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专题16 动量能量在各类模型中的应用
目录
题型一 碰撞模型.............................................................................................................................1
类型1 一动一静的弹性碰撞..................................................................................................1
类型2 弹性碰撞中的“子母球”模型..................................................................................8
题型二 非弹性碰撞中的“动能损失”问题...............................................................................14
类型1 非弹性小球碰撞中的动能损失................................................................................14
类型2 滑块木板模型中的动能损失....................................................................................16
类型3 滑块-曲面模型中的动能损失问题...........................................................................17
类型4 小球-弹簧模型中的动能损失问题...........................................................................19
类型5 带电系统中动能的损失问题....................................................................................22
类型6 导体棒“追及”过程中的动能损失问题................................................................24
类型7 连接体绳子绷紧瞬间能量损失................................................................................29
题型三 碰撞遵循的规律...............................................................................................................35
类型1 碰撞的可能性............................................................................................................35
类型2 碰撞类型的识别........................................................................................................38
题型四 “滑块—弹簧”碰撞模型中的多过程问题...................................................................42
题型五 “滑块—斜(曲)面”碰撞模型........................................................................................51
题型六 滑块模型中的多过程.......................................................................................................59
题型七 子弹打木块模型中的能量动量问题...............................................................................64
题型八 两体爆炸（类爆炸）模型中的能量分配.......................................................................66
题型九 人船模型及其拓展模型的应用.......................................................................................73
题型十 悬绳模型...........................................................................................................................82
题型一 碰撞模型
类型1 一动一静的弹性碰撞．
以质量为m1、速度为v1的小球与质量为m2的静止小球发生弹性碰撞为例，则有
m1v1＝m1v1′＋m2v2′
m1v1
2＝m1v1′2＋m2v2′2
联立解得：v1′＝v1，v2′＝v1
1
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讨论：①若m1＝m2，则v1′＝0，v2′＝v1(速度交换)；
②若m1>m2，则v1′>0，v2′>0(碰后两小球沿同一方向运动)；当m1≫m2时，v1′≈v1，v2′≈2v1；
③若m1<m2，则v1′<0，v2′>0(碰后两小球沿相反方向运动)；当m1≪m2时，v1′≈－v1，v2′≈0.
【例1】（2024·广西·高考真题）如图，在光滑平台上有两个相同的弹性小球M 和N。M
水平向右运动，速度大小为v。M 与静置于平台边缘的N 发生正碰，碰撞过程中总机械能
守恒。若不计空气阻力，则碰撞后，N 在（ ）
A．竖直墙面上的垂直投影的运动是匀速运动
B．竖直增面上的垂直投影的运动是匀加速运动
C．水平地面上的垂直投影的运动速度大小等于v
D．水平地面上的垂直投影的运动速度大小大于v
【答案】BC
【详解】由于两小球碰撞过程中机械能守恒，可知两小球碰撞过程是弹性碰撞，由于两小
球质量相等，故碰撞后两小球交换速度，即
，
碰后小球N 做平抛运动，在水平方向做匀速直线运动，即水平地面上的垂直投影的运动速
度大小等于v；在竖直方向上做自由落体运动，即竖直地面上的垂直投影的运动是匀加速
运动。
故选BC。
【例2】（2023·重庆·高考真题）如图所示，桌面上固定有一半径为R 的水平光滑圆轨道，
M、N 为轨道上的两点，且位于同一直径上，P 为MN 段的中点。在P 点处有一加速器（大
小可忽略），小球每次经过P 点后，其速度大小都增加v0。质量为m 的小球1 从N 处以初
速度v0沿轨道逆时针运动，与静止在M 处的小球2 发生第一次弹性碰撞，碰后瞬间两球速
度大小相等。忽略每次碰撞时间。求：
（1）球1 第一次经过P 点后瞬间向心力的大小；
2
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（2）球2 的质量；
（3）两球从第一次碰撞到第二次碰撞所用时间。
【答案】（1）
；（2）3m；（3）
【详解】（1）球1 第一次经过P 点后瞬间速度变为2v0，所以
（2）球1 与球2 发生弹性碰撞，且碰后速度大小相等，说明球1 碰后反弹，则
联立解得
，
（3）设两球从第一次碰撞到第二次碰撞所用时间为Δt，则
所以
【变式演练1】如图所示，物块A 的质量
，与水平面间的动摩擦因数
，用
不可伸长的细线悬挂的小球的质量均为
，沿水平方向一字排列，物块A 与第1 个
小球及相邻两小球间的距离均为
，细线长度分别为L1，L2，L3，…，Ln（图中只画
出三个小球）。开始时，A 以大小
的速度向右运动，物块A 与小球发生的碰撞均
3
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为弹性碰撞（碰撞时间极短），碰后小球均恰好能在竖直平面内做完整的圆周运动并再次
与物块A 发生弹性碰撞，取重力加速度大小
，物块A 和所有小球均可视为质点，
不计空气阻力。下列说法正确的是（ ）
A．物块A 能与8 个小球碰撞
B．物块A 最多能与小球碰撞12 次
C．第5 个小球的悬线长为1m
D．第5 个小球的悬线长为0.62m
【答案】AD
【详解】AB．根据动量守恒定律得
根据机械能守恒定律
解得
碰后速度交换，根据动能定理得
解得
物块A 能与8 个小球碰撞，最多碰撞16 次，A 正确，B 错误；
CD．物块运动至第5 个小球处的速度为
碰后速度交换，根据机械能守恒定律得
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根据牛顿第二定律得
解得
C 错误，D 正确。
故选AD。
【变式演练1】在一个水平桌面上固定一个内壁光滑的半径为R 的管形圆轨道，俯视如图
所示，a、b、c、d 为圆上两条直径的端点，且ac 与bd 相互垂直。在内部放置A、B 两个小
球（球径略小于管径，管径远小于R），质量分别为
、
，开始时B 球静止于a 点，A
球在其左侧以
的初速度向右与B 球发生第一次碰撞且被反弹。已知小球之间的碰撞均为
对心弹性碰撞，第二次碰撞发生在b 点。则下列说法中正确的是（ ）
A．A、B 两球的质量比为
B．若只增大A 球的初速度
则第二次碰撞点可能在
之间某处
C．若只增大A 球的质量
则第二次碰撞点可能仍在b 处
D．若只增大A 球的质量
则第一、二次碰撞时间间隔不可能大于
【答案】CD
【详解】A．设第一次碰后A、B 两球的速度分别为
，
。根据动量守恒定律和能量守恒
定律有
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第二次碰撞发生在b 点，则有
联立解得
故A 错误；
BC．设第二次碰撞A 球转过的角度为
，则有
解得
可知
与初速度无关，即第二次碰撞点与A 球的初速度无关，若只增大A 球的质量
则
第二次碰撞点可能仍在b 处，故B 错误，C 正确；
D．两次碰撞间隔时间为
故D 正确；
故选CD。
【变式演练2】如图所示，小球1 从固定光滑斜面上某处由静止释放，滑过光滑水平桌面
后，落在水平地面上的N 点。若在水平桌面的边缘处放置另一小球2，再将小球1 从斜面
上同一位置由静止释放，使两小球发生弹性正碰，两小球在地面上的落点分别为M、P 点。
已知小球1 的质量为
，小球2 的质量为
，且
，O 点为桌面边缘在地面上的投
影，不计转弯处的机械能损失，两小球均可视为质点。下列说法正确的是（ ）
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A．碰撞后小球1 的落点为M 点
B．碰撞后小球1 的落点为P 点
C．图中点间距离满足的关系为
D．图中点间距离满足的关系为
【答案】BC
【详解】AB．设小球1 碰撞前的速度为
，取水平向右为正方向，因为球1 质量较小，可
知小球1 与小球2 碰撞后，球1 反向，设碰撞后球1 和球2 速度大小分别为
、
，根据动
量守恒和能量守恒有
解得
，
根据题意
，可得
，斜面光滑，小球1 反向到达最高点回到抛出点时速度大小
等于
，两球在做平抛运动的时间相等，故可知小球1 的水平位移较大，即碰撞后小球1
的落点为P 点，A 错误，B 正确；
CD．当小球1 单独释放时有
小球1 与小球2 碰撞后有
，
可得
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C 正确，D 错误。
故选BC。
【变式演练3】弹珠游戏对同学们稍显陌生，但它却是许多80 后难忘的童年记忆。其示意
图如图所示，水平地面上相距x=3 m 的地方分别有可视为质点、大小相同的球形弹珠A、
B，两者质量关系为mA=3mB，假设两弹珠在水平地面上行进时受到的阻力（包括空气阻力
和摩擦力等）均恒为其重力的k 倍。现给弹珠A 一个v0=4 m/s 的初速度，使其与静止的弹
珠B 发生弹性碰撞，碰撞前后A、B 均沿同一直线运动。已知k=0.2，g=10 m/s2。求：
（1）弹珠A 与弹珠B 碰撞前瞬间，弹珠A 的速度大小vA；
