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大题07 带电粒子（带电体）在电场中的平衡、运动
带电粒子在电场中的平衡与运动是高考物理电磁学模块的命题重点，在全国卷及新高
考卷中占比约12%-18%，很可能为压轴计算题。 2025 年高考对“带电粒子在电场中的平
衡、运动”的考查将延续“重基础、强综合、拓创新”的命题风格，突出电磁学核心观念
与实际问题建模能力。备考需以电场力的矢量性为核心抓手，强化复合场分析与数学工具
应用，同时关注新能源与量子科技前沿，做到“以场驭动，以模应变”。综合考查动力学
分析（电场力与运动学结合）、能量转化（电势能与动能转换）及复杂轨迹建模（如类平
抛运动） 如离子推进器中的电场加速、超级电容器储能特性分析；利用抛物线方程解类
平抛运动、矢量分解法处理复合场问题；医用加速器中的粒子束控制、半导体器件中的载
流子运动等等。
题型1 “等效重力场”问题
1
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例1. 在水平向右的匀强电场中，有一个质量为m、带正电的小球，用长为l
的绝缘细线悬挂于O 点，当小球静止时，细线与竖直方向夹角为θ，小球位于B 点，A 点与B 点关于O
点对称，如图所示．给小球一个垂直于细线的初速度，小球恰能在竖直平面内做圆周运动．
(1)小球在做圆周运动的过程中，在哪一位置速度最小？速度最小值多大？
(2)求小球在B 点的初速度大小．
例2．(2023 广雅中学)如图所示，竖直平面内有一水平向右的匀强电场，电场
强度大小为E＝1×102 V/m，其中有一个半径为R＝2 m 的竖直光滑圆环，有一质量为m＝0.08 kg、电
荷量为q＝6×10－3 C 的带正电小球(可视为质点)在最低点A 点，给小球一个初动能，让其恰能在圆环
内做完整的圆周运动，不考虑小球运动过程中电荷量的变化．取cos 37°＝0.8，g＝10 m/s2，求：
(1)小球所受电场力与重力的合力F．
(2)小球在A 点的初动能Ek．
解题策略
1．(2024 广东潮州诊断)如图所示，在竖直平面内固定的圆形绝缘轨道的圆心为O、半
径为r、内壁光滑，A、B 两点分别是圆轨道的最低点和最高点。该区间存在方向水平向右的匀强电场，
2
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一质量为m 的带电小球(可视为质点)恰好能静止在C 点。若在C 点给小球一个初速度使它在轨道内侧恰
好能做完整的圆周运动(小球的电荷量不变)。已知C、O、D 在同一直线上，它们的连线与竖直方向的
夹角θ＝60°，重力加速度为g。求：
(1)小球所受的电场力F 的大小；
(2)小球做圆周运动，在D 点的速度大小及在A 点对轨道压力的大小。
题型二 带电粒子在电场中的直线运动
例3.如图所示，一平行板电容器水平放置，板间距离为d，上下极板开有一小孔，
四个质量均为m、带电荷量均为q 的带电小球，其间用长均为的绝缘轻杆相连，处于竖直状态，今使下
端小球恰好位于上极板小孔中，且由静止释放，让四球竖直下落。当下端第二个小球到达下极板时，
