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热点专题十一 电场中的力电综合问题
【专题解读】 1.本
主要
解
粒子
专题
讲
带电
(
体
带电
)在
中运
力学和能量
电场
动时动
点的
合运用，高考
和
算
都有命
。
观
综
选择题
计
题
题2.学好本
，可以加深
力
专题
对动
学和能量知
的理解，能灵活
用受力
识
应
分析、运
分析
动
(特
是平抛运
、周运
别
动圆
等曲
运
动
线
动)的方法与技巧，熟
用
力学方法和能量
点解决
。
练应
动
观
电场问题3.
用到的知
：受力分析方法、运
学公式、牛
第二定律、运
的合成与分解、
识
动
顿
动
动
能定理和能量守恒定律等知
。
识
[方法综述]
1.带电粒子在电场中的运动
(1)分析方法：先分析受力情况，再分析运动状态和运动过程(平衡、加速或减速，
轨迹是直线还是曲线)，然后选用恰当的规律如牛顿运动定律、运动学公式、动能
定理、能量守恒定律解题。
(2)受力特点：在讨论带电粒子或其他带电体的静止与运动问题时，重力是否要考
虑，关键看重力与其他力相比较是否能忽略。一般来说，除明显暗示外，带电小球
液滴的重力不能忽略，电子、质子等带电粒子的重力可以忽略，一般可根据微粒
的运动状态判断是否考虑重力作用。
2.用能量观点处理带电体的运动
对于受变力作用的带电体的运动，必须借助能量观点来处理。即使都是恒力作用
的问题，用能量观点处理也常常更简捷。具体方法有：
(1)用动能定理处理
思维顺序一般为：
①弄清研究对象，明确所研究的物理过程。
②分析物体在所研究过程中的受力情况，弄清哪些力做功，做正功还是负功。
③弄清所研究过程的始、末状态(主要指动能)。
④根据W＝ΔEk列出方程求解。
(2)用包括电势能和内能在内的能量守恒定律处理
列式的方法常有两种：
①利用初、末状态的能量相等(即E1＝E2)列方程。
②利用某些能量的减少等于另一些能量的增加列方程。
(3)两个结论
①若带电粒子只在电场力作用下运动，其动能和电势能之和保持不变。
1
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②若带电粒子只在重力和电场力作用下运动，其机械能和电势能之和保持不变。
【例1】 (2021·江
百校
考
苏
联
)如图1 所示，水平细杆MN、CD，长度均为L，两杆间
距离也为L，M、C 两端与半圆形细杆相连，半圆形细杆与MN、CD 在同一竖直平
面内，且MN、CD 恰为半圆弧在M、C 两点处的切线。质量为m 的带正电的小球
P，电荷量为q，穿在细杆上，已知小球P 与两水平细杆间的动摩擦因数μ＝0.5，且
与半圆形细杆之间的摩擦不计，小球P 与细杆之间相互绝缘。若整个装置处在水
平向右，电场强度大小为的匀强电场中，如图甲所示。
图1
(1)小球P 以大小为2 的水平向左的初速度从D 端出发，求它沿杆滑到半圆形轨
道最低点C 时受到杆对它弹力的大小。
(2)要使得小球能沿半圆形细杆滑到MN 水平杆上，则小球P 从D 端出发的初速
度大小至少多大。
(3)撤去题中所述的电场，改为在MD、NC 连线的交点O 处固定一电荷量为Q 的
负电荷，如图乙所示，使小球P 从D 端出发沿杆滑动，滑到N 点时速度恰好为零。
(已知小球所受库仑力始终小于重力)，求小球P 从D 端出发时的初速度大小。
答案 (1)3mg (2) (3)2
解析 (1)小球由D 到C 的
程中，由
能定理－
过
动
qEL－μmgL＝mv－mv
在C 点由向心力公式FN－mg＝m
得FN＝3mg。
(2)通
条件
在半
形
道斜向左上方
过
为
圆
轨
45°的位置
速度大于等于零，从
处
D 点到
位置的
