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一、“三种模型”中的动量和能量问题
滑块模型
滑块模型可分为两类：单一滑块模型和多个滑块模型。单一滑块模型是指一个滑
块在水平面上、斜面上或曲面上运动的问题，主要运用牛顿运动定律、动能定理或
动量定理进行分析。多个滑块模型是指两个或两个以上的滑块组成的系统，如滑
块与滑块、小车与滑块、子弹与木块等，对于此类问题应着重分析物体的运动过程，
明确它们之间的时间、空间关系，并注意临界、隐含和极值等条件，然后用能量守
恒和动量守恒等规律求解。
【例1】 (2021·河北唐山二模)质量为m1的长木板A 静止放在水平地面上，其左端
位于O 点，质量为m2的小滑块B 放在木板的右端，如图1 所示，O 点左侧的地面
光滑，右侧的地面粗糙。质量为m0的物体C 以初速度v0＝8 m/s，从左侧向O 点运
动，与木板发生弹性碰撞。已知m0＝1.0 kg，m1＝3.0 kg，m2＝1.0 kg，长木板与滑块
间的动摩擦因数μ2＝0.4，重力加速度g＝10 m/s2，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。
求：
图1
(1)物体C 与木板A 碰撞后瞬间木板的速度v1；
(2)当木板A 与滑块B 共速之后有两种可能的运动情况，第一种运动情况是一起相
对静止在地面上减速滑行，第二种运动情况继续发生相对滑动，直至都停下来。试
分析发生第一种运动情况时，O 点右侧地面动摩擦因数μ1的取值范围；
(3)若最终滑块B 停在木板A 的左端，经测量木板的长度L＝1.0 m，若滑块可视为
质点，请计算O 点右侧地面与木板间的动摩擦因数μ1的数值。
解析 (1)物体C 与木板A 碰撞
足
量守恒和能量守恒
满
动
m0v0＝m0v01＋m1v1
m0v＝m0v＋m1v
可得v1＝4 m/s。
(2)二者相
静止在地面上减速滑行，
整体分析
对
对
μ1(m1＋m2)g＝(m1＋m2)a
二者
静摩擦力
设
间
为Ff
1
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滑
对
块B 分析Ff＝m2a
由于二者
静摩擦力
间为
Ff≤μ2m2g
可得μ1≤0.4。
(3)由第(2)
可知，若
问
μ1≤μ2，滑
相
木板向左滑
到共速后会相
静止。若
块
对
动
对
μ1>μ2，滑
相
木板向左滑
到共速后会
相
木板向右滑
，不可能停止板
块
对
动
继续
对
动
的左端，所以地面
摩擦因数
动
μ1≤0.4。滑
滑
到共速
设
块
动
经历时间为t，共速速度
为v
木板
度
二者位移只差
长
为
t－＝L
滑
用
量定理
对
块应
动
μ2m2gt＝m2v
木板位移x＝t
木板
用
能定理
对
应
动
－μ1(m1＋m2)gx－μ2m2gx＝m1v2－m1v
可得μ1＝0.2。
答案 (1)4 m/s (2)μ1≤0.4 (3)0.2
弹簧模型
弹簧模型是指由物体与弹簧组成的系统，解决此类问题的关键在于分析物体的运
动过程，认清弹簧的状态及不同能量之间的转化，由两个或两个以上物体与弹簧
组成的系统，应注意弹簧伸长或压缩到最大程度时弹簧两端连接的物体具有相同
的速度；弹簧处于自然长度时，弹性势能最小(为零)等隐含条件。
【例2】 (2021·天津模拟)如图2 所示，内壁光滑的直圆筒固定在水平地面上，一轻
质弹簧一端固定在直圆筒的底端，其上端自然状态下位于O 点处，将一质量为m、
直径略小于直圆筒的小球A 缓慢的放在弹簧上端，其静止时弹簧的压缩量为x0。
现将一与小球A 完全相同的小球B 从距小球A 某一高度的P 处由静止释放，小球
B 与小球A 碰撞后立即粘连在一起向下运动，它们到达最低点后又向上运动，并恰
能回到O 点，已知两小球均可视为质点，弹簧的弹性势能为kx2，其中k 为弹簧的
