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专题13 动力学和能量观点的综合应用
目录
题型一 多运动组合问题...............................................................................................................................................1
题型二 “传送带”模型综合问题.............................................................................................................................11
类型1 水平传送带问题......................................................................................................................................12
类型2 倾斜传送带..............................................................................................................................................21
题型三 “滑块－木板”模型综合问题....................................................................................................................32
题型一 多运动组合问题
【解题指导】1．分析思路
(1)受力与运动分析：根据物体的运动过程分析物体的受力情况，以及不同运动过程中力的
变化情况；
(2)做功分析：根据各种力做功的不同特点，分析各种力在不同运动过程中的做功情况；
(3)功能关系分析：运用动能定理、机械能守恒定律或能量守恒定律进行分析，选择合适的
规律求解．
2．方法技巧
(1)“合”——整体上把握全过程，构建大致的运动情景；
(2)“分”——将全过程进行分解，分析每个子过程对应的基本规律；
(3)“合”——找出各子过程之间的联系，以衔接点为突破口，寻求解题最优方案．
【例1】（2024·湖北武汉·模拟预测）如图所示一轨道ABCD 竖直放置，AB 段和CD 段的
倾角均为θ=37°，与水平段BC 平滑连接，BC 段的竖直圆形轨道半径为R，其最低点处稍
微错开，使得滑块能进入或离开。AB 段和CD 段粗糙，其余各段轨道光滑。将一质量为m
的小滑块从轨道上离B 点距离L=125R 处由静止释放，滑块经过圆形轨道后冲上CD 段上升
一段距离后再次滑下，往返滑动多次后静止于轨道上某处。滑块和轨道AB、CD 间的动摩
擦因数均为μ=0.5，重力加速度大小为g，sin37°=0.6，cos37°=0.8。求：
（1）滑块第一次到达圆轨道最高点时对轨道的压力大小；
（2）滑块第一次在CD 段向上滑行的最大距离；
（3）整个过程中滑块在AB 段滑行的总路程。
1
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【变式演练1】如图所示，斜面
和水平面
相交于B 点，
是竖直放置
的半径为
的光滑半圆轨道，
与
相切于C 点，E 点与圆心O 点等高。质量为
m 的小球从离水平面h 处由静止释放，经过水平面后并滑上半圆轨道，已知小球与水平地
面及与斜面间的动摩擦因数都为
，斜面的倾角
，BC 长
，取
，如果让小球进入半圆轨道后不脱离半圆轨道，则h 的取值可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式演练2】如图所示，不可伸长的轻绳一端固定在距离水平地面高为h 的O 点，另一
端系有质量为m，可视为质点的小球，将小球从与O 等高的A 点由静止释放，小球在竖直
平面内以O 点为圆心做半径为r 的圆周运动。当小球运动到最低点B 时，绳恰好被拉断，
小球水平飞出。不计空气阻力及绳断时的能量损失，重力加速度为g。求：
