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热点专题十六 电磁感应的综合问题
【专题解读】 1.本
是运
学、力学、恒定
流、磁感
和能量等知
的
专题
动
动
电
电
应
识
合
用，高考既以
的形式命
，也以
算
的形式命
。
综
应
选择题
题
计
题
题2.学好本
，
专题
可以极大地培养同学
数形
合的推理能力和
路分析能力，
性的
化
们
结
电
针对
专题强
可以提升同学
解决数形
合、利用
力学和功能关系解决
磁感
的信心
们
结
动
电
应问题
3.用到的知
有：左手定
、安培定
、右手定
、楞次定律、法拉第
磁感
定
识
则
则
则
电
应
律、合
路欧姆定律、平衡条件、牛
运
定律、函数
像、能定理和能量守
闭
电
顿
动
图
动
恒定律等。
命题点一 电磁感应中的图像问题
1.题型简述
借助图像考查电磁感应的规律，一直是高考的热点，此类题目一般分为两类：
(1)由给定的电磁感应过程选出正确的图像。
(2)由给定的图像分析电磁感应过程，定性或定量求解相应的物理量或推断出其
他图像。常见的图像有B－t 图、Φ－t 图、E－t 图、i－t 图、v－t 图及F－t 图等。
2.解题关键
弄清初始条件、正负方向的对应变化范围、所研究物理量的函数表达式、进出磁
场的转折点等是解决此类问题的关键。
3.常用方法
(1)排除法：定性地分析电磁感应过程中物理量的变化趋势(增大还是减小)、变化
快慢(均匀变化还是非均匀变化)，特别是分析物理量的正负，以排除错误的选项。
(2)函数法：根据题目所给条件定量地写出两个物理量之间的函数关系，然后由函
数关系对图像进行分析和判断。
动生问题
【例1】 (2021·江
七市
研
苏
调
)如图1 所示，匀强磁场中水平放置两足够长的光滑
平行金属导轨，导轨的左侧接有阻值为R 的电阻和理想二极管D。t＝0 时刻起阻
值也为R 的导体棒ab 在外力作用下向右运动，其速度变化规律为v＝vmsin t，运
动过程中棒始终与导轨垂直且两端与导轨保持良好接触，不计导轨电阻，则金属
棒两端电压Uab随时间t 变化的关系图像可能正确的是( )
1
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图1
答案 A
解析 当
体棒向右运
，二极管
通，
金属棒两端
导
动时
导
则
电压Uab＝E＝Blv＝
Blvmsin t，当
体棒向左运
，二极管断路，
金属棒两端
导
动时
则
电压Uab＝E＝Blv＝
Blvmsin t。
【针对训练1】 (2021·河北唐山二模)如图2 所示，在直角梯形区域内存在垂直纸
面向里的匀强磁场，BC＝CD＝2AB＝2l。高为2l、宽为l 的矩形金属闭合线圈由图
中位置以向右的恒定速度匀速通过磁场区域，其长边始终与CD 平行。以线圈中
逆时针方向为电流正方向，线圈在通过磁场过程中电流随时间变化的关系为(
)
图2
答案 C
解析
圈
入磁
程中磁通量向里增加，根据楞次定律可得
流方向
逆
线
进
场过
电
为
时
针(
正
为
)。在
圈左
没有
入磁
程中，有效切割
度逐
增大，根据
线
边
进
场过
长
渐
i＝可
知感
流逐
增大；当
圈左
入磁
后，右
没有离开磁
前，有效切割
应电
渐
线
边进
场
边
场
度不
，感
流不
；当
圈右
离开磁
后，圈内的磁通量减小，根据
长
变则
应电
变
线
边
场
线
2
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楞次定律可知感
流方向
应电
为顺时针(负值)，且有效切割
度逐
增大，感
长
渐
应电
流逐
增大。
渐
感生问题
【例2】 (2021·常州模拟)如图3 所示，圆形区域中的匀强磁场磁感应强度B1随时
