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带电粒子在立体空间的运动
考点一 带电粒子的螺旋线运动和旋进运动
空间中匀强磁场的分布是三维的，带电粒子在磁场中的运动情况可以是三维的。
现在主要讨论两种情况：
(1)空间中只存在匀强磁场，当带电粒子的速度方向与磁场的方向不平行也不垂
直时，带电粒子在磁场中就做螺旋线运动。这种运动可分解为平行于磁场方向的
匀速直线运动和垂直于磁场平面的匀速圆周运动。
(2)空间中的匀强磁场和匀强电场(或重力场)平行时，带电粒子在一定的条件下就
可以做旋进运动，这种运动可分解为平行于磁场方向的匀变速直线运动和垂直于
磁场平面的匀速圆周运动。
例1 某实验装置的基本原理如图1 所示，平行正对放置半径均为R、间距为d 的
圆形金属板，M、N 的圆心分别为O1、O2，位于O1处的粒子源能向两板间各个
方向发射质量为m、电荷量为q 的带正电的粒子，不计粒子重力及相互间作用，
忽略边缘效应。
图1
(1)仅在两板间加电压U，两板间产生方向沿O1O2方向的匀强电场。求粒子源发
射出的粒子速度大小v0满足什么条件时能全部击中N 板？
(2)仅在两板间加方向沿O1O2方向的有界匀强磁场，磁感应强度大小为B，求粒
子源发射出的方向与O1O2连线成θ(0<θ<90°)角的粒子速度大小v 满足什么条件
时能全部击中N 板？
(3)若两板间同时存在方向都沿O1O2方向的匀强电场和匀强磁场，磁感应强度大
1
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小为B，粒子源发射出速度大小均为v，方向垂直于O1O2连线的粒子，全部落在
半径为的圆周上(<R)，求电场强度的大小。
答案 (1)v0≤ (2)v≤ (3)
解析 (1)速度方向与电场强度方向垂直的粒子击中N 板，则全部粒子击中N 板
当速度方向与电场强度方向垂直的粒子击中N 板边缘时，有R＝v0t，d＝at2
其中a＝＝
解得v0＝
所以，速度大小应满足v0≤。
(2)粒子源发射出的方向与O1O2连线成θ(0<θ<90°)角的粒子，做螺旋线运动，垂
直磁感应强度方向的分速度大小为vy＝vsin θ
根据洛伦兹力提供向心力qvyB＝
若粒子全部击中N 板，则r≤
解得v≤。
(3)设粒子在两板间运动时间为t，在磁场中周期为T，则应该满足t＝T(n＝0，
1，2，3，…)
根据d＝at2
其中a＝
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由qvB＝m、T＝得粒子做圆周运动的周期T＝
联立解得E＝。
如图2 所示，质子以初速度v 进入磁感应强度为B 且足够大的匀强磁场中，速度
方向与磁场方向的夹角为θ。已知质子的质量为m、电荷量为e。质子重力不计，
则下列说法正确的是( )
图2
A.质子运动的轨迹为螺旋线，螺旋线的中轴线方向垂直于纸面向里
B.质子在垂直于磁场平面做圆周运动的半径为
C.质子做螺旋线运动的周期为
D.一个周期内，质子沿着螺旋线轴线方向运动的距离(即螺距)为
答案 D
解析 将质子的初速度分解为垂直于磁场方向的速度v1＝vsin θ，沿磁场方向的
速度v2＝vcos θ，质子沿垂直磁场方向做匀速圆周运动，沿磁场方向做匀速直线
运动，则质子运动的轨迹为螺旋线，螺旋线的中轴线方向平行磁场方向，选项A
错误；质子做螺旋线运动的半径为r＝＝，选项B 错误；质子做螺旋线运动的周
期为T＝＝，选项C 错误；一个周期内，质子沿着螺旋线轴线方向运动的距离
(即螺距)为x＝v2T＝，选项D 正确。
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考点二 带电粒子在立体空间中的偏转
例2 某离子加速偏转实验装置部分的示意图如图3 所示，z 轴正方向垂直于xOy
平面向外。α 粒子在加速器内经电压U 加速后，在S(0，L，0)点沿x 轴正方向进
入Ⅰ区域，该区域沿x 轴方向的宽度为L，区域内存在沿y 轴正方向的匀强电场，
电场强度大小E＝。α 粒子经偏转后进入Ⅱ区域，该区域沿x 轴方向的宽度为
