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09 静电场及其应用
[-考点-09-] 带电粒子在匀强电场中的偏转
带电粒子在匀强电场中偏转的两个分运动
(1)沿初速度方向做匀速直线运动，t＝(如图)．
(2)沿静电力方向做匀加速直线运动
①加速度：a＝＝＝.
②离开电场时的偏移量：y＝at2＝.
③离开电场时的偏转角：tan θ＝＝.
1．两个重要结论
(1)不同的带电粒子从静止开始经过同一电场加速后再从同一偏转电场射出时，偏移量和偏
转角总是相同的．
证明：在加速电场中有qU0＝mv0
2
在偏转电场偏移量y＝at2＝··()2
偏转角θ，tan θ＝＝
得：y＝，tan θ＝
y、θ 均与m、q 无关．
(2)粒子经电场偏转后射出，速度的反向延长线与初速度延长线的交点O 为粒子水平位移的
中点，即O 到偏转电场边缘的距离为偏转极板长度的一半．
2．功能关系
当讨论带电粒子的末速度v 时也可以从能量的角度进行求解：qUy＝mv2－mv0
2，其中Uy＝
y，指初、末位置间的电势差．
典例1 (带电粒子在匀强电场中的偏转) (2020·浙江7 月选考·6)如图所示，一质量为m、电
荷量为q 的粒子以速度v0从MN 连线上的P 点水平向右射入大小为E、方向竖直向下的匀
强电场中．已知MN 与水平方向成45°角，粒子的重力可以忽略，则粒子到达MN 连线上的
某点时( )
1
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A．所用时间为
B．速度大小为3v0
C．与P 点的距离为
D．速度方向与竖直方向的夹角为30°
答案 C
解析 粒子在电场中只受静电力，F＝qE，方向向下，如图所示．粒子的运动为类平抛运
动．水平方向做匀速直线运动，有x＝v0t，竖直方向做初速度为0 的匀加速直线运动，有y
＝at2＝·t2，＝tan 45°，联立解得t＝，故A 错误；
vy＝at＝·＝2v0，则速度大小v＝＝v0，tan θ＝＝，则速度方向与竖直方向夹角θ≠30°，故
B、D 错误；
x＝v0t＝，与P 点的距离s＝＝，故C 正确．
典例2 (带电粒子在组合场中的运动) 如图装置是由粒子加速器和平移器组成，平移器由两
对水平放置、间距为Δd 的相同平行金属板构成，极板间距离和板长均为L.加速电压为
U0，两对极板间偏转电压大小相等均为U0，电场方向相反．质量为m、电荷量为＋q 的粒
子无初速度地进入加速电场，被加速器加速后，从平移器下板边缘水平进入平移器，最终
从平移器上板边缘水平离开，不计重力．下列说法正确的是( )
A．粒子离开加速器时速度v0＝
B．粒子通过左侧平移器时，竖直方向位移y1＝
C．Δd 与2L 相等
D．只增加加速电压，粒子将不能从平移器离开
答案 B
解析 根据qU0＝mv0
2，粒子离开加速器时速度为v0＝，故A 错误；粒子在左侧平移器电
场中的偏移量为y1＝at2，又q＝ma，L＝v0t，得y1＝，故B 正确；根据类平抛运动的特点和
2
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对称性，粒子在两平移器之间做匀速直线运动，它的轨迹延长线分别过平行板中点，根据
几何关系可知Δd＝L，故C 错误；由B 选项可得y1＝，由A 选项可知当加速电压增大时，
粒子进入平移器的速度增大，粒子在平移器中竖直方向偏移量变小，粒子可以离开平移器
位置比原来靠下，故D 错误．
1.如图所示，平行板电容器上极板带正电，从上极板的端点A 点释放一个带电荷量为＋Q(Q
＞0)的粒子，粒子重力不计，以水平初速度v0向右射出，当它的水平速度与竖直速度的大
小之比为1∶2 时，恰好从下端点B 射出，则d 与L 之比为( )
A．1∶2 B．2∶1 C．1∶1 D．1∶3
答案 C
解析 设粒子从A 到B 的时间为t，粒子在B 点时，竖直方向的分速度为vy，由类平抛运动
的规律可得L＝v0t，d＝t，又v0∶vy＝1∶2，可得d∶L＝1∶1，选项C 正确．
