文档文本内容
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第31 讲 电容器 带电粒子在电场中的运动
目
录
01 考情解码· 命题预警.........................................................................................................................................2
02 体系构建 ·思维可视.........................................................................................................................................4
03 核心突破· 靶向攻坚.........................................................................................................................................4
考点一 电容器、电容的理解 ......................................................................................................................4
知识点一 电容器及平行板电容器............................................................................................................5
知识点二 电容的理解................................................................................................................................5
考向 电容器、电容的理解..........................................................................................................................5
考点二 平行板电容器的动态分析 ............................................................................................................8
知识点 电容器两类问题的比较................................................................................................................8
考向1 两板间电压不变...............................................................................................................................9
考向2 两极板电荷量不变..........................................................................................................................11
考向3 电容器综合分析.............................................................................................................................13
考点三 实验：观察电容器的充、放电现象 ..........................................................................................16
知识点一 实验分析..................................................................................................................................17
知识点二 实验创新..................................................................................................................................17
考向 实验：观察电容器的充、放电现象................................................................................................17
考点四 带电粒子(带电体)在电场中的直线运动 ...................................................................................20
知识点 做直线运动的条件......................................................................................................................20
考向1 带电粒子在电场中的直线运动.....................................................................................................21
考向2 带电体在静电力和重力等作用下的直线运动.............................................................................24
考点五 带电粒子在匀强电场中的偏转 .............................................................................................26
知识点 基本规律......................................................................................................................................26
考向1 带电粒子在匀强电场中的类平抛运动.........................................................................................27
考向2 带电体在静电力和重力等作用下的类平抛运动.........................................................................30
考向3 带电粒子在组合场中的运动.........................................................................................................33
考点六 带电粒子在交变电场中的运动 ..................................................................................................38
知识点 粒子运动特点分析......................................................................................................................38
考向 带电粒子在交变电场中的运动....................................................................................................38
考点七 带电粒子在重力场和电场中的圆周运动 ..................................................................................43
知识点 等效重力场及其特点..................................................................................................................43
考向 带电粒子在重力场和电场中的圆周运动........................................................................................44
考点八 电场中的力、电综合问题 ......................................................................................................47
知识点一 用动力学的观点分析..............................................................................................................47
知识点二 用能量的观点分析..................................................................................................................48
考向 用动力学和能量的观点分析力、电综合问题................................................................................48
04 真题溯源 ·考向感知......................................................................................................................................51
