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第38 讲 带电粒子在电场中运动的综合问题
目录
01 课标达标练......................................................................................................................................1
题型01 带电粒子在力电等效场中的圆周运动........................................................................1
题型02 用动力学和能量观点解决力电综合问题....................................................................7
题型03 用能量和动量观点解决力电综合问题......................................................................13
02 核心突破练....................................................................................................................................18
03 真题溯源练....................................................................................................................................32
01 带电粒子在力电等效场中的圆周运动
。
1．（2025·湖北·模拟预测）如图所示，平面直角坐标系
位于竖直平面内，空间存在沿x
轴负方向、电场强度大小
的匀强电场（未画出）。将一可伸缩的光滑绝缘细
杆置于
平面内，细杆的两端分别置于原点O 和点A（4m，2m），杆上套有质量
、电荷量
的小球，将其从点A 由静止释放，经时间
后小球到达点O。
现保持细杆的一端仍位于点O，另一端移动到
平面内的点B，仍然由静止释放小球，经
时间
后到达点O，已知重力加速度大小
，则点B 的坐标可能是（ ）
1
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A．（9m，3m）
B．（8m，8m）
C．（3m，6m）
D．（7m，-1m）
2.（2025·辽宁·模拟预测）如图所示，三维空间坐标系的y 轴竖直向上，y 轴上一L 处记作P 点，空间存在
沿x 轴正方向的匀强电场（图中未画出）。长度为L 的绝缘细线一端固定在O 点，另一端连接质量为m、
电荷量大小为q 带正电的小球（可视为质点）。已知重力加速度为g，匀强电场的电场强度大小为4 mg
3q
，
下列说法正确的是（ ）
A．若小球从P 点由静止释放，则小球运动的最大动能为4
3 mgL
B．若小球从P 点由静止释放，则细线中的拉力最大为3mg
C．若小球过P 点做匀速圆周运动，则小球运动的速率为4√gL
3
D．若在P 点给小球沿x 轴正方向的初速度√6 gL，则小球能绕O 点做完整的圆周运动
3．（2025·云南玉溪·三模）如图所示，一端固定的长为l 的绝缘轻绳悬挂一质量为m 的绝缘小球，小球带
正电q，可视为质点。初始时，小球静止于P 点，现给空间施加一大小为
，水平向右的恒定匀强
电场，小球恰能到达Q 点（未画出），已知重力加速度为g，不计空气阻力，则（ ）
2
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A．小球处于Q 点位置时轻绳与竖直方向的夹角为
B．P、Q 两点的电势差大小为
C．轻绳对小球的拉力最大时，小球的电势能减少
D．轻绳对小球的拉力最大时，绳上的拉力大小为
4．（24-25 高三下·安徽安庆·期中）如图所示，长度为l 的不可伸长轻质细绳一端被固定在O 点，另一端连