3L，内部某圆形区域存在沿z 轴正方向的匀强磁场，磁感应强度大小为B＝。α
粒子经过Ⅱ区域的磁场后速度方向偏转90°，再进入Ⅲ区域，该区域存在沿x 轴
正方向的匀强磁场，磁感应强度大小为2B，α 粒子离开Ⅲ区域时速度方向平行
于xOz 平面，且与z 轴负方向成45°角。已知α 粒子的电荷量为2e、质量为m，
不计粒子重力。求：
图3
(1)α 粒子在Ⅰ区域内沿y 轴方向的侧移量y1；
(2)Ⅱ区域内圆形磁场区域的最小面积Smin；
(3)Ⅲ区域沿x 轴方向的可能宽度d。
答案 (1) (2)πL2 (3)πL(n＝0，1，2，…)
解析 (1)α 粒子经过加速器过程，根据动能定理可得2eU＝mv
解得v0＝
α 粒子在Ⅰ区域内做类平抛运动，则有L＝v0t，y1＝at2，a＝
联立解得y1＝＝。
(2)α 粒子离开Ⅰ区域时速度大小为v，与x 轴正方向的夹角为θ，则有v＝，tan
θ＝，vy＝at
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联立解得vy＝v0，v＝v0＝，θ＝45°
α 粒子进入Ⅱ区域中圆形区域的匀强磁场中，由洛伦兹力提供向心力得2evB＝m
解得r＝＝L
α 粒子经过Ⅱ区域的磁场后速度方向偏转90°，如图所示
当α 粒子轨迹对应弦长等于圆形磁场直径时，圆形磁场的面积最小，则有
R＝r＝L
Ⅱ区域内圆形磁场区域的最小面积为Smin＝πR2＝πL2。
(3)α 粒子进入Ⅲ区域时速度方向与y 轴负方向成45°角，将α 粒子进入Ⅲ区域时
的速度分解到＋x 轴方向和－y 方向，则有
vx＝v0＝
vy′＝v0＝
由于磁场方向沿x 轴正方向，则α 粒子沿x 轴正方向以v0做匀速直线运动，同时
α 粒子在yOz 平面内做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力可得2evy′·2B＝m
解得r2＝L
根据题意有α 粒子离开Ⅲ区域时速度方向平行于xOz 平面，且与z 轴负方向成
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45°角，由于vx＝v0＝vy′
则α 粒子在yOz 平面内做匀速圆周运动离开时速度方向刚好沿z 轴负方向，α 粒
子在Ⅲ区域中的运动时间为t＝(n＋)T＝(n＋)·
＝(n＝0，1，2，…)
则Ⅲ场区沿x 轴方向的宽度为
d＝vxt＝v0t＝πL(n＝0，1，2，…)。
1.(2022·重庆卷，5)2021 年中国全超导托卡马克核聚变实验装置创造了新的纪录。
为粗略了解等离子体在托卡马克环形真空室内的运动状况，某同学将一小段真空
室内的电场和磁场理想化为方向均水平向右的匀强电场和匀强磁场(如图1)，电
场强度大小为E，磁感应强度大小为B。若某电荷量为q 的正离子在此电场和磁
场中运动，其速度平行于磁场方向的分量大小为v1，垂直于磁场方向的分量大小
为v2，不计离子重力，则( )
图1
A.静电力的瞬时功率为qE
B.该离子受到的洛伦兹力大小为qv1B
C.v2与v1的比值不断变大
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D.该离子的加速度大小不变
答案 D
解析 根据功率的计算公式可知P＝Fvcos θ，则静电力的瞬时功率为P＝qEv1，
A 错误；由于v1 与磁感应强度B 平行，则根据洛伦兹力的计算公式知F 洛＝
qv2B，B 错误；根据运动的合成与分解可知，离子在垂直于磁场方向做匀速圆周
运动，沿磁场方向做加速运动，则v1增大，v2不变，v2与v1的比值不断变小，C
错误；离子受到的安培力不变，静电力不变，则该离子的加速度大小不变，D 正
确。
2.(2024·湖北武汉模拟)如图2 所示，在空间直角坐标系中，yOz 平面左侧存在沿z
轴正方向的匀强磁场，右侧存在沿y 轴正方向的匀强磁场，左、右两侧磁场的磁
感应强度大小相等；yOz 平面右侧还有沿y 轴负方向的匀强电场。现从空间中坐
标为的M 点发射一质量为m，电荷量为＋q 的粒子，粒子的初速度大小为v0、方
向沿xOy 平面，与x 轴正方向的夹角为60°；经一段时间后粒子恰好垂直于y 轴
