文档文本内容
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第38 讲 带电粒子在电场中运动的综合问题
目录
01 考情解码•命题预警........................................................................................................................ 2
02 体系构建•思维可视.........................................................................................................................3
03 核心突破•靶向攻坚.........................................................................................................................4
考点一 带电粒子在力电等效场中的圆周运动 .................................................................4
知识点 方法概述及应用......................................................................................................4
考向1 竖直电场中的等效场问题.........................................................................................4
考向2 水平电场中的等效场问题
...................................................................................7
考点二 用力学三大观点处理带电粒子在电场中运动的综合问题 ...............................10
知识点1 力电综合问题的处理流程...................................................................................10
知识点2 电场中的功能关系...............................................................................................11
考向1 用动力学和能量观点解决力电综合问题
..........................................................11
考向2 用能量和动量观点解决力电综合问题...................................................................14
04 真题溯源•考向感知.......................................................................................................................17
1
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考点要求
考察形式
2025 年
2024 年
2023 年
力电等效场中的
圆周运动
选择题
非选择题
用力学三大观点
处理带电粒子在
电场中运动的综
合问题
选择题
非选择题
1.命题形式：选择题实验题计算题
2.命题分析：湖南高考对带电粒子在电场中运动的综合问题的考查较少，今后的计算题中出现可能性较
大。
3.备考建议：本讲内容备考时候，强化训练用力力、能量、动量三大观点来处理带电粒子在电场中运动时
的直线和曲线运动的问题。
4.命题情境：此类题目多是将重力场中的模型，比如说板块、传送带、弹簧等模型放到匀强电场中予以命
题。。
复习目标：
目标一：明确等效重力场中 “等效最高点” 和 “等效最低点” 的物理意义：等效最低点是粒子在复合
场中自由运动时的稳定平衡位置（等效重力方向指向的位置），等效最高点是与等效最低点关于圆周运动
圆心对称的位置，能在具体情境中快速定位这两个关键位置。
目标二：会利用动力学、能量和动量的观点处理带电粒子在电场中直线运动、曲线运动问题。
2
