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第28 讲 带电粒子在静电场中的运动
目录
考情探究...........................................................................................................................
知识梳理...........................................................................................................................
探究核心考点...................................................................................................................
考点一 直线运动............................................................................................................................
考点二 恒力作用下的曲线运动....................................................................................................
考点三 示波管原理........................................................................................................................
考点四 圆周运动............................................................................................................................
考点五 电场线、等势面与运动轨迹............................................................................................
考点六 静电场中的功能关系........................................................................................................
考点七 静电场中的图像................................................................................................................
三阶突破训练...................................................................................................................
基础过关..........................................................................................................................................
能力提升..........................................................................................................................................
真题感知..........................................................................................................................................
一、5 年真题考点分布
5 年考情
考题示例
考点分析
关联考点
2025 年广东卷，第15 题
2025 年陕晋宁青卷，第15 题
2025 年黑龙江、吉林、辽
直线运动
受力平衡
动能定理
弹性势能
1
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宁、内蒙古卷，第7 题
2024 年江西卷，第10 题
2024 年辽宁卷，第6 题
2024 年山东卷，第10 题
2023 年福建卷，第16 题
2023 年新课标卷，第12 题
2022 年北京卷，第18 题
2022 年广东卷，第14 题
2021 年湖南卷，第9 题
能量守恒定律
动量守恒定律
2025 年河南卷，第13 题
2025 年江苏卷，第13 题
2025 年重庆卷，第5 题
2025 年甘肃卷，第7 题
2023 年浙江1 月卷，第12 题
2023 年北京卷，第20 题
2023 年湖北卷，第10 题
2023 年山东卷，第15 题
2022 年浙江6 月卷，第9 题
2022 年湖北卷，第10 题
2021 年全国乙卷，第7 题
恒力作用下的曲线运动
2025 年四川卷，第3 题
2024 年河北卷，第14 题
2024 年上海卷，第11 题
2023 年浙江6 月卷，第8 题
2022 年浙江6 月卷，第15 题
2022 年全国乙卷，第8 题
2022 年辽宁卷，第14 题
圆周运动
能量守恒定律
2025 年广西卷，第11 题
2023 年全国甲卷，第5 题
2023 年全国乙卷，第6 题
2021 年天津卷，第8 题
一般曲线运动
受力平衡
二、命题规律及备考策略
【命题规律】本讲内容是新高考卷的常考内容。本类试题主要考查静电力作用下的各种运动。常常与匀变
速直线运动规律、牛顿运动定律、功能关系及能量守恒定律进行综合。
【备考策略】1.理解、掌握各种直线运动。
2
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2.熟悉恒力作用下的曲线运动。
3.熟悉圆周运动。
4.熟悉一般的曲线运动。
5.具备数形结合的思想意识。
【命题预测】本讲内容是新高考卷的必考内容，可选择，可计算，常常与匀变速直线运动规律、牛顿运动
定律、功能关系及能量守恒定律进行综合。
一、带电粒子(带电体)在电场中的直线运动
1．对带电粒子进行受力分析时应注意的问题
(1)要掌握静电力的特点．静电力的大小和方向不仅跟电场强度的大小和方向有关，还跟带电粒子的电性和
电荷量有关．
(2)是否考虑重力依据情况而定．
基本粒子：如电子、质子、α 粒子、离子等除有特殊说明或明确的暗示外，一般不考虑重力(但不能忽略质
量)．
带电颗粒：如液滴、油滴、尘埃、小球等，除有特殊说明或明确的暗示外，一般都不能忽略重力．
2．做直线运动的条件
(1)粒子所受合外力F 合＝0，粒子静止或做匀速直线运动．
(2)粒子所受合外力F 合≠0 且与初速度共线，带电粒子将做加速直线运动或减速直线运动．
3．用动力学观点分析
a＝，E＝，v2－v0
2＝2ad.
4．用功能观点分析
匀强电场中：W＝Eqd＝qU＝mv2－mv0
2
非匀强电场中：W＝qU＝Ek2－Ek1
5．带电粒子在交变电场中的直线运动
(1)按周期性分段研究．
(2)将――→a－t 图像――→v－t 图像．
二、带电粒子在匀强电场中的偏转
1．带电粒子在匀强电场中偏转的两个分运动
3
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(1)沿初速度方向做匀速直线运动，t＝(如图)．
(2)沿静电力方向做匀加速直线运动
①加速度：a＝＝＝.
②离开电场时的偏移量：y＝at2＝.
③离开电场时的偏转角：tan θ＝＝.
2．两个重要结论
(1)不同的带电粒子从静止开始经过同一电场加速后再从同一偏转电场射出时，偏移量和偏转角总是相同
的．
证明：在加速电场中有qU0＝mv0
2
在偏转电场偏移量y＝at2＝··()2
偏转角θ，tan θ＝＝
得：y＝，tan θ＝
y、θ 均与m、q 无关．
(2)粒子经电场偏转后射出，速度的反向延长线与初速度延长线的交点O 为粒子水平位移的中点，即O 到偏
转电场边缘的距离为偏转极板长度的一半．
3．功能关系
当讨论带电粒子的末速度v 时也可以从能量的角度进行求解：qUy＝mv2－mv0
2，其中Uy＝y，指初、末位置
间的电势差．
三、带电粒子在交变电场中的偏转
1．带电粒子在交变电场中的运动，通常只讨论电压的大小不变、方向做周期性变化(如方波)的情形．
当粒子垂直于交变电场方向射入时，沿初速度方向的分运动为匀速直线运动，沿电场方向的分运动具有周
期性．
2．研究带电粒子在交变电场中的运动，关键是根据电场变化的特点，利用牛顿第二定律正确地判断粒子
的运动情况．根据电场的变化情况，分段求解带电粒子运动的末速度、位移等．
3．注重全面分析(分析受力特点和运动规律)：抓住粒子运动时间上的周期性和空间上的对称性，求解粒子
运动过程中的速度、位移、做功或确定与物理过程相关的临界条件．
4．对于锯齿波和正弦波等电压产生的交变电场，若粒子穿过板间的时间极短，带电粒子穿过电场时可认
为是在匀强电场中运动．
四、电场中功能关系的综合问题
电场中常见的功能关系
(1)若只有静电力做功，电势能与动能之和保持不变．
(2)若只有静电力和重力做功，电势能、重力势能、动能之和保持不变．
(3)除重力之外，其他力对物体做的功等于物体机械能的变化量．
4
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(4)所有外力对物体所做的总功等于物体动能的变化量．
五、带电粒子在重力场和电场中的圆周运动
1．等效重力场
物体仅在重力场中的运动是最常见、最基本的运动，但是对于处在匀强电场和重力场中物体的运动问题就
会变得复杂一些．此时可以将重力场与电场合二为一，用一个全新的“复合场”来代替，可形象称之为
“等效重力场”．
2.
六、电场中的力电综合问题
1．动力学的观点
(1)由于匀强电场中带电粒子所受静电力和重力都是恒力，可用正交分解法．
(2)综合运用牛顿运动定律和运动学公式，注意受力分析要全面，特别注意重力是否需要考虑的问题．
2．能量的观点
(1)运用动能定理，注意过程分析要全面，准确求出过程中的所有力做的功，判断是对分过程还是对全过程
使用动能定理．
(2)运用能量守恒定律，注意题目中有哪些形式的能量出现．
①若带电粒子只在静电力作用下运动，其动能和电势能之和保持不变．
②若带电粒子只在重力和静电力作用下运动，其机械能和电势能之和保持不变．
3．动量的观点
(1)运用动量定理，要注意动量定理的表达式是矢量式，在一维情况下，各个矢量必须选同一个正方向．
(2)运用动量守恒定律，除了要注意动量守恒定律的表达式是矢量式，还要注意题目表述是否为某方向上动
量守恒．
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考点一 直线运动
典例1．（2025·黑龙江省哈尔滨市第九中学·二模）在平行于纸面的匀强电场中，质量为
、电荷量为
的小球，仅在重力和电场力的作用下，由静止释放，沿斜向下做直线运动，轨迹与竖直方向的夹角为
，
重力加速度g，下列说法正确的是（ ）
A. 电场方向可能水平向左
B. 电场强度的最小值为
C. 小球的电势能不可能增加
D. 小球的机械能可能增加
【答案】D
【解析】B．带电小球受重力mg、电场力F，小球运动轨迹为直线，那么小球受力的合力也必定沿运动轨
迹直线斜向下，由力合成的三角形定则求合力，如图所示
由解析图可知，当电场力F 与小球运动轨迹直线垂直时，电场力F 最小，场强最小，则有F=qEmin=mgsinθ
解得
故B 错误；
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A．小球带正电，受电场力方向只能向右侧，所以电场方向不可能向左，故A 错误；
CD．当电场力方向与速度方向夹角
为某一钝角时，如图所示
电场力做负功，小球机械能减小，电势能增加，
为锐角时，电场力做正功，小球机械能增加，电势能减
小，故C 错误，D 正确。
故选D
典例2．（2025·湖南省怀化市·二模）如图甲所示，A、B 是电场中一条电场线上的两点，t＝0 时刻一个负
电荷从A 点由静止释放，仅在静电力作用下从A 点运动到B 点，该过程中其速度v 随时间t 的变化图像如
图乙所示，关于该电场，下列说法正确的是（ ）
A. A 点电势高于B 点电势
B. 该电场可能为正点电荷产生的电场
C. 该负电荷在A 点的电势能大于在B 点的电势能
D. A 点的场强大小小于B 点的场强大小
【答案】C
【解析】A．由题意知，负电荷受电场力向右，故场强方向向左，沿电场线方向，电势逐渐降低，那么A
点电势低于B 点电势，A 错误；
B．如果是正点电荷产生的电场，那正点电荷应该在右侧，则A 点场强会小于B 点场强，与题目矛盾，B
错误；
C．该负电荷从A 到B 过程，电场力做正功，电势能减少，故在A 点电势能大于在B 点电势能，C 正确；
D．根据速度 - 时间图像知，电荷的加速度逐渐减小，故场强逐渐减小，D 错误。
故选C。
典例3．（2025·天津市耀华中学·二模）多个长度逐个增大的金属圆筒沿轴线排列成一串，如甲图所示，图
中只画出了六个圆筒作为示意。各筒按奇偶顺序交替连接到如乙图所示的交流电源的两端，已知交流电源
周期为T、电压绝对值为
，且
对应奇数号圆筒为高电势。整个装置放在高真空容器中。圆筒
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的两底面中心开有小孔，粒子可以沿筒的中心轴线穿过。由于静电平衡，可认为只有相邻圆筒间缝隙中存
在匀强电场，而圆筒内部电场强度为零，缝隙的宽度很小，粒子在缝隙电场中加速的时间可以不计。
时刻，有一电量为
、质量为
的正离子由静止进入一、二圆筒间的电场开始加速，穿过二号圆筒后正好
在
时刻进入二、三圆筒之间的电场再次加速，且之后每经过
正好进入下一缝隙电场。
（1）求粒子从第2 个圆筒飞出时的速度大小？
（2）第
个圆筒的长度？
（3）实际应用中，由于相邻圆筒之间电压最大值有限制，要想使粒子获得较大速度，需要经过很多次加
速，设置的圆筒数量较多，导致粒子在缝隙电场中的加速时间不能再忽略。设相邻圆筒间距均为
，在不
改变交变电源的情况下，粒子能获得的最大动能是多少？
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【小问1 详解】
根据动能定理
可得
【小问2 详解】
根据动能定理
又
联立可得
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【小问3 详解】
根据
结合牛顿第二定律
根据运动学公式
，
结合动能的定义
联立可得
跟踪训练1．（2025·河南省郑州市·三模）（多选）如图甲，质量
的滑块（可视为质点）带电量
，处在沿斜面向下的匀强电场中。滑块从固定的粗糙绝缘斜面底端开始以初速度
沿斜面向
上运动，一段时间后撤去匀强电场。以出发点O 为原点沿斜面向上建立坐标系，整个运动过程中滑块速度
的平方随位置坐标变化的关系如图乙所示，斜面倾角
，取
，重力加速度
，则（ ）
A. 斜面的动摩擦因数为0.25
B. 电场强度的大小为
C. 滑块出发后
撤去匀强电场
D. 整个过程中滑块机械能减少了
【答案】BD
【解析】AB．根据匀变速直线运动公式
可得图像的斜率绝对值是加速度的2 倍，物块沿斜面上升的过程中受沿斜面向下的电场力、斜面向下的摩
擦力和重力沿斜面向下的分量，可知沿斜面上升时的加速度较大，即最上面的图线，沿斜面下滑的时候加
速度小，从图像中可以看出，物体在下滑过程，距离O 点为3m 的时候撤去电场，上滑时的加速度大小为
撤去电场之前下滑的加速度大小为
对上滑和撤去电场之前的下滑两个过程根据牛顿第二定律得Eq+mgsinθ+μmgcosθ=ma1，
Eq+mgsinθ-μmgcosθ=ma2
解得：μ=0.375，E=106N/C
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故B 正确，A 错误；
C．上升到最大高度的时间
从最大高度下滑x1=2m 的时间
可知滑块出发后2s 撤去匀强电场，选项C 错误；
D．整个过程中减小的机械能
选项D 正确。
故选BD。
跟踪训练2．（2025·吉林省白城市第一中学·一模）如图，一带正电小球甲固定在光滑绝缘斜面上，另一带
正电小球乙在斜面上由静止释放。以释放点为原点，沿斜面向下为正方向建立x 轴。在乙沿x 轴加速下滑
过程中，其动能
和机械能E 随位置x 变化的图像，可能正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】AB．设两个带电小球间距为r，由动能定理可知
则
图像的斜率表示合外力，则
所以在乙沿x 轴加速下滑过程中，两个带电小球间距为r 逐渐减小，合外力沿斜面向下逐渐减小，则斜率
逐渐减小，故AB 不符合题意；
CD．由
图像的斜率表示库仑力，则
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所以在乙沿x 轴加速下滑过程中，库仑力逐渐增大，
图像的斜率逐渐增大，故C 不符合题意，D 符
合题意。
故选D。
跟踪训练3．（2025·广东省汕头市·三模）如图甲所示，某多级直线加速器由n 个横截面积相同的金属圆筒
依次排列，其中心轴线在同一直线上，各金属圆筒依序接在交变电源的两极M、N 上，序号为C 的金属圆
板中央有一个质子源，质子逸出的速度不计，M、N 两极加上如图乙所示的电压
，一段时间后加速器
稳定输出质子流。已知质子质量为m、电荷量为e，质子通过圆筒间隙的时间不计，且忽略相对论效应，
则（ ）
A. 质子在各圆筒中做匀加速直线运动
B. 质子进入第n 个圆筒瞬间速度为
C. 各金属筒的长度之比为1:
：
：
D. 质子在各圆筒中的运动时间之比为1:
：
：
【答案】C
【解析】A．金属圆筒中电场为零，质子不受电场力，做匀速运动，故A 错误；
B．质子进入第n 个圆筒时，经过n 次加速，根据动能定理
解得
故B 错误；
D．只有质子在每个圆筒中匀速运动时间为
时，才能保证每次在缝隙中被电场加速，故D 错误；
C．第n 个圆筒长度
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则各金属筒的长度之比为1:
：
：
，故C 正确。
故选C。
考点二 恒力作用下的曲线运动
典例1．（2025·黑龙江省大庆市大庆中学·三模）（多选）如图，不带电的平行板电容器正对水平放置，上
极板接地，板长为L，板间距离为d。左侧有质量为m、电荷量为
的油滴从两板正中间位置以速度
进
入平行板，其中第一滴油滴恰好落在下极板的中心位置O，前一滴油滴落在下极板上后，后一滴相同的油
滴仍从同一位置以相同速度进入平行板，第N 滴油滴恰好从下极板右边缘射出。已知电容器的电容为C，
重力加速度大小为g，不计空气阻力，下列说法正确的是（ ）
A. 油滴进入平行板的速度
B. 两板间的最大电压为
C. 落在下极板上的油滴数
D. 若保持油滴射入位置不变，仅将上极板下移，则落在下极板上的油滴数不变
【答案】BD
【解析】A．第一滴油滴在极板间做平抛运动，水平方向
竖直方向
解得
故A 错误；
BC．第N 滴油滴恰好从下极板右边缘射出，在水平方向
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竖直方向
由牛顿第二定律得
极板间的电势差
解得
，
故B 正确，C 错误；
D．电容器的电容
落在下极板上的油滴滴数
解得
落在下极板上的油滴数与板间距离无关，仅将上极板下移，落在下极板上的油滴数不变，故D 确。
故选：BD
【点睛】本题考查了类平抛运动，根据题意分析清楚油滴的运动过程是解题的前提，应用运动学公式与牛
顿第二定律即可解题。
典例2．（2025·湖南省株洲市·一模）（多选）如图，空间存在匀强电场，质量为m、电荷量为q 的小球沿
图中实线先后通过同一竖直面平面内的P、Q 两点，通过两点时速率相同，P、Q 两点连线与竖直方向的夹
角为θ，则在小球从P 运动到Q 的过程中（ ）
A. 小球到达实线中点时速率最小
B. 小球动量的变化率先减小后增大
C. 该电场的场强不应小于
D. 小球在P 点的电势能大于在Q 点的电势能
【答案】AC
【解析】A．题意可知，小球通过PQ 两点时速率相同，即合力做功为0，则合力方向垂直于PQ 连线，可
知小球该过程做类斜抛运动，则PQ 连线的中垂线与轨迹交点为类斜抛运动的最高点，所以小球到达实线
中点时合力做负功最多，该点速率最小，故A 正确；
B．小球运动过程中只受电场力和重力，由于二者均为恒力，故其合力也为恒力，由动量定理推导式可得
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可知小球动量的变化率为电场力和重力的合力，故小球动量的变化率不变，故B 错误；
C．设电场力与PQ 夹角为α 如图
由于电场力和重力合力垂直与PQ 连线，故沿PQ 方向有
解得
故电场的场强不应小于
，故C 正确；
D．由于PQ 过程电场力和重力做的总功为0，但由于该过程重力做正功，所以该过程电场力做负功，则小
球电势能增加，即小球在P 点的电势能小于在Q 点的电势能，故D 错误。
故选AC。
跟踪训练1．（2025·陕西省西安中学·一模）如图所示，质量相同、带电量不同的两带电粒子（重力不计）
以大小相同的初速度从左上端水平射入平行板电容器，粒子1 打在下极板中点处，粒子2 由右侧板中央处
射出电场区域，粒子1 和2 所带电荷量分别为q1和q2，在电场中的运动时间分别为t1和t2，在电场中运动
的加速度分别为a1和a2，在电场中运动时动能的变化量分别为ΔEk1和ΔEk2，则（ ）
A. t1:t2=
B. a1:a2=4:1
C. q1:q2=2:1
D. ΔEk1:ΔEk2=16:1
【答案】D
【解析】A．粒子在水平方向做匀速运动，则
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则
t1:t2=1:2
选项A 错误；
B．竖直方向做匀加速运动，则
可得
选项B 错误；
C．根据
则
q1:q2=8:1
选项C 错误；
D．根据
可得
选项D 正确。
故选D。
跟踪训练2．（2025·山东省滨州市市·二模）空间中存在一匀强电场，电场方向未知。如图所示，一质量为
的带电小球在
点的初速度大小为
，方向水平向左，小球经过下方
点时速度的大小仍为
，且方向
与水平方向夹角
，指向右下方。A 、B两点在同一竖直面内，不计空气阻力，重力加速度为
。
则（ ）
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A. 若电场力水平向右，电场力最小
B.
