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热点专题十四 带电粒子在复合场中运动的实例分析
【专题解读】 1.本
是力学、
、磁
等知
的
合
用，高考往往以
专题
电场
场
识
综
应
选择
或
算
的形式出
。
题
计
题
现2.学
本
，可以培养同学
牛
运
定律、运
学
习
专题
们对
顿
动
动
公式、能定理、能量守恒定律、平抛运
的
律、周运
的
律的
合
用
动
类
动
规
圆
动
规
综
应
能力。
实例一 质谱仪的原理和分析
1.作用
测量带电粒子质量和分离同位素。
2.原理(如图1 所示)
图1
(1)加速电场：qU＝mv2。
(2)偏转磁场：qvB＝，l＝2r，由以上两式可得r＝，m＝，＝。
【例1】 (2021·天津
区一模
红桥
)微观粒子研究在核能的开发和利用中具有重要意
义。如图2 所示，质量为m、电荷量为q 的离子从容器A 下方的小孔S1不断飘入加
速电场，其初速度可视为零，然后经过小孔S2垂直于磁场方向进入磁感应强度为
B 的匀强磁场中，做半径为R 的匀速圆周运动。
图2
(1)求加速电场的电压U；
(2)离子行进半个圆周后离开磁场并被收集，离开磁场时离子束的等效电流为I。
不考虑离子重力及离子间的相互作用，求出在离子被收集的过程中任意时间t 内
1
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收集到离子的质量m 总。
答案 (1) (2)
解析 (1)
离子
加速后
入磁
的速度
设
经电场
进
场时
为v，由
能定理得
动
qU＝mv2
离子在磁
中做匀速
周运
，
场
圆
动
洛
力提供向心力，
伦兹
则qvB＝m
立以上两式可得
联
U＝。
(2)
在
设
t
内收集到的离子个数
时间
为N，
荷量
总电
为Q，则Q＝It＝Nq，m 总＝Nm
解得m 总＝。
【针对训练1】 (2021·福建宁德质检)如图3 所示，一个静止的质量为m、带电荷量
为q 的粒子(不计重力)，经电压U 加速后垂直进入磁感应强度为B 的匀强磁场，
粒子在磁场中转半个圆周后打在P 点，测出O、P 间的距离为x，下列x－U 图像
可能正确的是( )
图3
答案 B
解析 在加速
中，由
能定理得
电场
动
qU＝mv2
在匀
磁
中，洛
力提供向心力，
强
场
伦兹
有qvB＝m
解得r＝
得
则
x＝2r＝
B、m、q 都一定，
由数学知
可知，
则
识
x－U
像是抛物
。
图
线
实例二 回旋加速器的原理和分析
1.构造
如图4 所示，D1、D2是半圆形金属盒，D 形盒处于匀强磁场中，D 形盒的缝隙处接
交流电源。
2
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图4
2.原理
交流电周期和粒子做圆周运动的周期相等，使粒子每经过一次D 形盒缝隙，粒子
就被加速一次。
3.最大动能
由qvmB＝、Ekm＝mv 得Ekm＝，粒子获得的最大动能由磁感应强度B 和盒半径R
决定，与加速电压无关。
4.总时间
粒子在磁场中运动一个周期，被电场加速两次，每次增加动能qU，加速次数n＝，
粒子在磁场中运动的总时间t＝T＝·＝。
【例2】 (2021·海安期末)如图5 甲为某型号的回旋加速器的工作原理，图乙为俯
视图，回旋加速器的核心部分为两个D 形盒，分别为D1、D2，D 形盒装在真空容器
里，盒内充满与底面垂直的强大匀强磁场。加速器接入一定频率的高频交变电压
加速电压为U，两盒间的狭缝很小，带电粒子穿过狭缝的时间忽略不计，质子从
粒子源O 处进入加速电场的初速度为零。已知D 形盒的半径为R，磁感应强度为
B，质子质量为m、电荷量为＋q，不考虑相对论效应和重力作用，求：
图5