程，由
能定理得
该
过
动
－mg－qE－μmgL＝0－mv
解得v0＝。
(3)利用
称性及微元法
对
ΔWf＝μ(mg－Fy)Δs＋μ(mg＋Fy)Δs＝2μmgΔs
所以Wf＝ΔW1＋ΔW2＋…＝2μmgL
又因
小球
为
P 在D 点和N 点
能相等，所以从
电势
D 到N，W 电＝0
由能量守恒定律，有mv＝mgL＋2μmgL
2
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解得v0＝2。
【例2】 如图2，两水平面(虚线)之间区域存在与水平方向成45°斜向右上方的匀
强电场，自该区域上方A 点将质量均为m、带电荷量分别为q 和2q 带正电小球
M、N，同时以相反的初速度v0沿水平方向射出。小球进入电场时速度方向与上边
界均成45°角，并从该区域的下边界离开。已知M 在电场中做直线运动，N 离开电
场时速度方向恰好竖直。重力加速度大小为g，不计空气阻力和粒子间相互作用。
求：
图2
(1)A 点距电场上边界的高度；
(2)该电场强度的大小：
(3)M 与N 两粒子离开电场时位置间的距离。
答案 (1) (2) (3)
解析 (1)M、N 两粒子
入
前做平抛运
，
进
电场
动设A 点距上
界的高度
边
为h，粒子
入
速度偏角
足
进
电场时
满
vy＝v0tan 45°＝v0
又v＝2gh
解得h＝。
(2)M 粒子在
中做直
电场
线运
，受力分析知，
力
动
电场
qE 与重力mg 的合力与速度
同向，可得qE＝mgcos 45 °
解得E＝。
(3)M、N 两粒子
前，运
均
进电场
动时间
为t1，可得t1＝＝
水平位移x1＝v0t1＝
中，
电场
N 粒子受
力
电场
F＝2qE＝mg
由力的合成可知N 粒子所受合力F 合＝mg，方向水平向右
则N 粒子水平方向以大小为g 的加速度做初速度为v0的匀减速直
运
，
运
线
动
设
动时间为t2，由运
学公式可得
动
v0－gt2＝0，x2＝v0t2－gt
解得x2＝
直方向做匀速直
运
，
高度
竖
线
动
电场
为H，可得H＝v0t2＝
当M 离开
，
电场时
M 在
中的水平距离
电场
为x3，由几何关系可得x3＝Htan 45°＝
3
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所以M 与N 两粒子
的距离
间
d＝2x1＋x2＋x3＝。
【针对训练1】 如图3 所示，内表面光滑绝缘的半径为1.2 m 的圆形轨道处于竖直
平面内，有竖直向下的匀强电场，电场强度大小为3×106 V/m。有一质量为0.12
kg、带负电的小球，电荷量大小为1.6×10－6 C，小球在圆轨道内壁做圆周运动，当
运动到最低点A 时，小球与轨道压力恰好为零，g 取10 m/s2，求：
图3
(1)小球在A 点处的速度大小；
(2)小球运动到最高点B 时对轨道的压力大小。
答案 (1)6 m/s (2)21.6 N
解析 (1)重力G＝mg＝1.2 N
力
电场
F＝qE＝1.6×10－6×3×106 N＝4.8 N
在A 点，有qE－mg＝m
代入数据解得v1＝6 m/s。
(2)
球在
设
B 点的速度大小为v2，从A 到B，由
能定理，有
动
(qE－mg)×2R＝mv－mv
在B 点，
道
小球
力
设轨
对
弹
为FN，有
FN＋mg－qE＝m
由牛
第三定律有
顿
FN′＝FN
代入数据解得，FN′＝21.6 N。
【针对训练2】 (2021·如皋
研
调
)在一粗糙的绝缘水平面上固定一光滑斜面，斜面
底端有一小段圆弧与水平面平滑相连，斜面的倾角为53°，整个空间存在一水平
向左的匀强电场E＝2×103 N/C。现有一带电量为q＝－5×10－5 C、质量为m＝10
