 正确。
故选BCD。
04 质谱仪
11．（24-25 高三下·安徽阜阳·期中）某实验室质谱仪的简化模型如图所示，粒子源产生的比荷不同的无初
速度的带正电粒子，经过匀强电场加速后，竖直向下通过速度选择器，然后经过荧光屏的狭缝S 进入匀强
磁场，最后打在荧光屏上。已知速度选择器中匀强电场的电场强度（大小为E）方向与匀强磁场的磁感应
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强度（大小为B）方向相互垂直，且与粒子的速度方向垂直，荧光屏下方有垂直纸面向外的匀强磁场。粒
子重力不计，以下说法正确的是（ ）
A．粒子打在荧光屏上的点离狭缝S 越远，其在荧光屏下方磁场中的运动时间越短
B．不同比荷的粒子可能打在荧光屏上的同一点
C．能沿直线通过速度选择器的粒子的速度大小为
D．速度选择器中的磁场方向垂直纸面向里
【答案】C
【详解】CD．能沿直线通过速度选择器的粒子，满足
解得速度大小为
在速度选择器洛伦兹力与电场力方向相反，根据左手定则可知，速度选择器中的磁场方向垂直纸面向外，
故C 正确，D 错误；
B．粒子在荧光屏下方磁场中，由洛伦兹力提供向心力得
解得
由于不同比荷的粒子进入偏转磁场的速度大小相等，所以轨道半径不相等，不可能打在荧光屏上的同一点，
故B 错误；
A．根据
粒子打在荧光屏上的点离狭缝S 越远，粒子的轨道半径越大，则其在荧光屏下方磁场中的运动时间越长，
故A 错误。
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故选C。
12．（2025·广西南宁·三模）如图所示，CD 为两极板MN、PQ 的中心线，板长和板间距均为l。一带电粒
子以某一平行于极板的速度从C 点进入板间区域，粒子重力不计。当板间有垂直于纸面的匀强磁场B 和垂
直极板的匀强电场E 时，粒子恰好沿CD 运动。当板间只有匀强磁场B 时，粒子恰好从下极板边缘P 射出，
当板间只有匀强电场E 时，下列说法正确的是（ ）
A．粒子将从上极板边缘N 射出
B．粒子将打在上极板的中点
C．粒子将打在下极板的中点
D．粒子将从DQ 之间某点射出
【答案】B
【详解】当板间有垂直于纸面的匀强磁场B 和垂直极板的匀强电场E 时，粒子匀速运动
解得：
当只有磁场时，粒子的轨迹如图所示：
其圆周半径为
，由
可得：
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当板间只有匀强电场E 时，粒子向上偏转，做类平抛运动
解得：
所以当粒子打到上极板时，水平方向所走距离为
，粒子将打到上极板的中点，故B 符合题意。
故选B。
05 带电粒子磁场与重力场的叠加场中的运动
13．（2025·陕西汉中·二模）如图所示，带正电的小球竖直向下射入垂直纸面向里的匀强磁场，关于小球
运动和受力说法正确的是（ ）
A．小球刚进入磁场时受到的洛伦兹力水平向右
B．小球在磁场中做匀速圆周运动
C．小球运动过程的加速度保持不变
D．小球受到的洛伦兹力对小球做正功
【答案】A
【详解】A．根据左手定则，可知小球刚进入磁场时受到的洛伦兹力水平向右，故A 正确；
BC．小球受洛伦兹力和重力的作用，则小球运动过程中速度、加速度大小，方向都在变，小球不能做匀速
圆周运动，故BC 错误；
D．洛仑兹力对小球不做功，故D 错误。
故选A。
14．（2025·甘肃白银·模拟预测）（多选）如图所示为两个完全相同的倾角为
的绝缘固定斜面，以斜面中
垂线
为界，图甲中斜面的上半部分和图乙中斜面的下半部分空间分别存在磁感应强度大小均为
、方
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向均垂直纸面向里的匀强磁场。一质量为
、电荷量为
的小滑块（可视为质点）分别从两斜面的顶端
由静止释放后滑到斜面底端。小滑块在图甲中斜面运动时，小滑块经过斜面中点前瞬间的加速度为0，小
滑块经过斜面中点时的速度为
，到达斜面底端时的速度为
；小滑块在图乙中斜面运动时，小滑块经过
斜面中点时的速度为
，到达斜面底端时的速度为
。已知小滑块与斜面间的动摩擦因数均为
，重力加速度为g，下列说法正确的是（ ）
A．
B．
一定大于
C．
一定小于
D．
可能小于
【答案】ABC
【详解】A．在图甲中，小滑块在斜面的上半部分受到重力、摩擦力、支持力和洛伦兹力的作用。由于小
滑块经过斜面中点前瞬间的加速度为0，说明此时小滑块受到的合外力为0。设斜面的长度为L，则小滑块
在斜面中点时的速度为v1 中，此时的洛伦兹力为qBv1 中。根据平衡条件，有
解得
故A 正确；
B．图乙中前半段根据牛顿第二定律，有
图甲中前半段根据牛顿第二定律，有
由此可知
根据速度-位移公式，有
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可知
一定大于
，故B 正确；
CD．由上分析可知图甲中小滑块出磁场后做匀加速运动，到达底端的速度v1一定大于v1 中，图乙中小滑块
进磁场的速度一定大于v1 中，所以即小滑块进场将做减速运动，可能一直减速滑到最底端，也可能先减速
后匀速滑出磁场，所以v2不可能小于v1 中；从顶端滑到底端重力做功相同，乙种情况在磁场中的平均摩擦
力要大于甲种情况的平均摩擦力，即克服摩擦力做功乙种情况较大，所以v2一定小于v1，故C 正确，D 错
误。
故选ABC。
15． （多选）如图所示， 地面上方空间存在匀强磁场， 磁场方向垂直纸面向里。一质量为
、电荷量
为
的小球从距地面高处由静止释放，小球刚好不会撞到地面。不计空气阻力，重力加速度为
。
小球静止释放到第一次运动到最低点的过程中， 下列说法正确的是（ ）
A．小球的运动轨迹是圆的一部分
B．该过程中小球机械能守恒
C．小球的最大速度为
D．匀强磁场的磁感应强度大小为
【答案】BCD
【详解】A．小球运动过程中，受到重力和洛伦兹力的作用，所受合外力大小和方向都在变，其运动轨迹
不是圆的一部分，故A 错误；
B．小球运动过程中，受到重力和洛伦兹力的作用，洛伦兹力始终不做功，只有重力势能和动能的相互转
化，机械能守恒，故B 正确；
C．小球静止释放到第一次运动到最低点的过程中，由动能定理得
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解得
，故C 正确；
D．对小球由动量定理得有
其中
解得
，故D 正确。
故选BCD。
16．（25-26 高三上·江苏南京·开学考试）如图是霍尔推进器某局部区域的等效原理图，在Oxy 平面内存在
垂直坐标平面向里的匀强磁场。质量为m、电荷量为q 的带电微粒，从O 点沿x 轴正方向水平入射。入射
速度为v0时，带电微粒沿x 轴做匀速直线运动；入射速度小于v0时，带电微粒的运动轨迹如图中的虚线所
示，且在最高点与在最低点所受的合力大小相等。重力加速度为g，不计带电微粒间相互作用。求：
(1)磁感应强度的大小B；
(2)若带电微粒入射速度为
，则运动到纵坐标
时，带电微粒的速度大小v1；
(3)若带电微粒入射速度在0<v<v0范围内均匀分布，则能到达纵坐标
