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热点专题八 “碰撞”的四个模型
【专题解读】 1.本
主要研究碰撞
程的特点和
足的物理
律，并
碰撞模型
专题
过
满
规
对
行拓展分析。
进
2.学好本
，可以使同学
掌握根据物理情景或解
方法的相同
专题
们
题
或相似性，行
分析
的能力。
进
归类
问题
3.用到的知
、律和方法有：牛
运
定律
识规
顿
动
和匀
速直
运
变
线
动
律，
量守恒定律，
能定理和能量守恒定律。
规
动
动
模型一 “物体与物体”正碰模型
1.弹性碰撞
碰撞结束后，形变全部消失，动能没有损失，不仅动量守恒，而且初、末动能相等。
(1)m1v1＋m2v2＝m1v1′＋m2v2′
m1v＋m2v＝m1v1′2＋m2v2′2
v1′＝
v2′＝
(2)v2＝0 时，v1′＝ v1
v2′＝ v1
讨论：①若m1＝m2，则v1′＝0，v2′＝v1(速度交换)；
②若m1＞m2，则v1′＞0，v2′＞0(碰后，两物体沿同一方向运动)；
③若m1≫m2，则v1′≈v1，v2′≈2v1；
④若m1＜m2，则v1′＜0，v2′＞0(碰后，两物体沿相反方向运动)；
⑤若m1≪m2，则v1′≈－v1，v2′≈0。
2.非弹性碰撞
碰撞结束后，动能有部分损失。
m1v1＋m2v2＝m1v1′＋m2v2′
m1v＋m2v＝m1v1′2＋m2v2′2＋ΔEk 损
3.完全非弹性碰撞
碰撞结束后，两物体合二为一，以同一速度运动，动能损失最大。
m1v1＋m2v2＝(m1＋m2)v
m1v＋m2v＝(m1＋m2)v2＋ΔEk 损max
4.碰撞遵守的原则
1
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(1)动量守恒。
(2)机械能不增加，即碰撞结束后总动能不增加，表达式为Ek1＋Ek2≥Ek1′＋Ek2′或＋
≥＋。
(3)速度要合理
①碰前若同向运动，原来在前的物体速度一定增大，且v 前≥v 后。
②两物体相向运动，碰后两物体的运动方向肯定有一个改变或速度均为零。
【真题示例1】 (2020·全国卷Ⅲ)甲、乙两个物块在光滑水平桌面上沿同一直线运动，
甲追上乙，并与乙发生碰撞，碰撞前后甲、乙的速度随时间的变化如图1 中实线所
示。已知甲的质量为1 kg，则碰撞过程两物块损失的机械能为( )
图1
A.3 J
B.4 J
C.5 J
D.6 J
答案 A
解析
乙物
的
量
设
块
质
为m 乙，由
量守恒定律得
动
m 甲v 甲＋m 乙v 乙＝m 甲v 甲′＋m
乙v 乙′，代入
中数据解得
图
m 乙＝6 kg，而可求得碰撞
程中两物
失的机械能
进
过
块损
为E 损＝m 甲v＋m 乙v－m 甲v 甲′2－m 乙v 乙′2，代入
中数据解得
图
E 损＝3 J，选项A
正确。
【针对训练1】 如图2 所示，B 物体静止在光滑的水平面上，若A 以初速度v0与B 发
生弹性碰撞，碰后A 的速度为v(v0和v 均为未知量)；若A、B 的碰撞是完全非弹性碰
撞，碰后A 的速度为2v，求：A、B 的质量比。
图2
答案 2∶1
解析 A、B
生
性碰撞，根据
量守恒和
能守恒有
发
弹
动
动
mAv0＝mAv＋mBvB
mAv＝mAv2＋mBv
若A、B 的碰撞是完全非
性碰撞，根据
量守恒有
弹
动
mAv0＝(mA＋mB)×2v
立上述三式可解得＝。
联
模型二 “滑块—弹簧”碰撞模型
2
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模型图示
模型特点
(1)两个或两个以上的物体与弹簧相互作用的过程中，若系统所受
外力的矢量和为零，则系统动量守恒，类似弹性碰撞
(2)在能量方面，由于弹簧形变会使弹性势能发生变化，系统的总动
能将发生变化；若系统所受的外力和除弹簧弹力以外的内力不做