(1)质子第一次经过狭缝被加速后进入D 形盒时的速度大小v1和进入D 形盒后运
动的轨迹半径r1；
(2)质子被加速后获得的最大动能Ekm和高频交变电压的频率f；
(3)通过必要的推导演算，说明质子在回旋加速器中运动时，随轨迹半径r 的增大
同一D 形盒中相邻轨迹的半径之差Δr 将如何变化。
答案 (1) (2) (3)见解析
3
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解析 (1)
子第一次
狭
被加速后的速度大小
质
经过
缝
为v1，则qU＝mv，qv1B＝，解
得v1＝，r1＝。
(2)当
子在磁
中
迹半径
质
场
轨
为R
，能最大，此
速度
时动
设
时
为vm，则qvmB＝，Ekm
＝mv
解得Ekm＝
交
率
变电压频
f 等于
子在磁
中运
的
率＝
质
场
动
频
T＝＝
则f＝。
(3)由
能定理得
动
2qU＝mv－mv
根据半径公式有rk＝
解得Δrk＝
同理Δrk＋1＝
因为rk＋2＞rk，故Δrk＋1＜Δrk，即Δr 随着r 的增大而减小。
实例三 电场与磁场叠加的应用实例
共同特点：当带电粒子(不计重力)在复合场中做匀速直线运动时，qvB＝qE。
磁流体发电机
(1)原理：
如图6 所示，等离子体喷入磁场，正、负离子在洛伦兹力的作用下发生偏转而聚
集在B、A 板上，产生电势差，它可以把离子的动能通过磁场转化为电能。
图6
(2)电源正、负极判断：根据左手定则可判断出图中的B 是发电机的正极。
(3)电源电动势E：设A、B 平行金属板的面积为S，两极板间的距离为l，磁场磁感
应强度为B，等离子体的电阻率为ρ，喷入气体的速度为v，板外电阻为R。当正、
负离子所受电场力和洛伦兹力平衡时，两极板间达到的最大电势差为U(即电源
电动势为U)，则q＝qvB，即E＝U＝Blv。
(4)电源内阻：r＝ρ。
(5)回路电流：I＝。
【例3】 (2021·河北卷)如图7 所示，距离为d 的两平行金属板P、Q 之间有一匀强
4
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磁场，磁感应强度大小为B1，一束速度大小为v 的等离子体垂直于磁场喷入板间
相距为L 的两光滑平行金属导轨固定在与导轨平面垂直的匀强磁场中，磁感应强
度大小为B2，导轨平面与水平面夹角为θ，两导轨分别与P、Q 相连。质量为m、电
阻为R 的金属棒ab 垂直导轨放置，恰好静止。重力加速度为g，不计导轨电阻、板
间电阻和等离子体中的粒子重力。下列说法正确的是( )
图7
A.导轨处磁场的方向垂直导轨平面向上，v＝
B.导轨处磁场的方向垂直导轨平面向下，v＝
C.导轨处磁场的方向垂直导轨平面向上，v＝
D.导轨处磁场的方向垂直导轨平面向下，v＝
答案 B
解析 由左手定
可知
则
Q 板
正
，
带
电P 板
，所以金属棒
带负电
ab 中的电流方向为
从a 到b，金属棒受力分析可知，金属棒受到的安培力方向沿
平面向上，由
对
导轨
左手定
可知
磁
的方向垂直
平面向下，由受力平衡可知
则
导轨处
场
导轨
ILB2＝
mgsin θ，而I＝，而
等离子体受力分析有
对
q＝qvB1，解得v＝。故B 正确，A、C、D
。
错误
电磁流量计
(1)流量(Q)的定义：单位时间流过导管某一截面的导电液体的体积。
(2)公式：Q＝Sv；S 为导管的横截面积，v 是导电液体的流速。
(3)导电液体的流速(v)的计算。
如图8 所示，一圆柱形导管直径为d，用非磁性材料制成，其中有可以导电的液体
向右流动。导电液体中的自由电荷(正、负离子)在洛伦兹力作用下发生偏转，使
a、b 间出现电势差，当自由电荷所受电场力和洛伦兹力平衡时，a、b 间的电势差
(U)达到最大，由q＝qvB，可得v＝。
5
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图8