位置的微粒数N 占总微粒数N0
的百分比。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）入射速度为v0时，带电微粒沿x 轴做匀速直线运动，说明重力和洛伦兹力平衡，可得
20
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解得磁感应强度的大小
（2）带电微粒入射速度为
，运动到纵坐标
，设此时微粒的速度大小为
洛伦兹力不做功，只有重力做功，根据动能定理
解得
（3）设初速度为
的粒子刚好能到达纵坐标
位置，根据动能定理
根据微粒子在最高点与在最低点所受的合力大小相等，可得
联立解得
微粒入射速度在0<v<v0范围内均匀分布，故能到达纵坐标
位置的微粒数N 占总微粒数N0的百分比
为
06 带电粒子在电场与磁场的叠加场中的运动
17．（2025·北京海淀·三模）如图所示的MNPQ 区域内有竖直向上的匀强电场和沿水平方向的匀强磁场，
现有两个带电微粒
、
均从边界
的
点处先后沿水平方向进入该区域中，并都恰能做匀速圆周运动，
则下列说法错误的是（ ）
A．a、b 两微粒均带正电
B．a、b 两微粒在该区域运动周期一定相等
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C．a、b 两微粒在该区域运动的圆周运动半径一定相等
D．仅增加磁场强度a、b 一定都能做匀速圆周运动
【答案】C
【详解】A．电场方向竖直向上，重力与电场力平衡，即
电场力向上，故微粒带正电（正电荷受力与电场方向相同），A 正确；
B．圆周运动周期
由
得
则
（与微粒质量、电荷量无关），故a、b 周期相等，B 正确；
C．圆周运动半径
定值，但v 未知（两微粒初速度可能不同），故半径不一定相等，C 错误；
D．仅增加磁场强度B，重力与电场力仍平衡，洛伦兹力
增大，但只要满足
，微粒仍可做匀速
圆周运动（洛伦兹力提供向心力 ），D 正确。
本题选错误的，故选C。
18． 2021 年中国全超导托卡马克核聚变实验装置创造了新的纪录。为粗略了解等离子体在托卡马克环形
真空室内的运动状况，某同学将一小段真空室内的电场和磁场理想化为方向均水平向右的匀强电场和匀强
磁场（如图），电场强度大小为
，磁感应强度大小为
。若电荷量为
的正离子在此电场和磁场中运动，
某时刻其速度平行于磁场方向的分量大小为
，垂直于磁场方向的分量大小为
，不计离子重力，则（
）
A．电场力的瞬时功率不变
22
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B．该离子的加速度大小保持不变
C．该离子受到的洛伦兹力大小为
D．
与
的比值保持不变
【答案】B
【详解】A．根据运动的叠加原理可知，离子在垂直于纸面内做匀速圆周运动，沿水平方向做加速运动，
则v1增大，根据功率的计算公式可知电场力的瞬时功率为P=Eqv1，可知电场力的瞬时功率增大，故A 错误；
B．离子受到的电场力不变，洛伦兹力大小不变，方向总是与电场力方向垂直，则该离子的加速度大小不
变，方向改变；故B 正确。
C．由于v1与磁场B 平行，v2与磁场B 垂直，离子受到的洛伦兹力为F 洛=qv2B，故C 错误；
D．根据运动的叠加原理可知，离子在垂直于纸面内做匀速圆周运动，沿水平方向做加速运动，则v1增大，
v2不变，
与
的比值不断增大，故D 错误；
故选B。
19．（2025·安徽·模拟预测）（多选）如图所示，竖直平面内存在垂直纸面向里的匀强磁场和竖直向上的
匀强电场，将两个相距很近的带电小球c、d 分别同时向左、右两边水平抛出，两者均做匀速圆周运动，
c、d 做圆周运动的半径分别为
、，经过一段时间，两球相碰，碰撞后粘在一起运动。已知小球c 的
电荷量是小球d 的电荷量的两倍，两球均可视为点电荷，不计空气阻力和两球之间的库仑力。下列说法正
确的是（ ）
A．小球c 带正电，小球d 带负电
B．小球c 的质量一定是小球d 的两倍
C．碰撞后整体做圆周运动的半径为
D．碰撞后整体做圆周运动的周期是
【答案】BC
【详解】AB．由于两球均在匀速圆周运动，可知两球受到的电场力与重力平衡，则、
两球均带正电，
23
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设、
两球的质量和带电量分别为
、
、
、
，则有
，
可得
故A 错误，B 正确；
C．碰撞后两小球粘在一起运动，整体的动量为
根据牛顿第二定律
解得
则
，
则整体做圆周运动的半径为
故C 正确；
D．粒子在磁场中做圆周运动的周期
则碰撞后整体的周期为
又根据题意两小球经过一段时间相碰，该时间恰好等于小球和
做圆周运动的周期，即
故D 错误。
故选BC。
20．（2025·四川巴中·模拟预测）如图所示，与水平面成37°的倾斜轨道AC，其延长线在D 点与光滑半圆
轨道DF 相切。半圆轨道的半径
，全部轨道为绝缘材料制成且位于竖直面内。整个空间存在水平向
左的匀强电场，电场强度
，MN 的右侧存在垂直纸面向里的匀强磁场（C 点处于MN 边界上），
磁感应强度
。一质量为0.2kg 的带电小球沿轨道AC 下滑至C 点，接着沿直线CD 运动到D 处进入
半圆轨道，且能沿半圆轨道通过F 点，不计空气阻力，
，
。求：
24
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(1)小球电性和电荷量q；
(2)小球通过F 点时对轨道的压力大小。
【答案】(1)带正电，
(2)
【详解】（1）在
段做直线运动，分析可知，
段受力平衡，故有
解得
根据平衡可知小球带正电。
（2）设小球在
段运动的速度为
，
段受力平衡，有
解得
小球从
运动到
，根据动能定理得
解得
小球通过
点时受到轨道的弹力为
，则
解得
由牛顿第三定律得小球对轨道的压力大小
07 带电体在叠加场中有约束的运动
21．（2025·宁夏银川·三模）如图所示，在水平匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场中，有一竖直足够长
固定绝缘杆MN，小球P 套在杆上，已知P 的质量为m，电量为
，电场强度为E、磁感应强度为B，P 与
杆间的动摩擦因数为
，重力加速度为g，小球由静止开始下滑直到稳定的过程中（ ）
25
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A．小球的加速度一直减小
B．小球的机械能和电势能的总和保持不变
C．下滑加速度为最大加速度一半时的速度可能是
D．下滑加速度为最大加速度一半时的速度可能是
【答案】C
【详解】A．小球由静止开始下滑过程，对小球，有牛顿第二定律有
由于小球速度从0 开始增大，可知加速度先向下增大，当
后加速度向下减小到0 后反向增大，故
A 错误；
B．在下降过程中有摩擦力做功，故有部分能量转化为内能，故机械能和电势能的总和将减小，故B 错误；
CD．当洛仑兹力等于电场力时，摩擦力为零，此时加速度为g，达到最大，即