速度恰好为零。重力加速度为g，(仅两极板间存在电场)试求：
(1)两极板间的电压；
(2)小球运动的最大速度。
例4.绝缘粗糙的水平面上相距为6L 的A、B 两处分别固定电荷量不等的正电荷，两
电荷的位置坐标如图11 甲所示，已知A 处电荷的电荷量为＋Q，图乙是A、B 连线之间的电势φ 与位置
x 之间的关系图像，图中x＝L 处对应图线的最低点，x＝－2L 处的纵坐标φ＝2φ0，x＝2L 处的纵坐标
φ＝φ0，若在x＝－2L 处的C 点由静止释放一个质量为m、电荷量为＋q 的带电物块(可视为质点)，物
块随即向右运动(假设此带电物块不影响原电场分布)，求：
3
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(1)固定在B 处的电荷的电荷量QB；
(2)小物块与水平面间的动摩擦因数μ 为多大，才能使小物块恰好到达x＝2L 处？
(3)若小物块与水平面间的动摩擦因数μ＝，小物块运动到何处时速度最大？
2.(2023 福建龙岩统考)如图甲所示，长度L＝0.8 m 的光滑绝缘细杆左端固定一带电
荷量为QA＝＋4.0×10－6 C 的点电荷A，一质量为m＝0.04 kg、带电荷量为q＝＋2.0×10－7 C 的小球B
套在杆上。将杆沿水平方向固定于某非均匀外电场中，以杆左端为原点，沿杆向右为x 轴正方向建立
坐标系。点电荷A 对小球B 的作用力随B 位置x 的变化关系如图乙中曲线Ⅰ所示，小球B 所受水平方向
的合力随B 位置x 的变化关系如图乙中曲线Ⅱ所示，其中曲线Ⅱ在x≥0.40 m 范围可近似看作直线。求：
(1)小球B 在x＝0.30 m 处受到外电场对它沿杆方向的静电力F 和外电场在该点沿杆方向的电场强度
E；
(2)已知小球在x＝0.20 m 处获得水平向右的初速度v＝0.20 m/s 时，最远可以运动到x＝0.40 m。若
小球在x＝0.20 m 处受到方向向右、大小为0.02 N 的恒力作用后，由静止开始运动，为使小球能离开
杆，恒力作用的最小距离s 是多少？
题型三 带电粒子在交变电场中的运动
例5.(2024 广州期末)如图甲所示，α 粒子射线管由平行于x 轴的平行金属板
用动力学观点分析
a＝，E＝，v2－v＝2ad。
用功能观点分析
匀强电场中：W＝qEd＝qU＝mv2－mv
非匀强电场中：W＝qU＝Ek2－Ek1
4
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A、B 组成，A、B 板长度和板间距均为L，A、B 板中间有平行于x 轴的绝缘细管C，开口在y 轴上．粒子
源P 放置在A 极板左下端，可以沿特定方向发射α 粒子．当A、B 板加上某一电压时，α 粒子刚好能以
速度v 水平进入细管C，保持速度不变，再进入静电分析器中做匀速圆周运动，已知静电分析器中电场
线的方向均沿半径方向指向圆心O，α 粒子在静电分析器中运动的轨迹半径为L.之后α 粒子垂直x 轴
进入第四象限(此时对应图乙t＝0 时刻)，施加如图乙所示沿x 轴方向的交变电场．规定沿x 轴正方向
为电场正方向．已知α 粒子电荷量大小为q，质量为m，重力不计．求：
(1) 静电分析器中的场强大小E0.
