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大题08 带电粒子在电场中的运动
带电粒子在电场中的运动是高考物理的高频考点，常结合电场力做功与机械能守恒、动量定理的综合
应，例如2022 年辽宁卷带电物体（计重力）在匀强电场中的一般运动。命题趋势：可能引入示波器、质
谱仪、粒子加速器等实际场景；结合位移、速度分解计算电场强度或粒子射出电场的坐标；电场与磁场叠
加时粒子的匀速直线运动等方向。考生需熟练掌握电场力、电势能、平抛运动分解、圆周运动向心力公式，
系统梳理知识体系、强化专题训练及错题分析，提升综合解题能力。
题型一 带电粒子在匀强电场中的直线运动
【例1】（2024·河北·模拟预测）如图所示，上下正对放置的两块带电平行板之间的距
离为
，两板之间的电势差为
。两板之间匀强电场方向竖直向下。把一个质子从上极板由静止释放，质
子质量和电荷量分别为
和，质子的重力不计。
1
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（1）求质子在电场中运动时受到的电场力大小；
（2）求质子运动到下极板时的速度大小；
（3）若质子运动到两板正中间时，两板之间的电场突然消失（不考虑电场变化产生的磁场），求在这种
情况下质子从上板运动到下板的时间。
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】（1）根据电场力的计算公式有
（2）根据动能定理有
解得
（3）根据牛顿第二定律有
根据运动学规律有
撤去电场后，质子做匀速直线运动，则
质子从上板运动到下板的时间为
2
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解得
带电粒子在匀强电场中的直线运动的分析方法
1、带电粒子做直线运动的条件
（1）若粒子所受合力F 合＝0，粒子的直线运动为匀速直线运动。
（2）若粒子所受合力F 合≠0，且与初速度方向在同一条直线上，带电粒子将做匀加速直线运动或匀减速
直线运动。
2、用动力学观点分析（只受静电力）
，
，
。
3、用功能观点分析（只受静电力）
（1）匀强电场中：
；
（2）非匀强电场中：
。
1．（2024·山西太原·一模）如图甲所示，A、B 为两块距离很近的平行金属板，板中央均有小孔。一束电
子以初动能
，从A 板上的小孔O 不断垂直于板射入A、B 间，在B 板右侧，平行于金属板M、
N 组成一个匀强电场，板长
，板间距离
，偏转电场所加电压为
。现在
在A、B 两板间加一个如图乙所示的变化电压U，在
到
时间内，A 板电势高于B 板电势，求：
（1）在0 到
内，A、B 两板间电压满足什么条件，电子可以到达B 板？
（2）在
到
内，A、B 两板间电压满足什么条件，电子能从偏转电场右侧飞出？（由于A、B 两板距离
很近，可以认为电子穿过A、B 板所用时间很短，可以不计）
3
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【答案】（1）
；（2）
【解析】（1）能到达B 板，要求电子达到B 板时速度大于或等于零，由动能定理得
解得
故
两板电压满足
（2）设电子从偏转电场中点垂直射入时速度为
，动能为
，那么侧移是
满足
才能射出，所以
即
又
所以
解得
2．（24-25 高二上·北京西城·期末）如图所示，一个质量为m、电荷量为+ q 的静止的带电粒子经过加速电
4
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场后射入偏转电场，最终从偏转电场射出。加速电场两极板间电压为U1，偏转电场两极板间电压为U2、
极板长为L、板间距为d。不计粒子重力。求：
（1）带电粒子经过加速场后速度的大小 v0；
（2）a.偏转电场的电场强度大小；
b.带电粒子离开偏转电场时竖直方向的位移大小y。
【答案】（1）
（2）a.
；b.
【解析】（1）根据动能定理，有
得
（2）a.偏转电场的电场强度
b.粒子在偏转电场中运动的时间
加速度
带电粒子离开偏转电场时竖直方向的位移大小
3．（24-25 高二上·山西太原·期中）如图甲所示，真空中相距
的两块平行金属板A、B 与电源连
接，B 板接地，A 板电势变化的规律如图乙所示。将一个质量为
电荷量为
5
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的粒子在
时刻从紧临B 板小孔处无初速度释放，粒子恰好不能到达A 板，粒子重力不计。求：
（1）粒子在平行板间运动时加速度的大小；
（2）A 板电势变化的周期T。
【答案】（1）
（2）
【解析】（1）平行金属板A、B 间的电场强度
由牛顿第二定律可知
解得
（2）粒子在
到
时间内，向右做匀加速运动，在
到
时间内粒子向A 板做匀减速
运动；
后反向运动，则粒子向右运动的最大位移
粒子恰好不能到达A 板
解得
题型二 带电粒子在匀强电场中的偏转
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【例1】（2024·黑龙江·一模）如图所示，两带电水平金属极板M、N 的长度为
L=0.6m，间距为d=0.5m，
为极板右边界，
的右侧存在竖直向下的匀强电场，电场强度为
E=10N/C。光滑绝缘圆弧轨道ABC 竖直放置，A 与
在同一竖直线上，圆弧AB 的圆心角
，BC
是竖直直径。小球以v0=3m/s 的水平速度从左侧飞入极板间，飞离极板后恰好从A 点沿切线方向进入圆弧
轨道。已知小球带正电，质量m=1.0kg，电荷量q=0.5C，重力加速度g=10m/s2，cos53°=0.6，不计空气阻
力。求：
（1）小球在A 点的速度大小vA；
（2）M、N 极板间的电势差U；
（3）若小球沿圆弧轨道恰能到达最高点C，求半径R。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【解析】（1）小球恰好从A 点沿切线方向进入圆弧轨道，则在A 点速度大小为
