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第38 讲 带电粒子在电场中运动的综合问题
目录
01 课标达标练......................................................................................................................................1
题型01 带电粒子在力电等效场中的圆周运动........................................................................1
题型02 用动力学和能量观点解决力电综合问题....................................................................7
题型03 用能量和动量观点解决力电综合问题......................................................................13
02 核心突破练....................................................................................................................................18
03 真题溯源练....................................................................................................................................32
01 带电粒子在力电等效场中的圆周运动
。
1．（2025·湖北·模拟预测）如图所示，平面直角坐标系
位于竖直平面内，空间存在沿x
轴负方向、电场强度大小
的匀强电场（未画出）。将一可伸缩的光滑绝缘细
杆置于
平面内，细杆的两端分别置于原点O 和点A（4m，2m），杆上套有质量
、电荷量
的小球，将其从点A 由静止释放，经时间
后小球到达点O。
现保持细杆的一端仍位于点O，另一端移动到
平面内的点B，仍然由静止释放小球，经
时间
后到达点O，已知重力加速度大小
，则点B 的坐标可能是（ ）
1
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A．（9m，3m）
B．（8m，8m）
C．（3m，6m）
D．（7m，-1m）
【答案】AD
【详解】小球受到的电场力与重力的合力如图所示
则有
可得
将小球受到的电场力与重力的合力看成等效重力，根据等时圆模型可知，细杆为一圆轨道的
弦，细杆的O 端位于该圆的等效最低点，另一端位于圆周上，如图所示
设圆心为
（
，
），则有
，
，
2
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联立解得
，
，
若点B 的坐标为（9m，3m），则有
若点B 的坐标为（8m，8m），则有
若点B 的坐标为（3m，6m），则有
若点B 的坐标为（7m，-1m），则有
故选AD。
2.（2025·辽宁·模拟预测）如图所示，三维空间坐标系的y 轴竖直向上，y 轴上一L 处记作P 点，空间存在
沿x 轴正方向的匀强电场（图中未画出）。长度为L 的绝缘细线一端固定在O 点，另一端连接质量为m、
电荷量大小为q 带正电的小球（可视为质点）。已知重力加速度为g，匀强电场的电场强度大小为4 mg
3q ，
下列说法正确的是（ ）
A．若小球从P 点由静止释放，则小球运动的最大动能为4
3 mgL
B．若小球从P 点由静止释放，则细线中的拉力最大为3mg
C．若小球过P 点做匀速圆周运动，则小球运动的速率为4√gL
3
D．若在P 点给小球沿x 轴正方向的初速度√6 gL，则小球能绕O 点做完整的圆周运动
【答案】BC
【详解】A．设小球所受合外力的大小为F，方向与y 负方向的夹角为θ，则有F =√(mg)
2+(qE)
2= 5mg
3
，
tanθ = qE
mg = 4
3
3
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小球从P 点静止释放，小球到动能最大的过程有FL(1−cosθ)= 1
2 m v1
2−0
解得Ek = 2
3 mgL，故A 错误；
B．动能最大时细线中的拉力最大，有FT −F =m v1
2
L
解得细线中的拉力FT =3mg
故B 正确；
C．若小球做匀速圈周运动，则说明小球做圆周运动的平面一定与合外力在同一平面内，所以小球过P 点
做圆锥摆运动，有F tanθ =m
v
' 2
Lsinθ
解得v
' = 4√gL
3
故C 正确；
D．小球刚好能经过等效最高点时F =m vmin
2
L
解得vmin=√
5
3 gL
假设小球从P 点能运动到等效最高点，则有1
2 m v P
2 −FL(1+cosθ)= 1
2 m v
2
解得v =√
2
3 gL<vmin
故小球不能绕O 点做完整的圆周运动，故D 错误。
3．（2025·云南玉溪·三模）如图所示，一端固定的长为l 的绝缘轻绳悬挂一质量为m 的绝缘小球，小球带
正电q，可视为质点。初始时，小球静止于P 点，现给空间施加一大小为
，水平向右的恒定匀强
电场，小球恰能到达Q 点（未画出），已知重力加速度为g，不计空气阻力，则（ ）
4
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A．小球处于Q 点位置时轻绳与竖直方向的夹角为
B．P、Q 两点的电势差大小为