g 的小球，初始时刻在水平面上离斜面底端为x(未知)处以v0＝2 m/s 的初速度向
右运动，小球冲上斜面，在斜面上的最大运动距离为l＝25 m，已知小球与水平面
之间的动摩擦因数为μ＝0.5。
4
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图4
(1)求小球从斜面底端运动到最高点的时间t；
(2)求初始时刻小球离斜面底端的距离x；
(3)若小球运动到斜面顶端时，电场方向突然变成水平向右，大小不变，求小球再
次到达水平面时的速度。
答案 (1)5 s (2)9.6 m (3)20 m/s，方向与水平方向夹角为45°斜向下
解析 (1)小球在斜面上运
的加速度大小
动
为a，根据牛
第二定律可得
顿
mgsin 53°－qEcos 53°＝ma
解得a＝2 m/s2
逆向分析可看作是初速度
零的匀加速直
运
，
有
为
线
动
则
l＝at2，解得t＝5 s。
(2)小球在最低点
的速度
时
为v＝at＝10 m/s
从开始到小球达到斜面底端
程中，根据
能定理可得
过
动
qEx－μmgx＝mv2－mv
解得x＝9.6 m。
(3)若小球运
到斜面
端
，
方向突然
成水平向右，
力与重力的合
动
顶
时电场
变
设电场
力与水平方向的
角
夹
为α，根据几何关系可得
tan α＝＝1
则α＝45°＜53°
所以小球沿
中的直
运
，加速度大小
图
线
动
为a′＝＝10 m/s2
位移L＝＝20 m
根据速度—位移关系可得v′2＝2a′L，解得v′＝20 m/s
方向与水平方向
角
夹
为45°斜向下。
1.(2021·湖南省普通高等学校招生适
性考
应
试)如图1，两个带等量正电的点电荷，
分别固定在绝缘水平桌面上的A、B 两点，一绝缘圆形细管水平固定在桌面A、B
5
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两点间，且圆形细管圆心O 位于A、B 连线的中点，细管与A、B 连线及中垂线交
点分别为C、E、D、F。一个带负电的小球在细管中按顺时针方向做完整的圆周运
动，不计一切摩擦，下列说法正确的是( )
图1
A.小球从C 运动到D 的过程中，速度先减小后增大
B.在两个带正电的点电荷产生的电场中，C 点的电势比F 点的电势低
C.小球在C、E 两点的速度大小相等，有相同的电势能
D.小球在D、F 两点所受的电场力相同
答案 C
解析 小球从C 到D 的
程中
力的方向一直与速度方向是
角，
力一
过
电场
钝
电场
直做
功，速度一直减小，
负
A
；由等量正
荷的
的分布可知，
在
错误
电
电场线
电场线
OC 方向由C 指向O，在OF 方向
有
则
O 指向F，着
降低，因此有
顺
电场线电势
φC
＞φO＞φF，B
；由等量正
荷的
错误
电
电场的
称性可得，在
对
C、E 两点
相等，
电势
则
小球在C、E 两点具有相同的
能，小球在
管中运
，有
力做功，由能
电势
细
动仅
电场
量守恒定律可得小球在C、E 两点
能
化等于在
动
变
C、E 两点
能
化，故小球
电势
变
能
化
零，故在
动
变
为
C、E 两点的速度大小相等，C 正确；等量同种
荷的
电
电场线
如
，
图
D 点
向上，
电场线
F 点
向下，因此
力方向不同，
电场线
电场
D
。
错误
2.(2021·湘豫名校
考
联
)如图2 所示，固定的光滑绝缘斜面OM 的倾角θ＝37°，空
间存在着平行于斜面向上的匀强电场，电场强度的大小E＝3.0×103 N/C。现有一
带电量为q＝2.0×10－3 C 的带正电的小滑块从O 点沿斜面匀速下滑(g 取10