接质量为m，带电量为+q 的小球，开始时细线竖直紧绷。在该竖直平面内加上匀强电场，方向斜向右上方，
与水平方向夹角为45°，大小为
（g 为重力加速度），不计空气阻力，将小球由静止释放，关于
该小球此后的运动（ ）
A．小球在此后运动中细绳会松弛
B．小球到达与圆心等高处的P 点对绳子的拉力大小为2mg
C．若在初位置给小球水平向右初速度
，则小球可以做完整的圆周运动
D．小球可以运动到O 点正上方且此时绳子的拉力为0
5．（2025·河南·三模）如图所示，半径为R 的绝缘光滑圆环固定在竖直平面内，
是圆心，
是水平方
向的直径，
是竖直方向的直径，整个圆环处在水平向右的匀强电场中。将质量为
、电荷量为
3
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的小球套在圆环上，从A 点由静止释放，小球运动到
点时的动能最大，
。已知重
力加速度大小为g，取
。下列说法正确的是（ ）
A．小球可以沿圆环运动到
点
B．匀强电场的电场强度大小为
C．
两点间的电势差为
D．小球运动到
点时，向心加速度大小为
故选
。
02 用动力学和能量观点解决力电综合问题
6.（2025·河南·三模）如图所示，绝缘轨道ABC 固定在竖直平面内，AB 部分是光滑的
圆弧
轨道，轨道半径为R，BC 部分是足够长的水平轨道，两部分平滑连接。空间存在水平向左的
匀强电场（图中未画出），场强大小为E（未知）。现将一质量为m、电荷量为q 的带电物
块（可视为质点）从轨道上的A 点由静止释放，物块沿轨道运动。已知物块与轨道BC 间的
动摩擦因数为0.125，整个运动过程中物块在BC 段运动的总路程为2R，重力加速度大小为
g，且
。则整个运动过程中带电物块向右运动的最远处与B 点相距（ ）
4
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A．
B．
C．
D．
7．（2025·山西·三模）竖直平面内存在水平向右的匀强电场E，一带电小球从电场中的O 点
以初速度v₀ 向左上方射出，v₀ 方向与水平方向成30°角，如图所示。小球运动到其轨迹的最
左端时，速度大小恰好等于初速度大小v₀，则小球受到的电场力与它受到的重力的比值为（
）
A．
B．1：2
C．
D．
8．（2025·山西吕梁·三模）如图所示，倾角为
的光滑、足够长绝缘斜面固定在水平地面
上，斜面底端有一电荷量为
、质量为
的带电小物块，小物块在平行于斜
面向上的恒定拉力
作用下，由静止开始运动，经过一段时间
后撤去拉力
，此后，
小物块继续沿斜面运动，又经过
返回到斜面底端。已知重力加速度
取
，整个
空间存在水平向右的电场强度大小
的匀强电场。则拉力
的大小为（ ）
5
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A．
B．
C．
D．
9．（2025·安徽·一模）如图（1）所示，竖直放置的绝缘轻弹簧一端固定在平行板电容器下极板。带电小
球在轻弹簧正上方某处由静止释放，取该位置为坐标原点，竖直向下为x 轴正方向。在小球下落的全过程
中，以下极板为重力势能零参考面，小球的机械能E 随位移x 的变化关系如图（2）所示。弹簧始终在弹性
限度内，小球质量为1 kg，重力加速度 g 取
。则下列说法正确的是（ ）
A．小球下落过程中刚接触弹簧时动能最大
B．电场力大小为
C．小球在释放位置所具有的电势能为
D．下落过程中小球和弹簧组成的系统机械能最小值为
10．（24-25 高三上·河北沧州·期末）如图所示，在光滑水平地面左侧有竖直挡板，劲度系数为
的轻弹簧
左端固定在挡板上，右端自由且处于原长状态，质量为
、带电量为
的小滑块
紧贴着弹簧右端由静
止释放。整个装置处于水平向左、电场强度大小为
的匀强电场中。已知弹簧弹性势能
与形变量
的关
系为
，运动过程中小滑块
的电荷量不变，弹簧始终在弹性限度内。下列说法正确的是（ ）
6
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A．小滑块
加速度的最大值大于
B．小滑块
的最大速度为
C．弹簧的最大压缩量为
D．若仅将小滑块