（1）小球飞出时的速率v。
（2）绳能承受拉力的最大值Fm。
（3）小球落地点到B 点的水平距离x。
【变式演练2】如图所示，桌面右侧的水平地面有一竖直放置的半径为R 的光滑圆弧轨道
2
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为其竖直直径，桌面与圆弧轨道MNP 中间有一光滑管道Q，其右端与P 相切平
滑连接，管道内径略大于小球直径，桌面到水平地面的竖直距离也为R，劲度系数为k 的
轻质弹簧放置在光滑的水平桌面上，一端固定在光滑桌面左端的挡板上。一质量为m、可
视为质点的小球与弹簧不粘连，现移动小球压缩弹簧后由静止释放小球，小球到达圆弧的
C 点时刚好脱离轨道。已知弹簧压缩量为s，弹簧弹性势能的表达式为
（x 为弹簧
的形变量），不计其他阻力及小球在管道Q 和圆弧轨道中运动的能量损耗，重力加速度为
g。
（1）求C 点与O 点的高度差h；
（2）若只改变小球的质量，使小球运动过程中不脱离圆弧轨道，求小球质量的取值范围。
【变式演练3】小丁同学设计了一个玩具遥控赛车的轨道装置，轨道的主要部分可简化为
如图所示的模型，水平轨道AB 和倾斜轨道OD 分别与圆轨道相切于B 点和D 点，弯曲轨
道AE 与水平轨道平滑连接，E 点切线方向恰好水平。O 点固定一弹射装置，刚开始时装置
处于锁定状态。当赛车从A 点出发经过圆轨道进入OD 轨道，到达O 点时恰好可以触发弹
射装置将赛车原路弹回，最终进入回收装置F。测得赛车与弹射装置碰撞时机械能损失
，每次弹射后装置可自动锁定到初始时的弹性势能值。已知赛车质量为
，电动机
功率恒为
，圆轨道半径为
，E 点离水平轨道高度和与F 点间水平距离均为
，
AB 轨道长
，赛车在水平轨道上运动时所受阻力等于其对轨道压力的0.25 倍，赛车在轨
道其余部分上所受摩擦力可忽略，赛车看成质点。
（1）若赛车恰好能过C 点，求赛车经过H 点时对轨道的压力大小；
（2）若某次测试时，赛车电动机工作
，经过一次弹射后恰好落入回收装置之中，则此
次测试中给弹射装置设置的弹性势能为多大？
（3）若某次测试时，赛车电动机工作
，最终停在水平轨道AB 上，且运动过程中赛车
不能脱轨，求弹射装置的弹性势能取值范围。
3
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【变式演练4】（2024·河北保定·三模）如图所示，处于竖直平面内的轨道装置，由倾角
光滑直轨道AB、圆心为
的半圆形光滑轨道BCD，圆心为
的光滑圆弧外轨道
EF 组成。且
，B 为轨道间的相切点，B、
、D、和
处于同一直线上。已
知滑块质量
，轨道BCD 和EF 的半径为
。滑块开始时从轨道AB 上某点
由静止释放。（
，
，
，
，
）
（1）若释放点距离B 点的高度差为h，求滑块在最低点C 时轨道对滑块支持力
与高度h
的函数关系；
（2）若释放点距离地面的高度差为
，滑块在轨道BCD 上的P 点刚好脱离轨道，求滑
块能达到距离地面的最大高度；（结果保留3 位有效数字）
（3）若释放点距离地面的高度差为5R，求滑块从F 点抛出后水平位移和重力的冲量。
（结果保留2 位有效数字）
【变式演练5】自由滑雪大跳台是冬奥会比赛项目，其赛道简化为如图所示的模型，其中
助滑区倾斜赛道AB 与圆弧赛道BCD 相切于B 点，圆弧赛道半径R=10m，起跳点D 与圆心
的连线与竖直方向的夹角θ=25°。质量m=50kg（连同装备）的运动员从助滑区的A 点由静
止开始下滑，到达起跳点D 时斜向上飞离雪道，落在着陆坡上的E 点。已知A 点到C 点
（C 为圆弧赛道的最低点）的竖直高度差h1=30m，运动员到达圆弧上的D 点时对赛道的压
力FN=950N，D、E 两点间的竖直高度差h2=12m，重力加速度g 取10m/s2，sin25°=0.4，
cos25°=0.9，不计空气阻力，运动员可视为质点。求：
（1）运动员从A 点运动到D 点克服阻力做的功；
（2）起跳点D 到落地点E 之间的水平距离。
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题型二 “传送带”模型综合问题
【解题指导】1．计算摩擦力对物块做的功和摩擦力对传送带做的功要用动能定理，计算摩
擦产生的热量要用Q＝Ffx 相对或能量守恒定律.