m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)，则小滑块的质量m( )
图2
A.1 kg
B.2 kg
C.3 kg
D.4 kg
答案 A
6
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解析
正
的小滑
从
带
电
块
O 到M 沿斜面匀速下滑，
小滑抉受力分析，可知
对
qE
＝mgsin 37°，解得小滑
的
量
块
质
m＝1 kg。
3.(2021·天津南开区模拟)如图3 所示，两带有等量异种电荷的平行金属板M、N
水平放置，a、b 为同一条电场线上的两点，若将一质量为m、电荷量为－q 的带电
粒子分别置于a、b 两点，则粒子在a 点时的电势能大于其在b 点时的电势能；若
将该粒子从b 点以初速度v0竖直向上抛出，则粒子到达a 点时的速度恰好为零。
已知a、b 两点间的距离为d，金属板M、N 所带电荷量始终不变，不计带电粒子的
重力，则下列判断中正确的是( )
图3
A.a 点电势一定高于b 点电势
B.两平行金属板间形成的匀强电场的电场强度大小为
C.a、b 两点间的电势差为Uab＝
D.若将M、N 两板间的距离稍微增大一些，则a、b 两点间的电势差变小
答案 B
解析 由于粒子在a 点
的
能大于其在
时
电势
b 点
的
能，
粒子从
时
电势
则
b 运
到
动
a
程，
力做
功，所以
力方向由
过
电场
负
电场
a 指向b，
度方向由
则电场强
b 指向a，
根据沿着
方向
逐
降低可知，
电场线
电势
渐
a 点
一定低于
电势
b 点
，所以
电势
A 错
；粒子从
误
b 运
到
动
a
程，由
能定理可得－
过
动
qEd＝0－mv，解得E＝，所以B 正
确；a、b 两点
的
差
间
电势
为Uab＝＝＝－，所以C
；根据平行板
容器的定
错误
电
义
式及决定式有C＝，C＝，E＝，立解得
联
E＝，若将M、N 两板
的距离稍微增大
间
一些，两板
的
度
间
电场强
保持不
，根据
变
U＝Ed，则a、b 两点
的
差也保持
间
电势
不
，所以
变
D
。
错误
4.如图4 所示，在电场强度大小为E 的匀强电场中，某电场线上有两点M 和N，距
离为2d。在M 和N 处分别固定电荷量为＋q 和－q 的两个点电荷。下列说法正确
的是( )
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图4
A.点电荷＋q 和－q 受到的静电力大小均为qE，方向相反
B.将点电荷＋q 沿MN 连线向N 点移动距离d，静电力对点电荷＋q 做功qEd
C.交换两个点电荷的位置，静电力对两个点电荷做功之和为零
D.将两点电荷沿MN 连线移动距离d，保持两个点电荷的距离不变，静电力对两
个点电荷做功之和为零
答案 D
解析 点
荷＋
电
q 受到的静
力
匀
其向右的
力
电
为
强电场给
电场
qE 以及点
荷－
电
q 所
其向右的
力
给
库仑
k，合力为F1＝qE＋k，方向水平向右；点
荷－
电
q 受到的静
力
电
为匀
其向左的
力
强电场给
电场
qE，以及点
荷＋
电
q 所
其向左的
力
给
库仑
k，
合力为F2＝qE＋k，方向水平向左，故A
；将点
荷＋
错误
电
q 沿MN
向
连线
N 点移
距离
动
d，静
力做功既有
力
点
荷＋
电
电场
对
电
q 做功为qEd，又有点
荷－
电
q 库仑
力
其做正功，故
对
B
；交
两个点
荷的位置，静
力
点
荷＋
错误
换
电
电
对
电
q 做正功，
点
荷－
对
电
q 也做正功，代数和不为0，故C
；将两点
荷沿
错误
电
MN
移
距
连线
动
离d，保持两个点
荷的距离不
，此
力做
电
变
时库仑