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考点一 带电粒子在力电等效场中的圆周运动
知识点 方法概述及应用
1.“等效重力场”
在匀强电场和重力场的共存区域，可以将重力场与电场合二为一，称之为“等效重力场”。
2.“等效重力场”的理解
3.带电小球在“等效重力场”中两种圆周运动图例
。
(4)W 电＋W 非电＝ΔEk(
动能定理
解
由
求
)
(3)WAB＝－ΔEp＝EpA－
Ep
B(
能量
度
解
从
角
求
)
(2)W＝qEx cos θ(适用于匀强电场)
(1)WAB＝qUAB(
用
普遍适
)
非平衡状态：牛顿第二定律+运动学公式+功能关系
平衡状态：平衡条件
电场中的功能关系
力电综合问题的处理流程
力学三大观点处理带
电粒子在电场中运动
运动规律迁移至等效重力场分析
二者合力对应加速度作为等效重力加速度
重力和电场力合力视为等效重力
方法应用
等效思维方法的应用
方法概述
带电粒子在力电等效
场中的圆周运动
带电粒
子在电
场中运
动的综
合问题
3
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考向1 竖直电场中的等效场问题
例1（2025·湖南模拟）如图所示空间原有大小为E、方向竖直向上的匀强电场，在此空间同一水平面的
M、N 点固定两个等量异种点电荷，绝缘光滑圆环ABCD 垂直MN 放置，其圆心O 在MN 的中点，半径为
R、AC 和BD 分别为竖直和水平的直径。质量为m、电荷量为+q 的小球套在圆环上，从A 点沿圆环以初速
度v0做完整的圆周运动，则（ ）
A．小球从A 到C 的过程中电势能减少
B．小球不可能沿圆环做匀速圆周运动
C．可求出小球运动到B 点时的加速度
D．小球在D 点受到圆环的作用力方向平行MN
【答案】C
【详解】A．根据等量异种点电荷的电场线特点可知，圆环所在平面为等势面，匀强电场方向竖直向上，
则小球从A 到C 的过程电势增加，电势能增加，故A 错误；
B．当场强满足
时，小球运动时受到的向心力大小不变，可沿圆环做匀速圆周运动，故B 错误；
C．根据动能定理
4
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可求出小球到B 点时的速度vB，根据
可得小球的向心加速度，再根据牛顿第二定律
可得小球的切向加速度
，再根据矢量合成可得B 点的加速度为
故C 正确；
D．小球在D 点受到竖直向下的重力、竖直向上的匀强电场的电场力、平行MN 方向的等量异种点电荷的
电场力和圆环的作用力，圆环的作用力一个分力与等量异种点电荷的电场力平衡，其与MN 平行，而另一
分力提供向心力，方向指向圆心，故小球在D 点受到圆环的作用力方向不平行MN，故D 错误。
故选C。
【变式训练1】（2025·广东中山·高三期末）空间中有竖直向上的匀强电场，电场强度
。绝
缘圆形轨道竖直放置，O 点是它的圆心、半径为R，A、C 为圆轨道的最低点和最高点，B、D 为
与圆心O 等高的两点，如图所示。在轨道A 点放置一质量为m、带电量为+q 的光滑小球。现给小
球一初速度v0（v0≠0），重力加速度为g，则下列说法正确的是（ ）
A．无论v0多大，小球不会脱离轨道
B．只有
，小球才不会脱离轨道
C．v0越大，小球在A、C 两点对轨道的压力差也越大
D．若将小球无初速度从D 点释放，小球一定会沿轨道经过C 点
【答案】 D
【解析】由题意可知小球所受电场力与重力的合力方向竖直向上，大小为
若要使小球不脱离轨道，设其在A 点所具有的的最小速度为vmin，根据牛顿第二定律有
，
解得
所以只有当
时，小球才不会脱离轨道，故AB 错误；假设小球可以在轨道中做完整的圆
周运动，在C 点的速度大小为v1，根据动能定理有
5
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在A、C 点小球所受轨道的支持力大小分别为F0和F1，根据牛顿第二定律有
联立以上三式解得
根据牛顿第三定律可知小球在A、C 两点对轨道的压力差等于12mg，与v0的大小无关，故C
错误；若将小球无初速度从D 点释放，由于F 向上，所以小球一定能沿DC 轨道经过C 点，
故D 正确
考向2 水平电场中的等效场问题
例2（2025·湖南岳阳第一中学模拟）如图，空间中有一匀强电场，大小为
，方向与水平方向成
角，
现有一光滑绝缘大圆环固定在竖直平面内，O 点为环心，将质量为m、带电荷量为
的小圆环套在大圆
环的M 点并同时给小圆环一个向右的水平初速度，小圆环恰好能够沿大圆环做完整的圆周运动，重力加速
度为g，则小圆环（ ）
A 从M 点到Q 点动能减小