间t 的变化关系为B1＝kt，k 为大于零的常量；边界MN 右侧的匀强磁场磁感应强
度大小为B2。光滑平行金属导轨左端接一阻值为R 的电阻、MN 处放置一和导轨
接触良好的金属棒，不计导轨和金属棒电阻。t＝0 时，给金属棒一初速度v0，使其
在外力作用下向右匀速运动。回路的总磁通量为Φ、回路的电流为i、电阻R 上产
生的热量为Q、导体棒受到的外力为F，它们随时间t 的变化图像正确的是( )
图3
答案 C
解析 由
形磁
生的感
圆
场产
应电动势为E1＝n＝＝Sk，由
体切割磁感
生的
导
线产
感应电动势为E2＝B2lv0，
磁通量等于
则总
Φ＝Et＝E1t＋E2t＝Skt＋B2lv0t，所以A
中
直
，
图线应该为
线A
；根据
错误
i＝＝，所以B 中
平行于
图线应该为
t
的直
，
轴
线
B
；根据
错误
Q＝i2Rt＝t，所以C 中
原点的直
，
图线为过
线C 正确；根据F＝Bil，B、
i、l 均不
，所以
变
D 中
平行于
图线为
t
的直
，
轴
线
D
。
错误
命题点二 电磁感应中的平衡和动力学问题
1.题型简述
感应电流在磁场中受到安培力的作用，因此电磁感应问题往往跟力学问题联系在
一起。解决这类问题需要综合应用电磁感应规律(法拉第电磁感应定律、楞次定
律)及力学中的有关规律(共点力的平衡条件、牛顿运动定律、动能定理等)。
2.基本思路
解决这类问题的关键是通过运动状态的分析，寻找过程中的临界状态，如速度、
加速度最大值或最小值的条件。具体思路如下：
3
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【例3】 (2021·泰州期末)如图4 甲所示，半径为r1、电阻值为R，匝数为n 的金属线
圈，其两极与阻值也为R 的电阻R1连接成闭合回路，电阻R1两端分别与水平放置、
间距为d 的平行金属板M、N 连接半径为r2的圆形区域内存在垂直于线圈平面的
匀强磁场B1，以向里为正方向，磁感应强度B1随时间t 变化的关系图线如图乙所
示，金属板M、N 内有垂直向外磁感应强度为B 的匀强磁场，金属板内部放置一
根长为l，与水平方向成θ 角的绝缘直杆，导线的电阻不计，一重力不计、带电荷
量为－q 的圆环套在直杆上，从顶端由静止释放，最后达到稳定状态，圆环与直杆
间的动摩擦因数为μ(μ＜tan θ)，求：
图4
(1)电阻R1中的电流方向和两端的电压；
(2)圆环在直杆上滑动到底端过程中，电势能变化多少；
(3)圆环最后稳定状态的速度大小？
答案 (1)b 经R1流向a πn
(2)减小sin θ
(3)
解析 (1)
阻
电
R1中的
流方向是由
电
b 经R1流向a。
圈因磁
化
生的
线
场变
产
电动
势
E0＝n＝n＝2πn
R1两端的电压
U＝E0＝E0＝πn。
(2)因
力做正功，
能减小，即
电场
电势
ΔEp＝－W 电，
力做功
电场
W 电＝qlsin θ
可解得
的
能减小
圆环
电势
sin θ。
(3)
最后
定状
是匀速运
，受力分析如
所示
圆环
稳
态
动
图
4
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沿直杆方向qEsin θ＝Ff
垂直杆方向FN＝qEcos θ＋Bqvm
又滑
摩擦力
动
Ff＝μFN
度
电场强
E＝
可解得vm＝。
【例4】 (2021·
常
四市
研
苏锡
镇
调
)如图5 所示，两电阻不计的足够长光滑导轨倾
斜放置，上端连接一电阻R，空间有一垂直导轨平面向上的匀强磁场B，一质量为
m 的导体棒与导轨接触良好，从某处自由释放，下列四幅图像分别表示导体棒运
动过程中速度v 与时间t 关系、加速度a 与时间t 关系、机械能E 与位移x 关系、
以及通过导体棒电荷量q 与位移x 关系，其中可能正确的是( )
图5
答案 C
解析 根据右手定
和左手定
，