(2) α 粒子从粒子源P 发射时的初速度大小．
(3) 当t＝T 时，α 粒子的坐标．
例6.在图甲所示的极板A、B 间加上如图乙所示的大小不变、方向周期性变化
的交变电压，其周期为T．现有电子以平行于极板的速度v0从两板中央OO′射入．已知电子的质量为
m，电荷量为e，不计电子的重力，问：
(1)若电子从t＝0 时刻射入，在半个周期内恰好能从A 板的边缘飞出，则电子飞出时速度的大小为
多少？
(2)若电子从t＝0 时刻射入，恰能平行于极板飞出，则极板至少为多长？
(3)若电子恰能从OO′平行于极板飞出，电子应从哪一时刻射入？两极板间距至少为多大？
甲
乙
5
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3．如图甲所示，电子由阴极飞出时的初速度忽略不计，电子发射装置的加速电压为
U0，电容器板长和板间距离均为L＝10 cm，下极板接地，电容器右端到荧光屏的距离也是L＝10 cm，
在电容器两极板间接一交变电压，上极板的电势随时间变化的图像如图乙所示。(每个电子穿过平行板
的时间都极短，可以认为电压是不变的)求：
甲 乙
(1)在t＝0.06 s 时刻进入电容器的电子打在荧光屏上的何处；
(2)荧光屏上有电子打到的区间有多长？
题型四 动力学、动量和能量观点在电场中的应用
例7.如图所示，ABD 为竖直平面内的光滑绝缘轨道，AB 段为足够长的水平轨道，BD
段为半径R＝0.2 m 的半圆轨道，二者相切于B 点，整个轨道处于竖直向下的匀强电场中，场强大小E
＝5.0×103 V/m。一个不带电的绝缘小球甲，以速度v0沿水平轨道向右运动，与静止在B 点带正电的小
球乙发生弹性正碰。已知乙球质量m＝1.0×10-2 kg、所带电荷量q＝2.0×10-5 C，乙球质量为甲球质
量的3 倍。g 取10 m/s2，甲、乙两球均可视为质点，整个运动过程中无电荷转移。
(1)甲、乙两球碰撞后，乙球通过轨道的最高点D 时，对轨道的压力大小N′为自身重力的2.5 倍，求
乙在水平轨道上的首次落点到B 点的距离；
(2)在满足(1)的条件下，求甲球的初速度v0。
分析思路
(1)动力学观点：根据牛顿第二定律及运动学规律分析。
(2)能量观点：应用动能定理、功能关系等分析。
(3)动量观点：应用动量定理分析。
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4. (2024 大湾区二模)如图所示，在绝缘的光滑水平面(足够长)上M 点左侧的
区域有水平向右的匀强电场．小滑块A、B 的质量均为m，其中B 不带电，A 的带电荷量为＋q，O 点到M
点的距离为L，N 点到O 点的距离为kL(k>0)．现将小滑块A 在N 点由静止释放，其向右运动至O 点与静
止的小滑块B 发生弹性碰撞，设A、B 均可视为质点，整个过程中，A 的电荷量始终不变，B 始终不带电，
已知电场强度E＝，重力加速度大小为g.
(1) A 与B 发生第一次碰撞前瞬间，求A 的速率．
(2) k 的取值满足什么条件时，能使A 与B 发生第二次碰撞？
(3) k 的取值满足(2)问的条件下，求A 和B 两次碰撞间隔的时间．
1． (2024 山东济宁质检)如图所示，A、B 为两块足够大的水平放置的平行金属板，间距为d，板
三大观点的选用策略
(1)对多个物体组成的系统讨论，在具备守恒条件时优先考虑两个守恒定律；出现相对距离
(或相对路程)时优先考虑功能关系。
(2)对单个物体的讨论，宜用两个定理，涉及时间优先考虑动量定理，涉及位移优先考虑动
能定理。
(3)研究所受力的瞬时作用与物体运动状态的关系，涉及过程的细节(加速度)，且受恒力作
用时，考虑用牛顿运动定律和运动学规律。
(4)两个定律和两个定理，只考查一个物理过程的始末两个状态，对中间过程不予以细究，
这是它们的方便之处，特别是对变力问题，充分显示出其优越性。有些题目可以用不同方法
各自解决，有些题目则同时运用上述几种方法才能解决。
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间电压为U，两板间有方向由A 指向B 的匀强电场．在金属板A 的正中央位置有一个粒子源P，能以v0