B. 在M 点和N 点的电势能相等
C. 从M 点到Q 点电场力做负功
D. 动能最大处的电势低于动能最小处的电势
【答案】D
【解析】小圆环带正电，从M 点到Q 点电场力做正功，C 错误；
B．作出等势面如图：
6
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沿电场线方向电势降低，则在M 点的电势高于N 点的电势，正电荷在电势高的地方电势能大，所以在M
点的电势能大于N 点的电势能，B 错误；小圆环受到的电场力
受力如图：
则小圆环运动的等效最高点和等效最低点分别为A 点和B 点，在A 点速度最小，在B 点速度最大，则从M
点到Q 点动能先增大后减小，A 错误；根据沿电场线方向电势降低，则在B 点
电势低于A 点的电势，即
动能最大处的电势低于动能最小处的电势，D 正确。
.【变式训练1】（．(2025.·河南部分重点高中高三大联考模拟预测）如图所示，空间存在水平向右的
匀强电场，一个质量为m、电荷量为q 的带正电小球用长为L、不可伸长的绝缘细线悬于O 点，将小
球向左拉至与O 点等高的A 点，细线刚好伸直，已知电场强度大小
，g 为重力加速度大小，
小球可视为质点，将小球由静止释放，则下列判断正确的是（ ）
A. 小球运动到B 点的速度大小为
B. 小球第一次运动到O 点正下方时的速度是小球运动过程中的最大速度
C. 小球运动过程中的最大速度为
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D. 小球最终运动稳定时做往复运动，轨迹为半个圆周
【答案】BD
【详解】对小球受力分析，将电场力与重力合成为一个等效“重力”，如图所示
由
，解得
可知其等效“重力场”的最低点为点C。如图所示
依题意，小球由静止释放后做匀加速直线运动，第一次运动到O 点正下方时的速度设为v，由动能定理，
可得
解得
此时细线瞬间绷紧，致使沿细线方向的速度变为零，则垂直于细线方向的速度为
之后，小球将以等效最低点C 为中心做往复运动，设小球运动到C 点的速度为
，由动能定理可得
解得
可知小球第一次运动到O 点正下方时的速度是小球运动过程中的最大速度，即
故B 正确；C 错误；由对称性可知，小球运动到B 点的速度大小与细线绷紧瞬间的速度大小相等，即
，设小球往复运动过程中，运动到等效最低点左侧最高点时，细线与竖直方向夹角为
，
由动能定理可得
解得
由几何关系及对称性可知，小球最终运动稳定时做往复运动，轨迹为半个圆周。
故A 错误；D 正确。
8
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【变式训练2】（2025·云南昆明·三模）匀强电场中，质量为m、带电量为q（q>0）且
可视为质点的小球在长为L 的绝缘轻绳拉力作用下绕固定点O 在竖直平面内做圆周运动，M
点和N 点分别为圆周上的最低点和最高点，电场方向平行于圆周平面。已知运动过程中小球
速度最小值为
（g 为重力加速度），此时绳子拉力恰好为零。小球运动到M 点时速度大
小为
且大于小球经过N 点时的速度，不计空气阻力。若O 点电势为零，下列说法正确
的是（ ）
A．小球受到的电场力与重力的夹角为30°角
B．匀强电场的场强大小为
C．M 点的电势为
D．小球从速度最小到速度最大的过程中，电场力做的功为2mgL
【答案】BC
【详解】AB．因运动过程中小球速度最小值为
，此时绳子拉力恰好为零，可知小球受
的合力为
因重力竖直向下，可知电场力大小也为mg 与重力夹角为120°，根据
可知匀强电场的场强大小为
选项A 错误，B 正确；
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C．因MO 两点的电势差为
O 点电势为零，M 点的电势为
选项C 正确；
D．小球从速度最小到速度最大的过程中，即从等效最高点Q 到等效最低点P 的过程中，电
场力做的功为
选项D 错误。
故选BC。
【变式训练3】（2025·广东清远·校考模拟预测）半圆轨道AB 和水平直轨道BC 组成，A、B 连线竖直。半
圆轨道的圆心为O、半径为R，空间有如图所示的匀强电场，场强大小为
，方向与水平面夹角为
θ=30°，重力加速度为g。在水平直轨道上距B 点L 处静止释放一质量为m、电量为q 的带正电小滑块，下
列说法正确的是（ ）
A. 无论L 取何值，小滑块都能运动到A 点
B. 小滑块在半圆轨道上运动时始终处于超重状态
C. 若
，轨道对滑块的弹力最大值等于4mg
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D. 若
