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大题08 带电粒子（带电体）在电场中的平衡、运动
带电粒子的运动时而像落体运动时而像抛体运动还有的像“圆周运动”总之考察带电粒子的运动本质
还是在考察传统的经典运动模型，但由于电场力的性质以及电场能的性质的加持之下这类问题变得更灵活
多变个富有物理思想，因此在高考中的出镜率非常高，所以备考中应引起足够重视。
带电粒子（带电体）在电场中的平衡
【例1】（2023·吉林·二模）用两根长度均为L 的绝缘细线各系一个小球，并悬挂于同一点。已知两小球
A、B 质量均为m，当它们带上等量同种电荷时，两细线与竖直方向的夹角均为θ，如图所示。若已知静电
力常量为k，重力加速度为g。求：
（1）小球所带的电荷量；
（2）在空间中施加一匀强电场，同时撤去B 球，仍使A 球保持不动，求所加电场强度E 的最小值。
【思路分析】根据受力分析结合共点力平衡的求解方法来求解电荷量；应用矢量三角形来求解电场强度的
最小值。
【答案】（1）
；（2）
，方向垂直绳子斜向左上方
【详解】（1）对小球A 受力分析，其受重力、库仑力、绳子的拉力三个力而平衡，其受力分析如图所示
1
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可知重力与库仑力的合力大小与绳子拉力大小相等、方向相反、合力为零，则有
而
联立解得
（2）在空间中施加一匀强电场，同时撤去B 球，仍使A 球保持不动，则可知小球受重力、绳子的拉力、
电场力这三个力而平衡，做出小球A 三力平衡的矢量三角形如图所示
显然，当电场力与绳子的拉力垂直时电场力有最小值，其最小值为
即
解得
2
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方向垂直于绳子斜向左上方。
（23-24 高三上·河北·阶段练习）如图所示，水平向右的匀强电场中，绝缘丝线一端固定悬挂于O 点，另一
端连接一带负电小球，小球质量为m，电荷量为Q。O 点正下方投影为M 点。等量异种电荷A、B 的电荷
量均为Q，对称放置于M 点两侧，小球静止时恰好处于
的中点N 处。已知
，且绝缘丝线
，静电力常数为k，求：
（1）匀强电场的电场强度E；
（2）撤去匀强电场，保持A、B 位置不变，三者电性不变，A、B 和小球的电荷量均变为
（未知），保
持电荷量仍相等，换一根绝缘丝线让小球仍静止于N 点，平衡时丝线与竖直方向所成的夹角为
、求等
量异种电荷A、B 在N 处产生的总场强
（已知
）。
【答案】（1）
；（2）
【详解】（1）对小球受力分析可知
解得
对球的库仑力
3
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小球在匀强电场中受到的电场力
由受力平衡有
联立解得
（2）撤去电场后，小球受力平衡，有
其中
解得
等量异种电荷
在
处产生的总场强
4
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带电粒子（带电体）在电场中的运动
【例1】（23-24 高三下·北京东城·阶段练习）在一柱形区域内有匀强电场，柱的横截面积是以O 为圆心，
半径为R 的圆，AB 为圆的直径，如图所示。质量为m，电荷量为q（q>0）的带电粒子在纸面内自A 点先
后以不同的速度进入电场，速度方向与电场的方向垂直。已知刚进入电场时速度为零的粒子，自圆周上的
C 点以速率v0穿出电场，AC 与AB 的夹角θ=60°。运动中粒子仅受电场力作用。
（1）求电场强度的大小；
（2）为使粒子穿过电场后的动能增量最大，求：
a．该粒子沿电场线方向的位移；
b．进入电场时的速度大小。
【思路分析】结合初始条件判断场强方向再由动能定理或牛顿运动定律求解电场强度；由几何关系找出动
能最大的位置在根据运动学规律求解相关问题。
【答案】（1）
；（2）a．
，b．
【详解】（1）根据题意，刚进入电场时速度为零的粒子，自圆周上的C 点以速率v0穿出电场，则可知电
场强度的方向沿着AC 方向，由几何关系可知
根据动能定理有
解得
（2）a．如图
5
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由几何关系可知
，因此电场中的等势线与BC 平行。作与BC 平行的直线与圆相切于D 点，与AC
延长线交于P 点，则自D 点从圆周上穿出的粒子动能的增量最大。由几何关系有