当加速度方向向下且大小为
时，有
解得
当加速度方向向上且大小为
时，有
解得
故C 正确，D 错误。
故选C。
22．（2025·江苏南京·二模）如图，绝缘环a、b 质量均为m，带电量均为+q，分别套在固定的水平绝缘杆
上，环的直径略大于杆的直径，环与杆的动摩擦因数均为
，两杆分别处于竖直向下的匀强电场E 和匀强
26
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磁场B 中，分别给两环水平向右的初速度v0，两环向右运动直至停下，下列说法不正确的是（ ）
A．摩擦力对两环的冲量相同
B．摩擦力对两环做的功相同
C．若两环最终位移相同，则a 环运动时间较短
D．若两环最终运动时间相同，则a 环位移较短
【答案】D
【详解】A．由题意，两环向右运动直至停下的过程中，两环所受合力沿杆水平向左，且大小等于受到的
摩擦力，对两环根据动量定理有
显然摩擦力对两环的冲量相同，故A 正确；
B．对两环，根据动能定理有
显然摩擦力对两环做的功相同，故B 正确；
C．对环a 受力分析可知，在竖直方向上，环受到竖直向下的电场力，重力，竖直向上的支持力作用，且
环水平方向上受到的摩擦力
显然环a 做匀减速直线运动直至停下；对环b 受力分析可知，环水平方向上受到的摩擦力
显然环b 做加速度逐渐减小的减速直线运动直至停下；若两环最终位移相同，可画出如图所示
图像
27
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由图像可知
，a 环运动时间较短,故C 正确；
D．根据选项C 分析可知，若两环最终运动时间相同，则a 环
图像围成的面积较大，则其位移较长，故
D 错误。
由于本题选择错误的，故选D。
23．（2025·河北·模拟预测）（多选）如图所示，竖直平面内固定一足够长绝缘直杆，与水平面间的夹角
为
。杆处于足够大的匀强磁场中，磁场方向垂直于杆所在平面，磁感应强度大小为B。一个带负电的环
套在杆上，环与绝缘直杆间的动摩擦因数为
。将环由静止释放到环速度到
过程中，当环的
速度为
时其加速度最大，环的最大速度为
。重力加速度为g，下列说法正确的是（ ）
A．环受到的洛伦兹力一直增大
B．环受到杆的弹力一直减小
C．环的最大加速度为
D．
【答案】AD
【详解】A．环在杆上先做加速运动，当达到最大速度以后做匀速运动，根据f=qvB 可知，环由静止释放
到环速度到
过程中，环受到的洛伦兹力一直增大，选项A 正确；
BC．环受到的洛伦兹力方向向上，开始阶段
环受到杆垂直杆向上的弹力，随速度增加，洛伦兹力增加，则环受到杆的弹力减小；当
时，摩擦力为零，此时加速度最大，此时
28
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最大加速度为
以后洛伦兹力继续增加时
环受到杆的弹力垂直杆向下且逐渐变大，可知环受到杆的弹力先减小后增加，选项BC 错误；
D．当速度最大时加速度为零，则
解得
解得
，选项D 正确。
故选AD。
24．（2025·福建宁德·三模）（多选）如图甲所示，在垂直纸面向里的匀强磁场中，倾角为
的足够长的
传送带以恒定的速率顺时针转动，一质量为0.1kg，带电量为0.1C 的物块从传送带的底端静止释放，其运
动的
图像如图乙所示。已知物块与传送带间的动摩擦因数为0.8，重力加速度
取
，则
（ ）
A．物块可能带负电
B．传送带的速率可能大于
C．磁场的磁感应强度大小为0.25T
D．前6s 内物块的位移大小为4.5m
【答案】BC
【详解】A．设物块带负电，根据左手定则可知，物块受到垂直斜面向右下方的洛伦兹力，还有重力、支
持力和沿斜面向上的滑动摩擦力，根据牛顿第二定律有
由乙图可知，物块是做加速度不断减小的加速运动，即加速度
不断减小，所以滑动摩擦力
也不断减小；
又根据
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随着速度不断增大，支持力
不断增大，根据
可知滑动摩擦力
不断增大，故前后判断不一致，故物块不可能带负电，应是带正电，物块受的洛伦兹力
应垂直斜面向左上方，其他力的方向不变，根据牛顿第二定律有
可知随加速度
不断减小，所以滑动摩擦力
也不断减小；
根据
随着速度不断增大，支持力
不断减小，根据
可知滑动摩擦力
不断减小，故前后判断一致，所以物块带正电，故A 错误；
C．根据牛顿第二定律有
在垂直斜面方向上有
又
联立解得
由乙图可知，当加速度
时速度
，则有
代入数据解得
故C 正确；
B．由C 项分析，可知只要传送带的速度大于等于2m/s，则物块达到最大速度的条件与传送带的速度无关，
所以传送带的速度可能是2m/s，也有可能是大于2m/s，故B 正确；
D．对物块运动的前6s，由动量定理
带入数据可得 x=5m
故D 错误。
故选BC。
08 磁流体发电机
25．（多选）目前世界上正研究的一种新型发电机叫磁流体发电机，如图所示表示它的发电原理：将一束
等离子体（即高温下电离的气体，含有大量带正电和负电的粒子，而从整体来说呈中性）沿图中所示方向
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喷射入磁场，磁场中有两块金属板A、B，这时金属板上就聚集了电荷，在磁极如图中所示的情况下，下列
说法正确的是（ ）
A．A 板带正电
B．有电流从b 经用电器流向a
C．金属板A、B 间的电场方向向下
D．等离子体发生偏转的原因是离子所受洛伦兹力大于所受电场力
【答案】BD
【详解】等离子体喷射入磁场中时，由左手定则判断知，正粒子受到的洛伦兹力方向竖直向下，由于粒子
所受洛伦兹力大于所受电场力，正粒子向B 板运动；负粒子受到的洛伦兹力方向竖直向上，由于粒子所受
洛伦兹力大于所受电场力，负粒子向A 板运动，故A 板带负电，B 板带正电，所以电流从b 经用电器流向
a，金属板间的电场方向向上。
故选BD。
26． 如图所示为利用水流发电的实验设想，两块面积均为的矩形金属板正对放置在河水中，板间距离为
，水流速度大小为，方向水平向左，两金属板与水流方向平行，水面上方有一阻值为
的电阻通过绝
缘导线和开关连接到金属板上。假设该处地磁场磁感应强度竖直向下的分量为
，水的电阻率为
，不
计边缘效应，则开关闭合时，下列说法正确的是（ ）
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A．稳定时，电路中电流大小为
B．电阻
中的电流方向为
C．若仅将金属板的正对面积加倍，则水流发电机的功率将加倍
D．若仅使水流的速度加倍，则水流发电机的功率将变为原来的4 倍
【答案】D
【详解】A.设稳定时产生的感应电动势为E，两板间有一带电荷量为q 的离子匀速运动受力平衡，根据平
衡条件可得
可得水流发电机的电动势
内阻
根据欧姆定律，电路中的电流
故A 项错误；
B.根据左手定则，前侧金属板带正电，则电阻
中的电流方向为
，故B 项错误；
C.水流发电机的功率
金属板的正对面积加倍时，水流发电机的功率不加倍，故C 项错误；