2.如图所示，矩形区域ABCD 内存在竖直向下的匀强电场，两个带正电的粒子a 和b 以相
同的水平速度射入电场，粒子a 由顶点A 射入，从BC 的中点P 射出，粒子b 由AB 的中点
O 射入，从顶点C 射出．若不计重力，则a 和b 的比荷(带电荷量与质量的比值)之比是(
)
A．1∶2 B．2∶1 C．1∶8 D．8∶1
答案 D
解析 粒子在水平方向上做匀速直线运动，a、b 两粒子的水平位移大小之比为1∶2，根据
x＝v0t，知时间之比为1∶2.粒子在竖直方向上做匀加速直线运动，根据y＝at2，y 之比为
2∶1，则a、b 的加速度之比为8∶1.根据牛顿第二定律知，加速度a＝，加速度大小之比等
于比荷之比，则两电荷的比荷之比为8∶1，故D 正确，A、B、C 错误．
3.如图所示，一电荷量为q 的带电粒子以一定的初速度由P 点射入匀强电场，入射方向与
电场线垂直．粒子从Q 点射出电场时，其速度方向与电场线成30°角．已知匀强电场的宽
度为d，方向竖直向上，P、Q 两点间的电势差为U(U>0)，不计粒子重力，P 点的电势为零．
则下列说法正确的是( )
3
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A．粒子带负电
B．带电粒子在Q 点的电势能为qU
C．P、Q 两点间的竖直距离为
D．此匀强电场的电场强度为
答案 D
解析 由题图可知，带电粒子的轨迹向上弯曲，则粒子受到的静电力方向竖直向上，与电
场方向相同，所以该粒子带正电，故A 错误；粒子从P 点运动到Q 点，静电力做正功，为
W＝qU，则粒子的电势能减少了qU，P 点的电势为零，可知带电粒子在Q 点的电势能为－
qU，故B 错误；Q 点速度的反向延长线过水平位移的中点，则y＝＝d，电场强度大小为E
＝＝，故D 正确，C 错误．
4．(多选)(2021·全国乙卷·20)四个带电粒子的电荷量和质量分别为(＋q，m)、(＋q,2m)、(＋
3q,3m)、(－q，m)，它们先后以相同的速度从坐标原点沿x 轴正方向射入一匀强电场中，电
场方向与y 轴平行．不计重力，下列描绘这四个粒子运动轨迹的图像中，可能正确的是(
)
答案 AD
解析 带电粒子在匀强电场中做类平抛运动，加速度为a＝，由类平抛运动规律可知，带
电粒子在电场中运动时间为t＝，离开电场时，带电粒子的偏转角的正切值为tan θ＝＝
＝，因为四个带电的粒子的初速度相同，电场强度相同，水平位移相同，所以偏转角只与
比荷有关，(＋q，m)粒子与(＋3q,3m)粒子的比荷相同，所以偏转角相同，轨迹相同，且与
(－q，m)粒子的比荷也相同，所以(＋q，m)、(＋3q，m)、(－q，m)三个粒子偏转角相同，
但(－q，m)粒子与上述两个粒子的偏转角方向相反，(＋q,2m)粒子的比荷比(＋q，m)、(＋
3q,3m)粒子的比荷小，所以(＋q,2m)粒子比(＋q，m)(＋3q，3m)粒子的偏转角小，但都带正
电，偏转方向相同，故A、D 正确，B、C 错误．
5.(2023·山东省·模拟)如图所示，一充电后的平行板电容器的两极板相距l，在正极板附近有
一质量为m，电荷量为q1(q1>0)的粒子A；在负极板附近有一质量也为m、电荷量为－
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q2(q2>0)的粒子B.仅在电场力的作用下两粒子同时从静止开始运动.已知两粒子同时经过一
平行于正极板且与其相距l 的平面Q，两粒子间相互作用力可忽略，不计重力，则以下说
法正确的是( )
A.电荷量q1与q2的比值为3∶7
B.电荷量q1与q2的比值为3∶4
C.粒子A、B 通过平面Q 时的速度之比为9∶16
D.粒子A、B 通过平面Q 时的速度之比为3∶7
答案 B
解析 设电场强度大小为E，两粒子的运动时间为t，对正电荷A 有a1＝，l＝·t2，对负电荷
B 有a2＝，l＝·t2，联立解得＝，A 错误，B 正确；由动能定理得qEx＝mv2－0，求得＝，
C、D 错误.