（2）在碰撞刚结束时弹珠A 和弹珠B 的速度大小
、
；
（3）弹珠A 和弹珠B 之间最终的距离。
【答案】（1）
；（2）
，
；（3）
【详解】（1）对弹珠A，在碰撞前的加速度为a，根据牛顿第二定律可得
解得
a
方向：与
方向相反。设碰撞前弹珠A 的速度为
，由运动学公式有
解得
（2）碰撞过程中弹珠A、B 系统动量守恒，机械能守恒。以向右为正方向，根据题意得
8
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解得
（3）碰撞之后弹珠A 和弹珠B 分别向右做匀减速直线运动，设从碰撞后到停下来弹珠A
的位移为
，弹珠A 的位移为
。由动能定理可得
对弹珠A
对弹珠B
解得
m，
m
因此弹珠A 和弹珠B 最终的距离
类型2 弹性碰撞中的“子母球”模型
m1v1＋m2v2＝m1v1′＋m2v2′
m1v＋m2v＝m1v1′2＋m2v2′2
v1′＝
v2′＝
【例1】如图所示，将两个质量分别为m1=60g、m2=30g 的小球A、B 叠放在一起，中间留
有小空隙，从初始高度h0=1.8m 处由静止释放。A 球与地面碰撞后立即以原速率反弹，A
球与B 球碰撞的时间为0.01s，不计空气阻力，取向上为正方向，B 球的速度时间图象如图
乙所示，g 取10m/s2（ ）
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A. B 球与A 球碰前的速度大小为6m/s
B. 两球碰撞过程中，B 球的重力冲量与A 对B 球的冲量大小比值为1：101
C. A、B 两球发生的是弹性碰撞
D. 若m2<m1，第一次碰撞后，m2球上升的最大高度可能大于17m
【答案】AB
【解析】由机械能守恒定律可知
解得
两物体落地前的速度
根据动量定理，A 和B 相互作用过程中，B 动量
变化量等于合力的冲量
重力的冲量为
因为A、B 作用时间极短，重力对系统的冲量远小于系统总动量，可以视系统动量守恒，
根据动量守恒
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得A 碰后速度为
，计算知
碰撞前后，系统机械能有损失，不是弹性碰撞。若不计系统重力的影响，且m2<<m1，由动
量守恒
不计碰撞损失，由能量关系
联立解得
因m2<<m1，则v1=3v0，则m2球上升的最大高度
h2=9h0=16.2m
故AB 正确CD 错误。
故选AB。
【例2】物理课堂上，老师带同学们做了一个有趣的实验：如图甲所示，老师让某同学将
一个网球叠放在一个充足气的篮球上，举到头顶附近，然后一起由静止释放，发现网球和
篮球碰撞后，被反弹的网球能打到教室的天花板。若将该实验简化为如图乙所示模型，网
球和篮球均可视为质点，篮球和地面碰撞完成后恰与网球碰撞，所有碰撞均为弹性碰撞。
已知网球的质量为
，篮球的质量为
，初始释放高度为
，篮球和网
球的球心始终在同一竖直线上，不计空气阻力，取重力加速度
，求：
（1）篮球落地前瞬间，网球和篮球共同的速度大小；
（2）网球反弹后能达到的最大高度
；
（3）若用一个质量远远小于篮球质量的弹性小球替代网球重复该实验，其他条件不变，求
弹性小球反弹后能够上升的最大高度。
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【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）设篮球触地前瞬间，篮球与网球的速度大小为，根据动能定理可得
解得
（2）规定竖直向上为正方向，设篮球与地面发生弹性碰撞后瞬间，网球的速度为
，篮球
的速度为
，有
，
。设碰后瞬间，网球和篮球的速度分别为
，网
球与篮球发生弹性碰撞，可得
根据匀变速直线运动的规律可得
代入相关已知数据解得
（3）由题意，设弹性小球与篮球发生弹性碰撞后瞬间，弹性小球的速度为
，篮球的速
度为
，有
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可得
当
时，
可取得极大值，可得
设弹性小球能上升的最大高度为
，由
解得
【变式演练1】伽利略大炮是一种极为简易的机械发射装置，由伽利略于1590 年左右发明。
现我们共同研究伽利略大炮的实验，先将500g 的弹性大球单独自由释放，落地反弹高度为
下落高度的0.64 倍。现在弹性大球上将弹性小球逐个叠放，并将它们从距地面0.8m 高处
自由释放，如图所示。已知各球相互接触且重心在同一竖直线上，每个弹性球的质量为该
球下面接触球质量的一半，各球之间均发生弹性碰撞，作用时间极短，无论弹性大球上面
是否叠放弹性小球及叠放几个弹性小球，弹性大球与地面碰撞过程中能量损失均保持不变，
重力加速度g 取
，忽略空气阻力。
（1）若将弹性大球单独从距地面0.8m 高处自由释放，求地面对弹性大球所做的功；
（2）若弹性大球上端只放一个弹性小球，求两球碰撞过程中弹性大球对弹性小球的冲量大
小；
（3）若要使最上端的弹性小球上升高度不低于45m，求至少需要叠放多少个弹性小球？
【答案】（1）
；（2）
；（3）弹性大球上至少叠放6 个弹性小球
【详解】（1）设弹性大球与地面碰撞前的速度大小为
，与地面碰撞后的速度大小为
，
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地面对弹性大球所做的功为
，由运动学规律可得，上升过程
下落过程
由动能定理可得
解得
（2）弹性小球与弹性大球发生弹性碰撞，设弹性大球碰后的速度为
，弹性小球碰前与
碰后的速度分别为
，取向上为正方向，由动量守恒定律和能量守恒定律可得
由动量定理可得
解得
（3）由（2）可得第一个弹性小球与弹性大球碰撞之后速度为
整理可得
同理可得第二个弹性小球与第一个弹性小球碰撞之后的速度为
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整理可得
……
由数学知识可得
由于要使最上端的弹性小球上升高度不低于
，由运动学规律可得
则
解得
时
时
故弹性大球上至少叠放6 个弹性小球。
【变式演练2】如图所示为大球和小球叠放在一起、在同一竖直线上进行的超级碰撞实验，
可以使小球弹起并上升到很大高度。将质量为3m 的大球（在下），质量为m 的小球（在
上）叠放在一起，从距地面高h 处由静止释放，h 远大于球的半径，不计空气阻力。假设
大球和地面、大球与小球的碰撞均为完全弹性碰撞，且碰撞时间极短。下列说法正确的是
（ ）
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A．两球一起下落过程中，小球对大球的弹力大小为mg
B．大球与地面碰撞前的速度大小为
C．大球与小球碰撞后，小球上升的高度仍为h
D．若大球的质量远大于小球的质量，小球上升的最大高度为3h
【答案】B
【详解】A．两球一起下落过程中，两球都处于完全失重状态，小球对大球的弹力大小为
0，A 错；
B．根据自由落体运动
得
B 正确；
CD．大球碰撞地之后，速度瞬间反向，大小相等，两球碰撞前后动量守恒，机械能守恒，
设碰撞前小球和大球的速度分别
和
，碰后两球的速度分别为
和
由动量守恒定律
由机械能守恒定律
两式联立解得
将
，
带入上式解得
反弹后高度为
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C 错误，
D.若大球的质量远大于小球的质量，
会更大，小球上升的最大高度会更高，故D 也错误；
故选B.
题型二 非弹性碰撞中的“动能损失”问题
1.非弹性碰撞
碰撞结束后，动能有部分损失。
m1v1＋m2v2＝m1v1′＋m2v2′
m1v＋m2v＝m1v1′2＋m2v2′2＋ΔEk 损
3.完全非弹性碰撞
碰撞结束后，两物体合二为一，以同一速度运动，动能损失最大。
m1v1＋m2v2＝(m1＋m2)v
m1v＋m2v＝(m1＋m2)v2＋ΔEk 损max
类型1 非弹性小球碰撞中的动能损失
【例1】某次冰壶运动训练中，甲壶与静止的乙壶发生正碰。已知冰面粗糙程度处处相同，
不计空气阻力，两壶完全相同且均可视为质点，碰撞时间极短可不计，碰撞前、后两壶运
动轨迹始终在同一水平直线上。从开始碰撞到两壶都静止过程中，测得乙壶位移是甲壶位
移的k 倍，则（ ）
A．k<1
B．k 值越大，两壶碰撞过程中损失机械能越大
C．k 值越大，两壶碰撞过程中损失机械能越小
D．碰撞后瞬时，乙壶速度为零
【答案】C
【详解】A．甲乙碰撞瞬间动量守恒，即
且有
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所以
故A 错误；
BC．两壶碰撞过程中损失的机械能为
变形可得
由此可知，当k=1 时，损失的机械能达到最大，随着k 增大，损失的机械能减小，故B 错
误，C 正确；
D．由于两壶完全相同，所以碰撞后瞬时乙壶速度一定大于零，故D 错误。
故选C。
【变式演练】在光滑水平面上甲、乙两个小球发生碰撞后粘在一起，两球运动的位移时间
变化如图所示，已知甲球的质量
，则碰撞过程中损失的能量为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】设乙球的质量为
，甲、乙碰前的速度为v1、v2，碰后的速度为v3，由动量守恒
得
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代值可得
得乙球的
则碰撞过程中两物块损失的机械能
故ACD 错误，B 正确。
故选B。
类型2 滑块木板模型中的动能损失
【例2】(多选)长木板A 放在光滑的水平面上，质量为m＝2 kg 的另一物体B 以水平速度v0
＝2 m/s 滑上原来静止的长木板A 的上表面，由于A、B 间存在摩擦，之后A、B 速度随时
间变化情况如图所示，g＝10 m/s2.则下列说法正确的是( )
A．木板获得的动能为1 J
B．系统损失的机械能为2 J
C．木板A 的最小长度为2 m
D．A、B 间的动摩擦因数为0.1
【答案】 ABD
【解析】 由题图可知，最终木板获得的速度为v＝1 m/s，A、B 组成的系统动量守恒，以
B 的初速度方向为正方向，由动量守恒定律得mv0＝(M＋m)v，解得M＝2 kg，则木板获得
的动能为Ek＝Mv2＝×2×12 J＝1 J，故A 正确；系统损失的机械能ΔE＝mvB
2－(m＋M)v2，代
入数据解得ΔE＝2 J，故B 正确；根据v－t 图像中图线与t 轴所围的面积表示位移，由题图
得到0～1 s 内B 的位移为xB＝×(2＋1)×1 m＝1.5 m，A 的位移为xA＝×1×1 m＝0.5 m，则木
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板A 的最小长度为L＝xB－xA＝1 m，故C 错误；由题图可知，B 的加速度a＝＝ m/s2＝－1
m/s2，负号表示加速度的方向与v0的方向相反，由牛顿第二定律得－μmBg＝mBa，解得μ＝
0.1，故D 正确．
【变式演练】质量为m 的矩形木板ae，放在光滑水平面上，b、c、d 是ae 的4 等分点。质
量为M 的物块以一定的初速度从a 点水平滑上粗糙木板，物块的宽度不计，且
，经
过一段时间物块停在木板上。若图是物块刚滑上木板时的物块与板的位置状态，下图是物
块刚与木板达到共同速度时的位置，下列示意图正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】地面光滑，物块A 与木板B 组成的系统所受合外力为零，系统动量守恒，以向右
为正方向，由动量守恒定律得
对m 有
设相对位移为
，对M 有
整理得
因为
，所以
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解得
故B 正确ACD 错误。
故选B。
类型3 滑块-曲面模型中的动能损失问题
【例3】（2024·青海海南·一模）如图所示，一个质量为M 的滑块放置在水平面上，滑块
的一侧是一个四分之一圆弧
圆弧半径
。E 点与水平面相切。另有一个质量为m
的小球以
的初速度水平向右从E 点冲上滑块，若小球刚好没越过圆弧的上端，已
知重力加速度大小
不计一切摩擦。则滑块与小球质量的比值
为
（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】C
【详解】根据题意，小球上升到滑块上端时，小球与滑块的速度相同，设为
，根据动量
守恒定律有
根据机械能守恒定律有
联立解得
故选C。
【变式演练1】如图所示，光滑的四分之一圆弧轨道M 静止在光滑水平面上，一个物块m
在水平地面上以大小为v0的初速度向右运动并无能量损失地滑上圆弧轨道，当物块运动到