D.水流速度加倍时，水流发电机的功率将变为原来的4 倍，故D 项正确。
故选D。
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09 电磁流量计
27．（2025·北京大兴·三模）电磁流量计广泛应用于测量可导电液体（如污水）在管中的流量（单位时间
内通过管内横截面的流体的体积）。为了简化，假设流量计是如图所示的横截面为长方形的一段管道，其
中空部分的长、宽、高分别为图中的
、
、，流量计的两端与输送流体的管道相连接（图中虚线）。
图中流量计的上、下两面是金属材料，前后两面是绝缘材料，现于流量计所在处加磁感应强度为
的匀强
磁场，磁场方向垂直于前后两面，当导电流体稳定地流经流量计时，在管外将流量计上、下两表面分别与
一串联了电阻
的电流表的电路连接，
表示测得的电流值，已知流体的电阻率为
，不计电流表的内阻，
则（ ）
A．流量为
B．流量为
C．若污水浓度变大，则流体的电阻率变大
D．若流体的电阻率变小，则上下两板间电势差将变大
【答案】D
【详解】AB．当洛伦兹力与电场力平衡时，则处于稳定状态，则有
解得
根据电阻定律
则总电阻R 总=r+R
所以解得
所以流量
，故AB 错误；
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CD．若污水浓度变大，液体导电性能增加，流体的电阻率变小，因上下极板的电动势U=cBv 一定，则此
时回路电流变大，上下极板的电势差
，则上下两板间电势差将变大，故C 错误，D 正确。
故选D。
28．（2025·山东青岛·模拟预测）人体血管状况及血液流速能反映出身体健康状态，为了研究这一课题，
我们做如下的简化和假设：如图所示，某段血管内径为d，血流速度方向水平向右，血液中含有大量的正
负离子，血管处于磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向外的匀强磁场中，M、N 是血管上侧和下侧对称
的两个位置。血液流量Q 保持不变，下列说法正确的是（ ）
A．M 点电势高于N 点电势
B．血液流速大小
C．M、N 两点间的电势差
D．当血液中粒子浓度升高时，M、N 两点间的电势差变大
【答案】C
【详解】A．根据左手定则，可知负电荷向上偏，故M 点电势低于N 点电势，故A 错误；
B．由题可得，血液流量
解得
故B 错误；
C．稳定时，粒子所受洛伦兹力等于所受的电场力，则有
解得
故C 正确；
D．根据
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可知M、N 两点间的电势差U 与血液中粒子的浓度无关，故D 错误。
故选C。
29．（2025·浙江·模拟预测）石墨烯是一种由碳原子组成的呈蜂巢晶格结构的单层二维纳米材料，利用如
图所示的电路可测量石墨烯样品的载流子的浓度（即
内所含电子个数）。在石墨烯表面加方向垂直向
里，磁感应强度为
的匀强磁场，在电极1、3 间通以恒定电流
，则电极2、4 间将产生电压
。已知电
子的电荷量为，则该样品的载流子浓度为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】该样品中的载流子为电子，设样品中每平方米电子数为
，电子定向移动的速率为，2、4 间的
距离为
，则时间内有电子通过的面积为
，时间内通过样品的电荷量
根据电流的定义式得
当电子稳定通过样品时，其所受电场力与洛伦兹力平衡，有
联立解得
故选C。
30．（25-26 高三上·山东德州·开学考试）（多选）电磁流量计可以测量导电液体的流量Q——单位时间内
流过管道横截面的液体体积。如图所示，内壁光滑的薄圆管由非磁性导电材料制成，空间有垂直管道轴线
的匀强磁场，磁感应强度为B。液体充满管道并以速度v 沿轴线方向流动，圆管壁上的M、N 两点连线为
直径，且垂直于磁场方向，M、N 两点的电势差为U0。下列说法正确的是（ ）
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A．N 点电势比M 点低
B．U0正比于流量Q
C．在流量Q 一定时，管道半径越小，U0越小
D．若直径MN 与磁场方向不垂直，测得的流量Q 偏小
【答案】BD
【详解】A．根据左手定则可知，正离子向下偏，负离子向上偏，故N 点电势比M 点高，故A 错误；
BC．设管道半径为r，稳定时，离子受到的洛伦兹力与电场力平衡有
，
联立解得
故U0正比于流量Q，流量Q 一定时，管道半径越小，U0越大，故B 正确，C 错误；
D．若直径MN 与磁场方向不垂直，根据
可知，此时式中磁场强度为磁感应强度的一个分量，即
此时测量时代入的磁场强度偏大，故测得的流量Q 偏小，故D 正确。
故选BD。
31． （多选）安装在排污管道上的流量计可以测量排污流量Q，流量为单位时间内流过管道横截面的流
体的体积，如图所示为流量计的示意图，左右两端开口的长方体绝缘管道的长、宽、高分别为a、b、c，
所在空间有垂直于前后表面、磁感应强度大小为B 的匀强磁场，在上、下两个面的内侧固定有金属板M、
N，污水充满管道从左向右匀速流动，测得M、N 间电势差为U，污水流过管道时受到的阻力大小
，
k 是比例系数，L 为管道长度，v 为污水的流速，则（ ）
A．电压U 与污水中离子浓度无关
B．污水的流量
C．金属板M 的电势低于金属板N 的电势
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D．左、右两侧管口的压强差
【答案】AD
【详解】AC．污水中的离子受到洛伦兹力，正离子向上极板聚集，负离子向下极板聚集，所以金属板M 的
电势大于金属板N 的电势，从而在管道内形成匀强电场，最终离子在电场力和洛伦兹力的作用下平衡，即
解得
可知电压
与污水中离子浓度无关，故A 正确，C 错误；
B．污水的流量为
故B 错误；
D．污水流过该装置受到的阻力为
污水匀速通过该装置，则两侧的压力差等于阻力，即
则
故D 正确。
故选AD。
10 带电粒子在交变场中的运动
32．（2025·江苏宿迁·模拟预测）如图1 所示，圆心为O、半径为R 的圆形有界磁场。磁感应强度B 在一个
周期T 内的变化规律如图2 所示（周期T 满足T=2t0+ Δt，T、t0、Δt 均未知，B0大小可调），0~t0时间磁场
方向垂直纸面向里。边界a 点处有一电子枪，电子经电压加速后，于t=0 时刻沿直径ab 进入磁场。电子的
初速度、重力不计，比荷为k。
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(1)若已知加速电压为U0，电子进入磁场后运动t0时间速度偏转90°打到边界上。求对应磁感应强度B0的大
小；
(2)保持（1）中B0、t0不变，当Δt=2t0时，调节加速电压，电子进入磁场后恰能击中磁场边界上的b 点，求
加速电压U 与U0的关系；
(3)若T 已知，调节加速电压为U1，电子进入磁场后经过一个周期T 恰能回到发射点，且运动过程中恰好不