的初速度向金属板A 以下的各个方向均匀射出质量为m、电荷量为＋q 的粒子，粒子最终全部落在金属
板B 上．不计粒子所受重力、空气阻力以及粒子之间的相互作用力．求：
(1) 粒子落在金属板B 时的动能．
(2) 粒子落在金属板B 上的区域面积．
2．1897 年，物理学家汤姆孙正式测定了电子的比荷，揭开了原子神秘的面纱。如图所示为汤姆孙测定电
子比荷装置的简化示意图，阴极K 发出的电子由静止经过加速电压U0加速后，沿轴线进入两平行极板
C、D 间。仅在C、D 极板间施加一定电压，电子从C、D 右侧离开时偏离轴线距离为y；若保持电压不变，
在C、D 间加上与纸面垂直的磁场，发现电子沿直线前进。已知电子的电荷量大小为e，质量为m。C、D
极板间距为d，长度为L。求：
(1)电子经过加速电压U0加速后的速度大小v0；
(2)C、D 极板间所加的电压大小U；
(3)C、D 极板间所加磁场的磁感应强度的大小B。
3．如图所示，空间分为Ⅰ、Ⅱ两个足够长的区域，各边界(图中虚线)均水平，Ⅰ区域存在电场强度为E1
＝1.0×104 V/m 的匀强电场，方向竖直向上；Ⅱ区域存在电场强度为E2＝×105 V/m 的匀强电场，方向
水平向右，两个区域宽度分别为d1＝5.0 m，d2＝4.0 m。一质量m＝1.0×10－8 kg、带电荷量q＝＋
1.6×10－6 C 的粒子从D 点由静止释放，粒子重力忽略不计。求
(1)粒子离开区域Ⅰ时的速度大小；
(2)粒子离开区域Ⅱ时发生的偏移量x 的大小；
(3)粒子出区域Ⅱ后加另一个匀强电场，使粒子在此电场作用下经1.0 s 速度变为零，此电场的电场强
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度E3的大小和方向。
4．如图甲所示，A、B 是两个足够大的平行金属板，两平行板间加如图乙所示电压，U0、T0为已知。质量
为m、电荷量为q 的带正电粒子在t＝0 时刻从紧靠A 板位置由静止释放(不计重力)，粒子经2T0时间到
B 板。求：
(1)粒子到达B 板时的速度v；
(2)两个金属板间的距离d。
5．如图甲所示，真空中相距d＝5 cm 的两块平行金属板A、B 与电源连接(图中未画出)，其中B 板接地(电
势为零)，A 板电势变化的规律如图乙所示。将一个质量m＝2.0×10－27 kg、电荷量q＝＋1.6×10－19 C
的带电粒子从紧邻B 板处释放，不计粒子重力。求：
(1)在t＝0 时刻释放该带电粒子，释放瞬间粒子加速度的大小；
(2)若A 板电势变化周期T＝1.0×10－5 s，在t＝0 时将带电粒子从紧邻B 板处无初速度释放，粒子到达
A 板时速度的大小；
(3)A 板电势变化频率多大时，在t＝到t＝时间内从紧邻B 板处无初速度释放该带电粒子，粒子不能到
达A 板。
6．在图甲所示的极板A、B 间加上如图乙所示的大小不变，方向周期性变化的交变电压，其周期为T，现
有一电子以平行于极板的速度v0从两板中央OO′射入。已知电子的质量为m，电荷量为e，不计电子的
重力，问：
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(1)若电子从t＝0 时刻射入，在半个周期内恰好能从A 板的边缘飞出，则电子飞出时速度的大小为多少？
(2)若电子从t＝0 时刻射入，恰能平行于极板飞出，则极板至少为多长？
(3)若电子恰能从O′平行于极板飞出，电子应从哪一时刻射入？两极板间距至少为多大？
7．(2023 陕西宝鸡一模)如图所示，在水平地面的上方空间存在一个水平向右的匀强电场，有一带电小球
(可视为质点)从距地面高为h＝1 m 的O 点由静止释放，沿与水平地面成45°角的方向做直线运动，最
终落在地面上的A 点。已知小球质量为m＝0.5 kg，电荷量为q＝5×10－2 C，g＝10 m/s2。不计空气阻
力，求：
(1)匀强电场的电场强度大小；
(2)O、A 之间的电势差；
(3)带电小球到达地面时的速度大小。
8．如图所示，在光滑的水平桌面上，粗糙直线轨道AB 与光滑圆弧轨道BCD 相切于B 点，圆心角∠BOC＝
37°，线段OC 垂直于OD，圆弧轨道半径为R，直线轨道AB 长为L＝5R。整个轨道处于电场强度为E 的
匀强电场中，电场强度方向竖直向下且垂直于直线OD。现有一个质量为m、带电荷量为＋q(q＞0)的小