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圆弧轨道上某一位置时，物块向上的速度为零，此时物块与圆弧轨道的动能之比为1 2∶，则
此时物块的动能与重力势能之比为(以地面为参考平面)( )
A．1 2
∶
B．1 3
∶
C．1 6
∶
D．1 9∶
【答案】 C
【解析】 因为水平面光滑，m 和M 组成的系统水平方向动量守恒；当物块向上的速度为
零时，根据题意可知此时物块与圆弧轨道速度相同，又因为此时物块与圆弧轨道的动能之
比为1 2∶，即mv2∶Mv2＝1 2∶，得m∶M＝1 2∶，根据动量守恒定律：mv0＝(m＋M)v，得：v0＝
3v，根据能量守恒定律：mv0
2＝(m＋M)v2＋Ep，得物块的重力势能为Ep＝mv0
2，此时物块的
动能为Ek＝mv2＝mv0
2，所以此时物块的动能与重力势能之比为Ek∶Ep＝1 6∶，故C 正确，A、
B、D 错误．
【变式演练2】如图所示，一带有半径足够大的光滑圆弧轨道的小车的质量
，小车
静止在光滑水平地面上，圆弧下端水平。有一质量
的小球以水平初速度
从圆弧下端滑上小车，重力加速度
取
。下列说法正确的是（ ）
A．在小球滑到最高点的过程中，小球与小车组成的系统机械能守恒
B．在小球滑到最高点的过程中，小球与小车组成的系统动量守恒
C．小球沿圆弧轨道上升的最大高度时的速度大小为1m/s
D．小球沿圆弧轨道上升的最大高度为0.6m
【答案】ACD
【详解】A．在小球滑到最高点的过程中，小球与小车组成的系统机械能守恒，选项A 正
确；
B．在小球滑到最高点的过程中，小球与小车组成的系统水平方向不受外力，水平方向动
量守恒，但竖直方向动量不守恒，选项B 错误；
22
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CD．小球与小车组成的系统水平方向动量守恒，小球沿圆弧轨道上升的最大高度为，两
者共同速度大小为
解得
小球与小车组成的系统机械能守恒
解得
选项CD 正确。
故选ACD。
类型4 小球-弹簧模型中的动能损失问题
【例4】如图所示，光滑水平地面上的P、Q 两物体质量均为m，P 以速度v 向右运动，Q
静止且左端固定一轻弹簧。当弹簧被压缩至最短时（ ）
A．P 的动量为0
B．Q 的动量达到最大值
C．P、Q 系统总动量小于mv
D．弹簧储存的弹性势能为
【答案】D
【详解】A．当弹簧被压缩至最短时，两物体速度相同，P、Q 系统所受外力为零，因此整
个过程中动量守恒
23
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所以P 的动量为
故A 错误；
B．弹簧压缩至最短后，Q 的速度将继续变大，当弹簧恢复原长时，Q 的动量达到最大值，
故B 错误；
C．P、Q 系统动量守恒，总动量为
故C 错误；
D．根据动量守恒和能量守恒
，
解得
故D 正确。
故选D。
【变式演练1】A、B 两小球静止在光滑水平面上，用轻弹簧相连接，A、B 两球的质量分
别为m 和
。若使A 球获得瞬时速度v（如图甲），弹簧压缩到最短时，A 球的
速度为
，B 球的速度为
，弹簧的长度为L；若使B 球获得瞬时速度v（如图乙），弹簧
压缩到最短时，A 球的速度为
，B 球的速度为
，弹簧的长度为L'。则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】根据题意可知，无论图甲还是图乙，当弹簧压缩到最短时，两球的速度相等，则
有
24
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，
图甲中，由动量守恒定律有
解得
由能量守恒定理可得，弹簧压缩到最短时，弹簧的弹性势能为
图乙中，由动量守恒定律有
解得
由能量守恒定理可得，弹簧压缩到最短时，弹簧的弹性势能为
可知
两图中弹簧压缩到最短时，弹簧的弹性势能相等，则有
故选D。
【变式演练2】如图甲所示，光滑水平地面上有A、B 两物块，质量分别为2kg、6kg，B 的
左端拴接着一劲度系数为
的水平轻质弹簧，它们的中心在同一水平线上。A 以速
度v0向静止的B 方向运动，从A 接触弹簧开始计时至A 与弹簧脱离的过程中，弹簧长度l
与时间t 的关系如图乙所示，弹簧始终处在弹性限度范围内，已知弹簧的弹性势能
25
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（x 为弹簧的形变量），则（ ）
A．在0~2t0内B 物块先加速后减速
B．整个过程中，A、B 物块构成的系统机械能守恒
C．v0=2m/s
D．物块A 在t0时刻时速度最小
【答案】C
【详解】A．在0~2t0内，弹簧始终处于压缩状态，即B 受到的弹力始终向右，所以B 物块
始终做加速运动，故A 错误；
B．整个过程中，A、B 物块和弹簧三者构成的系统机械能守恒，故B 错误；
C．由图可知，在t0时刻，弹簧被压缩到最短，则此时A、B 共速，此时弹簧的形变量为
则根据A、B 物块系统动量守恒有
根据A、B 物块和弹簧三者构成的系统机械能守恒有
联立解得
故C 正确；
D．在0~2t0内，弹簧始终处于压缩状态，即A 受到弹力始终向左，所以A 物块始终做减速
运动，则物块A 在2t0时刻时速度最小，故D 错误。
故选C。
26
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类型5 带电系统中动能的损失问题
【例5】如图所示，在倾角为
的足够长的绝缘固定斜面上，静止放置有质量分别为
、
的两金属块A、B，其中A 带电量为
，B 不带电。现让金属块A 以初速度
沿斜面
向下运动，一段时间后与金属块B 发生弹性正碰，且碰撞后A、B 带电荷量均为
。已知
金属块与斜面间的滑动摩擦因数为
，下列说法正确的是（ ）
A．碰撞前，A 沿斜面做匀加速直线运动
B．碰撞后，A、B 都沿斜面向下运动的过程中总动量守恒
C．碰撞后，当A 的速度为
时，B 的速度为
D．碰撞后，A、B 系统的电势能先减小后不变
【答案】BC
【详解】A．由于
则有
可知碰撞前，A 沿斜面做匀速直线运动，故A 错误；
BC．碰撞后，A、B 都沿斜面向下运动的过程中，由于
，
A、B 之间的库仑斥力为A、B 组成系统的内力，则A、B 组成系统所受外力之和为零，系
统满足动量守恒，当A 的速度为
时，有
解得
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故BC 正确；
D．碰撞后，对于金属框A、B 组成的系统，由于A、B 之间存在库仑斥力，且A、B 两者
距离逐渐增大，可知库仑斥力对系统做正功，则系统的电势能逐渐减小，故D 错误。
故选BC。
【变式演练1】如图所示，在光滑绝缘水平面上，A、B 两小球质量分别为2m、m，带电荷
量分别为＋q、＋2q。某时刻A 有指向B 的速度v0，B 球速度为零，之后两球在运动中始终
未相碰，当两小球从该时刻开始到第一次相距最近的过程中( )
A．任意时刻A、B 两小球的加速度大小之比均为1 2∶
B．两小球构成的系统动量守恒，电势能减少
C．A 球减少的机械能大于B 球增加的机械能
D．电场力对A 球做功的大小为mv
【答案】 AC
【解析】 两球所受的库仑力为作用力与反作用力，大小相等，由F＝ma 知两球的加速度
之比＝＝，故A 正确；两球组成的系统所受合外力为零，系统动量守恒，从A 开始运动到
两球距离最近过程，两球间的距离减小，电势能增大，机械能减少，故B 错误；由能量守
恒定律可知，减少的机械能转化为电势能，系统电势能增加，两球组成的系统动量守恒，
两球距离最近时，两球速度相等，由动量守恒定律得2mv0＝(2m＋m)v，解得v＝v0，A 球减
少的机械能为ΔEkA＝·2mv－·2m＝mv，B 球增加的机械能为ΔEkB＝m＝mv，所以A 球减少的
机械能大于B 球增加的机械能，故C 正确；由动能定理可知，电场力对A 球做功大小W＝
·2mv－·2mv2＝mv，故D 错误。
【变式演练2】如图(a)所示，光滑绝缘水平面上有甲、乙两个带电小球，t＝0 时，甲静止，
乙以v＝6 m/s 的初速度向甲运动。它们仅在静电力的作用下沿同一直线运动(整个运动过
程中没有接触)，它们运动的v－t 图象分别如图(b)中甲、乙两曲线所示。则由图线可知(
)
28
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A.两小球带电的电性一定相反
B.甲、乙两球的质量之比为2 1∶
C.t2时刻，乙球的电势能最大
D.在0～t3时间内，甲的动能一直增大，乙的动能一直减小
【答案】 B
【解析】 由题图可知乙球减速的同时，甲球正向加速，说明两球相互排斥，带有同种电
性的电荷，故A 错误；两球作用过程动量守恒，有m 乙Δv 乙＝m 甲Δv 甲，解得＝，故B 正确；
t1时刻，两球共速，此时两球间距离最近，则此时乙球的电势能最大，故C 错误；在0～t3
时间内，甲的动能一直增大，乙的动能先减小，t2时刻后逐渐增大，故D 错误。
类型6 导体棒“追及”过程中的动能损失问题
【例6】（2024·河北·三模）如图所示，两根电阻不计、足够长的平行光滑金属导轨MN、
PQ 固定在绝缘水平面上，导轨间距为L，导轨所在空间存在方向竖直向上、磁感应强度大
小为B 的匀强磁场，两根金属杆a、b 间隔一定距离静止于导轨上，两杆与导轨垂直且接触
良好，杆a、b 的电阻分别为R 和3R，杆a、b 的质量分别为3m 和m。现使杆a 获得一个
大小为
、水平向右的初速度。
（1）当杆b 的速度大小为
时（两杆未相撞），求此时杆b 受到的安培力大小F；
（2）若整个运动过程中两杆未相撞，求整个运动过程中杆a 产生的焦耳热
；
（3）若初始位置时两杆之间的距离
，通过计算判断两杆在整个运动过程中是否
相撞。
29
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【答案】（1）
；（2）
；（3）会相撞
【详解】（1）以向右为正方向，金属杆a、b 组成的系统在水平方向受力平衡，由动量守
恒定律可得
得
回路中产生的感应电动势为
回路中的电流
杆b 受到的安培力大小
（2）在整个运动中，金属杆a、b 组成的系统动量守恒，则有
由能量守恒定律可知
a 产生的焦耳热
（3）设初始位置时两杆之间距离至少为x，取在很短时间∆t 内，利用动量定理对杆b 分析，
则有
30
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两边求和可得
即为
由于
得
所以会相撞。
【变式演练1】如图所示，在绝缘水平面上固定两根足够长的间距为L 的光滑平行金属导
轨，导轨间有方向竖直向下的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为B。质量均为m，接入
电路的阻值均为R 的金属棒ab 和cd 垂直于导轨放置，均处于静止状态。现同时给金属棒
ab、cd 一个水平方向的初速度，ab 棒的初速度大小为
，方向水平向左，cd 棒的初速度大
小为
，方向水平向右。金属棒始终与导轨垂直且接触良好，不计导轨电阻，下列说法
正确的是（ ）
A．整个运动过程，ab 棒上产生的焦耳热为
B．整个运动过程，ab 棒上产生的焦耳热为
C．最终金属棒ab、cd 间的距离比初始时的距离增大
31
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D．最终金属棒ab、cd 间的距离比初始时的距离增大
【答案】BD
【详解】AB．
棒存在方向水平向左、大小为
的初速度，cd 棒的初速度大小为
，方
向水平向右，此时磁通量改变，电路产生感应电流，在安培力的作用下，两棒同时运动，
最终闭合回路间的磁通量不发生改变，即金属棒
和
共速，由水平方向上动量守恒，
以向右为正方向，可得
解得
由能量守恒可得
解得
棒产生的焦耳热为
故A 错误，B 正确；
CD．对导体棒cd 由动量定理
其中
解得
故C 错误，D 正确。
32
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故选BD。
【变式演练2】如图，水平面上有两条相距为L 的足够长光滑平行金属导轨，在导轨上相
隔某一距离垂直导轨静置长度均为L 的金属棒a 和b，垂直导轨的虚线MN 右侧存在垂直导
轨平面向上的匀强磁场，匀强磁场磁感应强度为B，导轨左端接有电压传感器。现让金属
棒a、b 分别以速度
、
向右运动，
时刻金属棒b 经过MN 进入磁场区域，当金属
棒a 刚进入磁场时，电压传感器的示数
。已知金属棒a、b 材质相同，a、b 棒的
质量分别为2m、m，a 棒电阻为R。导轨电阻不计，不考虑电压传感器对电路的影响，磁
场区域足够大，下列说法正确的是（ ）
A．从