打到磁场边界，求加速电压U1。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）设电子进磁场时速度大小为，电子在电场中，根据动能定理有
又因为
联立解得
由于电子运动
时间速度偏转
打到边界上，可知电子轨道半径r 与磁场圆半径R 相等，即
又因为电子在磁场中
联立以上解得
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（2）为使电子能击中磁场边界上的
点，且当
时，电子需运动
个整周期才能回到虚线
，故
因为电子在磁场中
电子在电场中，根据动能定理有
又因为
联立解得
（3）经过一个周期
后恰能回到发射点，作出运动轨迹，如图所示
由图可知ΔABC 为等边三角形，故
且运动过程中恰好不打到磁场上边界，根据几何关系有
且
又因为
，
联立解得
33．（2025·河北石家庄·三模）如图所示，在平面直角坐标系xOy 内，以O1（0，R）为圆心、半径为R 的
区域Ⅰ内存在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场。第二象限有一平行于y 轴、宽度为2R
的线状电子源，电子源中心与O₁ 等高。在x 轴上放置一定长度的薄收集板，收集板左端置于原点O 处。x
轴下方区域Ⅱ存在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向外的匀强磁场。电子源沿x 轴正方向均匀发射质
量为m、电荷量为e、速度相同的电子，射入圆形磁场区域后经O 点全部进入区域Ⅱ（收集板左端不会挡
住经过O 点的电子），只有一半数量的电子打到收集板上并被吸收。忽略电子重力和电子间相互作用。
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(1)求电子源发射电子的初速度v 的大小；
(2)求该收集板的长度；
(3)现撤去区域Ⅱ的磁场，然后在x≥0 且y≤0 区域加垂直纸面方向的磁场，磁感应强度B'随x 轴坐标变化的
规律如图乙所示，规定垂直纸面向外为磁场的正方向。电子源正对O1点以原初速度射向区域Ⅰ的电子运动
轨迹经过点（R，-kR），其中k>0 且为已知量。求该电子轨迹上横坐标为4R 的点的纵坐标。
【答案】(1)
(2)
(3)-4kR
【详解】（1）电子在区域I 内做圆周运动，设轨道半径为R₁，根据牛顿运动定律
电子运动的轨道半径等于圆形磁场的半径：R1=R
解得
（2）做出电子在磁场中运动的轨迹如图，距离电子源中心位置
的粒子打在O 点时，速度方向分布在y
轴左右两侧，与y 轴夹角均为30°。由题意可知，距离电子源中心位置大于
的区域粒子直接打到收集板
上，其它电子均不能打到收集板上。
40
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做出速度方向与y 轴左右两侧夹角均为30°角的电子在区域II 运动的轨迹，两电子在区域II 内运动的轨迹圆
心角为120°和240°；设收集板的长度为l，根据几何关系得
因为区域Ⅱ磁场磁感应强度也为B，故r=R
解得
（3）正对O1点射向区域Ⅰ的电子在区域I 内做
圆周运动，运动的轨道半径等于圆形磁场的半径R，电子
从O 点沿y 轴负方向射出，速度大小为v，运动轨迹如下图。设y 轴正向为正，经时间△t，由动量定理得：
所以
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设题中乙图图像与x 轴围成的面积为S，则
在0~R 间，
解得电子经过点（R，-kR）时沿y 轴负方向分速度
0~R 全程洛伦兹力不做功，速率不变。可知电子经过点（R，-kR）时沿x 方向分速度
在R~2R 间，电子沿y 轴负方向分速度由0 增大到v，沿x 方向分速度由v 减小到0，电子在轴负方向的位
移与0~R 间的相同，之后重复运动，故该电子轨迹上横坐标为4R 的点的纵坐标为-4kR。
34．（2025·安徽·模拟预测）如图所示为一块长、宽、厚分别为a、b、c 的长方体霍尔元件，元件中沿AC
方向通入恒定电流I，元件处在垂直于元件上、下表面的匀强磁场中，M、N 间的霍尔电压为
，元件中
载流子为带电量为q 的负电荷，单位体积内的载流子个数为n，则下列说法正确的是（ ）
A．仅增大厚度，霍尔电压
增大
B．仅增大宽度，霍尔电压
减小
C．仅增大厚度，每个载流子受到的洛伦兹力增大
D．仅增大宽度，每个载流子受到的洛伦兹力减小
【答案】D
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【详解】AB．负电荷q 受力平衡可得
根据电流的微观表达式可知，
解得
所以前、后表面间的电压U 与c 成反比，与长度a 和宽度b 无关，故AB 错误；
CD．每个载流子受到的洛伦兹力
仅增大宽度b，每个载流子受到的洛伦兹力减小，故C 错误，D 正确。
故选D。
35．（2025·安徽滁州·二模）（多选）如图所示，长方体ABCD-A1B1C1D1所在空间存在与BD 方向平行的匀
强磁场，磁感应强度大小为B0，一质量为m、带电量为+q 的带电粒子以一定的速度从A 点沿AA1方向射入
长方体区域，并恰好从C1点离开该区域。已知AB=AD=l，AA1=
，不计粒子的重力。下列说法正确的
是（ ）
A．磁场方向由D 指向B
B．粒子的速度大小为
C．若仅增大粒子的入射速度，则粒子在长方体区域内运动的时间将减小
D．若在该区域增加一匀强电场使粒子沿AA1做直线运动，则该电场的电场强度大小为
【答案】BC
【详解】A．带电粒子从A 点沿AA1方向射入长方体区域，并恰好从C1点离开该区域，即向斜上方偏转，
由左手定则，磁场方向由B 指向D，选项A 错误；
43
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B．粒子在A 点受洛伦兹力方向指向C 点，粒子又经过C1点，因
且
可知粒子做圆周运动的圆心在C 点，粒子做圆周运动的轨道半径为
根据
可得粒子的速度大小为
选项B 正确；
C．若仅增大粒子的入射速度，则粒子轨道半径变大，粒子在长方体区域内圆弧所对的圆心角减小，根据
可知，粒子运动的时间将减小，选项C 正确；
D．若在该区域增加一匀强电场使粒子沿AA1做直线运动，则需满足
解得该电场的电场强度大小为
选项D 错误。
故选BC。
36．（2025·安徽·模拟预测）（多选）空间内存在方向水平向左的匀强电场
和磁感应强度大小
、
方向垂直纸面向里的匀强磁场（图中均未画出）。一质量
、带电荷量
的小球从
点由静
止释放，小球在竖直面内的运动轨迹如图中实线所示，轨迹上的A 点离OB 最远且与OB 的距离为
，已
知
。重力加速度
取
。下列说法正确的是（ ）
A．小球经过A 点时的速度为
B．小球经过A 点时的速度最大
44
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C．
D．
【答案】BD
【详解】AB．由题知