（2）小球在平行金属板间做类平抛运动，带电粒子在平行板中运动时间为
在A 点，竖直分速度为
解得
由牛顿第二定律得
又
7
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联立解得M、N 极板间的电势差为
（3）若小球沿圆弧轨道恰能到达最高点C，则在C 点满足
由动能定理可得
联立解得
【例2】（2024·辽宁辽阳·二模）如图所示，空间存在范围足够大、沿
轴负方向的匀强电场（图中未画
出），一质量为
、带电荷量为
的带电粒子从坐标原点
沿
轴正方向以速度
射出，带电粒子恰好
经过点
，不计粒子受到的重力及空气阻力。
（1）求匀强电场的电场强度大小
；
（2）若将匀强电场换为垂直
平面向里的匀强磁场，带电粒子仍恰好经过
点，求匀强磁场的磁感应
强度大小
。
【答案】（1）
（2）
【解析】（1）由题意可知，带电粒子做类平抛运动经过
点，粒子加速度为
由类平抛知识可知
8
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联立解得
（2）根据洛伦兹力提供向心力，结合几何关系有
联立解得
带电粒子在匀强电场中的偏转
1、带电粒子在匀强电场中的偏转
（1）加速度：
。
（2）在电场中运动的时间
①能飞出平行板：
；②打在平行板上：
，
；③离开电场时的偏移
量：
；④离开电场时的速度偏转角的正切值：
。
2、带电粒子在匀强电场中的“加速＋偏转＋射屏”规律
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1．（2024·河南·模拟预测）如图所示，平行边界A、B 间有垂直于边界向右的匀强电场Ⅰ，平行边界B、C
间有方向与边界成45°斜向右下方的匀强电场Ⅱ，边界A 上有一粒子源，可以在纸面内向电场Ⅰ内各个方
向射出质量为m、电荷量为q 的带正电的粒子，粒子射出的初速度大小相同，平行边界向下射出的粒子经
电场Ⅰ偏转后，进入电场Ⅱ，在电场Ⅱ中做直线运动，平行边界向上射出的粒子，经电场Ⅰ、Ⅱ偏转，恰
好垂直边界C 射出。已知电场I 的电场强度为E，A、B 间距为L，B、C 间距为2L，不计粒子的重力和粒
子间的作用力，求：
（1）所有粒子进电场Ⅱ时的速度大小；
（2）电场Ⅱ的电场强度的大小；
（3）边界C 上有粒子射出区域的长度。
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【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】（1）根据题意可知，平行边界向下射出的粒子出电场I 时，速度偏向角为
，出电场Ⅰ时，沿
电场方向的速度
根据牛顿第二定律
粒子出电场Ⅰ时的速度
解得
根据动能定理可知，所有粒子进电场Ⅱ时的速度大小相同，即等于
。
（2）平行边界向上射出的粒子，进电场Ⅲ时速度方向恰好与电场Ⅱ的电场强度垂直，此粒子在电场Ⅱ中
做类平抛运动，设电场Ⅱ的电场强度大小为
，则粒子在电场Ⅱ中的加速度大小为
对粒子在电场Ⅱ中的运动沿电场方向和垂直电场方向分解，则
由于此粒子在电场Ⅱ中的偏向角为
，因此有
根据几何关系
解得
（3）由（1）可知，粒子在
点射出的初速度大小为
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由于沿平行边界射出的粒子出电场Ⅰ时速度的偏向角为
，由此分析可知边界
上有粒子通过的区域长
度为
则在边界
上有粒子射出的区域长度
由（2）问可知
解得
2．（24-25 高三上·辽宁·期中）如图，虚线以下存在电场强度大小为
、方向竖直向下的匀强电场Ⅰ，一
质子以初速度
从
点进入电场Ⅰ中，并从
点沿水平方向离开Ⅰ进入半圆环形辐向电场Ⅱ，在Ⅱ中以
点为圆心的同一个圆弧上各点电场强度大小相等、方向均指向圆心
，质子在电场Ⅱ中恰好做匀速圆周运
动。已知
与水平方向的夹角
，
点与
点间的距离为
，质子的电荷量为
，质量为
，不计
重力，求：
（1）质子从
到
的运动时间；
（2）
、
两点间的距离
；
（3）质子做圆周运动的轨迹所在圆弧处对应的辐向电场的电场强度的大小。
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【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】（1）质子从
到
过程，由牛顿第二定律有
竖直方向做匀减速直线运动，有
联立解得
（2）质子从
到
过程水平方向的位移
质子从
到
过程竖直方向的位移
则
、
间的距离
解得
（3）质子在电场Ⅱ中做匀速圆周运动，有
，
解得
3．（2024·北京西城·二模）如图所示，两平行正对的极板A 与B 的长度均为L，极板间距为d，极板间的
电压为U，板间的电场可视为匀强电场。一个质量为m，电荷量为q 的带正电的离子，沿平行于板面的方
向射入电场中，射入时的速度为
，离子穿过板间电场区域。不计离子的重力，求：
（1）离子从电场射出时垂直板方向偏移的距离y；
（2）离子从电场射出时速度方向偏转的角度
（可用三角函数表示）；
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（3）离子穿过板间电场的过程中，增加的动能
。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【解析】（1）离子在偏转电场中，根据牛顿第二定律，有
离子在偏转电场的运动时间
离子从偏转电场射出时，沿垂直于极板方向偏移的距离
得
（2）离子从电场射出时，垂直于极板方向的速度
速度方向偏转角度
（如答图1 所示）
则
（3）离子增加的动能
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题型三 带电微粒（计重力）在电场中的运动
