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热点专题十七 电磁感应中的动量和能量问题
【专题解读】 1.本
是力学三大
点在
磁感
中的
合
用，高考
本
专题
观
电
应
综
应
对
专题
既有
的形式考
的可能，也可能以
算
的形式
行
合能力的考
。
选择题
查
计
题
进
综
查
2.
学好本
，可以帮助同学
用力学三大
点分析
磁感
中的
量和能量
专题
们应
观
电
应
动
问
，提高分析和解决
合
的能力。
题
综
问题
3.用到的知
、律和方法有：
识规
电磁感
的
应
相关知
以及力学三大
点。
识
观
热点一 动量定理和动力学及能量观点的应用
1.应用动量定理可以由动量变化来求解变力的冲量。如在导体棒做非匀变速运动
的问题中，应用动量定理可以解决牛顿运动定律不易解答的问题。
2.在相互平行的水平轨道间的双导体棒做切割磁感线运动时，由于这两根导体棒
所受的安培力等大反向，若不受其他外力，两导体棒的总动量守恒，解决此类问
题往往要应用动量守恒定律。
【例1】 如图1 所示，CD、EF 是两条水平放置的阻值可忽略的平行金属导轨，其
左右端都与接有阻值为R 的电阻倾斜光滑轨道平滑连接，导轨间距都为d，在水
平导轨的右侧存在磁感应强度方向垂直导轨平面向下的匀强磁场，磁感应强度大
小为B，磁场区域的宽度为L1。现将一阻值为r、质量为m 的导体棒从右侧倾斜轨
道上高h 处由静止释放，导体棒最终停在距离磁场的左边界为L2处。已知右侧倾
斜轨道与竖直方向夹角为θ，导体棒始终与导轨垂直且接触良好，且导体棒与水
平导轨动摩擦因数为μ，重力加速度为g。求：
图1
(1)通过导体棒的最大电流；
(2)左侧电阻R 上产生的焦耳热；
(3)导体棒在水平导轨上运动的时间。
答案 (1)
(2)mg(h－μL1－μL2)
(3)－
解析 (1)
量
质
为m 的
体棒从
斜
道上
导
倾
轨
h 高
由静止
放，
入磁
速
处
释
刚进
场时
1
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度最大，
由机械能守恒定律mgh＝mv2
解得最大速度v＝
生的最大感
产
应电动势
Em＝Bdv＝Bd
由
合
路欧姆定律可得通
体棒的最大
流
闭
电
过导
电
Im＝＝。
(2)由能量守恒定律可知整个
路中
生的焦耳
电
产
热Q＝mgh－μmg(L1＋L2)
阻
电
R 中
生的焦耳
产
热
QR＝mg(h－μL1－μL2)。
(3)
体棒在水平
上运
的
设导
导轨
动
时间为t，
由
量定理有＋
动
μmgt＝m
解得t＝－。
【针对训练1】 如图2 所示，足够长的光滑平行金属导轨MN、PQ 水平固定放置，
导轨间距为L，导轨两端与定值电阻R1和R2相连，R1和R2的阻值均为R。磁感应
强度的大小为B 的匀强磁场方向竖直向上，有一个质量为m，电阻也为R 的导体
棒ab 与导轨垂直放置。现在导体棒ab 的中点施加一个水平恒力F，让导体棒ab
从静止开始向右运动。经过时间t，运动达到稳定状态。导轨的电阻忽略不计，求：
图2
(1)导体棒达到稳定时ab 棒的速度为多大；
(2)t 时间内R1上通过的电荷量。
答案 (1) (2)－
解析 (1)
体棒达到
定
做匀速直
运
，有
导
稳
时
线
动
F＝IlB
根据
合
路欧姆定律有
闭
电
E＝I
根据法拉第
磁感
定律有
电
应
E＝Blv
合
结
I＝，解得
体棒匀速运
的速度
导
动
v＝
(2)根据
量定理
动
I 总＝Δp 有
Ft－Blq＝mv
解得q＝－。
热点二 动量守恒定律和功能关系的应用
2
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1.问题特点
对于双导体棒运动的问题，通常是两棒与导轨构成一个闭合回路，当其中一棒在
外力作用下获得一定速度时必然在磁场中切割磁感线，在该闭合回路中形成一定