时刻开始，电压传感器的示数逐渐减小
B．改变a、b 两棒间初始距离，不会改变两棒的最终速度
C．当金属棒a 刚进入磁场时，a、b 两棒间的距离为
D．整个过程中金属棒a 上产生的焦耳热为
【答案】CD
【详解】A．当金属棒a 进入磁场后，产生的感应电动势为
，根据右手定则，从上往
下看，方向为逆时针，由于电压传感器的示数为
，大于
，金属棒b 表明产生的
感应电动势大于
，根据右手定则，从上往下看，方向为顺时针，两金属棒均在切割磁
感线，回路总的电动势等于两金属棒各自切割磁感线产生的电动势之差，可知，回路中感
应电流从上往下看，方向为顺时针，金属棒a 所受安培力方向向右，其做加速运动，金属
棒b 所受安培力方向向左，其做减速运动，回路总的电动势
金属棒a、b 材质相同，即密度
相同，则有
33
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，
解得
金属棒a 进入磁场后，回路总的感应电流
电压传感器的示数
解得
由于金属棒a 进入磁场后，系统的总动量为
由于金属棒a 进入磁场后，两金属棒构成的系统动量守恒，可知，
为一个定值，表
明从
时刻开始，电压传感器的示数不变，故A 错误；
B．结合上述可知，金属棒a 进入磁场前做匀速直线运动，此时，金属棒b 做减速运动，系
统的总动量减小，金属棒a 进入磁场后，系统的动量守恒，可知，a、b 两棒间初始距离越
大，两棒的最终速度越小，故B 错误；
C．当金属棒a 刚进入磁场时有
根据欧姆定律有
解得
从金属棒b 开始进入磁场，到金属棒a 刚刚进入磁场过程，对金属棒b 进行分析，根据动
34
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量定理有
根据欧姆定律有
其中
解得
故C 正确；
D．从金属棒a 刚刚进入磁场到两金属棒最终达到稳定状态时，根据动量守恒定律有
从金属棒b 开始进入磁场，到最终两金属棒达到稳定状态过程，回路总的焦耳热
整个过程中金属棒a 上产生的焦耳热
解得
故D 正确。
故选CD。
类型7 连接体绳子绷紧瞬间能量损失
【例题】如图所示，质量均为
的物块A、B 用绕过光滑轻质定滑轮的不可伸长的刚性
轻绳连接，A 与地面接触，B 离地面的高度为，质量为
的圆环C 套在轻绳上，C 在B
35
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上方
处。由静止释放圆环C，C 下落后与B 碰撞并粘在一起，碰撞时间极短，不计C 与
绳之间的摩擦和空气阻力，A、B、C 均可视为质点，重力加速度为
，求：
（1）B、C 碰撞后瞬间，共同速度为多大；
（2）碰撞后，B 经过多长时间到达地面；
（3）若C 与B 发生的是弹性碰撞，则碰撞后当B 运动到地面时C 离地面的高度为多少。
【答案】（1）
；（2）
；（3）0
【详解】（1）设C 与B 碰撞前瞬间速度大小为
，根据机械能守恒有
解得
设碰撞后共同速度为，根据动量守恒有
解得
（2）C 与B 碰撞后粘在一起，一起向下做匀加速直线运动，设加速度为
，根据牛顿第二
定律
解得
36
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设运动时间为，根据运动学公式
解得
（3）若C 和B 发生的是弹性碰撞，设碰撞后C 和B 的速度大小分别为
，根据动量守
恒有
根据能量守恒
解得
碰撞后B 做匀速直线运动，从碰撞到B 运动到地面所用时间
这段时间内，圆环C 做竖直上抛运动，设运动的位移为
，则
即当物块B 到达地面时，C 也刚好运动到地面，即这时C 离地面的高度为0。
【例2】（2024·广东·二模）如图所示，可视为质点的完全相同的A、B 两小球分别拴接在
一轻弹性绳的两端，两小球质量均为m，且处于同一位置（离地面足够高）。弹性绳原长
为L，始终处于弹性限度内，且满足胡克定律。
时刻，让A 球自由下落的同时B 球以
速度
水平向右抛出，弹性绳从开始出现弹力到第一次恢复原长所用时间为
。已知重力
加速度为g，两个小球发生的碰撞为弹性碰撞，碰撞时间极短忽略不计，不计一切阻力，
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下列说法正确的是（ ）
A．当弹性绳第一次最长时，B 球的动量大小为
B．弹性绳的最大弹性势能为
C．从0 时刻到弹性绳第一次恢复原长时，重力的冲量为
D．两小球碰撞的时刻为
【答案】BD
【详解】A．当弹性绳第一次最长时，两小球水平方向上动量守恒
得
但由于其竖直方向上也有速度，故其动量大小不是
，故A 错误；
B．水平方向上共速时弹性势能最大，设此时两小球竖直速度均为
，则根据能量守恒可
得
同时
，可得
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故B 正确；
C．当小球第一次恢复原长时，经历的时间为
故重力的冲量为
故C 错误；
D．根据弹性碰撞的规律，每次碰撞后，两小球速度交换，从开始运动到两小球第一次相
碰，经历的时间为
，之后两小球在水平方向上呈现周期性运动，周期均为
，
故两小球碰撞的时刻为
故D 正确。
故选BD。
【变式演练1】如图所示，不可伸长的轻质细线跨过轻质滑轮连接两个质量分别为
、
的物体A、B，质量为
的物体C 中间有孔，套在细线上且可沿细线无摩擦滑动。初始时
使三个物体均处于静止状态，此时A、B 离地面的高度均为。物体C 在B 上方处。同时
由静止释放三个物体，一段时间后，C 与B 发生碰撞并立即粘在一起。已知重力加速度大
小为
，整个过程中细线未断裂，物体均可视为质点，不计阻力的影响。下列说法正确的
是（ ）
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A．从释放三个物体到C 与B 发生碰撞经历的时间为
B．碰撞结束后A 的速度为零
C．A 最终离地面的高度为
D．碰撞过程中，三个物体损失的机械能为
【答案】BD
【详解】A．根据牛顿第二定律，对A
对B
解得
物体B 向上与物体C 向下过程中，根据
解得
故A 错误；
B．碰前的瞬间物体A 与物体B 速度的大小
碰前的瞬间物体C 速度的大小
以向下为正方形，根据动量守恒
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解得
由于此时物体BC 与物体A 的速度相等，方向都为向下，质量也相等，所以两个物体速度
都为0，故B 正确；
C．物体A 下降和物体B 上升的距离
A 最终离地面的高度为
故C 错误；
D．物体B 与C 碰撞前整体机械能守恒，以地面为零势能面，最初整体的机械能
碰撞后整体的机械能
三个物体损失的机械能为
故D 正确。
故选BD。
【变式演练2】如图所示，在光滑的水平面上，有一质量为m 的木板A，通过不可伸长的
轻绳与质量2m 的足够长的木板B 连接。质量为m 可看成质点的物块C 静止在木板B 右端。
开始时，A、B、C 均静止，绳未拉紧。现在使木板A 以
的速度向右运动，经过一段时间
后系统达到稳定状态。绳子拉直绷紧后瞬间，A、B 同速，在绳子绷紧后瞬间，下列说法中
正确的是（ ）
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A．木板A 的速度大小为
B．木板B 的速度大小为
C．物块C 的速度大小为0
D．木板A、B、C 共速
【答案】C
【详解】绳子从拉直到绷紧过程极短，对A、B 组成的系统，C 对B 的摩擦力远小于系统
内力，所以A、B 组成的系统水平方向动量守恒，设绳子绷紧后瞬间AB 的速度为v，则有
解得
在极短的时间内，C 所受摩擦力的冲量可以忽略，所以C 的速度仍然是0，故ABD 错误，
C 正确。
故选C。
题型三 碰撞遵循的规律
1．碰撞问题遵守的三条原则
(1)动量守恒：p1＋p2＝p1′＋p2′.
(2)动能不增加：Ek1＋Ek2≥Ek1′＋Ek2′.
(3)速度要符合实际情况
①碰前两物体同向运动，若要发生碰撞，则应有v 后>v 前，碰后原来在前的物体速度一定增
大，若碰后两物体同向运动，则应有v 前′≥v 后′.
②碰前两物体相向运动，碰后两物体的运动方向至少有一个改变．
2．物体A 与静止的物体B 发生碰撞，当发生完全非弹性碰撞时损失的机械能最多，物体B
的速度最小，vB＝v0，当发生弹性碰撞时，物体B 速度最大，vB＝v0.则碰后物体B 的速度范
围为：v0≤vB≤v0.
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类型1 碰撞的可能性
【例1】两质量分别为
、
的小球P、Q 在光滑水平面上沿同一直线同
向运动，已知小球P、Q 的动量大小均为
，经过一段时间小球P 追上小球Q 且发生
碰撞，则碰后小球P、Q 的动量可能为（ ）
A．
、
B．
、
C．
、
D．
、
【答案】CD
【详解】A．两球碰撞过程中动量守恒，且应遵循能量不增加的原理，碰后前球的速度应
大于后球的速度。碰前系统的总动量为
，碰后系统的总动量仍为
；碰前
系统的总动能为
A 项中碰后系统的总动能为
A 错误；
B．碰后P 球的速度为
Q 球的速度为
后球的速度大于前球，不合理，B 错误；
C．C 项中碰后系统的总动能为
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碰后P 球的速度为零，C 正确；
D．D 项中碰后P 球的速度为
Q 球的速度为
碰后系统的总动能为
小于碰前的总动能，D 正确。
故选CD。
【变式演练1】在光滑水平面上，有两个小球A、B 沿同一直线同向运动，B 在前，A 在后。
已知碰前两球的动量分别为pA＝12 kg·m/s、pB＝13 kg·m/s，碰撞前后，它们动量的变化量
分别为ΔpA、ΔpB。下列数值可能正确的是（ ）
A．ΔpA＝－4 kg·m/s、ΔpB＝4 kg·m/s
B．ΔpA＝4 kg·m/s、ΔpB＝－4 kg·m/s
C．ΔpA＝－24 kg·m/s、ΔpB＝24 kg·m/s
D．ΔpA＝24 kg·m/s、ΔpB＝－24 kg·m/s
【答案】A
【详解】碰撞前的总动量为
碰撞前的总动能为
A．如果
、
，则碰后两球的动量分别为
，
则有
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满足动量守恒；由于A 的动量大小减少，B 的动量大小增加，根据
可知A 的动能减少，B 的动能增加，由于两者的质量关系未知，所以总动能可能不增加，
是可能的，故A 正确；
BD．由于B 在前，A 在后，故A、B 碰后A 的动量减少，B 的动量增加，故BD 错误；
C．如果
、
，则碰后两球的动量分别为
，
则有
满足动量守恒；由于A 的动量大小不变，B 的动量大小增加，根据
可知A 的动能不变，B 的动能增加，总动能增加，违反了能量守恒定律，故不可能，故C
错误。
故选A。
【变式演练2】质量为m 的小球A 以速度
在光滑水平面上运动，与质量为2m 的静止小球
B 发生正碰，则碰撞后小球A 的速度大小
和小球B 的速度大小
可能为（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】AC
【详解】碰撞过程中应满足动量守恒，即
还应满足系统总动能不增加，即
45
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A．若
，
当
与
方向相反时代入计算，可知满足动量守恒，碰撞后总动能为
，满足总动能
不增加，故A 可能；
B．若
，
当
与
方向相同时代入计算，可知满足动量守恒，但
，会发生二次碰撞，故不符
合实际情况，故B 不可能；
C．若
，
当
与
方向相反时代入计算，可知满足动量守恒，且碰后总动能为
，满足总动能
不增加，故C 可能；
D．若
，
当
与
方向相反时代入计算，可知满足动量守恒，碰撞后总动能为
，大于系统
碰撞前的动能，故D 不可能。
故选AC。
类型2 碰撞类型的识别
碰撞的分类
动量是否守恒
机械能是
否守恒
弹性碰撞
守恒
守恒
46
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非弹性碰撞
守恒
有损失
完全非弹性碰撞
守恒
损失最大
【例2】质量为m 和 m 的两个物体在光滑的水平面上正碰，碰撞时间不计，其位移—时间
图像如图所示。
（1）碰撞后
和
的速度
、
；
（2）若
，则
等于多少；
（3）在第（1）（2）问基础上，通过计算判断两个物体的碰撞是弹性碰撞还是非弹性碰撞？
【答案】（1）
，
；（2）
；（3）弹性碰撞
【详解】（1）根据图像可得碰撞后
（2）根据动量守恒定律
可得
（3）根据图像可得碰撞前
碰撞前系统动能
47