【例1】（2024·辽宁沈阳·二模）如图（a），空间有一水平向右的匀强电场，一质量
为m、带电量为+q 的小球用一绝缘细线悬挂于O 点，悬点到球心的距离为L。小球静止时细线与竖直方向
的夹角
，重力加速度为g，小球可视为质点，忽略空气阻力。sin37°=0.6，cos37°=0.8。
（1）求小球静止时细线的拉力及场强的大小；
（2）若将小球拉到最低点，给小球垂直纸面向里的初速度，使小球恰好沿一倾斜平面做匀速圆周运动，
如图（b）所示，求小球速度的大小。
【答案】（1）
，
；（2）
【解析】（1）小球静止时，设细线拉力为
，场强大小为
，根据共点力平衡条件有
，
联立解得
，
（2）由题意可知，重力和电场力的合力为
小球做圆锥摆运动时，圆锥摆的轴线应在重力和电场力的合力直线上，则圆锥摆的摆角为
设在最低点给小球垂直纸面向里的初速度为，小球做圆锥摆运动时，细线拉力为
，根据牛顿第二定律
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可得
又
，
联立解得
带电粒子在电场中运动时是否考虑重力的处理方法
1、基本粒子：例如电子、质子、α 粒子、离子等除有特殊说明或明确的暗示外，一般不考虑其重力（但
不能忽略其质量）。
2、带电颗粒：例如液滴、油滴、尘埃等，除有特殊说明或明确的暗示外，一般都不能忽略其重力。
1．（2024·黑龙江·一模）如图所示，水平桌面
上方存在水平向右，电场强度大小
的匀强
电场。倾角
的斜面
固定在水平地面上，
处于同一竖直线上。电荷量
、质量
的带电物块（可视为质点）从距离桌边缘B 点左侧
处由静止释放，在电场力作用下开始
运动。已知物块和桌面之间的动摩擦因数
，重力加速度g 取
，不计空气阻力，求：
（1）物块通过水平桌面B 点时的速度大小；
（2）若物块垂直撞在斜面CD 上某点，求该点与C 点间的距离。
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【答案】（1）
；（2）
【解析】（1）物块从静止释放到B 点过程，根据动能定理可得
代入数据解得物块通过水平桌面B 点时的速度大小为
（2）物块从B 点抛出后做平抛运动，物块垂直撞在斜面CD 上，则有
解得物块落地斜面时的竖直分速度为
则物块做平抛运动的时间为
物块做平抛运动的水平位移为
根据几何关系可得物块落到斜面上的点与C 点间的距离为
2．（2024·云南昆明·模拟预测）如图所示，平行板电容器水平放置，电容为C，极板间距离为d，上极板
正中有一小孔，初始时不带电。距小孔正上方高h 处不断有质量为m，电荷量为+q 的小液滴由静止滴落，
当带电液滴接触到下极板后会把电量全部传给极板，直到液滴不能到达下极板时停止释放液滴（空气阻力
忽略不计，极板间电场可视为匀强电场，重力加速度为g）。求：
（1）小液滴到达小孔处的速度；
（2）电容器所带电荷量的最大值；
（3）最后滴下的液滴从开始下落到离开上极板的时间。
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【答案】（1）
；（2）
；（3）
【解析】（1）因电容器上方无电场，故液滴在电容器上方做自由落体运动，由运动学规律得
解得
（2）当带电液滴刚好不能到达电容器下极板时电容器的电量达到最大，对刚好不能到达电容器下极板的
带电液滴运用动能定理得
根据
解得
（3）液滴在电容器上方做自由落体运动，由运动学规律
解得
液滴在电容器内部做匀变速运动，由运动学规律
解得
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故最后滴下的液滴从开始下落到离开上极板的时间为
3．（2024·江苏淮安·一模）如图所示，倾角
的光滑绝缘斜面AB 与半径
的圆弧光滑绝缘轨
道BCD 在竖直平面内相切于B 点，圆弧轨道处于方向水平向右的有界匀强电场中，电场的电场强度大小
。质量
、电荷量
的小滑块从斜面上P 点由静止释放，沿斜面运动经B
点进入圆弧轨道，已知P、B 两点间距
，
，
，g 取
。
（1）求滑块运动到B 点时速度大小；
（2）求滑块运动到与圆心O 等高的Q 点时对轨道的压力大小；
（3）调整斜面上释放点位置，欲使滑块能从D 点飞出，求该释放点
与B 点间距的最小值。
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】（1）滑块从P 点到B 点，由动能定理得
解得滑块运动到B 点时速度大小
（2）Q 点与B 点的高度
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Q 点与B 点的水平距离为
滑块从B 点到Q 点，由动能定理得
解得
滑块在Q 点由牛顿第二定律得
解得
由牛顿第三定律可得滑块运动到与圆心O 等高的Q 点时对轨道的压力大小
（3）滑块要到D 点，则需过物理最高点，即与B 关于O 点对称的点
解得
滑块从B 点到B 的对称点动能定理得
滑块从
点到B 点由动能定理得
解得
该释放点
与B 点间距的最小值为
。
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4．（2024·河北·二模）如图所示，在水平地面上方存在水平向右、范围足够大的匀强电场，电场强度大小
E=700V/m，质量m=0.1kg 的小铁块叠放在质量也为m=0.1kg 的木板左端，水平方向距离木板右端d=2cm
处的天花板上固定一弹性挡板（可使撞击挡板的物体撞击前后速率不变），其下端略高于木板上表面。已
知木板和地面之间的动摩擦因数μ1=0.1，小铁块和木板之间的动摩擦因数μ2=0.3，木板的长度L=6cm，小
铁块所带电荷量
，重力加速度g 取10m/s2，小铁块可视为质点且运动过程中电荷量不变，最大
静摩擦力等于滑动摩擦力。现由静止释放小铁块，求：
（1）小铁块与挡板碰撞前的过程中，木板和小铁块的加速度大小；
（2）木板第一次向右运动到最远时小铁块的速度大小；