6.如图所示，一电子枪发射出的电子(初速度很小，可视为零)经过加速电场加速后，垂直射
入偏转电场，射出后偏转位移为Y.要使偏转位移增大，下列哪些措施是可行的(不考虑电子
射出时碰到偏转极板的情况)( )
A．增大偏转电压U
B．增大加速电压U0
C．增大偏转极板间距离
D．将发射电子改成发射负离子
答案 A
解析 设偏转极板长为l，极板间距为d，由eU0＝mv0
2，t＝，a＝，y＝at2，联立得偏转位
移y＝，增大偏转电压U，减小加速电压U0，减小偏转极板间距离，都可使偏转位移增大，
选项A 正确，B、C 错误；由于偏转位移y＝与粒子质量、带电荷量无关，故将发射电子改
成发射负离子，偏转位移不变，选项D 错误．
7.如图所示，一电子枪发射出的电子(初速度很小，可视为零)进入加速电场加速后，垂直射
入偏转电场，射出后偏转位移为y.要使偏转位移增大，下列哪些措施是可行的(不考虑电子
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射出时碰到偏转极板的情况)( )
A.增大偏转电压U
B.增大加速电压U0
C.增大偏转极板间距离
D.将发射电子改成发射负离子
答案 A
解析 设偏转极板板长为l，极板间距为d，由qU0＝mv，t＝，y＝at2＝t2得，联立得偏转位
移y＝，增大偏转电压U，减小加速电压U0，减小偏转极板间距离，都可使偏转位移增大，
选项A 正确，B、C 错误；由于偏转位移y＝与粒子质量、带电荷量无关，故将发射电子改
变成发射负离子，偏转位移不变，选项D 错误.
8.(多选)如图所示，一充电后与电源断开的平行板电容器的两极板水平放置，板长为L，板
间距离为d，距板右端L 处有一竖直屏M.一带电荷量为q、质量为m 的质点以初速度v0沿
中线射入两板间，最后垂直打在M 上，则下列说法中正确的是(已知重力加速度为g)( )
A．两极板间电压为
B．板间电场强度大小为
C．整个过程中质点的重力势能增加
D．若仅增大两极板间距，则该质点不可能垂直打在M 上
答案 BC
解析 据题分析可知，质点在平行板间轨迹应向上偏转，做类平抛运动，飞出电场后，轨
迹向下偏转，才能最后垂直打在M 屏上，前后过程质点的运动轨迹有对称性，如图所示，
可知两次偏转的加速度大小相等，对两次偏转分别由牛顿第二定律得qE－mg＝ma，mg＝
ma，解得a＝g，E＝，由U＝Ed 得两极板间电压为U＝，故A 错误，B 正确；质点在电场
中向上偏转的距离y＝at2，t＝，解得y＝，故质点打在屏上的位置与P 点的距离为s＝2y
＝，整个过程中质点的重力势能的增加量Ep＝mgs＝，故C 正确；仅增大两极板间的距离，
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因两极板上电荷量不变，根据E＝＝＝＝可知，板间电场强度不变，质点在电场中受力情
况不变，则运动情况不变，仍垂直打在M 上，故D 错误．
9.(多选)质子和α 粒子(氦核)分别从静止开始经同一加速电压U1加速后，垂直于电场方向进
入同一偏转电场，偏转电场电压为U2.两种粒子都能从偏转电场射出并打在荧光屏MN 上，
粒子进入偏转电场时速度方向正对荧光屏中心O 点．下列关于两种粒子运动的说法正确的
是( )
A．两种粒子会打在屏MN 上的同一点
B．两种粒子不会打在屏MN 上的同一点，质子离O 点较远
C．两种粒子离开偏转电场时具有相同的动能
D．两种粒子离开偏转电场时具有不同的动能，α 粒子的动能较大
答案 AD
解析 两种粒子在加速电场中做加速运动，由动能定理得qU1＝mv0
2－0，偏转电场中，设
板长为L，平行于极板方向：L＝v0t，垂直于极板方向：a＝＝，y＝at2，离开偏转电场时速
度的偏转角为α，有tan α＝＝，联立以上各式得y＝，tan α＝，偏移量y 和速度偏转角α
都与粒子的质量m、电荷量q 无关，所以偏移量y 相同，速度方向相同，则两种粒子打在
屏MN 上同一点，故A 正确，B 错误；对两个粒子先加速后偏转的全过程，根据动能定理
得qU1＋qU2′＝Ek－0，因α 粒子的电荷量q 较大，故离开偏转电场时α 粒子的动能较大，
C 错误，D 正确．
10. (多选)(2023·山东·月考)示波器是一种多功能电学仪器，它是由加速电场和偏转电场组
成的.如图所示，不同的带负电粒子在电压为U1的电场中由静止开始加速，从M 孔射出，
然后射入电压为U2的平行金属板间的电场中，入射方向与极板平行，在满足带负电粒子能
射出平行板电场区域的条件下，则( )
A.若电荷量q 相等，则带负电粒子在板间的加速度大小相等
B.若比荷相等，则带负电粒子从M 孔射出的速率相等
C.若电荷量q 相等，则带负电粒子从M 孔射出时的动能相等
D.若不同比荷的带负电粒子由O 点射入，偏转角度θ 相同
答案 BCD
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解析 设加速电场的板间距离为d，由牛顿第二定律得a＝，由于粒子的质量未知，所以无
法确定带负电粒子在板间的加速度大小关系，故A 错误；由动能定理得qU1＝mv，解得v0
＝，所以当带负电粒子的比荷相等时，它们从M 孔射出的速度相等，故B 正确；粒子从M
孔射出时的动能Ek＝mv＝qU1，所以当带负电粒子的电荷量q 相等时，它们从M 孔射出时
的动能相等，故C 正确；
如图所示，设偏转电场的板间距离为d′，在偏转电场中有tan θ＝＝＝，偏转角度θ 与粒子
的比荷无关，所以不同比荷的带负电粒子从O 点射入，偏转角度θ 相同，故D 正确.