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碰撞后系统动能
说明属于弹性碰撞。
【变式演练1】某次训练中使用的冰壶A 和冰壶B 的质量均为
，初始时两冰壶之间的
距离
，运动员以
的初速度将冰壶A 水平掷出后，与静止的冰壶B 碰撞，
碰后冰壶A 的速度大小变为
，方向不变，碰撞时间极短．已知两冰壶与冰面间
的动摩擦因数均为
，重力加速度
。求：
（1）冰壶A 与B 碰撞碰撞前的速度大小
；
（2）两冰壶碰撞后瞬间B 的速度大小
；
（3）计算碰撞前后系统的总动能，判断是否为弹性碰撞。
【答案】（1）
；（2）
；（3）见解析
【详解】（1）冰壶A 从开始运动到与冰壶B 碰撞过程中，根据动能定理可得
代入数据解得
（2）两冰壶碰撞过程中，满足动量守恒，则有
代入数据解得
（3）碰撞前两冰壶的总动能为
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碰撞后两冰壶的总动能为
由于
可知两冰壶碰撞为非弹性碰撞。
【变式演练2】如图所示，在水平冰面上，质量
的冰壶A 以大小为
的速
度与静止的质量为
的冰壶B 发生正碰。碰撞可能是弹性碰撞也可能是非弹性碰撞，
不计一切摩擦和空气阻力。关于碰后冰壶A 的运动情况描述正确的是（ ）
A．碰后冰壶A 可能会被弹回，速度大小为
B．碰后冰壶A 可能继续向前运动，速度大小为
C．碰后冰壶A 可能继续向前运动，速度大小为
D．碰后冰壶A 不可能静止不动
【答案】AB
【详解】若冰壶A 与冰壶B 发生弹性碰撞，以碰前速度方向为正方向，根据系统动量守恒
和系统机械系守恒可得
联立解得
，
49
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若冰壶A 与冰壶B 发生完全非弹性碰撞，则有
解得
综上分析可知，碰后冰壶A 的速度可能为
故选AB。
【变式演练3】如图1 所示，在水平地面上有甲、乙两物块（均可视为质点）相向运动，
运动一段时间后发生碰撞，碰撞后两物块继续运动直到均停止在地面上。整个过程中甲、
乙两物块运动的速度—时间图像如图2 所示，
时刻甲、乙间距为
，均停止后间距为
，已知重力加速度
。下列说法正确的是（ ）
A．两物块与地面间的动摩擦因数相同
B．乙在整个过程中的位移大小
C．两物块的质量之比为
D．两物块间的碰撞为弹性碰撞
【答案】BC
【详解】A．从图2 可以看出
，
解得
，
50
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故A 错误；
B．根据
图像与横轴围成的面积表示位移，可知
之后的运动过程甲的位移为
则乙在整个过程中的位移大小为
故B 正确；
C．由
图像结合图中比例关系可知碰撞前瞬间甲、乙两物块的速度分别为
，
，碰后瞬间甲、乙两物块的速度分别为
，
，根据动量守恒
定律有
代数数据解得
故C 正确；
D．结合C 项分析可知
则两物块间的碰撞不是弹性碰撞，故D 错误。
故选BC。
题型四 “滑块—弹簧”碰撞模型中的多过程问题
1．模型图示
2．模型特点
(1)两个或两个以上的物体与弹簧相互作用的过程中，若系统所受外力的矢量和为零，则系
统动量守恒，类似弹性碰撞。
51
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(2)在能量方面，由于弹簧形变会使弹性势能发生变化，系统的总动能将发生变化；若系统
所受的外力和除弹簧弹力以外的内力不做功，系统机械能守恒。
(3)弹簧处于最长(最短)状态时两物体速度相等，弹性势能最大，系统动能通常最小(完全非
弹性碰撞拓展模型)。
(4)弹簧恢复原长时，弹性势能为零，系统动能最大(完全弹性碰撞拓展模型，相当于碰撞结
束时)。
【例1】（2024·湖南邵阳·三模）如图（a），一质量为
的物块A 与轻质弹簧连接，静止
在光滑水平面上，物块B 向A 运动，
时与弹簧接触，到
时与弹簧分离，碰撞结
束，A、B 的
图像如图（b）所示。已知从0 到
时间内，物块A 运动的距离为
。
碰撞过程中弹簧始终处于弹性限度内。则下列说法中正确的是（ ）
A．物块B 的质量为
B．碰撞过程中弹簧的最大弹性势能为
C．
时间内物块B 运动的距离为
D．弹簧压缩量的最大值为
【答案】BC
【详解】A．
时刻，由动量守恒定律可知
解得
故A 错误；
52
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B．由图像可知
时刻两物块速度相等，弹性势能最大，根据机械能守恒定律
解得
故B 正确；
CD．解法一：同一时刻弹簧对A、B 的弹力大小相等，由牛顿第二定律可知同一时刻
同一时刻A、B 的瞬时速度分别为
，
根据位移等于速度在时间上的累积可得
，
又
解得
弹簧压缩量的最大值
解法二：B 接触弹簧后，压弹弹簧过程中，A、B 动量守恒，有
对方程两边同时乘以时间
，有
之间，位移等于速度在时间上的累积，可得
又
53
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代入可得
则第一次碰撞过程中，弹簧压缩量的最大值
故C 正确，D 错误。
故选BC。
【变式演练1】如图甲所示，物块A、B 静止在光滑水平地面上，中间用一轻质弹簧连接，
初始时弹簧处于原长，给A 一水平向右的瞬时速度
，之后两物块的速度随时间变化的图
像如图乙所示，已知弹簧始终处于弹性限度内，
、
时刻弹簧的弹性势能分别为
、
，则下列说法正确的是（ ）
A．A、B 的质量之比为
B．
时刻B 的速度为
C．
时刻弹簧的弹性势能为
D．
时刻A、B 的速率之比为
【答案】BC
【详解】A．根据图乙可知
时刻两物块速度相等，根据动量守恒定律有
解得
54
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A 错误；
B．根据图乙可知
时刻A 的速度为零，则根据动量守恒定律有
又
可得
时刻B 的速度为
B 正确；
C．从
时间内，根据能量守恒可得
从
时间内，根据能量守恒可得
联立解得
C 正确；
D．
时刻，根据动量守恒定律有
根据能量守恒定律有
结合以上分析联立解得
55
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，
或
，
结合图乙可知第二种结果不符合题意，则
时刻A、B 的速率之比为
D 错误。
故选BC。
【变式演练2】如图甲所示，在光滑水平面上，小球A 以初动量
沿直线运动，与静止的
带轻质弹簧的小球B 发生正碰，此过程中，小球A 的动量p 随时间t 变化的部分图像如图
乙所示，
时刻图线的切线斜率最大，此时纵坐标为
，
时刻纵坐标为零。已知小球
A、B 的直径相同，则（ ）
A．小球A、B 的质量之比为
B．
时刻弹簧的弹性势能最大
C．小球A 的初动能和弹簧最大弹性势能之比为
D．0~
时间内，小球B 的动量变化量为
【答案】C
【详解】B．
时刻图线的切线斜率最大，则小球A 的动量变化率最大，根据
可知小球A 的速度变化率最大，即加速度最大，根据牛顿第二定律
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可知此时弹簧弹力最大，由胡克定律可知，此时弹簧形变量最大，则此时弹簧的弹性势能
最大，故B 错误；
A．
时刻两小球共速，设速度大小均为v，则小球A 的质量
根据动量守恒有
则小球B 的质量
由此可知两小球的质量之比为
故A 错误；
C．根据机械能守恒有
小球A 的初动能和弹簧最大弹性势能之比
故C 正确；
D．
时间内，小球B 的动量变化量
故D 错误。
故选C。
【变式演练2】如图所示，在足够长的光滑水平地面MN 上固定一光滑的竖直半圆形轨道
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NP，NP 的半径为
，N 点处切线水平且与地面平滑连接。质量
的物块A
与轻弹簧一端连接，以速度
沿水平地面向右运动，物块B 静止，在物块A 运动的
前方。与物块A 连接的轻弹簧从接触B 到弹簧被压缩到最短的过程中，物块B 运动的距离
为0.15m，经历的时间为
。在此后的运动中，B 与弹簧分离后，滑上轨道NP，沿
NP 运动时恰能经过最高点P。物块A、B 均可视为质点，弹簧始终处于弹性限度内，重力
加速度为
。求：
（1）物块B 在N 点的速度大小；
（2）物块B 的质量；
（3）弹簧的最大压缩量。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）物块B 沿NP 运动时恰能经过最高点P，根据牛顿第二定律可得
物块B 从N 点到P 点的过程中，根据机械能守恒可得
解得物块B 在N 点的速度大小为
（2）A、B、弹簧组成的系统动量守恒，可得
A、B、弹簧组成的系统机械能守恒，可得
解得
58
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（3）A、B、弹簧组成的系统动量守恒，物块A 连接的轻弹簧从接触B 到弹簧被压缩到最
短的过程中有
则
对时间累加求和，可得
解得
弹簧的最大压缩量为
【变式演练3】如图（a），一质量为m 的物块A 与轻质弹簧连接，静止在光滑水平面上：
物块B 向A 运动，
时与弹簧接触，到
时与弹簧分离，第一次碰撞结束，A、B 的
图像如图（b）所示。已知从
到
时间内，物块A 运动的距离为
。A、
B 分离后，A 滑上粗糙斜面，然后滑下，与一直在水平面上运动的B 再次碰撞，之后A 再
次滑上斜面，达到的最高点与前一次相同。斜面倾角为
，与水平面光滑连接。
碰撞过程中弹簧始终处于弹性限度内。求
（1）第一次碰撞过程中，弹簧弹性势能的最大值；
（2）第一次碰撞过程中，弹簧压缩量的最大值；
（3）物块A 与斜面间的动摩擦因数。
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【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）当弹簧被压缩最短时，弹簧弹性势能最大，此时
、
速度相等，即
时刻，根据动量守恒定律
根据能量守恒定律
联立解得
（2）解法一：同一时刻弹簧对
、B 的弹力大小相等，根据牛顿第二定律
可知同一时刻
则同一时刻
、
的的瞬时速度分别为
，
根据位移等速度在时间上的累积可得
，
又
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解得
第一次碰撞过程中，弹簧压缩量的最大值
解法二：B 接触弹簧后，压缩弹簧的过程中，A、B 动量守恒，有
对方程两边同时乘以时间
，有
0-t0之间，根据位移等速度在时间上的累积，可得
将
代入可得
则第一次碰撞过程中，弹簧压缩量的最大值
（3）物块A 第二次到达斜面的最高点与第一次相同，说明物块A 第二次与B 分离后速度
大小仍为
，方向水平向右，设物块A 第一次滑下斜面的速度大小为
，设向左为正方
向，根据动量守恒定律可得
根据能量守恒定律可得
联立解得
方法一：设在斜面上滑行的长度为
，上滑过程，根据动能定理可得
61
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下滑过程，根据动能定理可得
联立解得
方法二：根据牛顿第二定律，可以分别计算出滑块A 上滑和下滑时的加速度，
，
上滑时末速度为0，下滑时初速度为0，由匀变速直线运动的位移速度关系可得
，
联立可解得
题型五 “滑块—斜(曲)面”碰撞模型
1．模型图示
2．模型特点
(1)最高点：m1与m2具有共同水平速度v 共，m1不会从此处或提前偏离轨道。系统水平方向
动量守恒，m1v0＝(m2＋m1)v 共；系统机械能守恒，m1v＝(m2＋m1)v＋m1gh，其中h 为滑块上
升的最大高度，不一定等于圆弧轨道的高度(完全非弹性碰撞拓展模型)。
(2)最低点：m1与m2分离点。水平方向动量守恒，m1v0＝m1v1＋m2v2；系统机械能守恒，m1v
＝m1v＋m2v(完全弹性碰撞拓展模型)。
【例1】如图所示，光滑水平地面上放置一质量为m 的上表面光滑的四分之一圆弧形斜劈，
圆弧与水平地面间平滑连接，一固定桩置于斜劈右侧固定斜劈。另一质量也为m 的小物块
（可视为质点）以初速度
冲向斜劈，恰能上升到斜劈最高点，不计一切阻力。
62
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（1）求圆弧半径R；
（2）若撤去固定桩，小物块仍以初速度
冲向斜劈，求此时小物块所能上升的最高点与水
平地面间的高度差；
（3）若撤去固定桩，改变小物块的初速度大小，使小物块所能上升的最大高度为2R，求