，
即该粒子沿电场线方向的位移为
。
b．设以速度
的粒子进入电场，从电场中离开时的动能增量最大，在电场中运动的时间为
。粒子在AC
方向上做加速度为
匀加速直线运动，运动的距离等于AP，在垂直AC 的方向上做匀速直线运动，运动的
距离为DP，则有
，
，
联立以上各式解得
【例2】（23-24 高三上·江西赣州·期末）如图所示，AC 水平轨道上AB 段光滑，BC 段粗糙，且
，
CDF 为竖直平面内半径为
的光滑半圆轨道，两轨道相切于C 点，CF 右侧有电场强度
的匀强电场，方向水平向右。一根轻质绝缘弹簧水平放置，一端固定在A 点，另一端与带
负电滑块P 接触但不连接，弹簧原长时滑块在B 点。现向左压缩弹簧后由静止释放，当滑块P 运动到F 点
瞬间对轨道压力为4N。已知滑块P 的质量为
，电荷量大小为
，与轨道BC 间的动摩
擦因数为
，忽略滑块P 与轨道间电荷转移，重力加速度g 取10m/s2。求：
（1）求滑块到F 点时的动能；
（2）求滑块到D 点时对轨道的压力；
（3）若滑块P 沿光滑半圆轨道CDF 运动过程中时，对圆弧轨道的最小压力为10N，求弹簧释放瞬间弹性
6
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势能。
【思路分析】在C 点由牛顿运动定律求速度进而求动能；根据动能定理求经过D 点的速度在由牛二求压力；
构建等效场模型结合动能定理求弹性势能。
【答案】（1）0.8J；（2）7N，方向沿OD 连线向右；（3）4.9J
【详解】（1）F 点时，对滑块，由牛顿第二定律
根据牛顿第三定律知轨道对滑块的压力为
联立解得滑块到F 点时的动能
（2）滑块从D 到F 的过程中，根据动能定理，有
在D 点时，根据牛顿第二定律
联立解得
根据牛顿第三定律知，滑块对轨道的压力大小为7N，方向沿OD 连线向右；
（3）重力和电场力可看作等效重力（斜向左下方），此时
设等效重力的方向与竖直方向夹角为
，则有
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可得
设等效最高点为M 点，M 点处，对圆弧轨道压力最小，为10N，根据牛顿第二定律
圆弧轨道对滑块的压力
滑块P 从压缩时到M 点的过程中，由动能定理得
联立可得
【例3】（23-24 高三上·江苏苏州·阶段练习）如图，足够长的光滑绝缘水平面上竖直固定光滑绝缘半径为
R 的四分之一圆弧轨道BC，B 为圆弧的最低点，A 点在圆弧左侧，且AB 间距为2R。整个空间处于水平向
右的匀强电场中，电场强度大小为E。一质量为m、电荷量为
的带正电小球从A 点静止释放，忽略空
气阻力，重力加速度为g。求：
（1）小球运动到B 点时的速度大小；
（2）小球在圆弧BC 上运动过程中的最大动能；
（3）小球离开圆弧轨道到落地过程中的最小速率及该过程机械能的增量。
【思路分析】先构建等效场模型寻找等效最低点在应用动能定理求最大动能；结合斜上抛运动的轨迹特征
寻找速度最小的临界位置在根据运动学规律及功能关系求解。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
，
【详解】（1）小球从A 到B 由动能定理有
8
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解得
（2）设等效能重力场的方向与竖直方向所成夹角为
，有
即
从B 点到等效最低点由动能定理有
解得
（3）小球从B 到C 由动能定理有
解得
小球从C 点抛出后，将小球的运动分解为沿重力和电场力的合力方向和垂直合力方向，如图所示
小球在空中垂直合力方向做匀速直线运动，沿合力方向先做匀减速直线运动，再反向做匀加速直线运动，
当沿合力方向的速度减为零时，小球的速度具有最小值，则有
从C 点飞出，竖直方向有
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解得
水平方向有
小球离开圆弧轨道到落地过程中的机械能的增量
1．带电粒子(带电体)在电场中运动时重力的处理
基本粒子一般不考虑重力，带电体(如液滴、油滴、尘埃等)一般不能忽略重力，除有说明或明确的暗示外。
2．带电粒子(带电体)在电场中的常见运动及分析方法
常见运动
受力特点
分析方法
静止或匀速直线运动
合外力F 合＝0
共点力平衡
变速直线运动
合外力F 合≠0，且与
初速度方向在同一条
直线上
1.用动力学观点分析：a＝，E＝，v2－v0