功，系统机械能守恒
(3)弹簧处于最长(最短)状态时两物体速度相等，弹性势能最大，系
统动能通常最小(完全非弹性碰撞拓展模型)
(4)弹簧恢复原长时，弹性势能为零，系统动能最大(完全弹性碰撞
拓展模型，相当于碰撞结束时)
【例2】 如图3 所示，一个轻弹簧的两端与质量分别为m1和m2的两物体甲、乙连接，
静止在光滑的水平面上。现在使甲瞬间获得水平向右的速度v0＝4 m/s，当甲物体的
速度减小到1 m/s 时，弹簧最短。下列说法中正确的是( )
图3
A.此时乙物体的速度为1 m/s
B.紧接着甲物体将开始做加速运动
C.甲、乙两物体的质量之比m1∶m2＝1∶4
D.当弹簧恢复原长时，乙物体的速度大小为4 m/s
答案 A
解析 根据
意得，
题
当
簧
到最短
，两物体速度相同，所以此
乙物体的速
弹
压缩
时
时
度也是1 m/s，A 正确；因
簧
到最短
，甲受力向左，甲
减速，
为弹
压缩
时
继续
B
；
错误
根据
量守恒定律可得
动
m1v0＝(m1＋m2)v，解得m1∶m2＝1∶3，C
；当
簧恢复
错误
弹
原
，根据
量守恒和机械能守恒有
长时
动
m1v0＝m1v1′＋m2v2′，m1v＝m1v1′2＋m2v2′2，联
立解得v2′＝2 m/s，D
。
错误
模型三 “滑块—斜面”碰撞模型
模型图示
3
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模型特点
(1)最高点：m 与M 具有共同水平速度v 共，m 不会从此处或提前
偏离轨道。系统水平方向动量守恒，mv0＝(M＋m)v 共；系统机械
能守恒，mv＝(M＋m)v＋mgh，其中h 为滑块上升的最大高度，不
一定等于圆弧轨道的高度(完全非弹性碰撞拓展模型)
(2)最低点：m 与M 分离点。水平方向动量守恒，mv0＝mv1＋Mv2；
系统机械能守恒，mv＝mv＋Mv(完全弹性碰撞拓展模型)
【例3】 (2021·常州模拟)如图4 所示，质量为M＝4 kg 的大滑块静置在光滑水平面
上，滑块左侧为光滑圆弧，圆弧底端和水平面相切，顶端竖直。一质量为m＝1 kg 的
小物块，被压缩弹簧弹出后，冲上大滑块，能从大滑块顶端滑出，滑出时大滑块的速
度为1 m/s。g 取10 m/s2。求：
图4
(1)小物块被弹簧弹出时的速度大小；
(2)小物块滑出大滑块后能达到的最大高度h1；
(3)小物块回到水平面的速度大小及再次滑上大滑块后能达到的最大高度h2。
答案 (1)5 m/s (2)1 m (3)3 m/s 0.04 m
解析 (1)
小物
离开
簧后的速度
设
块
弹
为v1，小物
滑上大滑
的
程中系
水平
块
块
过
统
方向
量守恒，
动
mv1＝(m＋M)v2，解得v1＝5 m/s。
(2)小物
第一次
升到最高点
水平速度等于
块
跃
时
v2，系
机械能守恒，
统
mv＝(m＋M)v
＋mgh1，解得h1＝1 m。
(3)小物
能下落到大滑
并从大滑
上滑到水平面，系
水平方向
量
块
块
块
统
动
守恒、机械
能守恒
mv1＝mv1′＋Mv2′
mv＝mv1′2＋Mv2′2
解得v1′＝－3 m/s，v2′＝2 m/s
系
水平方向
量守恒、机械能守恒
统
动
m(－v1′)＋Mv2′＝(m＋M)v
mv1′2＋Mv2′2＝(m＋M)v2＋mgh2
解得h2＝0.04 m。
4
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【针对训练2】 (2021·南京检测)如图5 所示，在光滑的水平面上有一长为L 的木板
B，上表面粗糙，在其左端有一光滑的圆弧槽C，与长木板B 接触但不相连，圆弧槽
的下端与木板上表面相平，B、C 静止在水平面上。现有滑块A 以初速度v0从右端滑
上木板B，并以v0滑离木板B，恰好能到达圆弧槽C 的最高点。A、B、C 的质量均为