即重力与电场力大小相等，由于两者方向垂直，则两力的合力大小为
根据配速法，由于小球在O 点处于静止，可将小球在O 点的速度分解为垂直于合力F 方向向上的
和与垂
直于合力F 方向向下（即为图中虚线方向）的
，两个分速度大小相等，方向相反，且使得垂直于合力F
方向向下的分速度对应的洛伦兹力与合力F 平衡，则小球的运动，可以分解为沿虚线向下的匀速直线运动，
与初速度为沿虚线向上的匀速圆周运动，则有
，
可得
，
由于轨迹上的A 点离OB 最远，可知匀速圆周分运动恰好运动了半个周期，此时圆周运动的分速度方向平
行于虚线向下，即小球的两个分速度方向相同，则合速度最大，即小球经过A 点时的速度最大，且最大值
为
，故A 错误，B 正确；
CD．由上分析可知小球距离虚线OB 最远的距离
，故C 错误，D 正确。
故选BD。
37．（2025·福建·模拟预测）（多选）霍尔推进器某局部区域可抽象成如图所示的模型。Oxy 平面内存在竖
直向下的匀强电场和垂直坐标平面向里的匀强磁场，磁感应强度为
。质量为
、电荷量为的电子从
点沿
轴正方向水平入射。入射速度为
时，电子沿
轴做直线运动；入射速度小于
时，电子的运动轨
迹如图中的虚线所示，且在最高点与在最低点所受的合力大小相等。不计重力及电子间相互作用。若电子
入射速度在
范围内均匀分布，下列说法正确的是（ ）
45
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A．电场强度
B．若电子入射速度为
，运动到速度为
时位置的纵坐标为
C．若电子入射速度为
，最大运动速度为
D．能到达
位置的电子的百分比为
【答案】AC
【详解】A．根据题意，入射速度为
时，电子沿
轴做直线运动，竖直方向受力平衡，有
解得
故A 正确；
B．电子在竖直向下的匀强电场和垂直坐标平面向里的匀强磁场的复合场中，由于洛伦兹力不做功，且由
于电子入射为
，则电子受到电场力大于洛伦兹力，则电子向上偏转，根据动能定理有
解得
故B 错误；
C．若电子入射速度为
，由于电子在最高点与最低点所受的合力大小相等，则在最高点有
在最低点有
46
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联立解得
故C 正确；
D．设以速度射入时能到达
位置，对该位置电子进行分析，根据动能定理有
由C 选项中有
，联立解得
可知能到达
位置的电子的百分比为
，故D 错误。
故选AC。
38．（2025·山西吕梁·二模）（多选）威尔逊云室是显示高能带电粒子径迹的装置。为更好地研究带电粒
子的径迹，某研究小组设计的磁场分布如图所示，在坐标xOy 平面（纸面）的一、四象限内存在垂直纸面
向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。一比荷为
的带正电的粒子从坐标为
的P 点以大小
为
的速度垂直y 轴射入磁场，若粒子进入磁场后受到了与速率成正比、与速度方向相反的阻力，观察发
现该粒子轨迹呈螺旋状并与y 轴相切于Q 点（未画出）。不计粒子重力，下列说法正确的是（ ）
A．粒子由P 点运动到Q 点的时间为
B．粒子由P 点运动到Q 点的时间为
C．Q 点的纵坐标为L
D．Q 点的纵坐标为
【答案】AC
47
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【详解】AB．粒子的运动轨迹如图所示
根据洛伦兹力提供向心力有
可得
即角速度为一定值，又可知粒子与磁场左边界相切时转过的弧度为
，则有
故A 正确，B 错误；
CD．取一小段时间
，设水平方向速度为
，竖直方向速度为
，对粒子在
方向上列动量定理
两边同时对过程求和
得
即
其中
则
结合
得
所以
点纵坐标为
故C 正确，D 错误。
故选AC。
48
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39．（2025·安徽六安·模拟预测）如图所示，
平面内有两个匀强磁场，y 轴左侧的磁场垂直纸面向外，
磁感应强度大小为
，y 轴右侧的磁场垂直纸面向里，磁感应强度大小为
。质量为m、电荷
量为
的粒子，从x 轴上A 点
以速度
沿y 轴正方向射入磁场，恰好能垂直y 轴击中其上D
点
，若该粒子从O 点仍以相同大小速度
沿与x 轴正方向成
角射出，
，经过磁场偏转
后能击中D 点，不计粒子重力。求：
(1)比例系数k 的数值；
(2)粒子由O 运动到D 的时间的所有可能值（计算结果用d、
表示）；
(3)若从x 正半轴上M 点以相同大小速度
沿某方向发射该粒子，也恰好垂直y 轴击中D 点，M 距O 点的距
离（计算结果用d 表示）；
【答案】(1)
(2)
，
(3)
【详解】（1）由题意可知
恰好能垂直y 轴击中其上D 点，则有
49
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带电粒子在磁场中运动，有
因
，则
当n=1，N=1 时符合题意，如图所示，得
解得
（2）①若粒子从y 轴左侧击中D 点，有
即
因
，即
，解得
所以
，
粒子由O 到D 的时间为
②若粒子从y 轴右侧击中D 点，有
即
，因
，即
，解得
所以
，
粒子由O 到D 的时间为
（3）设
的方向与x 轴正半轴的夹角为
，如图所示，同（1）理有
50
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解得
，
M 距O 点的距离为
40．（2025·安徽黄山·一模）如图所示，质量为m，下端封闭、上端开口且内壁光滑的绝缘玻璃管竖直放
置，管底有一带正电的小球，电量为q，质量也为m。空间存在足够大且垂直纸面向里的水平匀强磁场，
磁感应强度
。在斜向上的外力作用下，玻璃管在磁场中由静止开始做水平向右的匀加速直线运动，
加速度大小为
，最终小球从上端开口飞出。设运动过程中小球的电荷量始终保持不变，重力加速度g 取
10 m/s2。则：
(1)求小球在玻璃管内脱离底部之前的运动时间；
(2)已知小球飞出玻璃管前的运动时间t = 2 s，求小球运动到玻璃管最高点时的加速度大小；
(3)如果小球在玻璃管内脱离底部之后外力保持不变，求玻璃管的最大速度大小（此时小球未飞出玻璃管）。
【答案】(1)0.8 s
(2)
(3)
【详解】（1）设小球在玻璃管内脱离底部之前经历的运动时间为t1，水平方向速度为v0，小球脱离底部时，
51
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有
且
联立可得
（2）小球在玻璃管中向上运动时间为t2，显然
竖直方向
代入数据可得竖直方向最大加速度
故合加速度为
代入数据可得
（3）设玻璃管匀速时玻璃管的速度为v1，此时小球相对玻璃管的速度为v2，当小球刚刚脱离玻璃管底端时
水平方向
因为玻璃管达最大速度，加速度为0，所以
解得
竖直方向对小球列动量定理
又玻璃管水平位移
该过程中对系统水平方向列动量定理
52