物块P 从A 点无初速度释放，小物块P 与AB 之间的动摩擦因数μ＝0.25，取sin 37°＝0.6，cos
37°＝0.8，忽略物块重力。求：
(1)小物块第一次通过C 点时对轨道的压力大小；
(2)小物块第一次通过D 点后离开D 点的最大距离；
(3)小物块在直线轨道AB 上运动的总路程。
9．如图所示，等量异种点电荷分别固定在水平线上的M、N 两点处，O 点位于M、N 连线中点B 的正上方且
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与B 点之间的距离为L，质量为m、电荷量为＋q(可视为点电荷)的小球固定在长度为L 的绝缘轻质细杆
的一端，细杆另一端可绕过O 点且与M、N 连线垂直的水平轴无摩擦转动。现在把杆拉起到水平位置，
由静止释放，小球经过最低点B 时速度为v。取O 点电势为零，忽略小球所带电荷量对等量异种点电荷
所形成的电场的影响，重力加速度为g。
(1)求小球在经过B 点时对杆的拉力大小；
(2)在等量异种点电荷形成的电场中，求A 点的电势φA；
(3)小球继续向左摆动，求其经过与A 等高的C 点时的速度大小。
10.(2023 福建高三校联考)1897 年，物理学家汤姆孙正式测定了电子的比荷，揭开了原子神秘的面纱。如
图12 所示为汤姆孙测定电子比荷装置的简化示意图，阴极K 发出的电子由静止经过加速电压U0加速
后，沿轴线进入两平行极板C、D 间。仅在C、D 极板间施加一定电压，电子从C、D 右侧离开时偏离轴
线距离为y；若保持电压不变，在C、D 间加上与纸面垂直的磁场，发现电子沿直线前进。已知电子的
电荷量大小为e，质量为m。C、D 极板间距为d，长度为L。求：
(1)电子经过加速电压U0加速后的速度大小v0；
(2)C、D 极板间所加的电压大小U；
(3)C、D 极板间所加磁场的磁感应强度的大小B。
11．真空中存在方向竖直向上、电场强度大小为E0的匀强电场，A、B、C 三点在电场中同一条竖直线上，C
是A、B 的中点。在某时刻，带电油滴a 经过A 点竖直向上做匀速直线运动，速度大小为v0，不带电油
滴b 在B 点由静止释放。经过一段时间，a、b 在C 点相碰成为油滴c，此时刻将电场强度的大小突然
变为某值，但保持其方向不变，再经过相同的时间，油滴c 运动回到C 点。油滴a、b 的质量都为m，
重力加速度大小为g，油滴a、b、c 均可视为质点。求：
(1)油滴c 在C 点的初速度大小；
(2)变化后的电场强度的大小；
(3)油滴c 从C 点出发到回到C 点的过程中，电势能最大值与最小值之差。
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1．(2023 新课标卷)密立根油滴实验的示意图如图14 所示。两水平金属平板上下放置，间距固定，可从上
板中央的小孔向两板间喷入大小不同、带电量不同、密度相同的小油滴。两板间不加电压时，油滴a、
b 在重力和空气阻力的作用下竖直向下匀速运动，速率分别为v0、；两板间加上电压后(上板为正极)，
这两个油滴很快达到相同的速率，均竖直向下匀速运动。油滴可视为球形，所受空气阻力大小与油滴
半径、运动速率成正比，比例系数视为常数。不计空气浮力和油滴间的相互作用。
(1)求油滴a 和油滴b 的质量之比；
(2)判断油滴a 和油滴b 所带电荷的正负，并求a、b 所带电荷量的绝对值之比。
2．(2022 广东卷)密立根通过观测油滴的运动规律证明了电荷的量子性，因此获得了1923 年的诺贝尔奖．
如图是密立根油滴实验的原理示意图，有两个水平放置、相距为d 的足够大金属极板，上极板中央有
一小孔．通过小孔喷入一些小油滴，由于碰撞或摩擦，部分油滴带上了电荷．有两个质量均为m、位于
同一竖直线上的球形小油滴A 和B 在时间t 内都匀速下落了距离h1.此时给两极板加上电压U(上极板接
正极)，A 继续以原速度下落，B 经过一段时间后向上匀速运动．B 在匀速运动时间t 内上升了距离
h2(h2≠h1)，随后与A 合并，形成一个球形新油滴，继续在两极板间运动直至匀速．已知球形油滴受到
的空气阻力大小为f＝kmv，其中k 为比例系数，m 为油滴质量，v 为油滴运动速率，不计空气浮力，重
力加速度为g.求：
(1) 比例系数k.