（3）去掉挡板，若匀强电场的电场强度大小可取任意值，由静止释放小铁块后，小铁块离开木板时可能
的最小速度。
【答案】（1）
，
；（2）
；（3）
【解析】（1）对于小铁块而言，则有
解得
对于长木板而言
解得
（2）设小铁块经过
时间与挡板相碰时，则有
解得
21
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此时铁块的速度
板的速度
铁块与挡板碰后原速返回，此时对于铁块而言
解得
对于板而言
解得
此时，铁块向以
速度向左做匀减速运动，木板以
速度向右做匀减速运动，当木板向右的速度
减为0 时，木板向右运动最远，设木板速度减为0 时所用时间为，则有
解得
此时，铁块的速度
（3）分别对铁块和木板受力分析，再结合牛顿第二定律
对于铁块而言
解得
22
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对于木板而言
从开始运动到二者分离时
解得
故此时铁块的速度
令
求导可知
有极值，代入原式可得此时的速度
题型四 示波管及其应用
【例1】（2023·辽宁沈阳·模拟预测）利用电场和磁场来控制带电粒子的运动在现代科
学实验和技术设备中有广泛的应用。图1 为电子枪的结构示意图，电子从金属丝中发射出来（设电子刚刚
离开金属丝时的速度为零），经电压
加速后，从金属板的小孔穿出。已知电子的质量为
，电荷量为
，不计电子重力及电子间的相互作用力。
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（1）求电子从金属板小孔穿出时的速度
的大小
（2）示波器中的示波管如图2 所示，两板
和
间距为
，长度均为
，极板右侧边缘与屏相距
为两极板间的中线并与屏垂直。从小孔穿出的电子束沿
射入电场中，若两板间不加电场，电子打在屏
上的
点。为了使电子打在屏上的
点，
与
相距，则需要在两极板间加多大的电压
【答案】（1）
；（2）
【解析】（1）电子在电场中运动，根据动能定理有
解得电子穿出小孔时的速度为
（2）电子进入偏转电场做类平抛运动，在垂直于极板方向做匀加速直线运动。设电子刚离开电场时垂直
于极板方向偏移的距离为
，根据匀变速直线运动规律有
根据牛顿第二定有
电子在水平方向做匀速直线运动，有
联立解得
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由图可知
解得
示波管
示波器是带电粒子在电场中运动的实际应用，而示波管是示波器的核心部件，它由电子枪、偏转电
极和荧光屏等组成，管内抽成真空。
如图所示，电子枪中的灯丝K 发射电子，经加速电场加速后，得到的速度为（电子从灯丝溢出的初
速度很小，可以忽略不计），
。如果在偏转电极上加电压U，电子在偏转电极的电场中发生
偏转，离开偏转电极后沿直线前进，打在荧光屏上的亮斑在竖直方向发生偏移。
1．（24-25 高二上·广东·阶段练习）示波器的构造如图所示，电子经过电子枪加速后以速度v0沿平行金属
25
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板中轴线OO′进入偏转区域，最后到达右侧的荧光屏。已知A、B、C、D 为OO′轴上的点且偏转系统的平
行金属板长度及到荧光屏的水平距离的关系有LAB = LBC = LCD = L，LDO′ = 3L，平行金属板间距离均为
d，平行金属板的面积足够大，忽略平行金属板的边缘电场效应。荧光屏上PQ 为竖直直径，GH 为水平直
径，电子的质量为m，电荷量为e，不计电子重力。
（1）若只在竖直偏转板上加电压（上极板Y 接正极，下极板Y′接负极），则电子到达荧光屏上的何处？
（2）若某次电子打在荧光屏O′H 区域的F 点，F 点到直径PQ 的距离为x，求加在竖直偏转板上的电压U1
和加在水平偏转板上的电压U2。
【答案】（1）O′P 之间 （2）
，
【解析】（1）电子在竖直偏转电场做类平抛运动，沿OO′方向做匀速直线运动，在竖直方向上电子做匀加
速直线运动，因为电子带负电，往上极板Y 偏转，最终打在荧光屏上O′P 之间。
（2）若某次电子打在荧光屏O′H 区域的F 点，说明电子在竖直方向上没有偏转，加在竖直偏转板上的电
压
水平方向上，电子往X 板方向偏转，故X 板带正电，沿OO′方向做匀速直线运动，在极板XX′间运动的时
间为
在偏转方向上电子做匀加速直线运动，加速度大小为
故电子从极板XX′间出射时的偏转距离为
电子从极板XX′间射出时偏转方向分速度为
26
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电子从极板XX′射出到射到荧光屏的时间为
打中荧光屏位置离O′的距离为
解得
2．（24-25 高二上·浙江温州·期中）如图所示，示波器的工作原理可以简化为：金属丝K 发射出的电子由
静止经电压
加速后，从金属板的小孔O1射出，沿O1O2进入偏转电场，经偏转电场后打在荧光屏上。偏
转电场是由两个平行的相同金属极板M、N 组成，已知极板的长度为
，两板间的距离为d。极板间电压
为
，偏转电场极板的右端到荧光屏的距离为
。电子电荷量大小为，质量为
，不计电子受到的重力
和电子之间的相互作用。求：
（1）电子从小孔O1穿出时的速度大小
；
（2）电子离开偏转电场时速度大小；
（3）电子在荧光屏上形成的亮斑到O2的距离y2。
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】（1）电子在加速电场中，根据动能定理可得
27
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解得
（2）电子在
间做类平抛运动，沿初速度方向有
解得
沿电场方向有
电子离开偏转电场的速度为
解得
（3）电子在偏转电场中的偏转位移为
电子离开偏转电场后做匀速直线运动，沿水平方向有
则电子打到荧光屏上的位置
点到
点的距离为
或
28