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又小球竖直位移
该过程中对系统列动能定理
联立解得
41．（2025·天津河西·三模）利用电磁场使质量为
、电荷量为的电子发生回旋共振可获取高浓度等离子
体，其简化原理如下。如图甲所示，匀强磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为
：电场强度大小为
、平行于纸面的匀强电场绕着过
点且垂直纸面的轴顺时针旋转；旋转电场带动电子加速运动，使其获
得较高能量，高能电子使空间中的中性气体电离，生成等离子体。
(1)电子在运动的过程中，洛伦兹力对电子 （选填“做功”或“不做功”）。
(2)若空间中只存在匀强磁场，电子只在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，求电子做圆周运动的角速度
。
(3)将电子回旋共振简化为二维运动进行研究。施加旋转电场后，电子在如图乙所示的平面内运动，电子在
运动过程中受到与其速度方向相反的气体阻力
，式中
为已知常量。最终电子会以与旋转电场相
同的角速度做匀速圆周运动，且电子的线速度与旋转电场力的夹角（小于
）保持不变。只考虑电子受
到的匀强磁场洛伦兹力、旋转电场电场力及气体阻力作用，不考虑电磁波引起的能量变化。
（i）若电场旋转的角速度为
，求电子最终做匀速圆周运动的线速度大小；
（ii）旋转电场对电子做功的功率存在最大值，为使电场力的功率不小于最大功率的一半，电场旋转的角
53
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速度应控制在
范围内，求
的数值。
【答案】(1)不做功
(2)
(3)（i）
；（ii）
【详解】（1）洛伦兹力的方向时刻与速度方向垂直，故电子在运动的过程中，洛伦兹力对电子不做功；
（2）电子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动
解得
（3）（i）设电场力方向与速度方向的夹角为
，沿圆轨迹的半径方向有
沿圆轨迹的切线方向有
解得
（ii）设电场力方向与速度方向的夹角为
，旋转电场对电子做功的功率为
当
时，电场对电子做功的功率最大
当
时，有
解得
，
则
42．（2025·西藏日喀则·二模）如图所示，空间中存在一长方体
区域，
，
，
，中间有一竖直截面
，
，
区域中存在沿
方向的匀
强电场，电场强度
，
区域存在沿
方向的匀强磁场（未画出），质量为
、
54
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电荷量为
的正粒子以初速度
从
点沿
方向射入电场，从
边上的
点（未画出）进入磁场，发
现粒子恰好不能从上、下底面和前、后侧面飞出，不计粒子重力。求：
(1)
的长度；
(2)粒子从射入电场到射出磁场的时间；
(3)磁感应强度的大小。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）电场中粒子做类平抛运动，根据平抛运动规律
根据牛顿第二定律可得
，
联立解得
，
（2）磁场中粒子做等距螺旋线运动，水平方向做匀速直线运动
解得
运动时间
55
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故总时间
（3）洛伦兹力提供圆周运动的向心力，则有
粒子运动的周期
若轨迹与
相切，则有
此时
故粒子未达
即出射，不符合题意；
若轨迹与
相切，则有
此时
粒子恰好从
边出射，可得
联立解得
43．（2025·广东·高考真题）某同步加速器简化模型如图所示，其中仅直通道PQ 内有加速电场，三段圆弧
内均有可调的匀强偏转磁场B。带电荷量为
、质量为m 的离子以初速度
从P 处进入加速电场后，沿顺
时针方向在加速器内循环加速。已知加速电压为U，磁场区域中离子的偏转半径均为R。忽略离子重力和
相对论效应，下列说法正确的是（ ）
56
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A．偏转磁场的方向垂直纸面向里
B．第1 次加速后，离子的动能增加了
C．第k 次加速后．离子的速度大小变为
D．第k 次加速后，偏转磁场的磁感应强度大小应为
【答案】D
【详解】A．直线通道
有电势差为
的加速电场，粒子带正电，粒子沿顺时针方向运动，由左手定则可
知，偏转磁场的磁感应强度方向垂直纸面向外，故A 错误；
BC．根据题意，由动能定理可知，加速一次后，带电粒子的动能增量为
，由于洛伦兹力不做功，则加
速k 次后，带电粒子的动能增量为
，加速k 次后，由动能定理有
解得
故BC 错误；
D．粒子在偏转磁场中运动的半径为
，则有
联立解得
57
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故D 正确。
故选D。
44．（2024·湖北·高考真题）（多选）磁流体发电机的原理如图所示，MN 和PQ 是两平行金属极板，匀强
磁场垂直于纸面向里。等离子体（即高温下电离的气体，含有大量正、负带电粒子）从左侧以某一速度平
行于极板喷入磁场，极板间便产生电压。下列说法正确的是（ ）
A．极板MN 是发电机的正极
B．仅增大两极板间的距离，极板间的电压减小
C．仅增大等离子体的喷入速率，极板间的电压增大
D．仅增大喷入等离子体的正、负带电粒子数密度，极板间的电压增大
【答案】AC
【详解】A．带正电的离子受到的洛伦兹力向上偏转，极板MN 带正电为发电机正极，A 正确；
BCD．离子受到的洛伦兹力和电场力相互平衡时，此时令极板间距为d，则
可得
因此增大间距U 变大，增大速率U 变大，U 大小和密度无关，BD 错误C 正确。
故选AC。
45．（2024·天津·高考真题）如图所示，在
平面直角坐标系的第一象限内，存在半径为R 的半圆形匀
强磁场区域，半圆与x 轴相切于M 点，与y 轴相切于N 点，直线边界与x 轴平行，磁场方向垂直于纸面向
里。在第一象限存在沿
方向的匀强电场，电场强度大小为E．一带负电粒子质量为m，电荷量为q，从
M 点以速度v 沿
方向进入第一象限，正好能沿直线匀速穿过半圆区域。不计粒子重力。
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(1)求磁感应强度B 的大小；
(2)若仅有电场，求粒子从M 点到达y 轴的时间t；
(3)若仅有磁场，改变粒子入射速度的大小，粒子能够到达x 轴上P 点，M、P 的距离为
，求粒子在磁
场中运动的时间
。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）根据题意可知，由于一带负电粒子能沿直线匀速穿过半圆区域，由平衡条件有
解得
（2）若仅有电场，带负电粒子受沿
轴负方向的电场力，由牛顿第二定律有
又有
联立解得
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（3）根据题意，设粒子入射速度为