(2) 油滴A、B 的带电荷量和电性，以及B 上升距离h2时电势能的变化量．
(3) 新油滴匀速运动速度的大小和方向．
3．(2023 北京卷)某种负离子空气净化原理如图所示．由空气和带负电的灰尘颗粒物(视为小球)组
成的混合气流进入由一对平行金属板构成的收集器．在收集器中，空气和带电颗粒沿板方向的速度v0
保持不变．在匀强电场作用下，带电颗粒打到金属板上被收集，已知金属板长度为L，间距为d，不考
虑重力影响和颗粒间相互作用．
(1) 若不计空气阻力，质量为m、电荷量为－q 的颗粒恰好全部被收集，求两金属板间的电压U1.
(2) 若考虑空气阻力，颗粒所受阻力与其相对于空气的速度v 方向相反，大小为f＝krv，其中r
为颗粒的半径，k 为常量．假设颗粒在金属板间经极短时间加速达到最大速度：
①若半径为R，电荷量为－q 的颗粒恰好全部被收集，求两金属板间的电压U2.
②已知颗粒的电荷量与其半径的二次方成正比，进入收集器的均匀混合气流包含了直径为10 μm
和2.5 μm 的两种颗粒，若10 μm 的颗粒恰好100%被收集，求2.5 μm 的颗粒被收集的百分比．
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4．(2020 全国Ⅰ卷)在一柱形区域内有匀强电场，柱的横截面是以O 为圆心、半径为R 的圆，AB 为圆的直
径，如图所示。质量为m，电荷量为q(q＞0)的带电粒子在纸面内自A 点先后以不同的速度进入电场，
速度方向与电场的方向垂直。已知刚进入电场时速度为零的粒子，自圆周上的C 点以速率v0穿出电场，
AC 与AB 的夹角θ＝60°，运动中粒子仅受电场力作用。
(1)求电场强度的大小；
(2)为使粒子穿过电场后的动能增量最大，该粒子进入电场时的速度应为多大？
(3)为使粒子穿过电场前后动量变化量的大小为mv0，该粒子进入电场时的速度应为多大？
5．(2022 河北卷)如图所示，光滑水平面AB 和竖直面内的光滑1
4 圆弧导轨在B 点平滑连接，导轨半径为
R。质量为m 的带正电小球将轻质弹簧压缩至A 点后由静止释放，脱离弹簧后经过B 点时的速度大小为
√gR，之后沿轨道BO 运动。以O 为坐标原点建立直角坐标系xOy，在x≥－R 区域有方向与x 轴夹角为
θ＝45°的匀强电场，进入电场后小球受到的电场力大小为√2mg。小球在运动过程中电荷量保持不变
重力加速度为g。求：
(1)弹簧压缩至A 点时的弹性势能；
(2)小球经过O 点时的速度大小；
(3)小球过O 点后运动的轨迹方程。
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