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由中点推论得
1．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图所示，水平地面上放一个质量M=1kg 的木板，一个质量
m=1kg、带电量q=+1×10-5C 的小物块（可视为质点）放在木板最左端，物块与木板间的动摩擦因数
μ1=0.3，木板与水平地面间的动摩擦因数μ2=0.1。在物块右侧距物块L1=6m 的区域有一匀强电场E，电场区
域宽度为L2=12m，电场强度大小E=1×106N/C，方向竖直向上。现对木板施加一水平向右恒力F，使物块
进入电场区域前恰好和木板保持相对静止向右加速运动，物块刚进入电场时撤去恒力F。已知最大静摩擦
力等于滑动摩擦力，物块带电量始终不变，重力加速度g 取10m/s2，求：
（1）水平恒力F 的大小？
（2）物块离开电场时，木板的速度大小？
【答案】（1）
；（2）
【解析】（1）设进入电场区域前物块与木板间的摩擦力大小为
，木板与地面间的摩擦力大小为
，加
速度大小为
，由摩擦力公式可得
由牛顿第二定律公式可得
可得
（2）物块进入匀强电场后受竖直向上的电场力作用可得
29
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可知物块做匀速运动，木板做匀减速运动。设物块刚进入电场区域时的速度大小为
，物块在电场中运动
时间为
，木板的加速度大小为
，物块离开电场时木板的速度大小为，由运动学公式可得
由牛顿第二定律和运动学公式可得
可得
2．（2024·安徽·一模）在科学研究中常用电场和磁场来控制带电粒子的运动。如图所示，宽度为d 的虚线
框内有垂直纸面方向的匀强磁场，匀强磁场左右边界竖直。电子枪发出的电子(初速度可以忽略)经M、N
之间的加速电场加速后以一定的速度水平射出并进入偏转磁场。速度方向改变
角后从右边界离开磁场
最终打在荧光屏上，已知加速电压为U，电子质量为m、电量值为e、电子重力不计。
（1）求偏转磁场的磁感应强度B 的大小和方向；
（2）若撤去磁场，在虚线框中加一沿竖直方向的匀强偏转电场，从右边界离开电场也可使电子偏转60°角
最终打在荧光屏上，求所加电场的电场强度大小E 以及打到荧光屏上的电子动能。
【答案】（1）
，垂直纸面向外 （2）
，
【解析】（1）电子带负电，根据左手定则可知磁感应强度
方向垂直纸面向外，电子在磁场中的轨迹如
30
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图所示
根据洛伦兹力提供向心力
由几何关系可得
电子经过电场加速过程，根据动能定理可得
联立解得
（2）电子在电场中做类平抛运动，假设在电场中的时间为，则有
离开电场时，假设沿电场方向的分速度为，则有
又
联立可得
离开电场时的动能为
可知打在荧光屏上的电子动能为
。
3．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）如图所示为两组平行金属板，一组竖直放置，一组水平放置，今有一质
31
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量为
、电荷量为
带电微粒静止在竖直放置的平行金属板的
点，经电压
加速后通过
点小孔进入两板间距为
、板长
、电压为
的水平放置的
平行金属板间，若带电微粒从水平平行金属板的右侧穿出，
、
虚线为两块平行板的中线，带电微粒的
重力和所受空气阻力均可忽略。求：
（1）带电微粒通过
点时的速度大小；
（2）带电微粒通过水平金属板过程中电场力对其做功为多少？
【答案】（1）
；（2）
【解析】（1）设带电微粒通过
点时的速度大小为
，根据动能定理可得
解得
（2）带电微粒通过水平金属板时竖直方向的位移为y，则有
①
通过水平金属板的时间
②
水平金属板间的电场强度
③
带电微粒在水平金属板间受到的电场力
④
根据牛顿第二定律可得
32
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⑤
由①②③④⑤式联立并代入数据解得
根据功的计算公式可得
解得
4．（2024·福建泉州·一模）空间存在一方向竖直向下的匀强电场，
、
是电场中的两点。从
点沿水平
方向以不同速度先后发射两个质量均为
的小球
、
。
不带电，
的电荷量为
（
）。
从
点
发射时的速度大小为
，到达
点所用时间为；
从
点到达
点所用时间为
。重力加速度为
，求：
（1）
点到达
点的高度差；
（2）
小球的加速度大小和电场强度的大小；
（3）
运动到
点时的动能。
【答案】（1）
；（2）4g，
；（3）
【解析】（1）小球A 在竖直方向做自由落体运动，因此高度差为
（2）设电场强度的大小为
，小球
运动的加速度为
。根据牛顿定律、运动学公式和题给条件，有
解得
33
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（3）设
从
点发射时的速度为
，到达
点时的动能为
，
、
两点的高度差为，根据动能定理有
且有
联立得
5．（2024·青海海南·二模）真空中一质量为m、带电荷量为
的油滴从A 点以一定的速度竖直向上射出，
经时间
后油滴速度减为0，此时在空间施加一沿竖直方向的匀强电场，持续一段时间
后，将电场反向，
但其大小保持不变，再持续同样的一段时间后，油滴恰好回到A 点，重力加速度大小为g。求：
（1）油滴回到A 点时的动能
；
（2）匀强电场的电场强度大小E；
（3）油滴上升的最大高度h。
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】（1）设匀强电场的电场强度为E，在施加电场之前油滴上升过程
分析油滴从A 点经过一系列运动返回A 点的过程，取向上为正，根据动量定理
在分析油滴从抛出到速度减为零的过程，同理，取向上为正，根据动量定理有
联立解得