2
＝2ad，适用于匀强电场
2．用功能观点分析：W＝qU＝mv2－
mv0
2，匀强和非匀强电场都适用
带电粒子在匀强电场中
的偏转
进入电场时v0⊥E，
粒子做类平抛运动
运动的分解
偏转角：tan θ＝＝＝＝
侧移距离：y0＝＝，y＝y0＋
Ltan θ＝(＋L)tan θ
粒子斜射入电场，粒
子做类斜抛运动
运动的分解
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垂直电场方向做匀速直线运动：x＝v0tsin
θ
沿电场方向做匀变速直线运动：y＝v0tcos
θ－t2
带电粒子在非匀强电场
中运动
静电力在变化
动能定理，能量守恒定律
3．带电体在电场和重力场的叠加场中运动的分析方法
(1)对带电体的受力情况和运动情况进行分析，综合运用牛顿运动定律和匀变速直线运动的规律解决问题。
(2)根据功能关系或能量守恒的观点，分析带电体的运动时，往往涉及重力势能、电势能以及动能的相互转
化，总的能量保持不变。
1．（2023·云南·二模）在水平向右足够大的匀强电场中，大小可忽略的两个带电小球A、B 分别用不可伸
长，长度均为l 的绝缘轻质细线悬挂在同一水平面上的M、N 两点，并静止在如图所示位置，两细线与电
场线在同一竖直平面内，细线与竖直方向夹角均为
。已知两小球质量都为m，电荷量均为q 且带等
量异种电荷，匀强电场的场强大小
，重力加速度大小为g，取
，
。求
（1）A、B 两小球之间库仑力的大小；
（2）保持小球B 的位置和带电量不变，移除A 小球后，将小球B 由静止释放，求B 小球此后运动过程中
速度的最大值。
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【答案】（1）
；（2）
【详解】（1）设B 小球受到的电场力为
对B 小球受力分析如图所示，
小球B 静止，受力平衡得
联立解得
（2）小球A 撤去后，小球B 在电场力、重力和绳子拉力作用下做变速圆周运动，当重力和电场力的合力
沿着半径方向时小球速度最大。设小球速度最大时，绳子与竖直方向的夹角为
。由几何关系可得
小球B 从初始位置运动到速度最大位置，在竖直方向的位移为
在水平方向的位移为
由动能定理得
解得
2．（2024·吉林·一模）如图，真空中足够大的铝板M 与金属板N 平行放置，通过电流表与电压可调的电
源相连。一束波长。
的紫外光持续照射到M 上，光电子向各个方向逸出。已知铝的逸出功
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，光速
，普朗克常量
。
（1）求光电子的最大初动能
（计算结果保留两位有效数字）；
（2）调节电压使电流表的示数减小到0 时，M、N 间的电压为
；当电压为
时，求能到达N 的光电
子中，初速度与M 之间夹角的最小值
。
【答案】（1）
；（2）60°
【详解】（1）根据光电效应方程可得
（2）因调节电压使电流表的示数减小到0 时，M、N 间的电压为
，则
当电压为
时恰能到达N 的光子满足
解得
则
3．（23-24 高三上·河南·阶段练习）蜘蛛不仅能“乘风滑水”，最新研究还表明：蜘蛛能通过大气电位梯
度“御电而行”。大气电位梯度就是大气中的电场强度，大气中电场方向竖直向下。假设在晴朗无风环境，
平地上方1km 以下，可近似认为大气电位梯度E=E0–kH，其中E0=150V/m 为地面的电位梯度，常量
k=0.1V/m2，H 为距地面高度。晴朗无风时，一质量m=0.6g 的蜘蛛（可视为质点）由静止从地表开始“御
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电而行”，蜘蛛先伸出腿感应电位梯度，然后向上喷出带电的蛛丝（蜘蛛其他部分不显电性），带着身体
飞起来。忽略空气阻力，取重力加速度g=10N/kg。
（1）该蜘蛛要想飞起来，求蛛丝所带电荷电性及电荷量范围；
（2）若蛛丝所带电荷量大小为q=5×10–5C，求蜘蛛上升速度最大时的高度和能到达的最大高度。
【答案】（1）带负电，大于4×10–5C；（2）300m，600m
【详解】
（1）因大气中的电场方向竖直向下，蛛丝应带负电荷，才能使电场力竖直向上，蜘蛛才可能飞起来。设
蛛丝所带电荷量为q0，蜘蛛要想飞起来，电场力应大于重力，则有
解得
（2）设蜘蛛上升速度最大时高度为h0，能到达的最大高度为h，蜘蛛上升过程中加速度先向上减小、加速