体棒在斜面方向受力有
则
则
导
mgsin θ－＝ma，可
得a＝gsin θ－，可知，速度逐
增加，其他物理量不
，加速度逐
减小，而速度
渐
变
渐
像中斜率表示加速度，由
可知加速度逐
增加，与分析不符合，
时间图
图
渐
A
；
错误
由加速度
像可知，加速度逐
减小，且加速度的
化率逐
增大，由分析
时间图
渐
变
渐
可得，加速度为a＝gsin θ－，像与分析
化率减小不符合，
图
变
B
；安培力
错误
对导
体棒做
功，
体棒的机械能减少，因安培力越来越大，所以机械能减
负
导
少得越来
越快，C 正确；由
荷量的公式可得
电
q＝IΔt，在
磁感
中，流与磁通量的关系
电
应
电
为I＝，
立可得
联
q＝＝，可知，
荷量与位移成正比，
电
D
。
错误
【针对训练2】 (2021·福建莆田模拟)如图6 所示，在水平面内有一对足够长且电
阻不计的平行光滑固定金属导轨，导轨左端通过一定值电阻R 相连，整个装置处
于垂直于水平面的匀强磁场中。某时刻，一垂直导轨放置的金属棒正向右运动，
5
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此时给棒施加一垂直棒的水平外力F，使棒此后做加速度为a 的匀变速直线运动
下列关于a 的方向和F 的大小判断可能正确的是( )
图6
A.若a 向右，则F 一直减小
B.若a 向右，则F 先减小再增大
C.若a 向左，则F 一直增大
D.若a 向左，则F 先减小再增大
答案 D
解析 若a 向右，拉力
则
F 向右，有
则
F－IlB＝ma，即F－＝ma，解得a＝－，导
体棒一直向右匀加速，速度不断增大，因此，若要保持加速度不
，
则
变则F 也要一
直增大，A、B
；若
错误
a 向左，拉力F 的方向
开始向右，
刚
则IlB－F＝ma，即－F
＝ma，解得a＝－，体棒向右做减速运
，安培力逐
减小，加速度不
，要
导
动
渐
变则
F 的大小也随之减小到0，了保持加速度
不
，之后
为
继续
变
F 反向，此时a＝＋，若
要保持加速度不
，
变则F 要增大，当
体棒速度
零后，由于受到拉力作用，体
导
为
导
棒
反向加速，有
则
则
a＝－，要保持加速度不
，需要拉力
变则
F 逐
增大，即
渐
F 先
减小再增大，C
，
错误
D 正确。
题型自我感悟
在
磁感
的
力学
分析中
注意哪些
？
电
应
动
问题
应该
问题
(1)如果是
框，且面
不
，当磁
均匀
化
生的
是恒定的，感
导线
积
变
场
变
时产
电动势
应
流是恒定的，受到的安培力也是恒定的。
电
(2)当
体棒在匀
磁
中运
，由安培力
导
强
场
动时
F＝可知，v
化，
变
F 安
化，合力
化
变
变
，
加速度也
生
化，当加速度
零
，运
达到
定状
。
发
变
为
时
动
稳
态
命题点三 电磁感应中的能量问题
1.题型简述
电磁感应过程的实质是不同形式的能量转化的过程，而能量的转化是通过安培力
做功来实现的。安培力做功的过程，是电能转化为其他形式的能的过程；外力克
服安培力做功的过程，则是其他形式的能转化为电能的过程。
2.两类情况
(1)若回路中电流恒定，可以利用电路结构及W＝UIt 或Q＝I2Rt 直接进行计算。
(2)若电流变化，则
①利用安培力做功求解：电磁感应中产生的电能等于克服安培力所做的功。
6
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②利用能量守恒求解：若只有电能与机械能的转化，则减少的机械能等于产生的
电能。
【例5】 两个完全相同的正方形匀质金属框，边长为l，通过长为l 的绝缘轻质杆
相连，构成如图7 所示的组合体。距离组合体下底边H 处有一方向水平、垂直纸
面向里的匀强磁场。磁场区域上下边界水平，高度为l，左右宽度足够大。把该组