间电势差
C. 小球速度竖直向下时，速度的大小为
D. 若电场力的大小为
，则电场力与竖直方向的夹角为
，指向右上方
【答案】D
【解析】A．小球经过AB 两点时速度大小相等，有对称性可知在AB 两点时速度方向与AB 连线的夹角大
小相等，设为α，由几何关系可知α=60°，小球所受的合力方向沿AB 的垂直平分线方向斜向下，方向与水
平线夹角为30°，由平行四边形定则可知，若场强方向沿BA 向上时电场力最小，场强最小，选项A 错误；
B．从A 到B 根据动能定理
可知
选项B 错误；
C．小球速度竖直向下时，此时速度方向与AB 夹角为30°，小球沿AB 方向的速度为
不变，则小球速度竖直向下时速度的大小为
选项C 错误；
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D．由图可知，若电场力的大小为
，合力大小也为mg，此时电场力与竖直方向的夹角为
，指向右
上方，选项D 正确。
故选D。
考点三 示波管原理
典例1．（2025·湖南师大附中·二模）（多选）示波器是一种常见的电学仪器，可以在荧光屏上显示出被检
测的电压随时间变化的情况。示波器的内部构造简化图如图所示，电子经电子枪加速后进入偏转电场，最
终打在荧光屏上。下列关于所加偏转电压与荧光屏上得到图形的说法中正确的是（ ）
A. 如果只在
上加图甲所示的电压，则在荧光屏上看到的图形如图（b）
B. 如果只在
上加图乙所示的电压，则在荧光屏上看到的图形如图（a）
C. 如果在
、
上分别加图甲、乙所示的电压，则在荧光屏上看到的图形如图（c）
D. 如果在
，
上分别加图甲、乙所示的电压，则在荧光屏上看到的图形如图（d）
【答案】ABD
【解析】A．如果只在
上加图甲所示的电压，竖直方向不偏转，所以在荧光屏上看到的图形如图
（b），故A 正确；
B．如果只在
上加图乙所示的电压，水平方向不偏转，则在荧光屏上看到的图形如图（a），故B 正
确；
CD．如果在
、
上分别加图甲、乙所示的电压，则水平方向为扫描电压，扫描电压覆盖了两个周
期的待测信号波形，在荧光屏上看到的图形将如图（d）所示，故C 错误，D 正确。
故选BD。
跟踪训练1．（2025·四川省成都市新津中学·一模）如图1 为示波管的原理图，如果在电极
之间所加
的电压按图2 所示的规律变化，在电极
之间所加的电压按图3 所示的规律变化，则在荧光屏上会看到
的图形是（ ）
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A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】因为在电极
之间所加的电压保持不变，可知在
方向上的偏转位移保持不变，在
方向
上电压按正弦规律变化，即
方向上偏转位移在正负最大值之间变化。
故选C。
考点四 圆周运动
典例1．（2025·江西省萍乡市·二模）（多选）如图甲所示为一种“自动旋转电玩小球”玩具模型的简化图。
内侧半径为R 的光滑绝缘轨道竖直固定放置，轨道内部存在与轨道平面平行的匀强电场（方向未知）。轨
道内侧有一质量为m，电荷量为+q 的五彩小球从轨道最低点P 以某一初速度启动，在轨道平面内沿逆时针
方向恰好能做完整的圆周运动。运动过程中，小球与轨道圆心O 的连线与OP 方向的夹角记为θ，乙图所
示为小球在运动过程中的电势能Ep随角度θ 的变化情况，已知重力加速度为g，则（ ）
A. 匀强电场的方向水平向左
B. 电场强度的大小为
C. 小球运动过程中动能的最小值为
D. 小球运动过程中对轨道压力的最大值为
【答案】AD
【解析】A．如图所示
18
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设M、N 为圆环上与圆心O 等高的两点，根据图乙可知当
或者
时，小球的电势能都为0，则
P、Q 两点为等势线
当
时，小球运动到N 点，电势能最大为
当
时，小球运动到M 点，电势能最小为
综上可得电场线方向为N 指向M，即水平向左，故A 正确；
B．小球由N 点运动到M 点，由动能定理得
解得
，故B 错误；
C．小球所受电场力
，所以小球在圆环内受到的等效重力为
，方向与MN 成
角，根据题意，小球运动到“最高点”时动能最小，小球恰好做圆周运动，则在“最高点”
解得
，故C 错误；
D．小球运动到“最低点”时对轨道的压力最大，小球从“最高点”到“最低点”的过程，
在“最低点”处
联立解得
，故D 正确。
故选AD。
典例2．（2025·四川省眉山市·一诊）如图所示，倾角
的绝缘倾斜传送带
长
，以
的速度顺时针匀速转动，传送带与半径可调的绝缘竖直光滑圆弧轨道
平滑连接，其中
段为光滑管道，对应圆心角
点所在半径始终在竖直方向上，过
点的竖直虚线右侧空间
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（包含虚线边界）存在水平向右的匀强电场，电场强度
。一带电小物块在传送带最上端
处无初速释放后，沿传送带运动。已知小物块的质量
、电量
，与传送带间的动
摩擦因数
，整个过程中小物块电量始终保持不变，忽略空气阻力，取重力加速度
。
（1）求小物块第一次到达
点时的速度大小；
（2）当轨道半径
，求小物块经过
点瞬间对圆弧轨道的压力大小；
（3）要使小物块第一次沿圆弧轨道向上运动过程中，不脱离轨道也不从
点飞出，求圆轨道半径
的取
值范围。
【答案】（1）
（2）
（3）
；
【解析】
【小问1 详解】
对物体受力分析，由牛顿第二定律得
代入数据得
假设物块与传送带共速，则共速时间
，则
则该过程中物块沿传送带下滑的位移为
，则
物块与传送带 后，所受摩擦力发生突变，对物块受力分析，由牛顿第二定律得
20
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代入数据得
对两者共速之后物块到
点的过程，由运动学公式
代入数据得
小问2 详解】
对物块在
点时受力分析，受重力、电场力和支持力，如下图所示
设电场力和重力的合力为
,其方向与竖直方向的夹角为
，设此力为等效重力，则由勾股定理
由几何关系
即
即
点为接下来做圆周运动的最低点，则过
点和圆心的反向延长线，交于圆周
点，为等效最高点。
在
点，设物体的支持力为
，由向心力公式
联立各式代入数据得
由牛顿第三定律可知，小物块经过
点瞬间对圆弧轨道的压力大小
。
【小问3 详解】
过圆心做直径
的垂线交于圆周于
点，如下图
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则由分析可知，当小物块第一次沿圆弧轨道到达
点时，速度为零，小物块不脱离轨道也不从
点飞出，
由动能定理可知
代入数据得
即圆轨道半径的取值范围为
由分析可知，当圆轨道半径较小时，小物块第一次沿圆弧轨道
点时，速度为零，小物块不脱离轨道也不
从
点飞出，由动能定理可知
代入数据得
即圆轨道半径的取值范围为
假设第一次沿圆弧轨道到达
点时, 与轨道之间弹力为零，设此时速度为
，则
由动能定理可知
代入数据得
22
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即圆轨道半径的取值范围为
跟踪训练1．（2025·四川省内江市威远中学·一模）如图所示，半径为R 的竖直光滑圆轨道内侧底部静止
放着一个可视为质点的带正电的光滑小球，小球质量为m，所带电荷量为+q。轨道的上半圆部分处于水平
向右，场强大小
的匀强电场中。现给小球一个水平向右的初速度
，小球恰好能在竖直轨道内
完成圆周运动，已知sin37°=
，sin53°=
，重力加速度为g，则
大小为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】由题可知，小球受到的电场力
当小球受到重力和电场力的合力指向圆心时，该点为小球运动的等效最高点，设该点为P 点，如图所示
根据几何知识可得
故
小球恰好能在竖直轨道内完成圆周运动，则小球在P 点受到电场力与重力的合力为其圆周运动提供向心力，
根据牛顿第二定律可得
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其中
由于小球带正电，故小球从最低点到P 点的过程中，重力与电场力均做负功，根据动能定理可得
联立解得
故选A。
跟踪训练2．（2025·新疆维吾尔自治区喀什地区·一模）（多选）如图，一个用光滑绝缘细管制备的圆环，
固定在方向向右的匀强电场中，圆环的直径ac 与电场方向一致，直径bd 与电场方向垂直。一带正电的小
球在细管中做圆周运动，小球在
点与管壁的相互作用力大小分别为
。运动
过程中小球电荷量不变，不计重力，下列说法正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】BC
【解析】运动过程中小球电荷量不变，不计重力，设小球的质量为
，圆环的半径为
，球在
点，根据牛顿第二定律
，
，
，
根据动能定理可得
，
，
可得
故
故选BC。
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考点五 电场线、等势面与运动轨迹
典例1．（2025·陕西省宝鸡市·模拟检测（一））如图所示，实线为负点电荷的一条电场线，负点电荷位于
电场线的一端。A、B、C 为电场线上的三点，且AB = BC，虚线为电子仅在电场力作用下的运动轨迹。关
于A、B、C 三点电场强度E、电势φ 的判断正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】AC．由图中虚线可知，电子在B 点所受电场力方向由A 点指向C 点，所以电场方向由C 点指向A
点，可知负点电荷在A 点左侧。根据点电荷电场的分布特点可知，三个点的电场强度关系为
因电场方向由C 点指向A 点，且沿着电场线方向，电势逐渐降低，故三个点的电势关系为
故AC 错误；
B．点电荷的电场强度公式为
设AB = BC = d，则有
，
，
推导可知
故B 错误；
D．根据电场强度与电势差之间的关系可知
其中
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此电场为点电荷电场，故
所以
化简可得
故D 正确。
故选D。
典例2．（2025·北京市东城区·一模）图中虚线为某静电场的等势面，相邻等势面间的电势差相等。实线为
一电子运动的部分轨迹，
、
、
为轨迹与等势面的交点。电子从
点运动到
点的过程中，仅受静电
力作用。下列说法正确的是（ ）
A. 电子加速度一直减小
B. 电子速度先减小后增大
C. 电子在
点电势能比在
点电势能小
D. 电子从
点到
点与从
点到
点的动能增量相等
【答案】D
【解析】A．等差等势面越密集，电场强度越大，由图可知电子从
点运动到
点的过程中电场强度先变
大后变小，根据牛顿第二定律
可知电子加速度先增大后减小，故A 错误；
B．根据曲线运动的合力方向位于轨迹的凹侧，且场强方向与等势面垂直，可知电子受到的电场力垂直等
势面偏右，所以电场力与速度方向的夹角小于90°，则电场力对电子做正功，电子的动能增大，速度一直
增大，故B 错误；
C．由于电场力对电子做正功，则电子电势能减少，电子在O 点电势能比在Q 点电势能大，故C 错误；
D．由于相邻等势面间电势差相等，则有
根据
可知从O 点到P 点电场力做功与从P 点到Q 点电场力做功相等，根据动能定理可知电子在两个过程中动能
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增量相等，故D 正确。
故选D。
跟踪训练1．（2025·河北省沧州市·二模）将一不带电的金属球放置在电场中形成如实线所示的电场线（未
画方向），一带负电的粒子在电场中运动的轨迹如虚线所示，a、b 为轨迹上两点，不计粒子重力，则下列
说法正确的是（ ）
A. 金属球内部电场强度处处相等且不为0
B. 金属球左半部分一定带正电
C. a 点电势一定高于b 点电势
D. 该粒子在a 点的电势能一定大于其在b 点的电势能
【答案】D
【解析】A．金属球处于静电平衡状态，内部电场强度处处为0，故A 错误；
B．根据粒子运动轨迹可知，轨迹凹侧指向金属球右半部分，则金属球右半部分一定带正电，金属球整体
呈电中性，故左半部分一定带负电，故B 错误；
C．金属球右半部分带正电，电场方向是从左向右，则b 点电势高于a 点，故C 错误；
D．因负电荷在电势低处电势能大，故该粒子在a 点的电势能一定大于其在b 点的电势能，故D 正确。
故选D。
跟踪训练2．（2025·甘肃省白银市·三模）一种电子透镜的部分电场分布如图所示，虚线为等差等势面。电
子枪发射的电子仅在电场力作用下的运动轨迹如图中实线所示，a、b、c 是轨迹上的三个点，取c 点电势
为0V，电子从a 点运动到b 点电势能变化了10eV，则（ ）
A. a 点电势为
B. 电子在b 点的电势能为
C. b 点的电场强度比c 点的大
D. 电子的运动轨迹与其中的一条电场线重合
【答案】B
【解析】A．根据电场线的方向与等势面的垂直，可知图中电场线的方向大体沿左上—右下方向；电子从a
到c 的过程中向上弯曲，说明电子受到的电场力的方向指向左上方，则电子从a 到c 的过程中受到的电场
力的方向与电场线方向之间的夹角为钝角，电场力做负功，所以电子从a 点运动到b 点电势能增大10eV，
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电子带负电，则b 点的电势比a 点的电势低10V，结合图可知相邻两等势面间的电势差为5V，取c 点电势
为0V，则a 点的电势为
故A 错误；
B．取c 点电势为0V，相邻两等势面间的电势差为5V，可知b 处电势为5V，则电子在b 点的电势能为
故B 正确；
C．根据等势面的疏密表示电场的强弱可知b 点的电场强度小于c 点的电场强度，故C 错误；
D．电场线的方向与等势面垂直，由图可知电子运动的轨迹与等势面不垂直，则电子的运动轨迹不可能与
其中的一条电场线重合，故D 错误。
故选B。
考点六 静电场中的功能关系
典例1．（2025·宁夏回族自治区银川市宁夏六盘山高级中学·一模）图甲中直线MN 表示某点电荷Q 产生的
电场中的一条电场线。一质量为m、电荷量大小为q、带负电的粒子仅在电场力作用下沿电场线向右运动，
经过M 点时速度为
，到达N 点时速度为
，粒子运动的
图像如图乙所示。取N 点电势为零，则
下列说法正确的是（ ）
A. M 点的电势为
B. 点电荷Q 为负电荷
C. M 点电场强度小于N 点电场强度
D. 该粒子在M 点的电势能大于在N 点的电势能
【答案】A
【解析】A．带电粒子从M 点运动到N 点的过程中，由动能定理得
解得M、N 两点间的电势差为
而
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且
，所以
A 正确；
BC．由图乙可知，该粒子受到向左的电场力，电场线方向向右，在M 处的加速度大于N 处的加速度，则
M 处的电场力大于N 处的电场力，由此可知该点电荷Q 为正电荷且在M 的左侧，M 处的场强大于N 处的
场强，BC 错误；
D．带电粒子从M 点运动到N 点
过程中，动能减小，电势能增大，故电荷在M 点的电势能一定小于N 点
的电势能，D 错误。
故选A。
典例2．（2025·山西省晋城市·二模）（多选）如图所示，固定点电荷A、B 分别带正、负电荷，A 的电量
大于B 的电量，光滑绝缘、粗细均匀的直杆竖直固定，与AB 的垂直平分线重合，将带正电的小环套在杆
上，让小环从杆上P 点由静止释放，则小环从P 点运动到AB 中点O 的过程中，下列说法正确的是
（ ）
A. 小环的电势能不断增大
B. 小环的机械能不断增大
C. 小环运动的速度不断增大
D. 小环有可能在两个位置的加速度为零
【答案】AD
【解析】AB．由于电场力对小环一直做负功，因此小环的机械能不断减小，电势能不断增大，故A 正确，
B 错误；
C．从P 到O 竖直向上的电场强度的分量有可能先增大后减小，若小环受到的向上的最大电场力大于环的
重力，则小环就是向下先加速后减速再加速，故C 错误；
D．若小环受到的向上的最大电场力大于小环的重力，则小环在向下运动过程中就有两个位置电场力与重
力等大反向，加速度为零，故D 正确。
故选AD。
典例3．（2025·山西省·二模）如图甲所示，竖直放置的绝缘圆环上均匀分布着正电荷，光滑的绝缘细杆过
圆心且垂直于圆环平面，杆上套有一带电小球。
时将小球从
点由静止释放，小球沿细杆运动的
图像如图乙所示。下列说法正确的是（ ）
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A. 小球从
到
的过程中电势能一直增大
B. 小球从
到
的过程中电势能先增大后减小
C.