C．轻绳对小球的拉力最大时，小球的电势能减少
D．轻绳对小球的拉力最大时，绳上的拉力大小为
【答案】B
【详解】A．题意可知小球恰能到达Q 点时速度为0，设此时轻绳与竖直方向夹角为
，由动能定理有
代入题中数据，解得
故A 错误；
B．由动能定理有
联立解得P、Q 两点的电势差大小
故B 正确；
C．轻绳对小球的拉力最大时，小球速度最大，此时轻绳与竖直方向夹角为
，该过程电场力做功
故小球的电势能减少
，故C 错误；
D．小球速度最大时，由动能定理有
由牛顿第二定律有
5
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联立解得绳上的拉力大小
故D 错误。
故选B。
4．（24-25 高三下·安徽安庆·期中）如图所示，长度为l 的不可伸长轻质细绳一端被固定在O 点，另一端连
接质量为m，带电量为+q 的小球，开始时细线竖直紧绷。在该竖直平面内加上匀强电场，方向斜向右上方，
与水平方向夹角为45°，大小为
（g 为重力加速度），不计空气阻力，将小球由静止释放，关于
该小球此后的运动（ ）
A．小球在此后运动中细绳会松弛
B．小球到达与圆心等高处的P 点对绳子的拉力大小为2mg
C．若在初位置给小球水平向右初速度
，则小球可以做完整的圆周运动
D．小球可以运动到O 点正上方且此时绳子的拉力为0
【答案】D
【详解】A．平行四边形定则可知，小球受到重力和电场力的合力水平向右且大小
即等效重力加速度为
，故将小球由静止释放后，球在此后运动中细绳一直绷紧，故A 错误；
故A 错误；
B．从开始到
点，动能定理有
在
点有
由以上两式可得
6
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故B 错误；
C．若小球恰好可以做完整的圆周运动，则小球通过等效场最高点的速度应满足
从开始到等效场最高点
由以上两式可得
故C 错误；
D．能量守恒可知小球可以运动到O 点正上方，由动能定理可知，从释放点到运动到O 点正上方，等效重
力做功为0，即动能变化量为0，故小球到达最高点时速度为0，此时
，故D 正确。
故选D。
5．（2025·河南·三模）如图所示，半径为R 的绝缘光滑圆环固定在竖直平面内，
是圆心，
是水平方
向的直径，
是竖直方向的直径，整个圆环处在水平向右的匀强电场中。将质量为
、电荷量为
的小球套在圆环上，从A 点由静止释放，小球运动到
点时的动能最大，
。已知重
力加速度大小为g，取
。下列说法正确的是（ ）
A．小球可以沿圆环运动到
点
B．匀强电场的电场强度大小为
C．
两点间的电势差为
D．小球运动到
点时，向心加速度大小为
【答案】C
【详解】B．小球运动到
点时的动能最大，即重力和电场力的合力沿着
方向，对小球受力分析有
7
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解得
，故B 错误；
A．假设小球能够沿圆环运动到
点，根据动能定理有
分析上式可知
，显然这是不可能的，即假设错误，故
错误；
C．
两点间的电势差
，故
正确；
D．小球从A 点运动到B 点，根据动能定理有
此时小球的向心加速度大小
，故
错误。
故选
。
02 用动力学和能量观点解决力电综合问题
6.（2025·河南·三模）如图所示，绝缘轨道ABC 固定在竖直平面内，AB 部分是光滑的
圆弧
轨道，轨道半径为R，BC 部分是足够长的水平轨道，两部分平滑连接。空间存在水平向左的
匀强电场（图中未画出），场强大小为E（未知）。现将一质量为m、电荷量为q 的带电物
块（可视为质点）从轨道上的A 点由静止释放，物块沿轨道运动。已知物块与轨道BC 间的
动摩擦因数为0.125，整个运动过程中物块在BC 段运动的总路程为2R，重力加速度大小为
g，且
。则整个运动过程中带电物块向右运动的最远处与B 点相距（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
8
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【详解】根据题意可知，由于
则物块不会停在
上，则物块最终将在
点左侧一段圆弧上来回往复运动，且在
点的速
度为0，则有
解得
运动到最远时，根据动能定理得
解得
故选A。
7．（2025·山西·三模）竖直平面内存在水平向右的匀强电场E，一带电小球从电场中的O 点
以初速度v₀ 向左上方射出，v₀ 方向与水平方向成30°角，如图所示。小球运动到其轨迹的最
左端时，速度大小恰好等于初速度大小v₀，则小球受到的电场力与它受到的重力的比值为（
）
A．
B．1：2
C．
D．
【答案】C
【详解】带电小球在水平方向上做匀减速运动，根据牛顿第二定律有
根据速度—时间公式有
小球运动到其轨迹的最左端，速度大小与初速度大小相同，表明小球在竖直方向上经历减速
9
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为零又反向加速的过程
解得
故选C。
8．（2025·山西吕梁·三模）如图所示，倾角为
的光滑、足够长绝缘斜面固定在水平地面
上，斜面底端有一电荷量为
、质量为
的带电小物块，小物块在平行于斜
面向上的恒定拉力
作用下，由静止开始运动，经过一段时间
后撤去拉力
，此后，
小物块继续沿斜面运动，又经过
返回到斜面底端。已知重力加速度
取
，整个
空间存在水平向右的电场强度大小
的匀强电场。则拉力
的大小为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由牛顿第二定律可得
，
10
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取沿斜面向上为正方向，则