合体在垂直磁场的平面内以初速度v0水平无旋转抛出，设置合适的磁感应强度
大小B 使其匀速通过磁场，不计空气阻力。下列说法正确的是( )
图7
A.B 与v0无关，与成反比
B.通过磁场的过程中，金属框中电流的大小和方向保持不变
C.通过磁场的过程中，组合体克服安培力做功的功率与重力做功的功率不相等
D.调节H、v0和B，只要组合体仍能匀速通过磁场，则其通过磁场的过程中产生的
热量不变
答案 D
解析 将
合体以初速度
组
v0水平无旋
抛出后，合体做平抛运
，后
入磁
转
组
动
进
场
做匀速运
，由于水平方向切割磁感
生的感
相互抵消，有
动
线产
应电动势
则
mg＝F
安＝，vy＝，合有
综
B＝·，则B 与成正比，A
；当金属框
入磁
金属框的
错误
刚进
场时
磁通量增加，此
感
流的方向
逆
方向，当金属框
出磁
金属框的
时
应电
为
时针
刚
场时
磁通量减少，此
感
流的方向
方向，
时
应电
为顺时针
B
；由于
合体
入磁
错误
组
进
场
后做匀速运
，由于水平方向的感
相互抵消，有
动
应电动势
mg＝F 安＝，
合体克
则组
服安培力做功的功率等于重力做功的功率，C
；无
哪个物理量，只要
错误
论调节
合体仍能匀速通
磁
，都有
组
过
场
mg＝F 安，
安培力做的功都
则
为W＝F 安3l，则组
合体通
磁
程中
生的焦耳
不
，
过
场过
产
热
变
D 正确。
【针对训练3】 (2021·江
七市
研
苏
调
)某研究性学习小组用如图8 所示的装置，测
量地面附近地磁场的磁感应强度。固定金属横杆O、O′两点间距离为l，两根长度
均为l 的轻质软导线，其一端分别接在O、O′点，另一端分别接在长度也为l 的导
体棒ab 两端。现将导体棒ab 拉至图示位置，使棒与OO′在同一水平面内由静止
释放，导体棒ab 转过四分之一圆弧至最低点时速度大小为v，由接入电路的电流
7
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传感器测得此过程通过导体棒截面的电荷量为q。已知地磁场与水平面夹角为θ，
且与金属横杆垂直，导体棒ab 的质量为m、电阻为R，重力加速度为g，不计回路
其它部分电阻，忽略空气阻力。求：
图8
(1)导体棒ab 由静止转至最低点过程中安培力做的功W；
(2)该处地磁场的磁感应强度大小B。
答案 (1)mv2－mgl (2)
解析 (1)
体棒由静止
至最低点的
程，
导
转
过
由
能定理有
动
mgl＋W＝mv2
解得W＝mv2－mgl。
(2)上述
程
路中
生的平均感
过
电
产
应电动势E＝，其中ΔΦ＝Bl2(sin θ＋cos θ)
通
的
荷量
过
电
q＝·Δt
立解得
联
B＝。
【针对训练4】 如图9 所示，“凹”字形硬质金属线框质量为m，相邻各边互相垂
直，且处于同一平面内，ab、bc 边长均为2l，gf 边长为l。匀强磁场区域的上下边界
均水平，磁场方向垂直于线框所在平面。开始时，bc 边离磁场上边界的距离为l，
线框由静止释放，从bc 边进入磁场直到gf 边进入磁场前，线框做匀速运动。在gf
边离开磁场后，ah、ed 边离开磁场之前，线框又做匀速运动。线框在下落过程中始
终处于竖直平面内，且bc、gf 边保持水平，重力加速度为g。
图9
(1)线框ah、ed 边将离开磁场时做匀速运动的速度大小是bc 边刚进入磁场时的几
倍？
8
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(2)若磁场上下边界间的距离H，则线框完全穿过磁场过程中产生的热量为多少？
答案 (1)4 倍 (2)mg(H－13l)
解析 (1)bc
入
，有
边刚进
时
E1＝2Blv1，
I1＝，F1＝2BI1l
框匀速运
，有
线
动
F1＝mg
立可得
联
v1＝
ah、ed
将离开磁
，有
边