1
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2
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考点要求
考察形式
2025 年
2024 年
2023 年
平行板电容器的
动态分析
选择题
非选择题
实验：观察电容
器的充、放电现
象
选择题
非选择题
带电粒子(带电
体)在电场中的
直线运动
选择题
非选择题
带电粒子在匀强
电场中的偏转
选择题
非选择题
带电粒子在交变
电场中的运动
选择题
非选择题
带电粒子在重力
场和电场中的圆
周运动
选择题
非选择题
安徽卷T10，5 分
电场中的力、电
综合问题
选择题
非选择题
实验：观察电容
器的充、放电现
象
选择题
非选择题
安徽卷T9，6 分
考情分析：
“带电粒子在电场中的运支”的考查多以选择题形式出现，主要以压轴单选或多选题出现，经常综合动量
或磁场进行结合考查。新高考后“实验：观察电容器的充、放电现象”出现在实验题内进行考查也经常出
现，偶尔也会也计算题形式出现且综合磁场与动量等知识进行考查
试题情境
多以学习探索问题情境为主，近年也有少量生活实践问题情境。
复习目标：
目
一：
标
掌握
粒子在
中的各种运
（如直
运
、
平抛运
、
周运
）的
理方法及条件
带电
电场
动
动
动
动
线
类
圆
处
。
目
二：
标
掌握平行板
容器的
分析两种情况。
电
动态
3
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考点一 电容器、电容的理解
知识点一 电容器及平行板电容器
(1)组成：由两个彼此绝缘又相距很近的导体组成。最简单的电容器是平行板电容器。
(2)影响因素：平行板电容器的电容与极板的正对面积成正比，与两极板间电介质的相对介电常数成正比，
与极板间的距离成反比。
(3)决定式：C ＝
，
k 为静电力常量。
4
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（4）常用电容器：从构造上看，可分为固定电容器和可变电容器。
知识点二 电容的理解
(1)定义：电容器所带的电荷量Q 与电容器两极板之间的电势差U 之比，叫作电容器的电容。其中“电容
器所带的电荷量Q”，是指一个极板所带电荷量的绝对值。
(2)定义式：C＝。推论：C＝。
(3)单位：法拉(F)，1 F＝10
6 μF＝10
12 pF。
(4)物理意义：表示电容器储存电荷的特性。
得分速记
1．击穿电压与额定电压：加在电容器两极板上的电压不能超过某一限度，超过这个限度，电介质将被击
穿，电容器损坏，这个极限电压叫作击穿电压；电容器外壳上标的电压是工作电压，或称额定电压，这个
数值比击穿电压低。；
2．决定因素：电容C 的大小由电容器本身结构(大小、形状、两极板相对位置及电介质)决定，与电容器是
否带电及所带电荷量(或两端所加电压)无关。。
考向 电容器、电容的理解
例 （2025·上海·一模）莱顿瓶可看作电容器的原型，一个玻璃容器内外包裹导电金属箔作为极板，一端接
有金属球的金属棒通过金属链与内侧金属箔连接，但与外侧金属箔绝缘。从结构和功能上来看，莱顿瓶可
视为一种早期的平行板电容器。
关于莱顿瓶，下列说法正确的是（ ）
A．充电电压一定时，玻璃瓶瓶壁越薄，莱顿瓶能容纳的电荷越多
B．瓶内外锡箔的厚度越厚，莱顿瓶容纳电荷的本领越强
C．充电电压越大，莱顿瓶容纳电荷的本领越强
D．莱顿瓶的电容大小与玻璃瓶瓶壁的厚度无关
【答案】A
【详解】A．根据
5
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解得
充电电压一定时，玻璃瓶瓶壁越薄，d 越小，莱顿瓶能容纳的电荷Q 越多，A 正确；
B．根据
瓶内外锡箔的厚度与电容大小无关，因此锡箔纸厚度增加，C 不变，莱顿瓶容纳电荷的本领不变，B 错误；
C．根据
充电电压与电容C 大小无关，充电电压升高，莱顿瓶容纳电荷的本领不变，C 错误；
D．根据
莱顿瓶的电容大小与玻璃瓶瓶壁的厚度d 有关，D 错误。
故选A。
电容C＝，不能理解为电容C 与Q 成正比、与U 成反比，一个电容器电容的大小是由电容器本身的因素决
定的，与电容器是否带电及带电多少无关。
【变式训练1】（2025·江苏盐城·模拟预测）如图为特殊材料薄板，电阻可视为零，质量为0.99kg，厚度为
，前后两个侧面是边长为
的正方形。当在整个空间加上方向水平且平行于正方形侧面的磁
感应强度大小为100T 的匀强磁场时，薄板自由下落在垂直于侧面方向形成电流
，使得薄板的加速度相比
自由落体时减小了百分之一，两侧面积聚电荷可以看成电容器，其电容值为
，薄板下落过程中始终保持
竖直，且不计空气阻力，重力加速度取
。则下列说法正确的是（ ）
A．薄板下落过程中形成后侧面流向前侧面的电流
B．薄板下落过程前后两个侧面的电荷量先增大后不变
C．薄板减少的重力势能全部转化为薄板的动能
D．电流
等于0.99A，电容器的电容为1F
【答案】D
【详解】A．由题意知安培力竖直向上，根据左手定则可知，电流方向是由前向后流的，故A 错误；
B．薄板的加速度恒定，所以安培力恒定，形成的电流是个恒定值，前后两个侧面的电荷量会不断地随着
时间均匀增加，故B 错误；
6
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C．减小的重力势能转化为薄板的动能及电容器的电势能，以及电容器向外辐射的电磁波的能量，故C 错
误；
D．薄板的加速度相比自由落体时减小了百分之一，即
则
，故D 正确。
故选D。
【变式训练2·变考法】（2025·北京东城·一模）闪电是由云层中所积累的电荷放电引起的，通常是云层底
部带正电荷，云层下方的地面会感应出负电荷，当云层底部与地面间的电场强度增大到
时
击穿空气，发生短时放电现象，形成闪电。某圆盘形云朵底部与地面的距离
，该云朵与地面间
的电场强度恰好达到
时发生闪电，放电电流随时间变化的简化函数图像如图所示。假设该次放电将云朵
所带电荷全部放掉，云朵和地面构成的电容器可视为理想的平行板电容器。下列说法不正确的是（ ）
A．这次放电释放的总电荷量
B．这次放电过程中的平均电流
C．该等效电容器的电容值
D．放电前该电容器存储的电能
【答案】D
【详解】A．根据
可知
图像与轴围成面积表示电荷量，则这次放电释放的总电荷量
故A 正确；
B．这次放电过程中的平均电流
故B 正确；
C．云朵和地面的电势差
该等效电容器的电容值
故C 正确；
D．放电前该电容器存储的电能
故D 错误。
7
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本题选不正确项，故选D。
考点二 平行板电容器的动态分析
知识点 电容器两类问题的比较
(1)U 不变
①根据C＝＝先分析电容的变化，再分析Q 的变化。
②根据E＝分析场强的变化。
③根据UAB＝E·dAB＝φA－φB分析某点电势变化。
(2)Q 不变
①根据C＝＝先分析电容的变化，再分析U 的变化。
②根据E＝＝分析场强变化。
得分速记
分类
充电后与电池两极相连
充电后与电池两极断开
不变量
U
Q
d 变大
C 变小→Q 变小、E 变小
C 变小→U 变大、E 不变
S 变大
C 变大→Q 变大、E 不变
C 变大→U 变小、E 变小
εr变大
C 变大→Q 变大、E 不变
C 变大→U 变小、E 变小
考向1 两板间电压不变
例1 （2025·宁夏银川·模拟预测）在如图所示的电路中，电介质板与被测量的物体A 相连，当电介质向左
或向右移动时，通过相关参量的变化可以将A 定位。开始时单刀双掷开关接1，一段时间后将单刀双掷开
关接2。则下列说法正确的是（ ）
A．开关接1 时，x 增大，平行板电容器的电荷量增大
B．开关接1 时，x 减小，电路中的电流沿顺时针方向
C．开关接2 时，x 减小，静电计的指针偏角增大
8
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D．开关接2 时，x 增大，平行板间的电场强度不变
【答案】B
【详解】A．开关接1 时，平行板电容器两极板间电压
恒定，x 增大，则相对介电常数
减小，根据
可知，电容
减小，根据
可知，平行板电容器的电荷量
减小，故A 错误；
B．由上述分析可知，开关接1 时，x 减小，则平行板电容器的电荷量
增大，电源为电容器充电，电路中
的电流沿顺时针方向，故B 正确；
CD．开关接2 时，平行板电容器的电荷量
不变，x 减小，则电容
增大，根据
可知，电容器两极
板间的电压
减小，静电计的指针偏角减小，又根据
可知，x 增大，则平行板间的电场强度增大，
故CD 错误。
故选B。
运用电容的定义式和决定式分析电容器相关量变化的思路
(1)确定不变量，分析是电压不变还是所带电荷量不变。
(2)用决定式C＝分析平行板电容器电容的变化。
(3)用定义式C＝分析电容器所带电荷量或两极板间电压的变化。
(4)用E＝分析平行板电容器两极板间电场强度的变化。
【变式训练1】（2025·山西临汾·三模）一种计算机键盘采用电容式传感器，每个键下面由相互平行的活动
极板和固定极板组成，如图甲所示，其内部电路如图乙所示。按键前两极板间距为d，按下某键，只有该
键的电容改变量不小于原电容的40%时，键盘才有感应，下列说法正确的是（ ）
A．按键的过程中，电容器的电荷量不变
B．按键的过程中，图乙电流计中电流从a 流向b
C．要使传感器有感应，至少要将按键按下
D．要使传感器有感应，至少要将按键按下
【答案】D
9
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【详解】AB．按键的过程中，电容器两板间距减小，根据
可知电容C 变大，两板电压U 一定，根据Q=CU 可知，电容器的电荷量增加，电容器充电，则按键的过程
中，图乙电流计中电流从b 流向a，故AB 错误；
CD．根据
，
解得
则要使传感器有感应，至少要将按键按下
故C 错误，D 正确。
故选D。
【变式训练2】（2025·浙江·模拟预测）近些年的研究发现少部分材料呈现出反常的“热缩冷胀”现象，这
类材料被称为负热膨胀材料。如图所示，平行板电容器接电压恒定的电源，上极板固定，下极板能随负热
膨胀材料的变化做微小移动，一带电油滴悬浮在极板间，若发现油滴向上移动，则（ ）
A．油滴带正电
B．电容器电容变小
C．极板所带电荷量增大
D．负热膨胀材料温度升高
【答案】C
【详解】A．由图可知，极板间电场方向向下，又初态带电油滴受力平衡，则油滴所受电场力向上，油滴
带负电，A 错误；
D．若油滴向上移动，则油滴所受电场力变大，即板间电场强度
变大。由于极板间电压
不变，由
可知极板间距离