，
且
联立解得
N
故选D。
9．（2025·安徽·一模）如图（1）所示，竖直放置的绝缘轻弹簧一端固定在平行板电容器下极板。带电小
球在轻弹簧正上方某处由静止释放，取该位置为坐标原点，竖直向下为x 轴正方向。在小球下落的全过程
中，以下极板为重力势能零参考面，小球的机械能E 随位移x 的变化关系如图（2）所示。弹簧始终在弹性
限度内，小球质量为1 kg，重力加速度 g 取
。则下列说法正确的是（ ）
A．小球下落过程中刚接触弹簧时动能最大
B．电场力大小为
C．小球在释放位置所具有的电势能为
D．下落过程中小球和弹簧组成的系统机械能最小值为
【答案】D
【详解】A．刚接触弹簧时小球所受合力等于重力，小球继续向下加速，随着弹力增加，加速度减小，当
弹力等于重力时小球速度最大，故A 错误；
B．机械能变化量等于电场力做功，由图可知，
范围内的图像斜率表示电场力，斜率绝对值为
故B 错误；
C．由于下极板接地，电势和电势能均为零，小球电势能增大，故在释放位置小球的电势能为负值。小球
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质量为1kg，且由图像可知，小球在释放位置重力势能为
，由重力势能
可知，
又因为
得
故小球在释放位置所具有的电势能为
，故C 错误；
D．由能量守恒定律可知，小球在下降过程中电势能增大
则小球和弹簧组成的系统机械能减少
，为
故D 正确。
故选D。
10．（24-25 高三上·河北沧州·期末）如图所示，在光滑水平地面左侧有竖直挡板，劲度系数为
的轻弹簧
左端固定在挡板上，右端自由且处于原长状态，质量为
、带电量为
的小滑块
紧贴着弹簧右端由静
止释放。整个装置处于水平向左、电场强度大小为
的匀强电场中。已知弹簧弹性势能
与形变量
的关
系为
，运动过程中小滑块
的电荷量不变，弹簧始终在弹性限度内。下列说法正确的是（ ）
A．小滑块
加速度的最大值大于
B．小滑块
的最大速度为
C．弹簧的最大压缩量为
D．若仅将小滑块
的释放点适当右移，小滑块速度最大的位置将更加靠近挡板
【答案】C
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【详解】A．刚释放时，小滑块
的加速度最大，有
解得
故A 错误；
B．小滑块
先做加速度减小的加速运动，后做加速度增大的减速运动，当加速度为0 时速度最大，有
由能量守恒有
解得
故B 错误；
C．小滑块
做简谐运动，所以当弹簧压缩量最大时，小滑块
的加速度最大，为
对小滑块
受力分析并结合牛顿第二定律有
解得
故C 正确；
D．若仅将小滑块
的释放点适当右移，小滑块
先做匀加速运动，然后做加速度减小的加速运动，最后
做加速度增大的减速运动，当小滑块
的加速度为0 时它的速度最大，所以有
解得
所以小滑块
速度最大的位置不变，故D 错误。
故选C。
11．（2025·安徽马鞍山·一模）如图所示，在光滑绝缘的水平面上，用长为2L 的绝缘轻杆连接两个质量均
为m 的带电小球A 和B，小球可视为质点，A 球的电荷量为+3q，B 球的电荷量为-5q，组成一带电系统，处
于静止状态。NQ 与MP 平行且相距3L，开始时MP 恰为杆的中垂线。现在MP、NQ 间加上水平向右的匀
强电场E，带电系统开始运动。则（ ）
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A．B 球刚进入电场时，速度大小为
B．A 球刚离开电场时，速度大小为
C．B 球进入电场后的最大位移为2L
D．B 球从开始运动到最大位移的过程，其电势能的变化量为
【答案】B
【详解】A．设B 球刚进入电场时带电系统速度为v1，由动能定理可得
解得
故A 错误；
B．设A 球离开电场时速度为v2，由动能定理可得
解得
故B 正确；
C．当系统速度为零时，B 球进入电场的位移达到最大，从A 球刚离开电场时到B 球达到最大位移，由动能
定理可得
所以
故C 错误；
14
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D．B 球从开始运动到最大位移的过程，电场力做功为
根据功能关系可得
所以
故D 错误。
故选B。
03 用能量和动量观点解决力电综合问题
12.（2025 高三·全国·专题练习）
是一种放射性同位素，生物学中常将
标记到有机物中，
追踪其在生物体内的代谢路径。已知静止在O 点的
原子核发生衰变的同时，空间中出现
如图所示的匀强电场。之后衰变产物
两粒子的运动轨迹
如图中虚线所示，不
考虑粒子所受重力、阻力和两粒子间的相互作用，下列说法正确的是（ ）
A．
原子核发生的是
衰变
B．
衰变过程满足能量守恒，动量不守恒
C．两粒子始终处在同一等势面上
D．经过相等时间A、B 粒子水平位移大小之比为2 5∶
【答案】D
【详解】A．根据A、B 两粒子的运动轨迹，可知其所受电场力均与电场方向相同，即两粒子
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均带正电，可知
原子核发生的是α 衰变，故A 错误；
BC．根据上述，该衰变的核反应方程为
，衰变过程能量守恒，动量守恒，
两原子核动量大小相等，则有mAvA=mBvB
可知，质量越大，速度越小，即
的初速度小于
的初速度，粒子在电场中做类平抛运
动，则有x=vt，
解得
根据图像可知，当竖直分位移大小相等时，
的初速度小，电荷量多，则水平分位移小一
些，可知A 粒子为
粒子，根据
可知，由于
的比荷小于
的比荷，经
历相等时间，
的竖直分位移小于
的竖直分位移，即两粒子飞出后不在同一等势面上，
故BC 错误；
D．根据x=vt，mAvA=mBvB