上升，速度最大时加速度为零，之后加速度向下增大、减速上升，速度减为零时到达最大高度。速度最大
时重力与电场力平衡，则有
解得
上升过程中电场强度随高度增大均匀减小，电场力也随高度增大均匀减小，则上升过程中电场力做的功
对上升过程，由动能定理有
联立解得
4．（2024·江西·二模）如图所示，一垂直架设且固定于水平地面的圆环，内侧有一用绝缘材料制成的光滑
轨道，轨道半径为R，圆心为O。设重力加速度为g，若将质量为m 及带正电荷电量为q 的小球（视为质
点），从P 点（与O 点等高）以某一初速度沿轨道向下射出，则：
（1）要使小球能做完整的圆周运动，小球的初速度
至少多大？
（2）若于此圆形轨道区域内施加竖直向下的场强大小为E 的均匀电场，要使小球能做完整的圆周运动，
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小球的初速度
至少多大？
【答案】（1）
；（2）
【详解】（1）在最高点D
由P 至D 点
得
（2）在最高点D
从P 点到D 点
得
5．（2024·广东广州·二模）在真空中存在着方向竖直向上、足够大且周期性变化的匀强电场E。将一个质
量为m、电荷量为q 的小球（可视为质点）t=0 时刻由静止释放，小球开始以
的加速度向上运动。已知
电场的周期为T=2t0，规定竖直向上为正方向，重力加速为g，求：
（1）匀强电场E 的大小；
（2）t=3t0时小球的速度；
（3）小球在0~2.5t0时间内机械能的变化量
。
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【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）有电场时，由牛顿第二定律得
解得匀强电场E 的大小为
（2）当
时，小球速度为
当
时，小球速度为
当
时，小球速度为
（3）
内小球的位移为
方向向上；
内小球机械能变化量为
内小球的位移为
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方向向下；
内小球机械能变化量为
则
内小球机械能变化量为
6．（2024·广东·模拟预测）如图所示，倾角θ=37°的粗糙绝缘斜面，在O 点以下的斜面存在沿斜面向上的
电场，电场强度E 随到O 点距离x 增大而均匀增大，如图乙所示。一个质量为m，带正电的滑块从距O 点
为d 的A 点静止释放，滑块的带电量为q，滑块经过O 点后向前运动的距离为d 的B 点时速度减为0。已知
滑块与斜面的动摩擦因数μ=
，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g，滑块看成质点，
sin37°=0.6，cos37°=0.8，求：
（1）斜面上B 点的电场强度大小E0；
（2）滑块到达B 点时，电势能增加量；
（3）滑块在B 点的加速度a。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）由动能定理
解得，斜面上B 点的电场强度大小为
（2）在滑块运动的过程中，静电力做的功为
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根据电场力做功与电势能的关系为
可得
即滑块到达B 点时，电势能增加量为
。
（3）在B 点，对滑块由牛顿第二定律
代入解得，滑块在B 点的加速度为
7.（23-24 高三上·山东青岛·阶段练习）如图所示，在竖直平面的xOy 坐标系内，Oy 表示竖直向上方向。该
平面内存在沿x 轴方向的匀强电场。一个带电小球从坐标原点沿Oy 方向竖直向上抛出，初速度大小为
v0=2m/s，不计空气阻力，g 取10m/s2。它达到的最高点位置如图中M 点所示。求：
（1）小球在M 点时的速度大小；
（2）小球落回x 轴的位置坐标；
（3）小球在x 轴上方运动过程中的最小速度及所需的时间。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
，
【详解】（1）设小球水平方向的加速度为
，小球从O 点运动至M 点过程中，有
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解得
，
小球在M 点时的速度大小为
（2）小球落回x 轴的水平位移为
小球落回x 轴的位置坐标为
。
（3）小球在x 轴上方运动过程中的速度为
当