此时小物块的初速度大小和斜劈最终的末速度大小。（结果均用
表示）
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】15.解：
（1）对小物块由动能定理得
解得
（2）小物块上升至最高点时，对小物块与斜劈整体，由动量守恒定律得
由能量守恒定律得
联立解得
（3）设小物块的初速度大小为
，小物块上升至最高点时，对小物块与斜劈整体，由动量
守恒定律、能量守恒定律得
63
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联立解得
两物体最终分离时，设小物块的速度大小为
，斜劈的速度大小为
，有
联立解得
【变式演练1】如图所示，固定光滑曲面轨道在O 点与光滑水平地面平滑连接，地面上静
止放置一个表面光滑、质量为3m 的斜面体C。一质量为m 的小物块A 从高h 处由静止开
始沿轨道下滑，在O 点与质量为2m 的静止小物块B 发生碰撞，碰撞后A、B 立即粘连在
一起向右运动（碰撞时间极短），平滑地滑上斜面体，在斜面体上上升的高度小于斜面体
高度，重力加速度为g，求：
（1）A 到达O 点时的速度；
（2）A、B 碰撞过程中损失的机械能；
（3）A 和B 沿C 能上升的最大高度。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）物块A 运动到O 点的过程，根据动能定理可知
解得
（2）当A、B 发生碰撞根据动量守恒定律可知
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解得
A、B 碰撞过程中损失的机械能是
（3）将A、B、C 看成一个整体，则系统在水平方向动量守恒，当A、B 到达最高点时三
者在水平方向速度相同，根据动量守恒定律可知
根据能量守恒定律可知
联立解得，A 和B 沿C 能上升的最大高度为
【变式演练1】如图所示，在光滑足够长水平面上有半径R=0.8m 的
光滑圆弧斜劈B，斜
劈的质量是M=3kg，底端与水平面相切，左边有质量是m=1kg 的小球A 以初速度v0=4m/s
从切点C（是圆弧的最低点）冲上斜劈，重力加速度g 取10m/s2，下列说法正确的是（
）
A．小球A 不能从斜劈顶端冲出
B．小球A 能从斜劈顶端冲出后还会再落入斜劈
C．小球A 冲上斜劈过程中经过最低点C 时对斜劈的压力大小是30N
D．小球A 从斜劈上返回最低点C 时速度大小为2m/s，方向向左
【答案】ACD
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【详解】C．小球A 向右运动到斜劈最低点C 时，设此时斜劈对小球的支持力为
代入数据得
N
小球A 对斜劈的压力也是30N，选项C 正确；
AB．假设小球能运动到斜劈顶端，此时小球和斜劈水平速度相等为
，小球竖直速度为
，
水平方向动量守恒
小球和斜劈系统机械能守恒
联立得
小球A 不能从斜劈顶端冲出，选项A 正确，B 错误；
D．当小球A 在斜劈上返回最低点C 时，设小球A 和斜劈的速度分别为
、
联立得
小球A 从斜劈上返回最低点C 时速度大小为2m/s，方向向左，选项D 正确。
故选ACD。
【变式演练2】如图所示，光滑水平面上有一质量为
、半径为R（R 足够大）的
光滑
66
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圆弧曲面C，质量为M 的小球B 置于其底端，另一个小球A 质量为
，小球A 以
的速度向B 运动，并与B 发生弹性碰撞，不计一切摩擦，小球均可视为质点，
则（ ）
A．B 的最大速率为
B．B 运动到最高点时的速率为
C．B 能与A 再次发生碰撞
D．B 不能与A 再次发生碰撞
【答案】AD
【详解】A．A 与B 发生弹性碰撞，取水平向右为正方向，根据动量守恒和能量守恒得
解得
所以B 的最大速率为
，故A 正确；
B．B 冲上弧面上的最高点时，竖直速度减小到零、水平速度与弧面共速，设它们的共同速
度为v，则由水平方向动量守恒有
解得
故B 错误；
CD．从B 冲上C 然后又滑下的过程，设B、C 分离时的速度分别为
，由水平方向动
量守恒有
67
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由机械能守恒有
联立解得
由于
所以二者不会再次发生碰撞，故C 错误，D 正确。
故选AD。
【变式演练3】如图所示，质量
的物块C 静置在光滑水平面上，其左侧为半径
的四分之一光滑圆弧，圆弧底端和水平面平滑连接。一质量
的小物块A
被压缩的轻质弹簧弹出后与静止在水平面上的物块B 发生正碰，此后两物块粘在一起运动。
A、B 均可视为质点，不计空气阻力。已知物块B 的质量为1.5kg，A、B 碰撞后瞬间B 的
速度大小为6m/s，取
。求：
（1）最初弹簧上储存的弹性势能。
（2）A、B 整体碰后能达到的最大高度。
（3）A、B 整体第一次与C 分离时C 速度的大小。
（4）从A、B 整体第一次与C 分离瞬间至A、B 整体第二次与C 分离瞬间的过程，A、B
整体对C 的冲量大小。
【答案】（1）144J；（2）1.5m；（3）2m/s；（4）
【详解】（1）对AB 系统发生正碰，由动量守恒定律可知
68
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对弹簧和A 系统由能量守恒定律可得
解得
（2）A、B 整体碰后与C 组成的系统，由水平方向动量守恒可得
碰后到达最高点系统机械能守恒定律可得
解得
h=1. 5m
（3）A、B 整体第一次与C 分离此过程中ABC 系统水平方向动量守恒，ABC 系统机械能
守恒。由水平方向动量守恒
由机械能守恒定律
解得
故A、B 整体第一次与C 分离时C 速度的大小为2m/s。
（4）A、B 整体第一次与C 分离瞬间至A、B 整体第二次与C 分离瞬间的过程中，ABC 系
统由动量守恒和能量守恒定律可得
A、B 整体对C 的冲量为
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解得
【变式演练4】如图所示，A、B、C 的质量分别为
、
、
，轻弹
簧的左端固定在挡板上，C 为半径
的
圆轨道，静止在水平面上。现用外力使小球
A 压缩弹簧（A 与弹簧不连接），当弹簧的弹性势能为
时由静止释放小球A，小球
A 与弹簧分离后与静止的小球B 发生正碰，小球B 到圆轨道底端的距离足够长，经过一段
时间小球滑上圆轨道，一切摩擦均可忽略，假设所有的碰撞均为弹性碰撞，重力加速度取
。求：
（1）小球B 能达到的最大高度；
（2）通过计算分析，小球B 能否第二次进入圆轨道。
【答案】（1）
；（2）不能
【详解】（1）设碰前小球A 的速度为
，从释放小球A 到分离的过程，由能量守恒定律
得
代入数据解得
A、B 碰撞的过程，A、B 组成的系统机械能守恒、动量守恒有
带入数据解得
70
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，
小球与圆轨道在水平方向上共速时上升的高度最高，设共同的速度为
，小球与圆轨道组
成的系统在水平方向上动量守恒有
小球与圆轨道组成的系统能量守恒，有
代入数据解得
，
（2）设小球与圆轨道分离时的速度分别
，由动量守恒定律和能量能守恒定律得
联立带入数据解得
，
球A 与球B 第一次碰后以
的速度向左运动，再次压缩弹簧，根据能量守恒定律，
球A 与弹簧分离后的速度大小为
，经过一段时间，球A 与球B 发生第二次碰撞，
设碰后球A 和球B 的速度分别为
、
，根据动量守恒定律和能量能守恒定律得
联立带入数据解得
，
因为
，所以小球B 无法第二次进入圆轨道。
71
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题型六 滑块模型中的多过程
【例1】（2024·辽宁朝阳·三模）如图所示，一块质量
的长木板A 静止放置于光
滑水平地面上，其左端放置一个质量
的物块B。在物块B 的上方高
处有
一悬挂点O，通过轻绳悬挂质量
的小球C，小球C 静止时与物块B 等高且恰好无
相互作用力接触。现将小球C 拉至轻绳与竖直方向的夹角
处由静止释放，小球C 下
摆至最低点时与物块B 发生碰撞并粘在一起（C 不与A 接触），同时轻绳被刀片割断。已
知物块B 与长木板A 间的动摩擦因数
，物块B 不会从A 上滑离，取重力加速度大
小
，物块B、小球C 均可看成质点，不计空气阻力。求：
（1）小球C 与物块B 碰后瞬间的速度大小；
（2）长木板A 的最小长度。
【答案】（1）
；（2）0.32m
【详解】（1）小球C 由静止释放到第一次到达最低点的过程中，由动能定理有
解得
小球C 与物块B 碰撞过程，由动量守恒定律有
解得
72
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（2）假设长木板A 与B、C 达到共同速度
，由动量守恒定律有
解得
设此过程长木板A 的长度为x，由功能关系有
解得
即长木板A 的最小长度为0.32m。
【变式演练1】如图，质量为3m，足够长的长木板A 放在光滑水平面上，质量为3m 的铁
块B 放在长木板A 的上表面左端，质量为m 的小球C 用长为R 的细线悬于O 点。将小球C
拉至与O 等高的位置，细线伸直，由静止释放，小球C 运动到最低点时刚好沿水平方向与
铁块B 发生弹性碰撞，碰撞后铁块B 在长木板上表面向右滑动。已知铁块B 与长木板A 上
表面的动摩擦因数为0.3，铁块B、小球C 均看作质点，重力加速度为g。求：
（1）小球C 与铁块B 碰撞前一瞬间，细线对小球的拉力大小；
（2）小球C 与铁块B 碰撞后一瞬间，铁块B 的速度大小；
（3）最终铁块B 与长木板A 相对静止时因摩擦产生的热量Q。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）小球C 从静止释放到与铁块B 碰撞前一瞬间，根据机械能守恒可得
解得
73
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根据牛顿第二定律可得
解得细线对小球的拉力大小
（2）小球C 与铁块B 发生弹性碰撞，根据动量守恒可得
根据机械能守恒可得
联立解得小球C 与铁块B 碰撞后一瞬间，铁块B 的速度大小为
（3）碰撞后铁块B 在长木板上表面向右滑动，铁块B 做匀减速直线运动，长木板A 做匀
加速直线运动，铁块B 与长木板A 最终达到共速相对静止，根据动量守恒可得
解得
根据能量守恒定律可得
解得因摩擦产生的热量
则最终铁块B 与长木板A 相对静止时因摩擦产生的热量
74
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【变式演练2】如图所示，两个完全相同的质量为m 的木板A、B 置于水平地面上，它们
的间距
，质量为2m，大小可忽略的物块C 置于A 板的左端，C 与A 之间的动摩
擦因数为
，A、B 与水平地面之间的动摩擦因数为
，最大静摩擦力等于
滑动摩擦力。开始时，三个物体处于静止状态。现给C 施加一个水平向右、大小为
的恒力作用，木板A、B 碰撞时间极短且碰撞后粘连在一起。（取重力加速度
，计算结果用根式表示，其中
）。求：
（1）A 与B 相撞前A 的速度
是多少？
（2）A 与B 相撞后向右做加速运动的位移
是多少？
（3）要使C 最终不脱离木板，每块木板的长度至少应为多少？
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）设A、C 之间的滑动摩擦力大小为f1，A 与水平地面之间的滑动摩擦力大小
为f2，一开始A 和C 保持相对静止，在F 的作用下向右加速运动，有
（2）A、B 两木板的碰瞬间，内力的冲量远大于外力的冲量，由动量守恒定律得
碰撞结束后到三个物体达到共同速度的相互作用过程中，设木板向前移动的位移为
，选
三个物体构成的整体为研究对象，外力之和为零，则
75
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设A、B 系统与水平地面之间的滑动摩擦力大小为
，对A、B 系统，由动能定理
其中
得
（3）对C 物体，由动能定理：
由以上各式，再代入数据可得
【变式演练3】如图所示，质量
的长木板C 静止在光滑的水平面上，长木板C 右
端与竖直固定挡板相距
，左端放一个质量
的小物块B（可视为质点），与长
木板C 间的动摩擦因数为
。在小物块B 的正上方，用不可伸长、长度
的轻
绳将质量
的小球A 悬挂在固定点O。初始时，将轻绳拉直并处于水平状态，使
小球A 与O 点等高，由静止释放。当小球A 下摆至最低点时恰好与小物块B 发生碰撞（碰