变小，则材料膨胀，结合其“热缩冷胀”的性质可知，负热膨胀材料温度降低，D 错误；
B．
变小，由
可知
变大，B 错误；
C．
不变，
变大，由
可知极板所带电荷量增大，C 正确。
故选C。
考向2 两极板电荷量不变
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例2 （2025·广东惠州·模拟预测）（多选）可拉伸电容器在智能穿戴等柔性电子产品中应用广泛，其核心
结构由可变形电极和离子凝胶电介质组成，如图所示。当电容器拉伸时，极板面积和电介质的厚度
均
发生变化。其体积
保持不变。充电后与电源断开的电容器。在缓慢左右绝缘拉伸过程中，下列判断
正确的是（ ）
A．电容器的电荷量不变
B．电容器两电极间电压不变
C．电容器的电容与
成正比
D．电容器中的电场强度与
成正比
【答案】AD
【详解】A．电容器充电后与电源断开，电容器的电荷量不变，故A 正确；
B．当电容器拉伸时其体积
保持不变，极板面积增加，电介质的厚度
减小。
由
可知电容器电容增大且电容器的电荷量不变，则电容器两电极间电压减小，故B 错误；
C．由
且
，可得
与
成反比，故C 错误；
D．电容器中的电场强度
，电容器中的电场强度与
成正比，故D 正
确。
故选 AD。
【变式训练1】 （多选）如图所示，两个平行板电容器AB 和A'B'水平放置，A 板用导线与B'板相连，B
板和A'板都接地，A、B'板带正电。电容器AB 电压为
，带电量为
；电容器A'B'电压为
，带电量为
，若将右边电容器间的绝缘介质抽出，则（ ）
A．
减小
B．
减小
C．
减小
D．
增大
【答案】BD
【详解】将绝缘介质抽出，由电容的决定式
可知
变小，
不变，其中
11
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不变，综合以上分析可知：
增加，
减小，
、
均增大。
故选BD。
【变式训练2】（2025·广东清远·二模）2024 年8 月我国科学家狄增峰团队成功研制出一种人造蓝宝石作
为绝缘介质的晶圆。这种材料具有卓越的绝缘性能，即使在厚度仅为1 纳米时也能有效阻止电流泄露，为
开发低功耗芯片提供了重要的技术支撑。如图所示，直流电源与一平行板电容器、理想二极管连接，电容
器A 板接地。闭合开关，电路稳定后，一带电油滴位于电容器中的P 点恰好处于静止状态。下列说法正确
的是（ ）
A．该带电油滴带负电
B．B 板下移，油滴将继续保持静止状态
C．减小极板间的正对面积，P 点处的电势升高
D．若两板间插入人造蓝宝石，则电容器的电容增大
【答案】ABD
【详解】A．油滴受重力和电场力作用，处于平衡状态。重力方向竖直向下，电场力方向竖直向上，A 板
带正电荷，因此该带电油滴带负电。故A 正确；
B．B 板下移，
增大，由
可知电容减小。由
可知，
减小，由于二极管具有单向导电性，
电容器不会放电，则由
可知电场强度不变，电场力不变，油滴将继续保持静止状态。故B 正确；
C．减小极板间的正对面积，由
可知
增大，由
可知A 板与P 点之间的电势差增大，A
板接地，电势始终为0，因此P 点处的电势降低。故C 错误；
D．两板间插入人造蓝宝石，
增大，由
可知电容增大。故D 正确。
故选ABD。
考向3 电容器综合分析
例3 （2025·河北张家口·一模）如图所示，D 是一只理想二极管，水平放置的平行板电容器的A、B 两极
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板间有一带电液滴，在
点处于静止状态。若保持极板
不动，当某同学分别从初始状态开始向不同方向
稍微平移极板A（移动极板A 后
点还在两极板之间）时，下列说法正确的是（ ）
A．极板A 向上移动过程中，静电计指针张角变小
B．极板A 向下移动过程中，静电计指针张角变大
C．极板A 向左移动过程中，液滴向下运动
D．极板
向左移动过程中，
点处电势升高
【答案】D
【详解】A．由图可知，电容器极板A 带正电，极板A 向上移动过程中，根据电容器的决定式
可知，电容器的电容减小，根据
可知，电容器所带电荷量将变小，电容器放电，但理想二极管D 阻止电容器放电，所以电容器所带电荷量
不变，则上下极板间电势差
变大，静电计指针张角变大，故A 错误；
B．电容器极板A 带正电，极板A 向下移动过程中，根据电容器的决定式
可知，电容器的电容增大，根据
可知，电容器所带电荷量将变大，电容器充电，上下极板间电势差不变，静电计指针张角不变，故B 错误；
CD．极板A 向左移动过程中，根据电容器的决定式
可知，电容器的电容减小，根据
可知，电容器所带电荷量将变小，电容器放电，但理想二极管D 阻止电容器放电，所以电容器所带电荷量
不变，则上下极板间电势差
变大，根据
可知，两极板间的电场强度增大，则液滴受到的竖直向上的电场力增大，液滴向上运动。设
点到下极板
的距离为
，则
点的电势为
所以
点处电势升高，故C 错误，D 正确。
故选D。
解决电容器板间场强问题的技巧
(1)在
不
的情况下
电压
变
，由E＝来判断
化
场强变
，场强E 只随板
距离而
。
间
变
(2)在
荷量保持不
的情况下
电
变
，由E＝＝＝知，
度与板
距离无关。
电场强
间
【变式训练1】（2025·湖南·模拟预测）（多选）如图1 所示，面积均为S 的正对平行金属板A、B 构成电
13
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容器，充电后与电源断开，A 板带正电荷
，板间距为
。现将厚度为、面积为S 的铜板置于A、B 正中
间，铜板上表面用
表示，下表面用
表示，如图2 所示。设空气的相对介电常数
，静电力常量为
，
则下列说法正确的是（ ）
A．图1 中板间电场强度大小
B．1、2 两图中A、B 板间电压之比为
C．图2 中铜板内部场强处处为0
D．铜板下表面
的感应电荷在铜板中心处产生的场强大小为
【答案】ACD
【详解】A．根据题意知
平行板电容器的电容
电容的定义式
匀强电场
各式联立得
，故A 正确；
B．插入铜板后相当于两个电容器串联，设每个电容器电容为C
则
串联总电容
插入铜板前电容器电容
由
得
，故B 错误；
C．铜板置于A、B 正中间处于静电平衡状态，由处于静电平衡状态导体的特点可知，铜板内部场强处处
为0，故C 正确；
D．由A 项分析可知，平行金属板A、B 正中心处的电场强度
14
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铜板内部场强处处为0，铜板中心处
由此得铜板上下表面感应电荷在铜板中心处产生的场强
，方向竖直向上
由场强叠加原理得铜板下表面
的感应电荷在铜板中心处产生的场强
负号表示方向竖直向上，故D 正确；
故选ACD。
【变式训练2】（2025·浙江湖州·三模）（多选）如图所示，真空中有一平行板电容器，两极板分别由金属
A 和金属B（其极限波长分别为
和
）制成，板的面积均为S，板间距离为d。现用波长为
的激光持续照射两板内表面，稳定后，则（ ）
A．A 板带正电，B 板带负电
B．仅d 增大，电容器带电荷量将减小
C．撤去激光，d 增大，板间电场强度将变小
D．若改用波长为
的激光照射，则产生的光电子运动的最远距离离B 板为
【答案】BD
【详解】A．因波长
，由
可知，
和
，即入射光的频率大于金属B 的极限频
率而能发生光电效应，A 板不能发生光电效应，则B 板失去电子带正电，A 板得到电子带负电，故A 错误；
B．电容器达到稳定时动能最大的光电子刚好不能到达A 板，此时的电压最大，由
可
知，最大电压恒为
；仅d 增大，由
可知电容器的电容
变小，由
可知电容器带电荷量
将减小，故B 正确；
C．撤去激光，电容器的电荷量
不变，d 增大，由
可知，板间电场强度将不变，故C
错误；
D．若改用波长为
的激光照射，光电子的最大动能为
设光电子从B 板减速的位移为
，由动能定理有
结合
15
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联立解得
即光电子运动的最远距离离B 板为
，故D 正确。
故选BD。
考点三 实验：观察电容器的充、放电现象
知识点一 实验分析
实验分析
(1)如图所示，把开关S 接1，此时电源给电容器充电。在充电过程中，可以看到电压表示数迅速增大，随
后逐渐稳定在某一数值，表示电容器两极板具有一定的电势差。通过观察电流表可以知道，充电时电流由
电源的正极流向电容器的正极板；同时，电流从电容器的负极板流向电源的负极。随着两极板之间电势差
的增大，充电电流逐渐减小至0，此时电容器两极板带有一定的等量异种电荷。即使断开电源，两极板上
的电荷由于相互吸引而仍然被保存在电容器中。
(2)把开关S 接2，电容器对电阻R 放电。观察电流表可以知道，放电电流由电容器的正极板经过电阻R 流
向电容器的负极板，正负电荷中和。此时两极板所带的电荷量减小，电势差减小，放电电流也减小，最后
两极板电势差以及放电电流都等于0。
知识点二 实验创新
电流传感器可以像电流表一样测量电流。不同的是，它的反应非常快，可以捕捉到瞬间的电流变化。此外，
由于它与计算机相连，还能显示出电流随时间变化的It 图像。
本实验中电源电压在8 V 左右，电容器可选几十微法的电解电容器。
考向 实验：观察电容器的充、放电现象
例 （2025·江苏徐州·模拟预测）下列是利用电容器放电来测量其电容的实验电路，其中没有系统误差的电
路是（ ）
16
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A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】ABC．电容器充满电后放电时，由于电压表分流，故流经滑动变阻器的电荷量不是电容器的全部
电荷量，故ABC 不符合题意；
D．接通开关S，测出电容器放电的初始电流和电压，根据
图像的面积来求出电容器在初始电压下的
放电量，根据电容公式
求出电容，故D 符合题意。
故选D。
由电容器充(放)电的It 图像可得到的结论
(1)
容器的充、放
程中
电
电过
，
流都随
越来越小
电
时间
，
路
定
流
电
电
稳
时
为0。
(2)
容器在全部充
电
电(或放电)
程中
存
过
储
(或
放
释
)的
荷量可用
电
It
与
所
形的面
表示。
图线
时间轴
围图
积
(3)
容器的
容可根据
容器充、放
程中
电
电
电
电过
It
与
所
形的面
和
容器充
束或放
开
图线
时间轴
围图
积
电
电结
电
始
两极板
的
差
时
间
电势
，由C＝
算。
计
(4)
容器充、放
程中的最大
流
电
电
电
过
(即It
像中
图
t＝0
刻的
流
时
电
)：Im＝，其中U 是
容器充
束或放
电
电
电
结
开始
两极板
的
差