时，小球在x 轴上方运动过程中的速度最小，为
8．（23-24 高三上·陕西汉中·期末）如图甲所示，带有等量异种电荷的平行金属板M、N 竖直放置（板N
上有一小孔），M、N 两板间的距离d=0.8m，现将一质量
、电荷量
的带正电小
球从两极板上方的A 点以v0=4m/s 的初速度水平抛出，A 点距离两板上端的高度h=0.45m。小球恰好从靠近
M 板上端B 处进入两板间且沿直线运动。设匀强电场只存在于两板之间，不计空气阻力，g 取10m/s2。
（1）求M、N 两板间的电压UMN；
（2）求小球到达C 点时的动能Ek；
（3）若将平行金属板M、N 水平放置，如图乙所示，将带电小球从板N 小孔正上方高H 处由静止开始下
落，穿过小孔到达板M 时速度恰为零，空气阻力忽略不计。则H 为多大？（结果用分式表示）
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【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）小球从A 到B 点做平抛运动，设到达B 点的竖直速度为vy，则
由于小球进入两板间后做直线运动，所以重力和电场力的合力方向沿直线方向，设速度方向与水平方向的
夹角为θ，则有
联立解得
（2）小球进入电场后，设从B 点运动到C 点的竖直位移为h'。根据动能定理可得
解得
（3）根据动能定理可得
解得
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9．（2024·黑龙江·一模）如图所示，两带电水平金属极板M、N 的长度为L=0.6m，间距为d=0.5m，
为极板右边界，
的右侧存在竖直向下的匀强电场，电场强度为E=10N/C。光滑绝缘圆弧轨道ABC 竖
直放置，A 与
在同一竖直线上，圆弧AB 的圆心角
，BC 是竖直直径。小球以v0=3m/s 的水平速
度从左侧飞入极板间，飞离极板后恰好从A 点沿切线方向进入圆弧轨道。已知小球带正电，质量
m=1.0kg，电荷量q=0.5C，重力加速度g=10m/s2，cos53°=0.6，不计空气阻力。求：
（1）小球在A 点的速度大小vA；
（2）M、N 极板间的电势差U；
（3）若小球沿圆弧轨道恰能到达最高点C，求半径R。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）小球恰好从A 点沿切线方向进入圆弧轨道，则在A 点速度大小为
（2）小球在平行金属板间做类平抛运动，带电粒子在平行板中运动时间为
在A 点，竖直分速度为
解得
由牛顿第二定律得
又
联立解得M、N 极板间的电势差为
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（3）若小球沿圆弧轨道恰能到达最高点C，则在C 点满足
由动能定理可得
联立解得
10．（23-24 高三上·湖北·期末）如图所示，固定竖直面内半径为
的光滑半圆轨道与动摩擦因数为
的粗糙水平面平滑相连，整个区域有水平向右、大小为
的匀强电场，一质量为
，电量为
的可视为质点带正电的小物块从A 点静止开始运动，已知AB 的长度为
，重力加速度
。求：
（1）小物块运动到B 点的速度为多大；
（2）小物块运动轨道最右边C 点时，轨道对小物块的支持力；
（3）小物块从D 点离开到落地过程中克服电场力做功的平均功率。
【答案】（1）
；（2）
，方向水平向左；（3）
【详解】
（1）根据题意，在小物块从A 运动到B 的过程中，由动能定理
解得
（2）从B 到C 的过程，对小物块由动能定理
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解得
物块在C 点，设轨道对其支持力为
，由牛顿第二定律有
解得
方向水平向左。
（3）小物块从B 点到D 点，由动能定理有
解得
小物块从D 点飞离轨道后在竖直方向只受重力，可知在竖直方向做自由落体运动，在水平方向受到与速度
方向相反的电场力，因此可知，在水平方向做匀变速直线运动，根据运动的独立性与等时性，设物块落地
时所用的时间为t，则在竖直方向有
解得
在水平方向有
其中
联立解得
电场力做功
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平均功率
11.（2024·河南·一模）如图所示，一个带正电的小球，质量为m，电荷量为q，固定于绝缘轻杆一端，轻
杆的另一端光滑铰接于O 点，重力加速度为g。