(4)流量的表达式：Q＝Sv＝·＝。
(5)电势高低的判断：根据左手定则可得φa＞φb。
【例4】 (2021·福建泉州月考)如图9，电磁流量计的测量管横截面直径为D，在测
量管的上下两个位置固定两金属电极a、b，整个测量管处于方向垂直纸面向里的
匀强磁场中，磁感应强度大小为B。当含有正、负离子的液体从左向右匀速流过测
量管时，连在两个电极上的显示器显示的流量为Q(单位时间内流过的液体体积)，
下列说法正确的是( )
图9
A.a 极电势低于b 极电势
B.液体流过测量管的速度大小为
C.a、b 两极之间的电压为
D.若流过的液体中离子浓度变高，显示器上的示数将变大
答案 C
解析 由左手定
可知，正离子向上偏
，离子向下偏
，
则
转负
转则a 极
高于
电势
b 极
，
电势选项A
；由于
错误
Q＝vS＝v·πD2，解得液体流
量管的速度大小
过测
为v＝，
选项B
；当达到平衡
错误
时q＝qvB，解得a、b 两极之
的
间
电压为U＝，选项C 正
确；因a、b 两极
的
与
间
电压
流
的液体中离子
度无关，当粒子
度
高
，
过
浓
则
浓
变
时
示器上的示数不
，
显
变
选项D
。
错误
【针对训练2】 (2021·山
省
中学模
东
实验
拟)化工厂废水排放对环境造成的污染危
害很大，为测量排污流量Q，人们在排污管道上安装流量计，流量为单位时间内
流过管道横截面的液体的体积，如图10 为流量计的示意图。左右两端开口的长方
体绝缘管道的长、宽、高分别为a、b、c，所在空间有垂直于前后表面、磁感应强度
大小为B 的匀强磁场，在上、下两个面的内侧固定有金属板M、N，污水充满管道
从左向右匀速流动，污水流过管道时受到的阻力大小f＝kLv2，k 是比例系数，L 为
管道长度，v 为污水的流速，测得M、N 间电势差为U。下列说法正确的是( )
6
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图10
A.电压U 与污水中离子浓度有关
B.污水的流量Q＝
C.左、右两侧管口的压强差Δp＝
D.金属板M 的电势低于金属板N 的电势
答案 B
解析
水中的离子受到洛
力，正离子向上极板聚集，
离子向下极板聚集
污
伦兹
负
所以金属板M 的
大于金属板
电势
N，从而在管道内形成匀
，最
离子在
强电场
终
电
力和洛
力的作用下平衡，即
场
伦兹
qvB＝q，解得U＝cvB，可知电压U 与
水中
污
离子
度无关，故
浓
A、D
；水的流量
错误污
为Q＝Sv＝bc＝，故B 正确；水流
污
过
装置受到的阻力
该
为f＝kLv2＝ka，水匀速通
装置，两
的
力差等于阻
污
过该
则
侧
压
力f＝SΔp＝bcΔp，则Δp＝＝＝，故C
。
错误
霍尔效应的原理和分析
(1)定义：
高为h、宽为d 的导体(自由电荷是电子或正电荷)置于匀强磁场B 中，当电流通过
导体时，在导体的上表面A 和下表面A′之间产生电势差，这种现象称为霍尔效应，
此电压称为霍尔电压。
(2)电势高低的判断：如图11，导体中的电流I 向右时，根据左手定则可得，若自由
电荷是电子，则下表面A′的电势高。若自由电荷是正电荷，则下表面A′的电势低。
图11
(3)霍尔电压的计算：导体中的自由电荷(电荷量为q)在洛伦兹力作用下偏转，A、
A′间出现电势差，当自由电荷所受电场力和洛伦兹力平衡时，A、A′间的电势差(U)
就保持稳定，由qvB＝q，I＝nqvS，S＝hd；联立得U＝＝k，k＝称为霍尔系数。
【例5】 (2021·南京检测)如图12 所示，导电物质为电子的霍尔元件样品置于磁场
中，表面与磁场方向垂直，图中的1、2、3、4 是霍尔元件上的四个接线端。当开关
S1、S2闭合后，三个电表都有明显示数，下列说法错误的是( )