点的电场强度大于
点的电场强度
D.
、
两点电势差小于
、
两点的电势差
【答案】D
【解析】AB．由题意可知小球带正电，小球从
经过
运动到
点的过程中，速度一直增大，静电力一直
做正功，电势能一直减小，故AB 错误；
C．根据v-t 图像的斜率表示加速度，可知小球在
点的加速度小于在
点的加速度，由
可知
点的电场强度小于
点的电场强度，故C 错误；
D．根据动能定理，从a 到b 有
从b 到c 有
可得
故D 正确
故选D。
跟踪训练1．（2025·河南省豫西北教研联盟·三模）如图所示，绝缘轨道ABC 固定在竖直平面内，AB 部分
是光滑的
圆弧轨道，轨道半径为R，BC 部分是足够长的水平轨道，两部分平滑连接。空间存在水平向左
的匀强电场（图中未画出），场强大小为E（未知）。现将一质量为m、电荷量为q 的带电物块（可视为
质点）从轨道上的A 点由静止释放，物块沿轨道运动。已知物块与轨道BC 间的动摩擦因数为0.125，整个
运动过程中物块在BC 段运动的总路程为2R，重力加速度大小为g，且
。则整个运动过程中带
电物块向右运动的最远处与B 点相距（ ）
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A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】运动到最远时，根据动能定理得
最终静止在圆弧轨道上，设与竖直方向的夹角为θ，根据平衡条件得
全程根据动能定理得
解得
故选A。
跟踪训练2．（2025·安徽省黄山市·二模）（多选）如图所示，倾角为30°的足够长光滑绝缘斜面固定在水
平面上，空间中存在水平向右的匀强电场，电场强度
。小球A 的电荷量为+q，小球B 不带电，
质量均为m，两球用劲度系数为k 的轻质绝缘弹簧连接，弹簧处于原长并锁定。现解除锁定释放两球并开
始计时，t0时刻两球第一次速度相等，速度大小为v0，此时弹簧形变量为x0，在整个运动过程中弹簧均在
弹性限度内，重力加速度为g。下列说法正确的是（ ）
A. 两球每次速度相同时弹簧形变量均为x0
B. 两球每次加速度相同时弹簧的形变量均为
C. 在t=t0时，小球A 的电势能增加了
D. 在t=2t0时，两球和弹簧系统机械能减少了
【答案】BCD
【解析】B．当两球加速度相同时，对AB 整体有
对B 有
联立解得
故B 正确；
C．作出两球的v-t 图线，如图所示
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t0时刻两球第一次速度相等，速度大小为v0，此时弹簧形变量为x0，即
结合图像可得
所以在t=t0时，小球A 的电势能增加了
故C 正确；
D．由图可知，在t0~2t0内，有
所以在t=2t0时，弹簧恢复原长，且
根据能量守恒定律可知，两球和弹簧系统机械能减少量等于电势能增加量，即
故D 正确；
A．由以上分析可知，t0时两球速度相等，弹簧伸长量为x0，2t0时两球速度再次达到相等，但弹簧处于原
长，故A 错误。
故选BCD。
跟踪训练3．（2025·四川省达州市·二模）（多选）空间中有竖直向上的匀强电场，一质量为m、带电荷量
为q 的微粒在竖直平面内运动，其电势能和重力势能随时间的变化如图所示，则该微粒（ ）
A. 一定带正电
B. 0~3s 内电场力做的功为9J
C. 运动过程中动能增加
D. 0~3s 内除电场力和重力外所受其他力对微粒做的功为
【答案】BD
【解析】A．重力势能减少，即微粒竖直方向上向下运动，电势能减少，即电场力做正功，因电场竖直向
上，则微粒所受电场力竖直向下，所以微粒带负电，故A 错误；
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B．0~3s 内电势能减少
，所以电场力做的功为
，故B 正确；
C．因电场力和重力都是恒力，且电势能和重力势能都随时间均匀变化，所以微粒在相等的时间内位移相
等，即微粒做匀速直线运动，动能不变，故C 错误；
D．0~3s 内电势能减少
，重力势能减少
，总共减少了
，因动能不变，所以减少的电势能和重力
势能用于克服除电场力和重力外的其他力做功，即除电场力和重力外的其他力对微粒做功为
，故D
正确。
故选BD。
考点七 静电场中的图像
典例1．（2025·江西省南昌市·二模）（多选）如图甲所示，在粗糙的竖直绝缘杆上，一质量
的带
负电小球（可视为质点）在
处以初速度
沿
轴正方向运动，小球与直杆间的摩擦力始终
为重力的0.5 倍。沿杆方向存在沿竖直方向的电场（图中未画出），小球在不同位置所具有的电势能
如
图乙所示，P 点是图线最低点，虚线AB 是经过
处的切线，并且AB 经过
和
两点，重
力加速度g 取
，则下列说法正确的是（ ）
A.
处的电势最低
B.
处的场强最小
C. 小球在向上运动的过程中速度先增大后减小
D. 小球运动至
位置时速度为3m/s
【答案】BD
【解析】A．小球在x=3m 处电势能最小，根据
，且小球带负电，所以x=3m 处的电势最高，故A
错误；
B．
图像斜率的绝对值
可知
处的电场力为0，则
处的场强为0，故B 正确；
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C．
处
电场力方向沿y 轴正方向
在
处以小球沿
轴正方向运动，由于
所以小球在向上运动的过程中速度逐渐减小，故C 错误；
D．小球从
处运动至
处，由动能定理得
又
，
，
解得
故D 正确。
故选BD。
典例2．（2025·湖南省常德市·二模）三角形
是一光滑绝缘斜面，斜面足够长，斜面倾角为
，以
点为坐标原点，沿斜面向下为
轴正方向，如图1 所示，沿斜面加一静电场，其电场强度
随
变化的关
系如图2 所示，设
轴正方向为电场强度的正方向。现将一质量为
，电荷量大小为
的带电小滑块（视
为质点）从
点静止释放，且小滑块释放后沿斜面向下运动，已知
，运动过程中小滑块的
电荷量
保持不变。则下列说法正确的是（ ）
A. 小滑块一定带正电
B. 小滑块沿斜面向下运动过程中机械能先减小后增大
C. 小滑块沿斜面向下运动过程中的最大速度为
D. 小滑块沿斜面向下运动的最远距离为
【答案】C
【解析】A．由题知，取沿斜面向下为x 轴正方向，故最开始的电场强度方向沿斜面向上，若小滑块带正
电，则最开始所受电场力沿斜面向上，有
即电场力大于重力沿斜面向下的分力，小滑块刚开始不可能沿斜面向下运动，所以小滑块带负电，故A 错
误；
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B．小滑块带负电，沿斜面向下运动过程中电场力先做正功，后做负功，所以机械能先增大后减小，故B
错误；
C．小滑块沿斜面向下运动过程中，当有最大速度时加速度为零，则有
解得
由图2 可知，设此时电场强度对应的横坐标为x，则有
解得
从最开始到最大速度，根据动能定理有
解得
故C 正确；
D．当小滑块的速度为零时，沿斜面向下运动到最大位移，设为xm，对应的电场强度为Em，由图2 可知
从最开始运动到最大位移，根据动能定理有
联立，解得
故D 错误。
故选C。
典例3．（2025·广东省汕头市·三模）（多选）如图甲所示，A、B 是某电场中一条电场线上的两点，一个
负点电荷仅在静电力的作用下从A 点运动到B 点，其运动的
图像如图乙所示。取A 点为坐标原点，
方向为正方向建立x 轴，作出了
所在直线的电场强度大小E、电势
、点电荷的电势能
随位移
x 变化的
图像、
图像、
图像，其中可能正确的是（ ）
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A.
B.
C.
D.
【答案】BD
【解析】AB．由
图像斜率表示加速度可知，从A 点运动到B 点，加速度逐渐增大，根据牛顿第二定
律
可知，电场强度大小逐渐变大，故A 错误，B 正确；
C．
图像的斜率表示电场强度，由上述知电场强度大小逐渐变大，斜率应该变大，故C 错误；
D．
图像斜率表示电场力，电场强度大小逐渐变大，则电场力变大，并且负点电荷仅在静电力的作
用下从A 点运动到B 点，电场力做正功，电势能减小，故D 正确；
故选BD。
跟踪训练1．（2025·黑龙江龙东十校联盟·二模）（多选）如图甲所示，竖直平面内等高固定着两个带电量
均为q（q>0）电荷连线的中点，A、B、C、D 处于同一竖直线上，AB=BD=h，C 为BD 中点。质量为m、
带电量为q 的小球从A 点由静止释放，从A 运动到D 的过程中，小球动能
随下降高度y 的变化图像如图
乙所示。已知重力加速度大小为g，不计空气阻力，则（ ）
A. 在
的位置两点电荷产生的电场强度大小为
B. C、A 两点间电势差
大于C、D 两点间电势差
C. 小球下降高度
时加速度大小为2g
D. 小球下降高度
时动能为
【答案】AC
【解析】A．由图乙可知图像的斜率表示合外力，小球在位置
处合外力为0，所以
解得
故A 正确；
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B．A、D 两点关于B 点对称，所以两点电势相同，C 点与两点的电势差相等，故B 错误；
C．
和
同样关于B 点对称，所以
处的电场力大小也等于mg，方向竖直向下，所以
故C 正确；
D．小球从
处运动到
处，电场力做功为0，重力做功为
所以
处的动能为
故D 错误。
故选AC。
跟踪训练2．（2025·福建省龙岩市·一模）一光滑绝缘细直长杆处于静电场中，沿细杆建立坐标轴
，以
处的
点为电势零点，如图甲所示。细杆各处电场方向沿
轴正方向，其电场强度
随
的分布如
图乙所示。细杆上套有可视为质点的带负电圆环，质量
、电荷量大小
，受到沿
轴正方向的恒力
的作用，从
点静止开始运动，求：
（1）带电圆环在
处的加速度的大小；
（2）带电圆环在
处的动能；
（3）带电圆环在运动区间内的电势能的最大值。
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【小问1 详解】
带电圆环在
处受到的电场力大小为
方向水平向左
根据牛顿第二定律可知
解得
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【小问2 详解】
根据
可知，
图像的图线与坐标轴围成的面积等于电势差
则
到
间的电势差
从
到
，由动能定理
解得
处的动能
【小问3 详解】
带电圆环沿
轴正方向先做加速运动后做减速运动，而后沿
轴负方向先加速后减速运动回到
处，然
后又重复上述运动，这样周而复始。
由图像乙可得离
点
处的电势差
当带电圆环沿
轴正方向运动到了最远处时，电势最低，电势能最大，由动能定理得
代入数据解得
（舍去）
可得
点到
处的电势差
以
处的
点为电势零点，可得最小电势
带电环电势能的最大值
跟踪训练3．（2025·安徽省淮北市和淮南市·二模）如图甲所示，两个等量点电荷P、Q 固定于光滑绝缘水
平面上，其连线的中垂线上有a、b、c 三点。一个质量50g，电荷量大小为
的带电小球（可视为
质点），从a 点由静止释放，经过b、c 两点，小球运动的
图像如图乙所示，其经过b 点时对应的图线
切线斜率最大，则下列分析正确的是（ ）
A. b、c 两点间电势差
B. 沿中垂线由a 点到c 点电势逐渐升高
C. 由a 点运动到c 点的过程中，小球的电势能先增大后减小
D. b 点为中垂线上电场强度最大的点，且场强
【答案】D
【解析】A．从b 到c，由动能定理
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解得
，A 错误；
B．由乙图可知，从a 点到c 点小球速度一直增大，电场力一直做正功，小球带正电，故沿中垂线由a 点到
c 点电势逐渐降低，B 错误；
C．由前面分析知，沿中垂线由a 点到c 点电势逐渐降低，小球带正电，则小球的电势能逐渐减小，C 错误；
D．由乙图可知，b 点时对应的图线切线斜率最大，即在b 点时加速度最大，由
，知b 点为中垂
线上电场强度最大的点，且场强
，D 正确。
故选D。
1．（2025·辽宁省朝阳市建平县实验中学·三模）（多选）示波器的核心部件是示波管，示波管由电子枪、
偏转电极和荧光屏组成，其原理图如图甲所示。下列说法正确的是（ ）
A. 如果在XX′之间加图
的电压，在YY′之间加图
的电压，在荧光屏上会看到一条与Y 轴平行的竖直亮
线
B. 如果在XX′之间加图
的电压，在YY′之间加图
的电压，在荧光屏上看到的亮线是余弦曲线
C. 如果在XX′之间不加电压，在YY′加图
电压，在荧光屏的Y 轴上会看到一个亮斑
D. 如果在XX′之间和YY′之间都加图
的电压，在荧光屏的坐标原点上会看到一个亮斑
【答案】AC
【解析】A．如果在XX′之间加图a 的电压，电子在X 轴方向上的偏转量都会相同，在YY′之间加图c 的正
弦电压，电子将在Y 轴方向上发生偏转，且电压越大时侧移量越大，所以在荧光屏上会看到一条与Y 轴平
行的竖直亮线，故A 正确；
B．如果在XX′之间加图
的锯齿形电压，在YY′之间加图
的正弦电压，在荧光屏上看到的亮线是与图c
相同的正弦曲线，选项B 错误；
C．如果在XX′之间不加电压，则在X 轴方向不偏转，若在YY′之间加图a 恒定电压，电子将在Y 轴发生
偏转，且侧移量相同，所以在荧光屏的Y 轴上会看到一个亮斑，选项C 正确；
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D．如果在XX′之间和YY′之间都加图b 的电压，由运动的合成可知，在荧光屏上将出现一条夹在X 轴与Y
轴之间倾斜的亮线，故D 错误。
故选AC。
2．（2025·河北省沧州市·二模）如图甲、乙所示为示波管的原理图，它由电子枪、偏转电极和荧光屏组成，
管内抽成真空。现在偏转电极YY'之间加如图丙所示电压。加速电压U0的调节不仅影响电子速度，还能间
接控制波形显示的缩放比例，是示波器校准的重要参数。若仅将加速电压U0增大为原来的2 倍，其他条件
不变，则电子在竖直方向的最大侧移量变为原来的（ ）
A.