解得经过相等时间A、B 粒子水平分位移之比为
可知经历相等时间A、B 粒子水平分位移比为2：5，故D 正确。
故选D。
13.（2025·广东省汕头市高三一模）我国空间站天和核心舱配备了4 台霍尔推进器。如图所示，进入电离
室的气体被电离成正离子，经电场加速后以极高速度喷出，在相反的方向上对航天器产生推力。假设核心
舱的质量为
，电离后的离子初速度为0，加速电压为
，单台推进器单位时间喷出的离子数量为
，
离子质量为
，电荷量为
，忽略离子间的相互作用力，下列说法正确的是（ ）
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A. 离子喷出加速电场时的速度为
B. 单台霍尔推进器的离子向外喷射形成的等效电流为
C. 离子在电场中加速
过程中，动能和电势能都增大
D. 推进器全部同向开启时，核心舱的加速度为
【答案】.ABD
【详解】电场对粒子加速有
解得离子喷出加速电场时的速度
故A 正确；单台霍尔推进器的离子向外喷射形成的等效电流为
故B 正确；离子在电场中加速的过程中，电场对粒子做正功，粒子动能增加，电势能减小，故C 错误；推
进器全部同向开启时，设单个推进器给核心舱
作用力大小为F，对粒子，根据动量定理有
其中
对核心舱，有
联立以上，解得核心舱的加速度为
，故D 正确
14．（2024·陕西宝鸡·模拟预测）如图所示，竖直平面内有一固定绝缘轨道ABCDP，由半径
m 的圆
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弧轨道CDP 和与之相切于C 点的水平轨道ABC 组成，圆弧轨道的直径DP 与竖直半径OC 间的夹角
，A、B 两点间的距离
m。质量
kg 的不带电绝缘滑块静止在A 点，质量
kg、
电荷量
C 的带正电小球静止在B 点，小球的右侧空间存在水平向右的匀强电场。现用大小
N、方向水平向右的恒力推滑块，滑块到达B 点前瞬间撤去该恒力，滑块与小球发生弹性正碰，碰
后小球沿轨道运动，到达P 点时恰好和轨道无挤压且所受合力指向圆心。小球和滑块均视为质点，碰撞过
程中小球的电荷量不变，不计一切摩擦。取
m/s2，
，
。下列说法错误的是（
）
A．撤去该恒力瞬间滑块的速度大小为6m/s
B．匀强电场的电场强度大小E 大小是
N/C
C．小球到达P 点时的速度大小
是2.5m/s
D．小球和滑块碰撞后，滑块速度大小为4m/s
【答案】D
【详解】A．对滑块从A 点运动到B 点的过程，根据动能定理有
解得
v=6m/s
故A 正确，不符合题意；
B．小球到达P 点时，受力如图所示
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则有
解得
故B 正确，不符合题意；
C．小球所受重力与电场力的合力大小为
小球到达P 点时，由牛顿第二定律有
解得
故C 正确，不符合题意；
D．滑块与小球发生弹性正碰，取水平向右为正方向，设碰后滑块、小球的速度分别为v1、v2，则由动量守
恒定律得
由能量守恒得
联立解得
，
故D 错误，符合题意。故选D。
15．（24-25 高三下·重庆·期末）如图甲所示，带电小球B 静止在光滑绝缘水平面上，质量
的带电
小球A 以水平向右的速度
正对B 的球心运动。在
时间内，A、B 两球的
图像如图乙所示，
若A、B 不相碰，且半径相同，则下列说法正确的是（ ）
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A．小球A、B 带异种电荷
B．小球B 的质量
C．系统的最小动能为
D．小球A、B 最终以速度
匀速直线运动
【答案】C
【详解】A．根据
图像可知，A 球向右做减速运动，受到向左的库仑力，B 球向右做加速运动，受到向
右的库仑力，A、B 之间存在排斥力，所以小球A、B 带同种电荷，故A 错误；
B．由
图像可知，
时刻两小球的速度相同，共同速度
，A、B 组成的系统满足动量守恒，根
据动量守恒定律有
解得
故B 错误；
C．当A、B 速度相同时两者相距最近，系统的电势能最大，动能最小，此时
故C 正确；
D．小球A、B 速度为
时相距最近，小球A 受到向左的库仑力，继续向右做减速运动，运动的速度小
于
，小球B 受到向右的库仑力，继续向右做加速运动，运动的速度大于
，故D 错误。
故选C。
16．（2025·河北·模拟预测）如图所示，绝缘粗糙的水平轨道AB 与处于竖直平面内的半圆形
光滑绝缘轨道BC 平滑连接，BC 为竖直直径，半圆形轨道的半径
，所在空间存在
水平向右的匀强电场，电场线平行于AB，电场强度
。将一带电体甲在P 点由静止
20
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释放，此后甲与位于B 点的不带电的绝缘体乙发生正碰并瞬间粘在一起，P 点到B 点的距离
，已知带电体甲的带电量
，甲、乙两个物体的质量m 均为0.002kg 且
均可看作质点，带电体甲与水平轨道间的动摩擦因数为0.25，g 取
，
，
。求：
(1)甲、乙两个物体碰撞过程中损失的机械能；
(2)甲、乙两个物体粘在一起后沿半圆轨道运动过程中对轨道压力的最大值；
(3)粘连体离开C 点后落到水平轨道上的位置与B 点的距离d 和落到轨道上时的速度v。
【答案】(1)0.075J
(2)0.32N
(3)0.6m，4m/s，方向竖直向下
【详解】（1）对甲进行分析，根据动能定理有
解得
碰撞过程，根据动量守恒定律有
解得
则甲、乙两个物体碰撞过程中损失的机械能
21
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解得
（2）令甲、乙两个物体粘在一起后沿半圆轨道运动过程的等效物理最低点为D，该位置重力