7
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图12
A.通过霍尔元件的磁场方向向下
B.接线端2 的电势低于接线端4 的电势
C.仅将电源E1、E2反向接入电路，电压表的示数不变
D.若适当减小R1、增大R2，则电压表示数一定增大
答案 D
解析 由安培定
可
则
判断出左
圈
生的磁
方向向上，
芯后在霍
元件
侧线
产
场
经铁
尔
的磁
方向向下，故
处
场
A 正确；通
霍
元件的磁
方向向下，由左手定
可知，
过
尔
场
则
霍
元件中
物
受到的
力向右，
物
偏向接
端
尔
导电
质
电场
导电
质
线
2，
物
导电
质为电
子，接
端
则
线
2 的
低于接
端
电势
线
4 的
，故
电势
B 正确；将
源
仅
电
E1、E2反向接入
路，磁
反向，流反向，霍
元件中
物
受到的
力不
，
表的示
电
场
电
尔
导电
质
电场
变电压
数不
，故
变
C 正确；若适当减小R1，流
生的磁
增
，通
霍
元件的磁
增
电
产
场
强
过
尔
场
；增大
强
R2，流
霍
元件的
流减弱；霍
元件
生
过
尔
电
尔
产
电压U＝k，可能减小，电压
表示数可能减小，故D 不正确。
【针对训练3】 (2021·南京检测)笔记本电脑机身和显示屏对应部位分别有磁体和
霍尔元件。当显示屏翻开时磁体远离霍尔元件，电脑正常工作，当显示屏合上时
磁体靠近霍尔元件，屏幕熄灭，电脑进入休眠状态。如图13 所示，这是一块长为
a、宽为b、高为c 的半导体霍尔元件，元件内的导电粒子是电荷量为e 的自由电
子，元件中通入方向向右的恒定电流。当显示屏合上时，元件处于垂直于上表面
且方向向下的匀强磁场中，元件的前、后表面间产生电压U，以此来控制屏幕的
熄灭。则元件的( )
图13
A.前表面的电势低于后表面
B.前、后表面间的电压U 与a 的大小有关
C.前、后表面间的电压U 与b 的大小有关
D.前、后表面间的电压U 与c 的大小有关
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答案 D
解析
流方向向右，
子向左定向移
，根据左手定
判断可知，
子所受的
电
电
动
则
电
洛
力方向向里，
后表面
累了
子，前表面的
比后表面的
高，
伦兹
则
积
电
电势
电势
A
；
定后，后
子受力平衡可得
错误
稳
续电
e＝evB，根据
流的微
表达式可知
电
观
I＝
neSv＝nebcv，解得U＝×，所以前、后表面
的
间
电压U 与c 成正比，与a 和b 无关
B、C
，
错误
D 正确。
题型自我感悟
1.磁流体
机、
磁流量
和霍
元件的工作原理有什么相同之
？
发电
电
计
尔
处
提示 都是
粒子在
和磁
的叠加
内的运
，最
达到的
定状
相同
带电
电场
场
场
动
终
稳
态
都
足当
粒子
满
带电
(不
重力
计
)在复合
中做匀速直
运
，
场
线
动时
qvB＝qE。
2.如果通
霍
元件的自由
荷形成的
流方向如
过
尔
电
电
图14 所示，如何确定A 板的
性？
电
图14
提示
流方向向右，
明自由
荷向左运
，根据左手定
电
说
电
动
，四指指向
荷
则
负电
运
的相反方向，所以
动
A 板
。
带负电
对点练1 质谱仪的原理和分析
1.(2021·河南
州
郑
质检)如图1 所示的装置叫质谱仪，最初是由阿斯顿设计的，是
一种测量带电粒子的质量和分析同位素的重要工具。其工作原理如下：一个质量
为m、电荷量为q 的离子，从容器A 下方的小孔S1飘入电势差为U 的加速电场，
其初速度几乎为0，然后经过S3沿着与磁场垂直的方向，进入磁感应强度为B 的
匀强磁场中，最后打到照相的底片D 上。不计离子重力。则( )
图1
9
