文档内容
专题16 动量能量在各类模型中的应用
目录
题型一 碰撞模型.............................................................................................................................1
类型1 一动一静的弹性碰撞..................................................................................................1
类型2 弹性碰撞中的“子母球”模型..................................................................................4
题型二 非弹性碰撞中的“动能损失”问题.................................................................................6
类型1 非弹性小球碰撞中的动能损失..................................................................................6
类型2 滑块木板模型中的动能损失......................................................................................7
类型3 滑块-曲面模型中的动能损失问题.............................................................................8
类型4 小球-弹簧模型中的动能损失问题.............................................................................9
类型5 带电系统中动能的损失问题....................................................................................10
类型6 导体棒“追及”过程中的动能损失问题................................................................11
类型7 连接体绳子绷紧瞬间能量损失................................................................................12
题型三 碰撞遵循的规律...............................................................................................................14
类型1 碰撞的可能性............................................................................................................15
类型2 碰撞类型的识别........................................................................................................15
题型四 “滑块—弹簧”碰撞模型中的多过程问题...................................................................17
题型五 “滑块—斜(曲)面”碰撞模型........................................................................................20
题型六 滑块模型中的多过程.......................................................................................................22
题型七 子弹打木块模型中的能量动量问题...............................................................................24
题型八 两体爆炸（类爆炸）模型中的能量分配.......................................................................25
题型九 人船模型及其拓展模型的应用.......................................................................................28
题型十 悬绳模型...........................................................................................................................32
题型一 碰撞模型
类型1 一动一静的弹性碰撞
．
以质量为m、速度为v 的小球与质量为m 的静止小球发生弹性碰撞为例，则有
1 1 2
mv＝mv′＋mv′
1 1 1 1 2 2
mv2＝mv′2＋mv′2
1 1 1 1 2 2
联立解得：v′＝v，v′＝v
1 1 2 1讨论：①若m＝m，则v′＝0，v′＝v(速度交换)；
1 2 1 2 1
②若m>m，则v′>0，v′>0(碰后两小球沿同一方向运动)；当m≫m 时，v′≈v，v′≈2v；
1 2 1 2 1 2 1 1 2 1
③若m0(碰后两小球沿相反方向运动)；当m≪m 时，v′≈－v，v′≈0.
1 2 1 2 1 2 1 1 2
【例1】（2024·广西·高考真题）如图，在光滑平台上有两个相同的弹性小球M和N。M
水平向右运动，速度大小为v。M与静置于平台边缘的N发生正碰，碰撞过程中总机械能
守恒。若不计空气阻力，则碰撞后，N在（ ）
A．竖直墙面上的垂直投影的运动是匀速运动
B．竖直增面上的垂直投影的运动是匀加速运动
C．水平地面上的垂直投影的运动速度大小等于v
D．水平地面上的垂直投影的运动速度大小大于v
【例2】（2023·重庆·高考真题）如图所示，桌面上固定有一半径为R的水平光滑圆轨道，
M、N为轨道上的两点，且位于同一直径上，P为MN段的中点。在P点处有一加速器（大
小可忽略），小球每次经过P点后，其速度大小都增加v。质量为m的小球1从N处以初
0
速度v 沿轨道逆时针运动，与静止在M处的小球2发生第一次弹性碰撞，碰后瞬间两球速
0
度大小相等。忽略每次碰撞时间。求：
（1）球1第一次经过P点后瞬间向心力的大小；
（2）球2的质量；
（3）两球从第一次碰撞到第二次碰撞所用时间。
【变式演练1】如图所示，物块A的质量 ，与水平面间的动摩擦因数 ，用不可伸长的细线悬挂的小球的质量均为 ，沿水平方向一字排列，物块A与第1个
小球及相邻两小球间的距离均为 ，细线长度分别为L，L，L，…，L（图中只画
1 2 3 n
出三个小球）。开始时，A以大小 的速度向右运动，物块A与小球发生的碰撞均
为弹性碰撞（碰撞时间极短），碰后小球均恰好能在竖直平面内做完整的圆周运动并再次
与物块A发生弹性碰撞，取重力加速度大小 ，物块A和所有小球均可视为质点，
不计空气阻力。下列说法正确的是（ ）
A．物块A能与8个小球碰撞 B．物块A最多能与小球碰撞12次
C．第5个小球的悬线长为1m D．第5个小球的悬线长为0.62m
【变式演练1】在一个水平桌面上固定一个内壁光滑的半径为R的管形圆轨道，俯视如图
所示，a、b、c、d为圆上两条直径的端点，且ac与bd相互垂直。在内部放置A、B两个小
球（球径略小于管径，管径远小于R），质量分别为 、 ，开始时B球静止于a点，A
球在其左侧以 的初速度向右与B球发生第一次碰撞且被反弹。已知小球之间的碰撞均为
对心弹性碰撞，第二次碰撞发生在b点。则下列说法中正确的是（ ）
A．A、B两球的质量比为
B．若只增大A球的初速度 则第二次碰撞点可能在 之间某处
C．若只增大A球的质量 则第二次碰撞点可能仍在b处
D．若只增大A球的质量 则第一、二次碰撞时间间隔不可能大于
【变式演练2】如图所示，小球1从固定光滑斜面上某处由静止释放，滑过光滑水平桌面后，落在水平地面上的N点。若在水平桌面的边缘处放置另一小球2，再将小球1从斜面
上同一位置由静止释放，使两小球发生弹性正碰，两小球在地面上的落点分别为M、P点。
已知小球1的质量为 ，小球2的质量为 ，且 ，O点为桌面边缘在地面上的投
影，不计转弯处的机械能损失，两小球均可视为质点。下列说法正确的是（ ）
A．碰撞后小球1的落点为M点
B．碰撞后小球1的落点为P点
C．图中点间距离满足的关系为
D．图中点间距离满足的关系为
【变式演练3】弹珠游戏对同学们稍显陌生，但它却是许多80后难忘的童年记忆。其示意