与电场力的合力方向背离圆心，令重力、电场力合力方向与水平方向夹角为
，则有
解得
甲乙整体从B 运动到D 过程，根据动能定理有
在等效物理最低点，对甲乙整体进行分析，根据牛顿第二定律有
根据牛顿第三定律有
解得
（3）甲乙整体从B 运动到C 过程，根据动能定理有
解得
之后，甲乙整体在竖直方向做自由落体运动，则有
，
水平方向做匀变速直线运动，则有
，
解得
，
，
22
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落到轨道上时的速度
解得
速度v 的方向竖直向下。
1．（2025·四川德阳·三模）如图所示，竖直平面内，圆心为O 点，半径R=1m 内壁光滑的圆弧管道ABC 固
定在粗糙水平面上，管道与水平面相切于C 点，OA 连线与竖直方向的夹角
，连线BC 的左、右两
侧存在电场强度均为
，方向分别为竖直向下、水平向右的匀强电场。质量m=1kg、所带电荷量为+q
的小球a 以一定的初速度从A 点开始运动，恰好能通过管道的最高点B 点，并与静止在C 点的物体b 发生
弹性碰撞，碰撞前后两带电体的电荷量不发生改变。已知物体b 的质量为m、电荷量为+2q、与水平面间的
动摩擦因数
，小球a、物体b 均可视为质点，重力加速度g 取10m/s2，求：
(1)小球a 在A 点初速度的大小；
(2)小球a 经过管道C 点时（仍在右侧电场中），对管道的压力大小；
(3)物体b 停止的位置到C 点的距离。
【答案】(1)
(2)
(3)
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【详解】（1）在B 点根据牛顿第二定律得
解得
从A 点到B 点根据动能定理得
解得
（2）从B 点到C 点根据动能定理得
解得
在C 点根据牛顿第二定律得
解得
（3）碰撞过程中根据动量守恒定律和能量守恒定律得
，
解得
，
根据动能定理得
解得
2.（2025·广东茂名·茂名市电白区电海中学校考）如图所示，AC 水平轨道上AB 段光滑，BC 段粗糙，且
，CDF 为竖直平面内半径为
的光滑半圆轨道，两轨道相切于C 点，CF 右侧有电场强度
的匀强电场，方向水平向右。一根轻质绝缘弹簧水平放置，一端固定在A 点，另一端与带
负电滑块P 接触但不连接，弹簧原长时滑块在B 点。现向左压缩弹簧后由静止释放，当滑块P 运动到F 点
瞬间对轨道压力为4N。已知滑块P 的质量为
，电荷量大小为
，与轨道BC 间的动摩
擦因数为
，忽略滑块P 与轨道间电荷转移，重力加速度g 取10m/s2。求：
（1）求滑块到F 点时的动能；
（2）求滑块到D 点时对轨道的压力；
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（3）若滑块P 沿光滑半圆轨道CDF 运动过程中时，对圆弧轨道的最小压力为10N，求弹簧释放瞬间弹性
势能。
【答案】（1）0.8J；（2）7N，方向沿OD 连线向右；（3）4.9J
【解析】（1）F 点时，对滑块，由牛顿第二定律
根据牛顿第三定律知轨道对滑块的压力为
联立解得滑块到F 点时的动能
（2）滑块从D 到F 的过程中，根据动能定理，有
在D 点时，根据牛顿第二定律
联立解得
根据牛顿第三定律知，滑块对轨道的压力大小为7N，方向沿OD 连线向右；
（3）重力和电场力可看作等效重力（斜向左下方），此时
设等效重力的方向与竖直方向夹角为
，则有
可得
设等效最高点为M 点，M 点处，对圆弧轨道压力最小，为10N，根据牛顿第二定律
圆弧轨道对滑块的压力
滑块P 从压缩时到M 点的过程中，由动能定理得
联立可得
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3．（2025·云南·模拟预测）如图所示，质量为
的物块
静止在足够大的水平面上，空间有水平向
右、电场强度大小为
的匀强电场。将质量为
、带电量为
的物块
从距
物块
处由静止释放，物块
向
运动与
发生碰撞。已知物块
与水平面之间的动摩擦因
数为
，物块
与水平面间无摩擦力，
、
均可视为质点且
、
之间的碰撞均为弹性碰撞，运
动过程中
的电荷量始终不变，
始终不带电，取重力加速度
。求：
(1)第一次碰撞结束瞬间
、
的速度大小；
(2)第一次碰撞结束到刚要发生第二次碰撞的过程中，物块
的位移大小
(3)从开始运动到刚要发生第10 次碰撞的过程中摩擦力对A 做的功。
【答案】(1)
，
(2)
(3)
【详解】（1）A 与B 第一次碰前，对A 由动能定理得：
解得
A 与B 碰撞过程，由弹性碰撞规律得
，
解得
，
（2）第一次碰撞结束后，对A，据牛顿第二定律可得
解得a=2m/s2
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碰后B 做匀速运动，设经过t1时间A、B 将发生第二次碰撞，则
解得
（3）第二次碰前
第二次碰撞时
，
设经过t2时间A、B 将发生第三次碰撞，可得xA2=
解得xA2=xB2=12m
此后将重复类似之前的运动和碰撞过程，同理可得，第三次碰撞结束到第四次碰撞的过程中，A 和B 通过
的位移为xA3= xB3=18m
可得从开始运动到刚要发生第10 次碰撞的过程中摩擦力对A 做的功为
解得
4．（2025·吉林通化·二模）如图所示，光滑水平地面上方
处存在宽度
、方向竖直向上，大小
匀强电场区域。质量
、长为
的水平绝缘长木板静置于该水平面，且长木板最
右侧与电场边界D 重合。某时刻质量
、带电量
的可视为质点的滑块以初速度
从长木板左端水平滑入，一段时间后，滑块离开电场区域。已知长木板与滑块的动摩擦因数
，重力加速度大小为
。求：
(1)滑块刚进电场时，长木板的速度大小；
(2)滑块在电场中的运动时间，及全过程的摩擦生热。