，轨道对滑块的弹力最大值等于3mg
【答案】C
【解析】假设小滑块刚好可以到达A 点，则根据动能定理
解得
故A 错误；对小滑块受力分析，如图
合外力与水平方向夹角为
，则小滑块运动到A 点时小滑块减速运动，故在A 点时小滑块处于失重状态，
故B 错误；合外力与水平方向夹角为
，则OD 与水平方向夹角为
的D 点为等效最低点，如图
若
，时，根据动能定理
则此时，轨道对小滑块的支持力为
解得
，故C 正确，D 错误。
考点二 用力学三大观点处理带电粒子在电场中运动的综合问题
知识点1 力电综合问题的处理流程
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知识点2 电场中的功能关系
1．电场中的功能关系
(1)若只有静电力做功电势能与________之和保持不变。
(2)若只有静电力和重力做功电势能、重力势能、________之和保持不变。
(3)除重力之外，其他各力对物体做的功等于物体________的变化。
(4)所有外力对物体所做的功等于物体________的变化。
2．电场力做功的计算方法
(1)WAB＝qUAB(普遍适用)
(2)W＝qEx cos θ(适用于匀强电场)
(3)WAB＝－ΔEp＝EpA－EpB(从能量角度求解)
(4)W 电＋W 非电＝ΔEk(由动能定理求解)
考向1 用动力学和能量观点解决力电综合问题
例1.．.（2025·湖南怀化·三模）如图所示，ABCD 为匀强电场中相邻的四个等势面，等势面与水平方向的
夹角
，一带正电小球经过等势面A 上的
点时，速度方向水平，小球沿直线运动，经过等势面D 上
的
点时速度恰好为零，已知小球质量为
，带电量
，ad 间的距离为
，重力加速
度
，
，
，则下列说法正确的是（ ）
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A．匀强电场强度大小为7.5N/C
B．小球在a 点的速度大小为1.5m/s
C．A 和B 两等势面的电势差
D．若小球从d 点沿da 方向水平射入，则小球的运动轨迹为曲线
【答案】B
【详解】A．根据小球的受力图，有
解得
选项A 错误；
B．小球在运动过程的加速度满足
解得
根据
解得
选项B 正确；
C．粒子在运动过程中，重力不做功，故
解得
选项C 错误；
D．若小球从
点水平射入，小球受到的电场力方向水平向左，小球做加速直线运动，选项D 错误。
故选B。
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故选AC。
【变式训练1】（2025· 湖南省株洲市高三上学期一模）如图，空间存在匀强电场，质量为m、电荷量为q
的小球沿图中实线先后通过同一竖直面平面内的P、Q 两点，通过两点时速率相同，P、Q 两点连线与竖直
方向的夹角为θ，则在小球从P 运动到Q 的过程中（ ）
A. 小球到达实线中点时速率最小
B. 小球动量的变化率先减小后增大
C. 该电场的场强不应小于
D. 小球在P 点的电势能大于在Q 点的电势能
【答案】AC
【解析】
【详解】A．题意可知，小球通过PQ 两点时速率相同，即合力做功为0，则合力方向垂直于PQ 连线，可
知小球该过程做类斜抛运动，则PQ 连线的中垂线与轨迹交点为类斜抛运动的最高点，所以小球到达实线
中点时合力做负功最多，该点速率最小，故A 正确；
B．小球运动过程中只受电场力和重力，由于二者均为恒力，故其合力也为恒力，由动量定理推导式可得
可知小球动量的变化率为电场力和重力的合力，故小球动量的变化率不变，故B 错误；
C．设电场力与PQ 夹角为α 如图
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由于电场力和重力合力垂直与PQ 连线，故沿PQ 方向有
解得
故电场的场强不应小于
，故C 正确；
D．由于PQ 过程电场力和重力做的总功为0，但由于该过程重力做正功，所以该过程电场力做负功，则小
球电势能增加，即小球在P 点的电势能小于在Q 点的电势能，故D 错误。
【变式训练2】（2025·天津·一模）真空中存在空间范围足够大的、水平向右的匀强电场。在电
场中，若将一个质量为m、带正电的小球由静止释放，运动中小球的速度与竖直方向夹
角为37°。现将该小球从电场中A 点以初速度
竖直向上抛出，经过最高点B 后回到与A
在同一水平线上的C 点，已知：
，
，则（ ）
A．小球所受的电场力为
B．小球在最高点B 的动能为
C．小球从B 到C 的电势能减少量是从A 到B 的电势能减少量的3 倍
D．小球在C 点的机械能比在A 点多
【答案】CD
【详解】A．小球由静止释放，小球在重力与电场力作用下做匀加速直线运，由于运动中