进入yOz 平面右侧，轨迹上离yOz 平面最远的点恰好落在xOz 平面上，不计粒子
的重力。求：
图2
(1)在yOz 平面左侧匀强磁场的磁感应强度B；
(2)在yOz 平面右侧匀强电场的电场强度E；
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(3)粒子第2 次经过yOz 平面时的位置坐标。
答案 (1) (2) (3)(0，－3d，4d)
解析 (1)粒子在yOz 平面做圆周运动的半径r1＝＝2d
根据qv0B＝m
可得左侧匀强磁场的磁感应强度B＝。
(2)粒子第一次经过y 轴后在y 轴负方向上做匀加速运动，同时在洛伦兹力作用下
做圆周运动，因轨迹上离yOz 平面最远的点恰好落在xOz 平面上，可知粒子到达
xOz 平面上时恰好做个圆周运动，则所用时间t＝＝
竖直方向r1＝·t2
解得E＝。
(3)粒子第2 次经过yOz 平面时做半个圆周运动，则所用时间为t′＝2t＝
沿y 轴负方向做匀加速运动，因在xOz 平面上方和下方用时相等，可知位置坐标
y＝－3d
沿z 轴坐标z＝2r2＝2r1＝4d
即粒子第2 次经过yOz 平面时的位置坐标为(0，－3d，4d)。
3.(2024·山东潍坊高三联考)某离子束实验装置的基本原理如图3 甲所示，在半径
为R 的圆柱形底面建立空间直角坐标系，坐标原点与圆柱底面圆心重合。圆柱
形区域内存在沿z 轴负方向、电场强度为E 的匀强电场，圆柱形区域正上方存在
沿x 轴负方向、磁感应强度为B0的匀强磁场。如图乙所示，从离子源不断飘出
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电荷量为q、质量为m 的正离子，经电场加速后从圆柱形边界正上方沿y 轴负方
向进入磁场，恰好在圆柱顶面圆心处与y 轴正方向成θ 角斜向下射出磁场，进入
圆柱形区域内的电场中，最后落在圆柱底面上坐标为(0，R，0)的D 点(图中未画
出)，不计离子重力。
图3
(1)求加速装置的电压U；
(2)求圆柱形区域的高度h；
(3)在离子进入圆柱形区域时，在圆柱形区域内加一个磁感应强度大小为B0、方
向沿z 轴周期性变化的磁场，以z 轴正方向为正方向，离子进入圆柱形区域的时
刻为计时起点，磁场的变化如图丙所示。已知磁场方向变化的周期为，tan θ＝
2，求该离子打在圆柱形底面的位置坐标。
答案 (1) (2)Rtan θ＋ (3)
解析 (1)设离子进入磁场的速度为v，根据动能定理，有qU＝mv2
离子在匀强磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，有qvB0＝m
根据几何关系，有sin θ＝
解得v＝，U＝。
(2)离子在圆柱形区域内的电场中沿y 轴正方向做匀速直线运动，沿z 轴负方向做
匀加速直线运动，则
沿y 轴正方向有R＝vyt＝vtcos θ
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沿z 轴负方向有h＝vzt＋at2
其中a＝，vz＝vsin θ
解得h＝Rtan θ＋。
(3)在圆柱形区域内加磁场后，离子沿z 轴负方向做与第(2)问相同的匀加速直线
运动，由(2)可知离子在圆柱形区域内运动的时间t＝tan θ＝
由磁场方向变化的周期为可知，离子在圆柱形区域内运动时，磁场方向一直沿z
轴负方向
在垂直电场方向，即离子的运动在圆柱底面的投影运动为匀速圆周运动，该匀速
圆周运动的线速度大小vy＝vcos θ，设该匀速圆周运动的轨迹半径为r′，周期为
T，则qvyB0＝m，T＝
解得r′＝＝，T＝
设离子做圆周运动转过的圆心角为α，如图所示，则t＝T
解得α＝2 rad
设该离子打在圆柱形底面的位置坐标为(x，y，0)，根据几何关系可知
x＝－r′－r′cos (π－α)＝－(1－cos 2)
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y＝r′sin (π－α)＝sin 2
则坐标为。
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