（1）未加电场时，将轻杆向左拉至水平位置，无初速度释放，小球到达最低点时，求轻杆对它的拉力大
小。
（2）若在空间中施加一个平行于纸面的匀强电场，大小方向未知。将轻杆从左边水平位置无初速度释放，
小球到达最低点时，受到轻杆的拉力为4mg；将轻杆从右边水平位置无初速度释放，小球到达最低点时，
受到轻杆的拉力为8mg。求电场强度的水平分量Ex和竖直分量Ey。
【答案】（1）3mg；（2）
，方向竖直向下，
，方向水平向左
【详解】（1）未加电场，则从水平位置无初速度释放到最低点时，有
则小球在最低点有
解得
FT = 3mg
（2）加电场后，无论轻杆从哪边释放小球到达最低点时受到的拉力均比无电场时大，则说明电场在竖直
方向的分量向下；而轻杆从左边释放小球到最低点受到的拉力小于轻杆从右边释放小球到最低点受到的拉
力，则说明电场在水平方向的分量向左，则杆从左边水平位置无初速度释放，到小球到达最低点的过程中
有
24
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则小球在最低点有
其中
FT1 = 4mg
杆从右边水平位置无初速度释放，到小球到达最低点的过程中有
则小球在最低点有
其中
FT2 = 8mg
联立解得
，
12.（23-24 高三上·天津和平·期中）在电场方向水平向右的匀强电场中，一带电小球从A 点竖直向上抛出，
其运动的轨迹如图所示。小球运动的轨迹上A、B 两点在同一水平线上。M 为轨迹的最高点。小球抛出时
的动能为8.0J，在M 点的动能为6.0J，不计空气的阻力。求：
（1）小球所受重力和电场力的比值；
（2）小球水平位移x1与x2的比值；
（3）小球从A 点运动到B 点的过程中最小动能Ekmin。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）带电小球在水平方向上受电场力的作用做初速度为零的匀加速运动，竖直方向上只受重力
作用做竖直上抛运动，故从A 到M 和M 到B 的时间相等；设小球所受的电场力为F，重力为G，则有
25
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联立可得
竖直方向有
联立可得
而由题意
所以有
（2）由于从A 点至M 点和从M 点至B 点的时间t 相等。小球在水平方向上做初速为零的匀加速直线运动，
设加速度为a，则有
所以
（3）设电场力F 与重力G 的合力与竖直方向夹角为θ，由图可知
则根据数学知识有
26
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小球的运动也可以看成在等效重力
的作用下的类似斜抛运动，当小球从A 运动到B 的过程中速度最小时
速度一定与等效重力
垂直，此时沿
方向速度为0；故有
13.（2024 高三上·陕西汉中·阶段练习）将质量为
的小球从距地面一定高度的A 点以速度
水平抛出，小
球落地时动能为抛出时动能的4 倍。现在空间加一个平行于小球运动平面的水平方向的匀强电场，令小球
带上正电荷
，仍以速度
水平抛出，小球落地时动能为抛出时动能的7 倍。已知重力加速度大小为
，
不计空气阻力，以地面为参考平面，求：
（1）小球在空中运动的时间；
（2）外加电场强度
的大小和落地点距抛出点的水平距离
。
【答案】（1）
；（2）见解析
【详解】（1）不加电场时，小球做平抛运动，设小球在空中运动的时间，则
小球落地时动能为抛出时动能的4 倍，即
竖直方向上为自由落体运动，则
解得小球在空中运动的时间
27
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（2）加水平电场，竖直方向的分运动不发生改变，小球落地时动能为抛出时动能的7 倍，即
①若所加电场方向与抛出方向相同，在水平方向上，则有
由动能定理可得
联立解得
②若所加电场方向与抛出方向相反，在水平方向上，则有
由动能定理可得
联立解得
14．（2023·安徽合肥·二模）如图所示，直角坐标系xoy，x 轴水平，y 轴竖直。第一象限内存在沿y 轴正方
向匀强电场
，且在第一象限内的某圆形区域存在垂直于坐标平面向外的匀强磁场B，第二象限内存在平
行于坐标平面的匀强电场
（大小、方向均未知）。一带正电小球由x 轴上点
（
，0）以初速度
竖
直向上抛出，当其经过y 轴上的A 点时速度水平，且动能为初动能的3 倍，再经过一段时间小球由x 轴上
28