小球的速度与竖直方向夹角为37°，则有
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故A 错误；
小球竖直方向做竖直上抛运动，小球从A 运动到B 过程有
小球在水平方向做匀加速直线运动，则有
小球在最高点B 的动能
解得
故B 错误；
C．小球竖直方向做竖直上抛运动，根据对称性可知，小球从A 到B 的时间等于从B 到C
的时间，小球水平方向做初速度为0 的匀加速直线运动，根据相邻相等时间内的位移比
例关系可知，水平方向上A 到B 的分位移与B 到C 的分位移之比为1:3，则电场力做正功
的比值也为1:3，即小球从B 到C 的电势能减少量是从A 到B 的电势能减少量的3 倍，故
C 正确；
D．结合上述可知，小球从A 到C 水平方向的分位移
电场力做正功为
结合上述解得
电场力做正功，电势能减小，则小球在C 点的机械能比在A 点多
，故D 正确。
故选CD。
考向2 用能量和动量观点解决力电综合问题
例2（2025·湖南长沙·一模）如图，固定在地面上的木板
和半径为
的
圆弧槽刚好接触，
圆弧槽凹侧和底面光滑，各物块与木板上表面间动摩擦因数均为
。圆弧槽右侧通过不
计质量的细杆与一压力传感器相连。从
点向左，每隔
放置一小物块，编号依次
为1、2、3、4，质量均为
，物块4 与一劲度系数为
的弹簧（处于原长）
相连，物块4 左侧木板表面光滑，弹簧左端连在木板左端。圆弧槽左侧空间有方向向左
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的匀强电场。一质量为
、电荷量为
的外表绝缘小物块从圆弧槽顶点处无初速度释放。
已知当弹簧形变量为
时，弹性势能为
，重力加速度为
。求：
(1)带电小物块下滑过程压力传感器的最大示数
；
(2)若所有碰撞均为弹性碰撞，在
的前提下，施加电场的强度
多大时才能使弹
簧的最大压缩量也为？
(3)先将1、2、3 号物块拿掉，若带电物块与4 为完全非弹性碰撞，施加电场的强度
多
大才能使弹簧的最大压缩量也为？
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）如图所示
设滑块与圆心连线从开始运动夹角
时，速度为v，则
对滑块受力分析，设受到支持力为
，则
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由牛顿第三定律圆弧槽受到压力大小为
，对圆弧槽受力分析，设压力传感器读数为
F，则
由上述可知
当
时，F 取最大值为
（2）设带电滑块从A 端滑上木板时速度为
，则
设带电滑块与1 号物块碰撞前速度
，有
由于
，则
，各物块质量相等，发生弹性碰撞后带电滑块便静止在1 号
物块处，1 号滑块将与2 号滑块碰撞，2 号滑块将与3 号滑块碰撞，3 号滑块碰撞将与4 号
滑块碰撞。4 号滑块被碰后速度设为
，则
要使弹簧的最大压缩量也为l，则
联立解得
代入
和
，解得
（3）设带电物块与4 号物块碰前速度为
，碰后的速度大小为
，则
，
各小物块经一系列完全非弹性碰撞后从4 号球所在位置向左做简谐运动。平衡位置弹簧
压缩量设为
，则
要使弹簧的最大压缩量也为l，则简谐运动的振幅为
物块4 被撞后整体速度为
，由弹簧振子机械能守恒
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解得
【变式训练1·变情境】（2025·湖北黄冈·二模）如图所示，平行金属极板M 和N 水平放置，两
极板间距为d、长度为1.5d，极板连接恒压电源
。半径为d 的光滑固定圆弧轨道
ABC 竖直放置，圆弧轨道关于竖直直径OB 对称，轨道左侧A 点与N 极板右端相接触，小球
Q 静止在B 点。现有一质量为m、带电量
的绝缘小球，从M 板左端附近的P 点以一定初
速度水平射入，小球刚好无碰撞的从A 点沿切线方向进入圆弧轨道并与Q 碰撞后粘在一起，
之后的运动恰不脱离轨道。假设小球可视为质点，不计极板边缘效应和空气阻力，重力加速
度大小为g，
。
(1)求小球水平射入时初速度
的大小；
(2)求小球Q 的质量
；
(3)运动过程中圆弧轨道受到的最大压力的大小。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）设小球在极板间运动的加速度为a，时间为t，在竖直方向上，根据牛顿第二
定律有
解得
根据位移时间公式有
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解得
在水平方向上有
解得
（2）P 运动到N 板右侧沿电场线方向的速度