2.电机做的功一部分增加物块的机械能，一部分转化为因摩擦产生的热量．
【核心归纳】1．设问的角度
(1)动力学角度：首先要正确分析物体的运动过程，做好受力分析，然后利用运动学公式结
合牛顿第二定律求物体及传送带在相应时间内的位移，找出物体和传送带之间的位移关系。
(2)能量角度：求传送带对物体所做的功、物体和传送带由于相对滑动而产生的热量、因放
上物体而使电动机多消耗的电能等，常依据功能关系或能量守恒定律求解。
2．功能关系分析
(1)功能关系分析：W＝ΔEk＋ΔEp＋Q。
(2)对W 和Q 的理解
①传送带克服摩擦力做的功：W＝Ffx 传；
②产生的内能：Q＝Ffx 相对。
类型1 水平传送带问题
【例1】（2024·辽宁大连·二模）物流公司传送小件货物，简化的传输系统如图所示。曲面
AB 末端与水平面BC 平滑连接于B 点，水平面BC 与传送带等高。工人将小件甲从A 点由
静止释放，运动到C 点时以速度
与遗留在平面末端C 点的小件乙发生碰撞（碰
撞时间极短，碰撞前后甲、乙在同一条直线上运动），碰后甲、乙分别以速度
和
冲上顺时针运行的传送带上，传送带的速度
，传送带足够长。已知曲
面高度
，小件甲的质量
，小件甲、乙均可视为质点，且与传送带间的动摩
擦因数均为
，重力加速度取
。求：
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（1）小件甲从A 点运动到C 点过程中克服摩擦阻力所做的功；
（2）小件乙的质量
及甲、乙碰撞过程损失的机械能；
（3）小件甲和乙冲上传送带到都与传送带共速过程中，传送带的电动机需额外多消耗的电
能。
【变式演练1】如图所示，质量为m 的物体在水平传送带上由静止释放，传送带由电动机
带动，始终保持以速度v 匀速运动，物体与传送带间的动摩擦因数为μ，物体过一会儿能保
持与传送带相对静止，对于物体从静止释放到相对静止这一过程中，下列说法正确的是（
）
A．摩擦力对物体做的功为mv2
B．电动机多做的功为
C．系统产生的内能为
D．传送带克服摩擦力做的功为
【变式演练2】如图所示，在竖直平面内固定圆心角
的光滑弧形轨道BC，B、C 两
点的高度差
，轨道末端B 点与水平传送带右端平滑对接，传送带以恒定的速度顺
时针转动。将质量
的小物块从C 点无初速释放，小物块能返回圆弧轨道，返回后
上升的最大高度
。已知传送带长
，各处粗糙程度相同，重力加速度
，
，
。
（1）求小物块第一次滑至B 点时对轨道的压力大小；
（2）求传送带的速度大小和小物块与传送带间动摩擦因数的最小值；
（3）若小物块与传送带间动摩擦因数为最小值，求小物块第2022 次在传送带上运动时，
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小物块与传送带间因摩擦而产生的热量。
【变式演练3】我国物流市场规模连续七年位列全球第一。某物流分拣中心为转运货物安
装有水平传送带，传送带空载时保持静止，一旦有货物置于传送带上，传送带就会以
的加速度向前加速运行。在传送带空载的某时刻，某质量为20kg 的货物向前以3m/s 的初
速度滑上传送带。已知传送带长为6m，货物和传送带之间的动摩擦因数为0.2，取
，求：
（1）货物用多长时间到达传送带末端；
（2）整个过程传送带对货物做的功；
（3）传送带与货物由于摩擦产生的热量。
【变式演练4】如图所示，竖直平面内有一段固定的光滑圆弧轨道PQ，圆心为O 点，圆弧
所对圆心角
，半径为
，末端Q 点与粗糙水平地面相切。圆弧轨道左侧有一
长度为
的水平传送带，传送带沿顺时针方向转动，传送带上表面与P 点高度差为
。现在传送带左侧由静止放置一个质量为
的可视为质点的滑块A，滑块
由P 点沿圆弧切线方向进入轨道，滑行一段距离后静止在地面上。已知滑块A 与传送带、
地面间的动摩因数均为μ＝0.5，重力加速度g 取10
，
，
，求：
（1）滑块A 离开传送带时速度