B.
C.
D. 2 倍
【答案】B
【解析】若加速电压U0增大为原来的2 倍，电子射出加速电场时的速度v0增大为原来的
倍，则电子在
偏转电极间运动的时间变为原来的
，竖直方向的最大侧移量对应UY的峰值，在电场中的加速度不变，
则侧移量变为原来的
，电子射出偏转电场后至运动到荧光屏的时间也变为原来的
，射出偏转电场时
沿竖直方向的速度变为原来的
，所以电子射出偏转电场后至运动到荧光屏时沿竖直方向的侧移量也变
为原来的
。
故选B。
3．（2025·江苏省泰州市姜堰区·二模）如图所示，两等量同种正电荷Q 分别放置在椭圆的焦点A、B 两点，
O 点为椭圆中心，P、S 是椭圆长轴的端点，取无穷远处电势为零，则（ ）
A. O 点的电势高于M 点和N 点的电势
B. O 点电场强度为零，电势也为零
C. 椭圆上M、N 两点电场强度相同
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D. 将一电子从P 点移到S 点，电场力一直做正功
【答案】A
【解析】A．根据等量同种电荷的电场线分布可知在中垂线上电场线的方向分别是OM 和ON 方向，根据
沿着电场线方向，电势逐渐降低，可知O 点的电势高于M 点和N 点的电势，故A 正确；
B．根据等量同种正点电荷的电场分布规律，可知O 点电场强度为零，根据等量同种正点电荷的电势分布
规律，可知O 点电势大于零，故B 错误；
C．由等量同种点电荷的电场分布特点及题图中的对称关系易知，M、N 两点场强大小相等，方向相反，故
C 错误；
D．等量同种正点电荷的电场线与等势线分布规律如图所示
根据等势线分布规律可知，P 点与S 点电势相等，将一电子从P 点移到S 点过程中，电势可能一直不变，
也可能先升高后降低或先降低或升高，对应电场力一直不做功、先做正功后做负功、先做负功后做正功，
故D 错误。
故选A。
4．（2025·江西省赣州市·一模）（多选）如图所示，真空中有一中心为O 的椭圆，A、B 是椭圆的两个焦
点，PS、MN 分别是椭圆的长轴和短轴，两个带电量均为+Q 的点电荷分别放在A、B 两点处，
。
若规定无穷远处电势为零，真空中点电荷周围某点的电势
可表示为
，其中k 为静电力常量，Q
为点电荷的电荷量，r 为该点到点电荷的距离．则（ ）
A. M、N 两点电势都为
B. 椭圆上某点电势与该点到两焦点A、B 距离的乘积成反比
C.
AB 连线上，从A 到B，场强先减小后增大，电势先增大后减小
D. 若AM 与AB 夹角为
，那么直线OM 上电场强度最大的位置在M 点下方
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【答案】BD
【解析】A．M、N 两点电势都为
选项A 错误；
B．椭圆上某点到A 的距离为x，则该点到B 点的距离为2a-x，则该点电势为：
则该点电势与A.B 到该点距离的乘积成反比，故B 正确；
C．在AB 连线上，O 点场强为零，则从A 到B，场强先减小后增大，沿电场线电势逐渐降低，可知从A 到
B，电势先减小后增大，选项C 错误；
D．设OA 距离为r，∠MAO=θ，则OM 直线各点电场强度为
由数学方法：令sinθ-sin3θ
导数等于零，可得当sinθ=
时E 取最大值，因sin37°=0.6，故θ＜37°，若
AM 与AB 夹角为37°，那么直线OM 上电场强度最大的位置在M 点下方。故D 正确。
故选BD。
5．（2025·辽宁省名校联盟·一模）如图所示，在匀强电场中，有边长为8cm 的圆内接等边三角形ABC，三
角形所在平面与匀强电场的电场线平行，O 点为该三角形的中心，三角形各顶点的电势分别为
，DE 是平行于AB 过O 点的直线，D、E 是直线与圆周的两个交点。下列说
法正确的是（ ）
A. O 点电势为8V
B. 匀强电场的场强大小为150V/m，方向由A 指向C
C. 在三角形ABC 的外接圆上的E 点电势最低
D. 将电子由D 点移到E 点，电子的电势能减少了
【答案】D
【解析】A．由题意，AB 中点电势为
V
由几何关系可知，O 点电势为10V，故A 错误；
42
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B．AB 与CO 连线垂直，匀强电场的场强大小为
电场线由高电势指向低电势，则电场方向由A 指向B，故B 错误；
C．D 点和E 点是圆上沿电场线方向电势最低点和最高点，故C 错误；
D．由几何关系，圆形半径为
m
D 点和E 点的电势差为
将电子由D 点移到E 点，电势升高，电子的电势能减少
eV
故D 正确。
故选D。
6．（2025·辽宁省实验中学·二模）（多选）如图所示，实线为正点电荷周围的电场线，a、b 两带电粒子分
别从电场中的P 点以相同的速度飞出，两粒子的运动轨迹分别如图中虚线所示，其中a 粒子的轨迹是以点
电荷为圆心的圆。A、B 为轨迹上的两点，不计粒子重力及粒子之间的相互作用力，下列说法正确的是（
）
A. a 粒子的加速度不变
B. A 点的电势高于B 点的电势
C. b 粒子做匀变速曲线运动
D. b 粒子的电势能减小，a 粒子的电势能不变
【答案】BD
【解析】A．a 粒子做圆周运动的加速度方向时刻在改变，故A 错误；
B．离正电荷越远，电势越低，则A 点的电势高于B 点的电势，故B 正确；
C．b 粒子的加速度逐渐减小，不是做匀变速曲线运动，故C 错误；
D．电场力对b 粒子做正功，电势能减小，对a 粒子不做功，a 粒子的电势能不变，故D 正确。
故选BD。
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7．（2025·宁夏回族自治区石嘴山市平罗中学·二模）口罩生产过程要运用静电纺丝技术，原理如图所示。
收集板和喷口分别接高压电源的正、负极，高压电源使喷口和收集板带电进而产生强电场。在强电场作用
下，带电聚合物溶液微粒从静止开始由喷口飞向收集板形成纳米无纺布。喷口带负电，可视为电荷量为
的点电荷，收集板视为无限大带电平面，喷口到收集板的垂直距离为
。忽略聚合物溶液微粒的重力，
静电力常量为
。下列说法正确的是（ ）
A. 聚合物溶液微粒从喷口向收集板运动过程中加速度增大
B. 聚合物溶液微粒从喷口向收集板运动过程中电势能增大
C. 收集板左侧表面上，电场强度方向垂直于收集板向左
D. 喷口到收集板垂直路径上的中点
处的电场强度大小为
【答案】C
【解析】A．聚合物溶液微粒从喷口向收集板运动过程中，电场线变稀疏，场强变小，电场力变小，根据
牛顿第二定律可知，加速度变小，故A 错误；
B．聚合物溶液微粒从喷口向收集板运动过程中电场力做正功，电势能减小，故B 错误；
C．收集板表面是等势面，所以左侧表面上，电场强度方向垂直于收集板表面向左，故C 正确；
D．收集板视为无限大带电平面，可将该模型等效为等量异种电荷中垂面，则喷口到收集板垂直路径上的
中点
处的电场强度大小
故D 错误。
故选C。
8．（2025·山西省晋中市·二模）静电场中有一水平光滑绝缘桌面，桌面上有一电场线与x 轴重合，将一个
质量为m、电荷量为
可视为点电荷的带电小球从桌面上
坐标处由静止释放后，小球沿x 轴向正方向
运动，其加速度a 随坐标x 变化的图像如图所示。小球在运动过程中电荷量不发生变化，下列说法正确的
是（ ）
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A. 该电场为匀强电场
B. 该电场线上电场的方向沿x 轴负方向
C. 小球运动到
处的速度大小为
D. 小球运动到
处速度减为0
【答案】B
【解析】A．由牛顿第二定律可知，小球的加速度为
因为小球的加速度先增大后减小，故电场强度先增大后减小，不是匀强电场，A 错误；
B．由图像可知，加速度的方向一直沿x 轴正方向，负电荷受力方向与场强方向相反，故电场方向沿x 轴负
方向，B 正确；
C．由
可知，
图像的面积为
故
，解得
，C 错误；
D．小球从
至
一直做加速度运动，故小球运动到
处速度最大，D 错误。
故选B。
9．（2025·吉林省白城市第一中学·一模）如图所示，质量均为m 的带电小球A 和B 分别固定在长为2L 的
绝缘轻质细杆的两端并静止在光滑绝缘的水平面上。现以细杆中垂面为左边界加一平行细杆向右的场强大
小为E 的匀强电场，此时两球的加速度大小为
，方向向右。已知B 球所带的电荷量为
、电场
左右边界的间距为4L，求：
（1）A 球所带的电荷量；
（2）从加上电场经时间
后两球的速度大小。
【答案】（1）+2q；（2）0
【解析】（1）对整体应用牛顿第二定律有
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解得球A 的电荷量为
（2）整体向右加速运动阶段
解得
此时整体的速度为
向右减速运动阶段，对整体应用牛顿第二定律有
解得，减速运动阶段的加速度大小为
减速为零的时间为
，则有
解得
减速阶段的位移为
由于
，则经时间t，球A 恰好要离开电场，此时速度恰好为零。
10．（2025·湖北省部分学校联考·三模）如图所示，空间中存在与水平成45°斜向右上方、大小为
1×10⁶N/C 的匀强电场，在距地面10m 高处同一位置均以10m/s 的速率同时抛出A、B 两个带正电小球，A
球竖直向上，B 球水平向右，两小球质量均为1kg，带电量均为
。忽略两小球之间的相互作用
力和空气阻力，小球均可视为质点，g 取10m/s²，则在B 球落地前，两球间的最大距离为（ ）
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A. 10m
B.
C. 20m
D.
【答案】D
【解析】以抛出点为原点建坐标系，以水平方向为
轴，以竖直方向为
轴。小球A、B 抛出后水平方向
上只受电场力水平分力作用，水平方向上分加速度均为
，方向水平向右
竖直方向上受自身重力和电场力的竖直分力作用，竖直方向上分加速度均为
，方向竖直向下
分别对两小球两个方向上加速度进行矢量合成，两小球加速度相同，因此B 球相对A 球斜向右下方匀速直
线运动，相对速度
且B 球落地时两球相距最远，设B 球落地时间为t，则有竖直方向上
求得
，相距最大距离为
11. （2025·陕西省安康市·二模）如图所示，平行板电容器两极板与电源、开关构成回路，闭合开关，一带
电粒子从上极板左侧边缘平行于极板射入后恰好从下极板右侧边缘射出，粒子重力不计，下列措施能使带
电粒子打到下极板上的是（ ）
A. 仅增大入射初速度
B. 仅减小粒子的电荷量
C. 仅增大电源的电压
D. 仅增大粒子的质量
【答案】C
【解析】竖直方向粒子做匀加速运动，则
，
水平方向匀速
由以上各式可得
增大初速度，减小电荷量，增大粒子质量，水平位移增大，只有增大电源的电压水平位移减小，会打到极
板上。
故选C。
12. （2025·陕西省安康市·二模）如图，A、B、C 为圆
三等分点，A、B、C 三点固定有等量的正电荷，O
为圆的圆心，E、F 为圆中轴线上对称的两点，一带负电粒子从E 点由静止释放，粒子重力不计，以下说法
正确的是（ ）
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A. 粒子由E 向F 运动过程中，其电势能先增大后减小
B. 在关于圆心O 对称的E、F 两点，粒子所受的电场力相同
C. 在关于圆心O 对称的E、F 两点，粒子的电势能不同
D. 粒子将在E、F 间做往复运动
【答案】D
【解析】A．由于带负电粒子受电场力先向下做正功后向上做负功，可知电势能先减小后增大，则A 错误；
B．在圆心对称的
两点，电场力大小相同，但是方向不同，因此B 错误；
C．在圆心对称的
两点，电势相同，则电势能相同，C 错误；
D．由对称性可知，粒子将在
间做往复运动， D 正确。
故选D。
13. （2025·陕西省宝鸡市·二模）（多选）一带正电的粒子仅在电场力作用下沿x 轴正方向运动，其电势能
随位置x 的变化关系如图所示，其中
段是对称的曲线，
段是直线，则下列判断正确的是
（ ）
A. 粒子从O 点向
运动过程中加速度逐渐减小
B. 粒子从
向
运动过程电场力做正功
C.
处电势
的关系为
D. 粒子在
段所受电场力沿
轴负方向；
段所受电场力沿x 轴正方向
【答案】AC
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【解析】A．由题分析，可知
图像的切线斜率
可知图像的切线斜率表示电场力，由图可知，从O 点到
图像的切线斜率的大小不断减小，故电场力不断
减小，所以加速度不断减小，故A 正确；
B．粒子带正电，由图可知，粒子从
向
运动过程中电势能增大，故电场力做负功，故B 错误；
C．由图可知
根据
粒子带正电，故
故C 正确；
D．由图可知
根据
粒子带正电，故
根据电场线方向由高电势指向低电势，可知粒子在
段电场线方向向右，因粒子带正电，所以此段过
程粒子所受电场力沿
轴正方向；同理，在
段有
，可知粒子在
段电场线方向向左，
因粒子带正电，所以此段过程粒子所受电场力沿
轴负方向，故D 错误。
故选AC。
14. （2025·陕西省咸阳市·二模）离子推进器可以为宇宙飞船提供推力，其原理简化图如图所示，近乎静止
的正离子在高压电场作用下，从针状电极A 向环形电极B 运动，期间撞击由中性粒子组成的推进剂，使推
进剂加速向后喷出，从而向前推进飞船。在此过程中，下列说法正确的是（ ）
A. 中性粒子C 附近电场强度比中性粒子D 附近的小
B. 电极A 的电势高于电极B 的电势
C. 正离子与中性粒子组成
系统动量守恒，机械能也守恒
D. 同一正离子的电势能在电极A 附近比在电极B 附近小
【答案】B
【解析】A．电场线越密集的地方，场强越大，则中性粒子C 附近电场强度比中性粒子D 附近的大，故A
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错误；
BD．正离子在高压电场作用下，从针状电极A 向环形电极B 运动，则电场方向向右，沿着电场线，电势逐
渐降低，则电极A 的电势高于电极B 的电势，根据
可知，正离子在电势高的位置电势能较大，则
同一正离子的电势能在电极A 附近比在电极B 附近大，故B 正确，D 错误；
C．碰撞期间动量守恒，机械能减小，故C 错误；
故选B。
15. （2025·陕西省宝鸡市·三模）如图甲所示，真空中固定一个半径为R、带电荷量为+Q 的均匀带电小圆
环，取中轴线为x 轴，圆环圆心为坐标原点，向右为正方向，中轴线上的电场强度分布如图乙所示。x、-x
是坐标轴上电场强度最大的两点，电场强度最大值为Em。已知点电荷q 在距离为r 处产生的电势为
，k 为静电力常量。则下列说法正确的是（ ）
A. x 处场强大小为
B. x 处电势为
C. O 点和x 处的电势差为
D. 若有带电荷量为
的粒子沿x 轴从O 点一直向右运动，则其电势能先增加后减小
【答案】B
【解析】A．圆环带正电，x 负半轴电场强度向左，x 正半轴电场强度向右，大小都先增加后减小，取圆环
极小部分在x 处的电场为
沿x 轴方向上分量为
则坐标轴x 处场强为
则坐标轴x 处场强为
50
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故A 错误；
B．取圆环极小部分在x 处的电势为
电势为标量，则代数相加可得
故B 正确；
C．E-x 图线与坐标轴所围区域的面积表示电势差，则O 点和x 处的电势差大于
，故C 错误；
D．O 点右侧电场强度方向向右，负粒子从O 点向右运动，电势减小，电势能增加，故D 错误。
故选B。
16. （2025·陕西省宝鸡市·三模）竖直平面内存在一方向未知的匀强电场，在
时刻将一个质量为
、电荷量为
的小球，从A 点以速度
水平向右抛出，经过一段时间后，小球以
大小为
速度竖直向下经过B 点。已知AB 两点之间的高度差为
，水平距离为
，
重力加速度g 取
。求：
（1）AB 两点间的电势差
；
（2）匀强电场场强E 的大小和方向。
【答案】（1）
（2）
，与水平方向成
斜向左上方
【解析】
【小问1 详解】
带电小球从A 点运动到B 点的过程中，根据动能定理得
解得AB 两点间的电势差为
【小问2 详解】
由题意可得，带电小球从A 点运动到B 点的过程中，水平方向做末速为零的匀减速运动，竖直方向做初速
为零的匀加速运动，设匀强电场在水平方向的分量大小为
，则由牛顿第二定律
51
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由运动学公式
代入数据解得
，方向水平向左。
设匀强电场在竖直方向的分量大小为
，假设方向竖直向下，则有
，
代入数据解得：
所以匀强电场在竖直方向的分量大小为
，方向竖直向上，则匀强电场场强E 的大小为
即与水平方向成
，斜向左上方。
17. （2025·四川省乐山市·三模）空间存在一沿
轴方向的电场，一电荷量为
的试探电荷只在电场力作
用下从
点开始以某一初速度沿
轴正方向运动，其所受电场力随位置变化的图像如图所示，以
轴正方
向为电场力的正方向，设无穷远处电势为零。以下说法正确的是（ ）
A.