的释放点适当右移，小滑块速度最大的位置将更加靠近挡板
11．（2025·安徽马鞍山·一模）如图所示，在光滑绝缘的水平面上，用长为2L 的绝缘轻杆连接两个质量均
为m 的带电小球A 和B，小球可视为质点，A 球的电荷量为+3q，B 球的电荷量为-5q，组成一带电系统，处
于静止状态。NQ 与MP 平行且相距3L，开始时MP 恰为杆的中垂线。现在MP、NQ 间加上水平向右的匀
强电场E，带电系统开始运动。则（ ）
A．B 球刚进入电场时，速度大小为
B．A 球刚离开电场时，速度大小为
C．B 球进入电场后的最大位移为2L
D．B 球从开始运动到最大位移的过程，其电势能的变化量为
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03 用能量和动量观点解决力电综合问题
12.（2025 高三·全国·专题练习）
是一种放射性同位素，生物学中常将
标记到有机物中，
追踪其在生物体内的代谢路径。已知静止在O 点的
原子核发生衰变的同时，空间中出现
如图所示的匀强电场。之后衰变产物
两粒子的运动轨迹
如图中虚线所示，不
考虑粒子所受重力、阻力和两粒子间的相互作用，下列说法正确的是（ ）
A．
原子核发生的是
衰变
B．
衰变过程满足能量守恒，动量不守恒
C．两粒子始终处在同一等势面上
D．经过相等时间A、B 粒子水平位移大小之比为2 5∶
13.（2025·广东省汕头市高三一模）我国空间站天和核心舱配备了4 台霍尔推进器。如图所示，进入电离
室的气体被电离成正离子，经电场加速后以极高速度喷出，在相反的方向上对航天器产生推力。假设核心
舱的质量为
，电离后的离子初速度为0，加速电压为
，单台推进器单位时间喷出的离子数量为
，
离子质量为
，电荷量为
，忽略离子间的相互作用力，下列说法正确的是（ ）
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A. 离子喷出加速电场时的速度为
B. 单台霍尔推进器的离子向外喷射形成的等效电流为
C. 离子在电场中加速
过程中，动能和电势能都增大
D. 推进器全部同向开启时，核心舱的加速度为
14．（2024·陕西宝鸡·模拟预测）如图所示，竖直平面内有一固定绝缘轨道ABCDP，由半径
m 的圆
弧轨道CDP 和与之相切于C 点的水平轨道ABC 组成，圆弧轨道的直径DP 与竖直半径OC 间的夹角
，A、B 两点间的距离
m。质量
kg 的不带电绝缘滑块静止在A 点，质量
kg、
电荷量
C 的带正电小球静止在B 点，小球的右侧空间存在水平向右的匀强电场。现用大小
N、方向水平向右的恒力推滑块，滑块到达B 点前瞬间撤去该恒力，滑块与小球发生弹性正碰，碰
后小球沿轨道运动，到达P 点时恰好和轨道无挤压且所受合力指向圆心。小球和滑块均视为质点，碰撞过
程中小球的电荷量不变，不计一切摩擦。取
m/s2，
，
。下列说法错误的是（
）
A．撤去该恒力瞬间滑块的速度大小为6m/s
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B．匀强电场的电场强度大小E 大小是
N/C
C．小球到达P 点时的速度大小
是2.5m/s
D．小球和滑块碰撞后，滑块速度大小为4m/s
15．（24-25 高三下·重庆·期末）如图甲所示，带电小球B 静止在光滑绝缘水平面上，质量
的带电
小球A 以水平向右的速度
正对B 的球心运动。在
时间内，A、B 两球的
图像如图乙所示，
若A、B 不相碰，且半径相同，则下列说法正确的是（ ）
A．小球A、B 带异种电荷
B．小球B 的质量
C．系统的最小动能为
D．小球A、B 最终以速度
匀速直线运动
16．（2025·河北·模拟预测）如图所示，绝缘粗糙的水平轨道AB 与处于竖直平面内的半圆形
光滑绝缘轨道BC 平滑连接，BC 为竖直直径，半圆形轨道的半径
，所在空间存在
水平向右的匀强电场，电场线平行于AB，电场强度
。将一带电体甲在P 点由静止
释放，此后甲与位于B 点的不带电的绝缘体乙发生正碰并瞬间粘在一起，P 点到B 点的距离
，已知带电体甲的带电量
，甲、乙两个物体的质量m 均为0.002kg 且
10