m，设重力加速度为g，试求：
图5
(1)滑块A 向左刚滑离木板B 时，木板B 的速度大小；
(2)木板B 上表面的动摩擦因数μ；
(3)当滑块A 刚滑上圆弧槽C 时，对圆弧槽C 底部的压力大小。
答案 (1) (2) (3)5mg
解析 (1)
滑
对
块A 在木板B 上的滑
程，取
动过
A、B、C
一个系
，根据
量守恒
为
统
动
定律有
mv0＝m＋2mvB
解得vB＝。
(2)
滑
对
块A 在木板B 上的滑
程，
动过
A、B、C 系
减少的
能全部
化
系
生
统
动
转
为
统产
的
量
热
μmgL＝mv－m－×2m
解得μ＝。
(3)
滑
对
块A 滑上
弧槽
圆
C 直到最高点的作用
程，
过
A、C 系
量守恒
统动
m·＋mvB＝2mv
A、C 系
机械能守恒
统
mgR＝m＋m－×2mv2，解得R＝
滑块A 在
弧槽
圆
C 的底端
，由牛
第二定律
时
顿
FN－mg＝m
解得FN＝5mg。
模型四 “滑块—木板”碰撞模型
模型图示
模型特点
(1)若子弹未射穿木块或滑块未从木板上滑下，当两者速度相等时木块
或木板的速度最大，两者的相对位移(子弹为射入木块的深度)取得极
5
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值(完全非弹性碰撞拓展模型)
(2)系统的动量守恒，但机械能不守恒，摩擦力与两者相对位移的乘积
等于系统减少的机械能
(3)根据能量守恒，系统损失的动能ΔEk＝Ek0，可以看出，子弹(或滑块)
的质量越小，木块(或木板)的质量越大，动能损失越多
(4)该类问题既可以从动量、能量角度求解，相当于非弹性碰撞拓展模
型，也可以从力和运动的角度借助图示求解
【例4】 (2021·天津模拟)如图6 所示，光滑水平面上放一木板A，质量M＝4 kg，小铁
块B(可视为质点)质量为m＝1 kg，木板A 和小铁块B 之间的动摩擦因数μ＝0.2，小
铁块B 以v0＝10 m/s 的初速度从木板A 的左端冲上木板，恰好不滑离木板。(g＝10
m/s2)
图6
(1)A、B 的加速度分别为多少？
(2)经过多长时间A、B 速度相同，相同的速度为多少？
(3)薄木板的长度？
答案 (1)0.5 m/s2 2 m/s2 (2)4 s 2 m/s (3)20 m
解析 (1)
小
对
铁块B 列牛
第二定律有
顿
aB＝μg＝2 m/s2
木板
对
A 列牛
第二定律有
顿
aA＝＝0.5 m/s2。
(2)由于AB
成的系
合外力
零，
组
统
为
则AB
成的系
量守恒有
组
统动
mv0＝(m＋M)v 共
代入数据有v 共＝2 m/s
由于木板A 做匀加速直
运
，
由匀
速直
运
的速度
关系有
线
动
则
变
线
动
时间
v 共＝aAt
代入数据，解得t＝4 s。
(3)
薄木板的
度
设
长
为L，则对AB 整体列
能定理有－
动
μmgL＝(m＋M)v－mv
代入数据有L＝20 m。
1.(2021·安徽
鞍山
马
质检)如图1 所示，光滑水平面上停放着一辆小车，小车的光滑
6
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四分之一圆弧轨道在最低点与水平轨道相切。在小车的右端固定一轻弹簧，一小球
从圆弧轨道上某处由静止释放。①若水平轨道光滑，当弹簧第一次被压缩至最短时，
小车的速度大小为v1，弹簧的弹性势能为Ep1；②若水平轨道粗糙，当弹簧第一次被
压缩至最短时，小车的速度大小为v2，弹簧的弹性势能为Ep2。则( )
图1
A.v1<v2，Ep1＝Ep2
B.v1＝v2，Ep1>Ep2
C.v1>v2，Ep1<Ep2
D.v1>v2，Ep1>Ep2
答案 B
解析
簧第一次被
至最短
，小球与小
具有共同速度。两种情况的水平面
弹
压缩
时
车
都光滑，足
量守恒，有
满
动