11.(2023·重庆市高三模拟)如图所示，一圆形区域有竖直向上的匀强电场，O 为圆心，两个
质量相等、电荷量大小分别为q1、q2的带电粒子甲、乙，以不同的速率v1、v2从A 点沿AO
方向垂直射入匀强电场，甲从C 点飞出电场，乙从D 点飞出，它们在圆形区域中运动的时
间相同，已知∠AOC＝45°，∠AOD＝120°，不计粒子的重力，下列说法正确的是( )
A.＝
B.＝
C.＝
D.＝
答案 B
解析 甲、乙在电场中均做类平抛运动，沿初速度方向做匀速直线运动，它们在圆形区域
中运动时间t 相同，在水平方向上，根据题图中几何关系可得xAC＝v1t＝R－Rcos 45°，xAD＝
v2t＝R＋Rcos 60°，联立可得＝＝，A 错误，B 正确；甲、乙在电场中沿静电力方向均做初
速度为零的匀加速直线运动，则有yAC＝·t2＝Rsin 45°，yAD＝·t2＝Rsin 60°，联立可得＝＝，
C、D 错误．
12.如图所示，一个电子由静止开始经加速电场加速后，又沿中心轴线从O 点垂直射入偏转
电场，并从另一侧射出打到荧光屏上的P 点，O′点为荧光屏的中心.已知电子质量m＝
9.0×10－31 kg，电荷量e＝1.6×10－19 C，加速电场电压U0＝2 500 V，偏转电场电压U＝
200 V，极板的长度L1＝6.0 cm，板间距离d＝2.0 cm，极板的末端到荧光屏的距离L2＝3.0
cm(忽略电子所受重力，结果保留2 位有效数字).求：
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(1)电子射入偏转电场时的初速度v0大小；
(2)电子打在荧光屏上的P 点到O′的距离h；
(3)电子经过偏转电场过程中电场力对它所做的功W.
答案 (1)3.0×107 m/s (2)0.72 cm (3)5.8×10－18 J
解析 (1)根据动能定理有eU0＝mv，代入数据得
v0＝3.0×107 m/s.
(2)设电子在偏转电场中运动的时间为t，电子射出偏转电场时在竖直方向上的侧移量为y.电
子在水平方向做匀速直线运动，L1＝v0t，电子在竖直方向上做匀加速直线运动，y＝at2，根
据牛顿第二定律有＝ma，联立得y＝，代入数据得y＝0.36 cm.电子离开偏转电场时速度的
反向延长线过偏转电场的中点M，由图知＝＝，解得h＝0.72 cm.
(3)电子经过偏转电场过程中，电场力对它做的功W＝ey＝5.8×10－18 J.
13．(多选)如图，质量为m、带电荷量为q 的质子(不计重力)在匀强电场中运动，先后经过
水平虚线上A、B 两点时的速度大小分别为va＝v、vb＝v，方向分别与AB 成α＝60°角斜向
上、θ＝30°角斜向下，已知AB＝L，则( )
A．质子从A 到B 的运动为匀变速运动
B．电场强度大小为
C．质子从A 点运动到B 点所用的时间为
D．质子的最小速度为v
答案 ABD
解析 质子在匀强电场中受力恒定，故加速度恒定，则质子从A 到B 的运动为匀变速运动，
A 正确；质子在匀强电场中做抛体运动，在与电场垂直的方向上分速度相等，设va与电场
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线的夹角为β，如图所示．
则有vasin β＝vbcos β，解得β＝60°，根据动能定理有qELcos 60°＝mvb
2－mva
2，解得E＝，
B 正确；根据几何关系可得，AC 的长度为Lsin 60°＝L，则质子从A 点运动到B 点所用的时
间为t＝＝，C 错误；在匀变速运动过程中，当速度方向与静电力方向垂直时，质子的速度
最小，有vmin＝vasin β＝v，D 正确．
10