图如图所示，水平地面上相距x=3 m的地方分别有可视为质点、大小相同的球形弹珠A、
B，两者质量关系为m =3m ，假设两弹珠在水平地面上行进时受到的阻力（包括空气阻力
A B
和摩擦力等）均恒为其重力的k倍。现给弹珠A一个v=4 m/s的初速度，使其与静止的弹
0
珠B发生弹性碰撞，碰撞前后A、B均沿同一直线运动。已知k=0.2，g=10 m/s2。求：
（1）弹珠A与弹珠B碰撞前瞬间，弹珠A的速度大小v ；
A
（2）在碰撞刚结束时弹珠A和弹珠B的速度大小 、 ；
（3）弹珠A和弹珠B之间最终的距离。
类型2 弹性碰撞中的“子母球”模型
m v ＋m v ＝m v ′＋m v ′
1 1 2 2 1 1 2 2
m v＋m v＝m v ′2＋m v ′2
1 2 1 1 2 2
v ′＝
1v ′＝
2
【例1】如图所示，将两个质量分别为m=60g、m=30g的小球A、B叠放在一起，中间留
1 2
有小空隙，从初始高度h=1.8m处由静止释放。A球与地面碰撞后立即以原速率反弹，A
0
球与B球碰撞的时间为0.01s，不计空气阻力，取向上为正方向，B球的速度时间图象如图
乙所示，g取10m/s2（ ）
A. B球与A球碰前的速度大小为6m/s
B. 两球碰撞过程中，B球的重力冲量与A对B球的冲量大小比值为1：101
C. A、B两球发生的是弹性碰撞
D. 若mv ，碰后原来在前的物体速度一定增
后 前
大，若碰后两物体同向运动，则应有v ′≥v ′.
前 后
②碰前两物体相向运动，碰后两物体的运动方向至少有一个改变．
2．物体A与静止的物体B发生碰撞，当发生完全非弹性碰撞时损失的机械能最多，物体B
的速度最小，v ＝v ，当发生弹性碰撞时，物体B速度最大，v ＝v.则碰后物体B的速度范
B 0 B 0
围为：v≤v ≤v.
0 B 0
类型1 碰撞的可能性
【例1】两质量分别为 、 的小球P、Q在光滑水平面上沿同一直线同
向运动，已知小球P、Q的动量大小均为 ，经过一段时间小球P追上小球Q且发生
碰撞，则碰后小球P、Q的动量可能为（ ）
A． 、 B． 、
C． 、 D． 、
【变式演练1】在光滑水平面上，有两个小球A、B沿同一直线同向运动，B在前，A在后。
已知碰前两球的动量分别为pA＝12 kg·m/s、pB＝13 kg·m/s，碰撞前后，它们动量的变化量
分别为ΔpA、ΔpB。下列数值可能正确的是（ ）
A．ΔpA＝－4 kg·m/s、ΔpB＝4 kg·m/s B．ΔpA＝4 kg·m/s、ΔpB＝－4 kg·m/s
C．ΔpA＝－24 kg·m/s、ΔpB＝24 kg·m/s D．ΔpA＝24 kg·m/s、ΔpB＝－24 kg·m/s
【变式演练2】质量为m的小球A以速度 在光滑水平面上运动，与质量为2m的静止小球
B发生正碰，则碰撞后小球A的速度大小 和小球B的速度大小 可能为（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
类型2 碰撞类型的识别
碰撞的分类
动量是否守恒 机械能是否守恒
弹性碰撞 守恒 守恒
非弹性碰撞 守恒 有损失
完全非弹性碰撞 守恒 损失最大
【例2】质量为m和 m的两个物体在光滑的水平面上正碰，碰撞时间不计，其位移—时间
图像如图所示。
（1）碰撞后 和 的速度 、 ；
（2）若 ，则 等于多少；
（3）在第（1）（2）问基础上，通过计算判断两个物体的碰撞是弹性碰撞还是非弹性碰撞？
【变式演练1】某次训练中使用的冰壶A和冰壶B的质量均为 ，初始时两冰壶之间的
距离 ，运动员以 的初速度将冰壶A水平掷出后，与静止的冰壶B碰撞，
碰后冰壶A的速度大小变为 ，方向不变，碰撞时间极短．已知两冰壶与冰面间
的动摩擦因数均为 ，重力加速度 。求：
（1）冰壶A与B碰撞碰撞前的速度大小 ；
（2）两冰壶碰撞后瞬间B的速度大小 ；
（3）计算碰撞前后系统的总动能，判断是否为弹性碰撞。
【变式演练2】如图所示，在水平冰面上，质量 的冰壶A以大小为 的速
度与静止的质量为 的冰壶B发生正碰。碰撞可能是弹性碰撞也可能是非弹性碰撞，不计一切摩擦和空气阻力。关于碰后冰壶A的运动情况描述正确的是（ ）
A．碰后冰壶A可能会被弹回，速度大小为
B．碰后冰壶A可能继续向前运动，速度大小为
C．碰后冰壶A可能继续向前运动，速度大小为
D．碰后冰壶A不可能静止不动
【变式演练3】如图1所示，在水平地面上有甲、乙两物块（均可视为质点）相向运动，
运动一段时间后发生碰撞，碰撞后两物块继续运动直到均停止在地面上。整个过程中甲、
乙两物块运动的速度—时间图像如图2所示， 时刻甲、乙间距为 ，均停止后间距为