0＝(m1＋m2)v，所以两次小
的速度相等。当水平
道粗
车
轨
糙
有摩擦生
，根据能量守恒可知
时
热
Ep1>Ep2。
2.如图2 甲所示，光滑水平面上有A、B 两物块，已知A 物块的质量mA＝2 kg，以一
定的初速度向右运动，与静止的物块B 发生碰撞并一起运动，碰撞前后的位移—时
间图像如图乙所示(规定向右为正方向)，则碰撞后的速度及物体B 的质量分别为(
)
图2
A.2 m/s，5 kg
B.2 m/s，3 kg
C.3.5 m/s，2.86 kg
D.3.5 m/s，0.86 kg
答案 B
解析 由
像可知，碰前
图
A 的速度为v1＝ m/s＝5 m/s，碰后A、B 的共同速度为v2＝
m/s＝2 m/s，A、B 碰撞
程中
量守恒，以向右
正方向，由
量守恒定律得
过
动
为
动
mAv1＝
(mA＋mB)v2，解得mB＝3 kg，故选项B 正确。
3.(2021·广
河源月考
东
)内壁光滑的圆环管道固定于水平面上，图3 为水平面的俯视
图。O 为圆环圆心，直径略小于管道内径的甲、乙两个等大的小球(均可视为质点)分
别静置于P、Q 处，PO⊥OQ，甲、乙两球质量分别为m、km。现给甲球一瞬时冲量，
7
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使甲球沿图示方向运动，甲、乙两球发生弹性碰撞，碰撞时间不计，碰后甲球立即向
左运动，甲球刚返回到P 处时，恰好与乙球再次发生碰撞，则( )
图3
A.k＝
B.k＝
C.k＝2
D.k＝5
答案 B
解析
甲球初速度
设
为v0，初始
两球
的弧
时
间
长为l，管道
则
长为4l，碰撞后甲、
设
乙小球速度大小分别为v1、v2，两球
生
性碰撞，由
量守恒定律得
发
弹
动
mv0＝kmv2－
mv1，由机械能守恒定律得mv＝kmv＋mv，由于再次碰撞，有
则
l＝v1t，3l＝v2t，立
联
解得k＝。
4.如图4 所示，在足够长的光滑水平面上有一静止的质量为M 的斜面，斜面表面光
滑、高度为h、倾角为θ。一质量为m(m＜M)的小物块以一定的初速度沿水平面向右
运动，不计冲上斜面过程中的机械能损失。如果斜面固定，则小物块恰能冲到斜面
的顶端。如果斜面不固定，则小物块冲上斜面后能达到的最大高度为( )
图4
A.h
B.
C.
D.
答案 D
解析 斜面固定
，根据
能定理可得－
时
动
mgh＝0－mv，解得v0＝，斜面不固定
，
时
水平方向
量守恒，有
动
mv0＝(M＋m)v，由能量守恒定律得mv＝(M＋m)v2＋mgh1，解
得h1＝h，D
正确。
项
5.(2021·河南
州模
郑
拟)在光滑水平面上有三个弹性小钢球a、b、c 处于静止状态，质
量分别为2m、m 和2m。其中a、b 两球间夹一被压缩了的弹簧，两球通过左右两边的
光滑挡板束缚着。若某时刻将挡板撤掉，弹簧便把a、b 两球弹出，两球脱离弹簧后，
a 球获得的速度大小为v，若b、c 两球相距足够远，则b、c 两球相碰后( )
8
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图5
A.b 球的速度大小为v，运动方向与原来相反
B.b 球的速度大小为v，运动方向与原来相反
C.c 球的速度大小为v
D.c 球的速度大小为v
答案 B
解析 取向右
正
为
方向，簧
开的瞬
，
弹
弹
间a、b 两球和
簧
成的系
量守恒，故
弹
组
统动
有－2mv＋mvb1＝0，解得b 球
得的速度
获
为vb1＝2v，方向水平向右，b、c 两球碰撞
前后，两者
成的系
量守恒，有
组
统动
mvb1＝2mvc＋mvb2，由于是
性小球，碰撞无能
弹
量
失，有
损
mv＝mv＋·2mv，立解得
联
vb2＝－v，明碰后速度方向与原来的相反，
说
vc
＝v，方向向右，故B 正确。