处
电势最低
B.
处的场强最大
C.
在
处的速度大于在
处的速度
D.
在
处的电势能最大
【答案】A
【解析】AD．由图可知，在
范围内，电荷
所受电场力合力水平向左，电场力做负功，电势
能增大；在
范围内，电荷
所受电场力合力水平向右，电场力做正功，电势能减小，故在
处电势
能最大，根据
可知在
处电势最低，故A 正确，D 错误；
B．由
结合图像可知，电荷
在
处所受电场力为0，电场强度最小，故B 错误；
C．在
范围内，电荷
所受电场力合力水平向右，电场力做正功电势能减小，动能增大，故电荷
在
处的速度小于在
处的速度，故C 错误；
52
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故选A。
18. （2025·甘肃省庆阳市第一中学·一模）（多选）如图所示，匀强电场的电场强度方向水平向右。竖直平
面内一质量为
、电荷量为
的粒子从
、
连线上的
点由静止释放，粒子刚好沿
运动。已知
与水平方向成
角，
、
间的距离为
，重力加速度为
，
，
，不
计空气阻力，下列判断正确的是（ ）
A. 匀强电场的电场强度大小为
B. 粒子从
点运动到
点所用的时间为
C.
、
两点间的电势差
D. 粒子从
点运动到
点的过程中电势能的增加量为
【答案】AC
【解析】A．粒子刚好沿
运动，可知重力和电场力的关系满足
匀强电场
电场强度大小为
故A 正确；
B．粒子的加速度
根据
粒子从
点运动到
点所用
时间为
故B 错误；
C．
、
两点间的电势差
53
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故C 正确；
D．粒子从
点运动到
点的过程中电场力做功
电场力做正功，电势能减少量为
，故D 错误。
故选AC。
19. （2025·广东省·一模）如图所示，带正电的点电荷固定于Q 点，电子仅在库仑力作用下，做以Q 为焦
点的椭圆运动。M、P、N 为椭圆上的三点，P 点是轨道上离Q 最近的点。M、N 到Q 点的距离相同，电子
在从M 点经P 到达N 点的过程中（ ）
A. 电子和Q 的连线在相同时间内扫过的面积不相同
B 速率先减小后增大
C. 电场力做的总功为零
D. 电势能先增大后减小
【答案】C
【解析】AB．万有引力作用下行星做椭圆运动时，行星与太阳的连线在相同时间内扫过相同的面积。由于
电子受到的静电力也是距离平方反比力，故类比可知，则电子和Q 的连线在相同时间内扫过的面积相同，
速率先增大后减小，故AB 错误；
CD．电子从M 点经P 到达N 点，电势能先转化为动能，再动能转化为电势能，速率先增加后减小，因MN
两点到Q 点的距离相同，则两点速率相同，动能相同，即电场力的功为零，电势能先减小后增加。故C 正
确，D 错误。
故选C。
20. （2025·河北省·三模）如图所示，在真空中有一个电荷量为
的点电荷固定在直角坐标系中
的坐标原点
的位置，其周围的电势为
为某位置到该点电荷的距离，其中无穷远处的电势为
0）。有一个质量为
，电荷量为
的试探电荷从
轴上的A 点以初速度大小为
开始沿
轴正方
向运动。已知A 点到
点的距离为
，该试探电荷在运动过程中只受电场力作用。下列说法正确的是（
）
54
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A. 该试探电荷在A 点的电势能小于在
轴的正半轴上其他任意位置的电势能
B. 若该试探电荷能运动到
轴上的
点，已知
点到
点的距离为
，则该试探电荷在
点的速
度大小为
C. 从
点沿
轴正方向的位置上的电场强度越来越小，电势越来越高
D. 若在整个空间再加上沿
轴负方向的匀强电场，则该试探电荷可能做匀速直线运动
【答案】B
【解析】A．正点电荷形成的电场中，该试探电荷从
轴上的A 点靠近
点时电势能减小，从A 点向右远
离
点时电势能增大，故 A 错误；
B．根据动能定理，
电场力对该试探电荷做的功为
A、B 两点间的电势差为
该试探电荷在
点的速度大小为
故B 正确；
C．在正点电荷形成的电场中，从
点沿
轴正方向的位置上的电场强度越来越小，电势越来越低，故C
错误；
D．该试探电荷在原电场中受到的作用力沿
轴方向，在匀强电场的受到的作用力沿
轴方向，两个力不
可能平衡，该试探电荷不可能做匀速直线运动，故D 错误。
故选B。
21. （2025·宁夏回族自治区石嘴山市第三中学·三模）（多选）绝缘光滑水平面上有ABO 三点，以O 点为
坐标原点，向右方向为正方向建立直线坐标轴x 轴，A 点坐标为
m，B 点坐标为2m，如图甲所示。A、
B 两点间的电势变化如图乙，左侧图线为四分之一圆弧，右侧图线为一条倾斜线段。现把一质量为m，电
荷量为q 的负点电荷，以初速度
由A 点向右射出，则关于负点电荷沿直线运动到B 点过程中，下列说法
中正确的是（忽略负点电荷形成的电场）（ ）
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A. 负点电荷由A 点运动到O 点过程中加速度越来越大
B. 负点电荷在B 点速度大于
C. 负点电荷在AO 段的平均速度大于在OB 段的平均速度
D. 当负点电荷分别处于
m 和
m 时，电场力的功率相等
【答案】C
【解析】A．由图像，A 到O 斜率越来越小，电场强度越来越小，加速度越来越小，故A 错误；
B．AO 段与BO 段电势差相等，电场力做功大小相等，且AO 段电场力对电荷做正功，OB 段电场力对电荷
做负功，故电荷在B 点速度为v0，故B 错误；
C．电荷在AB 间运动v-t 图像如图
由于位移相等，则面积相等，AO 段的时间小于OB 段的时间，易知电荷在AO 段的平均速度大于在OB 段
的平均速度，故C 正确；
D．负点电荷分别处于-
m 和
m 时，两段图像斜率绝对值相等，则场强大小相等，电荷所受电场力
大小相等，但-
m 处的速度大于
m 处的速度，所以电场力的功率不相等，故D 错误。
故选C。
22. （2025·山东省潍坊市·二模）如图所示，带电量分别为+4Q 和-Q 的两个点电荷固定在x 轴上，其中正
电荷的坐标x1=-d，负电荷的坐标x2=0。选无穷远处电势为零，将一电子从
处由静止释放，此时其
电势能为Ep1、加速度大小为a1；当电子运动到x4=d 处时电势能为Ep2、加速度大小为a2，则下列判断正确
的是（ ）
A. Ep1<Ep2，a1<a2
B. Ep1<Ep2，a1>a2
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C. Ep1>Ep2，a1>a2
D. Ep1>Ep2，a1<a2
【答案】C
【解析】两点电荷在x3处产生的电场强度大小分别为
，
所以x3处电场强度方向沿x 轴负方向，电子受到沿x 轴正方向的电场力，电子的加速度大小为
两点电荷在x4处产生的电场强度大小分别为
，
所以x4处电场强度为零，电子所受电场力为零，加速度
由于电场力做正功，所以电势能减小，则
故选C。
23. （2025·山西省吕梁市·三模）如图所示，倾角为
的光滑、足够长绝缘斜面固定在水平地面上，斜面
底端有一电荷量为
、质量为
的带电小物块，小物块在平行于斜面向上的恒定拉力
作
用下，由静止开始运动，经过一段时间
后撤去拉力
，此后，小物块继续沿斜面运动，又经过
返回到斜面底端。已知重力加速度
取
，整个空间存在水平向右的电场强度大小
的
匀强电场。则拉力
的大小为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】由牛顿第二定律可得
，
取沿斜面向上为正方向，则
，
且
联立解得
N
故选D。
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24. （2025·四川省眉山市·一诊）如图所示，实线表示某电场一簇等差等势面的分布情况，虚线表示该电场
中一带电粒子的运动轨迹，
、
、
分别为带电粒子的运动轨迹与等势面的交点，带电粒子的重力忽
略不计。从M 点运动到P 点的过程中，带电粒子（ ）
A. 动能先减小后增大
B. 电场力一直增大
C. 经过
点和
点的速度相同
D. 在
点的电势能大于
点的电势能
【答案】D
【解析】A．根据沿着电场线方向电势逐渐降低可知电场线方向大致指向中心，所以场源电荷为负电荷，
粒子从M 到N 作曲线运动，受到引力作用，所以粒子带正电，由此可知粒子从M 到N 再到P 一直受到引
力作用，所以从M 点运动到P 点的过程中电场力对粒子先做正功后做负功，粒子动能先增大后减小，故A
错误；
B．等差等势面越密的地方场强越大，由图可知从M 点运动到P 点的过程中，场强先增大后减小，所以带
电粒子受到的电场力先增大后减小，故B 错误；
C．
点和
点的电势相等，从N 点运动到P 点的过程中电场力做的合功为零，根据动能定理可知粒子经
过
点和
点的速度大小相同，但方向不同，故C 错误；
D．从M 点运动到P 点的过程中，电势逐渐降低，因为粒子带正电，所以带电粒子在M 点的电势能大于P
点的电势能，故D 正确。
故选D。
1．（2025·湖南省·三模）如图所示，真空中有一匀强电场（图中未画出），电场方向与圆周在同一平面内，
∆ABC 是圆的内接直角三角形，
，O 为圆心，半径
。位于A 处的粒子源向平面内各个
方向发射初动能均为
、电荷量为
的粒子，这些粒子会经过圆周上不同的点，其中到达B 点的粒子
动能为
，到达C 点的粒子动能也为
。忽略粒子受到的重力和粒子间的相互作用，下列说法正
确的是（ ）
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A. 电场方向由B 指向A
B. 经过圆周上的所有粒子，动能最大为
C.