时
间
电势
，R 是充
路或放
路中除
容器外其他通路部分的
阻。
电电
电电
电
电
总
【变式训练1】（2025·山西朔州·模拟预测）某实验小组利用如图甲所示电路研究电容器充放电规律。操作
步骤如下：
(1)按图甲连接电路。开关S 拨至1 处，对电容器进行充电，充电电流方向为 （填“逆时针”或“顺
时针”）；充电过程中用电流传感器记录了充电电流变化关系如图乙所示，已知电源电动势为12.0V，内
阻可忽略不计，测得
曲线与横轴围成的面积为
，则电容器的电容
F。
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(2)采用甲图电路，若不改变其它参数，只增大电阻
的值，则充电时间会 （填“增大”“减小”
或“不变”）。
(3)仍采用图甲所示电路进行研究，若将电压传感器换成电压表重新进行实验，则测出电容器的电容比真实
值 （填“偏小”“偏大”或“不变”）。
【答案】(1) 逆时针 0.3
(2)增大
(3)偏大
【详解】（1）[1]由图甲可知，开关S 拨至1 处，对电容器进行充电，充电电流方向为逆时针；
[2]根据
可知，
曲线与横轴围成的面积表示充完电后电容器所带的电荷量，则电容器的电容
（2）采用甲图电路，若不改变其它参数，只增大电阻
的值，则充电电流减小，充电时间会增大。
（3）仍采用图甲所示电路进行研究，若将电压传感器换成电压表重新进行实验，由于电压表有一定的电
流通过，所以电流传感器的电流大于通过电容器的电流，则
曲线与横轴围成的面积大于充完电后电容
器所带的电荷量，根据
可知，测出电容器的电容比真实值偏大。
【变式训练2】（2025·福建漳州·模拟预测）图甲为电阻式触摸屏的示意图，按压屏幕时，相互绝缘的两导
电层接触，电阻并联，从而改变接入电路的电阻。
(1)某研究小组找到一块电阻式触摸屏单元，将其接入电路中，简化电路如图乙所示。不按压屏幕，先将单
刀双掷开关S 拨到1，给电容器充电，待电路稳定后再将S 拨到2，此时回路中电流方向为 （填
“顺时针”或“逆时针”）；
(2)该触摸屏单元两部分电阻均为
，为了较准确测量
值，研究小组设计了如图丙所示电路图，利用电
源（电动势和内阻均未知）、电流表（内阻未知）、电阻箱、开关等器材进行实验。
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①某次测量时电流表示数如图丁所示，其读数，
A；
②闭合开关
和
，调节电阻箱阻值，根据数据作出
图像如图戊中图线Ⅰ所示。已知图线Ⅰ的斜率
为k，则该电源电动势
（用题中已知物理量符号表示）；
③断开开关
，按压屏幕，调节电阻箱阻值，根据数据作出图线Ⅱ，已知图线Ⅱ和Ⅰ的纵截距之差为b，
则，
（用k 和b 表示）。
【答案】(1)逆时针
(2) 0.34
【详解】（1）由图乙可知，电容器充电后下极板带正电荷，待电路稳定后再将S 拨到2，此时回路中电流
方向为逆时针。
（2）[1]某次测量时电流表示数如图丁所示，其读数
0.34A。
[2]闭合开关
和
，由闭合电路欧姆定律可得
整理可得
结合
图像中图线Ⅰ，可得
解得该电源电动势
[3]断开开关
，由闭合电路欧姆定律可得
整理可得
结合
图像，由题意可知
解得
考点四 带电粒子(带电体)在电场中的直线运动
知识点 做直线运动的条件
(1)带电粒子(带电体)所受合力F 合＝0，则静止或做匀速直线运动。
(2)带电粒子(带电体)所受合力F 合≠0，且合力与初速度方向在同一条直线上，则将做变速直线运动。
19
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得分速记
带电粒子(带电体)在电场中运动时是否考虑重力的处理方法
(1)基本粒子：如电子、质子、α 粒子、离子等，除有说明或有明确的暗示以外，一般都不考虑重力(但并不
忽略质量)。
(2)带电颗粒：如液滴、油滴、尘埃、小球等，除有说明或有明确的暗示以外，一般都要考虑重力。
考向1 带电粒子在电场中的直线运动
例1 （2025·全国·模拟预测）一束含有氢同位素
、
、
原子核的粒子流，由静止进入水平匀强电场
加速后，在运动某一水平距离L 时，三种原子核的速度大小之比为（ ）
A．6 3 2
∶∶
B．
C．3 2 1
∶∶
D．
【答案】B
【详解】根据动能定理得
解得
三种原子核的速度大小之比为
故选B。
带电粒子在电场中运动的分析方法
解决此
的关
是灵活利用
力学方法分析
类问题
键
动
，可以采用受力分析和
力学公式相
合的方法
行解决
动
结
进
，
也可以采用功能的
点
行解决
观
进
，往往
先采用
能定理。
优
动
【变式训练1】（2025·北京朝阳·二模）在距离为L 的质子源和靶之间有一电压为U 的匀强电场，质子
（初速度为零）经电场加速，形成电流强度为I 的细柱形质子流打到靶上且被靶全部吸收。在质子流中与
质子源相距l 和4l 的两处，各取一段极短的相等长度的质子流，其中的质子数分别为
和
，已知质子质
量为m、电荷量为e。下列说法正确的是（ ）
A．
20
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B．每秒打到靶上的质子的总动能为eU
C．质子流对靶的作用力大小为
D．质子源与靶间的质子总数为
【答案】C
【详解】A．在质子流中与质子相距为处的速度为
在质子流中与质子相距为
处的速度为
在两个位置各取一段极短相等长度的质子流
电流
是指单位时间内通过某一横截面积的电荷量。设单位时间打到靶上的质子数为
，则
所以
因此
即
，A 错误；
B．对单个质子经过电场加速获得的动能
解得
单位时间内打到靶上的质子的总动能为
，B 错误；
C．质子打在靶上被吸收，根据动量定理，单位时间质子打在靶上对靶的作用力
，C 正确；
D．质子在电场中的加速度
质子从质子源运动到靶所用时间
所以质子源到靶间的质子总数
，D 错误。
故选C。
【变式训练2】（2025·北京石景山·一模）当金属的温度升高到一定程度时会向四周发射电子，这种电子称
为热电子。如图所示，相距为L 的两块平行正对的金属板M、N 接在输出电压恒为U 的高压电源E1上，
M、N 之间的电场视为匀强电场，K 是与M 板距离很近的灯丝，电源E2给K 加热从而产生热电子。开关S
21
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闭合后，稳定时，电流表的示数为I。已知电子质量为m、电荷量为e，热电子的初速度可以忽略不计。求：
(1)电子从灯丝K 出发到达N 板所经历的时间；
(2)电路稳定的某时刻，MN 之间左半部分空间与右半部分空间的电子数之比；
(3)距离M 板为x 的空间范围内的电子数N。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）电子从速度为0 开始做匀加速直线运动，根据牛顿第二定律，有
板间电场强度为
由位移时间公式，有
联立解得
（2）设左半部分运动时间t1，右半部分运动时间t2，由位移时间公式，整个过程有
左半部分，有
解得
稳定时，电子均匀发射，左半部分电子数量与右半部分电子数量比
（3）由位移时间公式，有
电子数位
22
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解得
考向2 带电体在静电力和重力等作用下的直线运动
例2 （2025·安徽合肥·模拟预测）如图所示，纸面内存在一水平方向的匀强电场，场强大小为E，空间中
有一竖直放置的圆，半径为R。AB、AC 是两光滑的绝缘直杆，AB 与圆的一条直径重合。现将两完全相同
的带正电小球P 和Q 分别从B、C 两点同时由静止释放，P 和Q 同时到达A 点。已知∠α=30°，小球质量为
m，电荷量为q，可视为质点，若不计空气阻力，重力加速度为g，下列说法正确的是（ ）
A．电场方向水平向右
B．电场强度E=
C．A 点是圆上电势最低的点
D．P 和Q 由静止运动到A 的过程中，电场力对P 做的功小于电场力对Q 做的功
【答案】B
【详解】AB．根据等时圆原理可知，等效重力方向沿AB 方向，故电场方向水平向左，根据几何关系可得
θ=60°-α=60°-30°=30°
根据平衡条件可得
大小为E=
，选项A 错误，B 正确；
C．沿电场线电势逐渐降低可知，如图，D 点是圆上电势最低的点，选项C 错误；
D．因UAB>UAC，可知P 和Q 由静止运动到A 的过程中，电场力对P 做的功大于电场力对Q 做的功，选项
D 错误。
故选B。
23
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【变式训练1】（2025·湖南怀化·三模）如图所示，ABCD 为匀强电场中相邻的四个等势面，等势面与水平
方向的夹角
，一带正电小球经过等势面A 上的
点时，速度方向水平，小球沿直线运动，经过等势
面D 上的
点时速度恰好为零，已知小球质量为
，带电量
，ad 间的距离为
，重
力加速度
，
，
，则下列说法正确的是（ ）
A．匀强电场强度大小为7.5N/C
B．小球在a 点的速度大小为1.5m/s
C．A 和B 两等势面的电势差
D．若小球从d 点沿da 方向水平射入，则小球的运动轨迹为曲线
【答案】B
【详解】A．根据小球的受力图，有
解得
选项A 错误；
B．小球在运动过程的加速度满足
解得
根据
解得
选项B 正确；
C．粒子在运动过程中，重力不做功，故
解得
选项C 错误；
D．若小球从
点水平射入，小球受到的电场力方向水平向左，小球做加速直线运动，选项D 错误。
故选B。
24
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【变式训练2】（2025·陕西·三模）如图所示，已知两平行金属极板间电压为
，间距为
。质量为
的
带电金属微粒从距上板的距离为
位置处由静止释放，从上板小孔进入后恰好能与下板相接触，重力加速
度大小为
，则金属微粒所带电荷的电性和电荷量
分别为（ ）
A．负电荷，
B．负电荷，
C．正电荷，
D．正电荷，
【答案】B
【详解】由题意可知上极板与电源正极相连带正电，金属微粒从上板小孔进入后恰好能与下板相接触，故
电场力对金属微粒做负功，故金属微粒带负电。由动能定理得
得电荷量
故选B。
考点五 带电粒子在匀强电场中的偏转
知识点 基本规律
粒子所带电荷量为q，质量为m，所受重力影响忽略，两平行金属板间的电压为U，板长为l，板间距离为
d，粒子能以平行金属板的初速度v0进入两金属板间且能从两金属板之间穿过，则有
(1)加速度：a＝＝＝。
(2)在电场中的运动时间：t＝。
25
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(3)末速度
v＝，tanθ＝＝。
(4)位移。
2．两个结论