功相互抵消，
力
两个点
电场
对
电
荷所做功相互抵消，故静
力
两个点
荷做功之和
零，
电
对
电
为
D 正确。
5.(2021·湖北武汉质检)如图5 甲所示，在电场强度大小为E0，方向水平向左的匀
强电场中，固定着一根光滑绝缘杆OC 和两个等量同种正点电荷A、B，四边形
OACB 恰好构成菱形。一质量为m、电荷量为－q(q＞0)的小球(可视为点电荷)套
在绝缘杆上。令x 轴与OC 杆重合，以左端O 为坐标原点，以水平向左为两个正点
电荷在OC 杆上产生的合电场强度的正方向，则该合电场强度在OC 杆上的变化
规律如图乙所示，Em为该合电场强度的最大值。将小球从杆的左端O 由静止释放，
小球沿杆运动过程中，下列说法正确的是( )
图5
A.小球运动到C 点时的速度可能为0
B.当E0＞Em时，小球电势能逐渐减小
C.当E0＜Em时，小球加速度先增大后减小
D.若移走B 电荷，仍从O 点由静止释放小球，则小球加速度最大值为
答案 B
8
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解析 根据静
力
小球做的功，从
电
对
O 到C，两
荷
小球做功
零，
电
对
为
E0已知对
小球做正功，故小球在C 点速度不
零，故
为
A
；当
项错误
E0＞Em
，
力
小
时电场
对
球做正功，
能减小，故
电势
B
正确；当
项
E0＜Em
，小球加速度在通
时
过AB
前
连线
先增大后减小，通
为
过AB
后，先减小后增大，故
连线
为
C
；移走
项错误
B
荷，
电
A
荷
生的最大
度无法
算
电
产
电场强
计
，合
度最大
根据
目条件无法
算，
电场强
值
题
计
故D
。
项错误
6.(2021·北京市丰台区二模)如图6 所示，用一条长l＝0.2 m 的绝缘轻绳悬挂一个
带电小球，小球质量m＝1.0×10－2 kg，所带电荷量q＝＋2.0×10－8 C。现加一水
平方向的匀强电场，电场区域足够大，平衡时绝缘绳与竖直方向夹角θ＝37°，已
知g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。
图6
(1)求匀强电场的电场强度大小；
(2)若将轻绳向右拉至水平后由静止释放，求小球到达最低点时的速度大小；
(3)若在图中所示位置剪断轻绳，判断小球此后的运动情况，并求0.1 s 后小球的
速度大小。
答案 (1)3.75×106 N/C (2)1 m/s (3)匀加速直线运动 1.25 m/s
解析 (1)小球静止，受重力、
力和
的拉力，根据
电场
轻绳
平衡条件有
qE＝mgtan 37°
解得E＝＝3.75×106 N/C。
(2)小球由静止
放至最低点
程中，由
能定理－
释
过
动
qEl＋mgl＝mv2
代入数据解得v＝1 m/s。
(3)剪断
后，小球受重力、
力将做匀加速直
运
。根据牛
第二定律可
轻绳
电场
线
动
顿
得＝ma，根据速度
公式
时间
v＝at
立可得
联
0.1 s 后小球的速度大小为
v＝1.25 m/s。
7.(2021·湖南株洲检测)如图7，真空中水平放置的两平行金属板间有一匀强电场，
板长为L，一电荷量为＋q(q>0)，质量为m 的小球从两板中央以水平速度v0射入
板间，小球离开电场后恰能垂直打在距离金属板右端2L 的屏M 上，已知重力加
速度g。求：
9
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图7
(1)板间电场强度E 的大小和方向。
(2)板间电势差U 要满足什么条件？
答案 (1) 方向竖直向上 (2)U≥
解析 (1)
小球在
中运
的加速度
设
电场
动
为a，运动时间为t1，
出