D. 匀强电场的电场强度大小为
【答案】B
【解析】A．由题意可知，到达B 点的粒子动能与到达C 点的粒子动能相等，可知B、C 两点的电势相等，
BC 的连线为匀强电场的等势线，等势线与电场线互相垂直，如图所示，电荷量为
的粒子从A 点到B 点，
动能增加，可知电场力做正功，则有粒子沿电场线运动，因此可确定AB 方向是该电场的方向，A 错误；
D．由电场力做功与电势差的关系公式，可得
由几何知识可知，
，则有
由匀强电场的电场强度与电势差的关系公式，可得匀强电场的电场强度大小为
D 错误；
B．由解析题图可知，圆周上的D 点电势最低，则粒子运动到D 点的动能最大，则有
由几何关系可得
联立解得
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从A 到D 由动能定理可得
代入数据解得
B 正确；
C．BC 是等势线，由匀强电场的电场强度与电势差的关系公式，可得
C 错误。
故选B。
2．（2025·湖南省永州市·三模）如图所示，半径为
均匀带电细圆环处于水平面内，圆心位于竖直
轴
上的原点
处，细圆环所带电荷量为
，
轴上A 点与原点
的距离为
，静电力常量为
，质量为
的
带负电小球恰能静止于A 点，重力加速度为
，下列说法正确的是（ ）
A. 若在外力作用下，将小球从A 点移到B 点，电势能减小
B. 若在外力作用下，将小球从A 点移到O 点，电场力不断增大
C. 细圆环带负电，小球所带电荷量为
D. 若在外力作用下，沿y 轴向上缓慢移动小球，移动过程中外力所做
功大于小球增加的重力势能
【答案】C
【解析】A．带负电小球恰能静止于A 点，则圆环带负电，在外力作用下将小球从A 点移到B 点，库仑力
做负功，电势能增大，故A 错误；
C．原点
处电场强度为零，
轴上无穷远处电场强度也为零，小球带负电，在A 点时，受到重力，细圆
环对其向上的电场力，二者平衡，有
微元累积求和，可得
故细圆环带负电，小球所带电荷量为
，故C 正确；
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B．因
与
关系未知，则沿
轴从A 点移到O 点，电场强度可能不断减小，也可能先增大后减小，故小
球所受电场力可能不断减小，也可能先增大后减小，故B 错误；
D．球沿
轴向上缓慢移动过程中，电场力对小球做正功，小球电势能减小，由动能定理可得
即外力和电场力做的功之和等于小球的重力势能增加量，可知外力所做的功小于小球增加的重力势能，故
D 错误。
故选C。
3．（2025·福建省·二模）（多选）竖直平面内固定有两个电荷量均为
的点电荷，两电荷相距
为两电荷水平连线的中点。一带电量为
的带电小球自
点以
的初动能向下运动，其动能
与小球的位移
之间的关系如图乙中曲线所示，小球在
处的动能最小，且动能为
，
直线
为计算机拟合的曲线的一条渐近线，其斜率为
。已知小球可视为质点，运动过程中电量保
持不变，空气阻力不计，重力加速度大小
取
，静电力常量
，则（ ）
A. 下落到
的过程中，小球的电势能增加了
B. 下落到
的过程中，小球的加速度先减小后增加再减小
C. 电荷量
D 电荷量
【答案】BC
【解析】AB．由动能定理知，
图像的斜率为合外力，由图知0.4m 内，
图像的斜率先减小后
增大再减小，即小球所受的合外力先减小后增大再减小，由牛顿第二定律知，此过程小球的加速度先减小
后增加再减小；当
时，小球所受的电场力趋近于0，则
图像的渐近线的斜率为重力，即
N
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解得小球的质量
0～0.4m 内，由能量守恒定律知，小球电势能的增加量
故A 错误，B 正确；
CD．小球在x=0.4m 处所受合外力为0，此时
其中
解得电荷量
C
故C 正确，D 错误。
故选BC。
4．（2025·湖南省长沙市雅礼中学·一模）（多选）如图所示，竖直平面内存在无限大、均匀带电的空间离
子层，左侧为正电荷离子层，右侧为负电荷离子层，两离子层内单位体积的电荷量均为
，厚度均为d。
以正离子层左边缘上某点O 为坐标原点，水平向右为正方向建立坐标轴
。已知正离子层中各点的电场
强度方向均沿x 轴正方向，其大小E 随x 的变化关系如图所示；在
与
空间内电场强度均为零。
某放射性粒子源S 位于
的位置，入射电子速度方向与x 轴正方向的夹角为
时，电子刚好可以到达
离子层分界面处，没有射入负电荷离子层。已知电子质量为m，所带电荷量为e，其中
，
不计电子重力及电子间相互作用力，假设电子与离子不发生碰撞。下列说法正确的是（ ）。
A. 电子在离子层中做匀变速曲线运动
B. 电子将从正离子层左侧边界离开
C. 电子从进入离子层到离子层分界面过程电势能增加
D. 刚好可以到达离子层分界面处的电子入射时
满足
【答案】BD
【解析】A．由于电场强度变化，电子受到的电场力会发生变化，所以电子运动加速度发生变化，故A 错
62
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误；
B．电子到达离子层分界面处受到向x 轴负方向的电场力，故电子从正离子层左侧边界离开，故B 正确；
C．
图像面积表示电势差
电场力做功
电势能增加
故C 错误；
D．电子到达离子层分界面处时速度
由动能定理可知
解得
故D 正确。
故选BD。
5．（2025·湖南省永州市·二模）真空中有两个点电荷，电荷量均为-q（q>0），固定于相距为2r 的P1、P2
两点，O 是P1P2连线的中点，M 点在P1P2连线的中垂线上，距离O 点为r，N 点在P1P2连线上，距离O 点
为x（x≪r），已知静电力常量为k，则下列说法不正确的是（ ）
A. P1P2中垂线上电场强度最大的点到O 点的距离为
r
B. P1P2中垂线上电场强度的最大值为
C. 在M 点放入一电子，从静止释放，电子的加速度一直减小
D. 在N 点放入一电子，从静止释放，电子的运动可视为简谐运动
【答案】A
【解析】AB．如图，设P1处的点电荷在P1P2中垂线上某点A 处产生的场强的方向与竖直方向的夹角为θ
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（0＜θ≤
），由点电荷的场强公式可知，P1处的点电荷在A 处产生的电场强度大小
根据对称性及场强的叠加原理可知，A 点的合场强大小为E=2E1cosθ
可得
由数学导数知识可知，当
时，E 有最大值，且最大值为
此时A、O 之间的距离为
故A 错误B 正确；
C．在M 点放入一电子，从静止释放，电子将受向上的电场力从而向上运动，由于r＞h，则电子向上运动
的过程中所在位置的电场强度一直变小，所受的电场力一直减小，则电子的加速度一直减小，故C 正确；
D．以O 点为坐标原点，以沿P1P2连线向右为正方向建立x 轴，当电子在坐标x'处时，电子受到的电场力
为
当x'≪r 时，有
F 与x'的方向相反，大小成正比，又O、N 之间的距离x≪r，所以在N 点放入一电子，从静止释放，电子
的运动可视为简谐运动，O 点为平衡位置，所受电场力充当回复力，故D 正确。
此题选择不正确的，故选A。
6．（2025·吉林省通化市梅河口市第五中学·二模）如图所示，光滑水平地面上方
处存在宽度
、
方向竖直向上，大小
匀强电场区域。质量
、长为
的水平绝缘长木板静置
于该水平面，且长木板最右侧与电场边界D 重合。某时刻质量
、带电量
的可视
为质点的滑块以初速度
从长木板左端水平滑入，一段时间后，滑块离开电场区域。已知长木板
与滑块的动摩擦因数
，重力加速度大小为
。求：
64
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（1）滑块刚进电场时，长木板的速度大小；
（2）滑块在电场中的运动时间，及全过程的摩擦生热。
【答案】（1）1m/s
（2）
，6J
【解析】
【小问1 详解】
滑块刚进电场前，对长木板根据牛顿第二定律可得
解得加速度大小为
对滑块根据牛顿第二定律可得
解得加速度大小为
滑块进入电场前，对滑块有
，
解得滑块进入电场时的速度、滑行时间分别为
，
在时间
内，对木板有
所以滑块刚进电场时，长木板的速度大小为
。
【小问2 详解】
滑块进入电场后经过时间
滑块与木板同速，设共同速度为v，滑块与木板组成的系统动量守恒，则有
解得
对滑块分析，由动量定理可得
解得
在时间
和
内滑块的总位移为
滑块与木板同速后一起匀速运动，滑块在电场中匀速运动的时间为
所以滑块在电场中的运动时间为
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由能量守恒定律得，全过程中摩擦产生的热量为
7．（2025·江西省赣州市·二模）（多选）如图甲所示，竖直放置的光滑绝缘四分之一圆形轨道两端分别与
绝缘粗糙水平传送带CD 和光滑绝缘的竖直轨道AB 平滑相接，C 点为四分之一圆形轨道的最低点，整个装
置处在水平向左的匀强电场中，场强大小为E。一带电量为
，质量m 为0.1kg 的金属小物块（视为质
点）从A 位置处无初速度自由滑下，滑至底端C 并冲上沿逆时针方向匀速转动且足够长的传送带。在传送
带上运动的
图象如图乙所示，以速度水平向左为正方向，最大静摩擦力可认为等于滑动摩擦力，不计
空气阻力，重力加速度g 取
，已知
，则（ ）
A. 由A 运动到B
过程中，电场力对金属小物块的功率一直增大
B. 金属小物块与传送带间的动摩擦因数为
C.
内，金属小物块与传送带间摩擦产生的内能为0.9J
D. 金属小物块在运动过程中对轨道最大压力的大小为
【答案】BC
【解析】A．由A 运动到B 的过程中，电场力与金属小物块的速度方向垂直，可知电场力力的功率一直为
零，选项A 错误；
B．金属块刚滑上传送带时的加速度大小为
根据牛顿第二定律
解得金属小物块与传送带间的动摩擦因数为
选项B 正确；
C．
内，金属小物块与传送带间摩擦产生的内能为
其中
可得Q=0.9J
选项C 正确。
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D．电场力和重力的合力大小
在该点时物块对轨道压力最大，则由牛顿第二定律
可知
即金属小物块
运动过程中对轨道最大压力大于
，选项D 错误。
故选BC。
8．（2025·山东省青岛市·三模）如图所示，水平向右的匀强电场中固定倾角为30°的足够长斜面，质量为
m、带电量为+q 的小球以初速度
从斜面底端斜向上抛出，初速度方向与水平方向间的夹角为60°。已知
匀强电场的电场强度
，重力加速度为g，不计空气阻力。小球从抛出到落回斜面的过程中，下
列说法正确的是（ ）
A. 机械能不变
B. 离斜面最远时动能最小
C. 运动
时间为
D. 运动的时间为
【答案】D
【解析】A．小球从抛出到落回斜面的过程中，电场力做功会改变机械能，故机械能不守恒，故A 错误；
B．以斜面为参考系，建立沿斜面向上（x 轴）和垂直斜面向上（y 轴）的坐标系，小球受重力 mg（竖直
向下）和电场力 qE（水平向右），沿斜面方向（x 轴）：电场力分量：
（沿斜面向
上）
重力分量：
（沿斜面向下）
根据牛顿第二定律
解得加速度
（沿斜面向下）
垂直斜面方向（y 轴）： 电场力分量
（垂直斜面向下）
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重力分量：
（垂直斜面向下）
根据牛奶第二定律
解得加速度
（垂直斜面向下）
初速度
与斜面方向夹角为
，分解到斜面坐标系，沿x 轴为
沿y 轴为
离斜面最远时（y 方向速度为 0），时间
此时x 方向速度
设合力与竖直方向的夹角为
，则
故
此时合力与速度成钝角，速度大小继续减小，故离斜面最远时动能不是最小，故B 错误；
CD． 落回斜面时
由
解得
，故C 错误，D 正确。
故选D。
9．（2025·四川省德阳市·三诊）如图所示，竖直平面内，圆心为O 点，半径R=1m 内壁光滑的圆弧管道
ABC 固定在粗糙水平面上，管道与水平面相切于C 点，OA 连线与竖直方向的夹角
，连线BC 的左、
右两侧存在电场强度均为
，方向分别为竖直向下、水平向右的匀强电场。质量m=1kg、所带电荷
量为+q 的小球a 以一定的初速度从A 点开始运动，恰好能通过管道的最高点B 点，并与静止在C 点的物体
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b 发生弹性碰撞，碰撞前后两带电体的电荷量不发生改变。已知物体b 的质量为m、电荷量为+2q、与水平
面间的动摩擦因数
，小球a、物体b 均可视为质点，重力加速度g 取10m/s2，求：
（1）小球a 在A 点初速度的大小；
（2）小球a 经过管道C 点时（仍在右侧电场中），对管道的压力大小；
（3）物体b 停止的位置到C 点的距离。
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【小问1 详解】
在B 点根据牛顿第二定律得
解得
从A 点到B 点根据动能定理得
解得
【小问2 详解】
从B 点到C 点根据动能定理得
解得
在C 点根据牛顿第二定律得
解得
【小问3 详解】
69
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碰撞过程中根据动量守恒定律和能量守恒定律得
，
解得
，
根据动能定理得
解得
10．（2025·云南省昆明市·一模）（多选）匀强电场中，质量为m、带电量为q（q>0）且可视为质点的小
球在长为L 的绝缘轻绳拉力作用下绕固定点O 在竖直平面内做圆周运动，M 点和N 点分别为圆周上的最低
点和最高点，电场方向平行于圆周平面。已知运动过程中小球速度最小值为
（g 为重力加速度），此
时绳子拉力恰好为零。小球运动到M 点时速度大小为
且大于小球经过N 点时的速度，不计空气阻力。
若O 点电势为零，下列说法正确的是（ ）
A. 小球受到的电场力与重力的夹角为30°角
B. 匀强电场的场强大小为
C. M 点的电势为
D. 小球从速度最小到速度最大的过程中，电场力做的功为2mgL
【答案】BC
【解析】AB．因运动过程中小球速度最小值为
，此时绳子拉力恰好为零，可知小球受的合力为
因重力竖直向下，可知电场力大小也为mg 与重力夹角为120°，根据
可知匀强电场的场强大小为
选项A 错误，B 正确；
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C．因MO 两点的电势差为
O 点电势为零，M 点的电势为
选项C 正确；
D．小球从速度最小到速度最大的过程中，即从等效最高点Q 到等效最低点P 的过程中，电场力做的功为
选项D 错误。
故选BC。
11. （2025·黑龙江省齐齐哈尔市·二模）（多选）如图所示，竖直平面直角坐标系xOy 所在平面内存在一匀
强电场，电场的方向与x 轴负方向成60°角。A、B 是以坐标原点O 为圆心的竖直圆周上的两点，O、A 两
点的连线与一条电场线重合。一质量为m、电荷量为q 的带电小球从A 点沿平行于x 轴正方向射出，小球
经过时间t 到达x 轴上的B 点，到达B 点时小球的速度大小与在A 点射出时相同。已知重力加速度大小为
g。则（ ）
A. 场强
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B. 小球从A 点运动到B 点过程中增加的电势能为
C 小球从A 点运动到B 点过程中重力势能减小了
D. 小球从A 点运动到B 点过程中机械能不守恒
【答案】BD
【解析】A．小球从A 点运动到B 点动能不变，设圆半径为R，由动能定理得
解得
故A 错误；
BC．如图
小球沿y 轴方向，由牛顿第二定律知
则
又
解得
小球沿电场线方向上的位移大小为
则电势能的增加量
72
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重力势能减小量
故B 正确，C 错误；
D．小球从A 点运动到B 点过程中，电场力做负功，机械能减小，即机械能不守恒，故D 正确。
故选BD。
12. （2025·山西省太原市·一模）（多选）如图所示，空间中有竖直向下的匀强电场，电场强度的大小
。质量为m、电荷量为+q 的小球，从斜面上的O 点以大小为
的初速度在纸面内沿不同方向抛出，
使小球离开斜面，小球最后均落在斜面上。已知小球可看作质点，斜面倾角为
，重力加速度为g，空气
阻力不计，下列说法正确的是（ ）
A. 小球飞行的最长时间为
B. 小球距O 点的最大高度为
C. 小球与斜面的最大距离为
D. 小球在斜面上落点区域的长度为
【答案】ABD
【解析】A．根据题意可知，小球抛出后受重力和电场力，电场力方向竖直向下，由牛顿第二定律可得，
小球的加速度为
小球的运动可分解为沿斜面方向的匀变速直线运动和垂直于斜面方向的匀变速直线运动，其中垂直于斜面
方向的匀变速直线运动时间即为小球飞行时间，又因为垂直于斜面方向的加速度恒为
因此，当初速度方向与斜面垂直时，飞行时间最长，为
故A 正确；
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B．根据题意可知，当初速度方向竖直向上时，小球距O 点高度最大，则有
可得
故B 正确；
C．根据题意可知，初速度方向与斜面垂直时，小球与斜面的距离最大，则有
解得
故C 错误；
D．当小球的初速度方向与沿斜面向下方向的夹角为
时，将小球的初速度和加速度分解如
下图
可得
，
，
，
垂直于斜面方向有
则沿着斜面方向有
可得
当小球的初速度方向与沿斜面向上方向的夹角为
时，将小球的初速度和加速度分解如下
图
可得
，
垂直于斜面方向有
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则沿着斜面方向有
可得
故小球在斜面上落点区域的长度为
故D 正确。
故选ABD。
13. （2025·四川省成都市·二诊）如图所示，在粗糙绝缘水平地面上关于
点对称的
两点分别固定
两个相同的正点电荷，在
连线上的
点静止释放一个带正电的绝缘小物块（可视为点电荷）后，小物
块向右运动至最右端
点位于
间未画出）。以
点为原点沿水平地面向右建立
轴，取无穷远处为零
势能点。小物块加速度
、动能
、电势能
、动能和电势能之和
随
轴坐标变化正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】A．PO 段电场强度逐渐减小，由牛顿第二定律
故物块先做加速度逐渐减小的加速运动，当
时，加速度为0，速度最大
之后电场力小于摩擦力，由牛顿第二定律
，物块开始做加速度逐渐增大的减速运动，O 点电
场力为0，摩擦力不为0，故加速度不为0，A 错误；
B．物块加速阶段，由动能定理
，由于电场力逐渐减小，故
图像斜率逐渐减小，同
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理物块减速阶段
图像斜率逐渐增大，B 错误；
C．PO 段电场力做正功电势能减小，OQ 段电场力做负功，电势能增大，故电势能先减小后增大，C 错误；
D．取无穷远电势能为0，则
由能量守恒
，即
图像斜率小于0，恒定不变，D 正确。
故选D。
14. （2025·天津市河北区·二模）质量相同的两个带电粒子M、N 以相同的速度沿垂直于电场方向射入两平
行金属板间的匀强电场中，不计带电粒子的重力，M 从两板正中央射入，N 从下板边缘处射入，它们最后
打在同一点，如图所示。则从开始射入至打到上板的过程中（ ）
A. 它们运动的时间关系为
B. 它们的电势能减少量之比
C. 它们的动能增量之比
D. 它们的动量增量之比
【答案】C
【解析】A．带电粒子在垂直电场方向不受力，做速度相等的匀速直线运动，位移相等，则运动时间相等，
所以A 错误；
B．平行电场方向粒子做初速度为0 的匀加速直线运动，满足
根据牛顿第二定律，有
qE=ma
由两式解得：
所以它们所带的电荷量之比
qM：qN=1：2
电势能的减小量等于电场力做的功即
△E=qEy
因为位移之比是1：2，电荷量之比也是1：2，所以电场力做功之比为1：4，它们电势能减少量之比
△
:△
=1:4
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故B 错误．
C．电场力做功之比等于动能增量之比，则动能增量之比为
故C 正确；
D．由动量定理可知
故动量增量之比
故D 错误；
故选C。
15. （2025·河北省保定市·二模）如图甲所示，两正对平行板AC、DB 水平放置，在其右侧有汇聚状的电
场，电场线的延长线的交点在O 点（BC 的中点），在两平行板间加上周期为T 的交变电压，两板间电势
差的绝对值为
。
时刻，一质量为m、电荷量为q 的带正电粒子（不计重力）从靠近上极板左端
（视为A 点）以水平向右的速度
射入匀强电场，T 时刻从下极板B 点水平向右进入汇聚状电场做匀速圆
周运动，经过半个圆周到达C 点，到达C 点时的速度方向水平向左，下列说法正确的是（ ）
A. 平行板的长度为
B. 0.5T 时刻，粒子的速度大小为
C. 两平行板间的距离为
D. 粒子在汇聚状电场中，受到的电场力大小为
【答案】D
【解析】A．由于粒子在水平方向做匀速直线运动，故平行板的长度为
A 错误；
BC．
时间内，粒子在水平方向做匀速直线运动，则有
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竖直方向做匀加速直线运动，根据牛顿第二定律可得
竖直方向的速度
竖直方向上的位移
粒子在水平方向依然做匀速直线运动，竖直方向做加速度大小不变的减速运动，根据运动的对称
性可知，粒子到达B 点时竖直方向速度为零，竖直方向的位移大小依然为
故有
解得两平行板间的距离
时刻竖直方向的速度
故0.5T 时刻，粒子的速度大小为
BC 错误；
D．由题可知，粒子在电场中做匀速圆周运动的半径
电场力为粒子圆周运动提供向心力，根据牛顿第二定律则有
联立解得，粒子圆周运动时所受电场力的大小为
D 正确。
故选D。
16. （2025·湖北省武汉二中·一模）如图所示为两个固定的均匀带电的绝缘球面，半径分别为7R 和R，所
带电荷量分别为Q 和
Q（Q>0），两球面内切于E 点，球心O 和O1的连线沿水平方向。一根内壁光滑的
竖直绝缘细管穿过大球面球心O，与球面相交于B、C 两点。现有一质量为m、带电量为q（q>0）的小球
从A 点沿细管由静止开始下落，运动通过D 点。已知AB 两点距离和CD 两点距离均为R，静电力常量为
k，重力加速度为g，设无穷远处为零势能面，点电荷Q 产生电势为
，则（ ）
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A. A 点电势
B. 小球通过D 点时的速度为
C. 小球通过O 点时的动能为
D. 小球从B 运动到O 的过程中加速度一直在增大
【答案】C
【解析】A．几何关系可知
则A 点电势为
故A 错误；
B．根据对称性和电势叠加原理易得，AD 点电势相等，即AD 电势差U 为0，根据动能定理有
解得小球通过D 点时的速度
故B 错误；
C．根据对称性和电势叠加原理易得O 点电势
小球从A 到O 过程，根据动能定理有
联立解得小球通过O 点时的动能为
故C 正确；
D．小球从B 运动到O 的过程中，大球对小球的库仑力为0（大球在其内部产生的场强为0），小球只受重
力和小球的库仑力。小球受到带正电小球的库仑力，设其方向与竖直方向夹角为
，根据牛顿第二定律可
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知小球加速度
从从B 运动到O 的过程中，r 在减小，
在增大（
减小），故无法判断加速度大小具体变化，故D 错
误。
故选C。
17. （2025·四川省成都市新津中学·一模）如图所示，在坐标系xOy 中，x 轴水平向右，y 轴竖直向下，在
区域内存在与x 轴平行的匀强电场未画出
，一带正电小球的质量为m，从足够高的原点O 沿x
轴正向水平抛出，从A 点进入电场区域时速度与水平方向夹角
，后从C 点离开电场区域，其运动的
轨迹如图所示，B 点是小球在电场中向右运动的最远点，B 点的横坐标xB=3L。小球可视为质点，电荷量始
终不变，重力加速度为g，不计空气阻力。求：
（1）小球在OA 段与在AB 段运动的时间之比；
（2）小球从原点O 抛出时的初速度大小；
（3）小球在电场中运动
最小动能。
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【小问1 详解】
从A 运动到B 点，小球水平方向做匀减速直线运动，依据题意小球在B 点水平方向的速度为0，由运动学
公式得
又由于
解得
即
【小问2 详解】
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设小球质量为m，初速度为
，从O 到A，小球水平方向做匀速直线运动，则有
竖直方向上则
又因为
联立解得
【小问3 详解】
设小球从O 到A、从A 到B 时间为t，根据运动学规律则有
，
可知
由
与水平方向夹角为
，vA与水平方向夹角为
，建立如图所示坐标系
将
分解到
、
上，小球在
方向上做匀速运动，在当
方向上做类竖直上抛运动，所以小球在电场
中运动的最小动能为
而
解得
1．（2025 年甘肃卷第7 题）离子注入机是研究材料辐照效应的重要设备，其工作原理如图1 所示。从离
子源S 释放的正离子（初速度视为零）经电压为
的电场加速后，沿
方向射入电压为
的电场（
为平行于两极板的中轴线）。极板长度为l、间距为d，
关系如图2 所示。长度为a 的样品垂直
放置在距
极板L 处，样品中心位于
点。假设单个离子在通过
区域的极短时间
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A.