，已知重力加速度 。下列说法正确的是（ ）
A．两物块与地面间的动摩擦因数相同
B．乙在整个过程中的位移大小
C．两物块的质量之比为
D．两物块间的碰撞为弹性碰撞
题型四 “滑块—弹簧”碰撞模型中的多过程问题
1．模型图示
2．模型特点(1)两个或两个以上的物体与弹簧相互作用的过程中，若系统所受外力的矢量和为零，则系
统动量守恒，类似弹性碰撞。
(2)在能量方面，由于弹簧形变会使弹性势能发生变化，系统的总动能将发生变化；若系统
所受的外力和除弹簧弹力以外的内力不做功，系统机械能守恒。
(3)弹簧处于最长(最短)状态时两物体速度相等，弹性势能最大，系统动能通常最小(完全非
弹性碰撞拓展模型)。
(4)弹簧恢复原长时，弹性势能为零，系统动能最大(完全弹性碰撞拓展模型，相当于碰撞结
束时)。
【例1】（2024·湖南邵阳·三模）如图（a），一质量为 的物块A与轻质弹簧连接，静止
在光滑水平面上，物块B向A运动， 时与弹簧接触，到 时与弹簧分离，碰撞结
束，A、B的 图像如图（b）所示。已知从0到 时间内，物块A运动的距离为 。
碰撞过程中弹簧始终处于弹性限度内。则下列说法中正确的是（ ）
A．物块B的质量为
B．碰撞过程中弹簧的最大弹性势能为
C． 时间内物块B运动的距离为
D．弹簧压缩量的最大值为
【变式演练1】如图甲所示，物块A、B静止在光滑水平地面上，中间用一轻质弹簧连接，
初始时弹簧处于原长，给A一水平向右的瞬时速度 ，之后两物块的速度随时间变化的图
像如图乙所示，已知弹簧始终处于弹性限度内， 、 时刻弹簧的弹性势能分别为 、
，则下列说法正确的是（ ）A．A、B的质量之比为
B． 时刻B的速度为
C． 时刻弹簧的弹性势能为
D． 时刻A、B的速率之比为
【变式演练2】如图甲所示，在光滑水平面上，小球A以初动量 沿直线运动，与静止的
带轻质弹簧的小球B发生正碰，此过程中，小球A的动量p随时间t变化的部分图像如图
乙所示， 时刻图线的切线斜率最大，此时纵坐标为 ， 时刻纵坐标为零。已知小球
A、B的直径相同，则（ ）
A．小球A、B的质量之比为
B． 时刻弹簧的弹性势能最大
C．小球A的初动能和弹簧最大弹性势能之比为
D．0~ 时间内，小球B的动量变化量为
【变式演练2】如图所示，在足够长的光滑水平地面MN上固定一光滑的竖直半圆形轨道
NP，NP的半径为 ，N点处切线水平且与地面平滑连接。质量 的物块A与轻弹簧一端连接，以速度 沿水平地面向右运动，物块B静止，在物块A运动的
前方。与物块A连接的轻弹簧从接触B到弹簧被压缩到最短的过程中，物块B运动的距离
为0.15m，经历的时间为 。在此后的运动中，B与弹簧分离后，滑上轨道NP，沿
NP运动时恰能经过最高点P。物块A、B均可视为质点，弹簧始终处于弹性限度内，重力
加速度为 。求：
（1）物块B在N点的速度大小；
（2）物块B的质量；
（3）弹簧的最大压缩量。
【变式演练3】如图（a），一质量为m的物块A与轻质弹簧连接，静止在光滑水平面上：
物块B向A运动， 时与弹簧接触，到 时与弹簧分离，第一次碰撞结束，A、B的
图像如图（b）所示。已知从 到 时间内，物块A运动的距离为 。A、
B分离后，A滑上粗糙斜面，然后滑下，与一直在水平面上运动的B再次碰撞，之后A再
次滑上斜面，达到的最高点与前一次相同。斜面倾角为 ，与水平面光滑连接。
碰撞过程中弹簧始终处于弹性限度内。求
（1）第一次碰撞过程中，弹簧弹性势能的最大值；
（2）第一次碰撞过程中，弹簧压缩量的最大值；
（3）物块A与斜面间的动摩擦因数。题型五 “滑块—斜(曲)面”碰撞模型
1．模型图示
2．模型特点
(1)最高点：m 与m 具有共同水平速度v ，m 不会从此处或提前偏离轨道。系统水平方向
1 2 共 1
动量守恒，mv ＝(m ＋m)v ；系统机械能守恒，mv＝(m ＋m)v＋mgh，其中h为滑块上
1 0 2 1 共 1 2 1 1
升的最大高度，不一定等于圆弧轨道的高度(完全非弹性碰撞拓展模型)。
(2)最低点：m 与m 分离点。水平方向动量守恒，mv ＝mv ＋mv ；系统机械能守恒，mv
1 2 1 0 1 1 2 2 1
＝mv＋mv(完全弹性碰撞拓展模型)。
1 2
【例1】如图所示，光滑水平地面上放置一质量为m的上表面光滑的四分之一圆弧形斜劈，
圆弧与水平地面间平滑连接，一固定桩置于斜劈右侧固定斜劈。另一质量也为m的小物块
（可视为质点）以初速度 冲向斜劈，恰能上升到斜劈最高点，不计一切阻力。
（1）求圆弧半径R；
（2）若撤去固定桩，小物块仍以初速度 冲向斜劈，求此时小物块所能上升的最高点与水
平地面间的高度差；
（3）若撤去固定桩，改变小物块的初速度大小，使小物块所能上升的最大高度为2R，求