场时
E2＝Blv2，I2＝，F2＝BI2l
框匀速运
，有
线
动
F2＝mg
立可得
联
v2＝，综上所述＝4，即
框
线
ah、ed
将离开磁
做匀速运
的速度大
边
场时
动
小是bc
入磁
的
边刚进
场时
4 倍。
(2)bc
入磁
前，根据
能定理，
边进
场
动
有mgl＝mv
穿
磁
程中能量守恒，有
过
场过
mg(H＋2l)＋mv＝mv＋Q
立可得
联
Q＝mg(H－13l)。
题型自我感悟
磁感
的
电
应
过程
上就是能量的
化
程，
你回答下面两个
：
实质
转
过
请
问题
(1)如何求解
流做功或者
路
生的内能？
电
电
产
提示 可以
化
路
，利用
转
为电
问题
W＝UIt 或Q＝I2Rt 求解。
(2)
磁感
中有关能量的
算主要是
用什么物理
律？
电
应问题
计
应
规
提示 能量守恒定律。
对点练1 电磁感应中的图像问题
1.(2021·南京
研
调
)一硬质金属圆环固定在纸面内，圆心O 在有界匀强磁场的边界
MN 上，磁场与纸面垂直t＝0 时磁场的方向如图1 甲所示，磁感应强度B 随时间t
的变化关系如图乙所示，则圆环所受安培力F 与时间t 的关系图像可能正确的是(
)
图1
9
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答案 C
解析 由于通
的磁通量
化率
定
，故
中的
、
流的大小和
过圆环
变
为
值
圆环
电动势
电
方向不
，
在磁
中的有效
度不
，根据
变
圆环
场
长
变
F＝IlB 可知F＝IlB∝B，F－t 的
像与
图
B－t
像
似，故
图
类
选C。
2.如图2 甲所示，光滑平行金属导轨MN、PQ 所在平面与水平面成θ 角，M、P 两
端接一电阻R，整个装置处于方向垂直导轨平面向上的匀强磁场中。t＝0 时对金
属棒施加一平行于导轨的外力F，使金属棒由静止开始沿导轨向上运动，金属棒
电阻为r，导轨电阻忽略不计。已知通过电阻R 的感应电流I 随时间t 变化的关系
如图乙所示。下列关于棒运动速度v、外力F、流过R 的电荷量q 以及闭合回路中
磁通量的变化率随时间变化的图像正确的是( )
图2
答案 B
解析 根据如
乙所示的
图
I－t
像可知
图
I＝kt，其中k
比例系数，又
为
E＝Blv，I
＝，所以v＝t，v－t
像是一条
原点斜率大于零的直
，
明了
体棒做的是
图
过
线
说
导
初速度
零的匀加速直
运
，即
为
线
动
v＝at，故A
；由
合
路欧姆定律可得
错误
闭
电
I
＝＝kt，可推出E＝kt(R＋r)，而E＝，所以有＝kt(R＋r)，－t
像是一条
原点斜
图
过
率大于零的直
，故
线
B 正确；
体棒在沿
方向列出
力学方程
对导
导轨
动
F－BIl－
mgsin θ＝ma，而I＝，v＝at 得到F＝t＋ma＋mgsin θ，可见F－t
像是一条斜率
图
10
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大于零且与
正半
有交点的直
，故
纵轴
轴
线
C
；
错误q＝IΔt＝＝＝t2，q－t
像是一
图
条开口向上的抛物
，故
线
D
。
错误
3.(2021·南京检测)如图3 所示，电阻R＝1 Ω、半径r1＝0.2 m 的单匝圆形导线框P
内有一个与P 共面的圆形磁场区域Q。P、Q 的圆心相同，Q 的半径r2＝0.1 m；t＝
0 时刻，Q 内存在着垂直于圆面向里的磁场，磁感应强度B 随时间t 变化的关系是
B＝2－t(T)；若规定逆时针方向为电流的正方向，则线框P 中感应电流I 随时间t
变化的关系图像应该是选项图中的( )
图3
答案 C
解析 由
磁感
定律可得，
形
框
电
应
圆
导线
P 中
生的感
产
应电动势为E＝＝×πr＝
0.01 πV，由欧姆定律可知，
形
框
圆
导线