的感应电流；另一根导体棒在磁场中因受安培力的作用开始运动，一旦运动起来
也将切割磁感线产生一定的感应电动势，对原来电流的变化起阻碍作用。
2.方法技巧
解决此类问题时通常将两棒视为一个整体，于是相互作用的安培力是系统的内力
这个变力将不影响整体的动量守恒。因此解题的突破口是巧妙选择系统，运用动
量守恒定律(动量定理)和功能关系求解。
【例2】 (2021·
宁沈阳
辽
质检)如图3 所示，有两根光滑平行导轨，左侧为位于竖直
平面的金属圆弧，右侧为水平直导轨，圆弧底部和直导轨相切，两条导轨水平部
分在同一水平面内，其中BC、NP 段用绝缘材料制成，其余部分为金属。两导轨的
间距为d＝0.5 m，导轨的左侧接着一个阻值为R＝2 Ω 的定值电阻，右侧接C＝
2×1011 pF 的电容器，电容器尚未充电。水平导轨的ADQM 区域存在竖直向下的
匀强磁场，磁感应强度大小为B＝2 T，虚线AM 和DQ 垂直于导轨，AB 和MN 的
长度均为x＝1.2 m，两根金属棒a、b 垂直放置在导轨上，质量均为m＝0.2 kg，接
入电路的电阻均为r＝2 Ω，金属棒a 从圆弧轨道距水平轨道高h＝0.8 m 处由静
止滑下，与静止在圆弧底部的金属棒b 发生弹性碰撞，碰撞后金属棒b 进入磁场
区域，最终在CDQP 区域稳定运动。不计金属导轨的电阻，求：
图3
(1)金属棒b 刚进入磁场区域时的速度大小；
(2)整个运动过程中金属杆a 上产生的焦耳热；
(3)金属棒b 稳定运动时电容器所带的电荷量。
答案 (1)4 m/s (2)0.2 J (3)0.2 C
解析 (1)金属棒a 由高h＝0.8 m
从静止沿
道滑下，
处
轨
由机械能守恒定律得mgh＝mv
解得v0＝4 m/s
此后a 与b
生
性碰撞，由
量守恒定律和机械能守恒定律可知
发
弹
动
mv0＝mv1＋
mv2
3
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mv＝mv＋mv
解得v1＝0，v2＝v0＝4 m/s
金属棒b
入磁
区域的速度大小是
刚
场
4 m/s。
(2)金属棒b 在从A 到B 做减速运
，由
量定理得
动
动
BidΔt＝mv2－mv
又iΔt＝q＝Δt，E＝
R 总＝r＋＝3 Ω
立解得
联
v＝2 m/s
由能量守恒定律得mv－mv2＝Q 总
解得Q 总＝1.2 J
在金属棒a 上
生的焦耳
产
热
Qa＝Q 总＝0.2 J。
(3)当金属棒b 以速度v 在BCPN 区域做匀速直
运
，到
线
动
CP
界
速度仍是
边
时
v，
入CDQP 区域，此
金属棒与
容器构成回路，金属棒
时
电
b
定
，速度是
稳
时
v′，容
电
器
量是
带电
Q，
由
量定理得
动
BIdΔt1＝mv－mv′
其中IΔt1＝Q，Q＝CU＝CBdv′，v′＝1 m/s
解得Q＝0.2 C。
【针对训练2】 (2021·河北
家口期末
张
)如图4 所示，固定在水平面上两根相距l＝
0.8 m 的光滑金属导轨，处于竖直向下、磁感应强度大小B＝0.5 T 的匀强磁场中，
导轨电阻不计且足够长。金属棒a、b 的质量均为m＝1 kg、电阻均为R＝0.1 Ω，金
属棒静置在导轨上且与导轨接触良好。现给a 一个平行导轨向右的瞬时冲量I＝4
N·s，最终两金属棒运动状态稳定且未发生碰撞，运动过程中金属棒始终与导轨垂
直，忽略感应电流对磁场的影响，求整个过程中：
图4
(1)金属棒a 产生的焦耳热；
(2)通过金属棒a 的电荷量；
(3)金属棒a、b 之间的距离减少多少。
4
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答案 (1)2 J (2)5 C (3)2.5 m
解析 (1)由
量定理得
动
I＝mv0
解得v0＝4 m/s
整个
程
量守恒
过
动
mv0＝2mv1
解得v1＝2 m/s
根据能量守恒mv＝×2mv＋Q