(1)不同的带电粒子从静止开始经过同一电场U1加速后再从同一偏转电场U2射出时的偏转角度θ 和偏移量y
总是相同的。
证明：由qU1＝mv 及tanθ＝，得tanθ＝。由qU1＝mv 及y＝，得y＝。
(2)粒子经电场偏转射出后，合速度的反向延长线与初速度延长线的交点O1为粒子在初速度方向分位移的
中点，即O1到极板边缘在初速度方向的距离为。
得分速记
分类
充电后与电池两极相连
充电后与电池两极断开
不变量
U
Q
d 变大
C 变小→Q 变小、E 变小
C 变小→U 变大、E 不变
S 变大
C 变大→Q 变大、E 不变
C 变大→U 变小、E 变小
εr变大
C 变大→Q 变大、E 不变
C 变大→U 变小、E 变小
考向1 带电粒子在匀强电场中的类平抛运动
例1 如图所示，质量相同、带等量异种电荷的甲、乙两粒子，先后从S 点沿SO 方向垂直射入匀强电场中，
分别经过圆周上的P、Q 两点，不计粒子间的相互作用及重力，则两粒子在圆形区域内运动过程中
（ ）
A．甲粒子的入射速度小于乙粒子
B．甲粒子所受电场力的冲量大于乙粒子
C．甲粒子在P 点的速度方向可能沿OP 方向
D．电场力对甲粒子做的功小于对乙粒子做的功
【答案】D
【详解】A．两粒子在电场中均做类平抛运动，则垂直电场方向的位移为y=v0t
沿电场方向的位移为
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联立可得
由题图可知yP＞yQ，xP＜xQ，从上式可以看出甲粒子的入射速度大于乙粒子的入射速度，故A 错误；
B．由于沿电场方向的位移为
由xP＜xQ，可知tP＜tQ，根据冲量的公式I 电=qEt
联立可知甲粒子所受电场力的冲量小于乙粒子所受电场力的冲量，故B 错误；
C．粒子在电场中做类平抛运动，根据推论可知，速度反向延长线交于竖直位移的中点，甲粒子在P 点的
速度反向延长线应交SO 于O 点下方，故C 错误；
D．根据电场力做功公式有W=qEx，xP＜xQ，可知电场力对甲粒子做的功小于对乙粒子做的功，故D 正确。
故选D。
带电粒子在匀强电场中偏转问题的两种求解思路
(1)
力学
点
动
观
力学
点是指用牛
运
定律和运
学公式来解决
。
粒子的初速度方向垂直
动
动
动
题带电
电场
观
顿
实际问
线，
粒
则
子做匀
速曲
运
变
线
动(
平抛运
类
动)。当
粒子在
中做匀
速曲
运
带电
电场
动
变
线
时，一般要采取
似平抛运
的
类
动
解决方法。
(2)能量
点：首先
体受力分析
观
对带电
，再分析运
形式
动
，然后根据具体情况
用公式
算。
选
计
①若
用
能定理
选
动
，
要分清有多少个力做功
则
，是恒力做功
是
力做功
还
变
，同
要明确初、末状
及运
时
态
动
程中
能的增量。
过
动
②若
用能量守恒定律
选
，
要分清
体在运
中共有多少种能量参与
化
则
带电
动
转
，哪些能量是增加的，哪些能
量是减少的。
【变式训练1】如图所示，平行板电容器充电后，两极板间的电场为匀强电场。电子从A 点沿平行于极板
的方向向右飞入匀强电场并从右侧B 点飞出。仅将该电容器所带电荷量增加到原来的2 倍，电子仍以相同
的初速度从A 点飞入匀强电场并从右侧某点飞出。不计重力，关于电子在电场中运动情况的分析，正确的
是（ ）
A．电子仍从B 点飞出
B．电子的加速度大小变为原来的4 倍
C．电子在电场中运动的时间变为原来的2 倍
D．电场力对电子做的功变为原来的4 倍
【答案】D
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【详解】B．设板间距离为
，根据
仅将该电容器所带电荷量增加到原来的2 倍，则板间电场强度增加为原来的2 倍，根据牛顿第二定律可得
可知电子的加速度大小变为原来的2 倍，故B 错误；
AC．设板长为
，电子在板间做类平抛运动，则有
，
由于电子仍以相同的初速度从A 点飞入匀强电场并从右侧某点飞出，可知电子在电场中运动的时间不变，
在电场方向的偏转位移变为原来的2 倍，所以电子从B 点下方飞出，故AC 错误；
D．根据
由于电场强度增加为原来的2 倍，在电场方向的偏转位移变为原来的2 倍，所以电场力对电子做的功变为
原来的4 倍，故D 正确。
故选D。
【变式训练2】如图所示，边长为
的正方形区域
内有竖直向下的匀强电场，电场强度大小为
。
现有质量为
、电量为+q 的粒子从A 点沿
方向以一定的动能进入电场，恰好从
边的中点
飞出，
不计粒子重力。
(1)求粒子在
点时，水平分速度与竖直分速度之比；
(2)求粒子进入电场时的动能；
(3)只改变电场强度的大小，使粒子恰好能从CD 边的中点Q 飞出，求此时的电场强度大小
。
【答案】(1)1
(2)
(3)
【详解】（1）在d 点，速度偏转角的正切值为
在d 点，位移偏转角的正切值为
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则
粒子在
点时，水平分速度与竖直分速度之比为1。
（2）粒子在电场内做类平抛运动，水平方向做匀速直线运动，有
竖直方向做匀加速运动，有
初动能
解得
（3）其他条件不变，增大电场强度，从CD 边中点Q 飞出与从BC 边中点d 飞出相比，水平位移x 减半，
竖直位移y 加倍，根据类平抛运动知识有
，
可知运动时间减为原来的
，加速度为原来的8 倍，再根据
可知，电场强度变为原来的8 倍，变为
8E。
考向2 带电体在静电力和重力等作用下的类平抛运动
例2（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，O、A、B 为同一竖直平面内的三个点，离地面足够高，OB 沿竖直
方向，
，OB =3L，OA=2L。将一质量为m 的小球自O 点由静止释放，小球运动通过B 点时动
能为4E0。使此小球带电，电荷量为q（q>0），同时加一匀强电场，场强方向与△OAB 所在平面平行，现
从O 点以E0的初动能沿某一方向抛出此带电小球，该小球通过了A 点，到达A 点时的动能是3E0；若该小
球从O 点以同样的初动能沿另一方向抛出，恰好通过B 点，且到达B 点的动能为6E0，重力加速度大小为
g。（ ）
A．OA、OB 过程中重力做功之比为2：3
B．小球在空中运动时，相同时间内，小球在水平方向位移差相同
C．电场强度大小为
D．小球在空中运动时，因轨迹不同，故相同时间内，电场力冲量不同
【答案】B
【详解】A．由重力做功的特点可知OA、OB 过程中重力做功为
1：3，A 错误；
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B．小球受到重力和电场力作用，小球水平方向做匀加速直线运动，相同时间内位移差相同，B 正确；
C．小球自O 点由静止释放，小球运动通过B 点时 动能为
，由动能定理可知
从O 点以
的初动能出发，到达A 点时，有
到达B 点有
解得
根据电场力做功表现为场强的投影的特点，可知电场强度沿BOA 角平分线斜向右下，大小为
，故C 错误，
D．相同时间内，电场力相等，由冲量的定义可知电场力冲量相同，故D 错误；
故选B。
【变式训练1】（2025·山东滨州·二模）空间中存在一匀强电场，电场方向未知。如图所示，一质量为
的带电小球在
点的初速度大小为
，方向水平向左，小球经过下方
点时速度的大小仍为
，且方向与
水平方向夹角
，指向右下方。A 、B两点在同一竖直面内，不计空气阻力，重力加速度为
。则
（ ）
A．若电场力水平向右，电场力最小
B．
间电势差
C．小球速度竖直向下时，速度的大小为
D．若电场力的大小为
，则电场力与竖直方向的夹角为
，指向右上方
【答案】D
【详解】A．小球经过AB 两点时速度大小相等，有对称性可知在AB 两点时速度方向与AB 连线的夹角大
小相等，设为α，由几何关系可知α=60°，小球所受的合力方向沿AB 的垂直平分线方向斜向下，方向与水
平线夹角为30°，由平行四边形定则可知，若场强方向沿BA 向上时电场力最小，场强最小，选项A 错误；
30
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B．从A 到B 根据动能定理
可知
选项B 错误；
C．小球速度竖直向下时，此时速度方向与AB 夹角为30°，小球沿AB 方向的速度为
不变，则小球速度竖直向下时速度的大小为
选项C 错误；
D．由图可知，若电场力的大小为
，合力大小也为mg，此时电场力与竖直方向的夹角为
，指向右上
方，选项D 正确。
故选D。
【变式训练2】（多选）如图所示，在真空中，水平面MN 的下方存在竖直向下的匀强电场，质量为m 的
带电小球由MN 上方的A 点以一定初速度v0水平抛出，从B 点进入电场，到达C 点时速度方向恰好水平。
已知A、B、C 三点在同一直线上，且AB＝2BC，重力加速度为g，则（ ）
A．小球在电场中受到的电场力大小为3mg
B．小球带负电
C．小球从A 到B 与从B 到C 的运动时间相等
D．小球从A 到B 与从B 到C 的速度变化量大小相等
【答案】ABD
【详解】C．从竖直方向上看，小球初速度为0，先匀加速后匀减速至速度再次为0，从水平方向上看，小
球一直做匀速直线运动，因为AB=2BC，故小球在做平抛运动时的水平位移是小球在电场中运动时的水平
位移的2 倍，所以小球做平抛运动的时间是小球在电场中运动的时间的2 倍，故C 错误；
A．小球在C 点时速度方向恰好水平，根据公式v=at
31
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知，小球在电场中的加速度大小是做平抛运动时的加速度大小的2 倍，因为做平抛运动时的加速度大小为
g，所以在电场中运动时的加速度大小为2g，方向竖直向上，所以有F 电－mg=2mg
得电场力大小F 电=3mg
故A 正确；
B．小球在竖直向下的电场中受向上的电场力，故小球带负电，故B 正确；
D．因为小球在A、C 点的速度相同，所以小球从A 到B 与从B 到C 的速度变化量大小相等，方向相反，
故D 正确。
故选ABD。
考向3 带电粒子在组合场中的运动
例3 （25-26 高三上·安徽·开学考试）（多选）如图所示为示波器的核心部件—示波管。电子束经加速电
场加速后，在偏转电极XX'、YY'中受到电场力的作用而发生偏转，打到荧光屏上形成亮斑。不计电子所
受的重力，下列说法正确的是
A．经过偏转电场时，电子会向带正电的电极方向偏转
B．偏转电压越小，电子在偏转电场中的运动时间越长
C．YY'方向偏移量与电子枪的加速电压成正比
D．若增加YY'方向电压，可以观察到波形图纵向拉长
【答案】AD
【详解】A．电子受到的电场力沿电场线的反方向，因此电子会向带正电的电极方向偏转，A 正确；
B．设电子枪的加速电压为U₁，电子加速过程由动能定理可得
设偏转电极YY'的极板长为L，偏转电极XX'的极板长为l。电子在偏转电场中的运动时间