的大小；
（2）滑块A 经过Q 点时受到弹力
的大小；
（3）滑块和传送带组成的系统因摩擦而产生的内能Q。
【变式演练5】弯曲轨道与水平地面平滑连接，右侧有一与地面等高的传送带，传送带始
终以速度
顺时针匀速转动，如图甲所示。将一滑块从轨道上高处无初速释放，当
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时，滑块离开传送带时的速度不变，当滑块从其他高度释放后，离开传
送带时的速度大小与高度的图像为如图乙所示的曲线。已知滑块与传送带间的动摩擦因
数
，弯曲轨道与水平地面均光滑，取重力加速度大小
，求：
（1）传送带的传送速度
；
（2）传送带的长度
。
【变式演练6】如图所示，一质量
的物块以
的速度从B 端进入水平传送带
，最后能从C 点水平抛出，已知水平传送带
长
，该物块与传送带间的动摩
擦因数
，传送带以速度为v 顺时针方向转动，物块可视为质点且不考虑传送带滑轮
大小。重力加速度
。求：
（1）当传送带的速度
时，将物块从B 传送到C 过程中物块与传送带间因摩擦而产
生的热量是多少？
（2）若在传送带右侧加装一个收集装置，如图所示，其内边界截面为四分之一圆弧，C 点
为圆心，半径为
。调节传送带速度大小，使该物块从C 点抛出后，落到收集装置
时动能最小，则该物块落到收集装置时最小动能是多少？
类型2 倾斜传送带
【例2】（2024·河北衡水·一模）图（a）为成都天府国际机场某货物传送装置实物图，简
化图如图（b）所示，该装置由传运带ABCD 及固定挡板CDEF 组成，固定挡板CDEF 与传
送带上表面垂直，传送带上表面ABCD 与水平地面的夹角为
，CD 与水平面平行。
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传送带匀速转动时，工作人员将质量分布均匀的正方体货物从D 点由静止释放，货物对地
发生位移
后被取走，货物在传送带上运动时的剖面图如图（c）所示。已知传送带
匀速运行的速度为
，货物质量为
，其底部与传送带ABCD 的动摩擦因数
为
，其侧面与挡板CDEF 的动摩擦因数为
。已知
，
，重力加速度g 取
，不计空气阻力。求：
（1）货物刚放上传送带时，其底面所受滑动摩擦力
的大小及侧面所受滑动摩擦力
的
大小；
（2）货物在传送带上所经历的时间及传送装置多消耗的电能。
【变式演练1】（2024·安徽·二模）在快递分类时常用传送带运送快件，一倾角为37°的传
送带在电动机的带动下以恒定速率顺时针方向运行，传送带底端到顶端的距离为
，
如图甲所示。传送带现将一质量
的快件静止放于传送带底端，以传送带最底端为
参考平面，快件在传送带上运动整个过程中速度的平方
随位移x 的变化如图乙所示，取
重力加速度大小
，
，
，快件可视为质点，求：
（1）快件与传送带之间的动摩擦因数
；
（2）快件从传送带底端到顶端过程电动机多做的功W。
【变式演练2】如图所示，一轻弹簧原长
，其一端固定在倾角为
的固定斜面
的底端
处，另一端位于
处，弹簧处于自然伸长状态，斜面
长
。在
间
有一上表面与斜面平行且相切的传送带，且
长
，传送带逆时针转动，转动速度
为
。传送带上端通过一个光滑直轨道
与一个半径为
的光滑圆弧轨道
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相切于
点，且
端切线水平，
均在同一竖直平面内，且
在同
一竖直线上。质量为
的物块P（可视为质点）从
点由静止释放，最低到达
点
（未画出），随后物块P 沿轨道被弹回，最高可到达
点。已知物块P 与传送带间的动摩
擦因数为
，与斜面间的动摩擦因数为
，重力加速度
，最大静摩擦
力等于滑动摩擦力，
，
，弹簧始终在弹性限度内。
（1）求
间距离
及物块P 运动到
点时弹簧的弹性势能
；
（2）改变物块P 的质量，并将传送带转动方向改为顺时针，转动速度大小不变。将物块P