P 中
生的感
流
产
应电
为I＝＝0.01 πA，因
原磁
是向里减小的，由楞次定律可知，感
流的方向与
定的正方向相反
为
场
应电
规
A、B、D
，
错误
C 正确。
对点练2 电磁感应中的平衡和动力学问题
4.(2021·南京模拟)如图4 所示，金属框abcd 置于水平绝缘平台上，ab 和dc 边平
行，和bc 边垂直，ab、dc 足够长，整个金属框电阻可忽略。一根具有一定电阻的导
体棒MN 置于金属框上，用水平恒力F 向右拉动金属框，运动过程中，装置始终
处于竖直向下的匀强磁场中，MN 与金属框保持良好接触，且与bc 边保持平行，
不计一切摩擦。则( )
图4
11
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A.金属框的速度逐渐增大，最终趋于恒定
B.金属框的加速度逐渐减小，最终为零
C.导体棒所受安培力逐渐增大，最终趋于恒定
D.导体棒到金属框be 边的距离逐渐增大，最终趋于恒定
答案 C
解析 初始
刻，金属框的加速度最大，随着金属框速度的增大，
时
感
逐
应电动势
增大，回路
流逐
增大，
渐
电
渐
MN 所受安培力逐
增大，根据牛
第二定律，金
渐
顿
对
属框F－IlB＝m 框a1，
体棒
对导
IlB＝m 棒a2，因此金属框加速度逐
减小，体棒
渐
导
加速度逐
增大，最
两者加速度相同，速度差恒定。
渐
终
对点练3 电磁感应中的能量问题
5.(2021·
江适
性考
镇
应
试)如图5 甲所示，一水平放置的线圈，匝数n＝100 匝，横
截面积S＝0.2 m2，电阻r＝1 Ω，线圈处于水平向左的均匀变化的磁场中，磁感应
强度B1随时间t 的变化关系如图乙所示。线圈与足够长的竖直光滑导轨MN、PQ
连接，导轨间距l＝20 cm，导体棒ab 与导轨始终接触良好，导体棒ab 的电阻R＝
4 Ω，质量m＝5 g，导轨的电阻不计，导轨处在与导轨平面垂直向里的匀强磁场中
磁感应强度B2＝0.5 T。t＝0 时刻，导体棒由静止释放，g 取10 m/s2，求：
图5
(1)t＝0 时刻，线圈内产生的感应电动势大小；
(2)t＝0 时，导体棒ab 两端的电压和导体棒的加速度大小；
(3)导体棒ab 达到稳定状态时，导体棒所受重力的瞬时功率。
答案 (1)2 V (2)1.6 V 2 m/s2 (3)0.25 W
解析 (1)由
乙可知，
圈内磁感
度
化率＝
图
线
应强
变
0.1 T/s
由法拉第
磁感
定律可知
电
应
E1＝n＝nS＝2 V。
(2)t＝0
，回路中
流
时
电
I＝＝0.4 A
体棒
导
ab 两端的电压U＝IR＝1.6 V
此
体棒的加速度
设
时导
为a
由
则
mg－IlB2＝ma
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解得a＝2 m/s2。
(3)当
体棒
导
ab 达到
定状
，
足
稳
态时
满
mg＝B2I′l，I′＝，解得v＝5 m/s
此
，
体棒重力的瞬
功率
时
导
时
P＝mgv＝0.25 W。
6.(2021·广
惠州
研
东
调
)如图6 甲所示，用粗细均匀的导线制成的一只单匝正方形
金属框，现被一根绝缘丝线悬挂在竖直平面内处于静止状态，已知金属框的质量
为m，边长l，金属框的总电阻为R，金属框的上半部分处在方向垂直框面向里的
有界磁场中(磁场均匀分布)，下半部分在磁场外，磁场的磁感应强度B 随时间t 的
变化关系如图乙所示，丝线能承受的最大拉力为F，从t＝0 时刻起，测得经过t0＝
5 s，丝线刚好被拉断，金属框由静止开始下落。金属框在下落过程中上边框离开
磁场前已开始做匀速直线运动，金属框始终在竖直平面内且未旋转，重力加速度
为g，不计空气阻力。求：
图6
(1)0～5 s 内，金属框产生感应电流方向以及磁感应强度B0的大小；