打到荧光屏上的电子在电场中运动的时间取决于加速电场电压U1的大小，与偏转电压无关，B 错误；
C．设偏转电极YY'的极板间距d，偏转电压U₂，YY'方向偏移量为y
电子在垂直偏转电场方向做匀速直线运动，可得L=vt
沿偏转电场方向做匀加速直线运动，可得
32
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电子偏转电场中的加速度为
联立可得
电子在YY'方向偏移量y 与电子枪的加速电压U1成反比，C 错误；
D．根据
，若YY'方向电压U₂ 增加，则y 也增加，波形图纵向拉长，D 正确。
故选AD。
【变式训练1】某科研设备中的电子偏转装置由电子枪、偏转电极和荧光屏组成，管内抽成真空，结构原
理图如图甲所示。如果在偏转电极XX′和YY′之间都没有加电压，电子束从电子枪射出后沿直线运动，打
在荧光屏中心，产生一个亮斑，如图乙所示。以荧光屏中心为坐标原点，以X′X 方向为x 轴正方向，Y′Y
方向为y 轴正方向建立直角坐标系，在XX′板间加恒定电压
（X 极板接电源正极），在YY′板间加恒定
电压
（Y 极板接电源正极），偏转电极两极板之间的距离均为d。正负接线柱之间电压为
，忽略电
子在两偏转电极之间的运动时间，已知两偏转电极XX′和YY′沿示波管轴线方向长度都是
，荧光屏到偏
转电极XX′右侧的距离为
，电子质量为m，电荷量大小为e，电子从灯丝逸出的初速度不计。
（1）已知灯丝正常工作电阻为R，电源电动势为E，内阻为r，求灯丝加热t 时间产生的热量；
（2）求电子进入YY′偏转电极时的速度；
（3）求电子打在荧光屏上的位置坐标。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）由闭合电路欧姆定律可得，灯丝中电流
由焦耳定律可得，灯丝加热t 时间产生的热量
（2）由动能定理得
33
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解得
（3）沿示波管轴线方向做匀速直线运动，通过两偏转电极的时间均为
电子进入YY′偏转电极，受到的电场力沿y 轴正方向，向y 轴正方向偏转，则
联立解得
电子进入XX′偏转电极时，沿y 轴正方向的分速度
电子进入XX′偏转电极后，沿y 轴正方向做匀速直线运动
沿x 轴正方向电子做初速度为零的匀加速直线运动
联立解得
电子出XX′偏转电极后，设其到达荧光屏所用时间为
，则有
沿y 轴正方向电子做匀速直线运动
电子出XX′偏转电极后，沿x 轴正方向分速度
沿x 轴正方向电子做匀速直线运动
34
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电子打在荧光屏上的位置坐标为
即
。
【变式训练2】（2025·辽宁沈阳·模拟预测）（多选）如图，在直角坐标系中，
空间存在方向平行
面，与
轴正方向夹角为
的匀强电场，电场强度大小为
；
空间存在方向平行
面，与
轴正方向夹角为
的匀强电场，电场强度大小为
。在
平面
点（如图所示）由静止释放一个质量
为
、电荷量为
的带电粒子，粒子沿直线运动经过
轴（
，
，
）点时速度大小为
。进入
空
间后，始终受到一个与运动方向相反、大小为
（
）的阻力。一段时间后，粒子首次到达
平面时，对应
轴坐标为
，速度大小为
，其沿
轴负方向的分速度大小为
。不计粒子重力。
则该带电粒子（ ）
A．在
空间中的运动时间为
B．经过
轴时
轴坐标为
C．首次运动到
平面所用时间为
D．首次运动到
平面时
轴坐标为
【答案】ABC
35
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【详解】A．在
空间中，粒子仅受电场力作用，由动量定理可得
解得在
空间中的运动时间为
。故A 正确；
B．在
方向上，粒子仅在阻力作用下做减速运动，由动量定理可得
化简得
解得
。故B 正确；
C．到达
轴时的速度为
，方向与
轴夹角为
，则在
方向上的速度分量为
此时阻力在
方向的分量为
电场力与
轴夹角为
，在
方向上的分量
因此，粒子在
方向上受力平衡，做匀速直线运动，运动时间
。故C 正确；
D．在
方向，粒子做初速度为0 的加速运动，但加速度在逐渐减小，最终当阻力与
方向上的电场力平衡
时，
方向做匀速运动。在
方向，粒子做初速度不为0 的减速运动，但加速度在逐渐减小，最终减为0。
与
方向的运动图像完全对称，经过时间，
方向的速度减为一半，
方向上的速度也为一半，即
，对
方向列动量定理有
化简得
解得
。故D 错误。
故选ABC。
考点六 带电粒子在交变电场中的运动
知识点 粒子运动特点分析
1.带电粒子在交变电场中的运动，通常只讨论电压的大小不变、方向做周期性变化(如方波)的情形。
当粒子垂直于交变电场方向射入时，沿初速度方向的分运动为匀速直线运动，沿电场方向的分运动具有周
期性。
36
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2．研究带电粒子在交变电场中的运动，关键是根据电场变化的特点，利用动力学规律正确地判断粒子的
运动情况，根据电场的变化情况，分段求解带电粒子运动的末速度、位移等。
得分速记
带电粒子在交变电场中运动的分析要点
(1)注重全面分析(分析受力特点和运动规律)，抓住粒子的运动具有周期性和在空间上具有对称性的特征，
求解粒子运动过程中的速度、位移、做功或确定与物理过程相关的边界条件。
(2)注意从两条思路出发：一是力和运动的关系，根据牛顿第二定律及运动学规律分析；二是功能关系。
考向 带电粒子在交变电场中的运动
例 （多选）如图甲所示，真空中有一平行板电容器水平放置，两极板所加电压如图乙所示，板长
，
板间距为d。
时，带电粒子
靠近下极板，从左侧以
的速度水平射入，
粒子恰好不会打在上极板
上。若质量和电量相同的
粒子以
的水平速度从相同位置射入，恰好从下极板的右侧边缘飞离极板，
粒子可视为质点且不计重力。下列说法正确的是（ ）
A．
粒子飞离极板时的速度等于进入时的速度
B．
粒子飞离极板时竖直偏移量为
C．
粒子进入极板的时刻可能为
D．
粒子进入极板的时刻可能为
【答案】ABC
【详解】A．加电场后，竖直方向上的加速度大小为
变换电场方向时速度大小为
时变换电场方向，做减速运动，则经过
速度减为0，后从
反
向加速速度大小为
如图所示
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由于
，可知粒子飞离极板所需时间为
则由
图可知
粒子飞离极板时竖直方向的分速度为零，
粒子飞离极板时的速度与进入时相同，故A
正确；
B．由竖直方向的速度图像可得，从
到
竖直方向的位移
从
到
竖直方向的位移
a 粒子飞离极板时竖直偏移量
故B 正确；
CD．设极板长度为l，a 粒子在水平方向的位移
设
粒子在电场中运动时间为
，其水平方向的位移
解得
设
内的时刻，
粒子从下极板左端下边缘进入电场，然后从下极板右端边缘飞离极板，则
解得
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故C 正确，D 错误。
故选ABC。
【变式训练1】（2025·广东·一模）如图甲，在真空中，N 匝电阻不计的正方形线圈处于垂直纸面向外的匀
强磁场中，磁感应强度随时间变化的关系如图乙，图中T、
为已知量。线圈的右端与远处水平正对放置
的平行金属板相连，金属板长为L，板间距与线圈边长相等．
时刻，一个带电油滴在金属板左端中线
处以初速度
水平向右射入后，沿直线通过；
时刻，以同样的初速度在同一位置射入一个相同的油
滴，打在下板中央位置，忽略两板充放电的时间。
(1)判断油滴的带电性质并求其比荷；
(2)
时刻，再以同样的初速度在同一位置射入一个相同的油滴，求该油滴落在金属板的位置到左端的
距离。
【答案】(1)带负电，
(2)
【详解】（1）根据楞次定律，
至
时刻之间，闭合线圈产生顺时针感应电流，上极板电势高，极
板间电场强度竖直向下．
射入极板间的油滴沿直线通过，所受重力与电场力二力平衡，所以油滴带负
电。
设导线框的边长为D，上下极板间有随时间周期性交替的大小不变的电压
极板间电场强度大小
射入极板间的油滴，受力平衡，有
时刻射入极板间的油滴，水平方向做匀速直线运动，设运动时间为
，有
解得
39
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所以油滴竖直方向做匀加速直线运动，由
，
联立解得
，
（2）
射入极板间的油滴，在
之间，竖直方向做匀加速直线运动
偏移量
解得
T 时刻竖直方向速度
之间，在未打到板上之前，油滴竖直方向将做速度为
的匀速直线运动。设经过
时间打到下极
板，则
解得
所以油滴在
时刻打在下极板上，落点位置距离左端
解得
【变式训练2】（2025·天津·二模）多个长度逐个增大的金属圆筒沿轴线排列成一串，如甲图所示，图中只
画出了六个圆筒作为示意。各筒按奇偶顺序交替连接到如乙图所示的交流电源的两端，已知交流电源周期
为T、电压绝对值为
，且
对应奇数号圆筒为高电势。整个装置放在高真空容器中。圆筒的两底
面中心开有小孔，粒子可以沿筒的中心轴线穿过。由于静电平衡，可认为只有相邻圆筒间缝隙中存在匀强
电场，而圆筒内部电场强度为零，缝隙的宽度很小，粒子在缝隙电场中加速的时间可以不计。
时刻，
有一电量为
、质量为
的正离子由静止进入一、二圆筒间的电场开始加速，穿过二号圆筒后正好在
时刻进入二、三圆筒之间的电场再次加速，且之后每经过
正好进入下一缝隙电场。
40
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(1)求粒子从第2 个圆筒飞出时的速度大小？
(2)第
个圆筒的长度？
(3)实际应用中，由于相邻圆筒之间电压最大值有限制，要想使粒子获得较大速度，需要经过很多次加速，
设置的圆筒数量较多，导致粒子在缝隙电场中的加速时间不能再忽略。设相邻圆筒间距均为
，在不改变
交变电源的情况下，粒子能获得的最大动能是多少？
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）根据动能定理
可得
（2）根据动能定理
又
联立可得
（3）根据
结合牛顿第二定律
根据运动学公式
，
结合动能的定义
联立可得
考点七 带电粒子在重力场和电场中的圆周运动
41
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知识点 等效重力场及其特点
1．等效重力场
物体仅在重力场中的运动是最常见、最基本的运动，但是对于处在匀强电场和重力场中物体的运动问题就
会变得复杂一些。此时可以将重力场与电场合二为一，用一个全新的“复合场”来代替，可形象称之为
“等效重力场”。
2.