的最大值
内，电压
可视为不变，当
时。离子恰好从两极板的边缘射出。不计重力及离子之间的相互作
用。下列说法正确的是（ ）
B. 当
且
时，离子恰好能打到样品边缘
C. 若其他条件不变，要增大样品的辐照范围，需增大
D. 在
和
时刻射入
的离子，有可能分别打在A 和B 点
【答案】B
【解析】A．粒子在加速电场中被加速时
在偏转电场中做类平抛运动，则
解得
选项A 错误；
B．当
时粒子从板的边缘射出，恰能打到样品边缘时，则
解得
选项B 正确；
C．根据
若其它条件不变，要增加样品的辐照范围，则需减小U1，选项C 错误；
D ．由图可知t1时刻所加的向上电场电压小于t2时刻所加的向下的电场的电压，则t1时刻射入的粒子打到
A 点时的竖直位移小于打到B 点时的竖直位移，则选项D 错误。
故选B。
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2．（2025 年广东卷第15 题）如图是研究颗粒碰撞荷电特性装置的简化图。两块水平绝缘平板与两块竖直
的平行金属平板相接。金属平板之间接高压电源产生匀强电场。一带电颗粒从上方绝缘平板左端A 点处，
由静止开始向右下方运动，与下方绝缘平板在B 点处碰撞，碰撞时电荷量改变，反弹后离开下方绝缘平板
瞬间，颗粒的速度与所受合力垂直，其水平分速度与碰前瞬间相同，竖直分速度大小变为碰前瞬间的k 倍
（
）。已知颗粒质量为m，两绝缘平板间的距离为h，两金属平板间的距离为d，B 点与左平板的距
离为l，电源电压为U，重力加速度为g。忽略空气阻力和电场的边缘效应。求：
（1）颗粒碰撞前的电荷量q。
（2）颗粒在B 点碰撞后的电荷量Q。
（3）颗粒从A 点开始运动到第二次碰撞过程中，电场力对它做的功W。
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【小问1 详解】
根据题意可知，颗粒在竖直方向上做自由落体，则有
水平方向上做匀加速直线运动，则有
，
解得
【小问2 详解】
根据题意可知，颗粒与绝缘板第一次碰撞时，竖直分速度为
水平分速度为
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则第一次碰撞后竖直分速度为
设第一次碰撞后颗粒速度方向与水平方向夹角为
，则有
由于第一次碰撞后瞬间颗粒所受合力与速度方向垂直，则有
联立解得
【小问3 详解】
根据题意可知，由于
，则第一次碰撞后颗粒不能返回上绝缘板，设从第一碰撞后到第二次碰撞前的
运动时间为
，则有
水平方向上做匀加速直线运动，加速度为
水平方向运动的距离为
则电场对颗粒做的功为
3．（2025 年广西卷第11 题）带电粒子绕着带电量为
的源电荷做轨迹为椭圆的曲线运动，源电荷固定
在椭圆左焦点F 上，带电粒子电量为
；已知椭圆焦距为c，半长轴为a，电势计算公式为
，带
点粒子速度的平方与其到电荷的距离的倒数满足如图关系。
（1）求在椭圆轨道半短轴顶点B 的电势；
（2）求带电粒子从A 到B 的运动过程中，电场力对带电粒子做的功；
（3）用推理论证带点粒子动能与电势能之和是否守恒；若守恒，求其动能与电势能之和；若不守恒，说
明理由。
【答案】（1）
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（2）
（3）守恒，
【解析】
【小问1 详解】
由几何关系可知，椭圆上任何一点到两焦点间距离之和为2a，故顶点B 距源电荷的距离为
根据电势计算公式
可得在椭圆轨道半短轴顶点B 的电势为
【小问2 详解】
同理可知，在椭圆轨道半长轴顶点A 的电势为
根据电场力做功与电势能
关系可知，带电粒子从A 到B 的运动过程中，电场力对带电粒子做的功为
【小问3 详解】
设带电粒子的质量为m，假设带点粒子动能与电势能之和守恒，则满足
（定值）
则
根据图像可知
关系为一条倾斜直线，故假设成立，将图像中
代入关系式可得其动能与电势
能之和为
4．（2025 年河南卷第13 题）流式细胞仪可对不同类型的细胞进行分类收集，其原理如图所示。仅含有一
个A 细胞或B 细胞的小液滴从喷嘴喷出（另有一些液滴不含细胞），液滴质量均为
。当
液滴穿过激光束、充电环时被分类充电，使含A、B 细胞的液滴分别带上正、负电荷，电荷量均为
。随后，液滴以
的速度竖直进入长度为
的电极板间，板间电
场均匀、方向水平向右，电场强度大小为
。含细胞的液滴最终被分别收集在极板下方
处的A、B 收集管中。不计重力、空气阻力以及带电液滴间的作用。求：
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（1）含A 细胞
液滴离开电场时偏转的距离；
（2）A、B 细胞收集管的间距。
【答案】（1）
（2）0.11m
【解析】
小问1 详解】
由题意可知含A 细胞的液滴在电场中做类平抛运动，垂直于电极板方向则
沿电极板方向
由牛顿第二定律
解得含A 细胞的液滴离开电场时偏转的距离为
【小问2 详解】
含A 细胞的液滴离开电场后做匀速直线运动，则
则
联立解得
有对称性可知则A、B 细胞收集管的间距
5．（2025 年江苏卷第13 题）如图所示，在电场强度为E，方向竖直向下的匀强电场中，两个相同的带正
电粒子a、b 同时从O 点以初速度
射出，速度方向与水平方向夹角均为
。已知粒子的质量为m。电荷量
为q，不计重力及粒子间相互作用。求：
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（1） a 运动到最高点的时间t；
（2） a 到达最高点时，a、b 间的距离H。
【答案】（1）
（2）
【解析】
【小问1 详解】
根据题意，不计重力及粒子间相互作用，则竖直方向上，由对
球，根据牛顿第二定律有
a 运动到最高点的时间，由运动学公式有
联立解得
【小问2 详解】
方法一、根据题意可知，两个小球均在水平方向上做匀速直线运动，且水平方向上的初速度均为
，
则两小球一直在同一竖直线上，斜上抛的小球竖直方向上运动的位移为
斜下抛
小球竖直方向上运动位移为
则小球a 到达最高点时与小球b 之间的距离
方法二、两个小球均受到相同电场力，以a 球为参考系，
球以
的速度向下做匀速直线运动，则
a 到达最高点时，a、b 间的距离
6．（2025 年陕晋宁青卷第15 题）如图，有两个电性相同且质量分别为m、
的粒子A、B，初始时刻相
距
，粒子A 以速度
沿两粒子连线向速度为0 的粒子B 运动，此时A、B 两粒子系统的电势能等于
。经时间
粒子B 到达P 点，此时两粒子速度相同，同时开始给粒子B 施加一恒力，方向与速度
方向相同。当粒子B 的速度为
时，粒子A 恰好运动至P 点且速度为0，A、B 粒子间距离恢复为
，这时
撤去恒力。己知任意两带电粒子系统的电势能与其距离成反比，忽略两粒子所受重力。求：（m、
、
、
均为己知量）
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（1）粒子B 到达P 点时的速度大小
；
（2）
时间内粒子B 的位移大小
；
（3）恒力作用的时间
。
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【小问1 详解】
根据动量守恒定律
，解得
【小问2 详解】
两者共速时设间距为
，根据能量守恒定律可知此时电势能为
根据题意电荷间的电势能与它们间的距离成反比，则
两者共速前的过程系统始终动量守恒，根据动量守恒则有
即有
根据位移关系可知
联立解得
【小问3 详解】
对全过程，对系统根据动能定理
对全过程，根据动量定理
联立解得
7．（2025 年四川卷第3 题）如图所示，由长为R 的直管ab 和半径为R 的半圆形弯管bcd、def 组成的绝缘
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光滑管道固定于水平面内，管道间平滑连接。bcd 圆心O 点处固定一电荷量为Q（Q > 0）的带电小球。另
一个电荷量为q（q > 0 且q << Q）的带电小球以一定初速度从a 点进入管道，沿管道运动后从f 点离开。
忽略空气阻力。则（ ）
A. 小球在e 点所受库仑力大于在b 点所受库仑力
B. 小球从c 点到e 点电势能先不变后减小
C. 小球过f 点的动能等于过d 点的动能
D. 小球过b 点的速度大于过a 点的速度
【答案】B
【解析】A．小球所受库仑力
由于re > rb，则小球
e 点所受库仑力小于在b 点所受库仑力，故A 错误；
B．点电荷在距其r 处的电势为
由于c 点到d 点r 不变，d 点到e 点r 逐渐增大，则根据Ep = φq
可知小球从c 点到d 点电势能不变，从d 点到e 点电势能逐渐减小，故B 正确；
C．由于rf > rd，根据选项B 可知，小球的电势能Epd > Epf，根据能量守恒可知，小球过f 点的动能大于过
d 点的动能，故C 错误；
D．由于ra > rb，根据选项B 可知，小球的电势能Epb > Epa，根据能量守恒可知，小球过a 点的动能大于
过b 点的动能，则小球过b 点的速度小于过a 点的速度，故D 错误。
故选B。
8．（2025 年重庆卷第5 题）某兴趣小组用人工智能模拟带电粒子在电场中的运动，如图所示的矩形区域
OMPQ 内分布有平行于OQ 的匀强电场，N 为QP 的中点。模拟动画显示，带电粒子a、b 分别从Q 点和O
点垂直于OQ 同时进入电场，沿图中所示轨迹同时到达M、N 点，K 为轨迹交点。忽略粒子所受重力和粒
子间的相互作用，则可推断a、b（ ）
A. 具有不同比荷
B. 电势能均随时间逐渐增大
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C. 到达M、N 的速度大小相等
D. 到达K 所用时间之比为
【答案】D
【解析】A．根据题意可知，带电粒子在电场中做类平抛运动，带电粒子a、b 分别从Q 点和O 点同时进入
电场，沿图中所示轨迹同时到达M、N 点，可知，运动时间相等，由图可知，沿初速度方向位移之比为
，则初速度之比为
，沿电场方向的位移大小相等，由
可知，粒子运动的加速度大小相等，
由牛顿第二定律有
可得
可知，带电粒子具有相同比荷，故A 错误；
B．带电粒子运动过程中，电场力均做正功，电势能均随时间逐渐减小，故B 错误；
C．沿电场方向，由公式
可知，到达M、N 的竖直分速度大小相等，由于初速度之比为
，则到
达M、N 的速度大小不相等，故C 错误；
D．由图可知，带电粒子a、b 到达K 的水平位移相等，由于带电粒子a、b 初速度之比为
，则所用时
间之比为
，故D 正确。
故选D。
9．（2025 年黑龙江、吉林、辽宁、内蒙古卷第7 题）如图，光滑绝缘水平面AB 与竖直面内光滑绝缘半圆
形轨道BC 在B 点相切，轨道半径为r，圆心为O，O、A 间距离为
。原长为
的轻质绝缘弹簧一端固
定于O 点，另一端连接一带正电的物块。空间存在水平向右的匀强电场，物块所受的电场力与重力大小相
等。物块在A 点左侧释放后，依次经过A、B、C 三点时的动能分别为
，则（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】由题意可得A 点弹簧伸长量为
，B 点和C 点弹簧压缩量为
，即三个位置弹簧弹性势能相等，
则由A 到B 过程中弹簧弹力做功为零，电场力做正功，动能增加，
同理B 到C 过程中弹簧弹力和电场力做功都为零，重力做负功，则动能减小，
由A 到C 全过程则有
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因此
故选C。
10．（2024 年江西卷第10 题）（多选）如图所示，垂直于水平桌面固定一根轻质绝缘细直杆，质量均为
m、带同种电荷的绝缘小球甲和乙穿过直杆，两小球均可视为点电荷，带电荷量分别为q 和Q。在图示的
坐标系中，小球乙静止在坐标原点，初始时刻小球甲从
处由静止释放，开始向下运动。甲和乙两点
电荷的电势能
（r 为两点电荷之间的距离，k 为静电力常量）。最大静摩擦力等于滑动摩擦力
f，重力加速度为g。关于小球甲，下列说法正确的是（ ）
A. 最低点的位置
B. 速率达到最大值时的位置
C. 最后停留位置x 的区间是
D. 若在最低点能返回，则初始电势能
【答案】BD
【解析】A．全过程，根据动能定理
解得
故A 错误；
B．当小球甲的加速度为零时，速率最大，则有
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解得
故B 正确；
C．小球甲最后停留时，满足
解得位置x 的区间
故C 错误；
D．若在最低点能返回，即在最低点满足
结合动能定理
又
联立可得
故D 正确。
故选BD。
11．（2024 年辽宁卷第6 题）在水平方向的匀强电场中，一带电小球仅在重力和电场力作用下于竖直面
（纸面）内运动。如图，若小球的初速度方向沿虚线，则其运动轨迹为直线，若小球的初速度方向垂直于
虚线，则其从O 点出发运动到O 点等高处的过程中（ ）
A. 动能减小，电势能增大
B. 动能增大，电势能增大
C. 动能减小，电势能减小
D. 动能增大，电势能减小
【答案】D
【解析】根据题意若小球的初速度方向沿虚线，则其运动轨迹为直线，可知电场力和重力的合力沿着虚线
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方向，又电场强度方向为水平方向，根据力的合成可知电场强度方向水平向右，若小球的初速度方向垂直
于虚线，则其从O 点出发运动到O 点等高处的过程中重力对小球做功为零，电场力的方向与小球的运动方
向相同，则电场力对小球正功，小球的动能增大，电势能减小。
故选D。
12．（2024 年山东卷第10 题）（多选）如图所示，带电量为+q 的小球被绝缘棒固定在O 点，右侧有固定
在水平面上、倾角为30°的光滑绝缘斜面。质量为m、带电量为+q 的小滑块从斜面上A 点由静止释放，滑
到与小球等高的B 点时加速度为零，滑到C 点时速度为零。已知AC 间的距离为S，重力加速度大小为g，
静电力常量为k，下列说法正确的是（ ）
A. OB
距离l=
B. OB 的距离l=
C. 从A 到C，静电力对小滑块做功W=﹣mgS
D. AC 之间的电势差UAC=﹣
【答案】AD
【解析】AB．由题意知小滑块在B 点处的加速度为零，则根据受力分析有沿斜面方向
解得
A 正确，B 错误；
C．因为滑到C 点时速度为零，小滑块从A 到C 的过程，静电力对小滑块做的功为W，根据动能定理有
解得
故C 错误；
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D．根据电势差与电场强度的关系可知AC 之间的电势差
故D 正确。
故选AD。
13．（2024 年河北卷第14 题）如图，竖直向上的匀强电场中，用长为L 的绝缘细线系住一带电小球，在
竖直平面内绕O 点做圆周运动。图中A、B 为圆周上的两点，A 点为最低点，B 点与O 点等高。当小球运
动到A 点时，细线对小球的拉力恰好为0，已知小球的电荷量为
、质量为m，A、B 两点间的电势
差为U，重力加速度大小为g，求：
（1）电场强度E 的大小。
（2）小球在A、B 两点的速度大小。
【答案】（1）
；（2）
，
【解析】（1）在匀强电场中，根据公式可得场强为
（2）在A 点细线对小球
拉力为0，根据牛顿第二定律得
A 到B 过程根据动能定理得
联立解得
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14．（2024·上海卷·第11 题）如图，静电选择器由两块相互绝缘、半径很大的同心圆弧形电极组成。电极
间所加电压为U。由于两电极间距d 很小，可近似认为两电极半径均为
，且电极间的电场强度大
小处处相等，方向沿径向垂直于电极。
（1）电极间电场强度大小为______；
（2）由
核、
核和
核组成的粒子流从狭缝进入选择器，若不计粒子间相互作用，部分粒子在电场
力作用下能沿圆弧路径从选择器出射。
①出射的粒子具有相同的______；
A．速度 B．动能 C．动量 D．比荷
②对上述①中的选择做出解释。（论证）_____
【答案】 ①.