劲度系数，x 为弹簧的形变量，已知重力加速度为g。求：
图2
2
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(1)弹簧的劲度系数k；
(2)小球B 释放时的高度h；
(3)小球A 与小球B 一起向下运动时速度的最大值vm。
解析 (1)由平衡条件可知mg＝kx0
解得k＝。
(2)B 球由静止下落后与A 接触前的瞬
速度
时
为v0，
有
则
mBg·h＝mBv
设A 与B 碰撞后的速度为v
有mBv0＝(mB＋m)v
碰后从粘在一起到返回O 点，系
机械能守恒，取碰后瞬
所在平面
零
能面
统
间
为
势
(mB＋m)v2＋kx＝(mB＋m)gx0，解得h＝3x0。
(3)当加速度
零
，两球速度达到最大
，此
簧
量
为
时
值
时弹
压缩
为x1，有(mB＋m)g＝
kx1，
从最大速度到返回O 点，系
机械能守恒定律，取最大速度
所在平面
零
能
统
处
为
势
面
(mB＋m)v＋kx＝(mB＋m)gx1，解得vm＝。
答案 (1) (2)3x0 (3)
悬绳模型
悬绳模型是指由悬绳或通过弧形滑槽将不同的物体连在一起组成的系统。此类问
题应认清物体的运动过程和运动状态，注意物体运动到最高点或最低点时速度相
同的隐含条件及系统机械能守恒定律的应用。
【例3】 如图3 所示，在光滑的水平杆上套有一个质量为m 的滑环。滑环上通过一
根不可伸长的轻绳悬挂着一个质量为M 的物块(可视为质点)，绳长为L。将滑环固
定时，给物块一个水平冲量，物块摆起后刚好碰到水平杆；若滑环不固定时，仍给
物块以同样的水平冲量，求物块摆起的最大高度。
图3
解析 滑
固定
，根据机械能守恒定律有
环
时
MgL＝Mv，解得v0＝
滑
不固定
，物
初速度仍
环
时
块
为v0，在物
起最大高度
块摆
h
，它
速度都
时
们
为v，在
3
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此
程中物
和滑
成的系
机械能守恒，水平方向
量守恒，
过
块
环组
统
动
则
Mv0＝(m＋M)v
Mv＝(m＋M)v2＋Mgh
由以上各式解得h＝ L。
答案 L
二、数学归纳法在动量问题中的应用
【例4】 如图4 所示，在光滑水平面上有一质量为2 018m 的木板，木板上有2 018
块质量均为m 的相同木块1、2…2 018。最初木板静止，各木块分别以v、2v…、2
018v 同时向同一方向运动，木块和木板间的动摩擦因数为μ，且木块间不发生碰
撞和离开木板的现象。求：
图4
(1)最终木板的速度大小；
(2)运动中第88 块木块的最小速度；
(3)第二块木块相对木板滑动的时间。
解析 (1)最
一起以速度
终
v′运
，由
量守恒可知
动
动
m(v＋2v＋…＋2 018v)＝2×2 018mv′，解得v′＝v。
(2)
第
设
k
木
最小速
块
块
度为vk，
此
木板及第
则
时
1 至第k－1
木
的速度均
块
块
为
vk，因
每
木
量相等，所受合力也相等
为
块
块质
(均为μmg)，故在相等
内，其速度
时间
的减少量也相等，因而此
，第
时
k＋1 至第n
的速度依次
块
为vk＋v、vk＋2v、…、vk
＋(n－k)v，
系
量守恒，故
统动
m(v＋2v＋…＋nv)＝(nm＋km)vk＋
m(vk＋v)＋…＋m[vk＋(n－k)v]
＝nmvk＋kmvk＋(n－k)mvk＋m[1＋2＋…＋(n－k)]v
＝2nmvk＋m[1＋2＋…＋(n－k)]v
所以vk＝，v88＝v。
(3)第二
木
相
木板静止的速度
块
块
对
为
v2＝×2v＝v
因
木
的加速度
为
块
总为a＝μg
4
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v2＝2v－μgt，解得t＝＝。
答案 (1)v (2)v (3)
5