，则有
可得
画出粒子的运动轨迹，如图所示
由几何关系可得
解得
则轨迹所对圆心角为
，则粒子在磁场中运动的时间
46．（2024·湖南·高考真题）如图，有一内半径为2r、长为L 的圆筒，左右端面圆心O′、O 处各开有一小
孔。以O 为坐标原点，取O′O 方向为x 轴正方向建立xyz 坐标系。在筒内x ≤ 0 区域有一匀强磁场，磁感应
强度大小为B，方向沿x 轴正方向；筒外x ≥ 0 区域有一匀强电场，场强大小为E，方向沿y 轴正方向。一
电子枪在O′处向圆筒内多个方向发射电子，电子初速度方向均在xOy 平面内，且在x 轴正方向的分速度大
小均为v0。已知电子的质量为m、电量为e，设电子始终未与筒壁碰撞，不计电子之间的相互作用及电子
60
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的重力。
（1）若所有电子均能经过O 进入电场，求磁感应强度B 的最小值；
（2）取（1）问中最小的磁感应强度B，若进入磁场中电子的速度方向与x 轴正方向最大夹角为θ，求tanθ
的绝对值；
（3）取（1）问中最小的磁感应强度B，求电子在电场中运动时y 轴正方向的最大位移。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）电子在匀强磁场中运动时，将其分解为沿x 轴的匀速直线运动和在yOz 平面内的匀速圆周运
动，设电子入射时沿y 轴的分速度大小为
，由电子在x 轴方向做匀速直线运动得
在yOz 平面内，设电子做匀速圆周运动的半径为R，周期为T，由牛顿第二定律知
可得
且
由题意可知所有电子均能经过O 进入电场，则有
联立得
当
时，B 有最小值，可得
61
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（2）将电子的速度分解，如图所示
有
当
有最大值时，
最大，R 最大，此时
，又
，
联立可得
，
（3）当
最大时，电子在电场中运动时沿y 轴正方向有最大位移
，根据匀变速直线运动规律有
由牛顿第二定律知
又
联立得
47．（2025·湖南·高考真题）如图。直流电源的电动势为
，内阻为
，滑动变阻器R 的最大阻值为
，
62
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平行板电容器两极板水平放置，板间距离为d，板长为
，平行板电容器的右侧存在方向垂直纸面向里
的匀强磁场。闭合开关S，当滑片处于滑动变阻器中点时，质量为m 的带正电粒子以初速度
水平向右从
电容器左侧中点a 进入电容器，恰好从电容器下极板右侧边缘b 点进入磁场，随后又从电容器上极板右侧
边缘c 点进入电容器，忽略粒子重力和空气阻力。
(1)求粒子所带电荷量q；
(2)求磁感应强度B 的大小；
(3)若粒子离开b 点时，在平行板电容器的右侧再加一个方向水平向右的匀强电场，场强大小为
，求
粒子相对于电容器右侧的最远水平距离
。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）粒子在电容器中做类平抛运动，水平方向做匀速直线运动有
竖直方向做匀变速直线运动
，
由闭合回路欧姆定律可得
联立可得
63
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（2）根据题意，设粒子进入磁场与竖直方向的夹角为
，则有
，
粒子在磁场中做匀速圆周运动有
由几何关系易得
联立可得
（3）取一个竖直向上的速度使得其对应的洛伦兹力和水平向右的电场力平衡，则有
解得
粒子以
速度向上做匀速直线运动，粒子做圆周运动的合速度的竖直方向分速度为
此时合速度与竖直方向的夹角为
合速度为
粒子做圆周运动的半径
最远距离为
48．（2024·浙江·高考真题）探究性学习小组设计了一个能在喷镀板的上下表面喷镀不同离子的实验装置，
截面如图所示。在xOy 平面内，除x 轴和虚线之间的区域外，存在磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向
外的匀强磁场，在无磁场区域内，沿着x 轴依次放置离子源、长度为L 的喷镀板P、长度均为L 的栅极板
M 和N（由金属细丝组成的网状电极），喷镀板P 上表面中点Q 的坐标为（1.5L，0），栅极板M 中点S
的坐标为（3L，0），离子源产生a 和b 两种正离子，其中a 离子质量为m，电荷量为q，b 离子的比荷为a
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离子的
倍，经电压U=kU0（其中
，k 大小可调，a 和b 离子初速度视为0）的电场加速后，沿
着y 轴射入上方磁场。经磁场偏转和栅极板N 和M 间电压UNM调控（UNM>0），a 和b 离子分别落在喷镀板
的上下表面，并立即被吸收且电中和，忽略场的边界效应、离子受到的重力及离子间相互作用力。
（1）若U=U0，求a 离子经磁场偏转后，到达x 轴上的位置x0（用L 表示）。
（2）调节U 和UNM，并保持
，使a 离子能落到喷镀板P 上表面任意位置，求：
①U 的调节范围（用U0表示）；
②b 离子落在喷镀板P 下表面的区域长度；
（3）要求a 和b 离子恰好分别落在喷镀板P 上下表面的中点，求U 和UNM的大小。
【答案】（1）L；（2）①
；②
；（3）
，
【详解】（1）对a 离子根据动能定理得
a 离子在匀强磁场中做匀速圆周运动
a 离子经磁场偏转后，到达x 轴上的位置
，联立解得
（2）①要使a 离子能落到喷镀板P 上表面任意位置，只能经电压为U 的电场加速后再经第一象限匀强磁
场偏转一次打在P 板上方任意处，则
结合（1）中分析得
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即
即
②b 离子经过电压为U 的电场加速后在磁场中第一次偏转打在x 轴上的位置坐标为
代入
得
故可知b 离子能从栅极板（坐标范围为
）任意位置经电压为
的电场减速射入虚线下方的磁场，
此时
b 离子先经过电压为U 的电场加速再在第一象限磁场中做匀速圆周运动后再经过电压为
的电场减速，因为根据动能定理得
同时有
，
当
时，b 离子从栅极板左端经虚线下方磁场偏转打在P，此时离栅极板左端的距离为
当
时，b 离子从栅极板右端经虚线下方磁场偏转打在P，此时离栅极板右端的距离为
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故b 离子落在喷镀板P 下表面的区域长度为
（3）要求a 离子落在喷镀板中点Q，由（1）可知
故可得
则b 离子从
处经过栅极板，若b 离子减速一次恰好打在P 板下方中央处，设
，则同理可
知
联立解得
则可得
当减速n 次
联立得
当减速n 次恰好打在P 板下方中央处，可得
67
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即
解得
即
，n 取整数，故可得
，故可得
68