②. B ③. 电场力作为向心力
，q、E、r 相同，则由上式可知
也
相同，即动能
相同
【解析】[1]由题意可知，电极间可视为匀强电场，因此电场强度大小为
[2][3]由题意可知，电场力提供向心力，则
其中场强
、半径相同，三种原子核电荷量
相同，则三种原子的
相同，即动能相同，B 正确。
故选B。
15. （2023 年福建卷第16 题）如图（a），一粗糙、绝缘水平面上有两个质量均为m 的小滑块A 和B，其
电荷量分别为
和
。A 右端固定有轻质光滑绝缘细杆和轻质绝缘弹簧，弹簧处于原长状态。整
个空间存在水平向右场强大小为E 的匀强电场。A、B 与水平面间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，其大
小均为
。
时，A 以初速度
向右运动，B 处于静止状态。在
时刻，A 到达位置S，速度为
，
此时弹簧未与B 相碰；在
时刻，A 的速度达到最大，此时弹簧的弹力大小为
；在细杆与B 碰前的瞬
间，A 的速度为
，此时
。
时间内A 的
图像如图（b）所示，
为图线中速度的最小值，
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、
、
均为未知量。运动过程中，A、B 处在同一直线上，A、B 的电荷量始终保持不变，它们之间的
库仑力等效为真空中点电荷间的静电力，静电力常量为k；B 与弹簧接触瞬间没有机械能损失，弹簧始终
在弹性限度内。
（1）求
时间内，合外力对A 所做的功；
（2）求
时刻A 与B 之间的距离；
（3）求
时间内，匀强电场对A 和B 做的总功；
（4）若增大A 的初速度，使其到达位置S 时的速度为
，求细杆与B 碰撞前瞬间A 的速度。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
；（4）
【解析】（1）
时间内根据动能定理可知合外力做的功为
（2）由图（b）可知
时刻A 的加速度为0，此时滑块A 所受合外力为0，设此时A 与B 之间的距离为
r0，根据平衡条件有
其中
联立可得
（3）在
时刻，A
速度达到最大，此时A 所受合力为0，设此时A 和B 的距离为r1，则有
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且有
，
联立解得
时间内，匀强电场对A 和B 做的总功
（4）过S 后，A、B 的加速度相同，则A、B 速度的变化相同。设弹簧的初始长度为
；A 在S 位置时，
此时刻A、B 的距离为
，A 速度最大时，AB 距离为
，细杆与B 碰撞时，A、B 距离为
。
A 以
过S 时，到B 与杆碰撞时，A 增加的速度为
，则B 同样增加速度为
，设B 与杠相碰时，B 向左
运动
。设B 与弹簧相碰到B 与杆相碰时，B 向左运动
。对A 根据动能定理有
对B 有
当A 以
过S 时，设B 与杆碰撞时，A 速度为
，则B 速度为
，设B 与杠相碰时，B 向左运动
。设B 与弹簧相碰到B 与杆相碰时，B 向左运动
。
对A 根据动能定理有
对B
联立解得
16. （2023 年新课标卷第12 题）密立根油滴实验的示意图如图所示。两水平金属平板上下放置，间距固定，
可从上板中央的小孔向两板间喷入大小不同、带电量不同、密度相同的小油滴。两板间不加电压时，油滴
a、b 在重力和空气阻力的作用下竖直向下匀速运动，速率分别为v0、
；两板间加上电压后（上板为正
极），这两个油滴很快达到相同的速率
，均竖直向下匀速运动。油滴可视为球形，所受空气阻力大小与
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油滴半径、运动速率成正比，比例系数视为常数。不计空气浮力和油滴间的相互作用。
（1）求油滴a 和油滴b 的质量之比；
（2）判断油滴a 和油滴b 所带电荷的正负，并求a、b 所带电荷量的绝对值之比。
【答案】（1）8:1；（2）油滴a 带负电，油滴b 带正电；4:1
【解析】（1）设油滴半径r，密度为ρ，则油滴质量
则速率为v 时受阻力
则当油滴匀速下落时
解得
可知
则
（2）两板间加上电压后（上板为正极），这两个油滴很快达到相同的速率
，可知油滴a 做减速运动，
油滴b 做加速运动，可知油滴a 带负电，油滴b 带正电；当再次匀速下落时，对a 由受力平衡可得
其中
对b 由受力平衡可得
其中
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联立解得
17. （2023 年浙江6 月卷第8 题）某带电粒子转向器的横截面如图所示，转向器中有辐向电场。粒子从M
点射入，沿着由半径分别为R1和R2的圆弧平滑连接成的虚线（等势线）运动，并从虚线上的N 点射出，
虚线处电场强度大小分别为E1和E2，则R1、R2和E1、E2应满足（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】带电粒子在电场中做匀速圆周运动，电场力提供向心力，则有
联立可得
故选A。
18．（2023 年1 月浙江卷第12 题）如图所示，示波管由电子枪竖直方向偏转电极
、水平方问偏转电极
和荧光屏组成。电极
的长度为l、间距为d、极板间电压为
极板间电压为零，电子枪加速
电压为
。电子刚离开金属丝的速度为零，从电子枪射出后沿
方向进入偏转电极。已知电子电荷
量为e，质量为m，则电子( )
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A.在
极板间的加速度大小为
B.打在荧光屏时，动能大小为
C.在
极板间受到电场力的冲量大小为
D.打在荧光屏时，其速度方向与
连线夹角α 的正切
答案：D
解析：
极板间的电场强度大小为
，电子所受的电场力大小为
，由牛顿第二定律
得
，A 错误；电子在加速电场中运动时电场力做的功为
，电子沿
方向进入
偏转电极，若能打在荧光屏上，在
极板间沿电场力方向的位移
，则电场力做的功
，
对全过程由动能定理得
，B 错误；电子刚好从
极板的边缘离开时，电子在
极板间受到的电场力做的功为
，故在
极板间受到电场力的冲量大小
，C 错误；电子离开加速电场时有
，电子在
及板间的加速度大
小为
，则离开
极板间时电子在垂直
极板方向的速度大小为
，沿
方向有
，联立解得
，D 正确。
19. （2023 年北京卷第20 题）某种负离子空气净化原理如图所示。由空气和带负电的灰尘颗粒物（视为小
球）组成的混合气流进入由一对平行金属板构成的收集器。在收集器中，空气和带电颗粒沿板方向的速度
保持不变。在匀强电场作用下，带电颗粒打到金属板上被收集，已知金属板长度为L，间距为d、不考
虑重力影响和颗粒间相互作用。
（1）若不计空气阻力，质量为m、电荷量为
的颗粒恰好全部被收集，求两金属板间的电压
；
（2）若计空气阻力，颗粒所受阻力与其相对于空气
速度v 方向相反，大小为
，其中r 为颗粒的
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半径，k 为常量。假设颗粒在金属板间经极短时间加速达到最大速度。
a、半径为R、电荷量为
的颗粒恰好全部被收集，求两金属板间的电压
；
b、已知颗粒的电荷量与其半径的平方成正比，进入收集器的均匀混合气流包含了直径为
和
的两种颗粒，若
的颗粒恰好100%被收集，求
的颗粒被收集的百分比。
【答案】（1）
；（2）a、
；b、25%
【解析】（1）只要紧靠上极板
颗粒能够落到收集板右侧，颗粒就能够全部收集，水平方向有
竖直方向
根据牛顿第二定律
又
解得
（2）a.颗粒在金属板间经极短时间加速达到最大速度，竖直方向
且
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解得
b.
带电荷量q 的颗粒恰好100%被收集，颗粒在金属板间经极短时间加速达到最大速度，所受阻力等
于电场力，有
在竖直方向颗粒匀速下落
的颗粒带电荷量为
颗粒在金属板间经极短时间加速达到最大速度，所受阻力等于电场力，有
设只有距下极板为
的颗粒被收集，在竖直方向颗粒匀速下落
解得
的颗粒被收集的百分比
20. （2023 年湖北卷第10 题）（多选）一带正电微粒从静止开始经电压
加速后，射入水平放置
平行
板电容器，极板间电压为
。微粒射入时紧靠下极板边缘，速度方向与极板夹角为
，微粒运动轨迹
的最高点到极板左右两端的水平距离分别为
和L，到两极板距离均为d，如图所示。忽略边缘效应，不
计重力。下列说法正确的是（ ）
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A.
B.
C. 微粒穿过电容器区域的偏转角度的正切值为2
D. 仅改变微粒的质量或者电荷数量，微粒在电容器中的运动轨迹不变
【答案】BD
【解析】B．粒子在电容器中水平方向做匀速直线运动，竖直方向做匀变速直线直线运动，根据电场强度
和电势差的关系及场强和电场力的关系可得
，
粒子射入电容器后的速度为
，水平方向和竖直方向的分速度
，
从射入到运动到最高点由运动学关系
粒子射入电场时由动能定理可得
联立解得
B 正确；
A．粒子从射入到运动到最高点由运动学可得
，
联立可得
A 错误；
C．粒子穿过电容器时从最高点到穿出时由运动学可得
，
射入电容器到最高点有
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解得
设粒子穿过电容器与水平的夹角为
，则
粒子射入电场和水平的夹角为
C 错误；
D．粒子射入到最高点的过程水平方向的位移为
，竖直方向的位移为
联立
，
，
解得
且
，
即解得
即粒子在运动到最高点
过程中水平和竖直位移均与电荷量和质量无关，最高点到射出电容器过程同理
，
，
即轨迹不会变化，D 正确。
故选BD。
21. （2023 年山东卷第15 题）电磁炮灭火消防车（图甲）采用电磁弹射技术投射灭火弹进入高层建筑快速
灭火。电容器储存的能量通过电磁感应转化成灭火弹的动能，设置储能电容器的工作电压可获得所需的灭
火弹出膛速度。如图乙所示，若电磁炮正对高楼，与高楼之间的水平距离
，灭火弹出膛速度
，方向与水平面夹角
，不计炮口离地面高度及空气阻力，取重力加速度大小
，
。
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（1）求灭火弹击中高楼位置距地面的高度H；
（2）已知电容器储存的电能
，转化为灭火弹动能的效率
，灭火弹的质量为
，电
容
，电容器工作电压U 应设置为多少？
【答案】（1）60m；（2）
【解析】（1）灭火弹做斜向上抛运动，则水平方向上有
竖直方向上有
代入数据联立解得
（2）根据题意可知
又因为
联立可得
22. （2023 年全国甲卷第5 题）在一些电子显示设备中，让阴极发射的电子束通过适当的非匀强电场，可
以使发散的电子束聚集。下列4 幅图中带箭头的实线表示电场线，如果用虚线表示电子可能的运动轨迹，
其中正确的是（ ）
A.
B.
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C.
D.
【答案】A
【解析】A．电子做曲线运动满足合力指向轨迹凹侧，A 正确；
B．电子做曲线运动满足合力指向轨迹凹侧，对电子受力分析有
可见与电场力的受力特点相互矛盾，B 错误；
C．电子做曲线运动满足合力指向轨迹凹侧，对电子受力分析有
可见与电场力的受力特点相互矛盾，C 错误；
D．电子做曲线运动满足合力指向轨迹凹侧，对电子受力分析有
可见与电场力的受力特点相互矛盾，D 错误；
故选A。
23. （2023 年全国乙卷第6 题）（多选）在O 点处固定一个正点电荷，P 点在O 点右上方。从P 点由静止
释放一个带负电的小球，小球仅在重力和该点电荷电场力作用下在竖直面内运动，其一段轨迹如图所示。
M、N 是轨迹上的两点，OP > OM，OM = ON，则小球（ ）
A. 在运动过程中，电势能先增加后减少
B. 在P 点的电势能大于在N 点的电势能
C. 在M 点的机械能等于在N 点的机械能
D. 从M 点运动到N 点的过程中，电场力始终不做功
【答案】BC
【解析】ABC．由题知，OP > OM，OM = ON，则根据点电荷的电势分布情况可知
φM = φN > φP
则带负电的小球在运动过程中，电势能先减小后增大，且
EpP > EpM = EpN
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则带负电的小球在M 点的机械能等于在N 点的机械能，A 错误、BC 正确；
D．从M 点运动到N 点的过程中，电场力先做正功后做负功，D 错误。
故选BC。
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