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点
（，0）飞出磁场，此时小球速度方向与x 轴负方向的夹角为
。已知小球质量为m、电荷量为q，
，空气阻力忽略不计，重力加速度为g。求：
（1）A 点坐标；
（2）磁场的磁感应强度B；
（3）小球由P 点到达Q 点的时间。
【答案】（1）（0，
）；（2）
，方向垂直于坐标平面向外；（3）
【详解】（1）小球从P 点到A 点水平和竖直方向均为匀变速直线运动，由小球在A 点动能为P 点的3 倍，
则有
可得A 点速度为
水平方向
竖直方向
解得
故A 点坐标为（0，
）。
29
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（2）由题意可得
可知小球在第一象限中的磁场中做匀速圆周运动，如图所示
由几何关系得
由洛伦兹力提供向心力得
联立解得
方向垂直于坐标平面向外。
（3）小球由P 点至A 点时间记为
，从A 匀速到进入磁场时间记为
，在磁场中匀速圆周运动时间记为
。
则有
小球由A 运动到磁场中满足
解得
小球在磁场中运动时间为
30
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小球从P 到Q 运动总时间为
15．（2023·江西南昌·二模）如图，竖直平面内存在方向水平的匀强电场，电场区域
间距为H，在该区
域下边界的O 点将质量为m、电荷量为q 的小球以一定的初速度竖直上抛，小球从上边界离开电场，再次
进入电场后在电场中做直线运动，到达下边界的
点，已知小球到达
点的速度大小为从O 点进入电场
时速度大小的
倍，动量方向与水平面的夹角为
。不计空气阻力，重力加速度大小为g。求：
（1）
角的正切值和该电场的电场强度；
（2）小球由O 到
的运动时间；
（3）在下边界水平放置一足够长的绝缘挡板，小球碰撞前后速度与挡板的夹角不变，若第二次碰撞点
与
的距离为
，求第一次碰撞过程小球的动能损失。
【答案】（1）
；
；（2）
；（3）
【详解】（1）令小球在O 点的速度为v0，根据运动的独立性，小球到达
时速度的竖直分量为
由题意得
可得
31
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即
小球到达
之前做直线运动，合力方向与合速度方向共线
即
可得
（2）小球在竖直方向上做竖直上抛运动，可知小球在电场中的两段运动时间相同，且水平方向做匀加速
直线运动，电场区域上方小球水平方向做匀速运动。令小球从A 点向上离开电场，从B 点再次进入电场
可得
即
由此可得
由O→A，在竖直方向上，有
且
可得
32
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即
（3）令第一次碰后的竖直分速度为v2y，水平分速度为v2x
由条件可得
第一次碰后到第二次碰撞
解得
碰前
又因为
即
可得第一次碰撞过程小球的动能损失
33
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1．（2023·北京·高考真题）某种负离子空气净化原理如图所示。由空气和带负电的灰尘颗粒物（视为小
球）组成的混合气流进入由一对平行金属板构成的收集器。在收集器中，空气和带电颗粒沿板方向的速度
保持不变。在匀强电场作用下，带电颗粒打到金属板上被收集，已知金属板长度为L，间距为d、不考
虑重力影响和颗粒间相互作用。
（1）若不计空气阻力，质量为m、电荷量为
的颗粒恰好全部被收集，求两金属板间的电压
；
（2）若计空气阻力，颗粒所受阻力与其相对于空气的速度v 方向相反，大小为
，其中r 为颗粒的
半径，k 为常量。假设颗粒在金属板间经极短时间加速达到最大速度。
a、半径为R、电荷量为
的颗粒恰好全部被收集，求两金属板间的电压
；
b、已知颗粒的电荷量与其半径的平方成正比，进入收集器的均匀混合气流包含了直径为
和
的
两种颗粒，若
的颗粒恰好100%被收集，求
的颗粒被收集的百分比。
【答案】（1）
；（2）a、
；b、25%
【详解】（1）只要紧靠上极板的颗粒能够落到收集板右侧，颗粒就能够全部收集，水平方向有
竖直方向
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根据牛顿第二定律
又
解得
（2）a.颗粒在金属板间经极短时间加速达到最大速度，竖直方向
且
解得
b.