6.如图6 所示，光滑的水平地面上，质量为m 的小球A 正以速度v 向右运动。与前面
大小相同质量为3m 的B 球相碰，则碰后A、B 两球总动能可能为( )
图6
A.mv2
B.mv2
C.mv2
D.mv2
答案 C
解析 若A、B 两球
生的是
性的碰撞，
没有能量的
失，碰后的
能
发
弹
则
损
总动
为
mv2，若
生的是
失能量最多的完全非
性碰撞，由
量守恒定律有
发
损
弹
动
mv＝4mv1，
碰后两者
能
则
总动
为Ek＝×4m＝mv2，因此，碰后两者
能范
是
总动
围
mv2≤E 总
≤mv2，C 正确，A、B、D
。
错误
7.(2020·北京卷，13)在同一竖直平面内，3 个完全相同的小钢球(1 号、2 号、3 号)悬挂
于同一高度；静止时小球恰能接触且悬线平行，如图7 所示。在下列实验中，悬线始
终保持绷紧状态，碰撞均为对心正碰。以下分析正确的是( )
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图7
A.将1 号球移至高度h 释放，碰撞后，观察到2 号球静止、3 号球摆至高度h。若2 号
球换成质量不同的小钢球，重复上述实验，3 号球仍能摆至高度h
B.将1、2 号球一起移至高度h 释放，碰撞后，观察到1 号球静止，2、3 号球一起摆至
高度h，释放后整个过程机械能和动量都守恒
C.将右侧涂胶的1 号球移至高度h 释放，1、2 号球碰撞后粘在一起，根据机械能守
恒，3 号球仍能摆至高度h
D.将1 号球和右侧涂胶的2 号球一起移至高度h 释放，碰撞后，2、3 号球粘在一起
向右运动，未能摆至高度h，释放后整个过程机械能和动量都不守恒
答案 D
解析 1 号球与
量不同的
质
2 号球相碰撞后，1 号球速度不
零，
为
则2 号球
得的
获
动
能小于1 号球撞2 号球前瞬
的
能，所以
间
动
2 号球与3 号球相碰撞后，3 号球
得的
获
能也小于
动
1 号球撞2 号球前瞬
的
能，
间
动
则3 号不可能
至高度
摆
h，故A
；
错误1、
2 号球
放后，三小球之
的碰撞
性碰撞，且三小球
成的系
只有重力做功，
释
间
为弹
组
统
所以系
的机械能守恒，但整个
程中，系
所受
统
过
统
合外力不
零，所以系
量不
为
统动
守恒，故B
；
错误1、2 号球碰撞后粘在一起，完全非
性碰撞，碰撞
程有机械能
为
弹
过
失，所以
损
1、2 号球再与3 号球相碰后，3 号球
得的
能不足以使其
至高度
获
动
摆
h，
故C
；碰撞后，
错误
2、3 号球粘在一起，完全非
性碰撞，碰撞
程有机械能
失
为
弹
过
损
且整个
程中，系
所受合外力不
零，所以系
的机械能和
量都不守恒，故
过
统
为
统
动
D
正确。
8.(2021·湖南岳阳质检)物理学中有一种碰撞被称为“超弹性连续碰撞”，通过能量
的转移可以使最上面的小球弹起的高度比释放时的高度更大。如图8 所示，A、B、C
三个弹性极好的小球，相邻小球间有极小间隙，三球球心连线竖直，从离地一定高
度处由静止同时释放(其中C 球下部离地H)，所有碰撞均为弹性碰撞，且碰后B、C
两球恰好静止，则下列说法错误的是( )
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图8
A.C 球落地前瞬间A 球的速度为
B.从上至下三球的质量之比为1∶2∶6
C.A 球弹起的最大高度为25H
D.A 球弹起的最大高度为9H
答案 C
解析 因为A、B、C 球由静止同
放，所以落地瞬
的速度相等，由自由落体运
时释
间
动
公式v2＝2gH，解得vA＝vC＝，A 正确；由
意可知，
题
C 球碰地，反向碰B 球，B 球再
反向碰A 球，因都是
性碰撞，
向上
正方向，由
量守恒定律和机械能守恒定
弹
设
为
动
律，所以C 球碰B 球有mCvC－mBvB＝mBvB′，mvCv＋mBv＝mBvB′2，B 球碰A 球有mBvB′