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均可看作质点，带电体甲与水平轨道间的动摩擦因数为0.25，g 取
，
，
。求：
(1)甲、乙两个物体碰撞过程中损失的机械能；
(2)甲、乙两个物体粘在一起后沿半圆轨道运动过程中对轨道压力的最大值；
(3)粘连体离开C 点后落到水平轨道上的位置与B 点的距离d 和落到轨道上时的速度v。
1．（2025·四川德阳·三模）如图所示，竖直平面内，圆心为O 点，半径R=1m 内壁光滑的圆弧管道ABC 固
定在粗糙水平面上，管道与水平面相切于C 点，OA 连线与竖直方向的夹角
，连线BC 的左、右两
侧存在电场强度均为
，方向分别为竖直向下、水平向右的匀强电场。质量m=1kg、所带电荷量为+q
的小球a 以一定的初速度从A 点开始运动，恰好能通过管道的最高点B 点，并与静止在C 点的物体b 发生
弹性碰撞，碰撞前后两带电体的电荷量不发生改变。已知物体b 的质量为m、电荷量为+2q、与水平面间的
动摩擦因数
，小球a、物体b 均可视为质点，重力加速度g 取10m/s2，求：
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(1)小球a 在A 点初速度的大小；
(2)小球a 经过管道C 点时（仍在右侧电场中），对管道的压力大小；
(3)物体b 停止的位置到C 点的距离。
2.（2025·广东茂名·茂名市电白区电海中学校考）如图所示，AC 水平轨道上AB 段光滑，BC 段粗糙，且
，CDF 为竖直平面内半径为
的光滑半圆轨道，两轨道相切于C 点，CF 右侧有电场强度
的匀强电场，方向水平向右。一根轻质绝缘弹簧水平放置，一端固定在A 点，另一端与带
负电滑块P 接触但不连接，弹簧原长时滑块在B 点。现向左压缩弹簧后由静止释放，当滑块P 运动到F 点
瞬间对轨道压力为4N。已知滑块P 的质量为
，电荷量大小为
，与轨道BC 间的动摩
擦因数为
，忽略滑块P 与轨道间电荷转移，重力加速度g 取10m/s2。求：
（1）求滑块到F 点时的动能；
（2）求滑块到D 点时对轨道的压力；
（3）若滑块P 沿光滑半圆轨道CDF 运动过程中时，对圆弧轨道的最小压力为10N，求弹簧释放瞬间弹性
势能。
3．（2025·云南·模拟预测）如图所示，质量为
的物块
静止在足够大的水平面上，空间有水平向
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右、电场强度大小为
的匀强电场。将质量为
、带电量为
的物块
从距
物块
处由静止释放，物块
向
运动与
发生碰撞。已知物块
与水平面之间的动摩擦因
数为
，物块
与水平面间无摩擦力，
、
均可视为质点且
、
之间的碰撞均为弹性碰撞，运
动过程中
的电荷量始终不变，
始终不带电，取重力加速度
。求：
(1)第一次碰撞结束瞬间
、
的速度大小；
(2)第一次碰撞结束到刚要发生第二次碰撞的过程中，物块
的位移大小
(3)从开始运动到刚要发生第10 次碰撞的过程中摩擦力对A 做的功。
4．（2025·吉林通化·二模）如图所示，光滑水平地面上方
处存在宽度
、方向竖直向上，大小
匀强电场区域。质量
、长为
的水平绝缘长木板静置于该水平面，且长木板最
右侧与电场边界D 重合。某时刻质量
、带电量
的可视为质点的滑块以初速度
从长木板左端水平滑入，一段时间后，滑块离开电场区域。已知长木板与滑块的动摩擦因数
，重力加速度大小为
。求：
(1)滑块刚进电场时，长木板的速度大小；
(2)滑块在电场中的运动时间，及全过程的摩擦生热。
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5．（2025·广东广州·模拟预测）如图所示，一光滑曲面与足够长的水平直轨道平滑连接，直轨道MN 段粗
糙，其余部分光滑，MN 段存在方向水平向右的匀强电场，N 点右侧的P 点处静止放置一绝缘物块b，一带
正电的物块a 从曲面上距水平面高为h 处由静止释放，滑出电场后与物块b 发生弹性碰撞。碰撞后，立即
在P 点放入与物块b 完全相同的静止物块。已知h=1.0m，直轨道长L=1.0m，物块a 与MN 之间的动摩擦因