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A.离子进入磁场时的速率为v＝
B.离子在磁场中运动的轨道半径为r＝
C.离子在磁场中运动的轨道半径为r＝
D.若a、b 是两种同位素的原子核，从底片上获知a、b 在磁场中运动轨迹的直径之
比是1.08∶1，则a、b 的质量之比为1.08∶1
答案 C
解析 离子在
中加速有
电场
Uq＝mv2，解得v＝；在磁
中偏
有
场
转
qvB＝m，解得r
＝，同位素的
量一
，其
量之比
＝
电
样
质
为
＝1.082，故选C。
对点练2 回旋加速器的原理和分析
2.(2021·江
百校
考
苏
联
)1930 年劳伦斯制成了世界上第一台回旋加速器，其原理如
图2 所示，这台加速器由两个铜质D 形盒D1、D2构成，其间留有空隙，现对氚核
(H)加速，所需的高频电源的频率为f，已知元电荷为e，下列说法正确的是( )
图2
A.被加速的带电粒子在回旋加速器中做圆周运动的周期随半径的增大而增大
B.高频电源的电压越大，氚核最终射出回旋加速器的速度越大
C.氚核的质量为
D.该回旋加速器接频率为f 的高频电源时，也可以对氦核(He)加速
答案 C
解析 根据周期公式T＝可知，被加速的
粒子在回旋加速器中做
周运
的
带电
圆
动
周期随半径的增大而不
，
变A
；
错误设D 形盒的半径为R，最
射出回旋加速器
则
终
的速度
足
满
evB＝m，即有v＝，最
射出回旋加速器的速度与
率无关，
终
频
B
；
错误
根据周期公式T＝可知m＝＝，C 正确；因
核
为氚
(H)与氦核(He)的荷
比不同，所
质
以不能用来加速氦核(He)，D
。
错误
对点练3 电场与磁场叠加的应用实例
3.(2021·浙江
模
绍兴
拟)在实验室中有一种污水流量计，其原理可以简化为如图3
所示模型：废液内含有大量正、负离子，从直径为d 的圆柱形容器右侧流入，左侧
流出。流量值Q 等于单位时间通过横截面的液体的体积。空间有垂直纸面向里的
磁感应强度为B 的匀强磁场，并测出M、N 间的电压U，则下列说法正确的是(
10
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)
图3
A.正、负离子所受洛伦兹力方向是相同的
B.容器内液体的流速为v＝
C.河水流量计也可以用于测量不带电的液体的流速
D.污水流量为Q＝
答案 B
解析 离子
入磁
后受到洛
力作用，根据左手定
可知，正离子受到的洛
进
场
伦兹
则
力方向向下，离子受到洛
力方向向上，故
伦兹
负
伦兹
A
；当达到平衡
有
错误
时
q＝
qvB，解得v＝，故B 正确；不
的液体在磁
中不受力，
带电
场
M、N 两点没有
差，
电势
无法
算流速，故
计
C
；
水流量
错误
污
为Q＝Sv＝πd2·＝，故D
。
错误
4.如图4 所示，一绝缘容器内部为长方体空腔，容器内盛有NaCl 的水溶液，容器
上下端装有铂电极A 和C，置于与容器表面垂直的匀强磁场中，开关K 闭合前容
器两侧P、Q 两管中液面等高，闭合开关后( )
图4
A.M 处钠离子浓度等于N 处钠离子浓度
B.M 处氯离子浓度小于N 处氯离子浓度
C.M 处电势高于N 处电势
D.P 管中液面高于Q 管中液面
答案 D
解析 当开关
合
，液体中有从
闭
时
A 到C 方向的
流，根据正离子的定向移
方
电
动
向与
流方向相同，而
离子移
方向与
流方向相反，由左手定
可以知道，
电
负
动
电
则
离子与
离子均偏向
钠
氯
M
，
处M
离子与
离子
度高于
处钠
氯
浓
N
，同
处
时M
和
处
N
仍呈
中性，
相等，
处
电
电势
A、B、C
；由前面分析可知液体将受到向
错误
M 的安培
力作用，在液面内部将
生
，因此
产
压强
P 端的液面将比Q 端的高，D 正确。