油滴回到A 点时的动能为
34
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（2）在施加电场之前油滴上升过程
施加电场后，油滴继续上升的过程
电场反向后
又因为
+
联立解得
（3）根据油滴上升过程的位移方程可得
油滴上升的最大高度h
6．（2024·辽宁·三模）如图所示，水平虚线下方空间存在竖直向上的匀强电场。两个带正电的小球A、B
用长度为L 的轻质绝缘细杆相连，小球A 的质量为m，电荷量为q，小球B 的质量为m，电荷量为2q，小
球A 到虚线的初始高度为L。已知细杆始终保持竖直，重力加速度为g，匀强电场的电场强度大小为
，
两小球可视为质点，不计空气阻力和两小球之间的库仑力。现将小球A、B 由静止释放，求：
（1）小球A 进入电场后，小球B 未进入电场区域时，细杆中的作用力大小；
35
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（2）小球A 由静止释放后，向下运动的最大距离；
（3）小球B 每次在电场区域运动的过程中，细杆对小球B 的冲量。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
，方向竖直向下
【解析】（1）小球A 进入电场后，小球B 未进入电场区域时，以小球A、B 为整体，根据牛顿第二定律
解得加速度为
对小球B，根据牛顿第二定律
解得细杆中的作用力大小为
（2）假设小球B 也会进入电场区域，设小球A 下落的最大距离为x，则从两小球由静止释放至运动到最低
点的过程中，由动能定理有
解得
假设成立，小球A 由静止释放后，向下运动的最大距离为
。
（3）设小球B 进入电场瞬间速度大小为，从静止释放到小球B 进入电场区域瞬间，有
小球进入电场区域后，整体分析，有
设此时细杆对小球的作用力为
，对小球B 分析有
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根据运动的对称性可知小球在电场中运动的时间为
所以小球每次在电场区域中运动的过程中，细杆对小球的冲量大小
方向竖直向下。
7．（2023·黑龙江·一模）半径为R 的半圆形光滑绝缘轨道固定在水平面上，直径AC 以下存在匀强电场，
以圆心为坐标原点建立xOy 坐标系。质量为m、电荷量为+q 的小球（可视为点电荷）从A 点以上（R，
R）由静止释放，从A 点进入半圆形轨道，沿轨道运动到最低点B 时速度恰好为零。求：
（1）刚进入半圆形轨道时小球对A 点的压力；
（2）小球速度最大时的位置坐标。
【答案】（1）4mg，水平向左；（2）
【解析】（1）小球释放后到B 点的过程，有
解得
小球释放后到A 点的过程，有
对小球在A 点水平方向做受力分析，由牛顿第二定律得
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由牛顿第三定律有
解得
方向水平向左；
（3）设小球在D 位置时速度最大，OD 与x 轴正方向的夹角为θ，从开始下落到D 点的过程中，有
整理得
，
小球速度最大时
由此可知
，
所以
即D 点的位置坐标为
。
38
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8．（2024·山西晋中·二模）如图所示，
点和竖直墙壁上的
点在同一竖直面内，质量为
、电荷量为
、可视为点电荷的带电小球从
点以初速度
抛出，抛出时的速度方向与竖直方向的夹角为
。已知重
力加速度为
，不计空气阻力。
（1）若在空间施加一个电场强度大小为
、方向与
同向的匀强电场，仍从
点将小球以速度
抛出，速度方向与竖直方向的夹角为
，小球的竖直高度上升时，恰好打到墙壁上的
点，已知
，求
点到墙壁的水平距离
；
（2）若空间存在着垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度
，将小球从
点以大小为
的速度竖
直向上抛出后，小球垂直撞击到竖直墙壁上的
点，求
点到
点的竖直距离。
【答案】（1）
；（2）
【解析】（1）小球受到的电场力大小为
则小球竖直方向受到的合力为
水平方向受到的合力为
小球沿竖直方向匀速上升的距离
沿水平方向运动的距离为
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联立解得
（2）若空间存在着垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度
可在水平方向上配上水平向右的速度
和水平向左的速度
，使
满足
由此
小球的初速度与
的合速度大小
与水平方向的夹角
则小球在以
做匀速圆周运动的同时，以
向右做匀速直线运动
设粒子做匀速圆周运动的半径为
，由牛顿第二定律可得
则小球垂直撞击在竖直墙壁时，竖直方向速度为零，由几何关系可得
9．（2024·辽宁·二模）如图所示，质量为m、电荷量为q 的带正电粒子，由静止开始通过加速电场，然后
从带电平行金属板的左侧中央垂直进入偏转电场，电场均为匀强电场。两板间电压
，板长为L，板间距
离为d，金属板右侧空间存在一范围足够大的匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向水平向右。忽略粒子
间的相互作用、电磁场边缘效应和重力的影响。
40
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（1）为使粒子能进入磁场中，求加速电场的电压
应满足的条件；
（2）以粒子进入磁场的O 点为坐标原点建立如图所示的
直角坐标系，从粒子通过O 点开始计时，
求粒子到达x 轴的时刻；
（3）若加速电场电压为
，在
处放置一与x 轴垂直的荧光屏，求粒子打在荧光屏上的
位置坐标。
【答案】（1）
； （2）
（n=1，2，3…）；
（3）（
，
，
）
【解析】（1）粒子在加速电场中运动，根据动能定理有
在偏转电场中，根据类平抛运动规律有