金属棒a
生的焦
产
热Qa＝Q＝2 J。
(2)对b，由
量定理得
动
BIlt＝mv1－0
而q＝It，解得q＝5 C。
(3)根据E＝
I＝，q＝It，q＝，
解得Δx＝2.5 m。
1.如图1 所示，间距为l、电阻不计的足够长平行光滑金属导轨水平放置，导轨左
右两端均有一阻值为R 的电阻相连，导轨上横跨一根长为l、质量为m、电阻也为
R 的金属棒，金属棒与导轨接触良好，整个装置处于竖直向下、磁感应强度为B 的
匀强磁场中，现给棒一瞬时冲量，让它以初速度v0向右运动，则直到棒停止的过
程中有：
图1
A.金属棒在导轨上做匀减速运动
B.整个过程中通过金属棒的电量为
C.整个过程中金属棒克服安培力做功为mv
D.整个过程中金属棒上产生的焦耳热为mv
答案 C
解析 金属棒在整个运
程中，受到
直向下的重力，
直向上的支持力，
动过
竖
竖
这
两个力合力
零，
受到水平向左的安培力，金属棒受到的合力等于安培力，随
为
还
着速度减小，安培力减小，加速度减小，故金属棒做加速度逐
减小的
减速运
渐
变
，故
动
A
；根据
量定理得－
错误
动
BIlt＝0－mv0，通
金属棒的
量
过
电
为q＝It，可得
5
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q＝，故B
；整个
程中由
能定理可得－
错误
过
动
W 安＝0－mv，
金属棒克服安培
则
力做功为W 安＝mv，故C 正确；整个回路
生的
焦耳
产
总
热为Q＝W 安＝mv，金属棒
上
生的焦耳
产
热为Q 棒＝Q＝Q＝×mv＝mv，故D
。
错误
2.如图2，平行光滑金属双导轨P1Q1M1和P2Q2M2，其中P1Q1和P2Q2为r＝0.8 m
的光滑圆轨道，O1和O2为对应圆轨道的圆心，Q1、Q2在O1、O2正下方且为圆轨道
和水平轨道的平滑连接点，Q1M1和Q2M2为足够长的水平轨道，水平轨道处于竖
直向上的匀强磁场中(磁感应强度B＝1 T)，导轨间距L＝1 m；两导体棒a、b 始终
垂直于两导轨且与导轨接触良好；a、b 的质量均为1 kg，电阻均为1 Ω，导轨电阻
不计。初始时刻，b 静止在水平导轨上，a 从与圆心等高的P1P2处静止释放，a、b
在以后运动的过程中不会发生碰撞(g＝10 m/s2)。求：
图2
(1)导体棒a 从Q1Q2进入磁场时，导体棒b 的加速度为多少？
(2)导体棒a、b 稳定时的速度为多少？
(3)整个过程中，通过导体棒b 的电荷量为多少？
答案 (1)2 m/s2 (2)2 m/s (3)2 C
解析 (1)如图a
体棒从
导
P1P2到Q1Q2，
由
能定理得
动
magr＝mav－0
代入数据得v0＝4 m/s
a
入匀
磁
，由法拉第
磁感
定律得
刚进
强
场时
电
应
E＝BLv0＝4 V
由
合
路欧姆定律得
闭
电
I＝＝2 A
由牛
第二定律得
顿
ILB＝mbab，代入数据得ab＝2 m/s2。
(2)当a、b
体棒
定
，由
量守恒定律得
导
稳
时
动
mav0＝(ma＋mb)v1
代入数据得v1＝2 m/s。
(3)整个
程中，
过
对b
体棒由
量定理得
导
动
BLIt＝BLq＝mbv1，代入数据得q＝2 C。
3.(2021·南京
研
调
)如图3 所示，一个正方形金属线圈从匀强磁场上方的水平边界
处由静止释放，线圈完全进入磁场前已做匀速运动，线圈平面始终与磁场方向垂
直。已知线圈的边长为l，质量为m，电阻为R，从静止到匀速运动过程中通过线圈
横截面的电荷量为q，磁场的磁感应强度为B，重力加速度为g。求：
6
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图3
(1)线圈匀速运动时的速度大小v；
(2)线圈从静止到匀速运动过程中位移大小x；
(3)线圈从静止到匀速运动经过的时间t。
答案 (1) (2) (3)＋
解析 (1)
圈匀速运
线
动时E＝Blv