11
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5.(2021·北京西城区期末)一种用磁流体发电的装置如图5 所示。平行金属板A、B
之间有一个很强的磁场，将一束含有大量正、负带电粒子的等离子体，沿图中所
示方向喷入磁场。图中虚线框部分相当于电源，A、B 就是电源的两极，则下列说
法正确的是( )
图5
A.用电器中的电流方向从D 到C
B.带负电的粒子受洛伦兹力方向向上
C.若只增强磁场，发电机的电动势将增大
D.若将发电机与用电器断开，A 板积累的电荷会一直增多
答案 C
解析 根据左手定
可知，正离子受向上的洛
力偏向
则
伦兹
A 板，离子受向下的
负
洛
力偏向
伦兹
B 板，用
器中的
流从
则
电
电
C 到D，选项A、B
；当达到平衡
错误
时
有q＝qvB，解得电动势E＝Bdv，若只增
磁
，
机的
将增大，
则
强
场发电
电动势
选项
C 正确；若将
机与用
器断开，两板
差等于
发电
电
间电势
Bdv
达到
定状
，此
时
稳
态
后A 板
累的
荷不再增加，
积
电
选项D
。
错误
6.(2021·湖北七市
考
联
)智能手机中的电子指南针利用了重力传感器和霍尔元件
来确定地磁场的方向。某个智能手机中固定着一个矩形薄片霍尔元件，四个电极
分别为E、F、M、N，薄片厚度为h，在E、F 间通入恒定电流I、同时外加与薄片垂
直的匀强磁场B，M、N 间的电压为UH，已知半导体薄片中的载流子为正电荷，电
流与磁场的方向如图6 所示，下列说法正确的是( )
图6
A.N 板电势低于M 板电势
B.磁感应强度越大，UH越大
C.增加薄片厚度h，UH增大
D.将磁场和电流分别反向，N 板电势低于M 板电势
答案 B
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解析 根据左手定
，
流的方向向里，
正
的
流子受力的方向指向
则
电
带
电
载
N 端，
故
正
的
流子向
带
电
载
N 端偏
，
转则N 点
高，故
电势
A
；左右两个表面相距
错误设
为d，流子所受的
力等于洛
力，即＝
载
电场
仑兹
evB，材料
位体
内
流子的
设
单
积
载
个数为n，材料截面积为S，则I＝neSv，S＝dL，解得UH＝，令k＝，则UH＝＝k，所
以若保持
流
电
I 恒定，则M、N
的
间
电压UH与磁感
度
应强
B 成正比，故B 正确；根
据UH＝k 可知增加薄片厚度h，UH不
，故
变
C
；若磁
和
流分
反向，依据
错误
场
电
别
左手定
，正
的
流子仍向
则带
电
载
N 端偏
，
转则N 板
仍高于
电势
M 板
，故
电势
D 错
。
误
7.(2021·北京西城区期末)某一质谱仪原理如图7 所示，区域Ⅰ为粒子加速器，加
速电压为U1；区域Ⅱ为速度选择器，磁场与电场正交，磁感应强度为B1，板间距
离为d；区域Ⅲ为偏转分离器，磁感应强度为B2。一质量为m，电荷量为＋q 的粒
子，初速度为0，经粒子加速器加速后，该粒子恰能沿直线通过速度选择器，由O
点沿垂直于边界MN 的方向进入分离器后做匀速圆周运动，打在P 点上。忽略粒
子所受重力，求
图7
(1)粒子进入速度选择器的速度v；
(2)速度选择器的两极板电压U2；
(3)OP 之间的距离。
答案 (1) (2)B1d (3)
解析 (1)粒子加速
程根据
能定理，有
过
动
qU1＝mv2
解得v＝。
(2)粒子
速度
器
程受力平衡，
经过
选择
过
有q＝qvB1
解得U2＝B1d。
(3)粒子在分离器中做匀速
周运
，根据牛
第二定律，有
圆
动
顿
qvB2＝m
OP＝2r＝。
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