－mAvA＝mAvA′，mBvB′2＋mAv＝mAvA′2，由以上几式可得mA∶mB∶mC＝1∶2∶6，B 正
确；由B
分析解得
选项
vA′＝3，A 球
起的最大高度
弹
vA′2＝2ghmax，hmax＝＝9H，C 错误，
D 正确。
9.两物块A、B 用轻弹簧相连，质量均为2 kg，初始时弹簧处于原长，A、B 两物块都
以v＝6 m/s 的速度在光滑的水平地面上运动，质量为4 kg 的物块C 静止在前方，如
图9 所示。已知物块B 与物块C 碰撞后会粘在一起运动。在以后的运动中：
图9
(1)当弹簧的弹性势能最大时，物块A 的速度为多大？
(2)系统中弹性势能的最大值是多少？
答案 (1)3 m/s (2)12 J
解析 (1)
簧
至最短
，
性
能最大，由
量守恒定律得
弹
压缩
时
弹
势
动
(mA＋mB)v＝(mA＋
mB＋mC)vA，解得vA＝3 m/s。
(2)物块B、C 碰撞
程系
量守恒
过
统动
11
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mBv＝(mB＋mC)vC
故vC＝2 m/s
碰后
簧
到最短
性
能最大
弹
压缩
时弹
势
故Ep＝mAv2＋(mB＋mC)v－(mA＋mB＋mC)v＝12 J。
10.(2021·北京
城区一模
东
)如图10 所示，竖直平面内的四分之一圆弧轨道半径为R，
下端与水平桌面相切，小球A 从圆弧轨道顶端无初速滑下，与静止在圆弧轨道底端
的小球B 相碰，小球A 与小球B 碰撞后结合为一个整体，在水平桌面上滑动。已知
圆弧轨道光滑，小球A 和小球B 的质量相等，小球A、B 与桌面之间的动摩擦因数为
μ，重力加速度为g，小球A、B 均可视为质点。求：
图10
(1)碰撞前瞬间小球A 的速度大小v；
(2)碰撞后瞬间小球A 和小球B 整体的速度大小v′；
(3)小球A 和小球B 整体在水平桌面上滑行的最远距离l。
答案 (1) (2) (3)
解析 (1)
两小球
量均
设
质
为m，小球
对
A 从
弧
道
端滑到底端的
程，由机械
圆
轨
顶
过
能守恒定律有mgR＝mv2，解得v＝。
(2))
小球
对
A、B 碰撞的
程
用
量守恒定律有
过
应
动
mv＝2mv′，解得v′＝。
(3)
小球
对
A、B 整体在水平桌面上滑行的
程
用
能定理有
过
应
动
－μ·2mgl＝0－·2mv′2，解得l＝。
11.如图11 所示，一光滑的圆弧固定在小车的左侧，圆弧半径R＝0.8 m，小车的右侧
固定连有轻弹簧的挡板，弹簧处于原长状态，自由端恰在C 点，总质量为M＝3 kg，
小车置于光滑的地面，左侧靠墙，一物块从圆弧顶端上的A 点由静止滑下，经过B
点时无能量损失，最后物块停在车上的B 点。已知物块的质量m＝1 kg，物块与小车
间的摩擦因数为μ＝0.1，BC 长度为L＝2 m，g 取10 m/s2。求在运动过程中
图11
(1)弹簧的最大压缩量；
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(2)弹簧弹性势能的最大值。
答案 (1)1 m (2)3 J
解析 (1)由A 点到B 点的
程中，由
能定理得
过
动
mgR＝mv，解得vB＝4 m/s
从开始到静止于B 点系
量和能量守恒有
统动
mvB＝(M＋m)v
mv＝(M＋m)v2＋2μmg(L＋x)
解得x＝1 m。
(2)由B 点至将
簧
到最短，系
量守恒，取
弹
压缩
统动
vB方向
正方向
为
有mvB＝(M＋m)v′
此
的
性
能最大，由能量守恒可得
时
弹
势
mv＝(M＋m)v′2＋Ep＋μmg(L＋x)
由以上两式可得Ep＝3 J。
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