数μ=0.4，物块a 的质量m=1kg，物块b 的质量M=2kg，场强E=2×106N/C，物块a 的电荷量q=6×10-6C，重力
加速度g 取10m/s2，物块a、b 均可视为质点，运动过程中物块a 的电荷量始终保持不变。
(1)求物块a 与物块b 第一次碰撞前瞬间物块a 的速度大小；
(2)求物块a 与物块b 第一次碰撞后，物块b 的速度大小；
(3)求物块a 在电场中运动的总路程。
6．（2025·福建厦门·二模）图示，足够长的倾角
的光滑斜面固定在水平面上，斜面底端固定有垂直
挡板。一劲度系数
的轻弹簧一端与挡板连接，另一端连接绝缘物块A，A 的上方放置着物块
B，A、B 质量均为
且都可视为质点，A 不带电，B 带电量
。初始时A、B 均处于静止
状态，某时刻起在空间施加方向平行斜面向上、大小为
的匀强电场，A、B 开始一起运动，
一段时间后A、B 分离。已知弹簧的弹性势能
（x 为弹簧的形变量），重力加速度大小
取
。求：
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(1)施加电场的瞬间，物块B 的加速度大小；
(2)两物块从开始运动到分离时沿斜面上滑的距离；
(3)物块A 的最大动能。
7．（24-25 高三下·贵州毕节·期末）如图，在竖直平面内，物体A 和带正电的物体B 用跨过定滑轮的不可
伸长绝缘轻绳连接，分别静止于倾角θ=37°的光滑斜面上的M 点和粗糙绝缘水平面上的P 点，B 与水平面
间的动摩擦因数μ=0.4。轻绳分别与对应平面平行，滑轮右侧空间中存在电场强度E=5×104N/C 方向水平向
右的匀强电场。A 的质量mA=0.1kg；B 的质量mB=0.2kg，电荷量q=+4×10-6C。两物体均可视为质点，不计滑
轮质量和摩擦，取g=10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8。
（1）求B 所受静摩擦力Ff的大小；
（2）现对A 施加平行斜面向下的恒定拉力F，使A 以大小为0.6m/s2的加速度开始做匀加速直线运动。求
拉力F 的大小；
（3）在（2）的条件下A 从M 点开始运动到N 点的过程中，B 电势能增加了0.06J，且未与滑轮碰撞。求A
到达N 点时拉力F 的瞬时功率P。
8.（2024·广东省湛江市高三下学期二模考） 如图所示，质量为m
凹槽A 放在倾角
的足够长的绝
缘斜面上，斜面固定在水平地面上，槽内左端用轻弹簧和质量为2m 的物体B 相连，空间存在垂直斜面向
上的匀强电场、电场强度大小
（g 为重力加速度大小）。质量为m、电荷量为q 的带正电物体
15
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C 静置在凹槽A 中时，A、B、C 恰好能处于静止状态。现将C 取出，在A 内移动B 到某位置后撤去外力，
此时A、B 静止，再将C 从斜面上A 的上方某点由静止释放后，C 以大小为
的速度与A 碰撞后立即粘在
一起，已知A、B 均绝缘且不带电，A、B 间接触面光滑，C 与A、C 与斜面间都绝缘，整个过程中，物体
C 所带的电荷量保持不变，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，弹簧弹性势能与弹簧伸长量的平方成正比。求：
（1）凹槽A 与斜面间的动摩擦因数μ；
（2）当弹簧伸长量变为碰前瞬间压缩量的2 倍时，A、B、C 三者速度恰好相同，求C 与A 碰撞前弹簧的
弹性势能；
（3）从C 与A 碰后瞬间开始计时，经过时间t，弹簧形变量恢复到与初始时的压缩量相等，求该过程中，
弹簧弹力对B 的冲量大小。
9.（2025·河南·三模）如图所示，在光滑绝缘的水平面内，存在水平向右的匀强电场，电场强度大小为
。有两个质量为
可视为质点的带电小球A、B，A 球带正电，B 球带负电，电荷
量均为
，两小球与一轻质弹簧的两端连接点处绝缘。初始时两球被锁定处于静止状态，弹簧
被压缩。已知弹簧劲度系数
，弹簧弹性势能的表达式为
（x 为弹簧形变量）。解除锁
定前弹簧的弹性势能
，忽略带电小球A、B 之间的相互作用力，某一时刻解除锁定。求：