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【答案】(1)1m/s
(2)
，6J
【详解】（1）滑块刚进电场前，对长木板根据牛顿第二定律可得
解得加速度大小为
对滑块根据牛顿第二定律可得
解得加速度大小为
滑块进入电场前，对滑块有
，
解得滑块进入电场时的速度、滑行时间分别为
，
在时间
内，对木板有
所以滑块刚进电场时，长木板的速度大小为
。
（2）滑块进入电场后经过时间
滑块与木板同速，设共同速度为v，滑块与木板组成的系统动量守恒，则
有
解得
对滑块分析，由动量定理可得
解得
在时间
和
内滑块的总位移为
滑块与木板同速后一起匀速运动，滑块在电场中匀速运动的时间为
所以滑块在电场中的运动时间为
由能量守恒定律得，全过程中摩擦产生的热量为
5．（2025·广东广州·模拟预测）如图所示，一光滑曲面与足够长的水平直轨道平滑连接，直轨道MN 段粗
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糙，其余部分光滑，MN 段存在方向水平向右的匀强电场，N 点右侧的P 点处静止放置一绝缘物块b，一带
正电的物块a 从曲面上距水平面高为h 处由静止释放，滑出电场后与物块b 发生弹性碰撞。碰撞后，立即
在P 点放入与物块b 完全相同的静止物块。已知h=1.0m，直轨道长L=1.0m，物块a 与MN 之间的动摩擦因
数μ=0.4，物块a 的质量m=1kg，物块b 的质量M=2kg，场强E=2×106N/C，物块a 的电荷量q=6×10-6C，重力
加速度g 取10m/s2，物块a、b 均可视为质点，运动过程中物块a 的电荷量始终保持不变。
(1)求物块a 与物块b 第一次碰撞前瞬间物块a 的速度大小；
(2)求物块a 与物块b 第一次碰撞后，物块b 的速度大小；
(3)求物块a 在电场中运动的总路程。
【答案】(1)6m/s
(2)4m/s
(3)
【详解】（1）物块a 从静止释放到与物块b 碰撞前瞬间，根据动能定理有
解得
（2）物块a 与物块b 发生弹性碰撞，根据动量守恒定律有
根据机械能守恒定律有
解得
，
（3）物块a 与物块b 碰撞后，物块a 第1 次经过N 点运动到最左端过程中，根据能量守恒定律
解得
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物块a 从最左端运动到第2 次经过N 点的过程，根据动能定理有
解得
，
再次发生弹性碰撞，根据动量守恒定律有
根据机械能守恒定律有
解得
，
即物块a 与物块b（与物块b 完全相同的物块）每次发生弹性碰撞后瞬间，物块a 的速率均为碰撞前瞬间
速率的
，物块b（与物块b 完全相同的物块）的速率均为碰撞前瞬间物块a 速率的
，结合（2）可知，
每次物块a 与另一物块碰撞后，物块a 第1 次经过N 点和第2 次经过N 点的速率之比均为
，设物块b
（与物块b 完全相同的物块）每次与物块碰撞后瞬间的速率依次为
、
、
……
，则有
，
，
归纳可得
经过足够多的碰撞，物块b（与物块b 完全相同的物块）获得的总动能为
当
时，解得
在物块a 的整个运动过程中根据功能关系有
解得
6．（2025·福建厦门·二模）图示，足够长的倾角
的光滑斜面固定在水平面上，斜面底端固定有垂直
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挡板。一劲度系数
的轻弹簧一端与挡板连接，另一端连接绝缘物块A，A 的上方放置着物块
B，A、B 质量均为
且都可视为质点，A 不带电，B 带电量
。初始时A、B 均处于静止
状态，某时刻起在空间施加方向平行斜面向上、大小为
的匀强电场，A、B 开始一起运动，
一段时间后A、B 分离。已知弹簧的弹性势能
（x 为弹簧的形变量），重力加速度大小
取
。求：
(1)施加电场的瞬间，物块B 的加速度大小；
(2)两物块从开始运动到分离时沿斜面上滑的距离；
(3)物块A 的最大动能。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）对AB 整体，由牛顿第二定律得
解得
（2）初始时，设弹簧的形变量为
，对AB 整体，由平衡关系得
解得
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分离时，设弹簧形变量为
，此时AB 之间无挤压，加速度大小相等，对B 有
对A 有
联立解得
故物体上滑距离
（3）对A、B 以及弹簧组成的系统，设AB 分离时速度大小为。由功能关系得
解得
AB 分离后，当A 的加速度为零时有最大动能，
设此时弹簧的形变量为
，对A 有
得
则
对A 和弹簧组成的系统，由机械能守恒得
解得
7．（24-25 高三下·贵州毕节·期末）如图，在竖直平面内，物体A 和带正电的物体B 用跨过定滑轮的不可
伸长绝缘轻绳连接，分别静止于倾角θ=37°的光滑斜面上的M 点和粗糙绝缘水平面上的P 点，B 与水平面
间的动摩擦因数μ=0.4。轻绳分别与对应平面平行，滑轮右侧空间中存在电场强度E=5×104N/C 方向水平向
右的匀强电场。A 的质量mA=0.1kg；B 的质量mB=0.2kg，电荷量q=+4×10-6C。两物体均可视为质点，不计滑
轮质量和摩擦，取g=10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8。
（1）求B 所受静摩擦力Ff的大小；
（2）现对A 施加平行斜面向下的恒定拉力F，使A 以大小为0.6m/s2的加速度开始做匀加速直线运动。求
拉力F 的大小；
（3）在（2）的条件下A 从M 点开始运动到N 点的过程中，B 电势能增加了0.06J，且未与滑轮碰撞。求A