则根据几何关系有
解得
设小球在A 点时的速度为
，则有
设小球B 点时的速度为
，小球由A 运动到
，根据机械能守恒定律
解得
P、Q 发生完全非弹性碰撞，设碰后二者的共同速度为v，根据动量守恒定律
之后的运动二者恰好不脱离轨道
解得
（3）①碰前小球P 通过B 点时轨道对两小球的支持力
，根据牛顿第二定律有
解得
②碰后P、Q 经过B 点时轨道对小球的支持力
，根据牛顿第二定律有
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解得
由牛顿第三定律，两小球碰后通过B 点时对轨道的压力最大为
【变式训练2】（2025·河北秦皇岛·一模）如图所示，在竖直平面内有水平向右的匀强电场，在
匀强电场中有一根长为
的绝缘轻杆，轻杆一端可绕
点自由转动，另一端系一质量为
、电荷量为
的带电小球
，小球
从与
点等高的
点静止释放，经过
点正下
方
点，恰能摆到
点，
与竖直方向夹角
。将不带电质量为
的绝缘小球
从距离
点竖直高度
的某处，以一定初速度择机水平抛出，使得
球在
点
处速度垂直于
方向与
小球发生弹性碰撞，碰撞时间极短，碰撞过程小球
带电量保
持不变。已知重力加速度大小为
，求：
(1)匀强电场的电场强度大小
；
(2)
、
两球相撞后，
球首次经过
点时受到杆的拉力大小
。
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）对小球b 由A 点到D 点的过程，根据动能定理得
解得
（2）小球a 水平抛出到D 点的过程做平抛运动，设a 到达D 点时竖直分速度大小为
，
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根据运动学公式，在竖直方向上有
由几何关系可得a 到达D 点时速度大小为
解得
设a、b 两球发生弹性碰撞后的瞬间瞬间速度大小分别为
、
，以碰撞前小球a 的速度
方向为正方向，根据动量守恒定律与机械能守恒定律得
，
解得
设两球相撞后b 球首次经过B 点时的速度大小为
，根据动能定理得
在B 点，对b 由牛顿第二定律得
解得
1．（2024·江西·高考真题）如图所示，垂直于水平桌面固定一根轻质绝缘细直杆，质量均为m、带同种电
荷的绝缘小球甲和乙穿过直杆，两小球均可视为点电荷，带电荷量分别为q 和Q。在图示的坐标系中，小
球乙静止在坐标原点，初始时刻小球甲从
处由静止释放，开始向下运动。甲和乙两点电荷的电势能
（r 为两点电荷之间的距离，k 为静电力常量）。最大静摩擦力等于滑动摩擦力f，重力加速度为
g。关于小球甲，下列说法正确的是（ ）
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A．最低点的位置
B．速率达到最大值时的位置
C．最后停留位置x 的区间是
D．若在最低点能返回，则初始电势能
【答案】BD
【详解】A．全过程，根据动能定理
解得
故A 错误；
B．当小球甲的加速度为零时，速率最大，则有
解得
故B 正确；
C．小球甲最后停留时，满足
解得位置x 的区间
故C 错误；
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D．若在最低点能返回，即在最低点满足
结合动能定理
又
联立可得
故D 正确。
故选BD。
2．（2022·全国·高考真题）地面上方某区域存在方向水平向右的匀强电场，将一带正电荷的小球自电场中
Р 点水平向左射出。小球所受的重力和电场力的大小相等，重力势能和电势能的零点均取在Р 点。则射出
后，（ ）
A．小球的动能最小时，其电势能最大
B．小球的动能等于初始动能时，其电势能最大
C．小球速度的水平分量和竖直分量大小相等时，其动能最大
D．从射出时刻到小球速度的水平分量为零时，重力做的功等于小球电势能的增加量
【答案】BD
【详解】A．如图所示
故等效重力
的方向与水平成
。
当
时速度最小为
，由于此时
存在水平分量，电场力还可以向左做负功，故此时电势能不是
最大，故A 错误；
BD．水平方向上
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在竖直方向上
由于
，得
如图所示，小球的动能等于末动能。由于此时速度没有水平分量，故电势能最大。由动能定理可知
则重力做功等于小球电势能的增加量， 故BD 正确；
C．当如图中v1所示时，此时速度水平分量与竖直分量相等，动能最小，故C 错误；
故选BD。
3．（2024·河北·高考真题）如图，竖直向上的匀强电场中，用长为L 的绝缘细线系住一带电小球，在竖直