此时小物块的初速度大小和斜劈最终的末速度大小。（结果均用 表示）
【变式演练1】如图所示，固定光滑曲面轨道在O点与光滑水平地面平滑连接，地面上静
止放置一个表面光滑、质量为3m的斜面体C。一质量为m的小物块A从高h处由静止开
始沿轨道下滑，在O点与质量为2m的静止小物块B发生碰撞，碰撞后A、B立即粘连在
一起向右运动（碰撞时间极短），平滑地滑上斜面体，在斜面体上上升的高度小于斜面体
高度，重力加速度为g，求：
（1）A到达O点时的速度；（2）A、B碰撞过程中损失的机械能；
（3）A和B沿C能上升的最大高度。
【变式演练1】如图所示，在光滑足够长水平面上有半径R=0.8m的 光滑圆弧斜劈B，斜
劈的质量是M=3kg，底端与水平面相切，左边有质量是m=1kg的小球A以初速度v=4m/s
0
从切点C（是圆弧的最低点）冲上斜劈，重力加速度g取10m/s2，下列说法正确的是（
）
A．小球A不能从斜劈顶端冲出
B．小球A能从斜劈顶端冲出后还会再落入斜劈
C．小球A冲上斜劈过程中经过最低点C时对斜劈的压力大小是30N
D．小球A从斜劈上返回最低点C时速度大小为2m/s，方向向左
【变式演练2】如图所示，光滑水平面上有一质量为 、半径为R（R足够大）的 光滑
圆弧曲面C，质量为M的小球B置于其底端，另一个小球A质量为 ，小球A以
的速度向B运动，并与B发生弹性碰撞，不计一切摩擦，小球均可视为质点，
则（ ）
A．B的最大速率为 B．B运动到最高点时的速率为
C．B能与A再次发生碰撞 D．B不能与A再次发生碰撞
【变式演练3】如图所示，质量 的物块C静置在光滑水平面上，其左侧为半径的四分之一光滑圆弧，圆弧底端和水平面平滑连接。一质量 的小物块A
被压缩的轻质弹簧弹出后与静止在水平面上的物块B发生正碰，此后两物块粘在一起运动。
A、B均可视为质点，不计空气阻力。已知物块B的质量为1.5kg，A、B碰撞后瞬间B的
速度大小为6m/s，取 。求：
（1）最初弹簧上储存的弹性势能。
（2）A、B整体碰后能达到的最大高度。
（3）A、B整体第一次与C分离时C速度的大小。
（4）从A、B整体第一次与C分离瞬间至A、B整体第二次与C分离瞬间的过程，A、B
整体对C的冲量大小。
【变式演练4】如图所示，A、B、C的质量分别为 、 、 ，轻弹
簧的左端固定在挡板上，C为半径 的 圆轨道，静止在水平面上。现用外力使小球
A压缩弹簧（A与弹簧不连接），当弹簧的弹性势能为 时由静止释放小球A，小球
A与弹簧分离后与静止的小球B发生正碰，小球B到圆轨道底端的距离足够长，经过一段
时间小球滑上圆轨道，一切摩擦均可忽略，假设所有的碰撞均为弹性碰撞，重力加速度取
。求：
（1）小球B能达到的最大高度；
（2）通过计算分析，小球B能否第二次进入圆轨道。
题型六 滑块模型中的多过程
【例1】（2024·辽宁朝阳·三模）如图所示，一块质量 的长木板A静止放置于光滑水平地面上，其左端放置一个质量 的物块B。在物块B的上方高 处有
一悬挂点O，通过轻绳悬挂质量 的小球C，小球C静止时与物块B等高且恰好无
相互作用力接触。现将小球C拉至轻绳与竖直方向的夹角 处由静止释放，小球C下
摆至最低点时与物块B发生碰撞并粘在一起（C不与A接触），同时轻绳被刀片割断。已
知物块B与长木板A间的动摩擦因数 ，物块B不会从A上滑离，取重力加速度大
小 ，物块B、小球C均可看成质点，不计空气阻力。求：
（1）小球C与物块B碰后瞬间的速度大小；
（2）长木板A的最小长度。
【变式演练1】如图，质量为3m，足够长的长木板A放在光滑水平面上，质量为3m的铁
块B放在长木板A的上表面左端，质量为m的小球C用长为R的细线悬于O点。将小球C
拉至与O等高的位置，细线伸直，由静止释放，小球C运动到最低点时刚好沿水平方向与
铁块B发生弹性碰撞，碰撞后铁块B在长木板上表面向右滑动。已知铁块B与长木板A上
表面的动摩擦因数为0.3，铁块B、小球C均看作质点，重力加速度为g。求：
（1）小球C与铁块B碰撞前一瞬间，细线对小球的拉力大小；
（2）小球C与铁块B碰撞后一瞬间，铁块B的速度大小；
（3）最终铁块B与长木板A相对静止时因摩擦产生的热量Q。
【变式演练2】如图所示，两个完全相同的质量为m的木板A、B置于水平地面上，它们
的间距 ，质量为2m，大小可忽略的物块C置于A板的左端，C与A之间的动摩
擦因数为 ，A、B与水平地面之间的动摩擦因数为 ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。开始时，三个物体处于静止状态。现给C施加一个水平向右、大小为
