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一、有界磁场中临界问题的两种处理技巧
1.动态放缩法
(1)适用条件
①速度方向一定，大小不同
粒子源发射速度方向一定，大小不同的带电粒子进入匀强磁场时，这些带电粒子
在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度的变化而变化。
②轨迹圆圆心共线
如图1 所示(图中只画出粒子带正电的情景)，速度v 越大，运动的轨迹半径也越
大。可以发现这些带电粒子射入磁场后，它们运动轨迹的圆心在垂直初速度方向
的直线CO 上。
图1
(2)界定方法
以入射点O 为定点，圆心位于CO 直线上，将半径放缩作轨迹，从而探索出临界
条件，这种方法称为“放缩圆法”。
【例1】 如图2 所示，正方形abcd 区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，O 点是
cd 边的中点，一个带正电的粒子(重力忽略不计)若从O 点沿纸面以垂直于cd 边
的速度射入正方形内，经过时间t0刚好从c 点射出磁场。现设法使该带电粒子从
O 点沿纸面以与Od 成30°角的方向(如图中虚线所示)，以各种不同的速率射入正
方形内，那么下列说法中错误的是( )
图2
1
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A.该带电粒子不可能刚好从正方形的某个顶点射出磁场
B.若该带电粒子从ab 边射出磁场，它在磁场中经历的时间可能是t0
C.若该带电粒子从bc 边射出磁场，它在磁场中经历的时间可能是t0
D.若该带电粒子从bc 边射出磁场，它在磁场中经历的时间可能是t0
解析
粒子以垂直于
带电
cd
的速度射入正方形内，
边
经过时间t0
好从
刚
c 点射
出磁
，
知
粒子的运
周期
场
则
带电
动
为T＝2t0。作出粒子从O 点
沿
面以与
纸
Od 成30°角的方向射入恰好从各
射出的
迹，
边
轨
如
所示。
粒子不可能
正方形的某
点，故
图
发现
经过
顶
A 正确；
作出粒子恰好从ad
射出的
界
迹
边
临
轨
③④，由几何关系知圆
心角不大于150°，在磁
中
的
不大于个周期，即
场
经历
时间
t0；
心角不小于
圆
60°，在磁
中
的
不小于个周期，即
场
经历
时间
t0，
故B 正确；作出粒子恰好从bc
射出的
界
迹
边
临
轨
②③，由几何关系知
心角不大
圆
于240°，在磁
中
的
不大于个周期，即
场
经历
时间
t0；心角不小于
圆
150°，在磁
中
场
的
不小于个周期，即
经历
时间
t0，故C 正确，D
。
错误
答案 D
2.定圆旋转法
当粒子的入射速度大小确定而方向不确定时，所有不同方向入射的粒子的轨迹圆
是一样大的，只是位置绕入射点发生了旋转，从定圆的动态旋转(作图)中，也容易
发现“临界点”。
另外，要重视分析时的尺规作图，规范而准确的作图可突出几何关系，使抽象的
物理问题更形象、直观，如图3。
图3
(1)适用条件
①速度大小一定，方向不同
粒子源发射速度大小一定，方向不同的带电粒子进入匀强磁场时，它们在磁场中
做匀速圆周运动的半径相同，若入射初速度为v0，由qv0B＝得圆周运动半径为R
＝。
②轨迹圆圆心共圆
2
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带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点O 为圆心、半径R＝的圆
(这个圆在下面的叙述中称为“轨迹圆心圆”)上。
(2)界定方法
将一半径为R＝的圆的圆心沿着“轨迹圆心圆”平移，从而探索出临界条件，这
种方法称为“平移圆法”。
【例2】 如图4 所示，半径为R 的圆形区域内存在磁感应强度大小为B 的匀强磁
场，方向垂直纸面向外，磁场区的右侧有竖直向下的匀强电场，电场区足够宽，且
电场的左边界与磁场区相切，足够长的水平荧光屏PQ 与磁场区相切于P 点。从
P 点以相同的速率v 射出两个相同的带正电的粒子a、b，两粒子初速度方向的夹
角θ＝30°，其中粒子a 的初速度竖直向上、两粒子经磁场偏转后均水平离开磁场
进入电场。已知匀强电场的电场强度E＝Bv，不计粒子重力及粒子间相互作用。
求：
图4
(1)带电粒子的比荷；
(2)两粒子打到荧光屏上的亮点之间距离；
(3)粒子b 整个运动过程所用的时间。
解析 由a 粒子的运
可知粒子在磁
中运
的半径
动
场
动
r＝R
由牛
第二定律有
顿
Bqv＝m