到达N 点时拉力F 的瞬时功率P。
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【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）设绳子拉力为
，对物体A 由受力平衡可得
对物体 B 由受力平衡可得
联立解得
（2）对物体A 施加沿斜面向下的恒定拉力F 后，设绳子拉力为
，由牛顿第二定律得
联立解得
（3）由电场力做功和电势能变化关系有
解得
由运动学公式有
解得
则A 到达N 点时拉力F 的瞬时功率为
33
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解得
8.（2024·广东省湛江市高三下学期二模考） 如图所示，质量为m
凹槽A 放在倾角
的足够长的绝
缘斜面上，斜面固定在水平地面上，槽内左端用轻弹簧和质量为2m 的物体B 相连，空间存在垂直斜面向
上的匀强电场、电场强度大小
（g 为重力加速度大小）。质量为m、电荷量为q 的带正电物体
C 静置在凹槽A 中时，A、B、C 恰好能处于静止状态。现将C 取出，在A 内移动B 到某位置后撤去外力，
此时A、B 静止，再将C 从斜面上A 的上方某点由静止释放后，C 以大小为
的速度与A 碰撞后立即粘在
一起，已知A、B 均绝缘且不带电，A、B 间接触面光滑，C 与A、C 与斜面间都绝缘，整个过程中，物体
C 所带的电荷量保持不变，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，弹簧弹性势能与弹簧伸长量的平方成正比。求：
（1）凹槽A 与斜面间的动摩擦因数μ；
（2）当弹簧伸长量变为碰前瞬间压缩量的2 倍时，A、B、C 三者速度恰好相同，求C 与A 碰撞前弹簧的
弹性势能；
（3）从C 与A 碰后瞬间开始计时，经过时间t，弹簧形变量恢复到与初始时的压缩量相等，求该过程中，
弹簧弹力对B 的冲量大小。
【答案】（1）
；（2）
；（3）见解析
【解析】（1）以A、B、C 整体为研究对象，对整体受力分析，有
解得
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（2）设初始时弹簧弹性势能为Ep，由题意，当弹簧伸长量为初始压缩量的2 倍时，弹性势能为4Ep，C 与
A 碰撞过程，由动量守恒定律有
从C 与A 碰撞，到A、B、C 共速，由动量守恒定律和能量守恒定律有
解得
（3）从C 与A 碰后瞬间开始计时，到弹簧形变量等于初始时弹簧的压缩量，将A 和C 看成一个整体，B
与A，C 之间的碰撞类似弹性碰撞，有
解得
或
弹簧第1、3、5、……、
次恢复初始时的压缩状态时，有
由动量定理有
解得
即冲量大小为
；
弹簧第2、4、6、……、
次恢复初始时的压缩状态时，有
由动量定理有
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解得
即冲量大小为
。
9.（2025·河南·三模）如图所示，在光滑绝缘的水平面内，存在水平向右的匀强电场，电场强度大小为
。有两个质量为
可视为质点的带电小球A、B，A 球带正电，B 球带负电，电荷
量均为
，两小球与一轻质弹簧的两端连接点处绝缘。初始时两球被锁定处于静止状态，弹簧
被压缩。已知弹簧劲度系数
，弹簧弹性势能的表达式为
（x 为弹簧形变量）。解除锁
定前弹簧的弹性势能
，忽略带电小球A、B 之间的相互作用力，某一时刻解除锁定。求：
(1)解除锁定瞬间A 球的加速度大小；
(2)A 球在向左运动过程中，当弹簧的弹力大小为
时（此时弹簧处于压缩状态）A 球的动能（结果
保留两位有效数字）。
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由
得
对A 球
解得
（2）从解除锁定，A 球在向左运动过程中，设x1、x2分别为A、B 两球移动的位移
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对A、B 组成的系统，从解除锁定至弹簧的弹力大小为
的过程中，系统减少的弹性势能
系统在匀强电场中增加的电势能
由能量守恒定律得
，
得A 球向左运动的动能
1．（2024·江西·高考真题）如图所示，垂直于水平桌面固定一根轻质绝缘细直杆，质量均为m、带同种电
荷的绝缘小球甲和乙穿过直杆，两小球均可视为点电荷，带电荷量分别为q 和Q。在图示的坐标系中，小
球乙静止在坐标原点，初始时刻小球甲从
处由静止释放，开始向下运动。甲和乙两点电荷的电势能
（r 为两点电荷之间的距离，k 为静电力常量）。最大静摩擦力等于滑动摩擦力f，重力加速度为
g。关于小球甲，下列说法正确的是（ ）
A．最低点的位置
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B．速率达到最大值时的位置
C．最后停留位置x 的区间是
D．若在最低点能返回，则初始电势能
【答案】BD
【详解】A．全过程，根据动能定理
解得
故A 错误；
B．当小球甲的加速度为零时，速率最大，则有
解得
故B 正确；
C．小球甲最后停留时，满足
解得位置x 的区间
故C 错误；
D．若在最低点能返回，即在最低点满足
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结合动能定理
又
联立可得
故D 正确。
故选BD。
2．（2022·全国·高考真题）地面上方某区域存在方向水平向右的匀强电场，将一带正电荷的小球自电场中
Р 点水平向左射出。小球所受的重力和电场力的大小相等，重力势能和电势能的零点均取在Р 点。则射出
后，（ ）
A．小球的动能最小时，其电势能最大