(2)金属框的上边框离开磁场前做匀速直线运动的速度v 的大小。
答案 (1) (2)
解析 (1)由楞次定律可知，0～5 s
内金属框中感
流
逆
方向；
时间
应电
为
时针
由法拉第
磁感
定律
电
应
E＝＝＝·＝①
感
流大小
应电
为I＝②
5 s
受到的安培力
时
为F 安＝IlB0③
好被拉断，
有
丝线刚
则
F＝F 安＋mg ④
立
联
①②③④
解得B0＝⑤
(2)由
意可知，
题
5 s 后磁感
度
应强
为B0不
。金属框在上
框离开磁
前做匀速
变
边
场
运
，
动
即有I1lB0＝mg⑥
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金属框做匀速运
生的感
大小
动产
应电动势
为E1＝B0lv⑦
由
合
路欧姆定律可得
闭
电
I1＝⑧
解得v＝⑨
v＝。
7.(2021·北京
城区一模
东
)如图7 所示，宽为l 的光滑固定导轨与水平面成α 角，质
量为m 的金属杆ab(电阻不计)水平放置在导轨上，空间存在竖直向上的匀强磁场
磁感应强度为B。电源的内阻为r，当变阻器接入电路的阻值为R 时，金属杆恰好
能静止在导轨上。重力加速度用g 表示。求：
图7
(1)金属杆静止时受到的安培力的大小F 安；
(2)电源的电动势E；
(3)若保持其他条件不变，仅改变匀强磁场的方向，求由静止释放的瞬间，金属杆
可能具有的沿导轨向上的最大加速度a。
答案 (1)mgtan α (2)(R＋r) (3)gtan α－gsin α
解析 (1)由
意可知，金属杆所受安培力的方向水平向右，
题
因
金属杆静止，所以合力
零，
为
为
得到F 安＝mgtan α。
(2)因为F 安＝IlB
且I＝得E＝(R＋r)。
(3)
改
匀
磁
的方向
安培力大小不
，因此当安培力沿
向上的分量
仅
变
强
场
时
变
导轨
最大，即安培力沿
向上
，金属杆具有沿
向上的最大加速度，
导轨
时
导轨
由F 安－mgsin α＝ma，解得最大加速度
a＝gtan α－gsin α。
8.(2021·南京检测)如图8 所示，足够长的粗糙绝缘斜面与水平面成θ＝37°放置，
在斜面上虚线aa′和bb′与斜面底边平行，在aa′b′b 围成的区域有垂直斜面向上的
有界匀强磁场，磁感应强度为B＝1 T；现有一质量为m＝10 g，总电阻为R＝1 Ω，
边长d＝0.1 m 的正方形金属线圈MNPQ，让PQ 边与斜面底边平行，从斜面上端
静止释放，线圈刚好匀速穿过磁场。已知线圈与斜面间的动摩擦因数为μ＝0.5，
(取g＝10 m/s2；sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)求：
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图8
(1)线圈进入磁场区域时，受到安培力大小；
(2)线圈释放时，PQ 边到bb′的距离；
(3)整个线圈穿过磁场的过程中，线圈上产生的焦耳热。
答案 (1)2×10－2 N (2)1 m (3)4×10－3 J
解析 (1)
圈受力分析有
对线
mgsin θ＝μmgcos θ＋FA
代入数据得FA＝2×10－2 N。
(2)
圈
放
，
设线
释
时
PQ 边到bb′的距离为L
根据安培力公式可知
FA＝BId＝Bd＝
体棒从开始到
入磁
程中，由
能定理可得
导
进
场过
动
mgLsin θ－μmgLcos θ＝mv2
合公式可解得
结
L＝1 m。
(3)由于
圈
好匀速穿
磁
，
磁
度
线
刚
过
场
则
场宽
d＝0.1 m
Q＝W 安＝F 安·2d
代入数据解得
Q＝2×10－2×2×0.1 J＝4×10－3 J。
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