的恒力作用，木板A、B碰撞时间极短且碰撞后粘连在一起。（取重力加速度
，计算结果用根式表示，其中 ）。求：
（1）A与B相撞前A的速度 是多少？
（2）A与B相撞后向右做加速运动的位移 是多少？
（3）要使C最终不脱离木板，每块木板的长度至少应为多少？
【变式演练3】如图所示，质量 的长木板C静止在光滑的水平面上，长木板C右
端与竖直固定挡板相距 ，左端放一个质量 的小物块B（可视为质点），与长
木板C间的动摩擦因数为 。在小物块B的正上方，用不可伸长、长度 的轻
绳将质量 的小球A悬挂在固定点O。初始时，将轻绳拉直并处于水平状态，使
小球A与O点等高，由静止释放。当小球A下摆至最低点时恰好与小物块B发生碰撞（碰
撞时间极短），之后二者没有再发生碰撞。已知A、B之间以及C与挡板之间的碰撞均为
弹性碰撞，重力加速度取 。
（1）小球A与小物块B碰后瞬间，求小物块B的速度大小；
（2）为保证长木板C与竖直挡板碰撞时B、C能共速，求 应满足的条件；
（3）在（2）问的前提下，即与竖直挡板碰撞到B、C能共速，求长木板的最短长度。题型七 子弹打木块模型中的能量动量问题
1．模型图示
2．模型特点
(1)子弹水平打进木块的过程中，系统的动量守恒．
(2)系统的机械能有损失．
3．两种情景
(1)子弹嵌入木块中，两者速度相等，机械能损失最多(完全非弹性碰撞)
动量守恒：mv＝(m＋M)v
0
能量守恒：Q＝F·s＝mv2－(M＋m)v2
f 0
(2)子弹穿透木块
动量守恒：mv＝mv＋Mv
0 1 2
能量守恒：Q＝F·d＝mv2－(Mv 2＋mv2)
f 0 2 1
【例1】如图所示，子弹以某一水平速度击中静止在光滑水平面上的木块并留在其中。对
子弹射入木块的过程，下列说法正确的是（ ）
A. 木块对子弹的冲量等于子弹对木块的冲量
B. 因子弹受到阻力的作用，故子弹和木块组成的系统动量不守恒
C. 子弹和木块组成的系统损失的机械能等于子弹损失的动能减去子弹对木块所做的功
D. 子弹克服木块阻力做的功等于子弹的动能减少量和摩擦产生的热量之和
【变式演练】如图所示，质量为 的木板静止在足够大的光滑水平地面上，质量为 的
滑块静止在木板的左端，质量为 的子弹以大小为 的初速度射入滑块，子弹射入滑块后
未穿出滑块，且滑块恰好未滑离木板。滑块与木板间的动摩擦因数为 ，重力加速度大小为 ，子弹与滑块均视为质点，不计子弹射入滑块的时间。求：
（1）木板的长度 ；
（2）滑块在木板上相对木板滑动的过程中系统克服摩擦力做功（产生热量）的平均功率 。
题型八 两体爆炸（类爆炸）模型中的能量分配
爆炸现象的三个规律
爆炸物体间的相互作用力远远大于受到的外力，所以在爆炸过程中，系统
动量守恒
的总动量守恒
在爆炸过程中，有其他形式的能量(如化学能)转化为机械能，所以系统的
动能增加
机械能增加
爆炸的时间极短，因而作用过程中物体产生的位移很小，可以认为爆炸后
位置不变
各部分仍然从爆炸前的位置以新的动量开始运动
【例1】（2024·辽宁·高考真题）如图，高度 的水平桌面上放置两个相同物块A、
B，质量 。A、B间夹一压缩量 的轻弹簧，弹簧与A、B不栓接。
同时由静止释放A、B，弹簧恢复原长时A恰好从桌面左端沿水平方向飞出，水平射程
；B脱离弹簧后沿桌面滑行一段距离 后停止。A、B均视为质点，取
重力加速度 。求：
（1）脱离弹簧时A、B的速度大小 和 ；
（2）物块与桌面间的动摩擦因数μ；
（3）整个过程中，弹簧释放的弹性势能 。【例2】（2024·云南·一模）如图所示，光滑水平面上有静止的物块A、B和长木板C，在
木板中点静置一小物块D（可视为质点）。A、B间有少量炸药，某时刻炸药爆炸，使A、
B沿水平方向运动，爆炸过程中有27J的能量转化成了A、B的动能。一段时间后，B与C
发生弹性正碰且碰撞时间极短，最终D刚好不滑离C。已知A的质量为2kg，B的质量为
1kg，C的质量为3kg，D的质量为1.5kg，木板C的长度为1m，重力加速度大小取
。求
（1）B与C碰撞前瞬间B的速度大小；
（2）C与D之间的动摩擦因数。
【变式演练1】如图所示，光滑水平轨道MN左端与倾角θ = 37°的足够长的斜面PM连接，
右端与半径为R的 光滑圆弧轨道QN连接。质量分别为m= 2kg和m= 3kg的滑块A、B
1 2
之间夹有少量炸药，静止在MN上（滑块A、B均可视为质点，炸药的质量忽略不计）。
炸药引爆后释放的化学能E = 30J全部转化为两滑块的动能，之后滑块B冲上圆弧轨道，
滑块A冲上斜面PM，A与斜面间的动摩擦因数为μ = 0.5，g取10m/s2，sin37° = 0.6，
cos37° = 0.8。求：