可得粒子的比荷＝。
(2)a 粒子在
中做
平抛运
电场
类
动
xa＝vta，R＝t
同理b 粒子xb＝vtb
1.5R＝t，Δx＝(xb－xa)
可得Δx＝(－)R。
(3)粒子b 在磁
中运
的
场
动
时间t1＝
3
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粒子b 在射出磁
至即将
入
的
场
进
电场
过程中运
的
动
时间t2＝
由(2)中可得在
中运
的
电场
动
时间tb＝
所以粒子b 整个运
程的
动过
总时间t＝t1＋t2＋tb＝。
答案 (1) (2)(－)R (3)
二、情景作图能力的培养
解决带电粒子在两个相邻匀强磁场中运动的一般思路：
(1)根据题中所给的条件，分别画出粒子在两磁场中做匀速圆周运动的轨迹。
(2)根据画出的轨迹，找出粒子在两磁场中做匀速圆周运动的圆心和半径。
(3)适当添加辅助线，运用数学方法计算出粒子在两磁场中的轨迹半径(有时候还
要找出圆心角)。
(4)结合粒子运动的半径公式r＝(或周期公式T＝)即可得出所求的物理量。
【例3】 (2021·山
烟台模
东
拟)如图5 所示xOy 坐标系，在y>0 空间存在电场强度
为E，方向沿y 轴正向的匀强电场，在y<0 的空间存在磁感应强度为B，垂直于
xOy 平面向里的匀强磁场。P 点位于y 轴上，距离原点O 的距离为OP＝h，一质量
为m，带电荷量为－q(q＞0)的带电粒子，从P 点以垂直于y 轴的初速度射出，粒
子重力和空气阻力忽略不计。
图5
(1)若带电粒子飞出后经过x 轴上的D 点，然后进入磁场区域，运动一周后又回到
P 点，试求O、D 之间的距离d 的大小；
(2)在(1)的条件下，求出相应v0的大小；
(3)若带电粒子经过在电场和磁场中的运动，最终能击中与O 相距为d 的D 点，试
讨论初速度v0所有可能满足的条件。(用m、q、B、E、d、h 表示)
解析 (1)如
甲所示，
粒子在
中做
平抛运
，粒子以速度
图
带电
电场
类
动设
vD经过D
点，vD与x
正向的
角
轴
夹
为α。入磁
后，沿半径
进
场
为R 的
弧运
到另一点
圆
动
D′，
又从D′
入
做
斜抛运
最后回到
进
电场
类
动
P 点，由此可知D′与D 关于O
称，即
对
D′O＝OD＝d①
由几何关系可得d＝Rsin α②
粒子在磁
中的运
根据牛
第二定律和洛
力公式有
对
场
动
顿
伦兹
qvDB＝m③
4
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vD在y
方向的分速度大小
轴
为
vDy＝vDsin α④
粒子在
中运
的加速度大小
设
电场
动时
为a，根据牛
第二定律有
顿
qE＝ma⑤
根据运
学公式
动
v－0＝2ah⑥
立
联
①～⑥式解得d＝⑦
甲
(2)粒子在
中沿
电场
x 方向做匀速直
运
，有
线
动
d＝v0t⑧
沿y 方向做初速
零的匀加速直
运
，有
为
线
动
h＝at2⑨
立
联
⑤⑧⑨式解得v0＝⑩
(3)Ⅰ.假
粒子从
设
P 点
出后，
磁
飞
历经
场n 次，最
从
终
x
上方
中
轴
击
D 点，当n＝0
，恰好
粒子未
磁
直接
中
时
对应
经过
场
击
D 点的情形，如
乙所示。
图
乙
粒子
磁
回
一次，在
经过
场
转
x
方向倒退的距离
轴
为D1D2＝2R⊥⑪
其中R⊥＝Rsin α＝sin α＝＝⑫
粒子自
设
P 点
出后在
中做
平抛运
的水平位移大小
飞
电场
类
动
为dn，粒子从D2出
磁
后
再次到达
场
经电场
x
，前
轴
进2dn。如此历经n 次循
，
有
环
应
dn＋2ndn－2nR⊥＝d(n＝0，1，2，…)⑬
根据
平抛运
律
类
动规
可得h＝t2⑭
dn＝v0t⑮
立
联
⑫⑬⑭⑮解得
v0＝(n＝0，1，2，…)⑯
Ⅱ.假
粒子从
设
P 点
出后，再
磁
回
，又斜向上
入
，如此循
，
磁
飞
经
场
转
进
电场
环历经
场n 次，最
从
终
x
下方
中
轴
击
D 点，如
丙所示。
图
5
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丙
粒子自
设
P 点
出后在
中
飞
电场
做
平抛运
的水平位移大小
类
动
为dn′，
有
则应
dn′＋2(n－1)dn′－2nR⊥＝d(n＝1，2，3，…)⑰
根据
平抛运
律可得
类
动规
dn′＝v0t⑱
立
联
⑫⑭⑰⑱解得
v0＝(n＝1，2，3，…)⑲
答案 (1) (2) (3)v0＝(n＝0，1，2，…)或v0＝(n＝1，2，3，…)
6