I＝，mg＝IlB
解得v＝。
(2)根据q＝It，I＝，E＝
得q＝，解得x＝。
(3)
圈，静止
对线
→匀速运
，取
直向下
正方向，
动
竖
为
由
量定理有
动
mgt－BIlt＝mv－0
即mgt－Blq＝mv－0
解得t＝＋。
4.(2021·天津
区
红桥
质检)如图4 所示，两足够长的光滑金属导轨竖直放置，相距
为l，一理想电流表与两导轨相连，匀强磁场与导轨平面垂直。一质量为m、有效
电阻为R 的导体棒在距磁场上边界h 处静止释放。导体棒进入磁场后流经电流表
的电流逐渐减小，最终稳定为I。整个运动过程中，导体棒与导轨接触良好，且始
终保持水平，不计导轨的电阻。求：
图4
(1)金属棒的最大速度vm，磁感应强度的大小；
(2)电流稳定后，导体棒运动速度的大小；
7
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(3)若金属棒进入磁场后恰经t 时间达到稳定，求这段时间的位移大小。
答案 (1) (2)
(3)
解析 (1)由
意得
体棒
入磁
的速度最大，
题
导
刚进
场时
设为vm
由机械能守恒定律得mgh＝mv
解得vm＝
流
定后，
体棒做匀速运
，此
体棒受到的重力和安培力平衡，
电
稳
导
动
时导
有
则
IlB＝mg，解得B＝。
(2)感应电动势E＝Blv
感
流
应电
I＝
解得v＝。
(3)感
最大
应电动势
值Em＝Blvm
感
流最大
应电
值Im＝
解得Im＝
金属棒
入磁
进
场t
运
的
程由
量定理有
时间
动
过
动
mgt－BI·l·t＝mv－mvm
即mgt－Blx＝mv－mvm
解得x＝。
5.如图5 所示，间距为d 的两足够长光滑倾斜平行导轨固定放置，与水平面间的
夹角为θ，导轨顶端接有阻值为R 的电阻，质量m、阻值也为R 的导体棒ab 垂直
导轨放置，整个装置处于磁感应强度大小为B、方向垂直导轨平面向上的匀强磁
场中。现给导体棒一个沿导轨平面向上的初速度v，当导体棒速度刚好为零时，通
过导体棒横截面的电荷量为q，重力加速度为g，导轨电阻不计。
图5
(1)求导体棒刚开始向上运动时的加速度大小；
(2)求导体棒向上运动到最高点的过程中，电阻R 上产生的焦耳热；
(3)导体棒运动到最高点开始下滑，下滑过程中，导体棒从经过初始位置到速度再
次达到v 时所在位置通过导体棒横截面的电荷量为q′，试计算导体棒从开始运动
到速度再次为v 的过程运动的总时间。
8
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答案 (1)＋gsin θ (2) (3)
解析 (1)由牛
第二定律可得
顿
mgsin θ＋F 安＝ma
而F 安＝IdB
初始
刻
时
I＝
立解得
联
a＝＋gsin θ。
(2)
体棒速度减小到零的
程中，流
体棒的平均
流
设导
过
过导
电
为I1，时间为t1，导
体棒上滑的最大距离为x1
有
则
q＝I1t1
由
合
路欧姆定律可得
闭
电
I1＝
由法拉第
磁感
定律可得
电
应
E＝＝
立解得
联
x1＝
阻
设电
R 上
生的焦耳
产
热为Q
由能量守恒定律可得
2Q＝mv2－mgx1sin θ
解得Q＝。
(3)
体棒向上运
程中，
导
动过
由
量定理可得
动
－(BI1d＋mgsin θ)t1＝0－mv
而q＝I1t1
解得t1＝
分析可知，从初始位置上滑到速度
零的
程和从速度
零下滑到初始位置的
为
过
为
过
程
体棒的位移大小相等，
通
体棒的
荷量大小相同，
体棒从最高点下
导
则
过导
电
导
滑到速度为v 位置
程通
体棒的
荷量
过
过导
电
为q＋q′
体棒下滑所用
设导
时间为t2
由
量定理可得
动
(mgsin θ－BI2d)t2＝mv－0
又因为I2t2＝q＋q′
解得t2＝
故
体棒从开始运
到速度大小再次达到
导
动
v 的
程，
体棒运
的
过
导
动
总时间为
t＝t1＋t2＝＋＝。
9