（1）炸药引爆后A、B到达M、N点时的动能E 、E 各为多大；
A B
（2）已知B恰好能到达圆弧轨道的最高点Q，圆弧轨道的半径R是多大；
（3）A沿斜面上滑的最大距离x。【变式演练2】一枚在空中水平飞行的玩具火箭质量为m，在某时刻距离地面的高度为h，
速度为v。此时，火箭突然炸裂成A、B两部分，其中质量为 的B部分速度恰好为0。忽
略空气阻力的影响，重力加速度为g。求：
（1）炸裂后瞬间A部分的速度大小v；
1
（2）炸裂后B部分在空中下落的时间t；
（3）在爆炸过程中增加的机械能 。
【变式演练2】如图所示的水平地面上有a、b、O三点。将一条轨道固定在竖直平面内，
粗糙的ab段水平，bcde段光滑，cde是以O为圆心，R为半径的一段圆弧，可视为质点的
物块A和B紧靠在一起，中间夹有少量炸药，静止于b处，A的质量是B的2倍。某时刻
炸药爆炸，两物块突然分离，分别向左、右沿轨道运动。B到最高点d时速度沿水平方向，
此时轨道对B的支持力大小等于B所受重力的 ，A与ab段的动摩擦因数为μ，重力加速
度g，求：
（1）物块B在d点的速度大小；
（2）物块A滑行的距离s；
（3）物块B从脱离轨道后到落到水平地面所用的时间。
【变式演练3】双响爆竹是民间庆典使用较多的一种烟花爆竹，其结构简图如图所示，纸
筒内分上、下两层安放火药。使用时首先引燃下层火药，使爆竹获得竖直向上的初速度，
升空后上层火药被引燃，爆竹凌空爆响。一人某次在水平地面上燃放双响爆竹，爆竹上升
至最高点时恰好引燃上层火药，立即爆炸成两部分，两部分的质量之比为1︰2，获得的速
度均沿水平方向。已知这次燃放爆竹上升的最大高度为h，两部分落地点之间的距离为L，
重力加速度为g，不计空气阻力，不计火药爆炸对爆竹总质量的影响。
（1）求引燃上层火药后两部分各自获得的速度大小。
（2）已知火药燃爆时爆竹增加的机械能与火药的质量成正比，求上、下两层火药的质量比。题型九 人船模型及其拓展模型的应用
人船模型
(1)模型图示
(2)模型特点
①两物体满足动量守恒定律：mv －Mv ＝0
人 船
②两物体的位移大小满足：m－M＝0，
x ＋x ＝L，
人 船
得x ＝L，x ＝L
人 船
(3)运动特点
①人动则船动，人静则船静，人快船快，人慢船慢，人左船右；
②人船位移比等于它们质量的反比；人船平均速度(瞬时速度)比等于它们质量的反比，即
＝＝.
【例1】如图所示，质量为M=2m的小木船静止在湖边附近的水面上，船身垂直于湖岸，
船面可看做水平面，并且比湖岸高出h。在船尾处有一质量为m的铁块，将弹簧压缩后再
用细线将铁块拴住，此时铁块到船头的距离为L，船头到湖岸的水平距离 ，弹簧原
长远小于L。将细线烧断后该铁块恰好能落到湖岸上，忽略船在水中运动时受到水的阻力以及其它一切摩擦力，重力加速度为g。下列判断正确的有（ ）
A．铁块脱离木船后在空中运动的水平距离为
B．铁块脱离木船时的瞬时速度大小为
C．小木船最终的速度大小为
D．弹簧释放的弹性势能为
【例2】如图，质量为M，半径为R的圆弧槽，置于光滑水平面上．将一可视为质点的滑
块从与圆心等高处无初速度地释放，滑块的质量为m，且 ，重力加速度大小为g。
下列说法正确的是（ ）
A．若圆弧面光滑，则圆弧槽与滑块组成的系统动量守恒
B．若圆弧面光滑，则滑块运动至水平面时速度大小为
C．若圆弧面粗糙，滑块能运动至水平面，则圆弧槽的位移大小为
D．若圆弧面粗糙，滑块能运动至水平面，则滑块的位移大小为
【变式演练1】如图，棱长为a、大小形状相同的立方体木块和铁块，质量为m的木块在上、
质量为M的铁块在下，正对用极短细绳连结悬浮在在平静的池中某处，木块上表面距离水面的竖直距离为h。当细绳断裂后，木块与铁块均在竖直方向上运动，木块刚浮出水面时，
铁块恰好同时到达池底。仅考虑浮力，不计其他阻力，则池深为（ ）
A． B． C． D．
【变式演练2】如图所示，质量为M、半径为R的光滑半圆形曲面放置在光滑水平地面上，
其直径AB水平。某时刻一质量为m的小球从距曲面最左端A点的正上方高h处自由下落，
不计空气阻力，重力加速度为g。求：
（1）小球第一次运动到最低点时速度的大小；
（2）半圆形曲面在水平面上的最大位移。
【变式演练3】如图，质量为M的小车静止在光滑水平面上，小车AB段是半径为R的四
分之一光滑圆弧轨道，BC段是长为L的粗糙水平轨道，两段轨道相切于B点。一质量为m
的滑块从小车上的A点由静止开始沿轨道下滑，然后滑入BC轨道，最后从C点滑出小车。
已知滑块质量 ，滑块与轨道BC间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g。
（1）若固定小车，求滑块运动过程中对小车的最大压力。