3．举例
考向 带电粒子在重力场和电场中的圆周运动
42
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例 （2025·云南昭通·模拟预测）（多选）如图所示，空间有足够大的水平向右的匀强电场，一根长度为
、不可伸长的绝缘细线的一端连着一个质量
、带电荷量为
的带正电的
小球（可视作质点），另一端固定于
点。将细线拉至水平后，小球位于
点右侧的
点，然后无初速度
释放小球，小球恰好摆到
点，此时细线与竖直方向的夹角
。已知
，重力
加速度大小
，忽略空气阻力，下列说法正确的是（ ）
A．匀强电场的场强大小为
B．小球运动到最低点时的速度大小为
C．小球运动到最低点时受到细线拉力的大小为
D．小球摆到
点时的加速度为0
【答案】AC
【详解】A．小球从A 到B，由功能关系得
解得
，故A 正确；
B．小球从A 到最低点，由动能定理有
解得
，故B 错误；
C．在最低点，由向心力公式可得
解得
，故C 正确；
D．在
点，合外力不为0，所以加速度不为0，故D 错误。
故选AC。
【变式训练1】（2025·辽宁·模拟预测）（多选）如图所示，三维空间坐标系的y 轴竖直向上，y 轴上一L
处记作P 点，空间存在沿x 轴正方向的匀强电场（图中未画出）。长度为L 的绝缘细线一端固定在O 点，
另一端连接质量为m、电荷量大小为q 带正电的小球（可视为质点）。已知重力加速度为g，匀强电场的
电场强度大小为
，下列说法正确的是（ ）
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A．若小球从P 点由静止释放，则小球运动的最大动能为
B．若小球从P 点由静止释放，则细线中的拉力最大为3mg
C．若小球过P 点做匀速圆周运动，则小球运动的速率为
D．若在P 点给小球沿x 轴正方向的初速度
，则小球能绕O 点做完整的圆周运动
【答案】BC
【详解】A．设小球所受合外力的大小为F，方向与y 负方向的夹角为
，则有
，
小球从P 点静止释放，小球到动能最大的过程有
解得
，故A 错误；
B．动能最大时细线中的拉力最大，有
解得细线中的拉力
故B 正确；
C．若小球做匀速圈周运动，则说明小球做圆周运动的平面一定与合外力在同一平面内，所以小球过P 点
做圆锥摆运动，有
解得
故C 正确；
D．小球刚好能经过等效最高点时
解得
假设小球从P 点能运动到等效最高点，则有
44
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解得
故小球不能绕O 点做完整的圆周运动，故D 错误。
故选BC。
【变式训练2】（2025·四川凉山·三模）如图所示，半径
的光滑四分之一圆弧管道竖直固定，与水
平面相切于最低点
，空间中存在水平向右的匀强电场，电场强度大小为
，物体甲的质量
，带电荷量
，在
点右侧
处有一不带电的物体乙，质量
，物体
乙右侧
处有一竖直固定挡板。物体甲从圆弧管道上与圆心
等高的
点由静止开始沿管道滑动。
已知甲、乙与水平面间的动摩擦因数均为
，所有碰撞均无能量损失，且甲、乙碰撞没有电荷转移，
甲、乙均视为质点。取
，求∶
(1)在圆弧管道最低点
，物体甲受到轨道的支持力大小；
(2)甲、乙第一次碰撞后各自的速度大小；
(3)整个过程甲、乙在水平面上运动的总路程之和。
【答案】(1)8N
(2)0，4m/s
(3)7.25m
【详解】（1）物块甲从A 点到P 点过程，由动能定理得m1gR
qER
在P 点，根据牛顿第二定律有
联立解得v1
3m/s FN
8N
（2）物块甲在水平面上向右运动到碰前，根据动能定理有
甲乙碰撞过程中，根据动量守恒定律和能量守恒定律有
，
解得v
4m/s，v 甲
0，v 乙
4m/s
（3）对物块甲有
物块甲、乙最终停在挡板处。
在整个过程，对甲、乙系统，由能量守恒定律有Q
µm1gs1
µm2gs2
m1gR
qE（R
L1
L2）
45
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又s 总
s1
s2
解得s 总
7.25m
考点八 电场中的力、电综合问题
知识点一 用动力学的观点分析
(1)由于匀强电场中带电粒子所受静电力和重力都是恒力，这两个力的合力为一恒力。
(2)综合运用牛顿运动定律和运动学公式，注意受力分析要全面，特别注意重力是否需要考虑，以及运动学
公式里的物理量的正负号，即其矢量性。
知识点二 用能量的观点分析
(1)运用动能定理分析，注意过程分析要全面，准确求出过程中的所有功，判断是分阶段还是全过程使用动
能定理。
(2)运用能量守恒定律分析，注意题中有哪些形式的能量出现。
①若带电粒子只在静电力作用下运动，其动能和电势能之和保持不变。
②若带电粒子只在重力和静电力作用下运动，其机械能和电势能之和保持不变。
考向 用动力学和能量的观点分析力、电综合问题
例1 （2025·安徽合肥·三模）如图所示，小球a 被绝缘轻绳1 系在天花板上，小球b 被绝缘轻绳2 系在小
球a 上。两小球质量相等且均带正电，处在水平方向的匀强电场中，平衡时轻绳1 与竖直方向的夹角为
θ1、轻绳2 与竖直方向的夹角为θ2，且
两小球间的库仑力不能忽略，则下列说法正确的是（ ）
A．a 的电荷量可能等于b 的电荷量
B．a 的电荷量一定小于b 的电荷量
C．绳1 中的张力可能等于绳2 中的张力
D．绳1 中的张力一定大于轻绳2 中的张力的2 倍
【答案】C
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【详解】AB．小球ab 为整体受力分析，设小球ab 电荷量为
，由平衡条件
，
小球b 受力分析，小球ab 库仑力为
，由平衡条件
，
故
则
，a 的电荷量一定大于b 的电荷量，故AB 错误；
CD．由上面可知
，
，
但F 大小未知，无法确定绳1 绳2 中的张力大小关系，故C 正确D 错误。
故选 C。
【变式训练1】（2025·江苏·模拟预测）如图所示，垂直于水平桌面固定一根绝缘光滑细直杆，带有同种电
荷的绝缘小球甲和乙穿过直杆，电荷量分别为q 和Q。在图示的坐标系中，小球乙静止在坐标原点O，A、
B、C 三点的坐标分别为x0、2x0、3x0，t=0 时刻小球甲从A 处由静止释放，向上运动到C 处时速度减为零。
下列说法正确的是（ ）
A．甲球在B 点速率最大
B．小球甲在A、C 两点的加速度大小相等
C．小球甲在A、B 间的运动时间小于B、C 间的运动时间
D．在A、B 间和B、C 间运动过程中，系统的电势能减小量相等
【答案】C
【详解】A．小球在AC 两点的速度均为零，可知重力势能和电势能之和相等，即
解得
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在B 点时
解得
方向向下，可知加速度为零的位置在AB 之间的某点，即选项A 错误；
B．在A 点时
解得
方向向上；在C 点时
解得
方向向下，选项B 错误；
C．由以上分析可知，速度最大的位置在AB 之间某点，可知AB 之间的平均速度大于BC 之间的平均速度，
因AB=BC，可知小球甲在A、B 间的运动时间小于B、C 间的运动时间，选项C 正确；
D．设B 点速度为v，则由A 到B 由动能定理
由B 到C 由动能定理
则
而电场力做功等于电势能减小量，即
可知在A、B 间和B、C 间运动过程中，系统的电势能减小量不相等，选项D 错误。
故选C。
【变式训练2】（2025·甘肃白银·模拟预测）取无限远处为零电势点，真空中带电量为
的点电荷在与其
距离为的
点的电势
（其中
为静电力常量），如果
点周围有多个点电荷，则
点的电势等于
这些点电荷单独存在时的电势之和。如图所示为水平放置的一均匀带电圆环，所带的总电量为
，圆环
的半径为
，
点为圆环的圆心，取
点为坐标原点，竖直向上为正方向，建立
轴，在
轴上位于
处的
点的电场强度最大。现将质量为
、带电量为
的小球（可视为质点）从
轴正半轴无限远
处由静止释放，小球运动到
点时的速度为，加速度恰好为零。已知静电力常量为
，空气阻力不计，
重力加速度为
。求：
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(1)小球的质量；
(2)小球从无限远处运动到