推至
点，从静止开始释放，在圆弧轨道的最高点
处水平飞出后，恰好落于
点，求物
块运动到
点的速度
。
【变式演练3】如图，高为h 倾角为
的粗糙传送带以速率
顺时针运行，将质量为m 的
小物块轻放到皮带底端，同时施以沿斜面向上的拉力使物块做匀加速直线运动，不考虑轮
的大小，物块运动到斜面顶端时速率为
，物块与传送带之间的动摩擦因数为
，重力
加速度为g，则下列说法正确的是（ ）
A．摩擦力对物块所做的功为
B．整个过程皮带与物块间产生的热量为
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C．拉力所做的功为
D．皮带因传送物块多消耗的电能为
【变式演练4】如图甲所示，向飞机上装货时，通常用到可移动式皮带输送机，简化模型
如图乙所示，皮带输送机倾角为
，顺时针匀速转动，每隔2s 在输送带下端A 点无初
速放入一件货物（货物足够多）。每件货物从下端A 点运动到上端B 点的过程中，其机械
能E 与位移s 的关系图像（以A 位置为零势能参考面）如图丙所示。已知货物均可视为质
点，质量均为
，重力加速度g 取10
，
。则（ ）
A．货物与输送带间的动摩擦因数为0.875
B．输送带A、B 两端点间的距离为8m
C．每件货物从下端A 点运动到上端B 点的时间为9s
D．皮带输送机因运送一件货物而多消耗的能量为515J
【变式演练5】如图所示，绷紧的传送带与水平面所成的角为37°，在电动机的带动下，传
送带以2m/s 的恒定速率顺时针运行，现将一质量为20kg 的货物（可视为质点）轻轻放在
传送带底端，货物被传送到h=3m 的高处，货物与传送带间的动摩擦因数为μ=0.8，
sin37°=0.6，cos37°=0.8，重力加速度g 取10m/s2，下列说法正确的是（ ）
A．货物先受到滑动摩擦力作用，后受到静摩擦力作用
B．货物在传送带上运动的时间为6s
C．货物的机械能增加了1280J
D．货物与传送带间由于摩擦产生的热量为640J
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【变式演练6】如图所示为某小型购物商场的电梯，长L＝7.0m，倾角θ＝37°。在某次搬
运货物时，售货员将质量为m＝50kg 的货物无初速度放在电梯的最下端，然后启动电机，
电梯先以a0＝1m/s2的加速度向上做匀加速运动，速度达到v0＝2m/s 后匀速运动。已知货物
与电梯表面的动摩擦因数μ＝0.8，重力加速度g＝10m/s2，不计空气阻力。求：
（1）货物从电梯底端运动到顶端所用的时间；
（2）电机因运送该货物多做的功（忽略电梯自身动能的变化）。
【变式演练7】如图甲，为机场工作人员利用倾斜传送带向飞机货仓装载行李的场景，传
送带保持恒定速率向上运行。工作人员将行李箱间隔相同时间连续无初速度地放在传送带
底端，所有行李箱在进入飞机货舱前都已做匀速运动，且相邻两个行李箱间不发生碰撞。
如图乙，A、B、C、D 是传送带上4 个进入货仓前匀速运动的行李箱，其中A 与B、B 与C
间的距离均为d，C 与D 间的距离小于d。已知传送带运行的速率为
，倾角为
，传送带
的长度为L，重力加速度为g，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，下列说法正确的是（
）．
A．A、B、C、D 与传送带间动摩擦因数相同，均满足
B．A、B、C 与传送带间动摩擦因数大于D 与传送带间动摩擦因数
C．工作人员往传送带底端放置行李箱的时间间隔
D．若A 的质量为m，则由于传送A，驱动传送带的电机额外消耗的电能
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题型三 “滑块－木板”模型综合问题
【解题指导】1．分析滑块与木板间的相对运动情况，确定两者间的速度关系、位移关系，
注意两者速度相等时摩擦力可能变化.