（2）若不固定小车，滑块仍从A点由静止下滑，求：
①滑块运动过程中，小车的最大速度大小 ；
②滑块从B到C运动过程中，小车的位移大小s。【变式演练4】如图所示，一辆质量 的小车静止在光滑水平面上，小车左边部分为
半径 的四分之一光滑圆弧轨道，圆弧轨道末端平滑连接一长度 的水平粗
粘面，粗糙面右端是一挡板。有一个质量为 的小物块（可视为质点）从小车左侧圆
弧轨道顶端A点由静止释放，小物块和小车粗糙区域的动摩擦因数 ，重力加速度取
，则（ ）
A．小物块滑到圆弧末端时的速度大小为
B．小物块滑到圆弧末端时小车的速度大小为
C．小物块与右侧挡板碰撞前瞬间的速度大小为
D．小物块最终距圆弧轨道末端的距离为
【变式演练5】如图所示，四分之一圆槽AB的半径为R、质量为3m，静止放在水平地面上，
圆槽底端B点的切线水平，距离B点为R处有一质量为3m的小球2，其左侧连有轻弹簧。
现将质量为m的小球1（可视为质点）从圆槽顶端的A点由静止释放，重力加速度为g，不
计一切摩擦。则下列说法正确的是（ ）
A．在整个过程中，系统（三个物体）动量守恒、总动量为0B．弹簧弹性势能的最大值为
C．小球1刚与弹簧接触时，与圆槽底端B点相距
D．小球1最终的速度大小为
题型十 悬绳模型
【例1】（2024·湖南·三模）某科技馆内有一用来观察摆球与牵连配重滑块运动规律的装置，
如图所示，用一足够长的水平轨道杆，将质量为 的带孔滑块穿套之后水平固定在
水平地面上方，再用一不可伸长的轻质细绳一端固定在滑块下方A点，另一端连接质量为
m的小球，已知绳长为L，水平杆距地面足够高，当地重力加速度为g，忽略空气阻力。将
轻质细绳伸直，小球从B点（B点与A点等高且在水平杆正下方）静止释放。
（1）若水平杆光滑，当小球第一次摆动到最低点时，求滑块的位移大小和此时细绳对小球
的拉力大小?
（2）若水平杆粗糙，滑块所受最大静摩擦等于滑动摩擦力，要求小球摆动过程中滑块始终
保持静止，则滑块与水平杆之间的动摩擦因数 最小为多大?在此过程中，当小球所受重力
的功率最大时，小球的动能大小为多少?
【变式演练1】如图所示，质量M=0.2kg的滑块套在光滑的水平轨道上，质量m=0.1kg的
小球通过长L=0.5m的轻质细杆与滑块上的光滑轴O连接，小球和轻杆可在竖直平面内绕
O轴自由转动，开始轻杆处于水平状态，现给小球一个竖直向上的初速度 =4m/s，不计空
气阻力，重力加速度g取 。
（1）若锁定滑块，求小球通过最高点P时对轻杆的作用力F的大小和方向；
（2）若解除对滑块的锁定，求从小球开始运动至到达最高点过程中，滑块移动的距离x；
（3）若解除对滑块的锁定，求小球运动至最高点时的速度v和此时滑块的速度v。【变式演练2】如图所示，质量均为 的木块A和B，并排放在光滑水平面上，A上
固定一竖直轻杆，轻杆上端的O点系一长为 的细线，细线另一端系一质量为
的球C。现将C球拉起使细线水平伸直，并由静止释放C球，重力加速度为 。
从开始释放C到A、B两木块恰好分离的过程，下列说法正确的是（ ）
A．两物块A和B分离时，A、B的速度大小均为
B．两物块A和B分离时，C的速度大小为
C．C球由静止释放到最低点的过程中，木块移动的距离为
D．C球由静止释放到最低点，A对B的弹力的冲量大小为
【变式演练3】如图所示，质量为2m的滑块套在光滑水平杆上，质量为m的小球与滑块由
一根不可伸长的轻绳相连，轻绳的长为L，开始时，轻绳处于水平拉直状态，小球和滑块
均静止，现将小球由静止释放，重力加速度为g，求：
（1）滑块相对初始位置向右运动的最大位移x；
（2）小球运动到最低点时，轻绳对小球的拉力F；
（3）若小球第一次运动到最低点时，滑块与一个固定在水平杆上的弹性挡板（图中未画
出）发生碰撞，碰撞后滑块的速度大小不变，方向与碰撞前相反，小球在随后的运动中相
对最低点上升的最大高度h。【变式演练4】如图所示，A、B两小车间夹有少量炸药，并静置于足够大的光滑水平地面
上，轻杆竖直固定在A上，长为L的轻绳一端系在轻杆的顶端，另一端系有质量为m的小
球（视为质点）。现将A锁定，将小球从图示位置（轻绳水平伸直）由静止释放，小球通
过最低点后继续向左摆动。已知A、B的质量均为 ，轻杆与炸药的质量均不计，重力加
速度大小为g。
（1）求小球通过最低点时轻绳对小球的拉力大小F；
（2）若将A解锁，仍将小球从图示位置由静止释放，求小球通过最低点时两车的速度大
小v；
（3）若将A解锁，仍将小球从图示位置由静止释放，当小球通过最低点时炸药爆炸，两
车瞬间分离，爆炸后瞬间A的速度大小为 、方向水平向左，求系统因炸药爆炸而增
加的机械能 及爆炸后A的最大速度 。