(1)解除锁定瞬间A 球的加速度大小；
(2)A 球在向左运动过程中，当弹簧的弹力大小为
时（此时弹簧处于压缩状态）A 球的动能（结果
保留两位有效数字）。
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1．（2024·江西·高考真题）如图所示，垂直于水平桌面固定一根轻质绝缘细直杆，质量均为m、带同种电
荷的绝缘小球甲和乙穿过直杆，两小球均可视为点电荷，带电荷量分别为q 和Q。在图示的坐标系中，小
球乙静止在坐标原点，初始时刻小球甲从
处由静止释放，开始向下运动。甲和乙两点电荷的电势能
（r 为两点电荷之间的距离，k 为静电力常量）。最大静摩擦力等于滑动摩擦力f，重力加速度为
g。关于小球甲，下列说法正确的是（ ）
A．最低点的位置
B．速率达到最大值时的位置
C．最后停留位置x 的区间是
D．若在最低点能返回，则初始电势能
2．（2022·全国·高考真题）地面上方某区域存在方向水平向右的匀强电场，将一带正电荷的小球自电场中
Р 点水平向左射出。小球所受的重力和电场力的大小相等，重力势能和电势能的零点均取在Р 点。则射出
后，（ ）
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A．小球的动能最小时，其电势能最大
B．小球的动能等于初始动能时，其电势能最大
C．小球速度的水平分量和竖直分量大小相等时，其动能最大
D．从射出时刻到小球速度的水平分量为零时，重力做的功等于小球电势能的增加量
3．（2024·河北·高考真题）如图，竖直向上的匀强电场中，用长为L 的绝缘细线系住一带电小球，在竖直
平面内绕O 点做圆周运动。图中A、B 为圆周上的两点，A 点为最低点，B 点与O 点等高。当小球运动到A
点时，细线对小球的拉力恰好为0，已知小球的电荷量为
、质量为m，A、B 两点间的电势差为
U，重力加速度大小为g，求：
（1）电场强度E 的大小。
（2）小球在A、B 两点的速度大小。
4．（2023·福建·高考真题）如图（a），一粗糙、绝缘水平面上有两个质量均为m 的小滑块A 和B，其电荷
量分别为
和
。A 右端固定有轻质光滑绝缘细杆和轻质绝缘弹簧，弹簧处于原长状态。整个空间
存在水平向右场强大小为E 的匀强电场。A、B 与水平面间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，其大小均为
。
时，A 以初速度
向右运动，B 处于静止状态。在
时刻，A 到达位置S，速度为
，此时弹簧
未与B 相碰；在
时刻，A 的速度达到最大，此时弹簧的弹力大小为
；在细杆与B 碰前的瞬间，A 的速
度为
，此时
。
时间内A 的
图像如图（b）所示，
为图线中速度的最小值，
、
、
均
为未知量。运动过程中，A、B 处在同一直线上，A、B 的电荷量始终保持不变，它们之间的库仑力等效为
真空中点电荷间的静电力，静电力常量为k；B 与弹簧接触瞬间没有机械能损失，弹簧始终在弹性限度内。
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（1）求
时间内，合外力对A 所做的功；
（2）求
时刻A 与B 之间的距离；
（3）求
时间内，匀强电场对A 和B 做的总功；
（4）若增大A 的初速度，使其到达位置S 时的速度为
，求细杆与B 碰撞前瞬间A 的速度。
5．（2023·全国·高考真题）密立根油滴实验的示意图如图所示。两水平金属平板上下放置，间距固定，可
从上板中央的小孔向两板间喷入大小不同、带电量不同、密度相同的小油滴。两板间不加电压时，油滴
a、b 在重力和空气阻力的作用下竖直向下匀速运动，速率分别为v0、
；两板间加上电压后（上板为正
极），这两个油滴很快达到相同的速率
，均竖直向下匀速运动。油滴可视为球形，所受空气阻力大小与
油滴半径、运动速率成正比，比例系数视为常数。不计空气浮力和油滴间的相互作用。
（1）求油滴a 和油滴b 的质量之比；
（2）判断油滴a 和油滴b 所带电荷的正负，并求a、b 所带电荷量的绝对值之比。
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