其中
解得
41
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为使粒子能进入磁场中，加速电场的电压应满足
；
（2）粒子进入磁场后在垂直于
平面内做匀速圆周运动，运动一个周期经过一次x 轴，则从粒子通过O
点开始计时，粒子到达x 轴的时刻为
（n=1，2，3…）
（3）若加速电场电压为
，则有
在偏转电场中，根据类平抛运动规律有
其中
解得
粒子进入磁场后，垂直于
平面内做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力有
解得
水平方向运动的时间为
=
42
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则此时粒子的坐标为
，
则粒子的坐标为（
，
，
）。
10．（2024·内蒙古赤峰·三模）如图甲所示，在水平面的上方，A、B 为同一竖直面内的两点，A、B 之间
的高度差为h，水平距离为2h，将质量为m 的不带电小球自A 点以一定初动能
（未知）水平抛出，经
过一段时间小球运动至B 点。若该小球带正电、电荷量为q，并在竖直面内加上周期性变化的匀强电场，
其变化规律如图乙所示。将小球在
时刻仍从A 点以
的初动能水平向右抛出，在
时，小球
恰好以
的动能竖直向下经过B 点。（m、q、h 均为已知量，重力加速度为g，运动过程中小球的电荷
量保持不变，小球始终没落到水平面上）。求：
（1）不带电小球水平抛出后到达B 点时的动能
；
（2）0~T 时间内匀强电场的场强E0的大小和方向；
（3）从抛出开始计时经过3T 的时间内，带电小球动能的最小值和全过程位移的大小。
【答案】（1）
；（2）
，方向斜向左下与竖直方向成
角；（3）
，
【解析】（1）小球从A 点运动到B 点做平抛运动，可知
，
小球在A 点的动能
43
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小球从A 点运动到B 点，由动能定理有
解得小球到达B 点时的动能
（2）带电小球从A 点运动到B 点的过程中，在水平方向做匀减速直线运动，设在A 点时的水平方向速度
为
，在水平方向的加速度为
。由牛顿第二定律有
由运动学公式有
由题可知
解得电场强度的水平分量
带电小球从A 点运动到B 点的过程中，在竖直方向做匀加速直线运动，设在B 点时的速度为
，在水平方
向的加速度为
。由牛顿第二定律有
由运动学公式有
由题可知
解得电场强度的水平分量
44
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则电场强度的大小
设电场强度的方向与竖直方向的夹角为θ，由几何关系有
所以电场强度的方向斜向左下与竖直方向成
角。
（3）小球在水平方向的运动规律是：
内小球水平向右做加速度为
的匀减速直线运动；
内电
场反向，电场力的水平分力向右，小球水平向右做加速度为
的匀加速直线运动，之后再重复前面的运动。
因此，小球在
时间内水平位移
小球在竖直方向的运动规律是：
内小球竖直向下做加速度为
的匀加速直线运动；
内电场反
向，竖直向上的电场力分力与重力平衡，所以小球竖直向下做匀速直线运动，之后重复前面的运动。因此，
小球在竖直方向，0~T 时间内位移
，
T~2T 时间内位移
2T~3T 时间内位移
所以在3T 时间内竖直方向的总位移为
小球的位移大小
45
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当带电小球的运动方向与小球所受的合力方向垂直时动能最小，电场力与重力的合力
设合力与竖直方向的夹角为
，则
如下图所示
所以带电小球动能的最小值
1．（2022·辽宁·高考真题）如图所示，光滑水平面
和竖直面内的光滑
圆弧导轨在B 点平滑连接，导
轨半径为R。质量为m 的带正电小球将轻质弹簧压缩至A 点后由静止释放，脱离弹簧后经过B 点时的速度
大小为
，之后沿轨道
运动。以O 为坐标原点建立直角坐标系
，在
区域有方向与x 轴夹
角为
的匀强电场，进入电场后小球受到的电场力大小为
。小球在运动过程中电荷量保持不变，
重力加速度为g。求：
（1）弹簧压缩至A 点时的弹性势能；
（2）小球经过O 点时的速度大小；
（3）小球过O 点后运动的轨迹方程。
46
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【答案】（1）
；（2）
；（3）
【解析】（1）小球从A 到B，根据能量守恒定律得
（2）小球从B 到O，根据动能定理有
解得
（3）小球运动至O 点时速度竖直向上，受电场力和重力作用，将电场力分解到x 轴和y 轴，则x 轴方向有
竖直方向有
解得
，
说明小球从O 点开始以后的运动为x 轴方向做初速度为零的匀加速直线运动，y 轴方向做匀速直线运动，
即做类平抛运动，则有
，
联立解得小球过O 点后运动的轨迹方程
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2．（2024·河北·高考真题）如图，竖直向上的匀强电场中，用长为L 的绝缘细线系住一带电小球，在竖直
平面内绕O 点做圆周运动。图中A、B 为圆周上的两点，A 点为最低点，B 点与O 点等高。当小球运动到A
点时，细线对小球的拉力恰好为0，已知小球的电荷量为
、质量为m，A、B 两点间的电势差为
U，重力加速度大小为g，求：
（1）电场强度E 的大小。
（2）小球在A、B 两点的速度大小。
【答案】（1）
；（2）
，
【解析】（1）在匀强电场中，根据公式可得场强为
（2）在A 点细线对小球的拉力为0，根据牛顿第二定律得
A 到B 过程根据动能定理得
联立解得
，
3．（2023·福建·高考真题）如图（a），一粗糙、绝缘水平面上有两个质量均为m 的小滑块A 和B，其电
荷量分别为
和
。A 右端固定有轻质光滑绝缘细杆和轻质绝缘弹簧，弹簧处于原长状态。整个空