B．小球的动能等于初始动能时，其电势能最大
C．小球速度的水平分量和竖直分量大小相等时，其动能最大
D．从射出时刻到小球速度的水平分量为零时，重力做的功等于小球电势能的增加量
【答案】BD
【详解】A．如图所示
故等效重力
的方向与水平成
。
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当
时速度最小为
，由于此时
存在水平分量，电场力还可以向左做负功，故此时电势能不是
最大，故A 错误；
BD．水平方向上
在竖直方向上
由于
，得
如图所示，小球的动能等于末动能。由于此时速度没有水平分量，故电势能最大。由动能定理可知
则重力做功等于小球电势能的增加量， 故BD 正确；
C．当如图中v1所示时，此时速度水平分量与竖直分量相等，动能最小，故C 错误；
故选BD。
3．（2024·河北·高考真题）如图，竖直向上的匀强电场中，用长为L 的绝缘细线系住一带电小球，在竖直
平面内绕O 点做圆周运动。图中A、B 为圆周上的两点，A 点为最低点，B 点与O 点等高。当小球运动到A
点时，细线对小球的拉力恰好为0，已知小球的电荷量为
、质量为m，A、B 两点间的电势差为
U，重力加速度大小为g，求：
（1）电场强度E 的大小。
（2）小球在A、B 两点的速度大小。
【答案】（1）
；（2）
，
【详解】（1）在匀强电场中，根据公式可得场强为
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（2）在A 点细线对小球的拉力为0，根据牛顿第二定律得
A 到B 过程根据动能定理得
联立解得
4．（2023·福建·高考真题）如图（a），一粗糙、绝缘水平面上有两个质量均为m 的小滑块A 和B，其电荷
量分别为
和
。A 右端固定有轻质光滑绝缘细杆和轻质绝缘弹簧，弹簧处于原长状态。整个空间
存在水平向右场强大小为E 的匀强电场。A、B 与水平面间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，其大小均为
。
时，A 以初速度
向右运动，B 处于静止状态。在
时刻，A 到达位置S，速度为
，此时弹簧
未与B 相碰；在
时刻，A 的速度达到最大，此时弹簧的弹力大小为
；在细杆与B 碰前的瞬间，A 的速
度为
，此时
。
时间内A 的
图像如图（b）所示，
为图线中速度的最小值，
、
、
均
为未知量。运动过程中，A、B 处在同一直线上，A、B 的电荷量始终保持不变，它们之间的库仑力等效为
真空中点电荷间的静电力，静电力常量为k；B 与弹簧接触瞬间没有机械能损失，弹簧始终在弹性限度内。
（1）求
时间内，合外力对A 所做的功；
（2）求
时刻A 与B 之间的距离；
（3）求
时间内，匀强电场对A 和B 做的总功；
（4）若增大A 的初速度，使其到达位置S 时的速度为
，求细杆与B 碰撞前瞬间A 的速度。
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【答案】（1）
；（2）
；（3）
；（4）
【详解】（1）
时间内根据动能定理可知合外力做的功为
（2）由图（b）可知
时刻A 的加速度为0，此时滑块A 所受合外力为0，设此时A 与B 之间的距离为r0，
根据平衡条件有
其中
联立可得
（3）在
时刻，A 的速度达到最大，此时A 所受合力为0，设此时A 和B 的距离为r1，则有
且有
，
联立解得
时间内，匀强电场对A 和B 做的总功
42
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（4）过S 后，A、B 的加速度相同，则A、B 速度的变化相同。设弹簧的初始长度为
；A 在S 位置时，此
时刻A、B 的距离为
，A 速度最大时，AB 距离为
，细杆与B 碰撞时，A、B 距离为
。
A 以
过S 时，到B 与杆碰撞时，A 增加的速度为
，则B 同样增加速度为
，设B 与杠相碰时，B 向左运
动
。设B 与弹簧相碰到B 与杆相碰时，B 向左运动
。对A 根据动能定理有
对B 有
当A 以
过S 时，设B 与杆碰撞时，A 速度为
，则B 速度为
，设B 与杠相碰时，B 向左运动
。
设B 与弹簧相碰到B 与杆相碰时，B 向左运动
。
对A 根据动能定理有
对B
联立解得
5．（2023·全国·高考真题）密立根油滴实验的示意图如图所示。两水平金属平板上下放置，间距固定，可
从上板中央的小孔向两板间喷入大小不同、带电量不同、密度相同的小油滴。两板间不加电压时，油滴
a、b 在重力和空气阻力的作用下竖直向下匀速运动，速率分别为v0、
；两板间加上电压后（上板为正
极），这两个油滴很快达到相同的速率
，均竖直向下匀速运动。油滴可视为球形，所受空气阻力大小与
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油滴半径、运动速率成正比，比例系数视为常数。不计空气浮力和油滴间的相互作用。
（1）求油滴a 和油滴b 的质量之比；
（2）判断油滴a 和油滴b 所带电荷的正负，并求a、b 所带电荷量的绝对值之比。
【答案】（1）8:1；（2）油滴a 带负电，油滴b 带正电；4:1
【详解】（1）设油滴半径r，密度为ρ，则油滴质量
则速率为v 时受阻力
则当油滴匀速下落时
解得
可知
则
（2）两板间加上电压后（上板为正极），这两个油滴很快达到相同的速率
，可知油滴a 做减速运动，
油滴b 做加速运动，可知油滴a 带负电，油滴b 带正电；当再次匀速下落时，对a 由受力平衡可得
其中
44
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对b 由受力平衡可得
其中
联立解得
45