2.用公式Q＝Ff·x 相对或动能定理、能量守恒求摩擦产生的热量．
【核心归纳】“滑块—木板”模型问题的分析方法
(1)动力学分析：分别对滑块和木板进行受力分析，根据牛顿第二定律求出各自的加速度；
从放上滑块到二者速度相等，所用时间相等，由t＝＝，可求出共同速度v 和所用时间t，
然后由位移公式可分别求出二者的位移．
(2)功和能分析：对滑块和木板分别运用动能定理，或者对系统运用能量守恒定律．如图所
示，要注意区分三个位移：
①求摩擦力对滑块做功时用滑块对地的位移x 滑；
②求摩擦力对木板做功时用木板对地的位移x 板；
③求摩擦生热时用相对位移Δx.
【例1】（2024·安徽·二模）一块质量为M、长为l 的长木板A 静止放在光滑的水平面上，
质量为m 的物体B（视为质点）以初速度
从左端滑上长木板A 的上表面并从右端滑下。
该过程中，物体B 的动能减少量大小为
，长木板A 的动能增加量为
，A、B 间摩
擦产生的热量为Q，关于
，
，Q 的值，下列情况可能的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【例2】．（2023·全国·高考真题）如图，一质量为M、长为l 的木板静止在光滑水平桌面
上，另一质量为m 的小物块（可视为质点）从木板上的左端以速度v0开始运动。已知物块
与木板间的滑动摩擦力大小为f，当物块从木板右端离开时（ ）
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A．木板的动能一定等于fl
B．木板的动能一定小于fl
C．物块的动能一定大于
D．物块的动能一定小于
【变式演练1】（2024·四川成都·二模）如图，一质量为
的木板静止在水平地面上，
一质量为
的滑块（可视为质点）以
的水平速度从木板左端滑上木板，木板
始终保持静止。木板足够长，滑块与木板间的动摩擦因数为
，木板与地面间的动摩
擦因数为
（未知），重力加速度大小取
，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。
下列说法正确的是（ ）
A．地面对木板的摩擦力方向水平向右
B．地面对木板的摩擦力大小为
C．
可能为0.12
D．整个过程中，滑块与木板间因摩擦产生的热量为
【变式演练2】．（2024·辽宁鞍山·二模）如图所示，上表面粗糙的长木板B 静止在光滑的
水平面上，物块A 叠放在长木板右端，轻弹簧一端连接在物块A 上，另一端连接在竖直墙
面上，开始时弹簧处于原长，现对B 施加一水平向右恒定的拉力F，弹簧始终处于弹性限
度内且只分析A 未离开B 的过程，则正确的说法是（ ）
A．施加拉力后最初的一段时间内，物块A 和木板B 一定无相对滑动
B．施加拉力的瞬间，物块A 所受的摩擦力为零
C．施加拉力后的某一过程中，拉力做的功一定不小于A、B 和弹簧整体机械能的增量
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D．施加拉力后，在A 与B 相对滑动过程中，A 对B 的摩擦力做功的绝对值等于A、B
间产生的热量
【变式演练3】如图甲所示，质量
的长木板静止在足够大的水平地面上，一小物
块以
的速度从左端滑上长木板后，不能从木板的右端掉落，其运动的
图像如
图乙所示。取重力加速度大小
，求：
（1）小物块与木板间因摩擦产生的热量Q；
（2）
内静摩擦力对长木板的冲量
。
【变式演练4】如图甲，物体A 的质量m1= 1kg，静止在光滑水平面上的木板B 的质量
m2= 2kg，某时刻A 以v0= 6m/s 的初速度从左端滑上木板B 的上表面，在A 滑上B 的同时，
给B 施加一个水平方向的拉力
，
随时间变化如图乙，共作用1.5s，以水平向右为正方
向；已知A 与B 之间的动摩擦因数
，木板B 足够长（忽略物体A 的大小）。求：
（1）0 ~ 1s 内，物体A 和木板B 的加速度分别为多大；
（2）1.5s 末，A、B 的速度分别为多大；
（3）最终，物体A 和木板B 由于摩擦产生的热量（用分数表示）。
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