撞时间极短），之后二者没有再发生碰撞。已知A、B 之间以及C 与挡板之间的碰撞均为
弹性碰撞，重力加速度取
。
（1）小球A 与小物块B 碰后瞬间，求小物块B 的速度大小；
（2）为保证长木板C 与竖直挡板碰撞时B、C 能共速，求
应满足的条件；
（3）在（2）问的前提下，即与竖直挡板碰撞到B、C 能共速，求长木板的最短长度。
76
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【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）小球A 由静止到最低点的过程，根据机械能守恒定律有
解得
设小球A 与小物块B 发生弹性碰撞后的速度分别为
、
，根据动量守恒定律有
碰撞前后根据机械能守恒定律有
联立解得
（2）设B、C 获得共同速度为
，以水平向右为正方向，由动量守恒定律有
代入数据解得
若B、C 共速时C 刚好运动到挡板处，对C 应用动能定理有
代入数据解得
77
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则保证C 运动到竖直挡板前B、C 能够共速，
应满足的条件是
（3）第一次共速过程中，由能量守恒定律有
长木板C 与挡板碰后速度方向反向，设B、C 第二次获得共同速度为
，以水平向左为正
方向，由动量守恒定律有
由能量守恒定律有
长木板的最短长度为
联立解得
题型七 子弹打木块模型中的能量动量问题
1．模型图示
2．模型特点
(1)子弹水平打进木块的过程中，系统的动量守恒．
(2)系统的机械能有损失．
3．两种情景
(1)子弹嵌入木块中，两者速度相等，机械能损失最多(完全非弹性碰撞)
动量守恒：mv0＝(m＋M)v
78
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能量守恒：Q＝Ff·s＝mv0
2－(M＋m)v2
(2)子弹穿透木块
动量守恒：mv0＝mv1＋Mv2
能量守恒：Q＝Ff·d＝mv0
2－(Mv2
2＋mv1
2)
【例1】如图所示，子弹以某一水平速度击中静止在光滑水平面上的木块并留在其中。对
子弹射入木块的过程，下列说法正确的是（ ）
A. 木块对子弹的冲量等于子弹对木块的冲量
B. 因子弹受到阻力的作用，故子弹和木块组成的系统动量不守恒
C. 子弹和木块组成的系统损失的机械能等于子弹损失的动能减去子弹对木块所做的功
D. 子弹克服木块阻力做的功等于子弹的动能减少量和摩擦产生的热量之和
【答案】C
【解析】A．木块对子弹的冲量与子弹对木块的冲量，方向相反，不相等，A 错误；
B．因为水平面光滑，系统不受外力，子弹和木块组成的系统动量守恒，B 错误；
C．根据动能定理，子弹对木块所做的功等于木块获得的动能；根据能量守恒定律，子弹
和木块组成的系统损失的机械能等于子弹损失的动能减去木块获得的动能，C 正确；
D．根据动能定理，子弹克服木块阻力做的功等于子弹的动能减少量，D 错误。
故选C。
【变式演练】如图所示，质量为
的木板静止在足够大的光滑水平地面上，质量为
的
滑块静止在木板的左端，质量为
的子弹以大小为
的初速度射入滑块，子弹射入滑块后
未穿出滑块，且滑块恰好未滑离木板。滑块与木板间的动摩擦因数为
，重力加速度大小
为
，子弹与滑块均视为质点，不计子弹射入滑块的时间。求：
（1）木板的长度
；
（2）滑块在木板上相对木板滑动的过程中系统克服摩擦力做功（产生热量）的平均功率
。
79
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【答案】（1）
；（2）
【详解】（1）设子弹射入滑块后瞬间子弹和滑块的共同速度大小为
，根据动量守恒定律
有
解得
设最终滑块与木板的共同速度大小为
，根据动量守恒定律有
解得
对滑块在木板上相对木板滑动的过程，根据功能关系有
解得
（2）滑块在木板上相对木板滑动的过程中系统克服摩擦力做的功
设滑块在木板上相对木板滑动时木板的加速度大小为
，对木板，根据牛顿第二定律有
设滑块在木板上相对木板滑动的时间为t，根据匀变速直线运动的规律有
80
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又有
解得
题型八 两体爆炸（类爆炸）模型中的能量分配
爆炸现象的三个规律
动量守恒
爆炸物体间的相互作用力远远大于受到的外力，所以在爆炸过程中，系统
的总动量守恒
动能增加
在爆炸过程中，有其他形式的能量(如化学能)转化为机械能，所以系统的
机械能增加
位置不变
爆炸的时间极短，因而作用过程中物体产生的位移很小，可以认为爆炸后
各部分仍然从爆炸前的位置以新的动量开始运动
【例1】（2024·辽宁·高考真题）如图，高度
的水平桌面上放置两个相同物块A、
B，质量
。A、B 间夹一压缩量
的轻弹簧，弹簧与A、B 不栓接。
同时由静止释放A、B，弹簧恢复原长时A 恰好从桌面左端沿水平方向飞出，水平射程
；B 脱离弹簧后沿桌面滑行一段距离
后停止。A、B 均视为质点，取
重力加速度
。求：
（1）脱离弹簧时A、B 的速度大小
和
；
（2）物块与桌面间的动摩擦因数μ；
（3）整个过程中，弹簧释放的弹性势能
。
81
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【答案】（1）1m/s，1m/s；（2）0.2；（3）0.12J
【详解】（1）对A 物块由平抛运动知识得
代入数据解得，脱离弹簧时A 的速度大小为
AB 物块质量相等，同时受到大小相等方向相反的弹簧弹力及大小相等方向相反的摩擦力，
则AB 物块整体动量守恒，则
解得脱离弹簧时B 的速度大小为
（2）对物块B 由动能定理
代入数据解得，物块与桌面的动摩擦因数为
（3）弹簧的弹性势能转化为AB 物块的动能及这个过程中克服摩擦力所做的功，即
其中
，
解得整个过程中，弹簧释放的弹性势能
【例2】（2024·云南·一模）如图所示，光滑水平面上有静止的物块A、B 和长木板C，在
木板中点静置一小物块D（可视为质点）。A、B 间有少量炸药，某时刻炸药爆炸，使A、
B 沿水平方向运动，爆炸过程中有27J 的能量转化成了A、B 的动能。一段时间后，B 与C
发生弹性正碰且碰撞时间极短，最终D 刚好不滑离C。已知A 的质量为2kg，B 的质量为
82
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1kg，C 的质量为3kg，D 的质量为1.5kg，木板C 的长度为1m，重力加速度大小取
。求
（1）B 与C 碰撞前瞬间B 的速度大小；
（2）C 与D 之间的动摩擦因数。
【答案】（1）
；（2）
【详解】（1）物块A 与物块B 组成的系统在爆炸过程中满足动量守恒，则有
对物块A 与物块B 组成的系统，根据能量转化可得
联立解得
（2）物块B 与木板C 组成的系统在碰撞过程中满足动量守恒，则有
物块B 与木板C 组成的系统在碰撞过程中满足机械能守恒，则有
解得
，
物块B 与木板C 碰撞后分离，木板C 与物块D 组成的系统满足动量守恒，则有
对木板C 与物块D 组成的系统由能量守恒定律可得
83
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联立解得
【变式演练1】如图所示，光滑水平轨道MN 左端与倾角θ = 37°的足够长的斜面PM 连接，
右端与半径为R 的
光滑圆弧轨道QN 连接。质量分别为m1= 2kg 和m2= 3kg 的滑块A、B
之间夹有少量炸药，静止在MN 上（滑块A、B 均可视为质点，炸药的质量忽略不计）。
炸药引爆后释放的化学能E = 30J 全部转化为两滑块的动能，之后滑块B 冲上圆弧轨道，
滑块A 冲上斜面PM，A 与斜面间的动摩擦因数为μ = 0.5，g 取10m/s2，sin37° = 0.6，
cos37° = 0.8。求：
（1）炸药引爆后A、B 到达M、N 点时的动能EA、EB各为多大；
（2）已知B 恰好能到达圆弧轨道的最高点Q，圆弧轨道的半径R 是多大；
（3）A 沿斜面上滑的最大距离x。
【答案】（1）18J，12J；（2）0.4m；（3）0.9m
【详解】（1）设炸药引爆后A、B 的速度大小各为v1、v2，取向左为正方向，由动量守恒
定律得
m1v1 - m2v2 = 0
由能量守恒定律得
可得
，
联立解得
EkA = 18J，EkB = 12J
（2）B 从N 到Q 的上滑过程，由机械能守恒定律得
EkB = m2gR
84
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可得
R = 0.4m
（3）A 从M 沿斜面上滑的过程，运用动能定理得
- m1gxsin37° - μm1gxcos37° = 0 - EkA
解得
x = 0.9m
【变式演练2】一枚在空中水平飞行的玩具火箭质量为m，在某时刻距离地面的高度为h，
速度为v。此时，火箭突然炸裂成A、B 两部分，其中质量为
的B 部分速度恰好为0。忽
略空气阻力的影响，重力加速度为g。求：
（1）炸裂后瞬间A 部分的速度大小v1；
（2）炸裂后B 部分在空中下落的时间t；
（3）在爆炸过程中增加的机械能
。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）炸裂后瞬间由动量守恒可知
解得A 部分的速度为
（2）炸裂后由运动学规律可知
空中下落的时间为
85
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（3）在爆炸过程中增加的机械能为
解得
【变式演练2】如图所示的水平地面上有a、b、O 三点。将一条轨道固定在竖直平面内，
粗糙的ab 段水平，bcde 段光滑，cde 是以O 为圆心，R 为半径的一段圆弧，可视为质点的
物块A 和B 紧靠在一起，中间夹有少量炸药，静止于b 处，A 的质量是B 的2 倍。某时刻
炸药爆炸，两物块突然分离，分别向左、右沿轨道运动。B 到最高点d 时速度沿水平方向，
此时轨道对B 的支持力大小等于B 所受重力的
，A 与ab 段的动摩擦因数为μ，重力加速
度g，求：
（1）物块B 在d 点的速度大小；
（2）物块A 滑行的距离s；
（3）物块B 从脱离轨道后到落到水平地面所用的时间。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）设物块A 和B 的质量分别为mA和mB
解得
（2）设A、B 分开时的速度分别为v1、v2，系统动量守恒
86
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B 由位置b 运动到d 的过程中，机械能守恒
A 在滑行过程中，由动能定理
联立得
（3）设物块脱离轨道时速度为v，FN= 0
向心力公式
而
解得
脱离轨道时离地面的高度
87
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离轨道时后做向下斜抛运动
竖直方向
解得
【变式演练3】双响爆竹是民间庆典使用较多的一种烟花爆竹，其结构简图如图所示，纸
筒内分上、下两层安放火药。使用时首先引燃下层火药，使爆竹获得竖直向上的初速度，
升空后上层火药被引燃，爆竹凌空爆响。一人某次在水平地面上燃放双响爆竹，爆竹上升
至最高点时恰好引燃上层火药，立即爆炸成两部分，两部分的质量之比为1︰2，获得的速
度均沿水平方向。已知这次燃放爆竹上升的最大高度为h，两部分落地点之间的距离为L，
重力加速度为g，不计空气阻力，不计火药爆炸对爆竹总质量的影响。
（1）求引燃上层火药后两部分各自获得的速度大小。
（2）已知火药燃爆时爆竹增加的机械能与火药的质量成正比，求上、下两层火药的质量比。
【答案】（1）
，
；（2）
【详解】解：（1）引燃上层火药后两部分向相反的方向做平抛运动，竖直方向
水平方向
88
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上层火药燃爆时，水平方向动量守恒，设爆竹总质量为m
解得两部分各自获得的速度大小
，
（2）上层火药燃爆后爆竹获得的机械能
下层火药燃爆后爆竹获得的机械能
上、下两层火药的质量比
题型九 人船模型及其拓展模型的应用
人船模型
(1)模型图示
(2)模型特点
①两物体满足动量守恒定律：mv 人－Mv 船＝0
②两物体的位移大小满足：m－M＝0，
x 人＋x 船＝L，
得x 人＝L，x 船＝L
89
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(3)运动特点
①人动则船动，人静则船静，人快船快，人慢船慢，人左船右；
②人船位移比等于它们质量的反比；人船平均速度(瞬时速度)比等于它们质量的反比，即
＝＝.