直
刚飞
电场时竖
速度为vy，由
意可知
题
a＝
t1＝，vy＝at1
小球
出
后到
飞
电场
垂直
中屏所
的
击
经历
时间为t2＝
vy＝gt2
立以上各式解得匀
的
度大小
联
强电场
电场强
为
E＝，方向
直向上。
竖
(2)
板
距离
设
间
为d，要使小球能
出
，
足
飞
电场
应满
≥at
两板
的
差
间
电势
为U＝Ed
立解得
联
U≥。
8.(2021·徐州
研
调
)如图8 所示，AB 为水平绝缘粗糙轨道，动摩擦因数为μ＝0.2，
AB 距离为5 m；BC 为半径r＝1 m 的竖直光滑绝缘半圆轨道；BC 的右侧存在竖直
向上的匀强电场，电场强度E＝500 N/C。一质量m＝1 kg，电荷量q＝1.0×
10－2 C 的带负电小球，在功率P 恒为20 W 的水平向右拉力作用下由静止开始运
动，到B 点时撤去拉力。已知到达B 点之前已经做匀速运动(g＝10 m/s2)，求：
图8
(1)小球匀速运动的速度大小；
(2)小球从A 运动到B 所用的时间；
(3)请计算分析小球是否可以到达C 点，若可以，求轨道对小球的弹力。
答案 (1)10 m/s (2)3 s (3)可以 25 N
解析 (1)因
小球做匀速直
运
，
为
线
动
所以F＝Ff
10
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解得v0＝＝10 m/s。
(2)A 到B
程中，由
能定理
过
动
Pt－μmg·AB＝mv
vB＝v0＝10 m/s
解得t＝3 s。
(3)小球从B 点到C 点，由
能定理得
动
－(mg＋qE)×2r＝mv－mv
解得vC＝2 m/s
若小球恰好过C 点，则mg＋qE＝m
解得v＝ m/s＜vC，故可以到达C 点
在
则
C 点，根据牛
第二定律
顿
mg＋qE＋FN＝m
解得
道
小球的
力
轨
对
弹
FN＝25 N。
9.(2021·
西宝
模
陕
鸡
拟)如图9 所示，光滑水平面上竖直固定有一半径为R 的光滑
绝缘圆弧轨道BC，水平面AB 与圆弧BC 相切于B 点，O 为圆心，OB 竖直，OC 水
平，空间有水平向右的匀强电场。一质量为m、电荷量为q 的带正电绝缘小球，自
A 点由静止释放，小球沿水平面向右运动，AB 间距离为2R，匀强电场的电场强度
E 大小为，重力加速度大小为g，不计空气阻力。求：
图9
(1)小球到达C 点时对轨道的压力大小；
(2)小球从A 点开始，经过C 点脱离轨道后上升到最高点过程中，小球电势能的变
化量ΔEp。
答案 (1)5mg (2)－5mgR
解析 (1)
小球在
设
C 点的速度为vC，小球从A 点运
到
动
C 点
程中，由
能定理
过
动
可得
qE×3R－mgR＝mv
小球在C 点
水平方向的支持力
时
FN与
力
电场
qE 的合力提供向心力，所以有
FN－qE＝m
由牛
第三定律可得小球
道的
力
顿
对轨
压
FN′与支持力FN大小相等，即FN＝FN′
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解得FN′＝5mg。
(2)小球过C 点上升到达最高点的
程中，由运
的
过
动
分解可知，在水平方向小球做
初速度
零的匀加速运
，直方向做
直上抛运
。小球从
为
动竖
竖
动设
C 点到最高点的
时间为t，
有
则
ax＝＝g
sx＝axt2，t＝
小球从A 点开始运
到达最高点
程中
力做功
动
过
电场
为W 电＝qE(3R＋sx)
由
力做功与
能
化关系式可得
电场
电势
变
W 电＝－ΔEp
解得ΔEp＝－5mgR。
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