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间存在水平向右场强大小为E 的匀强电场。A、B 与水平面间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，其大小均
为
。
时，A 以初速度
向右运动，B 处于静止状态。在
时刻，A 到达位置S，速度为
，此时弹
簧未与B 相碰；在
时刻，A 的速度达到最大，此时弹簧的弹力大小为
；在细杆与B 碰前的瞬间，A
的速度为
，此时
。
时间内A 的
图像如图（b）所示，
为图线中速度的最小值，
、
、
均为未知量。运动过程中，A、B 处在同一直线上，A、B 的电荷量始终保持不变，它们之间的库仑力等
效为真空中点电荷间的静电力，静电力常量为k；B 与弹簧接触瞬间没有机械能损失，弹簧始终在弹性限
度内。
（1）求
时间内，合外力对A 所做的功；
（2）求
时刻A 与B 之间的距离；
（3）求
时间内，匀强电场对A 和B 做的总功；
（4）若增大A 的初速度，使其到达位置S 时的速度为
，求细杆与B 碰撞前瞬间A 的速度。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
；（4）
【解析】（1）
时间内根据动能定理可知合外力做的功为
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（2）由图（b）可知
时刻A 的加速度为0，此时滑块A 所受合外力为0，设此时A 与B 之间的距离为
r0，根据平衡条件有
其中
联立可得
（3）在
时刻，A 的速度达到最大，此时A 所受合力为0，设此时A 和B 的距离为r1，则有
且有
，
联立解得
时间内，匀强电场对A 和B 做的总功
（4）过S 后，A、B 的加速度相同，则A、B 速度的变化相同。设弹簧的初始长度为
；A 在S 位置时，
此时刻A、B 的距离为
，A 速度最大时，AB 距离为
，细杆与B 碰撞时，A、B 距离为
。
A 以
过S 时，到B 与杆碰撞时，A 增加的速度为
，则B 同样增加速度为
，设B 与杠相碰时，B 向左
运动
。设B 与弹簧相碰到B 与杆相碰时，B 向左运动
。对A 根据动能定理有
对B 有
50
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当A 以
过S 时，设B 与杆碰撞时，A 速度为
，则B 速度为
，设B 与杠相碰时，B 向左运动
。
设B 与弹簧相碰到B 与杆相碰时，B 向左运动
。
对A 根据动能定理有
对B
联立解得
4．（2023·北京·高考真题）某种负离子空气净化原理如图所示。由空气和带负电的灰尘颗粒物（视为小
球）组成的混合气流进入由一对平行金属板构成的收集器。在收集器中，空气和带电颗粒沿板方向的速度
保持不变。在匀强电场作用下，带电颗粒打到金属板上被收集，已知金属板长度为L，间距为d、不考
虑重力影响和颗粒间相互作用。
（1）若不计空气阻力，质量为m、电荷量为
的颗粒恰好全部被收集，求两金属板间的电压
；
（2）若计空气阻力，颗粒所受阻力与其相对于空气的速度v 方向相反，大小为
，其中r 为颗粒的
半径，k 为常量。假设颗粒在金属板间经极短时间加速达到最大速度。
a、半径为R、电荷量为
的颗粒恰好全部被收集，求两金属板间的电压
；
b、已知颗粒的电荷量与其半径的平方成正比，进入收集器的均匀混合气流包含了直径为
和
的
两种颗粒，若
的颗粒恰好100%被收集，求
的颗粒被收集的百分比。
51
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【答案】（1）
；（2）a、
；b、25%
【解析】（1）只要紧靠上极板的颗粒能够落到收集板右侧，颗粒就能够全部收集，水平方向有
竖直方向
根据牛顿第二定律
又
解得
（2）a.颗粒在金属板间经极短时间加速达到最大速度，竖直方向
且
解得
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b.
带电荷量q 的颗粒恰好100%被收集，颗粒在金属板间经极短时间加速达到最大速度，所受阻力等
于电场力，有
在竖直方向颗粒匀速下落
的颗粒带电荷量为
颗粒在金属板间经极短时间加速达到最大速度，所受阻力等于电场力，有
设只有距下极板为
的颗粒被收集，在竖直方向颗粒匀速下落
解得
的颗粒被收集的百分比
5．（2023·新课标卷·高考真题）密立根油滴实验的示意图如图所示。两水平金属平板上下放置，间距固定，
可从上板中央的小孔向两板间喷入大小不同、带电量不同、密度相同的小油滴。两板间不加电压时，油滴
a、b 在重力和空气阻力的作用下竖直向下匀速运动，速率分别为v0、
；两板间加上电压后（上板为正
极），这两个油滴很快达到相同的速率
，均竖直向下匀速运动。油滴可视为球形，所受空气阻力大小与
油滴半径、运动速率成正比，比例系数视为常数。不计空气浮力和油滴间的相互作用。
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（1）求油滴a 和油滴b 的质量之比；
（2）判断油滴a 和油滴b 所带电荷的正负，并求a、b 所带电荷量的绝对值之比。
【答案】（1）8:1；（2）油滴a 带负电，油滴b 带正电；4:1
【解析】（1）设油滴半径r，密度为ρ，则油滴质量
则速率为v 时受阻力
则当油滴匀速下落时
解得
可知
则
（2）两板间加上电压后（上板为正极），这两个油滴很快达到相同的速率
，可知油滴a 做减速运动，
油滴b 做加速运动，可知油滴a 带负电，油滴b 带正电；当再次匀速下落时，对a 由受力平衡可得
其中
对b 由受力平衡可得
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其中
联立解得
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