平面内绕O 点做圆周运动。图中A、B 为圆周上的两点，A 点为最低点，B 点与O 点等高。当小球运动到A
点时，细线对小球的拉力恰好为0，已知小球的电荷量为
、质量为m，A、B 两点间的电势差为
U，重力加速度大小为g，求：
（1）电场强度E 的大小。
（2）小球在A、B 两点的速度大小。
【答案】（1）
；（2）
，
【详解】（1）在匀强电场中，根据公式可得场强为
（2）在A 点细线对小球的拉力为0，根据牛顿第二定律得
A 到B 过程根据动能定理得
联立解得
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4．（2023·福建·高考真题）如图（a），一粗糙、绝缘水平面上有两个质量均为m 的小滑块A 和B，其电
荷量分别为
和
。A 右端固定有轻质光滑绝缘细杆和轻质绝缘弹簧，弹簧处于原长状态。整个空
间存在水平向右场强大小为E 的匀强电场。A、B 与水平面间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，其大小均
为
。
时，A 以初速度
向右运动，B 处于静止状态。在
时刻，A 到达位置S，速度为
，此时
弹簧未与B 相碰；在
时刻，A 的速度达到最大，此时弹簧的弹力大小为
；在细杆与B 碰前的瞬间，
A 的速度为
，此时
。
时间内A 的
图像如图（b）所示，
为图线中速度的最小值，
、
、
均为未知量。运动过程中，A、B 处在同一直线上，A、B 的电荷量始终保持不变，它们之间的库仑力等
效为真空中点电荷间的静电力，静电力常量为k；B 与弹簧接触瞬间没有机械能损失，弹簧始终在弹性限
度内。
（1）求
时间内，合外力对A 所做的功；
（2）求
时刻A 与B 之间的距离；
（3）求
时间内，匀强电场对A 和B 做的总功；
（4）若增大A 的初速度，使其到达位置S 时的速度为
，求细杆与B 碰撞前瞬间A 的速度。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
；（4）
【详解】（1）
时间内根据动能定理可知合外力做的功为
（2）由图（b）可知
时刻A 的加速度为0，此时滑块A 所受合外力为0，设此时A 与B 之间的距离为
r0，根据平衡条件有
其中
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联立可得
（3）在
时刻，A 的速度达到最大，此时A 所受合力为0，设此时A 和B 的距离为r1，则有
且有
，
联立解得
时间内，匀强电场对A 和B 做的总功
（4）过S 后，A、B 的加速度相同，则A、B 速度的变化相同。设弹簧的初始长度为
；A 在S 位置时，
此时刻A、B 的距离为
，A 速度最大时，AB 距离为
，细杆与B 碰撞时，A、B 距离为
。
A 以
过S 时，到B 与杆碰撞时，A 增加的速度为
，则B 同样增加速度为
，设B 与杠相碰时，B 向左
运动
。设B 与弹簧相碰到B 与杆相碰时，B 向左运动
。对A 根据动能定理有
对B 有
当A 以
过S 时，设B 与杆碰撞时，A 速度为
，则B 速度为
，设B 与杠相碰时，B 向左运动
。
设B 与弹簧相碰到B 与杆相碰时，B 向左运动
。
对A 根据动能定理有
对B
联立解得
5．（2023·全国·高考真题）密立根油滴实验的示意图如图所示。两水平金属平板上下放置，间距固定，可
从上板中央的小孔向两板间喷入大小不同、带电量不同、密度相同的小油滴。两板间不加电压时，油滴
a、b 在重力和空气阻力的作用下竖直向下匀速运动，速率分别为v0、
；两板间加上电压后（上板为正
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极），这两个油滴很快达到相同的速率
，均竖直向下匀速运动。油滴可视为球形，所受空气阻力大小与
油滴半径、运动速率成正比，比例系数视为常数。不计空气浮力和油滴间的相互作用。
（1）求油滴a 和油滴b 的质量之比；
（2）判断油滴a 和油滴b 所带电荷的正负，并求a、b 所带电荷量的绝对值之比。
【答案】（1）8:1；（2）油滴a 带负电，油滴b 带正电；4:1
【详解】（1）设油滴半径r，密度为ρ，则油滴质量
则速率为v 时受阻力
则当油滴匀速下落时
解得
可知
则
（2）两板间加上电压后（上板为正极），这两个油滴很快达到相同的速率
，可知油滴a 做减速运动，
油滴b 做加速运动，可知油滴a 带负电，油滴b 带正电；当再次匀速下落时，对a 由受力平衡可得
其中
对b 由受力平衡可得
其中
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