【例1】如图所示，质量为M=2m 的小木船静止在湖边附近的水面上，船身垂直于湖岸，
船面可看做水平面，并且比湖岸高出h。在船尾处有一质量为m 的铁块，将弹簧压缩后再
用细线将铁块拴住，此时铁块到船头的距离为L，船头到湖岸的水平距离
，弹簧原
长远小于L。将细线烧断后该铁块恰好能落到湖岸上，忽略船在水中运动时受到水的阻力
以及其它一切摩擦力，重力加速度为g。下列判断正确的有（ ）
A．铁块脱离木船后在空中运动的水平距离为
B．铁块脱离木船时的瞬时速度大小为
C．小木船最终的速度大小为
D．弹簧释放的弹性势能为
【答案】BD
【详解】A．对船与铁块有
由于铁块到船头的距离为L，则有
解得
90
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，
铁块脱离木船后在空中运动的水平距离为
A 错误；
B．铁块脱离木船后做平抛运动，则有
，
解得
B 正确；
C．对船与铁块有
结合上述解得
C 错误；
D．弹簧释放的弹性势能为
解得
D 正确。
故选BD。
【例2】如图，质量为M，半径为R 的圆弧槽，置于光滑水平面上．将一可视为质点的滑
块从与圆心等高处无初速度地释放，滑块的质量为m，且
，重力加速度大小为g。
91
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下列说法正确的是（ ）
A．若圆弧面光滑，则圆弧槽与滑块组成的系统动量守恒
B．若圆弧面光滑，则滑块运动至水平面时速度大小为
C．若圆弧面粗糙，滑块能运动至水平面，则圆弧槽的位移大小为
D．若圆弧面粗糙，滑块能运动至水平面，则滑块的位移大小为
【答案】C
【详解】A．若圆弧面光滑，圆弧槽与滑块组成的系统在水平方向动量守恒，故A 错误；
B．若圆弧面光滑，设滑块运动至水平面时速度大小为
，圆弧糟速度大小为
，由机械
能守恒定律知
在水平方向上动量守恒有
，
联立解得
，
故B 错误；
C．若圆弧面粗糙，滑块能运动至水平面，设滑块与圆弧槽相对于地面沿水平方向的位移
分别为
和
，由水平方向动量守恒有
，
解得
92
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，
故C 正确；
D．由于滑块还发生了竖直位移R，故滑块的位移大小为
故D 错误。
就选C。
【变式演练1】如图，棱长为a、大小形状相同的立方体木块和铁块，质量为m 的木块在上、
质量为M 的铁块在下，正对用极短细绳连结悬浮在在平静的池中某处，木块上表面距离水
面的竖直距离为h。当细绳断裂后，木块与铁块均在竖直方向上运动，木块刚浮出水面时，
铁块恰好同时到达池底。仅考虑浮力，不计其他阻力，则池深为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】设铁块竖直下降的位移为d，对木块与铁块系统，系统外力为零，由动量守恒
（人船模型）可得
池深
解得
D 正确。
93
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故选D。
【变式演练2】如图所示，质量为M、半径为R 的光滑半圆形曲面放置在光滑水平地面上，
其直径AB 水平。某时刻一质量为m 的小球从距曲面最左端A 点的正上方高h 处自由下落，
不计空气阻力，重力加速度为g。求：
（1）小球第一次运动到最低点时速度的大小；
（2）半圆形曲面在水平面上的最大位移。
【答案】（1）
；（2）
【详解】（1）设最低点M 的速度为
，小球的速度为
，小球从开始运动到最低点的过
程中系统在水平方向动量守恒，有
同时在下落过程中机械能守恒，有
联立解得
（2）设半圆形曲面在水平面上的最大位移为
，小球水平方向的位移为
，小球和曲面
在水平方向动量守恒，由人船模型可得
联立解得
94
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【变式演练3】如图，质量为M 的小车静止在光滑水平面上，小车AB 段是半径为R 的四
分之一光滑圆弧轨道，BC 段是长为L 的粗糙水平轨道，两段轨道相切于B 点。一质量为m
的滑块从小车上的A 点由静止开始沿轨道下滑，然后滑入BC 轨道，最后从C 点滑出小车。
已知滑块质量
，滑块与轨道BC 间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g。
（1）若固定小车，求滑块运动过程中对小车的最大压力。
（2）若不固定小车，滑块仍从A 点由静止下滑，求：
①滑块运动过程中，小车的最大速度大小
；
②滑块从B 到C 运动过程中，小车的位移大小s。
【答案】（1）3mg，方向竖直向下；（2）①
，②
【详解】（1）若固定小车，滑块从A 到B 的运动中，由动能定理可得
解得
滑块在B 点时，由牛顿第二定律可得
解得
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此时在B 点，圆弧轨道对滑块的支持力最大，由牛顿第三定律可知，滑块对小车的最大压
力为3mg，方向竖直向下。
（2）①若不固定小车，因水平轨道粗糙，因此滑块滑至B 点时，小车的速度最大，滑块与
小车组成的系统在水平方向动量守恒，以向右为正方向，由动量守恒定律可得
此过程系统的机械能守恒，则有
联立解得小车的最大速度大小为
②滑块从B 到C 运动过程中，滑块与小车组成的系统在水平方向动量守恒，以向右为正方
向，由动量守恒定律可得
则有
等式两边乘以时间t，则有
可知
解得
又
解得小车的位移大小为
【变式演练4】如图所示，一辆质量
的小车静止在光滑水平面上，小车左边部分为
96
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半径
的四分之一光滑圆弧轨道，圆弧轨道末端平滑连接一长度
的水平粗
粘面，粗糙面右端是一挡板。有一个质量为
的小物块（可视为质点）从小车左侧圆
弧轨道顶端A 点由静止释放，小物块和小车粗糙区域的动摩擦因数
，重力加速度取
，则（ ）
A．小物块滑到圆弧末端时的速度大小为
B．小物块滑到圆弧末端时小车的速度大小为
C．小物块与右侧挡板碰撞前瞬间的速度大小为
D．小物块最终距圆弧轨道末端的距离为
【答案】BC
【详解】AB．小物块滑到圆弧轨道末端时，由能量守恒和水平方向动量守恒得
联立解得
故A 错误、B 正确；
C．小物块与右侧挡板碰撞前，由能量守恒和水平方向动量守恒得
联立解得
97
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故C 正确；
D．由水平方向动量守恒知，小物块和小车最终都静止，由能量守恒得
解得
则小物块最终距圆弧末端的距离
故D 错误。
故选BC。
【变式演练5】如图所示，四分之一圆槽AB 的半径为R、质量为3m，静止放在水平地面上，
圆槽底端B 点的切线水平，距离B 点为R 处有一质量为3m 的小球2，其左侧连有轻弹簧。
现将质量为m 的小球1（可视为质点）从圆槽顶端的A 点由静止释放，重力加速度为g，不
计一切摩擦。则下列说法正确的是（ ）
A．在整个过程中，系统（三个物体）动量守恒、总动量为0
B．弹簧弹性势能的最大值为
C．小球1 刚与弹簧接触时，与圆槽底端B 点相距
D．小球1 最终的速度大小为
【答案】BCD
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【详解】A．不计一切摩擦，在整个过程中，系统（三个物体）水平方向动量守恒，小球1
在从斜面下落过程中，由于受重力作用，竖直方向动量不为零，故A 错误；
B．小球1 从斜面下来，设小球1 的速度大小为
，圆槽的速度大小为
，水平方向动量守
恒，则
由机械能守恒定律可得
解得
，
球1 与弹簧碰撞后与球2 达到共同速度时弹簧的弹性势能最大，由动量守恒定律得
弹簧弹性势能的最大值为
故B 正确；
C．小球1 从开始下滑到离开圆槽
又
解得圆槽向左运动的距离为
小球1 滑下圆槽时与弹性相距
当小球1 刚与弹簧接触时，圆槽向左再运动的距离
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所以小球1 刚与弹簧接触时，与圆槽底端B 点相距
故C 正确；
D．小球1 与弹簧碰撞后，弹簧原长时小球1 与弹簧分离，由动量守恒和机械能守恒定律得
解得小球1 的速度
小球2 的速度
小球1 向左运动与圆槽相作用，小球1 再次与圆槽分离，由动量守恒定律、机械能守恒定
律可得
，
解得小球1 向右运动的速度
小球1 再向右无法追上小球2，故小球1 最终的速度大小为
故D 正确。
故选BCD。
题型十 悬绳模型
【例1】（2024·湖南·三模）某科技馆内有一用来观察摆球与牵连配重滑块运动规律的装置，
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如图所示，用一足够长的水平轨道杆，将质量为
的带孔滑块穿套之后水平固定在
水平地面上方，再用一不可伸长的轻质细绳一端固定在滑块下方A 点，另一端连接质量为
m 的小球，已知绳长为L，水平杆距地面足够高，当地重力加速度为g，忽略空气阻力。将
轻质细绳伸直，小球从B 点（B 点与A 点等高且在水平杆正下方）静止释放。
（1）若水平杆光滑，当小球第一次摆动到最低点时，求滑块的位移大小和此时细绳对小球
的拉力大小?
（2）若水平杆粗糙，滑块所受最大静摩擦等于滑动摩擦力，要求小球摆动过程中滑块始终
保持静止，则滑块与水平杆之间的动摩擦因数
最小为多大?在此过程中，当小球所受重力
的功率最大时，小球的动能大小为多少?
【答案】（1）
，
；（2）
，
【详解】（1）设小球摆到最低点时速度大小为
，滑块速度大小为
，水平杆光滑，根据
水平方向系统动量守恒有
即有
又结合
联立可求得
根据系统机械能守恒，从释放到第一次达最低点，有
求得
，
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对小球根据牛顿第二定律
联立解得
（2）设轻绳与水平方向夹角为
时，绳中张力为
，对滑块，根据平衡条件：水平方向
竖直方向
滑块始终保持静止，则有
联立可得
则
解得
设小球的速度为，对小球，根据动能定理有
根据牛顿第二定律有
小球所受重力的功率
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重力功率最大时，小球速度的竖直分量
最大，即小球加速度的竖直分量为0，则
联立解得
此时下摆高度
对小球，根据机械能守恒定律
解得
【变式演练1】如图所示，质量M=0.2kg 的滑块套在光滑的水平轨道上，质量m=0.1kg 的
小球通过长L=0.5m 的轻质细杆与滑块上的光滑轴O 连接，小球和轻杆可在竖直平面内绕
O 轴自由转动，开始轻杆处于水平状态，现给小球一个竖直向上的初速度
=4m/s，不计空
气阻力，重力加速度g 取
。
（1）若锁定滑块，求小球通过最高点P 时对轻杆的作用力F 的大小和方向；
（2）若解除对滑块的锁定，求从小球开始运动至到达最高点过程中，滑块移动的距离x；
（3）若解除对滑块的锁定，求小球运动至最高点时的速度v 和此时滑块的速度v。
【答案】（1）
，方向竖直向上；（2）
；（3）
，
【详解】（1）设小球通过最高点时速度为
，由动能定理有：
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解得
在最高点时有
解得
方向竖直向下。
由牛顿第三定律可得，通过最高点时小球对杆的作用力大小为0.2N，方向竖直向上。
（2）设小球从开始运动到运动至最高点水平位移为x1，滑块向左运动位移为x，任意时刻
小球水平方速度大小为，滑块速度到为
，任意时刻，取水平向右为正方向，由水平方
向动量守恒有
两边同乘以
有
因上式对任意时刻附近微小
都适用，累积可得
又
解得
（3）在上升过程中，取小球和滑块系统为研究对象，因只有重力做功，系统的机械能守恒，
有
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取水平向右为正方向，由水平方向动量守恒有
解得
【变式演练2】如图所示，质量均为
的木块A 和B，并排放在光滑水平面上，A 上
固定一竖直轻杆，轻杆上端的O 点系一长为
的细线，细线另一端系一质量为
的球C。现将C 球拉起使细线水平伸直，并由静止释放C 球，重力加速度为
。
从开始释放C 到A、B 两木块恰好分离的过程，下列说法正确的是（ ）
A．两物块A 和B 分离时，A、B 的速度大小均为
B．两物块A 和B 分离时，C 的速度大小为
C．C 球由静止释放到最低点的过程中，木块移动的距离为
D．C 球由静止释放到最低点，A 对B 的弹力的冲量大小为
【答案】BC
【详解】AB．球C 下落到最低点时，AB 将要分离，根据机械能守恒定律有
系统水平方向动量守恒，根据动量守恒定律有
联立解得
，
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故A 错误，B 正确；
C．C 球由静止释放到最低点的过程中，设C 对地的水平位移大小为
，AB 对地的水平位
移大小为
，则有
，
解得
故C 正确；
D．C 球由静止释放到最低点的过程中，选B 为研究对象，由动量定理有
故D 错误。
故选BC。
【变式演练3】如图所示，质量为2m 的滑块套在光滑水平杆上，质量为m 的小球与滑块由
一根不可伸长的轻绳相连，轻绳的长为L，开始时，轻绳处于水平拉直状态，小球和滑块
均静止，现将小球由静止释放，重力加速度为g，求：
（1）滑块相对初始位置向右运动的最大位移x；
（2）小球运动到最低点时，轻绳对小球的拉力F；
（3）若小球第一次运动到最低点时，滑块与一个固定在水平杆上的弹性挡板（图中未画
出）发生碰撞，碰撞后滑块的速度大小不变，方向与碰撞前相反，小球在随后的运动中相
对最低点上升的最大高度h。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）设滑块对初始位置向右运动的最大位移
时，小球向左运动位移
，小球与
滑块组成的系统水平方向的动量守恒，则
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解得
（2）设小球运动到最低点时，小球的速度大小为
，滑块的速度大小为
，根据动量守恒
和机械能守恒，则
联立解得
（3）小球在随后的运动中相对最低点上升的最大高度时，设小球和滑块的速度大小为，
则
解得
【变式演练4】如图所示，A、B 两小车间夹有少量炸药，并静置于足够大的光滑水平地面
上，轻杆竖直固定在A 上，长为L 的轻绳一端系在轻杆的顶端，另一端系有质量为m 的小
球（视为质点）。现将A 锁定，将小球从图示位置（轻绳水平伸直）由静止释放，小球通
过最低点后继续向左摆动。已知A、B 的质量均为
，轻杆与炸药的质量均不计，重力加
速度大小为g。
（1）求小球通过最低点时轻绳对小球的拉力大小F；
（2）若将A 解锁，仍将小球从图示位置由静止释放，求小球通过最低点时两车的速度大
小v；
（3）若将A 解锁，仍将小球从图示位置由静止释放，当小球通过最低点时炸药爆炸，两
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车瞬间分离，爆炸后瞬间A 的速度大小为
、方向水平向左，求系统因炸药爆炸而增
加的机械能
及爆炸后A 的最大速度
。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
，
【详解】（1）设小球通过最低点时的速度大小为
，根据机械能守恒定律有
又
解得
（2）设小球通过最低点时的速度大小为
，对小球下摆到最低点的过程，根据机械能守恒
定律有
该过程中系统水平方向动量守恒，显然小球通过最低点时两车的速度方向水平向右，有
解得
（3）设炸药爆炸后瞬间A、B 的速度大小分别为
，根据动量守恒定律有
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其中
，根据能量守恒定律有
解得
爆炸后A 与小球通过轻绳相互作用，由（2）可得
由于
，因此爆炸后A 做加速直线运动，小球摆到最高点后返回最低点时A 的速度最
大，设此时小球的速度为
，有
，
解得
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