带电荷量q 的颗粒恰好100%被收集，颗粒在金属板间经极短时间加速达到最大速度，所受阻力等
于电场力，有
在竖直方向颗粒匀速下落
的颗粒带电荷量为
颗粒在金属板间经极短时间加速达到最大速度，所受阻力等于电场力，有
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设只有距下极板为
的颗粒被收集，在竖直方向颗粒匀速下落
解得
的颗粒被收集的百分比
2．（2022·北京·高考真题）如图所示，真空中平行金属板M、N 之间距离为d，两板所加的电压为U。一
质量为m、电荷量为q 的带正电粒子从M 板由静止释放。不计带电粒子的重力。
（1）求带电粒子所受的静电力的大小F；
（2）求带电粒子到达N 板时的速度大小v；
（3）若在带电粒子运动
距离时撤去所加电压，求该粒子从M 板运动到N 板经历的时间t。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）两极板间的场强
带电粒子所受的静电力
（2）带电粒子从静止开始运动到N 板的过程，根据功能关系有
解得
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（3）设带电粒子运动
距离时的速度大小为v′，根据功能关系有
带电粒子在前
距离做匀加速直线运动，后
距离做匀速运动，设用时分别为t1、t2，有
，
则该粒子从M 板运动到N 板经历的时间
3.（2020·全国·高考真题）在一柱形区域内有匀强电场，柱的横截面积是以O 为圆心，半径为R 的圆，AB
为圆的直径，如图所示。质量为m，电荷量为q（q>0）的带电粒子在纸面内自A 点先后以不同的速度进入
电场，速度方向与电场的方向垂直。已知刚进入电场时速度为零的粒子，自圆周上的C 点以速率v0穿出电
场，AC 与AB 的夹角θ=60°。运动中粒子仅受电场力作用。
（1）求电场强度的大小；
（2）为使粒子穿过电场后的动能增量最大，该粒子进入电场时的速度应为多大？
（3）为使粒子穿过电场前后动量变化量的大小为mv0，该粒子进入电场时的速度应为多大？
【答案】（1）
；（2）
；（3）0 或
【详解】（1）由题意知在A 点速度为零的粒子会沿着电场线方向运动，由于q>0，故电场线由A 指向C，
根据几何关系可知
所以根据动能定理有
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解得
（2）根据题意可知要使粒子动能增量最大则沿电场线方向移动距离最多，做AC 垂线并且与圆相切，切点
为D，即粒子要从D 点射出时沿电场线方向移动距离最多，粒子在电场中做类平抛运动，根据几何关系有
而电场力提供加速度有
联立各式解得粒子进入电场时的速度
（3）因为粒子在电场中做类平抛运动，粒子穿过电场前后动量变化量大小为mv0，即在电场方向上速度变
化为v0，过C 点做AC 垂线会与圆周交于B 点
故由题意可知粒子会从C 点或B 点射出。当从B 点射出时由几何关系有
电场力提供加速度
联立解得
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当粒子从C 点射出时初速度为0，粒子穿过电场前后动量变化量的大小为
，该粒子进入电场时的速率
应为或
。
另解：
由题意知，初速度为0 时，动量增量的大小为
，此即问题的一个解。自A 点以不同的速率垂直于电场
方向射入电场的粒子，动量变化都相同，自B 点射出电场的粒子，其动量变化量也恒为
，由几何关系
及运动学规律可得，此时入射速率为
4．（2019·全国·高考真题）空间存在一方向竖直向下的匀强电场，O、P 是电场中的两点．从O 点沿水平
方向以不同速度先后发射两个质量均为m 的小球A、B．A 不带电，B 的电荷量为q（q>0）．A 从O 点发射
时的速度大小为v0，到达P 点所用时间为t；B 从O 点到达P 点所用时间为
．重力加速度为g，求
（1）电场强度的大小；
（2）B 运动到P 点时的动能．
【答案】（1）
；（2）
【详解】（1）设电场强度的大小为E，小球B 运动的加速度为a．根据牛顿定律、运动学公式和题给条件，
有
mg+qE=ma①
②
解得
③
（2）设B 从O 点发射时的速度为v1，到达P 点时的动能为Ek，O、P 两点的高度差为h，根据动能定理有
④
且有
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⑤
⑥
联立③④⑤⑥式得
⑦
5．（2019·全国·高考真题）如图，两金属板P、Q 水平放置，间距为d。两金属板正中间有一水平放置的
金属网G，PQG 的尺寸相同。G 接地，P、Q 的电势均为
（
>0）。质量为m，电荷量为q（q>0）的粒子
自G 的左端上方距离G 为h 的位置，以速度v0平行于纸面水平射入电场，重力忽略不计。
（1）求粒子第一次穿过G 时的动能，以及它从射入电场至此时在水平方向上的位移大小；
（2）若粒子恰好从G 的下方距离G 也为h 的位置离开电场，则金属板的长度最短应为多少？
【答案】（1）
；
（2）
【详解】（1）PG、QG 间场强大小相等，均为E，粒子在PG 间所受电场力F 的方向竖直向下，设粒子的
加速度大小为a，有
①
F=qE=ma②
设粒子第一次到达G 时动能为Ek，由动能定理有
③
设粒子第一次到达G 时所用时间为t，粒子在水平方向的位移为l，则有
④
l=v0t⑤
联立①②③④⑤式解得
40
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⑥
⑦
（2）设粒子穿过G 一次就从电场的右侧飞出，则金属板的长度最短，由对称性知，此时金属板的长度L
为
⑧
41