点的过程中重力所做的功。
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）小球经过
点时的加速度为零，有
解得
点的电场强度
把圆环分
等份，则
点的场强
，
，
联立解得
（2）小球从无限远处运动到
点的过程中，根据动能定理有
而
，
点的电势
解得
1．（2024·新疆河南·高考真题）如图，两根不可伸长的等长绝缘细绳的上端均系在天花板的O 点上，下
端分别系有均带正电荷的小球P、Q；小球处在某一方向水平向右的匀强电场中，平衡时两细绳与竖直方
向的夹角大小相等。则（ ）
A．两绳中的张力大小一定相等
B．P 的质量一定大于Q 的质量
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C．P 的电荷量一定小于Q 的电荷量
D．P 的电荷量一定大于Q 的电荷量
【答案】B
【详解】由题意可知设Q 和P 两球之间的库仑力为F，绳子的拉力分别为T1，T2，质量分别为m1，m2；与
竖直方向夹角为θ，对于小球Q 有
对于小球P 有
联立有
所以可得
又因为
可知
，即P 的质量一定大于Q 的质量；两小球的电荷量则无法判断。
故选B。
2．（2025·甘肃·高考真题）离子注入机是研究材料辐照效应的重要设备，其工作原理如图1 所示。从离子
源S 释放的正离子（初速度视为零）经电压为
的电场加速后，沿
方向射入电压为
的电场（
为平行于两极板的中轴线）。极板长度为l、间距为d，
关系如图2 所示。长度为a 的样品垂直放置
在距
极板L 处，样品中心位于
点。假设单个离子在通过
区域的极短时间内，电压
可视为不变，
当
时。离子恰好从两极板的边缘射出。不计重力及离子之间的相互作用。下列说法正确的是
（ ）
A．
的最大值
50
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B．当
且
时，离子恰好能打到样品边缘
C．若其他条件不变，要增大样品的辐照范围，需增大
D．在
和
时刻射入
的离子，有可能分别打在A 和B 点
【答案】B
【详解】A．粒子在加速电场中被加速时
在偏转电场中做类平抛运动，则
解得
选项A 错误；
B．当
时粒子从板的边缘射出，恰能打到样品边缘时，则
解得
选项B 正确；
C．根据
若其它条件不变，要增加样品的辐照范围，则需减小U1，选项C 错误；
D ．由图可知t1时刻所加的向上电场电压小于t2时刻所加的向下的电场的电压，则t1时刻射入的粒子打到
A 点时的竖直位移小于打到B 点时的竖直位移，则选项D 错误。
故选B。
二、解答题
3．（2025·四川·高考真题）如图所示，真空中固定放置两块较大的平行金属板，板间距为d，下极板接地，
板间匀强电场大小恒为E。现有一质量为m、电荷量为q（
）的金属微粒，从两极板中央O 点由静止
释放。若微粒与极板碰撞前后瞬间机械能不变，碰撞后电性与极板相同，所带电荷量的绝对值不变。不计
微粒重力。求：
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(1)微粒第一次到达下极板所需时间；
(2)微粒第一次从上极板回到O 点时的动量大小。
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由牛顿第二定律
由运动学公式
联立可得微粒第一次到达下极板所需的时间为
（2）微粒第一次到达下极板时的速度大小为
由于微粒与极板碰撞前后瞬间机械能不变，碰撞后电性与极板相同，所带电荷量的绝对值不变，设微粒碰
后第一次到达上极板时的速度大小为
，满足
代入解得
同理可得微粒第一次从上极板回到O 点时的速度大小为
，满足
代入解得
故微粒第一次从上极板回到O 点时的动量大小为
4．（2025·河南·高考真题）流式细胞仪可对不同类型的细胞进行分类收集，其原理如图所示。仅含有一个
A 细胞或B 细胞的小液滴从喷嘴喷出（另有一些液滴不含细胞），液滴质量均为
。当液滴
穿过激光束、充电环时被分类充电，使含A、B 细胞的液滴分别带上正、负电荷，电荷量均为
。随后，液滴以
的速度竖直进入长度为
的电极板间，板间电场均匀、
方向水平向右，电场强度大小为
。含细胞的液滴最终被分别收集在极板下方
处
的A、B 收集管中。不计重力、空气阻力以及带电液滴间的作用。求：
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(1)含A 细胞的液滴离开电场时偏转的距离；
(2)A、B 细胞收集管的间距。
【答案】(1)
(2)0.11m
【详解】（1）由题意可知含A 细胞的液滴在电场中做类平抛运动，垂直于电场方向则
沿电场方向
由牛顿第二定律
解得含A 细胞的液滴离开电场时偏转的距离为
（2）含A 细胞的液滴离开电场后做匀速直线运动，则
则
联立解得
有对称性可知则A、B 细胞收集管的间距
5．（2025·江西·高考真题）精密条纹相机通过将时域信号转换成空间信息可实现超短激光脉冲持续时间的
测量，其简化原理如图所示。某个待测激光脉冲的持续时间为
，经过狭缝和聚焦透镜入射至真空条纹管
的光电阴极中心。由于光电效应，产生与输入激光脉冲持续时间相同的电子脉冲。电子脉冲先后经加速和
偏转等过程打到荧光屏上。阳极与光电阴极间的加速电压为
，距离为
。偏转极板间距和长度分别为
和
，其左端与阳极的距离为
，右端与荧光屏的距离为
。光电效应产生电子的初速度忽略不计，
电子不会打到偏转极板上。电子质量为m，电荷量为e，不考虑电场力和相对论效应，以及电子之间相互
作用。所有元件的中心在同一条直线上，并以荧光屏中心O 为原点、竖直方向为y 轴建立坐标系。（普朗
克常量
，光速
）
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(1)现有多碱、
和
三种常用的光电阴极材料，它们的逸出功分别约为
。若要使波
长范围为
的入射激光都能打出光电子，请通过定量分析确定应选用哪种光电阴极材料。
(2)当偏转极板间电压U 为常数时，求电子打在荧光屏上的位置。
(3)真实情况下，偏转极板间电压U 与时间t 的关系为
（
和k 为大于零的常数），其零时刻与
激光脉冲刚入射至光电阴极的时刻相同。
①求最后进入偏转极板间的电子离开偏转极板时y 方向速度的大小：
②若
小且
，此时可忽略不同时刻电子在偏转极板间y 方向位移的差别，求电子脉冲在荧光屏上的
空间宽度
与激光脉冲持续时间
的关系。
【答案】(1)多碱
(2)
(3)①
；②
【详解】（1）根据题意，设入射激光波长为
，则对应的光子能量为
可得波长范围为
的入射激光的能量范围为
要使入射激光都能打出光电子，则所有入射激光的能量应大于光电阴极材料的逸出功，所以应选择多碱光
电阴极材料。
（2）电子在光电阴极与阳极之间做匀加速直线运动，设电子在此过程中的加速度大小为
，运动时间为
，
离开阳极时的速度大小为
，则有
，
，
电子在离开阳极到偏转极板左端的过程中做匀速直线运动，设运动时间为
，则
当偏转电压
为常数时，电子在偏转极板内水平方向做匀速直线运动，在竖直
方向做匀加速直线运动。
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设
方向的加速度大小为
，在偏转极板内运动时间为
，离开偏转极板时
方向速度为
，偏转位移为
，则
，
，
，
设电子离开偏转极板至打到荧光屏上的时间为
，在此时间内电子在y 方向的位移为
，则
，
设电子离荧光屏中心的距离为y，则
联立解得
（3）当偏转极板间电压
时，电子在偏转极板内y 方向做加速度线性增加的变加速直线运动。
①在
时刻，最后的电子进入偏转极板间，此时极板间的电压为
，设电子在偏转
极板内运动时y 方向的加速度为
，离开偏转极板时y 方向的速度为
，则
则
图像，如图所示
由上述分析，结合图像可得
联立小问2 分析可得
②在
时刻，最前面的电子进入偏转极板间，此时极板间的电压为
。同理可得，该电子离
开偏转极板时
方向的速度
，则有
设电子脉冲打在荧光屏上的空间宽度为
，电子从离开偏转极板至打到荧光屏上的时间为
，则
，
联立解得
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